triángulos si

Definición: Se llama triángulos a la figura plana que se encuentra ilimitada por Definición: Se llama triángulos a la figura plana que se encuentra ilimitada por tres segmentos de recta no alineados.tres segmentos de recta no alineados.

Elementos:Elementos:Vértices: A,B,C ( )Vértices: A,B,C ( )Lados: AB, BC, AC Lados: AB, BC, AC ( ( _ _ ))Angulos interiores: , , ( )Angulos interiores: , , ( )Angulos externos: , , ( )Angulos externos: , , ( )

A

B

C

α

β ω

ωα βθ

θ

φ

φ

γγ

Continuar

PRACTICA DIRIGIDAPRACTICA DIRIGIDAEjercicio 1.- Dibuja si es posible los siguientes triángulos con las medidas indicadas.a) 6;7;8 b) 4;7;2 c) 5;9;5

Conclusión: a+b>c

a+c>b

b+c>a

l a-b l < c

l a-c l < b

l b-c l < a

Teorema de la desigualdad

triangular

6cm.7cm.

8cm.

4cm.

7cm.2cm.

5cm.

5cm.

9cm.

ContinuarContinuar

Por sus ángulos:

AcutánguloPor sus lados:Escaleno

PRACTICA DIRIGIDAEjercicio 2.- De los triángulos propuestos designalos según sus ángulos y ladosa) 6;7;8 b) 5;9;5

Ejercicio 3.- Del primer triángulo anterior halla el perímetro y el semi-perímetro

Por sus ángulos:

Obtusángulo

Por sus lados:

Isósceles

a) 6;7;8

Perímetro= 2p = a+b+c

2p = 6+7+8 = 21cm.

Semi-perímetro = perímetro = 21 = 10,5cm.

2 2

PRACTICA DIRIGIDAEjercicio 4.- Dibuja las rectas del triángulo dado:altura, mediana, mediatriz, bisectriz interior, bisectriz exterior,ceviana interior y ceviana exterior.Triángulo de 5;9;5 Altura: perpendicular que se traza de uno de los vértices

hacia el lado opuesto.

Altura “h” con respecto a AB

h

A B

C

Continuar

PRACTICA DIRIGIDAEjercicio 4.- Dibuja las rectas del triángulo dado:altura, mediana, mediatriz, bisectriz interior, bisectriz exterior,ceviana interior y ceviana exterior.Triángulo de 5;9;5

A B

C

Mediana: segmento que une el punto medio de uno de los lados con el vértyice opuesto.

Mediana AM con respecto a BC

M

Continuar


A B

C

Mediatriz: perpendicular al punto medio de uno de los lados.

Mediatriz MN con respecto a AB

M

N

Continuar


A B

C

Bisectriz interior: segmento que divide un ángulo interior en dos ángulos congruentes.

Bisectriz BD

ββ

D

Continuar


A B

C

Ceviana: cualquier segmento que trazada por uno de los vértices corta el lado opuesto.

Ceviana CE y CF

E F

Continuar

PRACTICA DIRIGIDAEjercicio 5.- Demuestra los teoremas fundamentales de los Ejercicio 5.- Demuestra los teoremas fundamentales de los triángulos, teniendo en cuenta tus saberes previos.triángulos, teniendo en cuenta tus saberes previos.

5.1.-Teorema de la suma de las medidas de los ángulos interiores.

5.2.-Teorema del ángulo exterior.

5.3.-Teorema de la suma de las

medidas de los ángulos

exteriores.

5.4.-Teorema de la suma de dos ángulos

exteriores a un mismo lado.

5.5.-Teorema del mayor ladoContinuar Aplicación

TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORESTEOREMA DE LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES

α

A

B

C

β

ω

1. Por B se traza L // AC; se prolongan

AB y BC

β

2. Se observan e identifican ángulos

correspondientes3. Se observa e identifica ángulo

opuesto por el vértice

4. Conclusión: + + = 180º α β ω

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo

es igual a 180º

Regresar

TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIORTEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR

1. Observamos y son ángulos adyacentes suplementarios

+ = 180º

P

Q

R

θ

φ

γ

γ

β

β

2. + + =180º por ser

ángulos interiores de un triángulo

βγγ

β

θ φ

3. + = + +

por la propiedad transitiva.

γ θ φ γ4. Observamos en la anterior ecuación

y cancelamos

= + β θ φ

El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.

Regresar

γ γ+ +

TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORESTEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES

1. Sabemos que + + = 180º por ser ángulos internos de un

triángulo.

X

Y

Zβ

αθ

β α θ

2. X= +

Y= +

Z= +

3. Sumamos las tres igualdades

X+Y+Z= + + + + +

4. Aplicando conmutativa y asociativa. Reemplazando 1 en 3

X+Y+Z=180º + 180º X+Y+Z=360º

β θθ

α

α

β

β βα αθθ

La suma de los ángulos exteriores de un triángulo ( uno por lado) es igual a

360º

Regresar

TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES A TEOREMA DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES A UN LADOUN LADO1. = X + Z = X + Y Por ser ángulos exteriores a un triángulo.

X

Y

Z

α

β

2. Sumamos ambas igualdades:

+ = X + X + Y + Z3. Sabemos que los ángulos interiores suman

180º. Reemplazando

+ = X + 180º

αβ

βα

α β

La suma de los ángulos exteriores ( de un lado ) es igual a 180º más el tercer ángulo no adyacente

Regresar

TEOREMA DEL LADO MAYORTEOREMA DEL LADO MAYOR

1. Observa los ángulos dados, ¿cuál es el mayor por estimación? El ángulo de mayor medida es

A

B

C

α

β

θ3cm

6cm

8cm

α

2. Ahora observa la medida de los lados

compara y dí cuál tiene mayor dimensión?

El lado de mayor medida es BC=8cm.

3. Encuentra la relación entre el lado y el

ángulo mayor.

Al lado mayor le corresponde el ángulo mayor.

Al lado menor le corresponde el ángulo menor

4. Observa el lado menor y el ángulo menor

de todos

Regresar

Corolarios

1. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios

BA

C

θ

Φ

Φ = 90º - θ

θ = 90º - Φθ + Φ = 90º

2. La medida de los ángulos de un triangulo rectángulo isósceles mide 45º cada uno.

B A

C

45º

45º

3. Ningún triangulo puede tener mas de un ángulo recto.

4. Ningún triangulo puede tener mas de un ángulo obtuso.

5. La medida de un ángulo exterior es mayor que cualquiera de las medidas de los ángulos interiores que no le son adyacentes.

B

A

C

y

zΦ

Φ > y

Φ > z

6. A la longitud del menor lado se le opone la medida del menor ángulo interior.

7. Al mayor lado le corresponde la menor altura, mediana, bisectriz.

1. En la f igura calcular 1. En la f igura calcular αα - - ββ ..

α

108º

β

Resolución :Resolución :-Restamos 180º-108º=72º (ángulo exterior).-Restamos 180º-108º=72º (ángulo exterior).

-Utilizamos el teorema de la suma de los ángulos interiores .-Utilizamos el teorema de la suma de los ángulos interiores .ββ +72º + 180º - +72º + 180º - αα = 180º = 180ºββ - - αα = 180º - 180º - 72º = 180º - 180º - 72º

αα - - ββ =72º =72º

PRÁCTICA DIRIGIDAPRÁCTICA DIRIGIDA

2. Calcular “x”.2. Calcular “x”.

54º

x

132º

Resolución:

- Restamos el ángulo exterior con el interior.

180º - 132º = 48º ; 360º-x

-Teorema de la suma de los ángulos interiores.

54º + 180º - 132º + 360º - x = 180º

360º - 78º = x

x = 282º

180º-132º

360º-x

3. Hallar el ángulo que existe entre el lado de un cuadrado y el as próximo de un triangulo equilátero inscrito en dicho cuadrado ambas figuras tienen un vértice en común.

A

B C

D

P

Q

60º

60º

60º

x

x

x + 60º + x = 90º

2x = 30º

x = 30º / 2

x = 15º

Resolución:

D

A

B

C

E β

β

β

X54º α

α

4. Calcular “x” si la medida del ángulo B es igual a la mediad del ángulo ACD, segmento CE es igual a CD.

Resolución:

ΔABE:

54º + β + α =180º …(1)

ΔADC:

x + β + α =180º …(2)

Igualando (1) y (2)

54º + β + α = x + β + α …( eliminamos β + α)

x = 54º

5. Los ángulos exteriores de un triangulo miden (x+20º), (3x+10º), (2x+30º). Calcular “x”.

Resolución:

C

A

B

2x+30º

x+20º

3x+10º

Usamos teorema de los ángulos exteriores

x + 20º + 3x + 10º + 2x + 30º = 360º

6x + 60º = 360º

6x = 300º

x = 50º

DIAPOSITIVAS DELTEMA:

TRIANGULOS:

TEOREMAS

TEORIA PRACTICA

A. Teoremas de los ángulos formados por rectas de un triangulo

1.TEOREMAS DE LAS BISECTRICES INTERIORES

αα

F

α

ββ

A

B

C

x

θ

Hipótesis: segmento AF,CF bisectriz interior

Tesis: x=90º + θ/2

Demostraciones :

1.2α+θ+2β =180º → teorema de ángulos internos

2. α+β+θ/2=90º → sacando la mitad a cada uno.

3. α+β+x=180º → teorema de los ángulos internos

4. α+β=180º-x → transponiendo términos.

5.180º-x+θ/2 =90º → reemplazo 4 en 2.

6. x= 90º+θ/2 → ordenando términos

x= 90º+θ/2

2. Teorema de las bisectr ices exteriores:2. Teorema de las bisectr ices exteriores: - la medida de dos bisectr ices exteriores es igual a 90º menos la - la medida de dos bisectr ices exteriores es igual a 90º menos la

mitad del tercer ángulomitad del tercer ángulo

Φ

x

E

C

F

β

B

A

HIPOTESIS : SEGMENTO BE Y CE BISECTRICES EXTERIORES.

TESIS: X=90º-Φ/2

DEMOSTRACIONES :

1. β=90º-Φ/2 → Por el teorema anterior

2. FBE=FCE=90º → Ángulos formados por bisectrices internos y externos.

3. β+X =180º → Ángulos de lados perpendiculares.

4. 90º+Φ/2+x =180º → Reemplazando 1 en 3.

5. x=90º-Φ/2 → Transponiendo términos .

x=90º-Φ/2

3. TEOREMA DE UNA BISECTRIZ INTERIOR Y UNA BISECTRIZ EXTERIOR :

-La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior, que parten de dos vértices diferentes es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo .

A

B

C

F

E

α

δ

x

Hipótesis :

Segmento AE bisectriz interno

Segmento CE bisectriz externo

Tesis :x= α/2

Demostraciones

1. δ = 90º+α/2 → teorema de las bisectriz interna

2. FCE=90º → por bisectriz externa e interna

3. δ=90º +x → Teorema del ángulo externo Δ FCE

4. 90º+x=90º+α/2 → igualando1 y 3

5. X=α/2 → eliminando 90º

X=α/2

4. Teoremas de dos alturas : :-La medida del ángulo que forman dos alturas es igual al suplemento del tercer -La medida del ángulo que forman dos alturas es igual al suplemento del tercer

ángulo.ángulo.

CA

B

L

Φ

X

DEMOSTRACIONES:

Segmento AE ;CD :altura

Tesis: x= 180º-Φ

DEMOSTRACIONES:

1. X+Φ =180º → Ángulos perpendiculares

2. x=180º-Φ → transponiendo el termino Φ

x=180º-Φ

fin

5.Teorema del cuadri látero no convexo5.Teorema del cuadri látero no convexo-En un cuadrilátero no convexo la medida del ángulo no convexo es igual a la -En un cuadrilátero no convexo la medida del ángulo no convexo es igual a la

suma de la s medidas de los otros tres internos del cuadriláterosuma de la s medidas de los otros tres internos del cuadrilátero

B AE

D

X

C

ψ

β Φ α

HIPOTESIS :

ABCD : CUADRILATERO NO CIONVEXO

TESIS : X= α+β+ψ

6. Teorema de la altura y la bisectr iz interna:6. Teorema de la altura y la bisectr iz interna:- - La medida formada por la altura y una bisectriz interna que parte de un mismo La medida formada por la altura y una bisectriz interna que parte de un mismo

vértice es igual a la diferencia de la medida de los otros dos ángulo.vértice es igual a la diferencia de la medida de los otros dos ángulo.

A

BCΦ

θ

xα

α +x

HD

HIPÓTESIS :

-Segmento BH : ALTURA

-Segmento BD : Bisectriz interna

TESIS :

X = X = ΦΦ – – θθ

2

1. El ángulo que forma bisectriz de la altura relativa a la base 1. El ángulo que forma bisectriz de la altura relativa a la base de un tr iangulo , y la bisectriz interna de uno de los de un tr iangulo , y la bisectriz interna de uno de los ángulos es iguales es 56º . Hallar la medida del ángulo ángulos es iguales es 56º . Hallar la medida del ángulo que forma bisectriz interna de BACque forma bisectriz interna de BAC

PRÁCTICA

RESOLUCION :

56º+90º+α =180º → Suma de ángulos internos

146+ α =180º

α = 180º- 146

α =34º 2 α = 68º Rpta

x=68ºαα 56º

X

A

B

C

2. Las bisectrices internas de los ángulos de un tr iangulo forman un 2. Las bisectrices internas de los ángulos de un tr iangulo forman un ángulo de 100º . Hallar la medida de los ángulos iguales.ángulo de 100º . Hallar la medida de los ángulos iguales.

θ

100º

Resolución :

100º=90º + θ / 2 teorema bisectrices internas

200º = 180º + θ

20º = θ

180º - θ

180º-20º

160º

160º/2 para hallar la medida de X

80º

80º

x

3.En la f igura hallar el valor de “x”3.En la f igura hallar el valor de “x”

α

αθθ

50º

Resolución :

2 θ +2α +50º =180º

2 θ +2α =130º

θ +α=65º

θ +α+X=180º para hallar “x”

65º+x =180º

X=115º

X

115º

4. En un triángulo ABC :el segmento CD es bisectriz del ángulo C ; el segmento BD 4. En un triángulo ABC :el segmento CD es bisectriz del ángulo C ; el segmento BD es perpendicular Al segmento CD . Si la medida del ángulo B =40º y el ángulo es perpendicular Al segmento CD . Si la medida del ángulo B =40º y el ángulo exterior en A es 110º . Hallar el ángulo ABD exterior en A es 110º . Hallar el ángulo ABD

A

C

B

110º

α α

40º

X

RESOLUCION :

Δ ABC:

Angulo A=180º-110º=70º

70º+2α+40º=180º

2α = 70º

α = 35º

Δ Rectángulo CDB :

α +40º + x =90º

x=90º-75º

x=15º

D

triángulos si

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