trasformata di fourier per ingegneria

8/13/2019 Trasformata Di Fourier Per Ingegneria

1/9

6. Trasformata di Fourier

Affrontiamo ora il problema di rappresentare mediante funzioni trigonometriche se-gnali nonperiodici: evidentemente, questi non possono piu ottenersi come sovrap-posizione di onde che vibrano a frequenze multiple di una fissata frequenza fonda-mentale (che genererebbero un segnale periodico); occorre quindi un procedimentopiu sofisticato che viene fornito dalla teoria della trasformata di Fourier.

Cominciamo in questa lezione a considerare segnali che, in un senso opportuno (ditipo integrale), decadono a 0 abbastanza velocemente per tempi grandi: il pro-totipo su cui imposteremo inizialmente il discorso sara quello dei segnali di duratafinita. La teoria delle distribuzioni, che svilupperemo piu avanti, permettera diconsiderare segnali di tipo piu generale e di comprendere allinterno della medesimateoria anche il caso dei segnali periodici.

Definizione 6.1 (Segnali di durata limitata e di energia finita) Diciamo cheun segnaleu definito inR hadurata limitata se esisteD >0 tali che

u(t) = 0 per q.o. u inR \ (D, D). (6.1)

Chiamiamo durata di u la piu piccola delle costanti2D degli intervalli che soddi-sfano la (6.1). Diciamo cheu ha energia finita seu L2(R).

Nota I segnali di durata limitata e di energia finita sono integrabili. Seu ha durata 2D allora

u L2(R) u L2(D, D) u L1(D, D) u L1(R).

Consideriamo ora un segnale u di durata 2D e di energia finita. Se scegliamo unperiodo T >2D, possiamo esprimereu in serie di Fourier

u(t) =nZ

une2inf0t, t (T /2, T /2), con (6.2)

un := 1T

T/2

T/2

u(t)e2inf0t dt= 1T

R

u(t)e2inf0t dt. (6.3)

Ora, lultimo integrale ha senso anche se lesponenziale oscilla a qualsiasi frequenzaf, non necessariamente multipla di f0. Poiche questa si rivelera la quantita cruciale,poniamo

u(f) :=

R

u(t)e2ift dt, f R. (6.4)

Con questa notazione la serie di (6.2) diventa

u(t) = 1T

nZ

u(nf0)e2inf0 , (6.5)

6-1


2/9


3/9

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-3

Definizione 6.3 La trasformata di Fourieru= F[u] di un segnaleu L1(R) edefinita da

u(f) := R


La trasformata coniugatau= F[u] e definita da

u(f) :=

R


Teorema 6.4 Seu L1(R) allora

u e limitata, continua ed infinitesima per |f| +. (6.13)

In particolareuB(R) = max

fR|u(f)| uL1(R). (6.14)

Proprieta elementari

Trasformata e trasformata coniugata

u(f) = u(f), F[u] = F[u].

Questultima proprieta giustifica il nome di trasformata coniugata; a posterioriF verra anche indicata come trasformata inversa F1, ma cio presuppone diconoscere il teorema di inversione.

Segnali realiSe u e reale allora u(f) = u(f).

Cambiamenti di scala Se = 0 e il fattore di cambiamento di scala e v(t) :=u(t/)

v(f) = ||u(f).

Parita e disparita

Seu e pari (cioeu(t) = u(t)) allora u e pari u(f) = u(f);

Seu e dispari (cioe u(t) =u(t)) allora u e dispari uf=u(f).

Ritardi Dato un segnale u F(R) e un ritardo , indichiamo con R[u] il corri-spondente segnale ritardato di

R[u](t) := u(t ).

La trasformata di Fourier di v :=R[u] risulta modulata per un esponenzialecomplesso di frequenza pari a

v(f) = e2if u(f). (6.15)

Modulazione Modulare un segnale u significa moltiplicarlo per un segnale espo-nenziale del tipo e2it, R. Posto quindi

v(t) := e2itu(t) si ha v(f) = u(f ) = R[u](f).

Da questa formula si deduce facilmente che

v(t) := cos(2 t)u(t) v(f) = 1

2

u(f ) + u(f+ )

,

v(t) := sin(2 t)u(t) v(f) = 1

2iu(f ) u(f+ ).


4/9


Derivazione Se u L1(R) e regolare a tratti eu L1(R), allora

F[u](f) = 2ifF[u]. (6.16)

Seu e il segnale tu(t) appartengono aL1(R), allora F[u] e di classe C1(R) e

d

dfu(f) = F[2itu](f). (6.17)

Il teorema di inversione puntuale per segnali regolari a tratti

Teorema 6.5 Seu L1(R) e un segnale regolare a tratti allora

u(t) + u+(t)

2 = v.p.

+

u(f)e2ift df= limF+

+F

F

u(f)e2ift df. (6.18)

Se poiu e continuo eu L2(R) allora

u L1(R), u(t) = F[u](t) =

+

u(f)e2ift df. (6.19)

Noi daremo la dimostrazione del teorema di inversione per segnali di energia finita,da cui seguira anche la (6.19) per segnali con derivata in L2(R).

Teorema 6.6 (Iniettivita della trasformata di Fourier) Se u, v L1(R) al-lora

F[u] = F[v] u(t) =v(t) q.o. (6.20)

Trasformazioni lineari continue e isometrie.

Un modo utile di rappresentare la trasformata di Fourier e quello di considerarlacome trasformazione tra segnali, un operazione cioe che trasforma un segnale datou e ne restituisce un altro u = F[u]. Poiche un segnale puo essere visto comeun elemento di uno spazio funzionale (per esempio L1(R)), questo spazio sara ildominio della trasformazione, mentre il codominio (nel caso della trasformata, B(R))sara lo spazio funzionale che contiene u. Dunque, la trasformata di Fourier e unatrasformazione definita in L1(R) a valori in B(R).

In questa sezione vogliamo mettere in luce alcune semplici propriet a delle trasfor-

mazioni tra spazi funzionali, segnalando alcune caratteristiche significative delletrasformazioni lineari.

Definizione 6.7 Siano V, W due spazi funzionali normati, T : V W unatrasformazione. T si dice continua quando

un u inV T[un] T[u] inW. (6.21)

T si dice stabile quando

L 0 :T[u] T[v]

W L u vV u, v V. (6.22)

T si dice una isometria quando

T[u]

T[v]W =

u v

V u, v V. (6.23)


5/9


Esercizio Verificare che una isometria e stabile e che una trasformazione stabile e continua.

Nel caso di una trasformazione lineare la verifica della continuita e della stabilita

sono di fatto equivalenti e si semplificano grazie al seguente lemma.

Proposizione 6.8 SeT :V W e una trasformazione lineare allora

T e continua T e stabile L 0 :T[u]

W L

uV

u V.(6.24)

SeT e continua allora vale il teorema di trasformazione per serie

u=n

un inV T[u] =n

T[un] inW. (6.25)

Dimostrazione Dimostriamo solo lultima implicazione della (6.24): basta osservare che se

L 0 :T[u]

WL

uV u V ,

allora sostituendo u v al posto di u e sfruttando la linearita si ottieneT[u] T[v]W

=T[u v]

WL

u vV

.

Esercizio Veridicare la (6.25), aplicando la definizione (2.4) e la definizione di continuita di T.

Esercizio Applicare il risultato precedente per dimostrare che se la serie

nun di segnali converge

in L1(R) allora

F

n

un

=n

F[un],

dove lultima serie converge uniformemente in R.

Concludiamo questo breve capitolo con un risultato sulle isometrie:

Proposizione 6.9 Una trasformazione lineareT : V W e una isometria se esolo se T[u]

W =

uV

u V. (6.26)

In tal caso, se V, W sono dotati di prodotto scalare (in particolare se sono spazidi Hilbert) alloraTconserva anche i prodotti scalari tra due qualunque coppie dielementi, cioe

T[u],T[v]W

=

u, vV

u, v V. (6.27)

In particolare, seu e ortogonale av ancheT[u] e ortogonale aT[v].

Dimostrazione Lasciamo per esercizio verificare che (6.26) e equivalente a (6.23) nel caso di una applicazionelineare. Per dimostrare che T conserva i prodotti scalari basta ricordare lidentita

u+v2V =u2V + v

2V+ 2 Re(u, v)V

e lanaloga in WT[u] + T[v]2

W =

T[u]2W

+T[v]2

W+ 2 Re

T[u],T[v]

W

Poiche u+v2V

=T[u] + T[v]2

W,

u2V

=T[u]2

W,

v2V

=T[v]2

W,

si deduce cheRe

u, v

V

= ReT[u],T[v]

W

, u, v V .

Cambiandov in iv in questultima espressione si ha

Im(u, v)V = Re iu, vV = Re u,iv

V

= Re T[u],T[iv]W

= Im T[u],T[v]W

.


6/9


La trasformata di Fourier in L2(R)

Torniamo al caso dei segnali di durata finita considerato allinizio di questa lezione,

e riprendiamo nel lemma seguente quanto abbiamo dimostrato.

Lemma 6.10 Se u L2(R) e un segnale di durata limitata 2D, allora per ogniT 2D e per ogni >0 si ha

u(t)e2it = 1T

nZ

u(nf0+ )e2inf0 t, (6.28)

R

|u(t)|2 dt= 1T

nZ

|u(n/T+ )|2, (6.29)

dove la prima serie(6.28)e intesa nel senso della convergenzaL2(T /2, T /2), cioe

limN+

T/2T/2

u(t) 1T |n|N

u(nf0+ )e2inf0 t2 dt= 0.

Corollario 6.11 (Formula di Plancherel) Seu L2(R) e un segnale di duratalimitata, allorau L2(R) e

u2L2(R) =

R

|u(t)|2 dt=

R

|u(f)|2 df=u2L2(R) (6.30)

Dimostrazione Basta integrare la (6.29) rispetto a nellintervallo (0, f0):

f0 R

|u(t)|2 dt= 1T

f0

0nZ

|u(n/T+)|2 d= 1T nZ

f0

0

|u(n/T+ )|2 d=

= 1T

nZ

(n+1)f0nf0

|u(f)|2 df= 1T

+

|u(f)|2 df.

Corollario 6.12 Seu, v L2(R) sono due segnali di durata limitata

(u, v)L2(R)=

R

u(t)v(t) dt= (u, v)L2(R)=

R

u(f)v(f) dt (6.31)

Lemma 6.13 (Approssimazione con segnali di durata limitata) Ogni segna-leu L2(R)di energia finita puo essere decomposto nella serie disegnali ortogonalidi durata limitata

u=nZ

un, un(t) := u(t)11(n,n+1)(t) =

u(t) set (n, n + 1);

0 altrimenti,(6.32)

che converge puntualmente e inL2(R); cio significa che

posto sN(t) =N1n=N

un(t) = u(t)11(N,N)(t) limN+

sN =u inL2(R). (6.33)

Dimostrazione Evidentemente un ha durata limitata e si ha, per il teorema di integrazione per serie,

nZ

R

|un(t)|2 dt=

R

|u(t)|2 dt.


7/9


8/9


Teorema 6.15 Seu L2(R) alloraper quasi ogni frequenza f R

v.p. +

u(t)e2ift dt= lim

N+ N

N

u(t)e2ift dt= u(f). (6.39)

Osservazione 6.16 (Integrale di Lebesgue e valor principale) Naturalmentequandou oltre ad essere ad energia finita e anche inL1(R)le due definizioni di tra-sformata (e la formula(6.39)) coincidono (almeno q.o.) e per il calcolo diretto della(6.11) si possono sfruttare tutte le proprieta dellintegrale di Lebesgue.

Teorema 6.17 (Formula di inversione) Seu L2(R) e un segnale di energiafinita allora

u= l.i.m.N+

NN

u(f)e2ift df= F[u] = F

F[u]

. (6.40)

In altri termini, F e una trasformazione biunivoca e isometrica (isomorfismo) inL2(R) la cui trasformazione inversaF1 coincide conF.

Dimostrazione Cominciamo a dimostrare la (6.40) per un segnaleu di durata finita. Ricordando il lemma6.13 poniamo quindi

sN(f) := u(f)11(N,N)(f), F[u] = l.i.m.N+

F[sN].

Si tratta quindi di dimostrare che

u= F[u] cioe limn+

uF[sN]2L2(R) = 0.Grazie allidentita di Plancherel si ottiene

uF[sN]

2L2(R) =

u2L2(R)+

F[sN]

2L2(R) 2 Re

u,F[sN]

L2(R) =

=u2

L2(R)+

sN2L2(R) 2 Re

u,F[sN]L2(R)

.

Sviluppando lultimo termine si ha

(u,FsN)L2(R) =

+

u(t)

+

sN(f)e2ift df

dt=

=

+

u(t)

+

sN(f)e2ift df

dt=

=

+

+

u(t)sN(f)e

2ift

df dt=

=

+

sN(f)

+

u(t)e2ift

dt

df=

= +

sN(f)sN(f) df= +

|sN(f)|2 df.

Osserviamo che abbiamo potuto scambiare gli integrali nel calcolo precedente poiche +

+

u(t)sN(f)e2ift df dt=

+

|u(t)| dt

+

|sN(f)| df


9/9


come si voleva.

Se ora u e un qualunque segnale di energia finita e sN e definito come nel lemma 6.13,abbiamo

u= l.i.m.N+

F[sN];

per la (6.37) e il precedente risultato di inversione per i segnali di durata finita si ha

F[u] = l.i.m.N+

FF[sN]

= l.i.m.

N+sN =u.

Osservazione 6.18 Le proprieta elementari discusse precedentemente per la tra-sformata inL1(R) valgono anche inL2(R) con enunciati del tutto analoghi.

A titolo di esempio dimostriamo la (6.19) per un segnale u regolare a tratti, continuo,conu L2(R) (si dice in questo caso che u H1(R)).

Osserviamo che

u, u L2(R) u, fu L2(R), cioeR

(1 + f2)|u(f)|2 df

trasformata di fourier per ingegneria

Documents