CAPITULO XIII Y IV

Ivan Dario Contreras P.

Is1

Trigonometria

Alejandro Molina

CAPITULO XIIIFormulas De Sumas Y

Diferencias

Seno y Coseno Como se muestra en el dibujo, para sacar la fórmula combinamos dos triángulos rectángulosABC que tiene un ángulo α ACD que tiene un angulo βEl lado mayor ("hipotenusa') de ACD es AD=R. Por consiguiente DC = R sen β AC = R cos βDe modo semejante BC = AC sen α = R cos β sen α AB = AC cos α = R cos βcos αEl triángulo ADF es rectángulo y tiene el ángulo (α+β) . Por lo tantoR sen (α+β) = DF R cos (α+β) = AF

Comenzamos Deduciendo El SenoComenzamos sacando el seno:

R sen (α+β) = DF = EF + DE = BC + DE DE = DC cos α = R sen β cos α EC = DC sen α = R sen β sen αAnteriormente se presentó que BC = R cos β sen α AB = R cos β cos αPor consiguiente R sen (α+β) = BC+DE = R cos β sen α + R sen β cos α

Eliminando R y reacomodando α para que preceda β

sen (α+β) = cos β sen α + sen β cos α

Deduciendo el coseno

Para el coseno es igual:

R cos (α+β) = AF = AB – FB = AB – EC = = R cos β cos α – R sen β sen α

Eliminando R y reacomodando

cos (α+β) = cos β cos α – sen β sen α

Aplicaciones

Un ejemplo podria ser el calculo del coseno de 105°

Primero que todo se descompone el angulo (105°) en angulos notables :

Cos 105° = Cos (45°+60°) = Cos 45° Cos 60° - Sen 45° Sen 60°

= √2 * 1 - √3 * √2 2 2 2 2

= √2 - √6 4 4

= √2 - √6 4= √2 - √6

4

Seno y Coseno de la diferencia de dos ángulos

sen (α-β) = AE = BD-BC = BD - BC = BC = BD . OB - BC . AB = OA OA OA OA OA OA OB OA AB

= BD . OB – BC . AB = sen α cos β - cos α sen β OB OA AB OA

Pra mostrar la diferencia de ángulo, nos basaremos en la siguiente figura:

Analizando se puede demostrar para coseno

Aplicaciones

Por ejemplo podria ser el calculo del seno de 15º

Primero se dan a conocer los valores de los angulos que restados dan 15º:

Sen 15º = Sen(45º – 30º) = sen 45º cos 30º – sen 30º cos 45º = √2 *√3 – 1 * √2 2 2 2 2

= √6 - √2 4 4

=√6 + √2 4

EJERCICIO XXVII

3. Calculese el seno y coseno de 90º, considerando 90º = 60º + 30º

16. Calcular el coseno de 60º , considerando 60º = 90º - 30º

Tangente y ContangenteSiendo la tangente de un angulo seno sobre coseno quedaria:

Luego dividiendo :

Se cancelaToda la fraccion

Se cancela coseno de b con coseno de b

Se cancela coseno de a con coseno de a

Por ende:

CotangentePara el calculo de la cotangente se sigue un procedimiento analogoIgual al de la tangente:

Simplificando queda:

Para obtener cot (a-b) se sustituye b por (-b) y luego cot (-b) por cot-b:

Cot (a – b) = -cot a cot b -1 cot a - cot b

Multiplicando numerador y denominador por (-1) queda:

Cot ( a – b)= cot a cot b – 1 Cotb – cot a

CAPITULO XIVFormulas De Productos Y

Cocientes

Relaciones entre las funciones del angulo a y los multiplos de a

Funciones de 2a.- la formula (a + b) es general es decir son ciertas para todo valor Por tanto si remplazamos b por a quedaria :

Sen 2a = 2sen a cos a

Haciendo lo mismo en:

Cos 2a = cos a*cos a – sen a*sen a

cos a*cos a se puede remplazar por cos a la 2

Aplicaciones

Un ejemplo podria ser el calculo de el seno de 60º

Primero en vez de escribir (30º+ 30º) se escribiria (2x30º):

Sen 60º = sen ( 2x30º) = 2 sen 30º cos 30º

= 2 * 1 * √3 = √3 2 2 2

Transformar en producctos sumas y diferencias de senos y cosenos

Sabiendo que :

Sen (a+b) = sen a cos b + sen b cos a Cos (a+b) = sen a cos b – sen b cos a

Sumando las dos ecuaciones se obtiene: Restando se obtiene:

Sen (a + b) + sen (a - b) = 2 sen a cos b Sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b cos a

Aplicaciones

Se podria compriobar que:

Sen 36º + Sen 24º = 2 sen 30º cos 6º

Se sustituye seno de 30º por su valor que es “1/2”

Sen 36º + sen 24º = 2 * ½ * cos 6º = cos 6º