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CONSTRUÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Vamos considerar uma circunferência de raio r unitário (r = 1) cujo centro O coincide com a origem de um sistema ortogonal.

Essa estrutura, com as conversões a seguir, constitui a circunferência trigonométrica.

O ponto A (1, 0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência;

Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-).

Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).

Os eixos coordenados dividem o plano

cartesiano em quatro regiões, chamado

quadrantes (Q) e numeradas no sentido

anti-horário, a partir do ponto A, conforme

a figura:

Os pontos dos eixos coordenados não

pertencem a nenhum dos quadrantes.

ARCOS TRIGONOMETRICOS

Temos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de acordo com a ilustração a seguir: Aos pontos da circunferência trigonométrica associamos medidas em grau ou em radiano.

Arco nulo é aquele cujo comprimento é zero.

ARCOS CONGRUOS

Se α e β são medidas de arcos côngruos, indicamos: α ≡ β (lê-se: α é côngruo a β). Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando tem a mesma extremidade e deferem entre si apenas pelo numero de voltas inteiras. Expressão geral do arco:

.360º ,a k k z .

Ex1.: Vamos considerar um arco α = 150º e um arco β = 510º. Sabendo que α ≡ β, temos: α = 150º 2º quadrante α = 150º + 0 . 360º = 150º β = 510º 2º quadrante β = 150º + 1 . 360º = 510º LOGO: α ≡ β Ex2.: Verifique se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos. Ex3.: Um móvel partindo do ponto A, origem dos arcos, percorreu um arco de 1 690º. Quantas voltas completas deram e em qual quadrante parou? PRIMEIRA DETEMINAÇÃO POSITIVA DE UM ARCO Se um arco mede α graus, dizemos que um arco de β graus é a sua primeira determinação positiva quando 0 ≤ β ≤ 360º e β é côngruo a α. Ex1.: Calcular a 1º determinação positiva e escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 1 940º.

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FUNÇÕES CIRCULARES OU FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS

Seno e cosseno de um arco

Observe na circunferência trigonométrica um arco de extremidade P e medida α.

No triangulo retângulo POQ’, temos:

10

cosOQ

P

OQ .:. Logo: OQcos

10

QP

P

QPsen .:. Logo: ORsen

Em razão dessas definições, na Trigonometria o eixo Ox é chamado eixo dos cossenos e o eixo Oy, eixo dos senos. Note que, se um arco de medida α tem extremidade no:

1º quadrante, então cós α > 0 e sen α >0; 2º quadrante, então cós α < 0 e sen α > 0; 3º quadrante, então cós α < 0 e sen α < 0; 4º quadrante, então cós α > 0 e sen α < 0.

Tangente de um arco

Considere uma circunferência trigonométrica, uma reta t tangente a ela no ponto A com a mesma

orientação do eixo y, e um arco AP de medida α.

No triangulo retângulo TOA, temos:

ATAT

OA

ATtg

1

De maneira geral, dado um arco de medida α e extremidade P, com )(2

kk

, temos que a

tangente de α (tg α) corresponde à medida algébrica de AT, sendo T o ponto obtido na interseção da reta

tangente t e OP. Dizemos que a reta T é o eixo das tangentes.

Note que, se um arco de medida α tem extremidade no:

1º quadrante, tg α >0; 2º quadrante, tg α <0; 3º quadrante, tg α >0; 4º quadrante, tg α < 0.

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Observe alguns valores notáveis do seno, cosseno e da tangente.

Obs.: Para os valores de tg 90º e tg 270º, a tangente não está definida.

Ex.: tg 90º = º90cos

º90sen, temos:

Organizando esses valores em uma tabela, temos:

0 ou 0º 6

ou 30º

4

ou 45º

3

ou 60º

2

ou 90º ou 180º

2

3ou 270º 2 ou 360º

Sen α

cos α

tg α

Ex1.: Calcular sen 450º. Ex3.: calcular sen rad3

19

Ex2.: Calcular cos 1 830º Ex4.: Determinar o valor de tg 1845º.

Ex5.: Calcular o valor de 4

323

2

xsenxsen

xsenA , sabendo que .

2radx

4

REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE Reduzir um arco dado ao primeiro quadrante é determinar um arco ao primeiro quadrante cujas funções trigonométricas sejam iguais em valor absoluto as do arco dado. Redução do 2º para o 1º quadrante

Dado um arco AP de medida α, com

2

, temos:

Note que P’ é simétrico a P em relação ao eixo y.

Redução do 3º para o 1º quadrante

Dado um arco AP de medida α, com 2

3 , temos:

Note que P’ é simétrico a P em relação ao ponto O.

Redução do 4º para o 1º quadrante

Dado um arco AP de medida α, com

22

3 , temos:

Note que P’ é simétrico a P em relação ao eixo x.

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De modo geral:

tgtg

sensen

coscos

tgtg

sensen

coscos

tgtg

sensen

2

cos2cos

2

Exemplos: Exemplo: Exemplos:

a) sen 150º= a) sen 210º= a) sen 300º=

b) cos 120º= b) cos 225º= b) cos 315º=

c) tg 135º = c) tag 225º= c) tg 300º =

Graus 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

Radianos

0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4 2

3

3

5

4

7 6

11

2

Sen 0 2

1 2

2

2

3 1 2

3

2

2

2

1 0 2

1

2

2

2

3

-1 2

3

2

2

2

1 0

Cos 1 2

3

2

2

2

1 0

2

1

2

2 2

3

-1 2

3

2

2

2

1 0

2

1

2

2

2

3 1

tg 0 3

3 1 3 3 -1 3

3

0 3

3 1 3 3 -1 3

3

0