tree1

26VIT1984-2010

Creating Stars

On Combinatorial Identities of

Trees

N.Chandramowliswaran

Applied Algebra Division

School of Advanced Sciences

VIT University 26

VIT1984-2010

Creating Stars

[email protected]

Claude Berge Bill Tutte

A Place to Learn; A Chance To Grow

Let T be a Tree on ‘q’ edges.

Define represents the subtrees of the form

(or)

( where a,b are non negative integers , )

(α,β) (β,α)T T

a b

1u

2u

3u

ua

1v

vb

3v

2vu v

1u

2u

3u

ub

1v

va

3v

2vu v

3

26VIT1984-2010

Creating Stars

denotes the total number of subtrees of the form

(or)

(α,β) (β,α)N T T

(α,β) (β,α)T T

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 1

a b b a

(α,β) (β,α)N T T

1u

2u

3u

ua

1v

vb

3v

2vu v

1u

2u

3u

ub

1v

va

3v

2vu v

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1

a a

(α,α)N TIf a b

4

26VIT1984-2010

Creating Stars

For each path length 2,

Define represents the subtrees of the form

(where a,g,b are non negative integers, )

(or)

denotes the total number of subtrees of the form

uv E(T), uw,wv E(T), d(u,v) 2

g g (α, ,β) (β, ,α)T T

1x

2x

3x

xa

zg

1y

yb

3y

2y

1z2z 3z

u vw

a b

, (α, ,β) (β, α)N T Tg g

, , (α, β) (β, α)T Tg g

1x

2x

3x

xb

zg

1y

ya

3y

2y

1z2z 3z

u vw

5

26VIT1984-2010

Creating Stars

If a b

The degree of vertex ‘u’ in the Subtree , = 1a

The degree of vertex ‘v’ in the Subtree , = 1b

The degree of vertex ‘w’ in the Subtree = 2g

Pi = Path length of i

g(α, ,β)T

(α,β)T

g(α, ,β)T

(α,β)T

g(α, ,β)T

u vw

d(u) 1 d(w) 2 d(v) 1

α γ α

(α,γ,α)

uv E(T)d(u,v)=2

N T =

d(u) 1 d(w) 2 d(v) 1

α γ βN

d(u) 1 d(w) 2 d(v) 1+

β γ α

(α,γ,β) (β,γ,α)

uv E(T)d(u,v)=2

T T =

u vw

6

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Creating Stars

M:/../Desktop/Presentation1.avi

M:/../Desktop/Presentation1.avi

Example 1

u v

a

b

c

x

y

z

Let T be a tree on ‘q’ edges

Counting all subtrees of the form of T

uv E(T)

d(v) 1 d(u) 1 = (d(u) 1) (d(v) 1)

2 2

(1,2) (2,1)N T T

7

26VIT1984-2010

Creating Stars

Example 2

Let T be a tree on ‘q’ edges

Counting all subtrees of the form of T

uv E(T)

d(v) 1 d(u) 1 = (d(u) 1) (d(v) 1)

3 3

(1,3) (3,1)N T T

8

u v

a

b

c

x

y

z

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Creating Stars

9

v2

v V(T)

d(v)1. N(P )

2

2

uv E(T)

12. N(P ) d(u) 1 d(v) 1

2

2 (0,1) (1,0)

1N(P ) N T T

2

u v 1v

u v1u

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Creating Stars

(1,0) (0,1)

uv E(T)

N T T d(u) 1 d(v) 1

10

26VIT1984-2010

Creating Stars

3

uv E(T)

3. N(P ) d(u) 1 d(v) 1

(1,1)

uv E(T)

N T d(u) 1 d(v) 1

3 (1,1)N(P ) N T

3

uv E(T)d(u,v) 2

14. N(P ) d(u) 1 d(v) 1

2

u w v1u

1vu w v

u v1v1u

(1,0,0) (0,0,1)

uv E(T)d(u,v) 2

N T T d(u) 1 d(v) 1

2 (1,0) (0,1)

1N(P ) N T T

2

11

26VIT1984-2010

Creating Stars

4

uv E(T)d(u,v) 2

5. N(P ) d(u) 1 d(v) 1

(1,0,1)

uv E(T)d(u,v) 2

N T d(u) 1 d(v) 1

4 (1,0,1)N(P ) N T

1vu w v1u

m 2

uv E(T)d(u,v) m

6. N(P ) d(u) 1 d(v) 1

u v

(m 1) vertices

1,3

v V(T)

d(v)7. N(K )

3

v

12

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Creating Stars

1,3

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 118. N(K )

2 23

1,3

uv E(T)d(u,v) 2

19. N(K ) d(w) 2

3

(0,1,0)

uv E(T)d(u,v) 2

N T d(w) 2

1,3 (0,1,0)

1N(K ) N T

3

u vw

1w

u

v

1v 2v

u

v

2u1u

(2,0) (0,2)

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1N T T

2 2

1,3 (2,0) (0,2)

1N(K ) N T T

3

13

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,4

v V(T)

d(v)10. N(K )

4

v

1,4

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1111. N(K )

3 34

u

v

1v2

v 3v

u

v

1u 2

u3u

(3,0) (0,3)

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1N T T

3 3

1,4 (3,0) (0,3)

1N(K ) N T T

4

14

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,4

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2112. N(K )

26

(0,2,0)

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2N T

2

1,4 (0,2,0)

1N(K ) N T

6

u vw

1w2w

v1,5

v V(T)

d(v)13. N(K )

5

15

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,5

uv E(T)

(4,0) (0,4)

uv E(T)

1,5 (4,0) (0,4)

d(u) 1 d(v) 1114. N(K )

4 45

d(u) 1 d(v) 1 N T T

4 4

1 N(K ) N T T

5

1,5

uv E(T)d(u,v) 2

(0,3,0)

uv E(T)d(u,v) 2

1,5 (0,3,0)

d(w) 2115. N(K )

310

d(w) 2 N T

3

1 N(K ) N T

10

u vw

1w2w

3w

u

v

1u4u

3u2u

u

v

1v

2v4v

3v

16

26VIT1984-2010

Creating Stars

In General

1,n

v V(T)

d(v)N(K )

n

1,n

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 11N(K )

n 1 n 1N

1,n

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 21N(K )

n n 2

2

(where ) n 2

17

Proposition 1: Let T be a tree with ‘q’ edges

2

2

v V(T) uv E(T)

i. d (v) d(u) d(v) 2N(P ) 2q

3 2 2

1,3 2

v V(T) uv E(T)

ii. d (v) d (u) d (v) 6N(K ) 6N(P ) 2q

4 3 3

1,4 1,3

v V(T) uv E(T)

2

iii. d (v) d (u) d (v) 24N(K ) 36N(K )

14N(P ) 2q

5 4 4

1,5 1,4

v V(T) uv E(T)

1,3 2

iv. d (v) d (u) d (v) 120N(K ) 240N(K )

150N(K ) 30N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars

Proof of Proposition 1

2

2

v V(T) v V(T)

d(v) d (v) d(v)i. N(P )

2 2

2

2

v V(T) v V(T)

d (v) 2N(P ) d(v)

2

2

v V(T) uv E(T)

d (v) d(u) d(v) 2N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,3

v V(T) v V(T)

d(v) d(v)(d(v) 1)(d(v) 2)ii. N(K )

3 6

3 2

1,3

v V(T) v V(T) v V(T)

d (v) 6N(K ) 3 d (v) 2 d(v)

3 2 2

1,3 2

v V(T) uv E(T)

d (v) d (u) d (v) 6N(K ) 6N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,4

v V(T)

v V(T)

d(v)iii. N(K )

4

d(v)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)

24

4 3 2

1,4

v V(T) v V(T) v V(T) v V(T)

d (v) 24N(K ) 6 d (v) 11 d (v) 6 d(v)

4 3 3

1,4 1,3

v V(T) uv E(T)

2

d (v) d (u) d (v) 24N(K ) 36N(K )

14N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,5

v V(T)

v V(T)

d(v)iv. N(K )

5

d(v)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)(d(v) 4)

120

5 4 3

1,5

v V(T) v V(T) v V(T)

2

v V(T) v V(T)

d (v) 120N(K ) 10 d (v) 35 d (v)

50 d (v) 24 d(v)

5 4 4

1,5 1,4

v V(T) uv E(T)

1,3 2

d (v) d (u) d (v) 120N(K ) 240N(K )

150N(K ) 30N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars

Verification of Proposition 1 Let T be a tree on ‘q’ edges

Let T* be the tree obtained from T by complete subdivision.

2**xy E( )

d(x) d(y) 2N (P ) 2(2q)

T

T

L.H.S

2

* uv E( )xy E( )

d(x) d(y) (d(u) 2) (d(v) 2) 2N (P ) 6q

TTT

2

uv E( )

i. d(u) d(v) 2N (P ) 2q

TT

2 2*2N (P ) 2(2q) 2N (P ) 6q

TT

R.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

1,3 2

uv E( )

ii. d (u) d (v) 6N (K ) 6N (P ) 2q

T TT

2 2

1,3 2

xy E( )

d (x) d (y) 6N (K ) 6N (P ) 2(2q)

* *T T*

T

2 2 2 2

1,3 2

uv E( )xy E( )

d (x) d (y) (d (u) 4) (d (v) 4)

6N (K ) 6N (P ) 10q

* TT

T T

L.H.S

R.H.S

1,3 26N (K ) 6N (P ) 2(2q) T T* *

1,3 26N (K ) 6N (P ) 10q T T

1,3 1,3N (K ) N (K )* T

T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3

1,4 1,3 2

uv E( )

iii. d (u) d (v) 24N (K ) 36N (K ) 14N (P ) 2q

T T TT

3 3

1,4 1,3 2

xy E( )

d (x) d (y) 24N (K ) 36N (K ) 14N (P ) 2(2q)

* * *T T T*

T

3 3 3 3

1,4 1,3 2

uv E( )xy E( )

d (x) d (y) (d (u) 8) (d (v) 8)

24N (K ) 36N (K ) 14N (P ) 18q

* TT

T T T

L.H.S

R.H.S

1,4 1,3 224N (K ) 36N (K ) 14N (P ) 2(2q) * * *

T T T 1,4 1,4* TTN (K ) N (K )

1,4 1,3 224N (K ) 36N (K ) 14N (P ) 18q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

4 4

1,5 1,4

1,3 2

uv E( )

iv. d (u) d (v) 120N (K ) 240N (K )

150N (K ) 30N (P ) 2q

T TT

T T

4 4

1,5 1,4 1,3

2

xy E( )

d (x) d (y) 120N (K ) 240N (K ) 150N (K )

30N (P ) 2(2q)

* * *T T T*

T

*T

4 4 4 4

uv E( )xy E( )

d (x) d (y) (d (u) 16) (d (v) 16)

* TT

1,5 1,4 1,3 2120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 30N (P ) 34q T T T T

1,5 1,4 1,3 2120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 30N (P ) 2(2q) * * * *

T T T T

1,5 1,4 1,3 2120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 30N (P ) 34q T T T T

1,5 1,5N (K ) N (K )* T

T

L.H.S

R.H.S

26

26VIT1984-2010

Creating Stars

Proposition 2: Let T be a tree with ‘q’ edges.

1,3 2

uv E(T)d(u,v) 2

i. d(w) 3N(K ) 2N(P )

4

1,6 1,5 1,4

uv E(T)d(u,v) 2

1,3 2

iv. d (w) 360N(K ) 840N(K ) 660N(K )

195N(K ) 16N(P )

3

1,5 1,4 1,3 2

uv E(T)d(u,v) 2

iii. d (w) 60N(K ) 108N(K ) 57N(K ) 8N(P )

2

1,4 1,3 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d (w) 12N(K ) 15N(K ) 4N(P )

uw,wv E(T)

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,3

uv E(T)d(u,v) 2

1i. N(K ) (d(w) 2)

3


1,3 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 3N(K ) 2N(P )

1,4

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 21ii. N(K )

26

2

1,4

uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2

12N(K ) d(w) 2 d(w) 3 d (w) 5d(w) 6

2

1,4 2


d (w) 12N(K ) 5 d(w) 6N(P )

2

1,4 1,3 2

uv E(T)d(u,v) 2

d (w) 12N(K ) 15N(K ) 4N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,5

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 21iii. N(K )

310

1,5

uv E(T)d(u,v) 2

60N(K ) (d(w) 2)(d(w) 3)(d(w) 4)

3 2

1,5

uv E(T)d(u,v) 2

60N(K ) d (w) 9d (w) 26d(w) 24

3 2

1,5 2

uv E(T) uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2 d(u,v) 2

d (w) 60N(K ) 9 d (w) 26 d(w) 24N(P )

3

1,5 1,4 1,3 2

uv E(T)d(u,v) 2

d (w) 60N(K ) 108N(K ) 57N(K ) 8N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,6

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 21iv. N(K )

415

1,6

uv E(T)d(u,v) 2

360N(K ) (d(w) 2)(d(w) 3)(d(w) 4)(d(w) 5)

4 3 2

1,6

uv E(T)d(u,v) 2

360N(K ) d (w) 14d (w) 71d (w) 154d(w) 120

4 3 2

1,6 2

uv E(T) uv E(T) uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2 d(u,v) 2 d(u,v) 2

d (w) 360N(K ) 14 d (w) 71 d (w) 154 d(w) 120N(P )

4

1,6 1,5 1,4

uv E(T)d(u,v) 2

1,3 2

d (w) 360N(K ) 840N(K ) 660N(K )

195N(K ) 16N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars



1,3 2

uv E( )d(u,v) 2

i. d(w) 3N (K ) 2N (P )

T TT

1,3 2

xy E( )d(x,y) 2

d(z) 3N (K ) 2N (P )

* *T T*

T

3 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

v V( ) v V( )

d(v)d(z) (2) d(v)

2

1 1 d (v) d (v) 2q

2 2

* T TT

T T

L.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,3 23N (K ) 2N (P ) 2q T T

1,3 2 1,3 23N (K ) 2N (P ) 3N (K ) 2N (P ) 2q * * T T

T T

R.H.S

2

1,4 1,3 2

uv E( )d(u,v) 2

ii. d (w) 12N (K ) 15N (K ) 4N (P )

T T T

T

2

1,4 1,3 2

xy E( )d(x,y) 2

d (z) 12N (K ) 15N (K ) 4N (P )

* * *T T T*T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

4 3

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

v V( ) v V( )

d(v)d (z) (4) d (v)

2

1 1 d (v) d (v) 4q

2 2

* T TT

T T

1,3 1,3 212N (K ) 15N (K ) 4N (P ) 4q T T T

1,4 1,3 2

1,4 1,3 2

12N (K ) 15N (K ) 4N (P )

12N (K ) 15N (K ) 4N (P ) 4q

* * *T T T

T T T

L.H.S

R.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

3

1,5 1,4 1,3 2

uv E( )d(u,v) 2

iii. d (w) 60N (K ) 108N (K ) 57N (K ) 8N (P )

T T T TT

3

1,5 1,4 1,3 2

xy E( )d(x,y) 2

d (z) 60N (K ) 108N (K ) 57N (K ) 8N (P )

* * * *T T T T*

T

3 3

5 4

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

v V( ) v V( )

d(v)d (z) (8) d (v)

2

1 1 d (v) d (v) 8q

2 2

* T TT

T T

L.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

4

1,6 1,5 1,4

1,3 2

uv E( )d(u,v) 2

iv. d (w) 360N (K ) 840N (K ) 660N (K )

195N (K ) 16N (P )

T T TT

T T

4

1,6 1,5 1,4

1,3 2

xy E( )d(x,y) 2

d (z) 360N (K ) 840N (K ) 660N (K )

195N (K ) 16N (P )

* * *T T T*

T

* *T T

R.H.S

1,5 1,4 1,3 2

1,5 1,4 1,3 2

60N (K ) 108N (K ) 57N (K ) 8N (P )

60N (K ) 108N (K ) 57N (K ) 8N (P ) 8q

* * * *T T T T

T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

4 4

6 5

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

v V( ) v V( )

d(v)d (z) (16) d (v)

2

1 1 d (v) d (v) 16q

2 2

* T TT

T T

1,6 1,5 1,4

1,3 2

360N (K ) 840N (K ) 660N (K )

195N (K ) 16N (P ) 16q

T T T

T T

L.H.S

R.H.S

1,6 1,5 1,4 1,3 2360N (K ) 840N (K ) 660N (K ) 195N (K ) 16N (P ) * * * * *

T T T T T

1,6 1,5 1,4

1,3 2

360N (K ) 840N (K ) 660N (K )

195N (K ) 16N (P ) 16q

T T T

T T

36

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)

17. N

d(v) 1 d(u) 1(d(u) 1) (d(v) 1)

3 3

uv E(T)

16. N

d(v) 1 d(u) 1(d(u) 1) (d(v) 1)

2 2

uv E(T)

18. N

d(v) 1 d(u) 1(d(u) 1) (d(v) 1)

4 4

37

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 119. N

2 2

uv E(T)

20. N

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 1

2 3 3 2

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 121. N =

3 3

uv E(T)

22. N

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 1

2 4 4 2

38

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 2

uv E(T)

i. d(u)d(v) N(P ) 2N(P ) q


1,3 3

uv E(T)

2

ii. d(u)d(v) d(u) d(v) 2N 6N(K ) 6N(P )

8N(P ) 2q

39

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E(T)

1,4 1,3

iii. d(u)d(v) d (u) d (v) 6N 12N

24N(K ) 36N(K )

3 214N(P ) 16N(P ) 2q

3 3

uv E(T)

iv. d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 60N

50N

1,5 1,4

1,3 3 2

120N(K ) 240N(K )

150N(K ) 30N(P ) 32N(P ) 2q


3

uv E(T)

i. N(P ) d(u) 1 d(v) 1

3

uv E(T) uv E(T)

d(u)d(v) N(P ) d(u) d(v) q

2 2

uv E(T)

d(u)d(v) d(u) d(v) d (u) d (v)2N

5 d(u) d(v) 6d(u)d(v) 4

uv E(T)

d(v) 1 d(u) 1ii. N = (d(u) 1) (d(v) 1)

2 2

3 2

uv E(T)

d(u)d(v) N(P ) 2N(P ) q

2 2

uv E(T) uv E(T)

uv E(T) uv E(T)

d(u)d(v) d(u) d(v) 2N d (u) d (v)

5 d(u) d(v) 6 d(u)d(v) 4q

1,3 3

uv E(T)

2

ii. d(u)d(v) d(u) d(v) 2N 6N(K ) 6N(P )

8N(P ) 2q

uv E(T)

d(v) 1 d(u) 1iii. N = (d(u) 1) (d(v) 1)

3 3

uv E(T)

(d(u) 1)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)6N =

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(v) 1)

2 2 3 3

2 2

uv E(T)

6 d (u) d (v) d (u) d (v) 17 d(u) d(v)

6N = d(u)d(v) d (u) d (v) 6d(u)d(v) d(u) d(v)

22d(u)d(v) 12

2 2 3 3

uv E(T) uv E(T)

2 2

uv E(T) uv E(T)

d(u)d(v) d (u) d (v) 6N d (u) d (v) 12q

6 d (u) d (v) 17 d(u) d(v)

uv E(T) uv E(T)

6 d(u)d(v) d(u) d(v) 22 d(u)d(v)

3 3

uv E(T)

iv. d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 60N

50N

1,5 1,4

1,3 3 2

120N(K ) 240N(K )

150N(K ) 30N(P ) 32N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)

d(v) 1 d(u) 1iv. N = (d(u) 1) (d(v) 1)

4 4

uv E(T)

(d(u) 1)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)(d(v) 4)24N =

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(u) 4)(d(v) 1)

3 3

4 4

3 3 2 2uv E

2 2

d(u)d(v) d (u) d (v) 100d(u)d(v) 48

35d(u)d(v) d(u) d(v) d (u) d (v)24N =

10 d (u) d (v) 35 d (u) d (v)

74 d(u) d(v) 10d(u)d(v) d (u) d (v)

(T)

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3

uv E(T) uv E(T)

2 2

uv E(T) uv E(T)

d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 35 d(u)d(v) d(u) d(v)

10 d(u)d(v) d (u) d (v) 100 d(u)d(v)

4 4 3 3

uv E(T) uv E(T)

2 2

uv E(T) uv E(T)

d (u) d (v) 10 d (u) d (v)

35 d (u) d (v) 74 d(u) d(v) 48q

3 3

uv E(T)

iv. d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 60N

50N

1,5 1,4

1,3 3 2

120N(K ) 240N(K )

150N(K ) 30N(P ) 32N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars



3 2

uv E( )

i. d(u)d(v) N (P ) 2N (P ) q

T TT

3 2

xy E( )

d(x)d(y) N (P ) 2N (P ) (2q)

* *T T*T

uv E( ) uv E( )xy E( )

d(x)d(y) d(u)(2) (2)d(v) 2 d(u) d(v)

* T TT

24N (P ) 4q T

3 2 2N (P ) 2N (P ) (2q) 4N (P ) 4q * * T

T T

L.H.S

R.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E( )xy E( )

d(x)d(y) d(x) d(y) d(u)(2) d(u) 2 (2)d(v) 2 d(v)

* TT

2 2

uv E( ) uv E( )

2 d (u) d (v) 4 d(u) d(v)

T T

1,3 212N (K ) 20N (P ) 12q T T

L.H.S

1,3 3

2

uv E( )

ii. d(u)d(v) d(u) d(v) 2N 6N (K ) 6N (P )

8N (P ) 2q

T T TT

T

1,3 3

2

xy E( )

d(x)d(y) d(x) d(y) 2N 6N (K ) 6N (P )

8N (P ) 2(2q)

* * *T T T*T

*T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

1,3N 3N (K )

* TT

2 2

uv E( )

1,4 1,3


24N (K ) 36N (K )

T T

T

T T 3 214N (P ) 16N (P ) 2q T T

*

2 2

xy E( )

1,4 1,3 3T

d(x)d(y) d (x) d (y) 6N 12N

24N (K ) 36N (K ) 14N (P ) 16N (P

* *

*

* * *

T TT

T T T 2 ) 2(2q)

1,3 212N (K ) 20N (P ) 12q T T

1,3 3 22N 6N (K ) 6N (P ) 8N (P ) 2(2q)

* * * *T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

L.H.S

R.H.S

2 2 2 2

uv E( )xy E( )

d(x)d(y) d (x) d (y) d(u)(2) d (u) 4 (2)d(v) 4 d (v)

* TT

3 3

uv E( ) uv E( )

2 d (u) d (v) 8 d(u) d(v)

T T

1,4 1,3 248N (K ) 72N (K ) 44N (P ) 20q T T T

1,4 1,3

3 2

6N 12N 24N (K ) 36N (K )

14N (P ) 16N (P ) 2(2q)

* * * *

* *

T T T T

T T

1,4N 4N (K )

* TT

1,4 1,3 248N (K ) 72N (K ) 44N (P ) 20q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3

uv E( )

iv. d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 60N

50N

T T

T

T 1,5 1,4

1,3 3 2

120N (K ) 240N (K )

150N (K ) 30N (P ) 32N (P ) 2q

T T

T T T

3 3

xy E( )

d(x)d(y) d (x) d (y) 24N 60N

50N

* *

*

*

T TT

T 1,5 1,4

1,3 3 2

120N (K ) 240N (K )

150N (K ) 30N (P ) 32N (P ) 2(2q)

* *

* * *

T T

T T T

3 3 3 3

uv E( )xy E( )

d(x)d(y) d (x) d (y) d(u)(2) d (u) 8 (2)d(v) 8 d (v)

* TT

L.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

4 4

uv E( ) uv E( )

2 d (u) d (v) 16 d(u) d(v)

T T

1,5 1,4 1,3 2240N (K ) 480N (K ) 300N (K ) 92N (P ) 36q T T T T

1,5 1,4 1,3 3 2

24N 60N 50N

120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 30N (P ) 32N (P ) 2(2q)

* * *

* * * * *

T T T

T T T T T

R.H.S

1,5N 5N (K )

* TT

1,5 1,4 1,3 2240N (K ) 480N (K ) 300N (K ) 92N (P ) 36q T T T T

51

26VIT1984-2010

Creating Stars


2 2

1,3

uv E(T)

3 2

i. d (u)d (v) 4N 6N 6N(K )

9N(P ) 6N(P ) q

2 2

uv E(T)

ii. d (u)d (v) d(u) d(v) 12N 18N

48N

1,4 1,3 3 2

50N

24N(K ) 42N(K ) 42N(P ) 20N(P ) 2q

*T

52

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

uv E(T)

iii. d (u)d (v) d (u) d (v) 48N 72N

180N

180N

200N 120N

1,5 1,4 1,3 3 2120N(K ) 240N(K ) 156N(K ) 90N(P ) 36N(P ) 2q

3 3

uv E(T)

iv. d (u)d (v) 36N 72N 42N

84N

1,4 1,3 3 2

144N

24N(K ) 36N(K ) 49N(P ) 14N(P ) q

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1i. N =

2 2


uv E(T)

4N (d(u) 1)(d(u) 2)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2

2 2

uv E(T)

d (u)d (v) 3d(u)d(v) d(u) d(v)

4N 2 d (u) d (v) 6 d(u) d(v)

9d(u)d(v) 4

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E(T) uv E(T)

3 2

uv E(T) v V(T) v V(T)

d (u)d (v) 4N 3 d(u)d(v) d(u) d(v)

9 d(u)d(v) 2 d (v) 6 d (v) 4q

2 2

1,3

uv E(T)

3 2

i. d (u)d (v) 4N 6N 6N(K )

9N(P ) 6N(P ) q

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 1ii. N =

2 3 3 2

uv E(T)

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)12N =

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2

2 2 3 3

2 2uv E

2 2

d (u)d (v) d(u) d(v) 40 d(u) d(v)

18 d (u) d (v) 2 d (u) d (v)12N =

29d(u)d(v) d(u) d(v) 12d (u)d (v)

3d(u)d(v) d (u) d (v) 66d(u)d(v) 24

(T)

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 4 3


2 2 2

v V(T) uv E(T)

d (u)d (v) d(u) d(v) 12N 2 d (v) 18 d (v)

40 d (v) 3 d(u)d(v) d (u) d (v)

uv E(T) uv E(T)

2 2

uv E(T)

29 d(u)d(v) d(u) d(v) 66 d(u)d(v)

12 d (u)d (v) 24q

2 2

uv E(T)

ii. d (u)d (v) d(u) d(v) 12N 18N

48N

1,4 1,3 3 2

50N

24N(K ) 42N(K ) 42N(P ) 20N(P ) 2q

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 1iii. N =

2 4 4 2

2 2 2 2 4 4

3 3 3 3

2 2 2 2

2 2

d (u)d (v) d (u) d (v) 2 d (u) d (v)

3d(u)d(v) d (u) d (v) 20 d (u) d (v)

10d (u)d (v) d(u) d(v) 94 d (u) d (v)48N =

30d(u)d(v) d (u) d (v) 172 d(u) d(

uv E(T)

2 2

v)

155d(u)d(v) d(u) d(v) 300d(u)d(v)

70d (u)d (v) 96

uv E(T)

(d(u) 1)(d(u) 2)

(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)(d(v) 4)48N =

(d(u) 1)(d(u) 2)

(d(u) 3)(d(u) 4)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2 2 2 5

uv E(T) v V(T)

3 3 4

uv E(T) v V(T)

2

d (u)d (v) d (u) d (v) 48N 2 d (v)

3 d(u)d(v) d (u) d (v) 20 d (v)

10 d (u)d

2 3

uv E(T) v V(T)

2 2 2

uv E(T) v V(T)

2 2

uv E(T) uv E(T)

(v) d(u) d(v) 94 d (v)

30 d(u)d(v) d (u) d (v) 172 d (v)

300 d(u)d(v) 70 d (u)d (v)

v V(T)

155 d(u)d(v) d(u) d(v) 96q

2 2 2 2

uv E(T)

iii. d (u)d (v) d (u) d (v) 48N 72N

180N

180N

200N 120N

1,5 1,4 1,3 3 2120N(K ) 240N(K ) 156N(K ) 90N(P ) 36N(P ) 2q

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)

d(u) 1 d(v) 1iv. N =

3 3

uv E(T)

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)36N =

(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)

3 3 2 2

2 2 3 3

2 2

2 2

d (u)d (v) 36d (u)d (v) 121d(u)d(v)

11d(u)d(v) d (u) d (v) 6 d (u) d (v)36N =

66d(u)d(v) d(u) d(v) 36 d (u) d (v)

6d (u)d (v) d(u) d(v) 66 d(u) d(v) 36

uv E(T)

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3 2 2

uv E(T) uv E(T) uv E(T)

4 3


d (u)d (v) 36N 36 d (u)d (v) 121 d(u)d(v)

66 d(u)d(v) d(u) d(v) 6 d (v) 36 d (v)

2 2 2

v V(T) uv E(T)

2 2

uv E(T)

66 d (v) 11 d(u)d(v) d (u) d (v)

6 d (u)d (v) d(u) d(v) 36q

3 3

uv E(T)

iv. d (u)d (v) 36N 72N 42N

84N

1,4 1,3 3 2

144N

24N(K ) 36N(K ) 49N(P ) 14N(P ) q

26VIT1984-2010

Creating Stars



2 2

1,3

uv E( )

3 2

i. d (u)d (v) 4N 6N 6N (K )

9N (P ) 6N (P ) q

T T T

T

T T

2 2

1,3

xy E( )

3 2

d (x)d (y) 4N 6N 6N (K )

9N (P ) 6N (P ) (2q)

* * *

*

* *

T T TT

T T

2 2 2 2 2 2


d (x)d (y) d (u)(4) (4)d (v) 4 d (u) d (v)

* T TT

L.H.S

1,3 224N (K ) 24N (P ) 8q T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

1,3 3

2

4N 6N 6N (K ) 9N (P )

6N (P ) (2q)

* * * *

*

T T T T

T

N 0

*T

1,3 224N (K ) 24N (P ) 8q T T

2 2

uv E( )

ii. d (u)d (v) d(u) d(v) 12N 18N

48N

T T

T

T

1,4 1,3 3 2

50N

24N (K ) 42N (K ) 42N (P ) 20N (P ) 2q

T

T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

xy E( )

d (x)d (y) d(x) d(y) 12N 18N

48N

* *

*

*

T TT

T

1,4 1,3 3 2

50N

24N (K ) 42N (K ) 42N (P ) 20N (P ) 2(2q)

*

* * * *

T

T T T T

2 2 2 2

uv E( )xy E( )

d (x)d (y) d(x) d(y) d (u)(4) d(u) 2 (4)d (v) 2 d(v)

* TT

L.H.S

3 3 2 2

uv E( ) uv E( )

4 d (u) d (v) 8 d (u) d (v)

T T

1,4 1,3 296N (K ) 192N (K ) 104N (P ) 24q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

1,4 1,3

12N 18N 48N

50N 24N (K ) 42N (K ) 42N

* * *

* * *

T T T

T T T T 3 2(P ) 20N (P ) 2(2q) * *T

*TN 0

1,4 1,3 296N (K ) 192N (K ) 104N (P ) 24q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

uv E( )

iii. d (u)d (v) d (u) d (v) 48N 72N

180N

T T

T

T 180N

200N 120N

T

T T

1,5 1,4 1,3 3 2120N (K ) 240N (K ) 156N (K ) 90N (P ) 36N (P ) 2q

T T T T T

2 2 2 2

xy E( )

d (x)d (y) d (x) d (y) 48N 72N

180N

* *

*

*

T TT

T180N

200N 120N

*

* *

T

T T

1,5 1,4 1,3 3 2120N (K ) 240N (K ) 156N (K ) 90N (P ) 36N (P ) 2(2q)

* * * * *T T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

xy E( )

2 2 2 2

uv E( )

d (x)d (y) d (x) d (y)

d (u)(4) d (u) 4 (4)d (v) 4 d (v)

*T

T

L.H.S

4 4 2 2

uv E( ) uv E( )

4 d (u) d (v) 16 d (u) d (v)

T T

1,5 1,4 1,3 2480N (K ) 960N (K ) 696N (K ) 216N (P ) 40q T T T T

R.H.S

48N 72N 180N

180N 200N

* * *

* *

T T T

T T

1,5 1,4 1,3 3 2

120N

120N (K ) 240N (K ) 156N (K ) 90N (P ) 36N (P ) 2(2q)

*

* * * * *

T

T T T T T

1,5 1,4 1,3 2480N (K ) 960N (K ) 696N (K ) 216N (P ) 40q T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3

uv E( )

iv. d (u)d (v) 36N 72N 42N

84 N

T T T

T

T

1,4 1,3 3 2

144N

24N (K ) 36N (K ) 49N (P ) 14N (P ) q

T

T T T T

3 3

xy E( )

d (x)d (y) 36N 72N 42N

84N

* * *

*

*

T T TT

T

1,4 1,3 3 2

144N

24N (K ) 36N (K ) 49N (P ) 14N (P ) (2q)

*

* * * *

T

T T T T

3 3 3 3 3 3


d (x)d (y) d (u)(8) (8)d (v) 8 d (u) d (v)

* T TT

L.H.S

1,4 1,3 2192N (K ) 288N (K ) 112N (P ) 16q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

36N 72N 42N

84N 144N

* * *

* *

T T T

T T

1,4 1,3 3 224N (K ) 36N (K ) 49N (P ) 14N (P ) (2q)

* * * *T T T T

N 0

*T

1,4 1,3 2192N (K ) 288N (K ) 112N (P ) 16q T T T

69

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 123. N

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 124. N

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 125. N

4 4

uv E(T)d(u ,v) 2

26. N

d(v) 1 d(u) 1(d(u) 1) (d(v) 1)

2 2

70

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u ,v) 2

27. N

d(v) 1 d(u) 1(d(u) 1) (d(v) 1)

3 3

uv E(T)d(u ,v) 2

28. N

d(v) 1 d(u) 1(d(u) 1) (d(v) 1)

4 4

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 129. N

2 2

71

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 130. N

2 3 3 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 131. N

2 4 4 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 132. N

3 3

72

26VIT1984-2010

Creating Stars


3 2

uv E(T)d(u,v) 2

i. d(u) d(v) 2N(P ) 2N(P )

2 2

3 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d (u) d (v) 2N 6N(P ) 2N(P )

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

3 2

iii. d (u) d (v) 6N 12N

14N(P ) 2N(P )

4 4

uv E(T)d(u,v) 2

3

iv. d (u) d (v) 24N 60N

50N 30N(P

2) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

3

uv E(T)d(u,v) 2

1i. N(P ) (d(u) 1) (d(v) 1)

2

3 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) d(v) 2N(P ) 2N(P )

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1ii. N

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

2N (d(u) 1)(d(u) 2) (d(v) 1)(d(v) 2)


26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

2N d (u) d (v) 3 d(u) d(v) 4

2 2

2

uv E(T) {u,v} E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2

d (u) d (v) 2N 3 d(u) d(v) 4N(P )

2 2

3 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d (u) d (v) 2N 6N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1iii. N

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)6N

(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)

3 3 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

6N d (u) d (v) 6 d (u) d (v) 11 d(u) d(v) 12

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3 2 2


2

uv E(T)d(u,v) 2

d (u) d (v) 6N 6 d (u) d (v)

11 d(u) d(v) 12N(P )

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

3 2

iii. d (u) d (v) 6N 12N

14N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1iv. N

4 4

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(u) 4)24N

(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)(d(v) 4)

4 4 3 3

2 2uv E(T)d(u,v) 2

d (u) d (v) 10 d (u) d (v)24N

35 d (u) d (v) 50 d(u) d(v) 48

26VIT1984-2010

Creating Stars

4 4 3 3


2 2


d (u) d (v) 24N 10 d (u) d (v)

35 d (u) d (v) 50 d(u) d(v) 48N

2(P )

4 4

uv E(T)d(u,v) 2

3

iv. d (u) d (v) 24N 60N

50N 30N(P

2) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars



3 2

uv E( )d(u,v) 2

i. d(u) d(v) 2N (P ) 2N (P )

T TT

3 2

xy E( )d(x,y) 2

d(x) d(y) 2N (P ) 2N (P )

* *T T*T

uv E( ) v V( )xy E( )

d(x,y) 2

d(v)d(x) d(y) d(u) d(v) 4

2

* T TT

L.H.S

R.H.S

26N (P ) 2q T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

3 2 22N (P ) 2N (P ) 6N (P ) 2q * * T

T T

2 2

3 2

uv E( )d(u,v) 2

ii. d (u) d (v) 2N 6N (P ) 2N (P )

T T T

T

2 2

3 2

xy E( )d(x,y) 2

d (x) d (y) 2N 6N (P ) 2N (P )

* * *

T T T*T

2 2 2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (x) d (y) d (u) d (v) 8

2

* T TT

L.H.S

1,3 26N (K ) 14N (P ) 2q T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

3 22N 6N (P ) 2N (P )

* * *T T T

1,3 26N (K ) 14N (P ) 2q T T

3 3

3 2

uv E( )d(u,v) 2

iii. d (u) d (v) 6N 12N

14N (P ) 2N (P )

T TT

T T

3 3

3 2

xy E( )d(x,y) 2

d (x) d (y) 6N 12N

14N (P ) 2N (P )

* *T T*T

* *T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3 3 3

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (x) d (y) d (u) d (v) 16

2

* T TT

L.H.S

R.H.S

1,4 1,3 224N (K ) 36N (K ) 30N (P ) 2q T T T

3 26N 12N 14N (P ) 2N (P )

* * * *T T T T

1,4 1,3 224N (K ) 36N (K ) 30N (P ) 2q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

4 4

uv E( )d(u,v) 2

iv. d (u) d (v) 24N 60N

50N 3

T TT

T 3 20N (P ) 2N (P )T T

4 4

3

xy E( )d(x,y) 2

d (x) d (y) 24N 60N

50N 30N (P ) 2

* *T T*T

* *T T

2N (P )*

T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

3 2

24N 60N 50N

30N (P ) 2N (P )

* * *T T T

* *T T

1,5 1,4 1,3 2120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 62N (P ) 2q T T T T

4 4 4 4

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (x) d (y) d (u) d (v) 32

2

* T TT

L.H.S

1,5 1,4 1,3 2120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 62N (P ) 2q T T T T

85

26VIT1984-2010

Creating Stars


4 3 2

uv E(T)d(u,v) 2

i. d(u)d(v) N(P ) 2N(P ) N(P )

uv E(T)d(u ,v) 2

4 3 2

ii. d(u)d(v) d(u) d(v) 2N 2N

6N(P ) 8N(P ) 2N(P )

86

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E(T)d(u,v) 2


12N

4 3 2

12N

14N(P ) 16N(P ) 2N(P )

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 24N

60N

60N

50N 50N

4 3 230N(P ) 32N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars


4

uv E(T)d(u,v) 2

i. N(P ) d(u) 1 d(v) 1

4 2


d(u)d(v) N(P ) d(u) d(v) N(P )

4 3 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u)d(v) N(P ) 2N(P ) N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(v) 1 d(u) 1ii. N (d(u) 1) (d(v) 1)

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(v) 1)(d(v) 2)2N

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(v) 1)

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u)d(v) d(u) d(v) d (u) d (v)2N

5 d(u) d(v) 6d(u)d(v) 4

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2


uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,

d(u)d(v) d(u) d(v) 2N d (u) d (v)

5 d(u) d(v) 6 d(u)d(v)

2

v) 2

4N(P )

uv E(T)d(u ,v) 2

4 3 2


6N(P ) 8N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(v) 1 d(u) 1iii. N = (d(u) 1) (d(v) 1)

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)6N =

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(v) 1)

2 2 3 3

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

6 d (u) d (v) d (u) d (v) 17 d(u) d(v)

6N = d(u)d(v) d (u) d (v) 6d(u)d(v) d(u) d(v)

22d(u)d(v) 12

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2


3 3 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u)d(v) d (u) d (v) 6N 22 d(u)d(v)

d (u) d (v) 6 d (u) d (v)

uv E(T)d(u,v) 2

uv E(T)d(u,v) 2

2

uv E(T)d(u,v) 2

6 d(u)d(v) d(u) d(v)

17 d(u) d(v) 12N(P )

2 2

uv E(T)d(u,v) 2


12N

4 3 2

12N

14N(P ) 16N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(v) 1 d(u) 1iv. N = (d(u) 1) (d(v) 1)

4 4

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)(d(v) 4)24N =

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(u) 4)(d(v) 1)

3 3

4 4

3 3 2 2uv

2 2

d(u)d(v) d (u) d (v) 100d(u)d(v) 48

35d(u)d(v) d(u) d(v) d (u) d (v)24N =

10 d (u) d (v) 35 d (u) d (v)

74 d(u) d(v) 10d(u)d(v) d (u) d (v)

E(T)d(u,v) 2

3 3 4 4


2 2 3 3

uv E(T)d(u,v) 2

d(u)d(v) d (u) d (v) 24N d (u) d (v)

10 d(u)d(v) d (u) d (v) 10 d (u) d (v)

uv E(T)d(u,v) 2

2 2



35 d(u)d(v) d(u) d(v) 35 d (u) d (v)

100 d(u)d(v) 74 d(u) d(v) 48N

2(P )

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 24N

60N

60N

50N 50N

4 3 230N(P ) 32N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars



4 3 2

uv E( )d(u,v) 2

i. d(u)d(v) N (P ) 2N (P ) N (P )

T T TT

4 3 2

xy E( )d(x,y) 2

d(x)d(y) N (P ) 2N (P ) N (P )

* * *T T T*T

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d(x)d(y) d(u)d(v) 4

2

* T TT

L.H.S

3 2N (P ) 6N (P ) q T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

4 3 2

uv E( )d(u,v) 2


6N (P ) 8N (P ) 2N (P )

T TT

T T T

4 3 2

xy E( )d(x,y) 2

d(x)d(y) d(x) d(y) 2N 2N

6N (P ) 8N (P ) 2N (P )

* *T T*T

* * *T T T

L.H.S

uv E( ) v V( )xy E( )

d(x,y) 2

d(v)d(x)d(y) d(x) d(y) d(u)d(v) d(u) d(v) 16

2

* T TT

1,3 3 22N 6N (K ) 6N (P ) 24N (P ) 2q

T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

4 3 22N 2N 6N (P ) 8N (P ) 2N (P )

* * * * *T T T T T

1,3 3 22N 6N (K ) 6N (P ) 24N (P ) 2q

T T T T

N N

* TT

4 3 2N (P ) N (P ) N (P ) * T T

T

,

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E( )d(u,v) 2


12N

T TT

T

4 3 2

12N

14N (P ) 16N (P ) 2N (P )

T

T T T

2 2

xy E( )d(x,y) 2

d(x)d(y) d (x) d (y) 6N 6N

12N

* *T T*

T

*T

4 3 2

12N

14N (P ) 16N (P ) 2N (P )

*T

* * *T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d(x)d(y) d (x) d (y) d(u)d(v) d (u) d (v) 32

2

* T TT

R.H.S

L.H.S

1,4 1,3

3 2

6N 12N 24N (K ) 36N (K )

14N (P ) 48N (P ) 2q

T T T T

T T

4 3

6N 6N 12N

12N 14N (P ) 16N (P ) 2N

* * *T T T

* * *T T T

2(P )*

T

N N

* TT

1,4 1,3

3 2

6N 12N 24N (K ) 36N (K )

14N (P ) 48N (P ) 2q

T T T T

T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3

uv E( )d(u,v) 2

iv. d(u)d(v) d (u) d (v) 24N 24N

60N

T TT

T60N

50N 50N

T

T T

4 3 230N (P ) 32N (P ) 2N (P )

T T T

3 3

xy E( )d(x,y) 2

d(x)d(y) d (x) d (y) 24N 24N

60N

* *T T*

T

*T

60N

50N 50N

*T

* *T T

4 3 230N (P ) 32N (P ) 2N (P )

*T* *

T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3 3 3

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d(x)d(y) d (x) d (y) d(u)d(v) d (u) d (v) 64

2

* T TT

R.H.S

L.H.S

1,5 1,4 1,3 3 2

24N 60N 50N

120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 30N (P ) 96N (P ) 2q

T T T

T T T T T

24N 24N 60N

60N 50N

* * *T T T

* *T T

4 3 2

50N

30N (P ) 32N (P ) 2N (P )

*T

* * *T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

N N

* TT

1,5 1,4 1,3 3 2

24N 60N 50N

120N (K ) 240N (K ) 150N (K ) 30N (P ) 96N (P ) 2q

T T T

T T T T T

102

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

4

i. d (u)d (v) 4N 6N

2N 9N(P ) 6N

3 2(P ) N(P )


2 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d (u)d (v) d(u) d(v) 12N 48N

18N

50N

14N 6N

4 3 242N(P ) 20N(P ) 2N(P )

2 2 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

iii. d (u)d (v) d (u) d (v) 48N 120N

200

N 72N

24N 60N

180N 180N

4 3 2

52N

90N(P ) 36N(P ) 2N(P )

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d (u)d (v) 36N 72N 42N

84N

4

144N 6N

12N 49N(P ) 14N(P

3 2) N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars


uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1i. N =

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

4N = (d(u) 1)(d(u) 2)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

d (u)d (v) 3d(u)d(v) d(u) d(v)

4N = 2 d (u) d (v) 6 d(u) d(v)

9d(u)d(v) 4

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2


2 2


d (u)d (v) 4N 9 d(u)d(v) 6 d(u) d(v)

2 d (u) d (v) 3 d(u)d(v)

2d(u) d(v) 4N(P )

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

4

i. d (u)d (v) 4N 6N

2N 9N(P ) 6N

3 2(P ) N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 1ii. N

2 3 3 2

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)12N

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2

2 2 3 3

2 2u

2 2

d (u)d (v) d(u) d(v) 40 d(u) d(v)

18 d (u) d (v) 2 d (u) d (v)12N

29d(u)d(v) d(u) d(v) 12d (u)d (v)

3d(u)d(v) d (u) d (v) 66d(u)d(v) 24

v E(T)d(u,v) 2

2 2 3 3


2 2 2 2

uv E(T) uv E(d(u,v) 2

d (u)d (v) d(u) d(v) 12 2 d (u) d (v)

3 d(u)d(v) d (u) d (v) 12 d (u)d (v)

T)d(u,v) 2


2 2

2

uv E(T) uv E(T)d(u ,v) 2 d(u,v) 2

29 d(u)d(v) d(u) d(v) 66 d(u)d(v)

18 d (u) d (v) 40 d(u) d(v) 24N(P )

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d (u)d (v) d(u) d(v) 12N 48N

18N

50N

14N 6N

4 3 242N(P ) 20N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1 d(u) 1 d(v) 1iii. N =

2 4 4 2

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)(d(v) 4)48N =

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(u) 4)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2 2 2 4 4

3 3 3 3

2 2 2 2

2 2

d (u)d (v) d (u) d (v) 2 d (u) d (v)

3d(u)d(v) d (u) d (v) 20 d (u) d (v)

10d (u)d (v) d(u) d(v) 94 d (u) d (v)48N =

30d(u)d(v) d (u) d (v) 172 d(u

uv E(T)d(u,v) 2

2 2

) d(v)

155d(u)d(v) d(u) d(v) 300d(u)d(v)

70d (u)d (v) 96

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2 4 4


3 3 2 2


d (u)d (v) d (u) d (v) 48N 2 d (u) d (v)

20 d (u) d (v) 94 d (u) d (v) 172 d(

uv E(T)d(u,v) 2

2 2 2 2


3 3


u) d(v)

10 d (u)d (v) d(u) d(v) 30 d(u)d(v) d (u) d (v)

155 d(u)d(v) d(u) d(v) 3 d(u)d(v) d (u) d (v)

2 2

2


300 d(u)d(v) 70 d (u)d (v) 96N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

iii. d (u)d (v) d (u) d (v) 48N 120N

200

N 72N

24N 60N

180N 180N

4 3 2

52N

90N(P ) 36N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1iv. N =

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

36N = (d(u) 1)(d(u) 2)(d(u) 3)(d(v) 1)(d(v) 2)(d(v) 3)

3 3 2 2

2 2 3 3

2 2

2 2

d (u)d (v) 36d (u)d (v) 121d(u)d(v)

11d(u)d(v) d (u) d (v) 6 d (u) d (v)36N =

66d(u)d(v) d(u) d(v) 36 d (u) d (v)

6d (u)d (v) d(u) d(v) 66 d(u) d(v) 36

uv E(T)d(u,v) 2

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3 2 2


2 2 3 3

uv E(T) uv E(d(u ,v) 2

d (u)d (v) 36N 36 d (u)d (v) 121 d(u)d(v)

11 d(u)d(v) d (u) d (v) 6 d (u) d (v)

T)d(u,v) 2

2 2


2 2

2


66 d(u)d(v) d(u) d(v) 36 d (u) d (v)

6 d (u)d (v) d(u) d(v) 66 d(u) d(v) 36N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d (u)d (v) 36N 72N 42N

84N

4

144N 6N

12N 49N(P ) 14N(P

3 2) N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars



2 2

4

uv E( )d(u,v) 2

i. d (u)d (v) 4N 6N

2N 9N (P )

T TT

T T 3 26N (P ) N (P )T T

2 2

4

xy E( )d(x,y) 2

d (x)d (y) 4N 6N

2N 9N (P ) 6N (P

* *T T*T

* * *T T T

3 2) N (P )*

T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (x)d (y) d (u)d (v) 16

2

* T TT

R.H.S

L.H.S

1,3

3 2

4N 6N 6N (K )

9N (P ) 22N (P ) q

T T T

T T

4 3 2

4N 6N 2N

9N (P ) 6N (P ) N (P )

* * *T T T

* * *T T T

N N

* TT

1,3

3 2

4N 6N 6N (K )

9N (P ) 22N (P ) q

T T T

T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E( )d(u,v) 2

ii. d (u)d (v) d(u) d(v) 12N 48N

18N

T TT

T50N

14N 6N

T

T T

4 3 242N (P ) 20N (P ) 2N (P )

T T T

2 2

xy E( )d(x,y) 2

d (x)d (y) d(x) d(y) 12N 48N

18N

* *T T*

T

*T

50N

14N 6N

*T

* *T T

4 3 242N (P ) 20N (P ) 2N (P ) * * *

T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (x)d (y) d(x) d(y) d (u)d (v) d(u) d(v) 64

2

* T TT

R.H.S

L.H.S

1,4 1,3

12N 18N

48N 50N

24N (K ) 42N (K ) 42N

T T

T T

T T 3 2(P ) 84N (P ) 2q T T

12N 48N 18N

50N 14N

* * *T T T

* *T T

4 3 2

6N

42N (P ) 20N (P ) 2N (P )

*T

* * *T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

N N

* TT

1,4 1,3

12N 18N

48N 50N

24N (K ) 42N (K ) 42N

T T

T T

T T 3 2(P ) 84N (P ) 2q T T

2 2 2 2

uv E( )d(u,v) 2

iii. d (u)d (v) d (u) d (v) 48N

120N 200N 72N

TT

T T T

24N 60N 180N

180N

T T T

T

4 3 2

52N

90N (P ) 36N (P ) 2N (P )

T

T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

xy E( )d(x,y) 2

d (x)d (y) d (x) d (y) 48N

120N 200N 72N

*T*T

* * *T T T

24N 60N 180N

1

* * *T T T

4 3 2

80N 52N

90N (P ) 36N (P ) 2N (P )

* *T T

* * *T T T

2 2 2 2 2 2 2 2

uv E( )xy E( )d(x,y) 2

v V( )

d (x)d (y) d (x) d (y) d (u)d (v) d (u) d (v)

d(v) 128

2

* TT

T

L.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

48N 72N 180N

180N 200N

T T T

T T

1,5 1,4 1,3 3 2

120N

120N (K ) 240N (K ) 156N (K ) 90N (P ) 164N (P ) 2q

T

T T T T T

48N 120N 200N

72N 24N

* * *T T T

* *T T

60N

180N 180N 52N

*T

* * *T T T

4 3 290N (P ) 36N (P ) 2N (P )

* * *

T T T

R.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

N N

* TT

48N 72N 180N

180N 200N

T T T

T T

1,5 1,4 1,3 3 2

120N

120N (K ) 240N (K ) 156N (K ) 90N (P ) 164N (P ) 2q

T

T T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3

xy E( )d(x,y) 2

d (x)d (y) 36N 72N 42N

84N

* * *T T T*

T

*T

4

144N 6N

12N 49N (P ) 14N

* *T T

* *T T

3 2(P ) N (P )* *

T T

3 3

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d (u)d (v) 36N 72N 42N

84N

T T T

T

4

144N 6N

12N 49N (P )

T T

T T 3 214N (P ) N (P )T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

3 3 3 3

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (x)d (y) d (u)d (v) 64

2

* T TT

R.H.S

L.H.S

36N 72N 42N

84N 144N

T T T

T T

1,4 1,3 3 224N (K ) 36N (K ) 49N (P ) 78N (P ) q

T T T T

36N 72N 42N

84N 144N

* * *T T T

* *T T

4 3 2

6N

12N 49N (P ) 14N (P ) N (P )

*T

* * * *T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

N N

* TT

36N 72N 42N

84N 144N

T T T

T T

1,4 1,3 3 224N (K ) 36N (K ) 49N (P ) 78N (P ) q

T T T T

125

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(w) 2)32. N

(d(w) 2)(d(v) 1)

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 133. N (d(w) 2) (d(w) 2)

2 2

(2,2)

1N N T

4

(1,2) (2,1)

1N N T T

2

(3,1) (1,3)

1N N T T

3

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2 d(w) 234. N (d(u) 1) (d(v) 1)

2 2

126

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(w) 2 d(w) 2 d(v) 135. N

2 2 2 2

(3,2) (2,3)

1N N T T

3


uw,wv E(T)

1,3 3 2

uv E(T)d(u,v) 2

i. d(w) d(u) d(v) 2N 6N(K ) 4N(P ) 4N(P )

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d(w) d (u) d (v) 8N 10N

6N

1,3 3 2(K ) 12N(P ) 4N(P )

127

26VIT1984-2010

Creating Stars

2

uv E(T)d(u,v) 2

1,4 1,3

iii. d (w) d(u) d(v) 6N 10N

24N(K ) 30N(K )

3 28N(P ) 8N(P )

2 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d (w) d (u) d (v) 40N 12N

18N

1,4 1,3 3 2

38N

24N(K ) 30N(K ) 24N(P ) 8N(P )


uv E(T)d(u,v) 2

1i. N (d(w) 2)(d(v) 1) (d(w) 2)(d(u) 1)

2

uv E(T)d(u,v) 2

2N d(w) d(u) d(v) 2 d(u) d(v) 2d(w) 4


2

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) d(u) d(v) 2N 2 d(u) d(v)

2 d(w) 4N(P )

1,3 3 2

uv E(T)d(u,v) 2

i. d(w) d(u) d(v) 2N 6N(K ) 4N(P ) 4N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 11ii. N (d(w) 2) (d(w) 2)

2 24

uv E(T)d(u,v) 2

(d(w) 2)(d(u) 1)(d(u) 2)8N

(d(w) 2)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2

2 2uv E(T)d(u,v) 2

d(w) d (u) d (v) 3d(w) d(u) d(v)8N

4d(w) 2 d (u) d (v) 6 d(u) d(v) 8

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2


2 2

uv E(T) uv E(d(u,v) 2

d(w) d (u) d (v) 8N 3 d(w) d(u) d(v)

2 d (u) d (v) 6 d(u) d(v)

T)

d(u,v) 2

2

uv E(T)d(u,v) 2

4 d(w) 8N(P )

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d(w) d (u) d (v) 8N 10N

6N

1,3 3 2(K ) 12N(P ) 4N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2 d(w) 21iii. N (d(u) 1) (d(v) 1)

2 23

uv E(T)d(u,v) 2

(d(w) 2)(d(w) 3)(d(u) 1)6N

(d(w) 2)(d(w) 3)(d(v) 1)

2

2uv E(T)d(u,v) 2

d (w) d(u) d(v) 5d(w) d(u) d(v)6N

6 d(u) d(v) 2d (w) 10d(w) 12

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2


uv E(T) uvd(u,v) 2

d (w) d(u) d(v) 6N 6 d(u) d(v) 2 d (w)

5 d(w) d(u) d(v) 10 d(w)

2

E(T)d(u,v) 2

12N(P )

2

uv E(T)d(u,v) 2

1,4 1,3


24N(K ) 30N(K )

3 28N(P ) 8N(P )

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2 d(u) 1 d(w) 2 d(v) 11iv. N

2 2 2 23

uv E(T)d(u,v) 2

(d(w) 2)(d(w) 3)(d(u) 1)(d(u) 2)12N

(d(w) 2)(d(w) 3)(d(v) 1)(d(v) 2)

2 2 2 2

2 2

2 2uv E(T)d(u,v) 2

2

d (w) d (u) d (v) 3d (w) d(u) d(v)

5d(w) d (u) d (v) 15d(w) d(u) d(v)12N

6 d (u) d (v) 18 d(u) d(v)

4d (w) 20d(w) 24

2 2 2 2 2


2

uv E(T) uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2 d(u,

d (w) d (u) d (v) 12N 6 d (u) d (v)

18 d(u) d(v) 15 d(w) d(u) d(v) 3 d (w) d(u) d(v)

v) 2

2 2 2

2

uv E(T) uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2 d(u ,v) 2

5 d(w) d (u) d (v) 4 d (w) 20 d(w) 24N(P )

2 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d (w) d (u) d (v) 40N 12N

18N

1,4 1,3 3 2

38N

24N(K ) 30N(K ) 24N(P ) 8N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

26VIT1984-2010

Creating Stars



1,3 3 2

uv E( )d(u,v) 2

i. d(w) d(u) d(v) 2N 6N (K ) 4N (P ) 4N (P )

T T T T

T

1,3 3 2

xy E( )d(x,y) 2

d(z) d(x) d(y) 2N 6N (K ) 4N (P ) 4N (P )

* * * *

T T T T*T

R.H.S

L.H.S

xy E( ) v V( )xy E( )

d(x,y) 2

d(v)d(z) d(x) d(y) 2 d(u) d(v) 4 d(v)

2

* T TT

1,3 212N (K ) 12N (P ) 4q T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

1,3 3 22N 6N (K ) 4N (P ) 4N (P )

* * * *T T T T

1,3 212N (K ) 12N (P ) 4q T T

2 2

uv E( )d(u,v) 2

ii. d(w) d (u) d (v) 8N 10N

TTT

1,3 3 26N (K ) 12N (P ) 4 N(P ) T T T

2 2

1,3

xy E( )d(x,y) 2

d(z) d (x) d (y) 8N 10N

6N (K

* *T T*T

*T

3 2) 12N (P ) 4N (P ) * *

T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d(z) d (x) d (y) 2 d (u) d (v) 8 d(v)

2

* T TT

L.H.S

1,3 236N (K ) 28N (P ) 4q T T

1,3 3 28N 10N 6N (K ) 12N (P ) 4N (P )

* * * * *T T T T T

R.H.S

1,3 236N (K ) 28N (P ) 4q T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2

1,4 1,3

uv E( )d(u,v) 2


24N (K ) 30N (K ) 8N (

T TT

T T T 3 2P ) 8N (P )T

2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (z) d(x) d(y) 4 d(u) d(v) 4 d (v)

2

* T TT

2

1,4 1,3 3

xy E( )d(x,y) 2

d (z) d(x) d(y) 6N 10N

24N (K ) 30N (K ) 8N (P ) 8N

* *T T*T

* * *T T T T

2(P )*

L.H.S

1,4 1,3 248N (K ) 60N (K ) 24N (P ) 8q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

R.H.S

1,4 1,3

3 2

6N 10N 24N (K ) 30N (K )

8N (P ) 8N (P )

* * * *T T T T

* *T T

1,4 1,3 248N (K ) 60N (K ) 24N (P ) 8q T T T

2 2 2

uv E( )d(u,v) 2

iv. d (w) d (u) d (v) 40N 12N

18N

T TT

T

1,4 1,3 3 2

38N

24N (K ) 30N (K ) 24N (P ) 8N (P )

T

T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2

xy E( )d(x,y) 2

d (z) d (x) d (y) 40N 12N

18N

* *T T*

T

*T

1,4 1,3 3 2

38N

24N (K ) 30N (K ) 24N (P ) 8N (P )

*T

* * * *T T T T

2 2 2 2 2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d (z) d (x) d (y) 4 d (u) d (v) 8 d (v)

2

* T TT

L.H.S

1,4 1,3 296N (K ) 144N (K ) 56N (P ) 8q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,4 1,3

40N 12N

18N 38N

24N (K ) 30N (K ) 24N (

* *T T

* *T T

* * *T T T

3 2P ) 8N (P )*

T

R.H.S

1,4 1,3 296N (K ) 144N (K ) 56N (P ) 8q T T T

142

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 237. N (d(u) 1) (d(v) 1)

2

uv E(T)d(u,v) 2

d(v) 1d(u) 1 (d(w) 2)

238. N

d(u) 1(d(w) 2) d(v) 1

2

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2 d(v) 1d(u) 1

2 239. N

d(v) 1 d(w) 2d(v) 1

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

36. N (d(u) 1)(d(w) 2)(d(v) 1)

143

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 140. N (d(w) 2)

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(w) 2 d(v) 141. N

2 2 2


uw,wv E(T)

uv E(T)d(u,v) 2

1,3 4 3 2

i. d(u)d(w)d(v) N 2N

3N(K ) 2N(P ) 4N(P ) 2N(P )

144

26VIT1984-2010

Creating Stars

2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d(u)d (w)d(v) 2N 5N 6N

10N

1,4 1,3 4

3 2

12N(K ) 15N(K ) 4N(P )

8N(P ) 4N(P )

uv E(T)d(u,v) 2

iii. d(u)d(w)d(v) d(u) d(v) 2N 4N

6N 12N

1,3 4 3 2

8N

6N(K ) 12N(P ) 16N(P ) 4N(P )

145

26VIT1984-2010

Creating Stars

2

uv E(T)d(u,v) 2

iv. d(u)d (w)d(v) d(u) d(v)

4N 12N 30N

8N

10N 24N

48N 40N 12N

1,4 1,3 4 3 224N(K ) 30N(K ) 24N(P ) 32N(P ) 8N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars


uv E(T)d(u,v) 2

i. N (d(u) 1)(d(w) 2)(d(v) 1)

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) d(w) d(u) d(v) d(u)d(w)d(v)N

2 2 d(u) d(v) 2d(u)d(v)


uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,

d(u)d(w)d(v) N d(w) d(w) d(u) d(v)

2 d(u) d(v) 2 d(u)d(v)

2

v) 2

2N(P )

uv E(T)d(u,v) 2

1,3 4 3 2


3N(K ) 2N(P ) 4N(P ) 2N(P )

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2ii. N (d(u) 1) (d(v) 1)

2

uv E(T)d(u,v) 2

2N (d(u) 1)(d(w) 2)(d(w) 3)(d(v) 1)

2

uv E(T)d(u,v) 2

1 d(u) d(v) d(u)d(v)2N

d (w) 5d(w) 6

2 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

d (w) d (w) d(u) d(v) d(u)d (w)d(v)

2N 5d(w) 5d(w) d(u) d(v) 5d(u)d(w)d(v)

6 6 d(u) d(v) 6d(u)d(v)

26VIT1984-2010

Creating Stars

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2


2


d(u)d (w)d(v) 2N d (w) d(u) d(v)

d (w) 5 d(w) 5 d(w) d(u) d(v)


2

uv E(T)d(u,v) 2

5 d(u)d(w)d(v) 6 d(u) d(v)

6 d(u)d(v) 6N(P )

2

uv E(T)d(u,v) 2


10N

1,4 1,3 4

3 2

12N(K ) 15N(K ) 4N(P )

8N(P ) 4N(P )

uv E(T)d(u,v) 2

d(v) 1(d(u) 1)(d(w) 2)

2iii. N

d(u) 1(d(w) 2)(d(v) 1)

2

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(w) 2)(d(v) 1)(d(v) 2)2N

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(w) 2)(d(v) 1)

2 2

2 2uv E(T)d

d(u)d(w)d(v) d(u) d(v) d(w) d (u) d (v)

2d(u)d(v) d(u) d(v) 10 d(u) d(v)2N

2 d (u) d (v) 6d(u)d(w)d(v) 4d(w)

5d(w) d(u) d(v) 12d(u)d(v) 8

(u,v) 2

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u ,v) 2

uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d

d(u)d(w)d(v) d(u) d(v) 2N d(w) d (u) d (v)

2 d(u)d(v) d(u) d(v) 10 d(u) d(v)

(u,v) 2

2 2

2



2 d (u) d (v) 6 d(u)d(w)d(v) 8N(P )

4 d(w) 5 d(w) d(u) d(v) 12

uv E(T)d(u,v) 2

d(u)d(v)

uv E(T)d(u,v) 2


6N 12N

1,3 4 3 2

8N

6N(K ) 12N(P ) 16N(P ) 4N(P )

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(w) 2)(d(w) 3)(d(v) 1)(d(v) 2)4N

(d(u) 1)(d(u) 2)(d(w) 2)(d(w) 3)(d(v) 1)

uv E(T)d(u,v) 2

d(w) 2 d(v) 1(d(u) 1)

2 2iv. N

d(u) 1 d(w) 2(d(v) 1)

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

d(u)d (w)d(v) d(u) d(v) 6d(u)d (w)d(v)

5d (w) d(u) d(v) d (w) d (u) d (v) 4d (w)

5d(w)d(u)d(v) d(u) d(v) 30d(u)d(w)d(v)4N

25d(w) d(u) d(v) 5d(w) d (u) d (v) 20d(

uv E(T)d(u,v) 2

2 2

w)

6d(u)d(v) d(u) d(v) 36d(u)d(v) 30 d(u) d(v)

6 d (u) d (v) 24

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2



d(u)d (w)d(v) d(u) d(v) 4N 6 d(u)d (w)d(v)

5 d(u)d(w)d(v) d(u) d(v) 30 d(u)d(w)d(v) 36 d(u

uv E(T)d(u,v) 2


2 2 2

uv E(T) uv E(Td(u,v) 2

)d(v)

25 d(w) d(u) d(v) 6 d(u)d(v) d(u) d(v) 30 d(u) d(v)

6 d (u) d (v) 5 d (w) d(u) d(v)

2 2 2

) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2

2 2 2

2


d (w) d (u) d (v)

5 d(w) d (u) d (v) 4 d (w) 20 d(w) 24N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

2

uv E(T)d(u,v) 2


4N 12N 30N

8N

10N 24N

48N 40N 12N

1,4 1,3 4 3 224N(K ) 30N(K ) 24N(P ) 32N(P ) 8N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars



1,3 4 3 2

uv E( )d(u,v) 2


3N (K ) 2N (P ) 4N (P ) 2N (P )

T TT

T T T T

1,3 4 3 2

xy E( )

d(x,y) 2

d(x)d(z)d(y) N 2N

3N (K ) 2N (P ) 4N (P ) 2N (P )

* *T T*

T

* * * *T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

L.H.S

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d(x)d(z)d(y) 2d(u)d(v) 4 d(v)

2

* T TT

1,3 3 212N (K ) 2N (P ) 12N (P ) 2q T T T

R.H.S

1,3 4 3 2

N 2N

3N (K ) 2N (P ) 4N (P ) 2N (P )

* *T T

* * * *T T T T

1,3 3 212N (K ) 2N (P ) 12N (P ) 2q T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2

uv E( )d(u,v) 2


10N

T T TT

1,4 1,3 4

3 2

12N (K ) 15N (K ) 4N (P )

8N (P ) 4N (P )

T T T T

T T

2

xy E( )d(x,y) 2

d(x)d (z)d(y) 2N 5N 6N

10N

* * *T T T*

T

*T

1,4 1,3 4

3 2

12N (K ) 15N (K ) 4N (P )

8N (P ) 4N (P )

* * *T T T

* *T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E( ) v V( )xy E( )d(x,y) 2

d(v)d(x)d (z)d(y) 4d(u)d(v) 4 d (v)

2

* T TT

L.H.S

R.H.S

1,4 1,3 3 248N (K ) 60N (K ) 4N (P ) 24N (P ) 4q T T T T

1,4 1,3

2N 5N 6N

10N 12N (K ) 15N (K )

4N

* * *T T T

* * *T T T

T4 3 2(P ) 8N (P ) 4N (P )

* * *T T

1,4N 6N (K )

* TT

1,4 1,3 3 248N (K ) 60N (K ) 4N (P ) 24N (P ) 4q T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E( )d(u,v) 2


6N 12N

T TT

T T

1,3 4 3 2

8N

6N (K ) 12N (P ) 16N (P ) 4N (P )

T

T T T T

xy E( )d(x,y) 2

d(x)d(z)d(y) d(x) d(y) 2N 4N

6N 12N

* *T T*

T

* *T T

1,3 4 3 2

8N

6N (K ) 12N (P ) 16N (P ) 4N (P )

*T

* * * *T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

L.H.S

R.H.S

uv E( )xy E( )

d(x,y) 2

v V( )

d(x)d(z)d(y) d(x) d(y) 2d(u)d(v) d(u) d(v)

d(v) 16 d(v)

2

* TT

T

1,3 3 24N 60N (K ) 12N (P ) 48N (P ) 4q

T T T T

2N 4N 6N

12N 8N

* * *T T T

* *T T

1,3 4 3 26N (K ) 12N (P ) 16N (P ) 4N (P )

* * * *

T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

N 0

*T

1,3 3 24N 60N (K ) 12N (P ) 48N (P ) 4q

T T T T

2

uv E( )d(u,v) 2


4N 12N 30N

8N

T

T T T

T 10N 24N

48N 40N 12

T T

T T

1,4 1,3 4 3 2

N

24N (K ) 30N (K ) 24N (P ) 32N (P ) 8N (P )

T

T T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2

xy E( )d(u,v) 2

d(x)d (z)d(y) d(x) d(y)

4N 12N 30N

8N

*

T

* * *T T T

*T10N 24N

48N 40N 12N

* *T T

* * *T T T

1,4 1,3 4 3 224N (K ) 30N (K ) 24N (P ) 32N (P ) 8N (P )

* * * * *T T T T T

2

uv E( )xy E( )d(u,v) 2

2

v V( )

d(x)d (z)d(y) d(x) d(y) 4d(u)d(v) d(u) d(v)

d(v) 16 d (v)

2

* TT

T

L.H.S

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,4 1,3

3 2

8N 192N (K ) 264N (K )

24N (P ) 96N (P ) 8q

T T T

T T

4N 12N 30N

8N 10N

* * *T T T

* *T T

1,4

24N

48N 40N 12N

24N (K ) 30N

*

*T

* * *T T T

T T 1,3 4 3 2(K ) 24N (P ) 32N (P ) 8N (P ) * * * *T T T

R.H.S

1,4 1,3

3 2

8N 192N (K ) 264N (K )

24N (P ) 96N (P ) 8q

T T T

T T

*TN 0

163

26VIT1984-2010

Creating Stars


uw,wv E(T)

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

i. d (u)d(w)d (v) 4N 6N

9N 8N

8N 10N 12N

1,3 4 3 23N(K ) 18N(P ) 12N(P ) 2N(P )

164

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

ii. d (u)d (w)d (v)

8N 18N 20N

30N

45N 40N

16N 12N

38N

24N 18N 12N

1,4 1,3 4 3 212N(K ) 15N(K ) 36N(P ) 24N(P ) 4N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars


uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(v) 1i. N (d(w) 2)

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(u) 2)

4N (d(w) 2)

(d(v) 1)(d(v) 2)

2

uv E(T)2

d(u,v) 2

d (u) 3d(u) 2

4N (d(w) 2)

d (v) 3d(v) 2

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

2 2

2 2

2 2

d (u)d(w)d (v) 3d(u)d(w)d(v) d(u) d(v)

2d(w) d (u) d (v) 6d(w) d(u) d(v)

9d(u)d(w)d(v) 4d(w)

4N

2d (u)d (v) 6d(u)d(v) d(u) d(v)

4 d (u) d (v) 12 d(u) d(v)

18d(u)d

uv E(T)d(u,v) 2

(v) 8

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2



d (u)d(w)d (v) 4N 9 d(u)d(w)d(v)

3 d(u)d(w)d(v) d(u) d(v) 4 d(w)

2 2


2 2


2 2

uv E(T)d(u,

2 d(w) d (u) d (v) 6 d(w) d(u) d(v)

2 d (u)d (v) 6 d(u)d(v) d(u) d(v)

4 d (u) d (v)

uv E(T)

v) 2 d(u,v) 2

2

uv E(T)d(u,v) 2

12 d(u) d(v)

18 d(u)d(v) 8N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

uv E(T)d(u,v) 2

i. d (u)d(w)d (v) 4N 6N

9N 8N

8N 10N 12N

1,3 4 3 23N(K ) 18N(P ) 12N(P ) 2N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars

uv E(T)d(u,v) 2

d(u) 1 d(w) 2 d(v) 1ii. N

2 2 2

uv E(T)d(u,v) 2

(d(u) 1)(d(u) 2)

8N (d(w) 2)(d(w) 3)

(d(v) 1)(d(v) 2)

2

2 2

2 2uv E(T)d(u,v) 2

d (w) 5d(w) 6

d (u)d (v) 3d(u)d(v) d(u) d(v)8N

2 d (u) d (v) 6 d(u) d(v)

9d(u)d(v) 4

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

d (u)d (w)d (v) 3d(u)d (w)d(v) d(u) d(v)

2d (w) d (u) d (v) 6d (w) d(u) d(v)

9d(u)d (w)d(v) 4d (w)

5d (u)d(w)d (v) 15d(u)d(w)d(v) d(u) d(v)

8N 10d(w) d (u) d (v)

uv E(T)d(u,v) 2

2 2

2 2

30d(w) d(u) d(v)

45d(u)d(w)d(v) 20d(w)

6d (u)d (v) 18d(u)d(v) d(u) d(v)

12 d (u) d (v) 36 d(u) d(v)

54d(u)d(v) 24

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2


2 2 2 2

uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v)

8N d (u)d (w)d (v) 9 d(u)d (w)d(v)

2 d (w) d (u) d (v) 6 d (w) d(u) d(v)

2

2 2


2 2


3 d(u)d (w)d(v) d(u) d(v) 4 d (w)

5 d (u)d(w)d (v) 15 d(u)d(w)d(v) d(u) d(v)

2 2



2 2

uv E(T)

10 d(w) d (u) d (v) 30 d(w) d(u) d(v)

45 d(u)d(w)d(v) 20 d(w)

6 d (u)d (v)

2 2

uv E(T) uv E(T)d(u,v) 2 d(u,v) 2 d(u,v) 2

2


18 d(u)d(v) d(u) d(v) 12 d (u) d (v)

36 d(u) d(v) 54 d(u)d(v) 24N(P )

26VIT1984-2010

Creating Stars



2 2

uv E( )d(u,v) 2

i. d (u)d(w)d (v) 4N 6N

9N

T T

T

T 8N

8N 10N 12N

T

T T T

1,3 4 3 23N (K ) 18N (P ) 12N (P ) 2N (P ) T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2

xy E( )d(x,y) 2

d (x)d(z)d (y) 4N 6N

9N

*

* *T TT

*T8N

8N 10N 12N

*T

* * *T T T

1,3 4 3 23N (K ) 18N (P ) 12N (P ) 2N (P ) * * * *T T T T

L.H.S

2 2 2 2

xy E( ) uv E( ) v V( )d(x,y) 2

d(v)d (x)d(z)d (y) 2 d (u)d (v) 16 d(v)

2

*T T T

1,3 3 28N 12N 60N (K ) 18N (P ) 44N (P ) 2q

T T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

1,3 3 28N 12N 60N (K ) 18N (P ) 44N (P ) 2q

T T T T T

4N 6N

9N 8N

8N

* *T T

* *T T

*T

1,3 4 3 2

10N

12N

3N (K ) 18N (P ) 12N (P ) 2N (P )

*T

*T

* * * *T T T T

R.H.S

*TN 0

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2

uv E( )d(u,v) 2

ii. d (u)d (w)d (v)

8N 18N 20N

T

T T T

30N 45N 40N

16N 12N

T T T

T T 38N

24N 18N 12N

T

T T T

1,4 1,3 4 3 212N (K ) 15N (K ) 36N (P ) 24N (P ) 4N (P )

T T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2

xy E( )d(x,y) 2

ii. d (x)d (z)d (y)

8N 18N 20N

*

*

T

* * TT T

30N 45N 40N

16N 12N

* * *

* *

T T T

T T 38N

24N 18N 12N

*

* * *

T

T T T

1,4 1,3 4 3 212N (K ) 15N (K ) 36N (P ) 24N (P ) 4N (P )

* * * * *T T T T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

2 2 2 2 2 2

xy E( ) uv E( ) v V( )d(x,y) 2

d(v)d (x)d (z)d (y) 4 d (u)d (v) 16 d (v)

2

*T T T

L.H.S

1,4 1,3

3 2

16N 24N 192N (K ) 264N (K )

36N (P ) 88N (P ) 4q

T T T T

T T

26VIT1984-2010

Creating Stars

8N 18N 20N

30N

*

*

* * TT T

T45N 40N

16N 12N 38N

* *

* *

T T

T T T

24N 18N 12N

*

* * *T T T

1,4 1,3 4 3 212N (K ) 15N (K ) 36N (P ) 24N (P ) 4N (P ) * * * * *T T T T T

R.H.S

1,4 1,3

3 2

16N 24N 192N (K ) 264N (K )

36N (P ) 88N (P ) 4q

T T T T

T T

*TN 0

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Creating Stars

Theorem 1:

Let T be a tree on ‘q’ edges.

jm m

Let V( ) , , ,. . .,

Define H (m) as follows:

V H (m) V( ) , , ,. . .,

E H (m) , , , , , \{ } E( )

for 1 m q 1

i

T

T 1 2 3

1 2 3 q+1

i iT

q

j j

+1u

v v v v

v

u

v

T

T

v v , v

u

u u T

u

u

26VIT1984-2010

Creating Stars

3

1,3

3 2

xy E(H (m))

x N ( )

d(x)d(y) d(x) d(y)

=2 d( ) 1 4N 12N (K )

12N (P ) 16N (P ) 4q

4d( ) d(x) 2 d(x) d(x)

m

m

T

v

T

T

T T

T m

v

v x N ( )

1

T vm

1v 3

v2

v

4vExample

T

1v

4v

3v

2u

2v

3u

1u

4u

1v

4v

3v

2u

2v

3u

1u

4u

T

T

H m)T

(

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Creating Stars

mv

mu

i1u

i2u

i3u

iru

i1v

i2v

i3v

irv

H mT

r d ( ) d ( ) m mT Tv u

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Creating Stars

Proof of Theorem 1:

In the new tree H (m)

V H (m) 2 V( )

E H (m) 2 E( ) 1

, E( ) , , E H (m)

i j i

T

j i j

T

T

T

T

T

vu uvv v T

Let E H (m)

, ,

1 k d( ) d( )

m m m m

m m

T

iik k

U

U , v u,v u v

v u

u

iv jvT

ivjv

iu j

u

H m)T

(

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Creating Stars

T T

T T

T

H (m) H (m) T

2d ( ) 1

d ( ) d ( ) d ( ) 1

E H (m) E H (m)

m

m m m

v

v u

U

v

U

\ U

xy E(H (m)) xyT

xy (H (m))T

d(x)d(y) d(x) d(y) d(x)d(y) d(x) d(y)

d(x)d(y) d(x) d(y)

U

\U

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Creating Stars

3

xy E(H (m))T

d( )

k 1

xy (H (T

d(x)d(y) d(x) d(y) 2 d( ) 1

2 d( ) 1 d( ) d( ) d( ) 1

d(x)d(y) d(x) d(y)

i ik k

m

vm

m mu

v

v uv

m))

\U

2

Expanding d( ) 1 d( ) d( ) d( ) 1

d( )d( ) d( ) d( )

2d( )d( ) d ( ) d( )

i ik k

i ik k

i i ik k k

m m

m m

m

v v

v v

u uv

u u

u u

u

26VIT1984-2010

Creating Stars

3

xy E(H (m))T

d( )

k 1

d( ) d

k 1 k 1

d(x)d(y) d(x) d(y) 2 d( ) 1

2 d( )d( ) d( ) d( )

4 d( )d( ) 2 d(

i

m

v

ik k

i

m

m m

vm

m ik k

v

v u u

u u

v

v

(v )m

xy E(H (m))T

) d( ) 1

d(x)d(y) d(x) d(y)

ik

\U

u

26VIT1984-2010

Creating Stars

3

uv E(T)

x N ( ) x N ( )T T

2 d( ) 1 2 d(u)d(v) d(u) d(v)

4d( ) d(x) 2 d(x) d(x) 1

m

mv vm m

v

v

3

1,3

3 2

xy E(H (m))T

T T

T T

x N ( )T

d(x)d(y) d(x) d(y)

=2 d( ) 1 4N 12N (K )

12N (P ) 16N (P ) 4q

4d( ) d(x) 2 d(x)

m

mvm

v

v x N ( )T

d(x) 1

vm

tree1

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