trianguler

Looking for Challenge小倉拳

@catupper

Looking for Challengeグラフ理論

問題

● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ

問題

● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ● 一つ

問題

● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ● 二つ

問題

● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる● 互いに隣接している3頂点を全て見つけよ● たくさん


列挙

第一の疑問

● 頂点数がN、辺の数がMのグラフが与えられる● 互いに隣接している3頂点を列挙せよ

● 最大で何個くらいあるの？

第一の補題

● 辺の数がMのグラフの中にある三角形の個数はたかだかM√(2M)個

第一の補題


● 証明しよう！● 証明は2通り

1.バリバリのグラフ理論

2.不等式をこねる


列挙

バリバリのグラフ理論

● 命題：辺の数がMのグラフのなかで最も次数が小さい頂点の次数は√(2M)を超えない– 頂点の次数というのはそれに繋がっている辺の数↓

　

　

　

　

　



– 次数の総和は2Mと一致する

　

　

　

　




● 背理法で証明– 全て次数が√(2M)以上と仮定

　

　





– 頂点数は√(2M)を超える

　





– 頂点数は√(2M)を超える

– 次数の総和が2Mを超える


● グラフの中から最も次数が小さい頂点を選び、それを含む三角形を列挙し、その頂点を消すという操作を考える– 隣接する辺も同時に消す

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


● グラフの中から最も次数が小さい頂点を選び、それを含む三角形を列挙し、その頂点を消すという操作を考える– 隣接する辺も同時に消す

● これを全頂点がなくなるまで繰り返す– 全ての三角形を漏れなく、重複なく列挙することが

できる


列挙


● 辺に注目する● ある辺eが消えるタイミングを考える

– その辺がつなぐ頂点のうちどちらかが消えるとき● vとする

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

　　　　　




– そのとき数えられる三角形の中でeを含むものはいくつあるか？

　

　

　　　　　





– eでない辺のうち少なくともひとつはvに隣接する

– よってたかだかeの次数しかない

　　　　　





– eでない辺のうち少なくともひとつはvに隣接する

– よってたかだかeの次数しかない

– 命題1よりたかだか√(2M)　　　　　　　　　　　　　　　


● 例● 赤い辺について考

える● 次数が4の頂点と共

に消えるとする


● 例● 赤い辺について考

える● 次数が4の頂点と共

に消えるとする● この辺と頂点を含

む三角形はたかだか4つ


● 辺は全部でM個なので数えられる三角形はたかだかM√(2M)個

● やったぜ


● 辺は全部でM個なので数えられる三角形はたかだかM√(2M)個

● やったぜ

● 頭が痛くてなってつらい

第一の補題


● 証明しよう！● 証明は2通り

1.バリバリのグラフ理論

2.不等式をこねる

不等式をこねる

● 次数がd[v]の頂点vを含む三角形はたかだかd[v]*d[v]/2個しかない– vに隣接する頂点から2つ選ぶ組み合わせ


● 辺の数がM個のグラフの頂点vを含む三角形はたかだかM個しかない– 頂点vとそれを含まない辺が与えられるとそれらを

つかってたかだか1個しか辺が作れない


● 辺がM個のグラフの次数がd[v]の頂点vを含む三角形の個数はmin(d[v]*d[v]/2, M)個を超えない



● min(d[v]*d[v]/2, M) ≦ √(M*d[v]*d[v]/2)

＝ d[v]√(M/2)



● min(d[v]*d[v]/2, M) ≦ √(M*d[v]*d[v]/2)

＝ d[v]√(M/2)● 全頂点での総和をとる

– 次数の総和は2Mなので

– Σd[v]√(M/2) = M√(2M)



● min(d[v]*d[v]/2, M) ≦ √(M*d[v]*d[v]/2)

＝ d[v]√(M/2)● 全頂点での総和をとる

– 次数の総和は2Mなので

– Σd[v]√(M/2) = M√(2M)

● やったぜ

第一の疑問


● 最大で何個くらいあるの？– M√(2M)個

第二の疑問


● どうやって列挙する？

実装の仕方

● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実際に実装するだけ

　

　

　

　

　

実装の仕方

● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実際に実装するだけ– 次数が最小の頂点を探す

　

　

　

　

実装の仕方


– それを含む三角形を全部列挙

　

　

　

実装の仕方



– その頂点を消す

　

　

実装の仕方




– 繰り返す

　

実装の仕方




– 繰り返す

– やったぜ

実装の仕方

● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実際に実装するだけ– 次数が最小の頂点を探す　　　ならしO(1)

– それを含む三角形を全部列挙　O(d[v]^2 logM)

– その頂点を消す　　　　　ならしO(1)

– 繰り返す

– やったぜ？

実装の仕方

● 「バリバリのグラフ理論」の取り除くやつを実際に実装するだけ– 次数が最小の頂点を探す　　　ならしO(1)

– それを含む三角形を全部列挙　O(d[v]^2 logM)

– その頂点を消す　　　　　ならしO(1)

– 繰り返す

– 全部でO(M√MlogM)で残念ながら遅い

どうすればよいのか?

もっとバリバリのグラフ理論をする

もっとバリバリのグラフ理論

● グラフの辺にループが出来ないように適当な向きを付ける– DAGを作れば良い



● 三角形はすべてこの形になる



● 三角形はすべてこの形になる● ある辺について始点と終点から

同じ頂点に辺が出ている時ちょうど1個三角形がある



● 三角形はすべてこの形になる● ある辺について始点と終点から

同じ頂点に辺が出ている時ちょうど1個三角形がある

● 重複や漏れはない


列挙


● 全ての辺について、その始点からも終点からも点が出ている頂点を数え上げれば良い

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



● ここで計算量を考える● 各辺についてその終点と始点から共通して出て

いる頂点はflagを使って調べれば良い

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　




いる頂点はflagを使って調べれば良い● 計算量はmax(始点の出次数、終点の出次数)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　




いる頂点はflagを使って調べれば良い● 計算量はmax(始点の出次数、終点の出次数)● 出次数をおさえることに成功したら計算量が削

減される


● どうやって出次数を削減しようか？


列挙

ひらめきのLooking for Challenge

● 元の無向グラフの頂点たちの次数を求める● 各辺には次数が小さい方から大きい方に向きを

付ける

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　



付ける● これでDAGになるので先ほどの数え上げが使え

る



付ける● これでDAGになるので先ほどの数え上げが使え

る● 出次数はどうなるだろうか？


● 命題1の証明を思い出す– 次数が√(2M)より大きい頂点は√(2M)個より少ない

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



● 次数が√(2M)より小さい頂点はどんなふうに向きを付けても出次数は√(2M)を超えない

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　




● 次数が√(2M)より大きい頂点は自分より次数が多い頂点にしか辺は出て行かない– √(2M)個もないので出自数は√(2M)を超えない


● どの頂点も出次数が√(2M)を超えない！● さきほどの考察より全計算量はM√2M● これは三角形の個数の最大値と一致するのでお

およそ最適！● やったぜ

Looking for Challenge小倉拳

@catupper

今の発想を使う問題

● Algorithmic Engagements 2009　Round6– Cakes

● http://main.edu.pl/en/archive/pa/2009/cia● 面白いのでやってみてね！

http://main.edu.pl/en/archive/pa/2009/cia

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ご清聴ありがとうございました

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