tratado1011.pdf

1

Por aqui colocamos alguns problemas, construes e animaes de geometria que nos

foram sugeridos pelo estudo ou por necessidades do ensino - bsico e secundrio. As

ilustraes e construes dinmicas comearam por ser feitas com recurso ao Cinderella

de Ulli Kortemkamp - um programa de geometria dinmica disponibilizado pelo

Ministrio da Educao - e, depois, quase exclusivamente com ferramentas gratuitas

como o caso de Zirkel und Lineal do prof. R. Grothmann. Mais recentemente ainda,

comemos a usar o gratuito GeoGebra de Markus Hohenwarter. certo que h muitos

problemas que no sabemos resolver nem ilustrar. E , tambm por isso, que aceitamos

tanto sugestes para novos problemas como propostas de soluo. Pode no ser bvio,

mas claro que nos interessa tudo quanto seja til ao ensino da geometria e esclarea

possveis usos da tecnologia, vantagens e limitaes. Para o nosso lado, que o da

geometria elementar, toda a ajuda bem-vinda. A quem nos visita, pedimos que deixe

comentrio crtico sobre algum artigo, construo, animao ou exerccio interactivo

que tenha visto.

http://geometrias.blogspot.com

http://geometrias.eu

De Setembro 2010 a Junho 2011

3

5 . 9 . 1 0

Trapzio circunscrito

O primeiro problema da

construo bsica (9 ano)

de um trapzio ABCD,

circunscrito a uma

circunferncia, conhecidos

que so os pontos de

tangncia de cada um dos

seus lados E, F, G, H.

O segundo problema ser

demonstrar que tal trapzio

ABCD forosamente

issceles.

1 0 . 9 . 1 0

Trapzio circunscrito (o mesmo problema, outro)

Outros dados, outro problema?

Trata-se de construir o

trapzio ABCD, circunscrito

circunferncia de centro O da

figura, de que so dados os

pontos de tangncia E, do lado

AB, e F do lado BC.

4

1 3 . 9 . 1 0

Trapzio circunscrito (a partir de outros dados)

Determinar o trapzio ABCD, circunscrito circunferncia de centro O, de que se

conhece o vrtice A(zul)

1 6 . 9 . 1 0

Trapzio inscrito

Determinar os vrtices C e D e os

lados AD, BC e CD do trapzio

inscrito de que dada a base AB e o

comprimento da mediana.

O curioso que assim como acontece

para os trapzios circunscritos,

qualquer trapzio inscrito issceles.

Verifique que assim .

5

2 0 . 9 . 1 0

Polgono inscrito, polgono circunscrito

Num crculo dado, est inscrito um polgono. Determine o polgono circunscrito de

lados paralelos ao inscrito (homotetia de razo positiva).

2 1 . 9 . 1 0

Hexgono circunscrito

Determinar os vrtices B, C, D, E e F e lados do hexgono regular de que se

conhece um vrtice A e a circunferncia que circunscreve.

6

2 4 . 9 . 1 0

Intervalo para esclarecimentos sobre lugares geomtricos

Cassius Almada Ramos escreveu:

Meu nome Cassius e sou estudante de matemtica. Antes de mais nada, parabns pelo BLOG

Poderia me tirar 1 duvida?

Crie uma circunferncia K e sobre ela, os pontos A, B e C. Considere B e C fixos. Qual o lugar geomtrico do

incentro do tringulo ABC quando o ponto A varia em K.

Quando o Ponto A anda sobre a circunferncia, o incentro dsenha a figura que est em vermelho. Que lugar

geomtrico esse? (acompanhada de figura dinmica em Cabri)

Tenho esses 2 problemas tb, que percebi que o rastro de uma circunferncia. Mas no consegui identificar

qual o LG.


ortocentro do tringulo ABC quando o ponto A varia em K.


baricentro do tringulo ABC quando o ponto A varia em K.

Estes problemas foram colocados no "Geometrias" em Agosto de 2009: entrada e

ementa. A Mariana preparou construes e esclarecimentos sobre os lugares

geomtricos que ocupam o Cassius. Em Agosto de 2009, propnhamos a escolha

de referenciais e o trabalho com equaes sobre esses lugares geomtricos. Aqui,

Mariana Sacchetti trata to das suas construes (em GeoGebra) com elementos

definidores dos lugares geomtricos.

7

O lugar geomtrico dos incentros dos tringulos

quando A se desloca sobre a circunferncia em

que B e C se mantm fixos formado por arcos

BC um para cada uma das duas circunferncias

com centros nos extremos do dimetro ou

interseces da mediatriz de BC com o

circuncrculo (que so tambm pontos de

interseco da bissectriz de com a mediatriz

de BC)

Neste caso, trata-se de uma circunferncia com

centro no ponto da mediatriz de BC simtrico

de O e que passa por B e C

E finalmente no caso do baricentro, trata-se de uma circunferncia com centro no

ponto da mediatriz de BC que dista de Ma (ponto mdio de BC) 1/3 da sua

distncia a O. Esta circunferncia passa pelos pontos que dividem BC em 3 partes

iguais.

8

4 . 1 0 . 1 0

Do pentgono ao decgono

Considere-se um pentgono inscrito [ABCDE] numa circunferncia de que dado o

centro.

Determine os vrtices e os lados de um decgono circunscrito do qual apontado

como alvo um vrtice P.

7 . 1 0 . 1 0

Nota sobre a rea do trapzio

Nas folhas de trabalho do novo programa, para chegar a uma frmula da rea de

um trapzio qualquer optou-se pela construo de um tringulo equivalente ao

trapzio.

Como se pode ver na figura, tomando CE que passa pelo ponto M mdio de AD, os tringulos AEM e CDM so

congruentes (ALA) e logo equivalentes. E o tringulo BCE tem a mesma rea do trapzio e a mesma altura (distncia

entre as bases paralelas) sendo a base BE deste tringulo a soma das bases do trapzio BE=BA+CD, j que CD=AE.

9

Convm, no entanto, ter presente que pode ser mais fcil para os estudantes

compreender o resultado a partir da soma das reas dos dois tringulos em que se

decompe o trapzio: ABC e CDA, em que o primeiro para a base AB (maior do

trapzio) e o segundo para CD (base menor do trapzio) tm a mesma altura-

distncia entre as paralelas AB e CD.

7 . 1 0 . 1 0

Nota sobre a mediana e a rea do trapzio

A deduo de uma frmula da rea do trapzio feita nas folhas de

experimentao do ensino bsico usando um tringulo equivalente ao trapzio.

Tambm poderia ser feita a partir da soma de dois tringulos que compem o

trapzio como vimos. Mas outra forma ser passando do trapzio para um

rectngulo em que uma das dimenses o segmento MN (segmento de extremos

nos pontos mdios dos lados no paralelos a que chamamos mediana e cujo

comprimento semi-soma dos comprimentos das bases do trapzio). A

propriedade dos pontos mdios dos lados no paralelos que tambm dividem a

meio a altura do trapzio e da mediana do trapzio tambm merecem referncia

especial. Propomos uma construo dinmica que ilustra bem a equivalncia entre

o trapzio ABCD e o rectngulo EFGH em que podemos apreciar a congruncia e

equivalncia dos pares de tringulos (acrescentados/subtrados) e relao das

bases do trapzio com a mediana MN. Pode fazer variar a figura deslocando A, B C

ou D ou o ponto auxiliar a azul (este para fazer variar a altura do trapzio). Os

10

botes servem para ocultar ou mostrar cada uma das figuras (trapzio ABCD,

rectngulo EFGH, tringulo a tringulo...)

Nenhuma destas abordagens pode ser considerada inibida ou excluda na

leccionao e razovel pensar que cada estudante pode decidir por qualquer delas

para chegar frmula da rea ou para calcular a rea se no se lembrar da

frmula.

7 . 1 0 . 1 0

Notas sobre lugares geomtricos

A procura dos lugares geomtricos (ver publicao de 24/09/2010) do ortocentro,

baricentro e incentro de um tringulo inscrito numa circunferncia dada, quando B

e C permanecem fixos, e a sua justificao, levou-nos a outras perguntas:

Qual ser o lugar geomtrico dos pontos X1, X2 e X3 resultantes das somas

vectoriais OA+OB+OC=OX1 , GA+GB+GC=GX2 e IA+IB+IC=IX3?

11

Foi interessante verificar que se X1=H e X2 =G e como tal os lugares geomtricos

so os j encontrados para o ortocentro e baricentro, nas condies referidas, j o

lugar geomtrico de X3 ... um lugar estranho - h algum que queira dar uma

ajuda - que curva esta?

12

9 . 1 0 . 1 0

A circunferncia, a reta e a mediatriz

No 9 ano de escolaridade, so abordados os lugares geomtricos. A recta e a

circunferncia so o ponto de partida para o que pode ser uma aventura de

pensamento e descobertas, to simples quanto difceis. Os conceitos podem ser

muito simples, mas os problemas podem ser resolvidos por abordagens que nem

sempre aparecem de imediato. Por aqui no vamos descobrir coisa alguma, mas

vamos propor problemas de construo elementares que alimentem o fascnio

sobre lugares geomtricos bsicos.

Na figura que se segue representam-se duas rectas r e s e uma circunferncia.

Propomos a determinao, por construo, de pares de pontos (C, S) em

que C esteja sobre a circunferncia e S sobre a recta s sendo r a mediatriz

do segmento CS.

O computador dir quando o(s) tiver bem determinado(s).

13

1 1 . 1 0 . 1 0

Circunferncia e reta; distncia e direo

Na construo dinmica, considere a circunferncia c e a recta s.

Determine os pontos M da circunferncia c e N da recta s tais que a

distncia entre eles seja igual dada (MN) e segundo a direco de r.

1 1 . 1 0 . 1 0

Lugares geomtricos bsicos

Perguntas simples para respostas simples:

1. Qual o lugar geomtrico dos centros das circunferncias que passam por

um ponto dado A e tm um raio dado r.

2. Qual o lugar geomtrico dos pontos G de interseco das medianas de um

tringulo cujo lado BC fixo e cuja mediana AMa tem um dado comprimento

l?

3. So dados uma circunferncia c um segmento de reta AA. Por cada ponto M

da curva traa-se um segmento MM com o mesmo comprimento de AA,

paralelo e com o mesmo sentido. Qual o lugar dos pontos M?

14

4. Qual o lugar geomtrico dos pontos mdios dos segmentos definidos por

um ponto A e os pontos de uma circunferncia c.

5. So dadas duas circunferncias de centros O e O e raios r e r. Traamos

dois raios r e r paralelos e com o mesmo sentido. Qual o lugar geomtrico

dos pontos mdios M dos segmentos AA quando A e A se deslocam sobre

as circunferncias?

6. Qual o lugar geomtricos dos pontos mdios das cordas de uma

circunferncia que tm um comprimento dado l?

1 2 . 1 0 . 1 0

Circunferncia, recta e mediatriz - solues.

Quando publicmos o problema interativo que consistia em determinar dois pontos

- um C sobre uma circunferncia c e outro S sobre a reta s - de tal maneira que a

reta r fosse a mediatriz do segmento CS, espervamos que a soluo fosse

encontrada de uma nica maneira usando as rectas. Assim:

15

Rapidamente chegmos concluso que havia solucionadores que partiam da

circunferncia. Determinavam em primeiro lugar o simtrico O' de O relativamente

a r e com centro em O' a refletida c' da circunferncia c. Para concluir que as

intersees de s com c' e os seus simtricos em relao a r do as solues.

(seguindo o Acordo Ortogrfico)

1 5 . 1 0 . 1 0

Lugares geomtricos parecidos

Na lista de exerccios sobre lugares geomtricos bsicos apresentado o seguinte:

Qual o lugar geomtrico dos pontos G de interseco das medianas de

um tringulo cujo lado BC fixo e cuja mediana AMa tem um dado

comprimento l?

que pode ser associado ao resultado apresentado antes, nas entradas intervalo

para esclarecimentos sobre lugares geomtricos e notas sobre lugares geomtricos

que tratavam, entre outros do lugar geomtrico dos baricentros dos tringulos com

um mesmo circuncrculo em que dois vrtices so fixos e outro ocupa qualquer

posio sobre o circuncrculo.

16

Tem algum interesse ver que conjecturas se

fazem para o primeiro resultado e para este novo

lugar geomtrico.

Nesta entrada, tratamos da generalizao.

Pode parar a animao e pode mudar o

comprimento da mediana.

1 7 . 1 0 . 1 0

Lugares geomtricos bsicos - outra soluo

O terceiro enunciado da lista de exerccios sobre lugares geomtricos bsicos :

So dados uma circunferncia c um segmento de reta AA. Por cada ponto

M da curva traa-se um segmento MM com o mesmo comprimento de AA,

paralelo e com o mesmo sentido. Qual o lugar dos pontos M?

Aqui fica resolvido.

17

1 8 . 1 0 . 1 0

Outros lugares geomtricos bsicos

1. So dados os pontos A e B e a circunferncia c. Traar por A uma reta que

intersete c nos pontos C e D equidistantes de B.

2. Determinar o lugar dos centros das circunferncias de raio dado, tangentes

a uma reta dada.

Qual o lugar das circunferncias tangentes a duas retas dadas?

3. So dadas uma circunferncia c e a tangente t num ponto A da

circunferncia. Seja M' o simtrico de M em relao a t. Qual o lugar dos

pontos M' quando M percorre a circunferncia?

4. Num ponto A de uma circunferncia c traa-se a tangente curva. Sobre a

tangente tomam-se os pontos M e M' simtricos em relao a A. Qual o

lugar dos pontos M e M' quando A percorre a circunferncia?

5. dado um ngulo XOY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferncia

tangente a OX em A e a OY em B. Qual o lugar dos pontos B quando OY

roda com O fixo?

Todos estes enunciados que tm sido e sero publicados so retirados de "xrcices

de Gomtrie" de Th. Caronnet (Vuibert, Paris: 1947)

1 9 . 1 0 . 1 0

Centros da circunferncia de raio dado a passar por um ponto

Vamos apresentar uma animao referente ao exerccio 1 da

lista de lugares geomtricos bsicos publicada em 11/10/2010.

Seja O o centro de uma circunferncia que passa por A e tem

raio r.

O conjunto dos pontos O mesma distncia de A uma

circunferncia de centro O e raio r.

Reciprocamente, se O' um ponto qualquer da circunferncia

de centro A e raio r, O'A = r e O' centro de uma circunferncia

com o mesmo raio que passa por A.

O lugar pedido a circunferncia de centro A com o raio r.

18

2 3 . 1 0 . 1 0

O sexto bsico lugar geomtrico da lista

Qual o lugar geomtricos dos pontos M

mdios das cordas de uma circunferncia c que

tm um comprimento dado s?

Fazendo pausa na animao e com as ferramentas

disponveis, pode determinar o lugar geomtrico

pedido e verificando que coincide com o da figura.

2 5 . 1 0 . 1 0

O quinto bsico lugar geomtrico

O quinto enunciado da lista de exerccios da lista lugares geomtricos bsicos :

So dadas duas circunferncias de centros O e O e raios r e r. Traamos

dois raios r e r paralelos e com o mesmo sentido. Qual o lugar

geomtrico dos pontos mdios M dos segmentos AA quando A e A se

deslocam sobre as circunferncias?

Aqui fica uma resoluo que pode confirmar, com uma resoluo autnoma. O que

aconteceria se os raios no tivessem o mesmo sentido? Onde estar o centro da

circunferncia que passa por M?

19

2 6 . 1 0 . 1 0

Retas, circunferncias e cordas

Um exerccio interactivo sobre enunciado

da lista de outros lugares geomtricos:

So dados os pontos A e B e a

circunferncia c. Traar por A uma

reta que intersete c nos pontos C e D

equidistantes de B.

2 7 . 1 0 . 1 0

O mesmo da ltima entrada, experimentando com Geogebra

Experimentmos, usando GeoGebra, determinar a recta que passa por A e

corta uma circunferncia em dois pontos C e D equidistantes do ponto B

dado.

Movimentando D sobre a circunferncia,

pode encontrar a recta que interessa.

Explique porque essa. Faa a sua

construo com as ferramentas

disponveis e verifique.

20

2 9 . 1 0 . 1 0

Circunferncias tangentes a retas dadas

Determinar o lugar dos centros das circunferncias de raio dado, tangentes

a uma reta dada.

O lugar geomtrico dos centros das circunferncias tangente a uma recta r uma

recta paralela a r distanciada dela o raio dado.

Qual o lugar geomtrico dos centros das circunferncias tangentes a

duas retas dadas?

Os centros das circunferncias tangentes a duas retas r e s so equidistantes de r e

s e, por isso, o seu lugar geomtrico a bissetriz do ngulo das duas rectas. Se r e

s forme paralelas, o lugar geomtrico uma recta paralela s duas.

21

3 1 . 1 0 . 1 0

Euclides. Elementos, Livro VI - Proposio XXXIII C

A Mariana trouxe das leituras dos seus "Elementos de Euclides" a ltima proposio

do Livro VI. Aqui fica uma construo dinmica, acompanhada de resultados

particulares para a figura (que pode fazer variar) e da demonstrao copiada do

papelinho que ela apresentou ao Lugar Geomtrico.

Antnio Aurlio interessou-se pelo tipo de problema e demonstrao e logo

apresentou outros resultados. O maquinista ainda disse que no era costume do

blog, mas no parece ter comovido nenhum dos sentados no LUGAR. Sem poder

venc-los, junta-se a eles. Por isso, bem possvel que, na senda destes, outros

resultados venham a ser publicados acompanhados de demonstraes. O futuro

dir.

Proposio:

Seja um qualquer

tringulo, ABC, inscrito

numa circunferncia de

raio r. Chamamos aos

lados a=BC, b=AC e

c=AB e ha altura

relativa a a tirada de A.

Nestas condies, prova-

se que bc=2rha.

22

1 . 1 1 . 1 0

A circunferncia reflectida numa das suas tangentes

So dadas uma circunferncia

c e a tangente t num ponto T

da circunferncia. Seja M' o

simtrico de M em relao a t.

Qual o lugar dos pontos M'

quando M percorre a

circunferncia?

2 . 1 1 . 1 0

Ponto das tangentes a uma circunferncia

Num ponto A de uma circunferncia c traa-se a tangente curva. Sobre a

tangente tomam-se os pontos M e M' simtricos em relao a A. Qual o

lugar dos pontos M e

M' quando A percorre a

circunferncia?

23

3 . 1 1 . 1 0

Lugar dos pontos de tangncia em lado varivel de ngulo de duas rectas

dado um ngulo XY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferncia

tangente a OX em A e a OY em B. Qual o lugar dos pontos B quando OY

roda com O fixo?

4 . 1 1 . 1 0

Mais lugares geomtricos bsicos (Th. Caronnet)

1. Determinar o lugar dos pontos de interseco das diagonais de um trapzio

em que um dos lados no paralelos fixo e cujas bases tm comprimentos

dados.

2. Uma circunferncia roda em torno de dos seus pontos. Em cada posio

traamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual o lugar dos

pontos de tangncia?

3. O tringulo ABC tem os vrtices A e B fixos, o vrtice C descreve uma

circunferncia de raio dado e centro A. Qual o lugar do p da bissetriz do

ngulo A?

24

4. dado um tringulo ABC. Traa-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e

C' os seus pontos de interseo com os lados AB e AC. Qual o lugar dos

pontos M de interseo das retas BC' e CB'?

5. Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traa-se uma

secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direo

varivel que encontra r em A' e s em B'. Qual o lugar dos pontos de

interseo das retas ABe BA'?

6. Consideremos todos os retngulos inscritos num tringulo dado ABC e tendo

um lado sobre BC. Qual o lugar de interseo das sua diagonais?

7. Seja o trapzio ABCD em que A e B so fixos, os lados paralelos tm

comprimentos dados, AD=a e BC=b. Determinar o lugar dos pontos de

interseo das diagonais quando o trapzio roda em torno do lado AB.

8. Qual o lugar dos pontos de que se vm dois crculos sob o mesmo ngulo?

4 . 1 1 . 1 0

Trapzio com elementos fixos, lugar geomtrico da interseo das diagonais

Determinar o lugar dos pontos

de interseo das diagonais de

um trapzio em que um dos

lados no paralelos fixo e

cujas bases tm comprimentos

dados.

A animao da figura feita de tal modo que se mantm rgido, na sua posio, o

lado AD e se mantm invariantes os comprimentos das bases bem como a sua

direo. (No sugere uma rotao no espao em torno do lado AD?)

Nessa animao, o ponto de interseo das diagonais percorre uma circunferncia.

Isso significa que, para alm do lado AD, h um ponto fixo (o centro da

circunferncia). Que ponto esse e qual a sua posio relativamente aos elementos

do trapzio?

25

5 . 1 1 . 1 0

Uma circunferncia que roda e as tangentes com uma dada direo

Uma circunferncia roda em

torno de dos seus pontos. Em

cada posio traamos

tangentes paralelas a uma reta

fixa dada. Qual o lugar dos

pontos de tangncia?

8 . 1 1 . 1 0

Tringulo: P da bissectriz de um ngulo com um lado fixo

O tringulo ABC tem os vrtices A e B

fixos, o vrtice C descreve uma

circunferncia de raio dado e centro A.

Qual o lugar do p da bissetriz do

ngulo A?

O lugar geomtrico do p da bissectriz de A

quando C percorre uma circunferncia

centrada em A e raio dado uma

circunferncia. Como determina o seu

centro?

26

9 . 1 1 . 1 0

Lugar da interseo das diagonais de um trapzio inscrito num tringulo

dado um tringulo ABC. Traa-

se uma paralela qualquer a BC e

sejam B' e C' os seus pontos de

interseo com os lados AB e AC.

Qual o lugar dos pontos P de

interseo das retas BC' e CB'?

1 0 . 1 1 . 1 0

Paralelas, secantes por um ponto e lugar da interseo de diagonais

Considere-se duas retas

paralelas r e s e um ponto P.

Por P traa-se uma secante

fixa que encontra r em A e s

em B e uma secante de direo

varivel que encontra r em A' e

s em B'. Qual o lugar dos

pontos de interseo das retas

AB'e BA'?

27

1 1 . 1 1 . 1 0

Retngulos inscritos num tringulo e interseo das diagonais

Consideremos todos os retngulos

inscritos num tringulo dado ABC e

tendo um lado sobre BC. Qual o

lugar de interseo das sua

diagonais?

1 6 . 1 1 . 1 0

De onde ver dois crculos sob o mesmo ngulo

Qual o lugar geomtrico dos

pontos de que se vem dois

crculos sob o mesmo ngulo?

H dois pontos que definem o lugar

geomtrico: os centro das

homotetias O e O' que transformam

uma circunferncia na outra. Repare-

se que cada tangente tirada por O

(ou O') circunferncia de centro A

tambm tangente circunferncia

de centro B.

28

1 8 . 1 1 . 1 0

Ponto de uma recta para ver dois pontos segundo um mesmo ngulo

O problema que agora propomos como exerccio interactivo foi sugerido pela

entrada anterior.

Temos dois pontos A e B de um mesmo semi-plano determinado por uma

recta RS. O problema ser determinar o ponto P da recta NS tal que so

iguais os ngulo APN e BPS.

Os passos da resoluo deste exerccio so os mesmos de antigas respostas a

outros enunciados.

2 2 . 1 1 . 1 0

Tirar tangentes a uma circunferncia por um ponto exterior

No 9 ano de escolaridade, estudam-se os lugares geomtricos: retas e segmentos,

circunferncias e crculo; inscrio de segmentos, ngulos e polgonos em crculos.

No fundo estudam-se as posies relativas de cada uma delas relativamente a cada

uma das outras e as propriedades decorrentes. Um ponto P pode estar sobre a

29

circunferncia de raio r centrada em O (r=OP), ser exterior (rOP) a ela. ou Uma

recta a pode ser exterior a uma circunferncia de raio r e centro O (r< d(O,a)),

tangente (r=d(O,a)) ou secante (r>d(O,a)). O caso da tangente o mais estudado

j que a consequncia imediata de r=d(O,t) a tangente (t em T) ser perpendicular

ao raio OT o que sugere fortemente uma construo com rgua e compasso. No 9

ano, insiste-se, e bem, na construo que recorre ao tringulo retngulo OTP

(inscrito numa semicircunferncia de dimetro OP, para ser retngulo no vrtice do

tringulo que ao mesmo tempo o ponto de tangncia seguro). Na ilustrao

dinmica que se segue, o primeiro mtodo esse. Mas no ser descabido deixar

pistas de outras construes que, para alm de tudo o resto, podem ser estudadas

(e validadas) usando raciocnios dedutivos. O segundo mtodo usa uma

circunferncia auxiliar, concntrica e de raio 2r (cO2r) e, em vez da circunferncia

de dimetro OP, usa uma circunferncia centrada em P e raio OP.

30

2 5 . 1 1 . 1 0

Ainda outros lugares geomtricos

1. Determinar o lugar dos pontos cuja razo das distncias a duas retas

paralelas r e s p/q.

2. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razo dada p/q os

segmentos paralelos a uma reta dada e limitados por duas retas secantes r

e s.

3. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa razo dada p/q os

segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma circunferncia

dada.

4. Determinar o lugar dos pontos cuja razo das distncias a duas retas

secantes igual a m/n.

5. So dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, os pontos

A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B esto fixos; os

pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta

AB e de modo que a razo AA'/BB' se mantenha constantemente igual

razo dada m/n. Determinar o lugar dos pontos mdios dos segmentos A'B'.

6. So dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos


pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta

AB e de modo que a razo AA'/BB' se mantenha constantemente igual

razo dada m/n. Determinar o lugar do quarto vrtice M do paralelogramo

de que dois lados so AA' e A'B'.

7. Determinar o lugar dos pontos cuja soma dos quadrados das distncias a

duas retas perpendiculares igual a a2.

31

2 5 . 1 1 . 1 0

Pontos distanciados proporcionalmente a duas rectas paralelas

Determinar o lugar geomtrico

dos pontos cuja razo das

distncias a duas retas paralelas r

e s p/q

2 7 . 1 1 . 1 0

Pontos que dividem segmentos paralelos entre secantes numa razo dada

Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razo dada p/q

os segmentos paralelos a uma reta a dada e limitados por duas retas

secantes r e s.

32

2 8 . 1 1 . 1 0

Pontos distanciados proporcionalmente de um ponto e de uma circunferncia

Determinar o lugar geomtrico dos pontos que dividem numa razo dada

p/q os segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma

circunferncia dada.

5 . 1 2 . 1 0

Pontos proporcionalmente distanciados de duas rectas concorrentes

Determinar o lugar geomtrico dos pontos P cuja razo das distncias a

duas retas secantes r e s igual a p/q.

H outras duas rectas,claro! Para

as duas apresentadas,

considermos p e distncia a r e q

e distncia a s.

33

6 . 1 2 . 1 0

Ponto mdio de um segmento de extremos sobre concorrentes

So dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, os

pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B esto

fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado

da reta AB e de modo que a razo AA'/BB' se mantenha constantemente

igual razo dada m/n. Determinar o lugar dos pontos mdios dos

segmentos A'B'.

Claro que se tomarmos os pontos A' e B' do outro lado de AB, os seus pontos

mdios esto sobre a outra semireta.

34

7 . 1 2 . 1 0

O quarto vrtice de um paralelogramo

So dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos


pontos A' e B' percorrem estas

retas, mantendo-se do mesmo lado

da reta AB e de modo que a razo

AA'/BB' se mantenha

constantemente igual razo dada

m/n. Determinar o lugar do quarto

vrtice M do paralelogramo de que

dois lados so AA' e A'B'.

1 3 . 1 2 . 1 0

Perpendiculares e pontos delas distanciados

Determinar o lugar geomtrico dos pontos cuja soma dos quadrados das

distncias a duas retas perpendiculares igual a a2.

35

1 8 . 1 2 . 1 0

com geometria dinmica,...

2 1 . 1 2 . 1 0

Recta de Simson como lugar geomtrico. Parbola como envolvente.

Dadas duas rectas r e s que se intersetam em O, tomem-se quatro

pontos: A e M sobre r; B e N sobre s de tal modo que A e B so fixos

e AM/BN constante. Quando M e N se deslocam, os

crculos OAB e OMN mantm um ponto fixo P comum (que no O).

Determinar o lugar geomtrico das projees de P sobre MN e a

envolvente das rectas MN.

36

3 0 . 1 2 . 1 0

Inscrever um tringulo equiltero num rectngulo dado

O exerccio interactivo proposto :

Determinar o tringulo equiltero

AEF que tem os vrtices E e F

sobre os lados BC e CD do

rectngulo ABCD.

(Obrigado a Paul Yiu pelo Forum Geometricorum

e a Ren Grothmann pelo Zul - Zirkel und Lineal)

4 . 1 . 1 1

Lugar da interseo de lados opostos de um quadriltero de diagonal varivel

Duas circunferncias so tangentes em A e tm dimetros AB e AC. Por A

fazemos passar uma reta de direo varivel que interseta a primeira

circunferncia em B' e a segunda em C'. Qual o lugar geomtrico dos

pontos P de interseo de BC' com CB'?

37

1 0 . 1 . 1 1

Envolvente de crculos de Euler-Feuerbach

Sobre a circunferncia de centro O tomam-se dois pontos fixos A e B e um

ponto varivel C. Determinar a envolvente dos crculos de Euler-Feuerbach

do tringulo ABC

1 1 . 1 . 1 1

Tangentes, secantes, tringulos equilteros

So dadas duas circunferncias tangentes em A. Por A faz-se passar a

secante MM'. Determinar o lugar geomtrico dos vrtices P e Q dos dois

tringulos equilteros de lado MM'.

38

1 7 . 1 . 1 1

Lugar dos pontos distantes proporcionalmente a um ponto e a uma circunferncia

Determinar o lugar geomtrico dos

pontos M cuja razo das distncias a um

ponto P e a uma circunferncia c igual

razo entre AB e BC dados.

1 8 . 1 . 1 1

Lugar dos pontos distantes proporcionalmente a um ponto e a uma reta

Determinar o lugar geomtrico dos pontos M cuja razo das distncias a

um ponto P e a uma reta r igual razo entre AB e BC dados.

NO fundo, este lugar geomtrico uma cnica de que se conhece a directriz, o foco

e a excentricidade. Valer a pena deslocar o ponto B de modo a que AB=BC e AB-

BC=AC e ver que cnicas se obtm.

39

2 0 . 1 . 1 1

Na antiguidade, no havia procedimentos algbricos para resolver equaes. Tudo

era resolvido usando comprimentos de segmentos, operaes sobre eles e reas de

polgonos. No 9 ano, ao introduzir as equaes do 2 grau, convm referir

problemas histricos do 2 grau acompanhados de referncia ao pensamento

geomtrico que permitia solucionar tais problemas. Por exemplo a equao que

modernamente escrevemos sob a forma x2+6x=27, viria de um enunciado em que

jogam um quadrado de lado desconhecido e um retngulo com uma dimenso igual

ao lado do quadrado e outra 6. A soma das reas destes polgonos seria 27.

Para comear, tomemos um quadrado x por x e um rectngulo 6 por x. A

construo que se segue parte destas duas figuras que juntas ocupam uma rea de

27. E, clicando sobre

podem ver-se a sucesso de procedimentos geomtricos utilizados na resoluo.

Comea por dividir o retngulo 6 por x em quatro retngulos iguais 1,5 por x que

podem juntar-se ao quadrado x por x, sobre cada um dos seus lados.

40

Completamos a figura com os quatro quadrados

amarelos de lado 1,5. Obtemos assim um quadrado

que:

- tem rea 36, logo a medida do lado 6;

- tem lado 1,5+x+1,5 ou x+3

Ento tem de ser x+3 = 6, logo x=3.

Nota: hoje sabemos que existe uma soluo negativa,

-9; mas na Antiguidade estas equaes destinavam-

se a resolver problemas concretos em que no havia

lugar para solues negativas.

41

2 5 . 1 . 1 1

A equao ax=b2

Um problema simples e interessante a resolver geometricamente o que consiste

em determinar a dimenso x de um rectngulo ax equivalente a um quadrado b2,

ou seja resolver a equao ax=b2, em que a e b so nmeros quaisquer. A

construo geomtrica que se apresenta a seguir d a soluo para todos os

valores de a e b. Pode variar os comprimentos a e b e encontra uma soluo para

cada par (a,b).

A construo parte de um quadrado ABCD de lado b que aumentado do seguinte

modo:

Prolonga-se AB at AE de tal modo que BE=a e constri-se o retngulo AEFD de

dimenses a+b e a. O retngulo GLFD obtido a partir da determinao de G como

interseo da recta DA com FB.

Este retngulo DGLF (a+b)(b+x) dividido pela sua diagonal FG em dois tringulos

retngulos iguais.

O tringulo retngulo DFG decomponvel em b2 + (ab/2)+(bx)/2 enquanto que

FLG a soma de ax+(ab/2)+(bx)/2. O que permite concluir que ax=b2.

A partir de Revisitando uma velha conhecida de Joo Bosco Pitombeira, de que

recomendamos a leitura.

42

2 9 . 1 . 1 1

A equao ax+x2=b2

Para resolver geometricamente a equao ax+x2=b2, em ordem a x, basta tomar

um tringulo retngulo BCQ de catetos a/2 e b. O quadrado sobre a hipotenusa CQ

tem rea b2+a2/4. Se tomarmos x tal que .5a+x=CQ, temos a equao resolvida.

Na construo que se segue, pode fazer variar a e b.

De facto, CQ2=(.5a+x)2 =b2+(.5a)2 ou seja a rea b2 do quadrado de lado b igual

a 2(.5ax)+x2, rea do retngulo de dimenses x e a+x (como bem mostra a figura)

ou da soma do retngulo ax com o quadrado x2.

43

1 . 2 . 1 1

Equao x2=c

Para resolver geometricamente a equao x2=c, em ordem a x, basta tomar um

tringulo retngulo ABC de hipotenusa 1+c (AB). A altura AH relativa hipotenusa

AB meio proporcional entre 1 e c. Ver a semelhana dos tringulos rectngulos

ACH e BCH em que ABC fica dividido pela altura.

Na construo que se segue, pode fazer variar c.

44

8 . 2 . 1 1

Operaes sobre binmios, casos notveis

Na construo pode fazer variar a, b, c, d.

Se ao quadrado ABCD, de rea a2, tirarmos o quadrado CHIJ, de rea b2, ficamos

com o polgono ABJIHDA. Mas GIHD tem a mesma rea de BEFJ. Logo podemos

substituir ABJIHDA por AEFG cuja rea (a+b).(a-b). Em concluso, a2-b2=(a-

b)(a+b).

45

1 4 . 2 . 1 1

Relao de Stewart

Dado um tringulo ABC e uma ceviana,

por exemplo BD (do vrtice B para o lado

AC), Os comprimentos dos lados AB, BC e

AC, dos segmentos AD e CD

determinados sobre AC pela ceviana e BD

esto relacionados. Essa relao

conhecida como relao de Stewart que

pode ser usada para determinar

comprimentos de bissectrizes e

medianas.

1 8 . 2 . 1 1

Relao de Stewart no caso da bissetriz

Para um tringulo ABC, no caso de tomarmos

a bissetriz AD= do ngulo a dividir o lado

a=BC em dois segmentos m=BD e n=DC, a

relao de Stewart pode ser escrita assim:

b2m+c2n=2a+mna

e, sendo tambm verdade que

cn=bm,

bc=mn+2

Na construo interativa que se apresenta a

seguir, pode deslocar A, B, C fazendo variar a,

b, c, m, n, e verificar que aquelas

igualdades se mantm.

46

2 1 . 2 . 1 1

A bissetriz e os lados do tringulo

A bissetriz do ngulo do

tringulo ABC divide o lado BC em

dois segmentos BD e DC. Prova-se a

seguinte relao mtrica

BD.AC=CD.AB

j usada na anterior

entrada:relao de Stewart

aplicada bissetriz.

2 2 . 2 . 1 1

Lados de um tringulos e suas projees ortogonais.

As alturas AA', BB' e CC' de tringulo ABC determinam sobre os lados AB, BC e AC

segmentos que verificam a seguinte relao mtrica

AB'.BC'.CA'= AC'.BA'.CB'

.

47

2 4 . 2 . 1 1

Relao mtrica nos tringulos - generalizao do Teorema de Pitgoras

Num tringulo ABC, de lados a, b, c, sendo c' a projeco ortogonal de c sobre a,

se o ngulo B no reto, ento b2=a2+c22ac', conforme B obtuso ou

agudo,

se o ngulo B reto, ento b2=a2+c2 (Pitgoras), j que c'=0.

Esta relao geral para todos os tringulos e quaisquer que sejam os lados que

consideremos.

Arraste A para verificar o que se passa com os diversos tipos de tringulos.

48

2 8 . 2 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - os lados e uma mediana

Num tringulo ABC, a soma dos

quadrados de dois lados igual a

metade do quadrado do terceiro lado

adicionado do dobro do quadrado da

respectiva mediana.

2 8 . 2 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo -lados, uma mediana e uma altura

Num tringulo ABC, a diferena dos quadrados de dois dos lados igual ao dobro

do produto do terceiro lado pela distncia dos ps das mediana e altura respectivas.

49

1 . 3 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - circuncrculo, incrculo e

Num tringulo acutngulo ABC, a soma dos raios das circunferncias circunscrita e

inscrita igual soma das distncias do circuncentro aos lados do tringulo.

Desloque A, B ou C at que o ngulo C seja obtuso para verificar se o resultado se

mantm ou no quando o tringulo obtusngulo. Tambm pode relacionar a

altura de um tringulo equiltero com a soma desses raios do circuncrculo e do

incrculo.

50

2 . 3 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - lados e distncias dos vrtices ao baricentro

Num tringulo ABC, a soma dos quadrados dos

seus lados tripla da soma dos quadrados das

distncias de cada vrtice ao ponto G de

encontro das suas medianas.

Pode deslocar A, B ou C para verificar que esta

relao mtrica se mantm.

3 . 3 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - lados e medianas

Num tringulo ABC, o triplo da

soma dos quadrados dos seus

lados qudrupla da soma dos

quadrados das suas medianas.

Pode deslocar A, B ou C para

verificar que esta relao

mtrica se mantm.

51

4 . 3 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - Medianas do tringulo retngulo

Num tringulo ABC, retngulo em A,

a soma dos quadrados das

medianas relativas aos catetos

quntupla do quadrado da mediana

relativa hipotenusa.

5 . 3 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - da circunferncia definida por A, Ma e p da bissetriz de

Num tringulo ABC, a circunferncia que passa pelos vrtice A, ponto mdio de BC

e p em BC da bissetriz interior do ngulo A corta os lados AB e AC em dois pontos

E e F. Verifica-se que BE=CF.

52

6 . 3 . 1 1

Relaes mtricas envolvendo tringulos e circunferncias - reas

No ensino bsico so abordados vrios resultados com reas de tringulos e como

bvia a semelhana entre os tringulos equilteros inscrito e circunscrito na mesma

circunferncia, deve ser posta considerao dos alunos a relao entre as reas

desses tringulos.

O resultado que hoje aqui apresentamos pode tambm ser abordado no ensino

bsico, envolvendo o hexgono convexo regular inscrito e as razes entre as reas

dos tringulos inscrito e circunscrito e a rea do hexgono:

A rea do hexgono inscrito numa circunferncia o meio proporcional entre as

reas dos tringulos inscrito e circunscrito na mesma circunferncia.

Na construo dinmica, pode deslocar F e O para verificar que as relaes

mtricas se mantm qualquer que seja o raio da circunferncia e os lados dos

tringulos e hexgono.

53

7 . 3 . 1 1

Relaes mtricas - distncia de um ponto aos vrtices de um retngulo

A soma dos quadrados das distncias

de um ponto P a dois vrtices

opostos de um retngulo igual

soma dos quadrados das distncias

de P aos outros dois vrtices.

Na construo dinmica, pode

deslocar P e vrtices do retngulo

para verificar que as relaes

mtricas se mantm, mesmo quando

P est no exterior do retngulo.

9 . 3 . 1 1

Relaes mtricas num paralelogramo - lados e diagonais

A soma dos quadrados dos lados de

um paralelogramo igual soma

dos quadrados das suas diagonais.

Na construo dinmica, pode

deslocar os vrtices do

paralelogramo para verificar que as

relaes mtricas se mantmo.

54

9 . 3 . 1 1

Relaes mtricas num tringulo - uma desigualdade de Erds

Em 1935, no n 42 da American Mathematical Monthly, era publicado o problema

3740, proposto por Paul Erds:

De um ponto O do interior de um tringulo ABC tiram-se perpendiculares

OP, OQ e OR aos seus lados. Provar que

OA+OB+OC 2(OP+OQ+OR)

O problema foi resolvido de muitas maneiras diferentes e isso que lhe d uma

importncia redobrada para quem ensina. O problema pode ser resolvido s com

matemtica bsica, s com trigonometria bsica e secundria, com recurso a outros

teoremas mais ou menso conhecidos (Ptolomeu, por exemplo). Claro que resolver o

problema s com resultados bsicos exige uma disciplina especial para ver que

passos dar e por que ordem, que resultados se aplicam a cada passo, etc.

A primeira soluo atribuda a Mordell(mentor de Erds) e por isso que o

problema (ou a conjectura) de Erds passou para a histria como Teorema de

Erds-Mordell.

O outro encanto do problema tem a ver com imaginar o trabalho de desenho e

medidas de muitos e muitos tringulos que Erds deve ter feito para chegar ao

enunciado da sua conjectura.

Aqui, apresentamos uma

construo dinmica que lhe

permite trabalhar com centenas

de tringulos (deslocando os

seus vrtices) e com muitos

pontos do interior de cada

tringulo deslocando O. Pode

ver tambm em que condies

h igualdade, etc

55

1 2 . 3 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - os raios das circunferncias circunscrita e inscrita

Para um tringulo ABC h uma circunferncia a ele circunscrita (a passar pelos seus

vrtices ) e uma outra nele inscrita (tangente aos seus trs lados). O raio da

circunscrita no mnimo duplo do raio da inscrita.

Na construo dinmica que se segue, pode deslocar os vrtices do tringulo, para

confirmar que essa relao se mantm e para ver em que condies o circun-raio

dobro do in-raio.

Sobre esta construo pode ainda confirmar e relembrar outras relaes mtricas

que j foram , de um modo ou doutro, referidas em antigas entradas e que ligam

os raios das circunferncias inscrita e circunscrita com a rea e o permetro do

tringulo ou com a distncia entre o incentro e o circuncentro. Todas as relaes

aqui referidas esto relacionadas e so mobilizadas na demonstrao do resultado

em destaque nesta entrada.

56

1 5 . 3 . 1 1

Relaes mtricas envolvendo tringulos inscritos num tringulo

Dado um tringulo ABC, qualquer tringulo DEF inscrito em ABC tem um

permetro maior ou igual ao permetro do tringulo de vrtices nos ps das

alturas do tringulo ABC

Na construo dinmica que se segue, pode deslocar os vrtices do tringulo ABC

bem como os vrtices do tringulo DEF inscrito em ABC, para confirmar que essa

relao se mantm com diversos tringulos ABC e respetivos rticos, ou com os

diversos tringulos DEF inscritos num mesmo tringulo ABC

57

1 9 . 3 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - de entre alturas e lados frmula de Heron

60

2 0 . 3 . 1 1

Quadrados dos lados e ngulos

Com a construo interactiva que se

segue, pode verificar que para haver

tringulo e sempre que h tringulo se

verifica que um qualquer dos lados do

tringulos menor que a soma dos outros

dois. E que, num tringulo qualquer, ao

lado de maior comprimento se ope o

ngulo de maior amplitude. E que se um

ngulo, por exemplo reto se verifica

que a2 =b2+c2 (Teorema de Pitgoras).

Mas aqui est para que possa verificar o que tem a ver com a entrada anterior. Se

for obtuso (>90), a2 > b2+c2 e se for agudo (90>), b2+c2>a2. Os

resultados recprocos so obviamente verdadeiros.

Pode deslocar A,B ou C. Procure deslocar A de modo a que seja agudo, obtuso e

reto e veja as mudanas de texto. Muito difcil acertar no reto.

Num tringulo agudo o quadrado desenhado sobre um dos lados tem

sempre menor rea que a soma das reas dos dois desenhados sobre os

outros lados.

61

J no tringulo obtusngulo, o quadrado desenhado sobre o lado oposto ao

ngulo obtuso tem sempre rea maior que a soma das reas dos

desenhados sobre os outros lados.

Quando o tringulo for retngulo, ....

2 2 . 3 . 1 1

Outra forma de olhar para a circunferncia como lugar geomtrico

Os vrtices P dos tringulos ABP, tais que AP2+BP2 constante, esto sobre uma

circunferncia. Dito de outro modo, uma circunferncia o lugar geomtrico dos

pontos P para os quais contante a soma dos quadrados das suas distncia a dois

pontos fixos A e B.

Com o ponto O pode controlar o valor da constante. Para cada constante, h uma

circunferncia.

62

2 3 . 3 . 1 1

Outra forma de olhar para a reta como lugar geomtrico

Os vrtices P dos tringulos ABP, tais que AP2-

BP2 constante, esto sobre uma reta. Dito

de outro modo, uma reta o lugar geomtrico

dos pontos P para os quais contante a

diferena dos quadrados das suas distncias a

dois pontos fixos A e B.

2 5 . 3 . 1 1

Relaes mtricas na circunferncia - as secantes

Se por um ponto A, conduzirmos duas rectas a cortar uma circunferncia, uma

delas em B e C e a outra em D e E, verifica-se a igualdade

AB.AC=AD.AE

Pode deslocar A, para tomar diferentes pontos de partida (dentro, sobre e fora da circunferncia) e B ou D para

tomar diversas secantes a passar por A.

Claro que, para a demonstrao, basta constatar a

igualdade dos ngulos cada um a cada um dos

tringulos ADC e ABE, como a figura bem mostra

e saber que em tringulos semelhantes a razo

entre lados opostos a ngulos iguais constante.

Esta demonstrao pode ser um bom exerccio

para os estudantes do 9 ano de escolaridade.

O resultado com A no exterior da

circunferncia j foi abordado em

antigas entradas. Ter interesse

especfico abordar o recproco: Se

AB.AC=AD.AE , ento B,C, D, E

so pontos da mesma

circunferncia?

63

2 9 . 3 . 1 1

Borboleta, de novo

Na entrada A borboleta de 25 de Junho do ano

passado, escrevia-se:

Tomem-se A,B,C e D sobre uma

circunferncia de centro O e de tal

modo que AC intersecte BD num

ponto P. A perpendicular a OP

tirada por P intersecta BC e AD em

M e N, respectivamente.

Porque que |MP|=|NP|?

A Mariana reencontrou o problema durante a

leitura de um livro de divulgao (Ruelle; O crebro do matemtico. Cincia Aberta. Gradiva), retomou a

pergunta e procurou uma resposta diferente da indicada no livro. Aqui fica:

64

2 9 . 3 . 1 1

Relaes mtricas - tringulo, bissetriz e circunscritas

Tomemos um tringulo ABC e a

bissetriz interna do ngulo A. Seja D o

p da bissetriz no lado BC. Cada uma

das circunferncias circunscritas aos

tringulos ABD e ACD intersectam os

lados AB e AC nos pontos E e F. E o

interessante que se verifica BE = CF

3 0 . 3 . 1 1

Relaes mtricas - Recta e circunferncia

Dada uma reta r e uma

circunferncia de centro O, sendo

AC a perpendicular a r que corta

a circunferncia em B (AB um

dimetro). Tomada qualquer reta

AM que corta circunferncia em

M e a reta em M', verifica-se que

AM.AM'=AB.AC invariante

A demonstrao deste facto baseia-se na semelhana entre AMB e AM'C,

retngulos em M e C e com o ngulo A comum.

65

3 1 . 3 . 1 1

Relaes mtricas - tringulos inscritos com um lado paralelo

O tringulo ABC est inscrito numa

circunferncia. A corda B'C' paralela ao lado

BC. AC' interseta BC em D. Verifica-se a seguinte

relao:

AB.AC = AB'.AD.

A demonstrao deste facto baseia-se na

semelhana entre ABB' e ADC.

5 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo issceles inscrito.

O tringulo issceles ABC est inscrito numa

circunferncia.Tome-se uma corda AE que

intersecte o lado BC em D

AB2 = AD.AE.

A demonstrao deste facto baseia-se na

semelhana entre ABD e ABE que tm um

ngulo comum e dois outros iguais porque

inscritos em arcos iguais.

Esta relao no mais que um caso

particular da relao da entrada anterior

quando o tringulo ABC ento considerado

um tringulo issceles (quando B' coincide

com C').

66

6 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - lados e ps das alturas

Num tringulo qualquer ABC, tirem-se as

alturas e considerem-se os seus ps nos

lados opostos a cada um dos vrtices, A'

p da altura tirada de A, B' de B e C' de C.

Verificam-se as seguintes relaes

AB.AC'=AC.AB'

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA'

Claro que estas relaes no so mais do que

representantes de cada uma das famlias de relaes que

se obtm de outra por permutao.

1 0 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo

Num tringulo ABC, tomemos um

ponto P sobre o lado BC. Os raios

das circunferncias definidas por

ABP e ACP so proporcionais

respetivamente aos lados AB e AC.

67

1 5 . 4 . 1 1

Relaes mtricas nos tringulos

No tringulo ABC, sejam:

a, b, c os comprimentos dos lados

a', b', c' as distncias do

ortocentro H respetivamente a A,

B, C

R o raio do circuncrculo .

Verifica-se que:

a2+a'2 = b2+b'2 = c2+c'2 = 4 R2

1 6 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo issceles

Num tringulo issceles ABC em que AC=BC, as distncias de um ponto P de AB

aos lados AC e BC tm soma constante.

Porqu? Constante igual a qu?

68

1 7 . 4 . 1 1

Relaes mtricas num tringulo equiltero

As alturas de um tringulo equiltero tm

comprimentos iguais. Tomado um ponto P

varivel dentro de um tringulo equiltero

ABC, as distncias de P aos lados AB, BC e

CA tm soma constante igual altura de

ABC.

O que aconteceria se o tringulo fosse

simplesmente issceles?

1 8 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - ps das perpendiculares aos lados a partir de um ponto

No tringulo ABC, sejam A', B', C' os ps

das perpendiculares tiradas de um ponto P

qualquer respetivamente para os lados

BC, AC, AB. Verifica-se que:

AB'2 +BC'2+CA'2 = AC'2+CB'2 +BA'2

Para a demonstrao, tomam-se os

segmentos PA. PB e PC e os tringulos

rectngulos PAB', PCB', PBA'. etc a que se

aplicam o Teorema de Pitgoras., para

obter, por exemplo AB'2 = PA2-PB'2....

69

1 9 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - alturas, ortocentro

De um tringulo qualquer ABC, as alturas encontram-se no ortocentro H, ficando

cada uma delas dividida em dois segmentos, por exemplo, AH e HHa. Verifica-se

que

AH.HHa=BH.HHb =CH.HHc

2 0 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - bissetriz

Num tringulo ABC, tiram-se as

perpendiculares BB' e CC' bissetriz AD

do ngulo . Os pontos A e D so

separados harmonicamente pelos

pontos B' e C'.

70

2 1 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - lados e medianas

De um tringulo qualquer ABC, consideremos os seus lados a, b, c e as suas

medianas m,n,p. Conjecturamos que

9(a4+b4+c4) = 16(m4+n4+p4)

.Demonstre.

Nas deambulaes pelos

velhos livros em busca de

resultados mtricos sobre

tringulos (para exemplos

de novos exerccios e

problemas a propor)

sempre vamos

encontrando aqueles que

nos deixam espantados e

nos comprovam como era

e possvel apresentar

propostas hilariantes.

Estas propostas so tanto mais hilariantes quanto certo que muitas delas

apareceram em provas de exame. Para o resultado apresentado era pedida a

demonstrao duma prova de exame dos cursos tcnicos franceses aplicados a

aspirantes a marinheiro. H muitos exemplos semelhantes que podem ser retirados

de antigos exames portugueses (de exames de admisso universidade, ou finais

dos cursos complementares liceal e tcnico, dos exames do propedutico ou dos

exames do 12 ano). No preciso melhor exemplo para provar que poca havia

poucas bolsas para o curso em causa. Nem para as outras coisas que sempre h

quem finja no terem existido no tempo em que que era bom.

(Problmes d'examens. Bourse des coles de navigation de la Marine marchande

Cluzel, Robert. La Gomtrie et ses applications. Enseignement Tchnique. Librairie

Delagrave. Paris:1964. )

71

2 3 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo - o ovo

H problemas assim:

Do tringulo ABC, prolongue-se BC

e tome-se F tal que BF=4.BC. Una-

se F com o ponto mdio D de AB,

obtendo uma recta que divide por E

o lado AC. E saiba que, e no s na

Pscoa, que

4.AC=7.AE

A pergunta no Qual o interesse disso?", mas antes Porque ser?

Bom domingo para pensar nisso.

2 5 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo retngulo - a diviso da hipotenusa

Num tringulo retngulo, se um

cateto o dobro do outro, ento o

p da altura relativa hipotenusa

divide-a em dois segmentos, sendo

o maior qudruplo do menor.

Os tringulos ABC,ACD e ABD so

semelhantes. Da semelhana entre

estes ltimos:

AC/AB=CD/AD=AD/BD. Como

AB=2.AC, AD=2.CD ento

BD=2.AD=4.CD

72

2 6 . 4 . 1 1

Relaes mtricas no tringulo retngulo

O tringulo ABC retngulo em A.

Seja M o ponto mdio de AB. Verifica-se

que a diferena dos quadrados dos

segmentos CP e PB igual ao quadrado de

AC.

Para demonstrar esta proposio,

consideram-se os tringulos retngulos

CPM, MPB, MAC.

2 7 . 4 . 1 1


Seja ABC um tringulo retngulo em A. Do ponto D, qualquer, da hipotenusa tira-se

DE perpendicular

a AB e DF perpendicular a AC. Verifica-se que:

DB.DC=EA.EB+FA.FC

73

2 8 . 4 . 1 1


Seja ABC um tringulo retngulo em que

b=AC, c=AB; D o p da bissetriz do

ngulo em A; k=AD.

Verifica-se que:

2/k=1/b+1/c

3 . 5 . 1 1

Relaes mtricas no quadriltero - trapzio, diviso das bases

Num trapzio ABCD, a bissetriz do ngulo

formado pelos lados, AD e BC, no paralelos

divide cada uma das bases, AB e CD, em

segmentos proporcionais aos lados no

paralelos que lhe so adjacentes:

MA / MB = ND / NC = AD / BC

74

5 . 5 . 1 1

Relaes mtricas nos quadrilteros - paralelogramos

Pelo vrtice A do

paralelogramo ABCD

traa-se uma secante que

intersete a diagonal BD

no ponto E, o lado BC em

F e o lado CD em F.

Verifica-se que:

EA2 = EF.EG

1 1 . 5 . 1 1

Relaes mtricas nos quadrilteros - lados e diagonais

A soma das diagonais de um quadriltero convexo est entre os seus

semipermetro e permetro.

Na construo dinmica que se apresenta a

seguir pode verificar que assim . E

tambm que assim no para

quadrilteross cncavos. Desloque os

vrtices do quadriltero livremente para ver

o que se passa. Depois, pode pensar em

justificar esse resultado.

75

1 3 . 5 . 1 1

Relaes mtricas no paralelogramo

Num paralelogramo ABCD, tomemos os pontos mdios de AB e CD, M e N

respectivamente. DM e BN cortam a diagonal AC em dois pontos R e S que

a cortam em trs segmentos iguais

Na construo dinmica que se

apresenta a seguir pode verificar

que assim parece. Desloque os

vrtices do quadriltero

livremente para ver o que se

passa. Pode provar o resultado?

1 5 . 5 . 1 1


Tomemos um paralelogramo ABCD e

uma reta r passando por A que no

corte o paralelogramo. Para os

segmentos BB', CC' e DD', das

perpendiculares a r tiradas por B, C e

D, verifica-se que

CC'= BB' + DD'

se C for o vrtice do paralelogramo

oposto a A.

Demonstre esse resultado.

O que acontece se r cortar o paralelogramo?

76

1 7 . 5 . 1 1


Dado um paralelogramo ABCD, por C traa-se uma reta r que divida a

diagonal BD em duas partes, EB e ED, tais que EB=4.ED. Seja F o ponto de

interseo de r com AD. Verifica-se que FA=3.FD.

Uma recta tirada pelo vrtice C de

um paralelogramo que determina

na diagonal oposta BD a sua quinta

parte determinar no lado AD a

sua quarta parte.

Este resultado pode generalizar-se

obviamente e a sua demonstrao

baseia-se na semelhana entre os

tringulos BCE e DEF.

1 7 . 5 . 1 1


77

1 9 . 5 . 1 1


2 3 . 5 . 1 1


78

2 4 . 5 . 1 1


2 6 . 5 . 1 1


79

3 0 . 5 . 1 1


tratado1011.pdf

Documents