UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGOFACULTAD DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

CURSO : CURSO : TOPOGRAFIA IITOPOGRAFIA II

DOCENTE : DOCENTE : ING. ING. ANAXIMANDRO VELÁSQUEZ DIAZANAXIMANDRO VELÁSQUEZ DIAZ

ALUMNO : ALUMNO : GUTIERREZ RODRIGUEZ MIGEUL ANGELGUTIERREZ RODRIGUEZ MIGEUL ANGEL

CICLO : IVCICLO : IV

TRUJILLO – PERÚTRUJILLO – PERÚ20072007

TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA, TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA, AGRIMENSURA, VOLUMÉTRICA Y AGRIMENSURA, VOLUMÉTRICA Y

LEVANTAMIENTOS ALTIMETRICOS DE LEVANTAMIENTOS ALTIMETRICOS DE GRAN EXTENSIONGRAN EXTENSION

TRIANGULACION TOPOGRAFICA,

LEVANTAMIENTOS ALTIMETRICOS DE GRAN

EXTENSION,

AGRIMENSURA Y

VOLUMETRIA

PRECISIÓN DE

UNA BASE

La mayor o menor incidencia de errores accidentales o fortuitos en una medición de la menor o mayor precisión de medición.

La estimación de los errores accidentales, en conjunto y que inciden una medición, se realiza por fórmulas obtenidas por probabilidades, presentándose las que interesan a nuestro estudio.

Sean: n1, n2, n3,………nn, los valores de las longitudes medias y calibradas de una base de triangulación, entonces:

VALOR MÁS PROBABLE DE LA BASE:

Para igualdad de condiciones de medición está dado por la fórmula:

n: número de mediciones

n

nnnnM n

........321

ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONALES:

Es la diferencia entre los valores de las mediciones y la medida aritmética, así:

V1 = n1 – M ; V3 = n3 – M V2 = n2 – M ; Vn = nn – M

MEDIA DE LOS ERRORES:

Es la media aritmética de los errores residuales, sin tener en cuenta su signo:

n

vT

ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UNA MEDICIÓN:

Está dado por la expresión:

1

2

n

vn

ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE LA MEDIA ARITMÉTICA:

Está dado por la expresión:

1

2

nn

veM

ERROR MÁXIMO ADMISIBLE: Denominado también error tenible, está dado

por la expresión:

nmáx ee 5.2

ERROR PROBABLE:Se calculará por:

: Error medio cuadrático probable de una base cualquiera

: Error medio cuadrático probable de una media aritmética

mpm ee 6745.0

MpM ee 6745.0

ERROR RELATIVO: Existen diversos criterios en cuanto a la fórmula

específica a utilizar, así:

A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la fórmula usada.

M

ee

M

ee

Me

eMc

e pMr

pmr

Mr

mr ,,,

Ejemplo:

La mediación de una base de triangulación, ha dado las siguientes mediciones corregidas calibradas: 526.178, 526.202, 526.194, 526.170; así como los diferentes tipos de errores accidentales (valores) 8 ensayos

Solución:

Medición Longitud m + vmm - v mm V2 mm2

1 526.178   2 4

2 526.202 22   484

3 526.163   17 289

4 526.194 14   196

5 526.17   10 100

6 526.199 19   631

7 526.169   11 121

8 526.165   15 225

n=6 4,209.44 55 55 1,780

mM 180.5268/440.29,4

mmem 167/780,1

mmemáx 40165.2

Valor máximo aceptable = 526.180 + 0.040 = 526.220 metrosValor mínimo aceptable = 526.180 - 0.040 = 526.220 metros

Dado que los valores de las mediciones se encuentran comprendidos entre los valores máximos y mínimo aceptables, proseguimos con el cálculo, caso contrario debería procederse a la depuración de los valores que no se encuentran en el rango.

t = 110/8 = 14mm

+ 16mm + 11m

= + 6mm

+ 4m

mo pme

56/780,1Mo

pMe

Para los errores relativos tomados:

ERROR REAL

000,30/1:,886.32

1

180.526

016.0tomaráseer

ERROR PROBABLE:

834,471

45/1:tomaráse

526.1800.016

epr

COMPENSACION

POR ECUACION

DE ANGULO

3

12

65

4

43

44

41

42

45

32

76

81

H

FE

DC

BA

1

7

832

G

TRIANGULACION TOPOGRAFICA:

POLIGONO CON PUNTO CENTRAL, TRIANGULO Y CUADRILATERO

ÁNGULOS DEL CUADRILATEROS AB C D

1)45º12’1)45º12’10” 10”

2)37º51’2)37º51’08”08”

3)51º04’3)51º04’06”06”

4)45º52’4)45º52’50”50”

5)36º19’5)36º19’21”21”

6)46º44’6)46º44’05”05”

7)47º50’7)47º50’20”20”

8)49º06’8)49º06’24”24”

ÁNGULOS DEL POLIGONO C D E F (G)

1)33º43’58’’2)36º40’10’’3)49º23’08’’4)41º28’04’’5)55º17’38’’6)56º00’03’’7)42º11’57’’8)45º15’26’’

41)109º36’01’’42)89º08’54’’43)68º42’10’’ 44)92º32’55’’

1)33º43’58’’2)36º40’10’’3)49º23’08’’4)41º28’04’’5)55º17’38’’6)56º00’03’’7)42º11’57’’8)45º15’26’’

41)109º36’01’’42)89º08’54’’43)68º42’10’’ 44)92º32’55’’

ÁNGULOS DEL TRIANGULO E F G

1)62º27’15’’ 2)57º31’42’’

3)60º0’48’’

1)62º27’15’’ 2)57º31’42’’3)60º0’48’’

SEGUNDA Y TERCERA COMPENSACION POR E.A DEL CUADRRILATERO

1) + 45º12’07”

2) 37º51’05” 83º03’125

5) +36º19’18”

6) 46º44’02” 83º03’20” 20-12=8

8/4=2”

3) +51º04’03”

4) 45º52’47” 96º56’50

7) +47º50’17”

8) 49º06’21”

56º56’38”

50-38=12

12/4=3”

1º PASO POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS

41 : 109º35’57” +4” = 109º36’01”

42 : 89º08’50” +4” = 89º08’54”

43 : 68º42’06” +4” = 68º42’10”

44 : 92º32’51” +4” = 92º32’55”

359º59’44” +16” = 360º00’00”

2º PASO : POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS

1) 33º43’58”

2) 36º40’10”

41) 109º36’01”

180º00’09”

3) 49º23’08”

4) 41º28’04”

42) 89º08’54”

180º00’06”

5) 55º17’38”

6) 56º00’03”

43) 68º42’10”

179º59’51”

7) 42º11’57”

8) 45º15’26”

44) 92º32’55”

180º00’18”

C. TOTAL = - 9” C. TOTAL = - 6” C. TOTAL = + 9” C. TOTAL = - 18”

Corrección total en cada Triangulo.

Corrección central primer tanteo.

Compensación primer tanteo.

Correcciones finales por ecuación de ángulos.

T1 - 9” 41) -3” 41) +2” 41) -1” 1: -4” 2: -4”

T2 - 6” 42) -2” 42) +2” 42) 0 3: -3” 4: -3”

T3 +9” 43) +3” 43) +2” 43) +5” 5: +2” 6: +2”

T4 -18” 44) -6” 44) +2” 44) -4” 7: -7” 8: -7”

-8”/4 = -2” +8” 0

3º PASO : POLIGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACION DE ANGULOS

COMPENSACIÓN DE TRIÁNGULOS

Suma de ángulos internos de un triangulo

= 180º

1) 62º27’15” + 5” = 62º27’20”

2) 57º31’42” + 5” = 57º31’47”

3) 60º00’48” + 5 ” = 60º00’53”

179º59’45” 15” = 180º00’00” 15/5 = +5”

COMPENSACION DE

ANGULOS POR

ECUACIONES DE

LADO

Calculo Del Numero De Ecuaciones De Lado

CL = L - 2S + 3

CL : numero de ecuaciones de lado

L : numero de líneas o lados.

S : numero de estaciones o vértices.

Ejemplos

Triangulo

CL = 3 – 6 + 3 = 0

2 1

3

Cuadrilátero : CL = 6 – 8 + 3 = 1

12

5

3

46

7

8Log Sen (1) + Log Sen (3) + Log Sen (5) + Log Sen (7) - Log Sen (2) - Log Sen (4) - Log Sen (6) - Log Sen (8) =0

Polígono con punto central :

CL = 8 – 10 + 3 = 1

1

Log Sen (1) + Log Sen (3) + Log Sen (5) + Log Sen (7) - Log Sen (2) - Log Sen (4) - Log Sen (6) - Log Sen (8) =03

2

54

7

4142

4344

6

8

Para una cadena de triángulos con base de comprobación

A C

BD F

H

GE

b

A6A4

A3

A2

A1 A5B5

B4

B3

B2

B1

B6

C6

C1C5

C4C2

C3

AB = b : Base de la triangulación.

GH = b’ : base de comprobación

Log b + Log Sen (B1) + Log Sen (B2) + Log Sen (B3) + Log Sen (B4) + Log Sen (B5) + Log Sen (B6) - Log b’- Log Sen (A1) - Log Sen (A2) - Log Sen (A3) - Log Sen (A4) - Log Sen (A5) - Log Sen (A6) = 0

A1

C D

23

45

8

76

7

3

2

2 1

1

24

3

43

41

4442

EJEMPLO :

(1) 45°12’09”(2) 37°51’07”(3) 51°04’00”(4) 45°52’44”(5) 36°19’16”(6) 46°44’00”(7) 47°50’20”(8) 49°06’24

ANGULOS COMPENSADOS DEL CUADRILATERO ABCD

G

(1) 33º43’54”(2) 36º40’06”(41) 109º36’00”(3) 49º23’03”(4) 41º28’01”(42) 89º08’54”(5) 55º17’40”(6) 56º00’05”(43) 68º42’15”(7) 42º11’50”(8) 45º15’19”

ANGULOS COMPENSADOS DEL POLIGONO

CDEF (G)

E

H

F

B

Compensación por ecuación de lado

1° .- Se trabaja con los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulos se calcula los valores de los Logaritmos Senos de los ángulos, obteniéndose luego la suma de ellos, de acuerdo a la condición de lado.

2° .- Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada.

3° .- Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno l” para los valores de los angulos.

4° .- La ecuación se obtiene por división del valor de la diferencia de las sumas Logaritmos Seno, entre el valor de la suma de las diferencias tabulares; siendo positiva para los ángulos cuya suma de logaritmos seno fue menor y siendo negativa para los ángulos cuya suma de logaritmos fue mayor.

1° Calculamos los valores de Logaritmos Senos :

1: Log sen (45°12’09”) = -0.148985 -0.148985 + 1 = 1.851014 2 :Log sen (37°51’07”) = -0.212098 -0.212098 + 1 = 1.7879023 :Log sen (51°04’00”) = -0.109089 -0.109089 + 1 = 1.890911

2° Luego se calcula la diferencia de valores de la suma de Log Sen (-) – Log Sen (+) = 1.384663- 1.384445

= 218 (unidades del 6° orden décimo)

Del cuadrilátero ABCDDel cuadrilátero ABCD

3° Calculamos la diferencia tabular (D’) analizamos el ángulo (1)Log sen (45°13’09”) = 1. 851140Log sen (45°12’09”) = 1. 851015 125 /60 = 2.08 4° Calculamos la corrección :La obtenemos dividiendo la diferencia de las

sumas de los Log Senos entre la suma de las diferencias tabulares

= 218 /17.08= 12.8”, pero redondeamos a 13”.

Ejemplo: Del cuadrilátero ABCD

(1) 45°12’09” 1. 851014 2.08 +13” 45°12’22”

(2) 37°51’07” 1.787902 2.70 -13” 37°50’54”

(3) 51°04’00” 1.890911 1.70 +13” 51°04’13”

(4) 45°52’44” 1.856046 2.03 -13” 45°52’31”

(5) 36°19’16” 1.772549 2.87 +13” 36°19’29”

(6) 46°44’00” 1.862234 1.98 -13” 46°43’47”

(7) 47°50’20” 1.869971 1.90 +13” 47°50’33”

(8) 49°06’24” 1.878481 1.82 -13” 49°06’11”

Ángulos Valor

LOGARITMOS SENOS

+ -D ‘ C IV

ANGULOS COMPENSADOS

SUMAS 360° 00’00” 1.384445 1.384663 17.08 0” 360°00’00”

1° paso : 1: Log sen (33º43’54”)= -0.255469 -0.255469 + 1 = 1.744531 2 :Log sen (36º40’06”) = -0.223893 -0.223893+ 1 = 1.776107

2° paso :

Tomamos los 4 últimos dígitos: 7080-6913=167

3° paso :diferencia tabular

1: Log sen (33º44’54”)= -0.255280 + 1 = 1.744720 Log sen (33º43’54”)= -0.255469 + 1 = 1.744531 189/60 = 3.154° paso : la corrección : 167 / 17.45 = 9.87” =10”

Del Polígono CDEF (G)Del Polígono CDEF (G)

Ejemplo: Del Polígono CDEF (G)

+ -

(1) 33º43’54” 1.744531 3.15 +10” 33º44’04”

(2) 36º40’06” 1.776107 2.82 -10” 36º39’54”

(41) 109º36’00” 109º36’00”

(3) 49º23’03” 1.880298 1.80 +10” 49º23'15”

(4) 41º28’01” 1.820981 2.38 -10” 41º27’51”

(42) 89º08’54” 89º08’54”

(5) 55º17’40” 1.914919 1.47 +10” 55º17’50”

(6) 56º00’05” 1.918581 1.42 -10” 55º59’55”

(43) 68º42’15” 68º42’15”

(7) 42º11’50” 1.827165 2.33 +10” 42º12’00”

(8) 45º15’19” 1.851411 2.08 -10” 45º15’09”

SUMAS 1.366913 1.367080 17.45 360°00’00”

ANGULOS VALOR

LOGARITMOS SENOS D ‘ CORR.ANGULOS COMPENSADOS

RESISTENCIA O

CONSISTENCIA DE FIGURAS

Es el parámetro que valora la bondad de precisión de las figuras de una triangulación este coeficiente denominado Resistencia De Figura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la figura es de mejor precisión.

La fórmula para calcular la resistencia de figura es:

)( 22BBAA dddd

D

CDR

RESISTENCIA DE FIGURAS

En donde: R : Resistencia de Figura.

D : Numero de nuevas direcciones observadas en la figura o red.

D=(Nªlados-1).2C : Numero total de ecuaciones de condición ( C = CA + CL ) CA = ECUACIONES DE ANGULO (CA= n – L + 1) CL = ECUACIONES DE LADO (CL= L – 2S + 3)dA : Diferencia tabular del logaritmo seno 1“ del ángulo opuesto al lado conocido, expresada en unidades del 6º orden decimal.dB : Diferencia tabular del logaritmo seno 1º del ángulo opuesto al lado por calcular, expresada en unidades del 6º orden decimal.

El factor : , sirve además para realizar la selección del mejor camino de calculo de la triangulación, tomándose aquel cuyo valor es menor.

)( 22BBAA dddd

VALORES MAXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE FIGURAS

DESCRIPCION 1º ORDEN 2º ORDEN 3º ORDEN

Figura simple independienteDeseableMáximoRed entre basesDeseablemáximo

152580

110

2540

100130

2550

125175

Continuando con el ejemplo antes mencionadoPara la Triangulación del ejemplo, llevar a cabo evaluación de la resistencia de figura.Datos:TENIENDO EN CUENTA QUE ESTOS ANGULOS ESTAN COMPENSADOS POR ECUACION DE ANGULO Y DE LADOÁngulos compensados del triángulo EFH

(1)= 62º27’20 ”(2)= 57º31’47”(3)= 60º00’53”Ángulos compensados del polígono CDEF(G)

(1)= 33º44’03”(2)= 36º39’57”(3)= 49º13’14”(4)= 41º27’52”(5)= 55º17’48”(6)= 56º59’56”(7)= 42º11’59”(8)= 45º15’10”(41)= 109º36’00”(42)= 89º08’54”(43)=68º42’15”(44)=92º32’51”Ángulos compensados del cuadrilátero ABCD

(1)= 45º12’22”(2)= 37º50’54”(3)= 51º04’13”(4)= 45º52’31”(5)= 36º19’29”(6)= 46º43’47”(7)= 47º50’33”(8)= 49º06’11”

3

12

65

4

43

44

41

42

45

32

76

81

H

FE

DC

BA

1

7

832

G

Solución : A) Cálculo del Factor:

Cuadrilátero:D= 5 x 2 = 10C = 3 + 1 = 4

Polígono:D = 7 x 2 = 14C = 5 + 1 = 6

Triángulo:D = 2 x 2 = 4C = 1 + 0 = 1

Triangulación Total:D = 14 x 2 = 28C = 4 + 6 + 1 = 11

75.0D

CD

D

CD

61.0D

CD

60.0D

CD

57.0D

CD

B) Calculo del Factor:

Cuadrilátero: En todo cuadrilátero con dos diagonales, existe la posibilidad de ejecutar el cálculo de los lados mediante cuatro caminos de calculo, siendo éstos:

)( 22BBAA dddd

CUADRILATERO

21.7

03.3)82.1()82.117.0()17.0(

)(

18.4)03.0()03.003.2()03.2(

)(

22

2'06º49'06º49'34º94

2'34º94

22

2'55º88'55º88'53º45

2'53º45

x

dddd

x

dddd

8

4

3+2

6+7

A

D

B

C

Camino I

8

3.03

7.21

4.18

71.7

36.4)70.1()70.128.0()28.0(

)(

35.3)15.0()15.090.1()90.1(

)(

22

2'04º51'04º51'12º82

2'12º82

22

2'19º94'19º94'51º47

2'51º47

x

dddd

x

dddd

3

1+8

4+5

A

D

B

C

7

Camino II

3.44

6.79

3.35

83.23

18.10)70.1()70.198.1()98.1(

)(

65.12)08.2()08.203.2()03.2(

)(

22

2'04º51'04º51'44º46

2'44º46

22

2'12º45'12º45'53º45

2'53º45

x

dddd

x

dddd

Camino III

A B

C D

1

46

3

10.18

23.83

12.65

80.32

77.16)82.1()82.187.2()87.2(

)(

03.16)70.2()70.290.1()90.1(

)(

22

2'06º49'06º49'19º36

2'19º36

22

2'51º37'51º37'51º47

2'51º47

x

dddd

x

dddd

En consecuencia el mejor camino de cálculo en el cuadrilátero ABCD, será el camino I.El camino IV, es el camino mas desfavorable para el cálculo de los lados.

Camino IV

A B

C D

2

57

8

16.77

32.80

16.03

Polígono: En todo polígono con punto central existe la posibilidad de calculo por dos caminos, en uno y otro sentido respecto del vértice central, para nuestro caso procedemos así:

16.25

85.3)42.1()42.182.0()82.0(

)(

19.13)38.2()38.280.1()80.1(

)(

12.8)15.3()15.375.0()75.0(

)(

22

2'00º56'00º56'42º68

2'42º68

22

2'28º41'28º41'23º49

2'23º49

22

2'44º33'44º33'36º109

2'36º109

x

dddd

x

dddd

x

ddddF

DC

E

G

1

41

3

4 43

6

Camino I

POLIGONO CON PUNTO CENTRAL

04.25

04.4)82.0()82.047.1()47.1(

)(

60.14)08.2()08.233.2()33.2(

)(

40.6)82.2()82.275.0()75.0(

)(

22

2'42º68'42º68'18º55

2'18º55

22

2'15º45'15º45'12º42

2'12º42

22

2'40º36'40º36'36º109

2'36º109

x

dddd

x

dddd

x

dddd

En conclusión el camino II, es el mejor camino de cálculo, aunque el camino I podría ser tomado como camino de cálculo ya que los valores no difieren sustancialmente en nada.

D

F

C

E

G

43

7

8412

5

Camino II

Triangulo: Tenemos dos caminos

04.4)22.1()22.110.1()10.1(

)(22

2'01º60'01º60'27º62

2'27º62

x

dddd

88.4)33.1()33.122.1()22.1(

)(22

2'32º57'32º57'01º60

2'01º60

x

dddd

El mejor camino es el I.

3 1

1

3

E

H

F

3 2

3

2

H

FE

Camino I

Camino II

TRIANGULACIÓN TOTAL: SE REALIZA MEDIANTE LOS SIGUIENTES CÁLCULOS:

29.3604.404.2521.7)( 22 mínimoBBAA dddd

84.6288.416.2580.32)( 22 máximoBBAA dddd

35.87

62.84

En conclusión los valores mínimos y máximos de la resistencia de figuras, es:Cuadrilátero ABCD:

Rmínimo = 0.60 x 7.21 = 4.1Rmáximo = 0.60 x 32.80 = 19.7

Polígono CDEF(G): Rmínimo = 0.57 x 25.04 = 14.3 Rmáximo = 0.57 x 25.16 = 14.3

Triangulo EFH: Rmínimo = 0.75 x 4.04 = 3.0 Rmáximo = 0.75 x 4.88 = 3.7

Triangulación Total: Rmínimo = 0.61 x 36.29 = 21.9 Rmáximo = 0.61 x 62.84 = 38.3

El mejor camino de calculo es: AB, BC, CD, DG, GF, FE, EH

.

 

ZAB = 103°20’14’’→ RAB = S 76°39’46’’ EZAB = 103°20’14’’− → RAB = S 76°39’46’’ E(2)= 37°50’54’’ZAD = 65°29’20’’+ → RAD = N 65°29’20’’ E 180°00’00’’ 245°29’20’’+(6) = 46°43’47’’ZDC =292°13’07’’+ → RDC = N 67°46’53’’ O(1)= 46°43’47’’ZDG = 338°56’54’’− → RDG = N 24°03’06’’ O 180°00’00’’ 158°56’54’’

ZDG = 145°57’10’’− → RDG = N 34°02’50’’ O(44) = 92°32’51’’ZGF = 66°24’03’’ + → RGF = N 63°24’03’’ E 180°00’00’’ 246°24’03’’+(6) = 46°43’47’’ZFE = 293°07’50’’− → RFE = N 66°52’10’’ O 180°00’00’’ 113°07’50’’−(2) = 57°31’47’’ZEH = 55°36’03’’ → REH = N 55°36’03’’ E 

AB=356.503

006.376)12’00’’sen8204’13’’sen51

(878.478 DC

878.478)50’33’’sen4718’33’’sen94

(503.356 AD

339.238)12’00’’sen8239’56’’sen36

(006.376 DG

655.285)17’50’’sen5542’50’’sen68

(036.252 FE

036.252)11’50’’sen4215’29’’sen45

(339.238 GF

415.292)00’53’’sen6027’20’’sen62

(655.285 GH

Se realiza:Px = lado * sen R

Se realiza:Px = lado * sen R

Py = lado * cos R

180 ≤ z ≤ 270

R = z – 180

–

Lado Long. Rumbo Lado Px Py

AB 356.503 S 76°39’46’’ E + 346.888 - 82.239

AD 479.555 N 65°29’20’’ E + 436.338 + 198.953

DC 376.538 N 67°46’53’’ O - 348.579 + 142.385

DG 238.678 N 21°03’06’’ O - 85.735 + 222.748

GF 252.359 N 63°24’03’’ E + 225.650 + 112.993

FE 285.992 N 66°52’10’’ O - 263.002 + 112.346

EH 292.766 N 55°36’03’’ E + 241.568 + 165.400

Vértice Abscisas Coordenadas

A 8134.601+346.888

7267.924-82.239

BA

8481.4898134.601+

436.338

7185.6857267.924+

198.953

D 8570.939-348.579

7466.877+142.385

CD

8222.3608570.939-

85.276

7609.2627466.877+

222.748

G 8485.663+225.650

7689.825+112.993

F 8711.313-263.002

7802.618+112.346

E 8448.311+241.568

7914.964+164.400

# 8689.879 8080.364

Levantamiento Altimétrico de Terrenos

de Gran Extensión

“Redes de Circuito de Nivelación”

Generalidades

El control de la medida de la altura (cotas) de los vértices de una red de apoyo de levantamiento topográfico se realiza por medio de las denominadas “redes de apoyo altimétrico” y que son ejecutadas por la medición de circuitos de nivelación.

Para obtener una red de apoyo altimétrico muchas veces tiene que plantearse varios circuitos cerrados de nivelación y en los que uno o mas tramos nivelados de un circuito lo son también de los circuitos adyacentes, teniéndose en este caso una red de circuitos de nivelación

Circuitos de Nivelación Se define como a nivelación que

partiendo de un punto de cota conocida, llega a otro punto también de cota conocida o vuelve el mismo punto del que partió

Puede realizarse por: Nivelación Geométrica Compuesta Nivelación Trigonometrica

Medición de los Desniveles

En Nivelación geométrica compuesta

Se había reconocido tener longitudes de vista atrás o vista adelante aproximadamente igual de no ser así deberá corregirse por efecto de curvatura terrestre o refracción atmosférica

Formula

Cn: -0.068 * D2 k

* Donde: Cn : Corrección en la Lectura de la Visual por

Defecto de la Curvatura Terrestre y Fracción Atmosférica en Metros.

Dk : Distancia del Instrumento a la Mira en Km.

En Nivelación Trigonometrica (con teodolito, con aprox. Al segundo)

La diferencia de nivel entre estaciones esta dada por:

Formula

N = D Cotg. V ± 0.068D2k

* Donde:

N : Diferencia de Nivel entre Estaciones

D : Distancia Horizontal entre Estaciones

V : Angulo Vertical entre Estaciones

Dx : Distancia Horizontal entre Estaciones en Km.

* Signo:(+) Si el Angulo Vertical es menos que 90º(-)Si el Angulo Vertical es mayor que 90º

Para el Angulo Vertical El valor del ángulo vertical, en caso que las alturas de las

señales visadas y la del instrumento no sean iguales debe ser corregido por

S – iV” =

0.00000485 D

* Donde

V” : Corrección del Angulo Vertical en Segundos

S : Altura de la Señal a la que se hizo la Visual

I : Altura del Instrumento

D : Distancia Horizontal entre Estaciones

Compensación de Circuitos de Nivelación

Es aquel que termina en un mismo punto.

Ejemplo: Calcular el valor más probable de la cota del punto P, habiendo realizado las cotas de las nivelaciones de las rutas a, b, c, si los valores son:

Compensación de Circuitos Cerrados en Nivelación

Existen 2 Métodos:

Método de Inspección Método de Aproximaciones Sucesivas

Compensación de una Red de Nivelación por el Método de Inspección

Es el método más práctico y rápido para compensar redes de circuitos de nivelación y proporciona resultados adecuados y útiles para los objetivos de una nivelación tipográfica. Si bien no tiene todo el rigor matemático de compensación, es un método de sentido común y que se basa en el criterio general de compensación de circuitos de nivelación.

Ejemplo: Del Siguiente Circuito De

Nivelación, Calcule las cotas compensada por el método de inspección.

Tramo nivelado longitud

AB 300

BC 400

CA 650

AD 200

DC 480

itinerarios tramo longitud factor de correccion % desniveles

AB 300 42.9 fijo :+4.500

ABC BC 400 57.1 medido:+4.533

total 300 100 corr.total:-0.033

CA CA 650 100 fijo:4.500 medido:-4.501

total 650 100 corr.total:+0.001

AD 200 29.4 fijo:+4.500

ADC DC 480 70.6 medido:4.501

total 680 100 corr.total:-0.001

itinerarios vértice cota desnivel

corrección

desnivel corregido cota compensada

total parcial

A 100

-0.033

100

ABC B 2.344 0.429 -0.014 2.33 102.33

C 104.5 2.189 0.571 -0.019 2.17 104.5

DCA C 104.5 0.001 104.5

A 100 -4.503 1 0.003 -4.5 100

A 100

-0.001

100

ADC D 3.201 0.294 0 3.201 103.201

C 104.5 1.3 0.706 -0.001 1.299 104.5

AGRIMENSURA

DEF.- Es la técnica para la medición de tierras, no tan solo en la determinación cuantitativa, sino también, en cuanto a su forma, superficie, líneas de división etc.

Descomposición en figuras parciales Es decir; el areado por descomposición del área total

en figuras parciales: Que pueden ser: Triángulos Cuadriláteros Rectángulos Trapecio Cuadrado Sector del circulo Sector parabólico y/o elíptico etc. Según como pueda

dividirse la superficie total.

SI ES UN POLÍGONO:

La figura se dividirá en triángulos.

SI ES DE PERÍMETRO IRREGULAR:

Si la superficie tiene perímetro irregular (segmentos de rectas y/o curvas); tome una recta que atraviese la superficie y baje perpendiculares desde los vértices.

S1: Área de un sector parabólico.S2: Área superficie irregular con ordenadas a intervalos iguales.S3: Área de un rectángulo.S4: Área de un trapecio.S5: Área de un trapecio.

S6

S5

S4

S3

S1

S2

Recomendaciones generales: Toda vez que sea posible, divida la superficie

total en el menor número de figuras parciales.

En algunos casos se debe completar figuras, las cuales se deben descontarse en el cálculo analítico.

Cuando se tenga que medir ángulos, se recomienda calcular el ángulo por relaciones matemáticas.

AREADO POR DESCOMPOSICIÓN DEL AREA TOTAL EN FIGURAS PARCIALES

Como su nombre lo indica, el método consiste en dividir el área

total en figuras parciales y que correspondan a: triángulos,

cuadriláteros, rectángulos, cuadrados, trapecios, sectores de

círculos, sectores parabólicos y/o elípticos, etc. Según como

pueden dividirse la superficie total. El valor del área o superficie

total será la suma algebraica de todos los valores de las

superficies parciales.

El método de descomposición generalmente es empleado

cuando la superficie total tiene la forma poligonal o el perímetro

de ella es de forma irregular. En la aplicación de este método,

es aconsejable tener en cuenta las siguientes consideraciones:

- Si la superficie total es un polígono, divídala en

rectángulos, fig. a.- Si la superficie total tiene perímetro irregular (segmentos

de rectas y/o curvas), tener una recta que atraviese las

superficie y baje perpendiculares desde los vértices, a la

recta trazada, fig b.- Tal vez que sea posible, divida la superficie total en el

menor número de figuras parciales.- Toda vez que sea posible tome los segmentos mayores

para el cálculo de áreas.- En algunos casos es conveniente completar figuras, lo cual

debe descontarse en el cálculo matemático.- Cuando se tenga que medir ángulos, no es aconsejablela

medición con transportador, sino calcular el ángulo por

relaciones matemáticas.

S1

S2

S4

S3

FIGURA a.

ni

1ipSS

S : Superficie total

Sp : Superficie parciales

(en este caso triángulos)

ni

1ipSS

S1: Area de un sector circular

S2: Area de un triángulo

S3: Area superficie irregular con ordenadas a intervalos iguales.

S4: Area de rectángulo – Area de un sector parabólico.}

S5: Area de un trapecio

S6: Area de un trapecio

FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS ELEMENTALES:

Triángulo

)(21

))()((

2.

2.

S

cbap

cpbpapp

Senbahb

Cuadrado

2S

22 da

Rectangulo

φSen2d

b.tS2

AREADO POR ORDENADAS A INTERVALOS IGUALES

Fracuentemente la forma de superficie cuya area se desea

calcular tiene uno o mas de sus lados perimetrales de la forma

de una línea irregular o de segmentos de curvas con inflexiones

en uno y otro sentido; en estos casos es adecuado trazar una

linea recta de referencia al interior o al exterior de la figura total

(según convenga), para luego tomar perpendiculares a

intervalos (espacios) iguales hacia la línea irregular. El área

limitada por la línea de referencia, las ordenadas extremas y la

línea irregular, pueden ser calculadas siguiendo los siguientes

métodos:

- Regla de trapecio, y

- Regla de Simpson.

Regla del Trapecio o Regla de Bezout:

Este metodo considera que los segmentos de la línea irregular

que cortan las ordenadas, son segmentos de rectas

obteniendose por consiguiente una serie de trapecios unos tras

de otros. Este método se aplica inidistintamente si el número de

ordenadas es par o impar. Sea la figura:

h1

h2

h3 h

4h

5 hn-1

hn

d d d d d d d

Línea irregular

La regla del trapecio o regla de Bezout se expresa:

“El valor de la superficie total, es igual al producto del valor de

intervalo constante por la suma de la media de las ordenadas

extremas mas las ordenadas intermedias”

Regla de Simpson:

Este método considera que los segmentos de la línea irregular

que cortan las ordenadas, son segmentos de parábolas. Este

método se aplica directamente cuando el número de ordenadas

es impra y se desea tener el valor más aproximado de la

superficie ya que da resultados más exactos que el método del

trapecio. La regla de Simpson se expresa:

“El valor de la superficie es igual al tercio de la

multiplicación del valor del intervalo constante por la

suma de las ordenadas extremas con el doble de la

suma de las ordenadas impares y el cuadruple de la

suma de las ordenadas pares”

Ejercicio:

Calcular el valor de la superficie de la figura:

cuadradasunidades3,147.63S

u851.702

25.566.8S

u812.522

22.673.2S

u424.562

11.673.2S

u555.752

19.058.5S

u503.102

17.258.5S

25

24

23

22

21

Solución:

SUPERF VALORES PARA EL CALCULO AREA u2

S1 1/2 (72.4 X 71.8) 2599.16

S2 1/2 (48) (96.1 + 77.2) 4159.20

S3 3.1416 X 522 X 69.5° X 1/360° 1639.98

S4 1/3 (20) (250.0 + 1002.8 + 2491.6) 24966.00

S5 1/3 (41.0 X 66.7) 911.57

S6 1/2 (120.9) (41.0 + 108.0) 9007.05

S7 1/2 (132.8) (48.2 + 108.0) 10371.68

Superficie Total: S = 53654.64

Por el método de la Ruta N- Este – Sur Este

2.4606.215

1.1624.355

6.2005.700

8.5642.810

7.7434.530

1.6853.270

2.4606.215

Se tiene las siguientes coordenadas N y E en forma de fracción

Establezca la forma analítica cuando usted tiene las

coordenadas de 6 puntos

Método simple para calcular el área de un terreno

Ruta Nor Este: Ruta Sur Este:

460.2 x 270.3 = 124392.06 215.6 x 685.1 = 147707.56

685.1 x 530.4 = 363377.04 270.3 x 743.7 = 201022.11

743.7 x 810.2 = 602549.74 530.4 x 564.8 = 299569.92

564.8 x 700.5 = 395642.40 810.2 x 200.6 = 162526.12

200.6 x 355.4 = 71293.24 700.5 x 162.1 = 113551.05

162.1 x 215.6 = 34948.76 355.4 x 460.2 = 163555.08

Suma = 1592199.24 m2 Suma = 1087931.84 m2

2m252133.7021087931.84-1592199.24

S

AREADO POR MEDIO DEL PAPEL MILIMETRADO Y EL

COMPASEste método es una variación del método de descomposición

del área total en figuras parciales y que en este caso, dado que

la figura, al encontrarse dibujada en papel milimetrado, ya está

dividida en una serie de trapecios (muchas veces triangulos en

los extremos), entonces puede aplicarse la regla de Bezout para

el cálculo del área. En consecuencia en la figura:

ni

1iiSS

Pero: Si = Base x Mediana

= (a) x (m)

En consecuencia:

ni

1iimaS

El valor de la sumatoria de las medianas se obtiene con la ayuda del compás de puntas secas, por aberturas sucesivas al ir sumando los segmentos representativos de las medianas. Muchas veces las figuras parciales de los extremos no llegan a tener la altura igual al valor: “a”, en estos casos se calcula por separado estas áreas, para luego agregarse al valor encontrado por la multiplicación de: a Σ mi

AREADO POR MEDIO DEL PLANTIMETROEl plantímetro polar es un instrumento que consta basicamente de:- Un polo (que se ubica fijo) unido por un brazo a la rueda de la caja integradora.- Una rueda integradora.- Una punta que debe recorrer todo el perímetro de la figura por arear, unida a la caja de la rueda integradora por un brazo diferente al del polo.

- Un vernier de lectura para las unidades integradas.

Para determinar el área de superficie por medio del planímetro

polar puede optarse por disponer el polo dentro o fuera de la

superficie. La fórmula específica para determinar el area

cuando el polo del planímetro se encuentra fuera del área es:

S = K (Lectura final – Lectura inicial)

En donde:

S = Superficie areada

K = Constante del planímetro, para una longitud del brazo

del polo y para una escala específica del plano.

- Compruebe que la constante K, es la correcta.- Ejecute todo el trabajo sobre una superficie totalmente

horizontal.- En ningún instante la rueda integradora debe salir de la

lámina que conviene la superficie por arear, ya que los

golpes en los bordes pueden hacer saltar las lecturas.- Asegúrese que el polo del planímetro permanece totalmente

fijo durante el areado.- Si la superficie es muy grande, dividala en áreas parciales.- Asegúrese que las lecturas son las correctas.- Es aconsejable que para cada areado se ejecute cuando

menos cuatro operaciones de determinación del area,

obteniéndose luego el promedio de ellas.

Entre las recomendaciones que debe tenerse presente para un buen trabajo con el planímetro, se cita:

- Con la punta trazadora, recorra con mano firme todo el

perímetro de la superficie, habiendo marcado previamente el

inicio del recorrido.

El uso del planímetro es ampliamente ventajoso cuando la

superficie tiene perímetros totalemente irregular, asimismo

cuando tiene segmentos de rectas.

VOLUMETRIA

Otros de los muchos fines, a que se puede destinar un plano a curvas de nivel es para la determinación del volúmen contenido entre las curvas, el caso mas patético es el de volúmenes de embalse, asimismo cuando se tiene las secciones transversales o través de un eje longitudinal también es posible encontrar el volúmen que contendrían dicahs secciones como es el caso de secciones de canales o carreteras.

VOLÚMENES DE EMBALSE

Entre los métodos para determinar el volúmen contenido

entre dos curvas de nivel consecutivas y que se cierran, se

tiene: la fórmula de la superficie terminal y la fórmula del

prismatoide.

Fórmula de la Superficie terminal:

El volumen contenido entre dos curvas de nivel consecutivas y

separadas por la distancia vertical: “h”, es:

2

SShV 21

21

S1, S2 : áreas encerradas por las curvas de nivel.

En el caso de tener que determinar el volúmen contenido entre

varias curvas de nivel y que todas ellas se encuentren

separadas a una misma distancia vertical: “h”, la fórmula será:

1n432

n1 S.........SSS2

SShV

Fórmula del Prismatoide:

Este método brinda mejores resultados que le método anterior,

ya que no supone que la variación del relieve del terreno entre

dos curvas de nivel consecutiva es lineal sino que este varía

como un prismatoide.

La fórmula es:

221121 SSSS3h

V

Para el cálculo del volúmen comprendido entre varias curvas

de nivel separadas la distancia vertical “h” constante, la

fórmula se transforma en:

n1n433221

1n432n1

SS...........SSSSSS

S.............SS2(SSS3h

V

Ejercicios:

Determinar el volumen contenido por el siguiente cuerpo de

agua:

Curva de nivel Superficie Observaciones

2126.4 m.s.n.m. 13580 Fondo de cuerpo2128.0 19990  

2130.0 31820  

2132.0 44900  

2134.0 50250  

2136.0 62660  

2138.0 74480  

2140.0 88230  

2142.0 108430  

2144.0 134510  

2145.0 161420 Espejo del agua

Solución:

El volumen total, para efectos del cálulo, se considerará que

está dado por la suma de tres (3) volúmenes parciales

comprendidos entre las curvas de nivel: 2126.4 y 2128.0 (V1) ,

2128.0 y 2144.0 : (V2) y el comprendido entre 2144.0 y 2145.3

para (V3).

a) Por la fórmula de la superficie terminal:

V1 = 1.6 (13580 + 19990) / 2 = 26856 u3

V2 :Curva Superficie Coeficient

eProducto

2128 19990 1/2 9995

2130 31820 1 31820

2132 44900 1 44900

2134 50250 1 50250

2136 62660 1 62660

2138 74480 1 74480

2140 88230 1 88230

2142 108430 1 108430

2144 134510 1/2 67255

Suma = 538020 xAltura (h) = 2Volúmen V2 = 1076040 m3

V3 = 1.3 (134510 + 161420) / 2 = 192354.5 m3

En consecuencia el volúmen total será:

V = 26856 + 1076040 + 192354.5 = 1295250.5 m3

b) Por la fórmula del prismatoide se tiene:

31 u26691.319990013580x199913580

31.9

V

V2 : Curva Superficie Coeficiente

Producto

2128 19990 25220.6 1 19990

2130 31820 37798.3 2 63640

2132 44900 47499.7 2 89800

2134 50250 56112.9 2 100500

2136 62660 68314.8 2 125320

2138 74480 81064.0 2 148960

2140 88230 97809.9 2 176460

2142 108430 120768.0 2 216860

2144 134510   1 134510

21SS

Sumas: 534588.2 1076.040 + 534588.2 1610628.2

33

3

m8.19208816142016142013451013451033.1

m1.10737522.161062832

V2

xV

Volúmen total:

26691.3 + 1073752.1 + 192088.8 = 1292532.2 m3

VOLUMENES POR SECCIONES TRANSVERSALES

La determinación del volúmen de corte y/o relleno en los trabajos de explanación de una carretera es posible calcularlos si se tiene las secciones transversales de los puntos de estacado, los casos que se presentan.

21C CC2D

V

AMBOS PERFILES EN

CORTE COMPLETO AMBOS PERFILES EN

RELLENO COMPLETO

21R RR2D

V

AMBOS PERFILES A MEDIA

LADERA CON

CORRESPONDENCIA DE AREAS

21R

21C

RR2D

V

CC2D

V

UNO DE LOS PERFILES EN

CORTE COMPLETO Y EL OTRO

EN RELLENO COMPLETO

RCR

2D

V

RCC

2D

V

2

R

2

C

Como se podrá observar, las fórmulas anteriormente indicadas

tienen su fundamento en la fórmula de la superficie terminal ( o

área media) y que suficiente aproximación para la precisión

requerida en los trabajos de exploraciones de carreteras o

canales.

Objetivos Específicos de la Topografía

1)Planos planta

2)Plano Altimetría

3)Agrimensura

4)Volúmenes de tierra o agua

5)Sub-divisiones

GRACIAS