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Triangles : Exercise 7.2 (Mathematics NCERT Class9th)

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Q.1     In an isosceles triangle ABC, with AB = AC, the bisectors of intersect each other at O. Join A to O. Show that :               (i) OB = OC               (ii) AO bisects  .Sol.

(i) In   ABC, we have AB = AC   [Since angles opposite to equal sides are equal]

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/102.png)     

[Since OB and OC bisect   B and C respectively. Therefore ]

 OB = OC [Since sides opp. to equal   are equal](ii) Now, in   ABO and ACO , we have AB = AC [Given]

 [From (1)]OB = OC [From (2)]Therefore By SAS criterion of congruence, we have 

 [Since corresponding parts of congruent triangles are equal] AO bisects  .

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Q.2      In   ABC, AD is the perpendicular bisector of BC (see figure). Show that ABC is an isosceles triangle in which AB = AC.

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/92.png)Sol.

In   ABD and ACD, we have DB = DC [Given]

 [since AD   BC]AD = AD [Common]Therefore by SAS criterion of congruence, we have.

∠B and ∠C

∠A

Δ

⇒ ∠C = ∠B

⇒ ∠B = ∠C12

12

⇒ ∠OBC = ∠OCB

∠s

∠OBC = ∠B and ∠OCB = ∠C12

12

⇒ ∠s

Δs

∠OBC = ∠OCB

ΔABO ≅Δ ACO

⇒ ∠BAO = ∠CAO

⇒ ∠A

Δ Δ

Δs

∠ADB = ∠ADC ⊥

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/113.png) AB = AC

[Since corresponding parts of congruent triangles are equal]Hence,   ABC is isosceles.

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Q.3      ABC is an isosceles triangle in which altitudes BE and CF are drawn to sides ACand AB respectively (see figure). Show that these altitudes are equal.

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/123.png)Sol.

In   ABE and ACF, we have  [Since Each = 90º] [Common]

and BE = CF [Given]Therefore By AAS criterion of congruence, we have 

 AB = AC [Since Corresponding parts of congruent triangles are equal]Hence,   ABC is isosceles.

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Q.4      ABC is a triangle in which altitudes BE and CF to sides AC and AB are equal(see figure). Show that             (i)                                   (ii) AB = AC , i.e., ABC is an isosceles triangle.

Δ ABD ≅ΔACD

⇒

Δ

Δs

∠AEB = ∠AFC

∠BAE = ∠CAF

Δ ABE ≅ Δ ACF

⇒

Δ

Δ ABE ≅ Δ ACF

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/1212.png)Sol.

Let BE   AC and CF   AB. In   ABE and ACF, we have 

 [Since Each = 90º] [Common]

and , AB = AC [Given]Therefore By AAS criterion of congruence, 

 BE = CF [Since corresponding parts of congruent triangles are equal]

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Q.5    ABC and DBC are two isosceles triangles on the same base BC (see figure). Showthat  .

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/151.png)Sol.

In   ABC, we have AB = AC    ... (1) 

[Since angles opposite to equal sides are equal]In  , we have BD = CD    ... (2) 

[Since angles opposite to equal sides are equal]Adding (1) and (2), we have 

 

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⊥ ⊥Δs

∠AEB = ∠AFC

∠A = ∠A

ΔABE ≅ΔACF

⇒

∠ABD = ∠ACD

Δ

⇒ ∠ABC = ∠ACB

Δ BCD

⇒ ∠DBC = ∠DCB

∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB

⇒ ∠ABC = ∠ACD

Δ

Q.6        ABC is an isosceles triangle in which AB = AC. Side BA is produced to Dsuch that AD = AB (see figure). Show that   is a   right angle.

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/161.png)Sol.

In   ABC, we have AB = AC    [given]   ... (1) 

[Since angles opp. to equal sides are equal]Now, AB = AD [Given]Therefore AD = AC [Since AB = AC]Thus , in   ADC, we have AD = AC    ... (2) 

[Since angles opp. to equal sides are equal]Adding (1) and (2) , we get 

   [Since  ]    [Adding   on both sides]   [Angle sum proprty]   90º

Hence ,   is a right angle.

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Q.7     ABC is a right angled triangle in which   90º and AB = AC. Find .

Sol.

We have,  90º

AB = AC  

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/191.png)[Since angles opp. to equal sides ofa triangle are equal]Also   180º [Angle ­ sum property]

Δ∠BCD

Δ

⇒ ∠ACB = ∠ABC

Δ

⇒ ∠ACD = ∠ADC

∠ACB + ∠ACD = ∠ABC + ∠ADC

⇒ ∠BCD = ∠ABC + ∠BDC ∠ADC = ∠BDC

⇒ ∠BCD + ∠BCD = ∠ABC + ∠BDC + ∠BCD ∠BCD

⇒ 2∠BCD = 180∘

⇒ ∠BCD =∠BCD

∠A =∠B and ∠C

∠A =

⇒ ∠C = ∠B

∠A + ∠B + ∠C =

 90º +   180º [Since  ]   180º – 90º = 90º 

Therefore 

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Q.8      Show that the angles of an equilateral triangle are 60º each.Sol.

Let   ABC be an equilateral triangle so that AB = AC = BC. Now Since AB = AC    ... (1)  [Since angles opp. to equal sides are equal]

Also since, CB = CA    .... (2)  [Since angles opp. to equal sides are equal]

From (1) and (2), we have

(http://dronstudy.com/wp­content/uploads/2013/12/181.png)Also   180º [Angle ­ sum property]Thererfore   180º   180º

 60ºTherefore   60ºThus , each angle of an equilateral triangle is 60º.

⇒ 2∠B = ∠C = ∠B

⇒ 2∠B =⇒ ∠B = =90o

245o

∠C = ∠B = 45o

Δ

⇒ ∠C = ∠B

⇒ ∠A = ∠B

∠A = ∠B = ∠C

∠A + ∠B + ∠C =∠A + ∠A + ∠A =

⇒ 3∠A =⇒∠A = 180∘

3⇒∠A =

∠A = ∠B = ∠C =

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