transporte de sedimentos
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TRANSPORTE DE SEDIMENTOS
I. INTRODUCCION
El estudio de Transporte de Sedimentos es importante porque permite al ingeniero comprender cualitativamente el complejo mecanismo del fenómeno transporte de sedimentos en cauces aluviales y ríos de montaña, así como su cuantificación y control del volumen de sedimentos transportados por los cauces con la finalidad de dimensionar las estructuras hidráulicas como bocatomas, puentes, presas, etc.
Los grandes desarrollos hidroenergéticos, así como las estructuras hidráulicas que hay que construir en el inmediato futuro, exigen una evaluación previa de su factibilidad técnica y económica, dadas las grandes sumas de dinero que hay que invertir en ellas, a más del carácter de endeudamiento externo que estas inversiones conllevan. Con base en esta exigencia, el análisis del TRANSPORTE DE SEDIMENTOS de los ríos y lagos hidrológicos, ha adquirido una importancia capital, pues determina la “vida económica de las obras”.
El transporte de sedimentos es un fenómeno complejo que responde a dos funciones, una que representa las características de los lagos y otra las del río; una de las funciones indica la cantidad, naturaleza y propiedades físicas de los materiales disponibles para el transporte, y la otra, la capacidad del sistema hidráulico para hacerlo. Esta complejidad hace que el problema del transporte de sedimentos sea imposible de resolver por la aplicación simple de la teoría de la mecánica de los fluidos.
La presencia de partículas en el flujo altera el comportamiento hidráulico muchas veces motivado por la presencia de elementos artificiales, como son apoyos de puentes o estructuras hidráulicas, Que hacen que se rompa el equilibrio del flujo. EI transporte de sedimentos está ligado con la hidrodinámica de los canales abiertos. La introducción de partículas dentro del flujo altera el comportamiento hidráulico. Se puede decir que los sedimentos que forman el lecho pueden adoptar muchas formas entre las que se pueden mencionar las dunas, las rizaduras o superficies planas; esto depende del proceso de transporte.
Un hecho conocido en Hidráulica Fluvial es que el transporte de fondo es el que más repercute en el río en aspectos de su morfología, como el ancho o la pendiente, ya que es la causa de sus modificaciones (aunque en determinados casos sólo represente el 10% del transporte total).
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II. CLASIFICACION DEL TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Tradicionalmente existen dos criterios para clasificar el transporte de sedimento en un río: a) Según el modo de transporte El material puede ser transportado en suspensión, manteniéndose entre la masa del flujo gracias a fenómenos de turbulencia, o por el fondo, rodando, arrastrándose o saltando. En un río siempre se dan los dos tipos de transporte conjuntamente y las proporciones entre uno y otro dependen de las condiciones orográficas, geológicas, climatológicas o forestales de la cuenca. Es importante notar la dificultad de distinguir entre un grano de sedimento que avanza a grandes saltos y un grano que se transporta en suspensión con pequeñas interrupciones.
b) Según el origen del material transportado.
Según su procedencia, el material transportado puede tener origen en el propio cauce o bien en otras zonas de la cuenca hidrográfica. El transporte de sedimento de origen en el cauce se reparte entre el transporte en suspensión (material más fino) y de fondo (material más grueso). En cambio el material que procede de la cuenca hidrográfica, y que recibe el nombre de material de lavado de la cuenca, es un material muy fino que sólo puede ser transportado en suspensión. Se podría establecer un diámetro límite para separar el material transportado en suspensión procedente del propio cauce y el de lavado siendo este límite de 0,063 mm, siendo el material más fino el de lavado.
III. CARACTERISTICAS DE LAS PARTICULAS SEDIMENTARIAS
Las principales características que interesan de un sedimento no cohesivo, se refieren a las partículas que forman el sedimento: - Considerándolas como entes aislados: a) Densidad y peso específico b) Relaciones entre pesos y volúmenes c) Tamaño d) Forma e) Redondez - Como parte de un conjunto Para entender la dinámica de los sedimentos no cohesivos no basta con estudiar únicamente las propiedades de las partículas individuales que lo constituyen, ya que el comportamiento de una
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partícula aislada está sujeta a la acción de un flujo, por lo tanto es muy diferente de aquel que muestra cuando está formando parte de un conjunto. Por ello, es necesario estudiar también las propiedades de un conjunto o volumen grande de partículas: f) Distribución de los tamaños de las partículas g) Velocidad de caída h) Angulo de fricción interna o de reposo. Las dos características más importantes del material del cauce, por su influencia en el transporte de sedimentos, son el peso específico de los materiales y la granulometría de los mismos.
3.1. CARACTERÍSTICAS DE LAS PARTÍCULAS COMO ENTES AISLADOS a) Densidad y peso específico El peso específico nos indica el peso de un material por unidad de volumen. (representa la fuerza con que la Tierra atrae a una unidad de volumen de la misma sustancia considerada), dice cuánto pesa un cm3 de un objeto. La densidad nos indica la masa por unidad de volumen. Es una relación que te dice que cantidad de materia entra en un determinado volumen. Más denso es el cuerpo, más cantidad de moléculas entran por cm3 Siendo el peso de un cuerpo variable en función de la constante gravitacional, mientras que la masa es siempre constante.
El peso específico y la densidad son evidentemente magnitudes distintas como se ha podido comparar a través de las definiciones que se dieron en la parte de arriba, pero entre ellas hay una íntima relación.
En general, las partículas sedimentarias no son completamente densas o sólidas, sino que poseen cierta porosidad o relación de vacíos. Por ello, en una partícula natural se distinguen tres fases constituyentes: sólida, líquida y gaseosa. La sólida está formada por las partículas minerales que la componen, la liquida por el agua y la gaseosa por el aire. Las fases líquida y gaseosa de la partícula suelen comprenderse en el volumen de vacíos, mientras que la fase sólida constituye el volumen de sólidos.
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Fig: Esquema de la composición de una partícula sedimentaria
El significado de los símbolos es el siguiente: Vt : volumen total de la muestra del suelo. (Volumen da la masa) Vs: volumen de la fase sólida de la muestra (volumen de sólidos) Vω: volumen de la fase líquida (volumen de agua) Va: volumen de la fase gaseosa (volumen de aire) Vv: volumen de vacíos de la muestra de suelo (volumen de vacíos). Vv = Vω + Va
Vt = Vv + Vs
Vt = Vω + Va + Vs
Wt : Peso Total de la muestra de suelo. (Peso de la Masa). Ws : Peso de la fase sólida de la muestra. Wω: Peso de la fase líquida (peso del agua). Wa : Peso de la fase gaseosa, convencionalmente considerado como nulo en Geotecnia.
Por tanto, el peso específico de la fase sólida de una partícula, γs, se define como el cociente que resulta de comparar el peso de su fase o materia sólida, Ws, con el volumen de sólidos, Vs, o sea:
γs = Ws/ Vs
γo : Peso específico del agua destilada, a 4º C. y a la presión atmosférica correspondiente al Nivel del mar. γo = 1,000 gr/ cm³
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γw : Peso específico del agua en condiciones reales de trabajo, su valor difiere un poco del γo , en la práctica se toma igual que γo. γs : Peso específico del suelo, también llamado peso volumétrico de los sólidos
Al dividir entre g ambos miembros de la ecuación, se obtiene la densidad o masa específica de la fase sólida de la partícula, ρs, es decir
ρs = γs / g = Ws / gV
La densidad de una partícula depende de su composición mineralógica, o sea de la densidad de los minerales que la constituyen.
El granito forma aproximadamente el 95% de la parte superior de la corteza terrestre, aunque en su mayor parte no está al descubierto, es la roca madre o fuente original de los sedimentos. El granito está constituido esencialmente por feldespato y cuarzo. Por desintegración mecánica el granito se convierte en un conjunto de fragmentos o granos sueltos de feldespato y cuarzo, que son acarreados por los ríos en forma de grava y arena; luego, por acción química, parte del feldespato se convierte fácilmente en arcilla, en cambio el cuarzo es mucho más resistente. Puesto que los materiales aluviales contienen un alto porcentaje de cuarzo, se puede suponer, para propósitos prácticos, que la densidad relativa de las partículas sedimentarias, es por ello el peso específico relativo de las arenas es muy similar al del cuarzo γs = 2,65 ton/m3. Para las arcillas es de 2.5 a 2.9 gr/cm3 con un valor medio estadístico de 2.7 gr/cm3. Este valor es el que normalmente se emplea en los cálculos de Ingeniería ya que varía muy poco de unos cauces a otros.
Ss = ρs / ρ = γs / γ = 2.65
Ss = Densidad relativa de las partículas
De donde se obtiene que su peso específico es
γs = γ Ss = 2650 kgf/m3
Y en el SI
γs = 25996.5 N/m3 = 25.9965 kN/m3
Sin embargo, hay que tener en cuenta que la presencia de hierro, Fe, incrementa notablemente la densidad del mineral, como es el caso de la magnetita, cuya densidad relativa promedio es 5.10. Por ello las partículas sedimentarias constituidas por minerales pesados poseen densidades
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relativas elevadas (mayores de 4.5). En la tabla, se indican los nombres y densidades relativas de algunos de los minerales constitutivos de partículas sedimentarias.
Tabla: Densidades relativas de algunos minerales constitutivos de partículas sedimentarias
b) Peso específico sumergido
Cuando las partículas sedimentarias están dentro del agua, el empuje hidrostático influye en los pesos, tanto específicos como específicos relativos. El peso específico de la materia sólida sumergida, γs’, es pues el empuje hidrostático neto es el peso en agua del volumen desalojado por los sólidos.
𝑷𝒆𝒔𝒐 𝒔𝒖𝒎𝒆𝒓𝒈𝒊𝒅𝒐 = 𝑾𝒔 − 𝑽𝒔 ∗ 𝜸𝒘
𝛾′ =𝑊𝑠 − 𝑉𝑠 ∙𝛾𝑤
𝑉𝑡
Sumando y restando (Vω.γw)
𝛾′ =𝑊𝑠 − 𝑉𝑠∙𝛾𝑤 + 𝑉𝑤 ∙ 𝛾𝑤 − 𝑉𝑤 ∙ 𝛾𝑤
𝑉𝑡
𝛾′ =(𝑊𝑠 + 𝑊𝑤) − (𝑉𝑠 + 𝑉𝑤) ∙ 𝛾𝑤
𝑉𝑡
𝛾′ =(𝑊𝑠 + 𝑊𝑤)
𝑉𝑡
−(𝑉𝑠 + 𝑉𝑤) ∙ 𝛾𝑤
𝑉𝑡
𝛾′ = 𝛾𝑠𝑎𝑡 − 𝛾𝑤
Esta fórmula es de uso prácticamente permanente en Geotecnia
Ejemplo. En una tentativa de identificar un espécimen de roca, un geólogo pesa una muestra en aire y también cuando que está sumergido en agua, usando una balanza de brazos iguales improvisada... ¿Obtiene en su medición 120 g y 78 g. cuál es la densidad de la muestra?
Solución.
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En aire m = ρV =120 y en agua 120− ρa V = 78 ⇒ ρa V = 42 De estas relaciones obtenemos: 𝜌
𝜌𝑎=
120
42=2,86
La roca desconocida tiene una densidad 2,86 g/cm3 c) tamaño
De todas las propiedades del sedimento, el tamaño de las partículas que lo constituyen es una de las más importantes y quizás la más utilizada. Pero el tamaño de las partículas no puede definirse fácilmente con una sola dimensión, como podría hacerse si ellas fueran esferas o cubos, porque las partículas naturales tienen muy diversas formas y nunca alcanzan la forma de esferas en que podría conocerse su tamaño al medir su diámetro. Las formas tan irregulares que asumen las partículas sedimentarias dificultan su clasificación, ya que el diámetro como índice de tamaño pierde su significado usual. El tamaño de una partícula suele definirse en términos de su volumen o de su velocidad de caída, o por el tamaño de la abertura de la malla de una criba o por sus dimensiones triaxiales.
Por tanto, el tamaño de una partícula dependerá de la dimensión que se mida, según se haya definido, y del procedimiento que se utilice para obtener dicha medida. De acuerdo con la mayoría de los autores para precisar el tamaño de una partícula, los principales criterios están basados sobre alguna de las definiciones siguientes:
a) Diámetro nominal b) Diámetro de cribado c) Diámetro de sedimentación d) Diámetro estándar de sedimentación e) Dimensiones triaxiales
c.1) Diámetro nominal Es el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula de que se trata, o sea
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𝐃𝐧 = (𝟔𝐕𝐩
𝛑)
𝟏/𝟑
Dn = Diámetro nominal Vp = Volumen de la partícula. De acuerdo con la definición, ni la forma, ni la densidad de la partícula influyen en la determinación del diámetro nominal, porque partículas de muy diferente forma y densidad pueden tener el mismo volumen y, por consiguiente, el mismo diámetro nominal. Por ello, este diámetro casi no se emplea en estudios sobre transporte de sedimentos. Se utiliza preferentemente para definir el tamaño de partículas gruesas. c.2) Diámetro de cribado Es el tamaño de la abertura de la malla por la cual pasa justamente la partícula. Se utiliza comúnmente para definir el tamaño de partículas mayores de 0.062 mm, como las arenas y gravas.
Partículas largas de sección transversal angosta pueden pasar o no a través de una malla de abertura pequeña; si logran pasar, significa que el diámetro de cribado clasifica las partículas de acuerdo con su menor área transversal; pero si ello no ocurre, la clasificaci6n es según la mayor dimensión triaxial de la partícula por lo que el diámetro de cribado no tiene en cuenta la forma real de los granos ni su densidad. En el caso de una esfera, los diámetros nominal y de cribado siempre son iguales. Para partículas naturales, las cuales muestran siempre desgaste o redondez,
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se ha encontrado que el diámetro de cribado es 1igeramente menor que el diámetro nominal, esto es D cribado = 0.90 D nominal En la tabla, se presenta la clasificación de las mallas y sus aberturas correspondientes (malla No. significa el número de hilos por pulgada). En realidad, no importa qué serie o marca de mallas se utilice en el cribado, siempre y cuando se ordenen correctamente, o sea de mayor a menor, y se verifiquen y anoten correctamente sus aberturas.
Tabla: Clasificación y abertura de las mallas
c.3. Diámetro de sedimentación o equivalente
Es el diámetro de una esfera que tiene igual densidad y velocidad de caída que la partícula de que se trata, al caer ambas en el mismo líquido y a la misma temperatura.
c.4. Diámetro estándar de sedimentación
Es el diámetro de una esfera cuya densidad relativa es 2.65 y que tiene la misma velocidad de caída que la partícula considerada, cuando ambas caen en agua destilada a 24 °C. Los diámetros de sedimentación se emplean habitualmente para definir el tamaño de partículas muy finas, como las de los limos o arcillas.
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c.5. Diámetro del tamiz (Di) Es la apertura mínima de una malla de tamiz a través de la cual pasa la partícula en una distribución granulométrica. Es más común identificar el tamaño del sedimento según la proporción (en peso o en volumen) en que se encuentre en la muestra, bien sea del lecho o en suspensión. Por ejemplo, D50 = 0.273 mm significa que el 50 % (en peso) de la muestra tiene un tamaño menor que 0.273 mm. En problemas relacionados con el transporte de sedimentos, los diámetros de sedimentación tienen mayor significado físico que los anteriores, ya que en su determinación influyen la forma y densidad reales de la partícula, así como la densidad del fluido en el que se sedimentan. El diámetro de cribado y el de sedimentación son los más utilizados en la práctica. Cuando un material se ha cribado adecuadamente, el diámetro de cribado corresponde aproximadamente a su diámetro de sedimentación.
c.6. Dimensiones triaxiales
El tamaño de una partícula también puede definirse en función de tres dimensiones características de la misma, las cuales se denotan, en orden decreciente de magnitud, con las letras a, b, c, o sea a > b > c, medidas en la dirección de tres ejes que sean ortogonales entre sí, haciendo coincidir uno de ellos, por ejemplo, con la mayor dimensión de la partícula, fig 1.2, ya que con ellas se pretende determinar el largo, ancho y espesor de la partícula.
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Fig: Esquema de las dimensiones triaxiales de una partícula
Las dimensiones triaxiales se utilizan preferentemente para especificar el tamaño de partículas gruesas o fragmentos rocosos, ya que conforme disminuye el tamaño de una partícula se dificulta la determinación de sus dimensiones triaxiales. d) Forma de la partícula
Esta característica describe el aspecto o apariencia de la partícula, independientemente de su tamaño, densidad o composición mineralógica. La forma es una característica importante, porque influye en el movimiento de las partículas que caen o se desplazan dentro del seno de un fluido; además, se ha comprobado el influjo de la forma de los granos en la determinación de algunas características de los sedimentos o suelos no cohesivos, como ángulo de reposo y compacidad o porosidad; por otro lado, en igualdad de condiciones, el poder abrasivo de las partículas depende de su forma. En particular esta característica determina el modo del movimiento de la particula, por ejemplo, granos de forma aplanada, en el lecho, difícilmente se mueven por rotación, pero si se desplazan fácilmente o eventualmente pueden saltar. e) Redondez La redondez es un parámetro que da una idea cuantitativa de qué tan chatos o puntiagudos están los filos o aristas que delinean el contorno de la partícula: si una partícula muestra angulosidades, o sea cantos o bordes puntiagudos, tendrá un índice bajo de redondez; si por el contrario exhibe aristas romas o filos achatados, tendrá entonces un índice alto de redondez. Así por ejemplo, una partícula de forma alargada tendrá un alto grado de redondez si sus bordes o esquinas están redondeados. Para dar una idea del aspecto que tienen las partículas según su grado de redondez, en la fig se muestra el contorno de algunas partículas y su correspondiente índice de redondez.
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Fig: Índice de redondez de partículas
f) Esfericidad Es la relación entre el área superficial de una esfera de volumen equivalente al de la partícula y el área superficial de la partícula.
𝛺 = √𝑐
𝑏(
𝑏
𝑎)
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= √𝑏 ∗ 𝑐
𝑎2
3
𝛺 = 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 a = Arista más larga b = Arista de longitud intermedia c = Arista más corta Nota: La esfericidad juega un papel importante en la determinación de la velocidad de caída. La esfericidad depende de la composición mineral de la partícula g) Factor de forma Se define por la siguiente ecuación:
𝐹𝐹 =𝑐
√𝑎 ∗ 𝑏
Nota: Una manera fácil de definir las partículas de sedimento es atreves de la redondez, esfericidad y el factor de forma. h) Angulo de fricción interna o de reposo Depende principalmente de la forma de la partícula
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Figura: Angulo de reposo de una partícula
IV. PROPIEDADES DE LOS SEDIMENTOS EN CONJUNTO
4.1. Características de las partículas en conjunto a) Distribución de los tamaños de las partículas En una muestra de suelo no cohesivo interesa conocer la forma en que están distribuidos los tamaños de las partículas que el tamaño de una sola de ellas. Se trata de conocer la granulometría real o característica del material que constituye el lecho de un tramo de río. b) Análisis Granulométrico Por granulometría se entiende la distribución de tamaños de las partículas de una muestra. Normalmente se evalúa tamizando una muestra de material y pesando la fracción que pasa un tamiz pero es retenida por el siguiente, más pequeño en tamaño. Por ello como “tamaño” se entiende la dimensión decisiva “D” que hace que una partícula sea retenida o pase por un cedazo. A menudo se denomina a esta dimensión “D”: diámetro, pues se asume una forma de partícula esférica o elipsoidal. La representación habitual de la granulometría de una muestra es la curva granulométrica. En una curva granulométrica se entiende por “Dn”, el tamaño tal que el n% del material en peso es
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menor que él. Así por ejemplo D10 indica el tamaño tal que únicamente el 10% del peso de la muestra tiene dimensiones menores. Se emplean con mucha frecuencia, para caracterizar los lechos, los diámetros D85 y D50, que es la mediana de la muestra. El D85 tiene la particularidad de que es fácil de estimar si no se cuenta con un análisis granulométrico. La aproximación se puede realizar recogiendo en aguas bajas una muestra de los mayores tamaños y obteniendo una media de ellos. Consiste en hacer pasar la muestra de material a través de un juego de mallas y en pesar el material retenido en cada una de ellas. Con lo que se obtiene la Tabla de Distribución de Frecuencias (TDF). Representación tabular de la granulometría, en la que interesa la magnitud de los valores de las columnas segunda y sexta.
Representación Gráfica.
Existen varias formas de representar gráficamente una distribución de frecuencias: Histograma, Polígono de frecuencias relativas y Poligono de frecuencias relativas acumuladas, las cuales pueden ser de tipo mayor o menor según que la frecuencia relativa acumulada sea mayor o menor que cierta maginitud o diámetro.
La representación grafica empleada mas habitualmente en fluvial es la curva de distribución de frecuencias acumuladas de tipo menor, que se llama comúnmente curva granulometrica, la cual puede dibujarse en diferentes tipos de papel o sistemas coordenados:
- Papel aritmético, la escala de ambos ejes coordenados es aritmética. - Papel semilogaritmico, la escala del eje de las abscisas es logarítmica y la del eje de ordenadas es
aritmética. - Papel logarítmico, la escala de ambos ejes coordenados es logarítmica. - Papel probabilidad, la escala del eje de las abscisas es aritmética y la del eje de las ordenadas
sigue una ley de probabilidad normal o gaussiana. - Papel log-normal, la escala del eje de las abscisas es logarítmica y la del eje de ordenadas es
conforme a una ley de probabilidad normal. - Papel para distribución circular, la escala del eje de las abscisas es aritmética y la del eje de
ordenadas siguen una ley circular
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Estos tipos de papel resultan muy útiles cuando hay que considerar varias muestras de un mismo sitio, porque si las curvas granulométricas se dibujan a escala adecuada, facilitan el análisis de muestras y sobre todo ayuda a encontrar la recta o distribución teórica que mejor se ajusta a los datos obtenidos en el campo. Consiste en representar la magnitud de los valores de las columnas segunda y sexta de la Tabla de Distribución de Frecuencias (TDF) en diferentes tipos de papel. El resultado de esta representación gráfica se le conoce como Curva Granulométrica (CG).
La representación gráfica de la CG en estos tipos de papel facilita el análisis de muestras, la selección de mallas y la distribución teórica que mejor se ajusta a los datos obtenidos de campo.
Análisis cualitativo de las muestras.
Se dice que una muestra de material es de granulometría extendida, cuando presenta diferentes tamaños de partículas. Es de granulometría uniforme cuando la muestra de material se agrupa en torno a un solo tamaño.
Selección de mallas.
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Una selección inadecuada de las malla hace que en la CG, aparezcan escalones o discontinuidades. En todo caso hay que emplear las mallas que estén más próximas a los diámetros que interesan. D5, D16, D35, D50, D65, D75, D84, D90 y D95.
Curva Granulométrica representativa de un grupo de muestras
Para obtener la Curva Granulométrica Característica (CGC) del material del lecho de un río, se suman los pesos retenidos en cada malla para cada una de las muestras tomadas y se completa la TDF.
Diámetros Característicos (Dn), y distribución del mejor ajuste
Si al dibujar la CG en los distintos tipos de papel, los puntos que la constituyen quedan alineados sobre un línea recta, entre los porcentajes de material del 16 % y 84 %. Se dice que los tamaños del material son bien representados por aquel papel en el que dichos puntos de la curva están más próximos a esa recta. Es de esta curva del mejor ajuste de donde se obtienen los diámetros característicos (Dn).
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De las curvas granulométricas características, para el mejor ajuste se leen los diámetros D16, D50 y D84 y se emplea el modelo analítico para obtener los diámetros característicos.
DETERMINACION ANALITICA DE LOS DIAMETROS CARACTERISTICOS
En la tabla de Distribución de frecuencias se identifican entre que valores se localiza el diámetro D15.87 y D84.13. Se establecen dos sistemas de ecuaciones a partir del modelo teórico del mejor ajuste y se resuelven.
Ejemplo: Modelo teórico
Análisis granulométrico de la muestra han sido cribados correctamente, previa verificación si el conjunto de mallas utilizado es el adecuado en el cribado de procedencia de un lecho del rio y de profundidad superficial. La verificación se lleva acabo dibujando en papel semilogaritmico la curva granulométrica
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Los puntos de la curva quedan definidos al considerar como abscisas los valores de la columna 2 de la tabla y como ordenadas las de la columna 6 de la misma tabla. Una vez localizados los puntos en el papel semilogaritmico, se unen y se dibuja la curva granulométrica empleando las 18 mallas indicadas. (Uno de los errores más comunes en el cribado consiste en emplear pocas mallas y por el contrario que cuando se disponen de muchas la equivocación suele estar en la selección incorrecta de las mallas.
De la TDF (Tabla de Distribución de Frecuencias) se aprecia que se trata de arena gruesa y grava, material cuya distribución de tamaños es bien representada por un modelo teórico Log – normal.
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Diámetros característicos Dibujada la curva granulométrica efectiva, es fácil determinar cualquier diámetro característico de las partículas que constituyen el material del cauce. Por ejemplo, se obtiene que D75 = 2.84 mm; esto significa que el 75 % del peso del material del cauce en estudio lo constituyen partículas cuyos tamaños son inferiores a 2.84 mm. Sin embargo la determinación de los diámetros característicos debe realizarse después de analizar si la curva granulométrica característica puede ajustarse o no a una distribución teórica. En caso fuese afirmativo la determinación de los diámetros característicos es mucho más rápido y preciso. Distribuciones teóricas Diferentes estudios de sedimentos han llegado a la conclusión de que los tamaños de las partículas que constituyen tales sedimentos no se distribuyen según una ley única. De otro lado se ha comprobado también que dependiendo de las condiciones en las que se encuentran los sedimentos en el lecho de los ríos, se dan abundantes casos que presentan una tendencia bastante definida
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hacia cierto tipo de distribución; es decir, existen sedimentos que se ajustan más a una determinada distribución que a otra. La concordancia entre una distribución real y una teórica difícilmente es perfecta. Las discordancias se presentan siempre en los extremos o colas de distribución donde las fracciones de material muy fino o muy grueso son los que se alejan de la distribución, pero estas son solo una pequeña fracción o porcentaje de material, por lo tanto puede aceptarse totalmente la validez del modelo teórico.
c) Distribución Circular Los ríos de zonas montañosas se caracterizan principalmente por el fuerte declive que presentan en el perfil longitudinal de su cauce, por la relativa estrechez de su sección transversal y por la abundancia de los materiales gruesos o fragmentos rocosos que yacen a lo largo de su lecho. En este tipo de cauces, la distribución de los tamaños de las partículas tiende a seguir una ley circular, para lo cual se utiliza la siguiente formula.
𝐷𝑛 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 {1 − [1 − (𝑛
100)
2
]
1/2
}
Siendo, 𝐷𝑚𝑎𝑥 el diámetro máximo y n el porcentaje que pasa. Ejemplo Si la granulometría de un cauce sigue una distribución o ley circular y las piedras de mayor tamaño miden 80 cm, calcular el D75.
𝐷75 = (80) {1 − [1 − (75
100)
2
]
12
} = 27.085 𝑐𝑚
Sin embargo, la manera de ver clara y rápida si una curva granulométrica sigue una ley circular es dibujándola en el papel para distribución circular. Si en dicho papel los puntos de la curva granulométrica quedan exactamente alineados sobre una recta, significa que los diámetros de las partículas se distribuyen conforme a una ley circular.
d) Distribución log-normal Cuando los sedimentos de los cauces naturales están constituidos por gravas y arenas, como suelen ocurrir en el lecho de los ríos en zona intermedia, se ha comprobado que los tamaños de sus partículas tienden a seguir una ley del tipo log-normal de probabilidades y puede describirse mediante la ecuación:
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𝐷𝑛 = 𝐷50(𝜎𝑔)𝑍𝑛
Donde: 𝑍𝑛 = Variable aleatoria estándar. Es una variable que tiene distribución normal, con media igual a Cero y desviación estándar igual a uno. El valor para un porcentaje dado se obtiene con ayuda de tabla de distribución normal o de Gauss. 𝜎𝑔 = Desviación estándar geométrica. Es una medida de dispersión que indica que tan alejados están los datos respecto de un valor central. Se define como:
𝜎𝑔 =𝐷84
𝐷50
Además, si la granulometría es log-normal, se verifica que:
𝜎𝑔 =𝐷84
𝐷50=
𝐷50
𝐷16= [
𝐷84
𝐷16]
1/2
Es decir que la desviación estándar geométrica es un parámetro adimensional, de la ecuación se obtiene:
𝐷50 = √𝐷84𝐷16 Por otro lado como la distribución log-normal no es simétrica, la mediana (D50) y la media (Dm) no son iguales o sea D50 ≠ Dm. La ecuación para determinar el diámetro medio es:
𝐷𝑚 = 𝐷50𝑒𝑥𝑝 [1
2(𝑙𝑜𝑔𝑒 𝜎𝑔)
2]
Ejemplo: Si el sedimento de un cauce tiene granulometría del tipo log-normal con 𝜎𝑔 = 2.85 𝑚𝑚 y 𝐷50 =
1.7 𝑚𝑚, el cálculo del D65 seria:
𝐷65 = 1.7(2.85)𝑍65 Luego se busca en tabla el valor de Z que corresponde al porcentaje de 0.65 (última columna de la tabla), encontrándose es 𝑍65 = 0.38532, por lo que al sustituir en la ecuación se obtiene:
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𝐷65 = 1.7(2.85)0.38532 = 2.545 mm Para discernir rápidamente si la granulometría efectiva se ajusta o no a una distribución log-normal, se dibujan los puntos de dicha curva granulométrica en papel log-probabilidad. Si los puntos quedan exactamente alineados sobre una recta, es evidencia de que los logaritmos de los diámetros se disponen en según una distribución normal o gaussiana de probabilidades. Cuando esto acontece, se dice que la distribución granulométrica es de tipo log-normal.
e) Distribución Normal
Los sedimentos constituidos por granos finos, como los limos y arenas finas que se encuentran en el cauce de los ríos de planicie, tienden a seguir una distribución de tamaños normal. Puede describirse por medio de la ecuación:
𝐷𝑛 = 𝐷50 + 𝑍𝑛𝜎
Donde:
𝑍𝑛 = Variable aleatoria estándar, ver tabla 𝜎 = Desviacion estándar y se define como:
𝜎 = 𝐷84 − 𝐷50
Cuando la granulometría es normal, se cumple que:
𝜎 = 𝐷84 − 𝐷50 = 𝐷50 − 𝐷16 =1
2[𝐷84 − 𝐷16]
O sea que la desviación estándar tiene las unidades de la variable aleatoria. De la ecuación se llega a:
𝐷50 =1
2[𝐷84 + 𝐷16]
Asimismo, dado que la distribución normal es simétrica, media. mediana y moda coincide; es decir:
𝐷50 = 𝐷𝑚
Ejemplo:
Si la granulometría de un cauce es del tipo normal con parámetros 𝐷50 = 0.25 𝑚𝑚 y 𝜎 =
0.08 𝑚𝑚, el 𝐷10, por ejemplo se determinaría de la siguiente manera; se sustituye primero los valores conocidos en la ecuacion, o sea:
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𝐷10 = 0.25 + 𝑍10(0.08)
En la tabla se busca el valor de la variable aleatoria que corresponde al 0.10 de área bajo la curva, encontrándose que Z10 = - 1.28155; es decir, Z10 = - Z90, pues la curva es simétrica, por lo tanto al sustituir se obtiene:
𝐷10 = 0.25 + (−1,28155)(0.08) = 0.147 𝑚𝑚
Con rigor, cuando la distribución es normal o log-normal, en lugar de los diámetros D16 y D84 deben utilizarse D15.87 y D84.13, pero sean redondeados estos diámetros para fines practicos. Las probabilidades de 15.87 y 84.13 por ciento se satisfacen para Z15.87 = - 1 y Z84.13 = 1, respectivamente; estos valores de la variable aleatoria corresponden a puntos de inflexión de la curva de distribución normal estándar.
Para saber rápidamente si la granulometría de tales sedimentos es o no gaussiana, se dibujan los puntos de la curva granulométrica en papel probabilidad; si resulta que dichos puntos quedan exactamente alineados sobre una recta, significa que los diámetros de las partículas siguen una ley normal o gaussiana de probabilidad. Cuando esto ocurre, se dice que la distribución granulométrica es normal y puede describirse mediante la ecuación empleada.
f) Distribución logarítmica
Si al dibujar los puntos de la curva granulométrica en papel semilogaritmico resulta que quedan exactamente alineados sobre una recta, significa que los logaritmos de los diámetros de las partículas se distribuyen linealmente. Cuando esto acontece, se dice que la distribución de los tamaños de las partículas es logarítmica y puede describirse por medio de la ecuación:
𝐷𝑛 = 𝐷50(𝜎𝑔)
𝑃𝑛 Donde: 𝑃𝑛 = Variable, cuyo valor depende del porcentaje n correspondiente al diámetro que interesa Determinar. Se calcula mediante la ecuación:
𝑃𝑛 =𝑛 − 50
34
𝜎𝑔 = Desviación estándar geométrica. Se define como:
𝜎𝑔 =𝐷84
𝐷50
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Además, como en el caso de la distribución log-normal, si la distribución es logarítmica, se verifica que:
𝜎𝑔 =𝐷84
𝐷50=
𝐷50
𝐷16= [
𝐷84
𝐷16]
1/2
Ejemplo:
Determinar el D35 de una granulometría logarítmica cuyos parámetros son 𝜎𝑔 = 5 y 𝐷50 = 12 mm.
Solución: Al sustituir valores en la ecuación resulta:
𝐷35 = (12 𝑚𝑚)(5)𝑃35
Y dado que n = 35, al sustituir este valor en la ecuación se obtiene:
𝑃35 =35−50
34= −
15
34= −0.441176
Por tanto:
𝐷35 = (12 𝑚𝑚)(5)−0.441176 = 5.8995 𝑚𝑚
g) Distribución log-log
Si al dibujar los puntos de la curva granulométrica en papel logarítmico y resulta que dichos puntos quedan exactamente alineados sobre una recta, significa que los logaritmos de los diámetros de las partículas se distribuyen logarítmicamente. Cuando esto acontece, se dice que la distribución granulométrica es log-log y puede describirse por medio de la ecuación:
𝐷𝑛 = 𝐷50(𝜎𝑔)
𝑞𝑛
Donde:
𝑞𝑛 = Variable cuyo valor depende del porcentaje n correspondiente al diámetro que interesa Determinar. Se calcula como:
𝑞𝑛 = 4.43835 𝑙𝑜𝑔 (𝑛
50)
𝜎𝑔 = Desviación estándar geométrica. Se define como:
𝜎𝑔 =𝐷84
𝐷50
Si la granulometría es log-log, se verifica que:
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𝜎𝑔 =𝐷84
𝐷50= (
𝐷50
𝐷16)
0.45531
= [𝐷84
𝐷16]
0.31286
Donde:
𝐷50 = (𝐷16)0.31286(𝐷84)0.68714
Ejemplo:
Determinar el D75 de una granulometría de tipo log-log cuyos parámetros son 𝜎𝑔 = 5 y 𝐷50 = 12 mm.
Solución:
Al sustituir valores en la ecuación se obtiene
𝐷75 = (12 𝑚𝑚)(5)𝑞75
Y dado que n = 75, al sustituir este valor en la ecuación resulta que:
𝑞75 = 4.43835 𝑙𝑜𝑔 (75
50) = 0.781555
Por tanto: 𝐷75 = (12 𝑚𝑚)(5)0.781555 = 42.2148 𝑚𝑚
Ajuste a un modelo teórico
El análisis granulométrico no debe concluir en la representación gráfica de la curva granulométrica en el clásico papel semilogaritmico, sino que tiene que continuar analizando también la curva granulométrica en los otros sistemas coordenados o tipos de papel, ya que dibujando en ellas se aprecia rápidamente si la granulometría característica del cauce presenta una tendencia bien definida hacia cierto tipo de distribución teórica.
Cuando los puntos no quedan exactamente alineados en determinado tipo de papel (por que la distribución real se desvía del modelo teórico), pero existe una tendencia de los mismos a linearse a lo largo de una recta, es esta entonces ante un problema de regresión o ajuste. Con rigor la recta o función que se adapta mejor a los datos reales tiene que definirse siguiendo un criterio estándar, como el método de mínimos cuadrados o el de momentos.
Sin embargo con fines prácticos, es posible efectuar el ajuste en forma gráfica, dibujando una recta que pase más o menos en medio de todos los puntos. Por otro lado, en el caso particular de una distribución log-normal, el ajuste se llevaría a cabo de acuerdo con el procedimiento sugerido
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por Otto: se acepta como recta de ajuste la que resulte de unir en papel log-normal los puntos cuyas coordenadas son (D15.87, 15.87%) y (D84.13, 84.13%), como se indica en la figura:
Se observa que efectivamente que la mayoría de los puntos de la curva granulométrica tienden a alinearse bien, excepto los de sus extremos, que son los que más se desvían de la recta o modelo; no obstante, dado que esas colas representan una fracción pequeña de material y la desviación es comparativamente baja, se acepta la validez completa del modelo.
Los valores de los diámetros D15.87 y D84.13 se calculan grafica o analíticamente.
Los valores correspondientes a la determinación analítica son:
D15.87 = 0.66166
D84.13 = 3.66812
Luego se sustituye estos valores en las ecuaciones:
𝜎𝑔 = [𝐷84.13
𝐷15.87]
1/2
= [3.66812
0.66166]
1/2
= 2.35453
𝐷50 = [𝐷15.87 × 𝐷84.13]1
2⁄ = 1.55790 𝑚𝑚
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Estos valores se sustituyen en la ecuación y se obtienen el diámetro medio de las partículas que constituyen el material del lecho del cauce
𝐷𝑚 = 𝐷50𝑒𝑥𝑝 [1
2(𝑙𝑜𝑔𝑒 𝜎𝑔)
2] = 1.55790 𝑚𝑚 𝑒𝑥𝑝 [
1
2(𝑙𝑜𝑔𝑒 2.35453)2] = 2.24791 𝑚𝑚
Y si estos valores de 𝜎𝑔 y 𝐷50 se sustituyen en la ecuación:
𝐷𝑛 = 𝐷50(𝜎𝑔)𝑍𝑛
Se logra determinar cualquier diámetro característico o sea el modelo teórico que describe la curva granulométrica del material del cauce.
Por ejemplo el D65 se determina de la siguiente forma:
𝐷65 = (1.55790 𝑚𝑚)(2.35453)𝑍65
El valor de Z que delimita el 0.65 del área bajo la curva de Gauss es 0.38532 que se obtiene de la tabla y es positivo porque 0.65 es mayor de 0.5; luego sustituyendo en la ecuación resulta:
𝐷65 = (1.55790 𝑚𝑚)(2.35453)0.38532 = 2.16691 𝑚𝑚 En forma similar se puede generar o calcular cualquier otro diámetro característico.
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Figura N° Comparación entre la granulometría real y la distribución teórica de tamaños La comparación entre la curva granulométrica real y la distribución teórica de tamaños se presenta en la figura, donde se observa la bondad del modelo.
h) Diámetros característicos o efectivos
Una vez definida la curva granulométrica característica es posible encontrar cualquier diámetro Dn de dicha curva. Estos diámetros se denominan diámetros característicos y se utilizan comúnmente para definir parámetros estadísticos que ayuden a precisar la distribución de los tamaños de las partículas. Como ejemplos típicos de los diámetros característicos están el D84.13, D15.87 y D50.
Nota: Cuando un diámetro característico se emplea para describir cierta ley o proceso o para definir el tamaño de las partículas que predomina en un fenómeno determinado, se le suele llamar DIAMETRO EFECTIVO, como el diámetro D75 adoptado por Lane en su análisis al inicio de arrastre de sedimentos fluviales, o bien los diámetros D35 y D65 empleados en sus estudios sobre transporte de sedimentos y resistencia al flujo por Einstein.
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i) Determinación analítica de diámetro
A continuación se explica la forma de valuar analíticamente los diámetros D16 y D84, necesarios para definir los parámetros de la distribución log-normal de la figura (curva granulométrica característica del cauce y su ajuste a una distribución log-normal).
El procedimiento consiste en definir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos, entre los que se encuentran el diámetro que interesa determinar, utilizando para ello las coordenadas de los puntos de la curva granulométrica característica (segunda y sexta columnas de la tabla) y la ecuación del modelo teórico correspondiente, que en este caso es la ecuación:
𝐷𝑛 = 𝐷50(𝜎𝑔)𝑍𝑛
Así de acuerdo con lo indicado en la segunda y sexta columnas de la tabla, el diámetro D15.87 se localiza entre los puntos cuyas son (0.590 mm, 12.459 %) y (0.840 mm, 24.736 %); luego al sustituir las coordenadas del primer punto en la ecuación se tiene:
0.590 𝑚𝑚 = 𝐷50(𝜎𝑔)𝑍12.459%
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El valor de Z que delimita el 12.459 % de área bajo la curva normal se calcula interpolando valores en la tabla de Gauss, obteniéndose que Z = -1.1523467; este valor negativo es porque 12.459 % < 50 %. Por lo tanto, al sustituir este valor de Z en la ecuación, se tiene:
0.590 𝑚𝑚 = 𝐷50(𝜎𝑔)−1.152347
Análogamente, con las coordenadas del segundo punto se llega a la ecuación:
0.840 𝑚𝑚 = 𝐷50(𝜎𝑔)− 0.682822
Se tiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La solución simultanea de las dos ecuaciones conducen a los valores de 𝜎𝑔 = 2.12213 y 𝐷50 = 1.40413 mm. Por tanto la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados es:
𝐷𝑛 = (1.40413 𝑚𝑚)(2.12213)𝑍𝑛 La ecuación permite generar cualquier diámetro que se encuentre dentro del intervalo considerado 𝐷15.87 = (1.40413 𝑚𝑚)(2.12213)−1 = 0.66166 mm
De manera similar se procede para valuar matemáticamente el diámetro D84.13, el cual se encuentra entre los puntos (3.030 mm, 77.245 %) y (4.760 mm, 91.069 %). La ecuación de la recta que pasa por estos puntos es:
𝐷𝑛 = (1.72368 𝑚𝑚)(2.12808)𝑍𝑛
Luego el valor del diámetro buscado es:
𝐷84.13 = (1.72368 𝑚𝑚)(2.12808)+1 = 3.66812 mm
El procedimiento descrito es útil, ya que facilita el cálculo analítico de los diámetros en los diversos sistemas coordenados o tipos de papel vistos, siempre y cuando se utilice la ecuación del modelo correspondiente. Así por ejemplo, si la granulometría característica esta dibujada en el clásico papel semilogaritmico, las rectas y los diámetros de interés se calcularían empleando la ecuación:
𝐷𝑛 = 𝐷50(𝜎𝑔)𝑃𝑛
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V. PARAMETROS ESTADISTICOS A PARTIR DE LA CURVA GRANULOMETRICA CARACTERISTICA (CGC)
A continuación se presentan algunos de los parámetros que se han definido para caracterizar la distribución de los tamaños de las partículas que constituyen el material del lecho de un rio. También son de gran interés para definir las características de un lecho, la media aritmética, como medida de posición, y la desviación típica de la muestra como medida de dispersión. Media Aritmética de la distribución o Diámetro medio
𝐷𝑚 =∑ ∆𝑃𝑖𝐷𝑖
∑ ∆𝑃𝑖
∆𝑃𝑖 Tamaño del intervalo en que se divide la CG variable o constante 𝐷𝑖 Marca de clase de cada intervalo La desviación típica (σ2):
σ2 = Σ Ai (Di - Dm )2
Σ Ai En donde: Di, es el centro de la clase i (el tamaño medio entre dos pases de tamiz). Ai, es la fracción unitaria en peso de la clase i. Desviación estándar aritmética de la distribución
𝜎 = √𝜎2 Desviación Estándar Geométrica de la distribución
𝜎𝑔 =1
2(
𝐷50
𝐷16 +
𝐷84
𝐷50)
Si: 𝜎𝑔 ≥ 3 La granulometría es extendida Sesgo de la distribución
𝑆𝑘 =∑(𝐷𝑖 − 𝐷𝑚)3𝑃𝑖
∑ 𝑃𝑖
𝑆𝑘 =1
2(𝐷75 + 𝐷25 − 2𝐷50)
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Sesgo Estandarizado
𝑆𝑘𝑎 =𝑆𝑘
𝜎3
Si: 𝑆𝑘𝑎 = 0 La distribución es simétrica o normal 𝑆𝑘𝑎 > 0 La distribución esta sesgada hacia la derecha 𝑆𝑘𝑎 < 0 La distribución esta sesgada hacia la izquierda Curtosis de la distribución
𝐾𝑞 =∑(𝐷𝑖 − 𝐷𝑚)4𝑃𝑖
∑ 𝑃𝑖
𝐾𝑞𝑎 =𝐷75 − 𝐷25
2(𝐷90 − 𝐷10)
Si: 𝐾𝑞𝑎 = 0.2631 La distribución es normal o mesocurtica 𝐾𝑞𝑎 > 0.2631 La distribución es muy aguda o leptocurtica 𝐾𝑞𝑎 < 0.2631 La distribución es aplanada o plasticurtica Curtosis Estandarizado
𝐾𝑞𝑎 =𝐾𝑞
𝜎4
Si:
𝐾𝑞𝑎 = 3 La distribución es normal o mesocurtica 𝐾𝑞𝑎 > 3 La distribución es muy aguda o leptocurtica 𝐾𝑞𝑎 < 3 La distribución es aplanada o plasticurtica Curtosis Geométrica de la distribución
𝐾𝑔 = (𝐷84𝐷16
𝐷95𝐷5)
12⁄
Si: 𝐾𝑔 = 1 𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑔 − 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 Diámetro medio geométrico de la distribución
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𝐿𝑛𝐷𝑔 =∑(∆𝑃𝑖𝑙𝑛𝐷𝑖)
∑ ∆𝑃𝑖
Sesgo Geométrico de la distribución
𝑆𝑔 =√𝐷25𝐷75
𝐷50
Si:
𝑆𝑔 = 1 𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑔 − 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
Coeficiente de Dispersión de la Distribución
𝐶𝑐 = (𝐷75
𝐷25)
12⁄
Coeficiente de Uniformidad de Hazen de la distribución
𝐶𝑢 =𝐷60
𝐷10
Nota: Si la desviación típica granulométrica es σ<3, se dice que el material es uniforme o mal graduado. En el caso contrario (σ>3), se dice que la granulometría es extendida o que el material está bien graduado. En el segundo caso se pueden dar fenómenos de acorazamiento. Se produce acorazamiento de un lecho, formado por granos de diferente tamaño, cuando los tamaños superiores descansan en las capas más superficiales sobre capas que incluyen tamaños inferiores. Este fenómeno, que es muy habitual, se produce cuando en un proceso erosivo se eliminan los tamaños más pequeños de una capa, en la que originalmente estaban uniformemente distribuidos los diferentes tamaños, quedando sólo los más gruesos.
34
Desviación Estándar Geométrica de la Distribución
𝜎𝑔 =1
2(
𝐷50
𝐷16 +
𝐷84
𝐷50)
𝜎𝑔 =1
2(
1.60
0.66 +
3.78
1.60)
𝜎𝑔 = 2.3933
Sesgo Geométrico de la Distribución
𝑆𝑔 =√𝐷25𝐷75
𝐷50=
√0.83(2.9)
1.6
35
𝑆𝑔 = 0.9696
Curtosis Geométrica de la Distribución
𝐾𝑔 = (𝐷84𝐷16
𝐷95𝐷5)
12⁄
= (3.78(0.66)
6.00(0.35))
12⁄
𝐾𝑔 = 1.089
Diámetros característicos o efectivos según modelo teórico de distribución Log - normal
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MEJOR AJUSTE
Para los gráficos propuestos: - Encontrar en cuál de los papeles de distribución se representa la mejor distribución de tamaños - Verificar de manera analítica que efectivamente se corresponde con el modelo teórico
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38
CONCLUCION
- De los gráficos puede notarse que el mejor ajuste es el correspondiente al papel log-normal y al papel semilogaritmico.
- De forma analítica se aprecia que efectivamente el mejor ajuste es el que se corresponde con el modelo teórico de distribución LOG-NORMAL.
Puno, octubre del 2015 En función del diámetro de partícula se distinguen las siguientes denominaciones:
Tabla Denominación de los diferentes tipos de materiales en función de su tamaño.
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40
41
42
43
44
45
Tarea:
1. Dado los datos de ensayo granulométrico del material del lecho de un rio aplique el ejemplo anterior con su respectivo ajuste y parámetros y sesgo de distribución.
46