transmissão de energia elétrica ii tabela de esticamento filecabos podem ser de alumínio, liga...

André Lazaro Souza

Aline Falcão

Clareana Rangel

Mateus Lopes Figueiredo

Vinícius Medina

Tiago Cavour Muniz

Professor: Pós-Dsc José Eduardo Telles Villas

2016.2

Transmissão de Energia Elétrica IITabela de Esticamento

Organização do Trabalho• Introdução

•Cabos Condutores e Para-Raios

• Equação da Catenária

• Dilatação Térmica e Deformação Plástica

• Equação de Estado

• Suspensão e Ancoragem

• Elementos Solicitantes – Temperatura

• Elementos Solicitantes – Velocidade dos Ventos

• Hipóteses de Cálculo

• Exemplo de Tabela de Esticamento

Introdução• A tabela de esticamento é empregada na montagem dos cabos das linhas aéreas, a fim de assegurarflechas e trações corretas, sob quaisquer condições de carregamento, e em qualquer época de sua vidaútil.

• A partir de hipóteses de cálculo que definem umestado inicial, são determinadas as trações emfunção das temperaturas dos cabos.

• Obtidas as trações para cada valor de temperatura,são obtidas as flechas vão a vão.

Introdução• Após o lançamento dos cabos e seu tensionamento preliminar, o cabo será tensionado definitivamente.Nessa operação, a tração dos cabos é ajustada aos valores calculados para a temperatura vigente nomomento.

• O ajuste das trações pode ser feito através dedinamômetros ou feito indiretamente, através damedida das flechas.

• É uma operação considerada crítica para o futurodesempenho mecânico da LT.

Condutores de fase e cabos para-raios

• Os condutores de fase de uma linha de transmissão aérea são condutores nus, i.e, sem isolação. Essescabos podem ser de alumínio, liga alumínio-aço, e alumínio com alma de aço. A principal razão daescolha do alumínio se deve ao preço.

• Em sistemas de cabos subterrâneos por exemplo, é comum o uso do cobre. Porém, os cabos aéreossão submetidos a maiores esforços mecânicos e por este motivo é necessário um cuidado extra comrelação a sua carga mecânica de ruptura.

• A carga de ruptura é o ponto de rompimento um cabo, quando este é submetido a um esforço detração maior do que sua resistência mecânica.

Condutores de fase e cabos para-raios

Os cabos mais comumente utilizados em projetos de linhas de transmissão são:

AAC (“all aluminum conductor”): Este tipo de cabo é composto por vários fios de alumínioencordoados

AAAC (“all aluminum alloy conductor”): Mesmo princípio dos cabos AAC, porém neste caso sãoutilizadas ligas de alumínio de alta resistência. É o cabo com menor relação peso/carga de ruptura emenores flechas, mas é o de maior resistência elétrica entre os aqui citados.

ACSR (“aluminum conductor steel-reiforced”): É também denominado de cabos CAA. Composto porcamadas concêntricas de fios de alumínio encordoados sobre uma alma de aço, que pode ser umúnico fio ou vários fios encordoados.

ACAR (“aluminum conductor, aluminum alloy-reinforced”): É composto de maneira idêntica aoscabos do tipo ACSR, porém ao invés de se utilizar alma com cabos de aço, utiliza-se alma com fios dealumínio de alta resistência mecânica. Assim, a sua relação peso/carga de ruptura fica ligeiramentemaior do que a do cabo ACSR.

Escolha do Condutor

A escolha adequada do condutor em um projeto de linhas aéreas de transmissão é bastante complexa,envolvendo desde critérios econômicos, perdas, Efeito Coroa.

A escolha do condutor impacta diretamente na escolha da torre e consequentemente na isolaçãoempregada e nos esforços mecânicos envolvidos no projeto da linha de transmissão. Ainda é necessárioverificar:

Condições de temperatura ambiente

Temperatura máxima do condutor

Pressão barométrica na região onde se encontra a linha

Velocidade do vento

Emissividade e absorção solar

Cabo de Alumínio com Alma de Aço

O cabo CAA é um condutor encordoado concêntrico composto de uma ou mais camadas (coroas) defios de alumínio 1350, têmpera dura (H19) e um núcleo (alma) de aço galvanizado de alta resistênciamecânica.

No Brasil, praticamente todas as linhas de transmissão de alta e extra alta tensão (acima de 230 kV) utilizam cabos condutores do tipo ACSR. A relação entre o número de fios de alumínio e de fios de aço dá a formação do cabo. Dependendo da situação, esta formação resulta no melhor peso/carga de ruptura para o projeto.

Os cabos condutores ACSR possuem alma de aço com o objetivo de dar maior resistência mecânica ao cabo. Devido ao efeito pelicular e a diferença de condutividade, a corrente elétrica circulará apenas pelo condutor de alumínio.

Construções Típicas

CABOS DE ALUMÍNIO NU CAA (ACSR)

1Fio de aço galvanizado de alta

resistência mecânica.

1ACabo de aço galvanizado de alta

resistência mecânica.

2

Fios de alumínio nu 1350, têmpera

H – 19, encordoados sobre o

núcleo de aço.

)

Busca por produtos

CABO DE ALUMÍNIO COM ALMA DE AÇO (CAA)

Características Técnicas

Equação da Catenária: Premissas

• Os cabos condutores são inelásticos e flexíveis.

• O peso dos condutores são distribuídos uniformemente aolongo dos mesmos.

Na verdade, os condutores são elásticos e possuemdeterminada rigidez.

p

y(x)

Equação da Catenária: Premissas

• Os efeitos da presença dos isoladores na curva da catenáriaserão desprezados.

• Essa aproximação se mostra satisfatória quando ocomprimento do vão é grande o suficiente.

• Em vãos pequenos, apresenta erros substanciais.

p

y(x)

Equação da Catenária

• Equilíbrio das forças verticais:

• Equilíbrio das forças horizontais:

• A tração tem a mesma inclinação do vetor tangente ao longo de toda a curva:

• Relação do comprimento infinitesimal de cabo em coordenadas cartesianas:

𝑝 ∙ 𝑑𝑟 + 𝑇𝑦 = 𝑇𝑦 + 𝑑𝑇𝑦

𝑇𝑥 = 𝑇𝑥 + 𝑑𝑇𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑇𝑦

𝑇𝑥

𝑑𝑟 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2

p

y(x)


• Desenvolvendo:

p

y(x)

𝑑𝑇𝑦 = 𝑝 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑝 ∙ 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑝 ∙ 1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑇𝑦

𝑇𝑥

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥

𝑇𝑦

𝑇𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

1

𝑇𝑥∙𝑑𝑇𝑦

𝑑𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑝

𝑇𝑥∙ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2


• Substituição de Variável:

p

y(x)

𝑢 =𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑢

𝑑𝑥=𝑑𝑢

𝑑𝑦∙𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑢

𝑑𝑦∙ 𝑢 =

𝑝

𝑇𝑥∙ 1 + 𝑢2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑝

𝑇𝑥∙ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑢

1 + 𝑢2∙ 𝑑𝑢 =

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑑𝑦

1 + 𝑢2 =𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑦 + 𝐶0


• Finalmente:

p

y(x)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑝

𝑇𝑥∙ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

1 + 𝑢2 =𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑦 + 𝐶0

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑝

𝑇𝑥∙ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

=𝑝

𝑇𝑥∙ 1 + 𝑢2 =

𝑝

𝑇𝑥

2

∙ 𝑦 +𝑝

𝑇𝑥∙ 𝐶0

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2−

𝑝

𝑇𝑥

2

∙ 𝑦 =𝑝

𝑇𝑥∙ 𝐶0

𝑦 𝑥 = 𝐶1 ∙ 𝑒𝑝𝑇𝑥∙𝑥+ 𝐶2 ∙ 𝑒

−𝑝𝑇𝑥∙𝑥−𝑇𝑥𝑝∙ 𝐶0


• Verificação da solução obtida na EDO não-linear original:

• Portanto, a solução y(x) é válida apenas se essa condição for satisfeita:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=

𝑝

𝑇𝑥∙ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2



𝑦′(𝑥) = 𝐶1 ∙𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑒

𝑝𝑇𝑥∙𝑥− 𝐶2 ∙

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑒

−𝑝𝑇𝑥∙𝑥

𝑦′′(𝑥) = 𝐶1 ∙𝑝

𝑇𝑥

2

∙ 𝑒𝑝𝑇𝑥∙𝑥+ 𝐶2 ∙

𝑝

𝑇𝑥

2

∙ 𝑒−𝑝𝑇𝑥∙𝑥

4 ∙ 𝐶1 ∙ 𝐶2 ∙𝑝

𝑇𝑥

2

= 1

𝐶1 ∙𝑝

𝑇𝑥

2

∙ 𝑒𝑝𝑇𝑥∙𝑥+ 𝐶2 ∙

𝑝

𝑇𝑥

2

∙ 𝑒−𝑝𝑇𝑥∙𝑥=

𝑝

𝑇𝑥∙ 1 + 𝐶1 ∙

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑒

𝑝𝑇𝑥∙𝑥− 𝐶2 ∙

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑒

−𝑝𝑇𝑥∙𝑥

2

Catenária: pontos de suspensão a mesma altura

• Considerando que o vão possua comprimento ‘a’, os suportes estejam a uma altura ‘h’ e o referencialx=0 esteja no meio do vão:

• Resolvendo o sistema:


−𝑝𝑇𝑥∙𝑥−𝑇𝑥𝑝∙ 𝐶0 4 ∙ 𝐶1 ∙ 𝐶2 ∙

𝑝

𝑇𝑥

2

= 1

𝑦 𝑥 = −𝑎

2= ℎ −−−→ ℎ = 𝐶1 ∙ 𝑒

−𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 + 𝐶2 ∙ 𝑒

𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 −

𝑇𝑥𝑝∙ 𝐶0

𝑦 𝑥 = +𝑎

2= ℎ −−−→ ℎ = 𝐶1 ∙ 𝑒

𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 + 𝐶2 ∙ 𝑒

−𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 −


𝑦 𝑥 =𝑇𝑥𝑝∙ cosh

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑥 −

𝑇𝑥𝑝∙ cosh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2+ ℎ

Flecha: pontos de suspensão a mesma altura

• A flecha é a maior distância da curva descrita pelo cabo em relação a reta que atravessa ambos ospontos de suspensão – algumas literaturas chamam essa reta de secante. Como os pontos desuspensão estão na mesma altura, a equação da secante é dada por:

• Logo, a flecha ocorre no ponto onde a subtração da equação da secante e a equação da catenáriaatinge seu valor máximo:

𝑦𝑠 𝑥 = ℎ

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 = 𝑦𝑠 𝑥 = 0 − 𝑦 𝑥 = 0 = ℎ −𝑇𝑥𝑝∙ cosh

𝑝

𝑇𝑥∙ 0 −

𝑇𝑥𝑝∙ cosh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2+ ℎ

𝑑

𝑑𝑥𝑦𝑠 𝑥 − 𝑦 𝑥 = 0 −−−→

𝑑𝑦𝑠𝑑𝑥

−𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 −−−→ 0 − sinh

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑥 = 0 −−−→ sinh

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑥 = 0 −−−→ 𝑥 = 0

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 =𝑇𝑥𝑝∙ cosh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2− 1

Comprimento do Cabo: pontos de suspensão a mesma altura

• Da teoria do cálculo diferencial e integral, o comprimento de uma curva descrita por y(x) é dada por:

𝐿 = න𝑥𝑎

𝑥𝑏

1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥

𝐿 = න−𝑎2

𝑎2 𝑇𝑥𝑝∙𝑑2𝑦

𝑑𝑥2𝑑𝑥 =

𝑇𝑥𝑝∙ න

−𝑎2

𝑎2 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2𝑑𝑥 = න

−𝑎2

𝑎2cosh

𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑥 𝑑𝑥

𝐿 =𝑇𝑥𝑝∙ sinh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2− sinh −

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2=𝑇𝑥𝑝∙ sinh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2+ sinh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2

𝐿 = 2 ∙𝑇𝑥𝑝∙ sinh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2

Catenária: pontos de suspensão em alturas diferentes

• Considerando que o vão possua comprimento ‘a’, os suportes estejam em alturas diferentes, h1 e h2, eo referencial x=0 esteja no meio do vão:


−𝑝𝑇𝑥∙𝑥−𝑇𝑥𝑝∙ 𝐶0 4 ∙ 𝐶1 ∙ 𝐶2 ∙

𝑝

𝑇𝑥

2

= 1

𝑦 𝑥 = −𝑎

2= ℎ1 −−−→ ℎ1 = 𝐶1 ∙ 𝑒

−𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 + 𝐶2 ∙ 𝑒

𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 −


𝑦 𝑥 = +𝑎

2= ℎ2 −−−→ ℎ2 = 𝐶1 ∙ 𝑒

𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 + 𝐶2 ∙ 𝑒

−𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 −



• Resolvendo o sistema:



𝐶1 =ℎ2 − ℎ1

4 ∙ sinh𝑝𝑇𝑥

∙𝑎2

±1

2

ℎ1 − ℎ22

4 ∙ sinh2𝑝𝑇𝑥

∙𝑎2

+𝑇𝑥𝑝

2

𝐶0 =𝑝

𝑇𝑥∙ 𝐶1 ∙ 2 ∙ cosh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2+

𝑝

𝑇𝑥∙

ℎ1 − ℎ2


∙𝑎2

∙ 𝑒𝑝𝑇𝑥∙𝑎2 −

𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1

𝐶2 =ℎ1 − ℎ2


∙𝑎2

+ 𝐶1


• Devido a complexidade da equação, pode-se realizar a expansão em série de Taylor ao redor de x=0dos termos transcendentais:

𝑒𝑥 =

𝑛=0

∞𝑥𝑛

𝑛!= 1 + 𝑥 +

𝑥2

2+𝑥3

6+𝑥4

24+ ⋯

𝑒𝑥 ≈ 1 + 𝑥 +𝑥2

2sinh 𝑥 =

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2≈= 𝑥 cosh 𝑥 =

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2≈= 1 +

𝑥2

2


• Substituindo as aproximações:

𝑦 𝑥 =𝐶1 + 𝐶2

2∙

𝑝

𝑇𝑥

2

∙ 𝑥2 + 𝐶1 − 𝐶2 ∙𝑝

𝑇𝑥∙ 𝑥 + 𝐶1 + 𝐶2 −


𝐶1 =1

2∙𝑇𝑥𝑝 ∙ 𝑎

∙ ℎ2 − ℎ1 ± ℎ1 − ℎ22 + 𝑎2

𝐶2 =1

2∙𝑇𝑥𝑝 ∙ 𝑎

∙ − ℎ2 − ℎ1 ± ℎ1 − ℎ22 + 𝑎2

𝐶0 = ±1

𝑎+𝑎

8∙

𝑝

𝑇𝑥

2

∙ ℎ1 − ℎ22 + 𝑎2 +

ℎ1 − ℎ22

∙𝑝

𝑇𝑥−

𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1

𝑦 𝑥 =1

2∙𝑝

𝑇𝑥∙1

𝑎∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2 ∙ 𝑥2 +ℎ2 − ℎ1

𝑎∙ 𝑥 −

𝑎

8∙𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2 +ℎ1 + ℎ2

2

Flecha: pontos de suspensão em alturas diferentes

• Nesse caso, a equação da secante é dada por:

• Assim, a flecha ocorre no ponto onde x satisfaz a equação:

𝑦𝑠 𝑥 = 𝛾 ∙ 𝑥 + 𝛽 =ℎ2 − ℎ1

𝑎∙ 𝑥 +

ℎ2 + ℎ12

𝑑𝑦𝑠𝑑𝑥

−𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 −−−→

ℎ2 − ℎ1𝑎

−𝑝

𝑇𝑥∙1

𝑎∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2 ∙ 𝑥 −ℎ2 − ℎ1

𝑎= 0 −−−→ 𝑥 = 0

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 = 𝑦𝑠 𝑥 = 0 − 𝑦 𝑥 = 0 =ℎ2 + ℎ1

2− −

𝑎

8∙𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2 +ℎ1 + ℎ2

2

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 =𝑎

8∙𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2

Vão Equivalente: pontos de suspensão em alturas diferentes

• Se h2=h1, temos a flecha aproximada para o caso dos pontos de suspensão no mesmo nível:

• Com as equações anteriores, dado que o vão para o caso dos pontos de suspensão desnivelados emalturas h1 e h2 é “a”, pode-se calcular o vão “aeq” que possui os pontos de suspensão nivelados em h1e produz a mesma flecha:

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 =𝑎2

8∙𝑝

𝑇𝑥


8∙𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 =𝑎𝑒𝑞

2

8∙𝑝

𝑇𝑥

𝑎𝑒𝑞2

8∙𝑝

𝑇𝑥=𝑎

8∙𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2

𝑎𝑒𝑞 = 𝑎 ∙ ℎ1 − ℎ22 + 𝑎2

Dilatação Térmica e Deformação PlásticaFatores que influenciam o alongamento permanente dos cabos das linhas de transmissão e a maneira que são quantificados:

Fatores Externos (parâmetros independentes dos condutores e se originam no ambiente externo)

Tensão mecânica;

Temperatura; e

Maquinário e procedimento de tensionamento.

Fatores Internos (fatores que envolvem diretamente as características dos cabos)

Tipo de material (composição química, estrutura microscópica);

Tipo de condutor (formação geométrica e características); e

Métodos de fabricação dos condutores.

Dilatação Térmica e Deformação Plástica

• Os alongamentos permanentes que os cabos das linhas podem sofrer, quando em serviço, decorremde suas características elásticas.

• Além de suas dimensões físicas, secções diâmetro e peso unitários, para o estudo do comportamentomecânico dos cabos é necessário que se conheçam sua carga de ruptura, seu coeficiente de expansãotérmica e seu modulo de elasticidade.

• Os metais empregados na fabricação dos cabos usados nas linhas, que em outras aplicações, podemser considerados perfeitamente elásticos, neste caso não o podem pois em virtude da elevada relaçãocomprimento/seção, apresentam, após o seu primeiro tensionamento alongamentos residuais de talordem que influenciam os valores das flechas podendo consequentemente comprometer as alturas desegurança das linhas em caso de mal dimensionamento.


• Os condutores das linhas de transmissão estão sujeitos a variações de temperatura, que depende doequilíbrio entre o calor ganho e o calor cedido ao meio ambiente.

• O ganho de calor deve-se ao efeito joule da corrente e ao aquecimento pelo calor solar.

• A perda de calor é para o meio ambiente, por irradiação e por convecção.

𝑰2 𝒙 𝒓 + 𝒒𝒔 = 𝒒𝒓 + 𝒒𝒄


• Nos cálculos mecânicos dos condutores é usual atribuir-se aos mesmo a temperatura do meioambiente, com acréscimos no caso das temperaturas externas superiores, pois é destas que dependemos valores das flechas máximas, que em fase de projeto servem para a escolha das posições dasestruturas, visando que a altura de segurança mínima fique assegurada, mesmo na condição deoperação mais desfavorável: sol intenso e corrente elétrica elevada, com ausência de vento.

• Os coeficientes de dilatação térmica linear dos materiais com que são confeccionados tem valoressignificativos, provocando contrações e dilatações consideráveis sob variação de temperatura. Umaumento de temperatura provoca sua dilatação e uma redução de temperatura sua contração. Essasvariações de comprimento dos condutores são diretamente proporcionais aos seus coeficientes dedilatação térmica e a variação da temperatura. Uma vez que a flecha do condutor depende do seucomprimento esta variará de acordo com a variação da temperatura. Por outro lado a tração T0 éinversamente proporcional ao valor da flecha, portanto o valor de T0 variará também com a variaçãoda temperatura do condutor, aumenta com a redução da temperatura e vice – versa.


• Tensionado pela primeira vez a uma taxa de trabalho de σA

• O cabo se alonga referente a OA’

• Reduzindo a tensão a zero o alongamento ficará reduzido aOA’’, que é permanente

• O alongamento do cabo é determinado pela lei de Hooke 𝜀 =𝜎𝐴

𝐸𝑓, sendo Ef o modulo de elasticidade

Dilatação Térmica e Deformação Plástica• Tensionado pela primeira vez a uma taxa de trabalho de σB

• O cabo se alonga referente a OA’

• Em seguida a tensão é reduzida e mantida por um determinado tempoem σA

• Reduzindo a tensão a zero o alongamento possuirá duas componentes𝜀𝑆 e 𝜀𝐶

• εS é o alongamento proporcional ao valor máximo da tensão aplicada,σB:

acomodação dos fios e das camadas de fios entre si;

os fios que compõem as várias camadas cruzam-se com superfície decontato mínimas, o que provoca esmagamentos nos pontos de contato.

• εC é o alongamento proporcional ao valor da tensão aplicada σA e deduração da tensão σA em horas, é a componente devido a “FluênciaMetalúrgica”

Equação de Estado

• Seja L1 o comprimento do cabo a uma tração T1 e a uma temperatura t1, a variação do comprimento do cabo ao ser passado para um estado de tração T2 a temperatura t2 é:

• Da equação da catenária para vãos nivelados sabemos que:

• De maneira análoga ao realizado anteriormente, o seno hiperbólico pode ser substituído pelos dois primeiros termos de sua expansão em série ao redor do zero:

𝐿2 − 𝐿1 = 𝐿1 ∙ 𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 + 𝐿1 ∙𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

𝐿 = 2 ∙𝑇𝑥𝑝∙ sinh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2

sinh 𝑥 ≈ 𝑥 +𝑥3

6 𝐿 = 2 ∙𝑇𝑥𝑝∙ sinh

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2≈ 2 ∙

𝑇𝑥𝑝∙

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2+ 2 ∙

𝑇𝑥𝑝∙1

6∙

𝑝

𝑇𝑥∙𝑎

2

3

𝐿 ≈= 𝑎 +𝑎3

24∙

𝑝

𝑇𝑥

2

Equação de Estado

• A equação de estado é, então, reduzida a:

• Aproximando que a dilatação e a deformação na diferença entre o comprimento do cabo e ocomprimento do vão é praticamente nula:

𝐿2 − 𝐿1 =𝑎3

24∙

𝑝

𝑇2𝑥

2

−𝑎3

24∙

𝑝

𝑇1𝑥

2

= 𝑎 +𝑎3

24∙

𝑝

𝑇1𝑥

2

∙ 𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 + 𝑎 +𝑎3

24∙

𝑝

𝑇1𝑥

2

∙𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

𝐿2 − 𝐿1 =𝑎2 ∙ 𝑝2

24∙

1

𝑇2𝑥

2

−1

𝑇1𝑥

2

= 𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 +𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

Suspensão e Ancoragem

• A fixação dos cabos às estruturas de uma LT é feita através das cadeias de isoladores. Essas cadeiaspodem ser de dois tipos:

Cadeias de Suspensão

Cadeias de Ancoragem

Suspensão e Ancoragem

• As estruturas de ancoragem representam uma descontinuidade para o sistema mecânico dos cabospois não transmitem esforços mecânicos entre vãos adjacentes. Assim, cada fração da LT entreestruturas de ancoragem pode ser considerada isolada do restante da LT, sendo tratadasindividualmente. Essas frações são chamadas de tramos ou seções de tensionamento.

• Além das estruturas de ancoragem em suas extremidades, cada tramo também possui diversas torresde suspensão, ocasionando “n” vãos iguais ou diferentes, nivelados ou não.

𝑎1𝑎2

𝑎𝑛(… )

Vão Básico ou Regulador

Como aplicar as formulas obtidas para o caso do cabo suspenso em dois pontos em um caso desuspensão em “n” pontos?

• Primeiramente, os “n” vãos desnivelados, são transformados em “n” vãos nivelados que produzemrespectivamente, vão a vão, a mesma flecha:

• É intuitivo que a variação do comprimento total do cabo em um tramo é igual a soma das variaçõesdos comprimentos individuais dos trechos do cabo, vão a vão:

𝑎𝑒𝑞 = 𝑎 ∙ ℎ1 − ℎ22 + 𝑎2

𝐿2 − 𝐿1 =

𝑖=1

𝑛

𝐿2[𝑎𝑖] − 𝐿1[𝑎𝑖]


• Utilizando a equação de estado aproximada em cada um dos “n” vãos desprezando as diferenças detração e temperatura entre os vãos, obtêm-se:

𝐿2[𝑎𝑖] − 𝐿1[𝑎𝑖] =𝑎𝑖

3

24∙ 𝑝2 ∙

1

𝑇2𝑥

2

−1

𝑇1𝑥

2

= 𝑎𝑖 ∙ 𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 +𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

𝑖=1

𝑛

𝐿2[𝑎𝑖] − 𝐿1[𝑎𝑖] =

𝑖=1

𝑛𝑎𝑖

3

24∙ 𝑝2 ∙

1

𝑇2𝑥

2

−1

𝑇1𝑥

2

=

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 ∙ 𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 +𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

𝑖=1

𝑛

𝐿2[𝑎𝑖] − 𝐿1[𝑎𝑖] =𝑝2

24∙

1

𝑇2𝑥

2

−1

𝑇1𝑥

2

∙

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖3 = 𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 +

𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠∙

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖

𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 +𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

𝑝2

24∙

1𝑇2𝑥

2

−1𝑇1𝑥

2=σ𝑖=1𝑛 𝑎𝑖

3

σ𝑖=1𝑛 𝑎𝑖


• Aplicando a equação de estado aproximada em um cabo suspenso em um vão fictício único de valor“a”, que submetido a mesma variação de temperatura e tração dos “n” vãos sofre uma variação decomprimento exatamente igual a variação de comprimento total do cabo no tramo:

• Finalmente, pode-se afirmar que:

• Esse vão fictício único, chamado de vão básico, é equivalente à sucessão dos “n” vãos de um dadotramo.

𝐿2 − 𝐿1 =𝑎3

24∙ 𝑝2 ∙

1

𝑇2𝑥

2

−1

𝑇1𝑥

2

= 𝑎 ∙ 𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 +𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

𝛼 ∙ 𝑡2 − 𝑡1 +𝑇2𝑥 − 𝑇1

𝑥

𝐸 ∙ 𝑠

𝑝2

24∙

1𝑇2𝑥

2

−1𝑇1𝑥

2= 𝑎2

𝑎2 =σ𝑖=1𝑛 𝑎𝑖

3


−−−→ 𝑎 =σ𝑖=1𝑛 𝑎𝑖

3


Determinação dos Elementos Solicitantes

• As solicitações mecânicas dos cabos das linhas aéreas de transmissão e, consequentemente,também de suas estruturas e fundações são decorrentes das variações atmosféricas nasregiões em que se encontram as linhas. Sendo assim, os dados básicos de projeto deveriam sercoletados em postos de observações meteorológicas na própria região ou em regiões próximase com climas semelhantes. Dada a natureza aleatória dos fenômenos naturais, sua análise equantificação só pode ocorrer através de processos estatísticos e probabilísticos.

Determinação dos Elementos Solicitantes

• Informações necessárias para estabelecimento das hipóteses de carga:

1. Temperaturas: máximas anuais, mínimas anuais, médias anuais (obtidas por taxa horáriade amostragem);

2. Velocidades máximas anuais de ventos.

Elementos Solicitantes - Temperatura

• Determinação das temperaturasnecessárias aos projetos:

1) Método estatístico:

Com os dados registrados em cadaano foram calculadas:

a) Médias das temperaturasmínimas diárias;

b) Médias das temperaturasmédias diárias;

c) Médias das temperaturasmáximas diárias.



Pode-se, assim, determinas as temperaturas do projeto para a formulação das usuais hipóteses decálculo nas diversas condições de solicitações das linhas como recomendam a NBR 5422 e a IEC:

a) Condição de maior duração: temperatura definida pelas médias plurianuais - 𝑡𝑚𝑒𝑑;

b) Temperatura mínima: menor valor calculado com probabilidade de 2% de ser igualada ouocorrer um menor valor (em um período de retorno de 50 anos): 𝑡50𝑚𝑖𝑛 = 𝑡𝑚𝑒𝑑𝑚𝑖𝑛 − 2,59𝜎𝑚𝑖𝑛

Onde: 𝜎𝑚𝑖𝑛 - desvio padrão da distribuição de temperaturas mínimas anuais.

c) Temperatura máxima: maior valor calculado com probabilidade de 2% de ser igualada ouocorrer um maior valor (em um período de retorno de 50 anos): 𝑡50𝑚𝑎𝑥 = 𝑡𝑚𝑒𝑑𝑚𝑎𝑥 + 2,59𝜎𝑚𝑖𝑛

Onde: 𝜎𝑚𝑎𝑥 - desvio padrão da distribuição de temperaturas máximas anuais.


2) Método direto ou gráfico:

Com os dados meteorológicoscoletados por todo o país,prepararam-se cartas nas quaisforam ligados todos os pontos deigual temperaturas, dando origem àscurvas “isotermais”. Para o seu uso,deve-se localizar a linha nos mapasatravés de suas coordenadas e,então, obtém-se os valores dastemperaturas correspondentes.

Temperaturas máximas médias (NBR 5422/1985)


• Variação da temperatura:

Os condutores estão sujeitos a variações de temperaturas bem acentuadas:

a) Acréscimos de temperatura são decorrentes principalmente do Efeito Joule e do calor solar.

b) As perdas de calor para o ambiente se devem à irradiação e convecção.

A determinação exata da temperatura dos condutores é trabalhosa e só pode ser feita emtermos estatísticos com base em modelos meteorológicos, na corrente elétrica e naprobabilidade de ocorrências simultâneas.

Segundo a NBR 5422 e a IEC, temos alguns fatores de importância fundamental na escolha doschamados ventos de projeto:

a) A ação do vento depende da rugosidade do solo;

b) Devido a maior turbulência próxima à superfície do solo, sua velocidade aumenta com a alturasobre o solo;

c) Os ventos em geral se apresentam em formas de rajadas;

d) Os diferentes obstáculos que se opõem ao vento possuem tempos de resposta diferentes à suaposição;

Elementos Solicitantes – Velocidades dos ventos

• A determinação da velocidade dosventos local é feita por aparelhosdenominados anemômetros, cuja aaltura de instalação padronizada é de10m .

Efeitos dos tempos de integração nas velocidades dos ventos (NBR 5422/1985)


• A determinação da rugosidade é dadode acordo com os critérios tabelados

Classificação dos terrenos de acordo com a sua rugosidade(NBR 5422/1985)


• A determinação da velocidade básica dos ventos é uma velocidade calculada para um períodode retorno de 50 anos, medida de maneira convencional a altura de 10m, considerando o solo decategoria B e período de integração de 10 minutos.


Consideram as velocidades máximas anuais dos ventos obtidas em um posto meteorológicos, emcada um dos n anos de observação. De acordo com a expressão:

Onde,

P(V) – é a probabilidade anual do vento V ser igualado ao excedido

V – é o valor da velocidade do vento com uma probabilidade anual de P(V).

Ṽ – é o valor médio da distribuição das n velocidades máximas observadas

σv – Desvio padrão das n velocidades

v

v

VVVP

45,0

6expexp1


2) Método direto ou gráfico:

O valor da velocidade básica do ventopode ser lida diretamente das curvasisótacas constantes, da mesma maneiracomo são obtidas as temperaturas


Velocidade básica dos ventos (NBR 5422/1985)

• A velocidade do vento de projeto é a determinação das solicitações provocadas pelo vento sobreos elementos da linha. É calculada a partir da velocidade básica de vento, com as correçõesdevidas aos seguintes fatores

a) quando a rugosidade do terreno for diferente de B, devemos utilizar um fator de correção Kr

b) diversos elementos da linha tem tempos de resposta diferentes à ação do vento

c) Para obstáculos cuja altura for superior a 10m, deve usar:

Onde,

H – é a altura do obstáculo

n – é o fator dependente da rugosidade do terreno e do tempo de integração t.

n

h

Hk

1

10


Portanto a velocidade de vento de projeto será:

Onde,Vb – é a velocidade básica do vento

Kd – é o fator de conversão do tempo de integração t

Kr – é o fator de rugosidade

Kh – é o fator de altura superiores a 10m

bhdrP VKKKV


Onde,Vp – é a velocidade de vento de projeto

ρ – é a massa específica do ar

• O valor da pressão que o vento exerce sobre o condutor pode ser calculada através da expressão:

• Vale destacar que para uma maior precisão nos cálculos, a massa específica do ar utilizada deveconsiderar a temperatura coincidente e altitude média de implantação da LT


2

2

1PV VP

• A força atuante no condutor (por unidade de comprimento)devido a pressão de vento é dada por:

• Essa força atua em um sentido transversal ao eixolongitudinal dos cabos.

• Sob ação simultânea do próprio peso a da força do vento, ocabo sofre um aumento virtual em seu peso.

Onde,Pv – é a pressão de vento no condutor

d – é o diâmetro do condutor


dPf VV

Formulação das Hipóteses de Cálculo• As hipóteses de cálculo se originam da associação de uma hipótese de carga com uma restrição do usodos materiais. Normas técnicas impões limites às solicitações.

• Na prática de projetos de LTs no Brasil, é usual a formulação, no mínimo, das seguintes hipóteses decarga:

1. Hipótese de Carga de Maior Duração – a ela estão associados os esforços atuantes quando a linhaestiver sob ação de uma temperatura do ar correspondente ao seu valor médio, sem estar sobefeito de vento;

2. Hipótese de Carga de Vento Máximo – esta condição corresponde àquela que mais solicita oselementos da linha, pois considera a linha sob a ação dos ventos de máxima intensidade. Nessacondição, considera-se como temperatura do ar a média das temperaturas mínimas;

3. Hipótese de Carga de Flecha Mínima – considera-se a LT sujeita à menor temperatura que podeocorrer, sem estar sob efeito do vento. Geralmente, considera-se um período de retorno de 50 anos.

Formulação das Hipóteses de Cálculo

• Para os cabos condutores e para-raios, a NBR 5422/1985 estabelece:

a) Na condição de maior duração, caso não tenham sido adotadas medidas de proteção contra osefeitos da vibração, recomenda-se limitar o esforço de tração nos cabos aos valores indicados natabela;

b) Na hipótese de velocidade máxima de vento, o esforço detração horizontal nos cabos não pode ser superior à 50 %da carga nominal de ruptura dos mesmos;

c) Na condição de temperatura mínima, recomenda-se que oesforço de tração horizontal nos cabos não ultrapasse 33%da carga nominal de ruptura dos mesmos.

Tabela de Esticamento – Processo de Cálculo

Para cada hipótese de cálculo, a equação de estado será aplicada no vão básico do tramo para seremobtidas as trações horizontais na faixa de temperatura em análise.

Obtida as trações, as flechas de cada um dos “n” vãos do tramo serão calculadas através da fórmuladeduzida anteriormente:

• Repare que não serão utilizados os vãos equivalentes. Deve-se utilizar o vão real e os desníveis, casoexistam.


8∙𝑝

𝑇𝑥∙ ℎ1 − ℎ2

2 + 𝑎2

Tabela de Esticamento - Exemplo

• Este tramo será submetido ao critério de cálculo 1

Estrutura Vão (m) Desnível (m)

3 605.91 19.31

4 730.85 -11.87Tramo

Tabela de Esticamento - Exemplo

Dados do Cabo CAA 954 KCM Rail

Critério 1

𝑠 = 5,174 𝑐𝑚2

𝐸𝑖 = 548.000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝐸𝑓 = 659.000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝛼𝑖 = 0,00002020 1/°𝐶

𝛼𝑓 = 0,00002070 1/°𝐶

𝑑 = 0,02961 𝑚

𝑝𝑐 = 1,60020 𝑘𝑔𝑓/𝑚

𝑇𝑟𝑢𝑝𝑡 = 11.750 𝑘𝑔𝑓

𝑉ã𝑜 𝐵á𝑠𝑖𝑐𝑜 𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜 1 =606,063 + 730,903

606,06 + 730,90= 677,166 𝑚

𝑉ã𝑜 𝐸𝑞. 𝐸𝑠𝑡 3 = 605,91 ∙ 19,312 + 605,912 = 606,06 𝑚

𝑉ã𝑜 𝐸𝑞. 𝐸𝑠𝑡 4 = 730,85 ∙ 11,872 + 730,852 = 730,90 𝑚

Hipótese 𝑇1 [%] 𝑇1 [𝑘𝑔𝑓] 𝑡1 [°𝐶]Pressão de Vento

[𝑘𝑔𝑓/𝑚2]Estado

1 19,0 2232,5 20 0,0 Final

2 46,2 5428,8 15 123,0 Inicial

3 19,8 2323,8 10 0,0 Inicial

Critério 1 –Hipótese 1

𝑎 = 677, 166 𝑚

𝑠 = 5,174 𝑐𝑚2

𝐸 = 𝐸𝑓 = 659.000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝛼 = 𝛼𝑓 = 0,00002070 1/°𝐶

𝑝 = 1,600202 + 0 ∙ 0,02961 2

𝑝 = 1,60020 𝑘𝑔𝑓/𝑚

𝑇1𝑥 = 2.232,5 𝑘𝑔𝑓

𝑡1 = 20 °𝐶

𝑡2 [°𝐶] 5 10 15 20 22 25 28 30 35 40

𝑇2 [𝑘𝑔𝑓] 2267,6 2255,7 2244,0 2232,5 2227,9 2221,1 2214,4 2210,0 2198,9 2188,1

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [𝑚]3 32,4 32,6 32,7 32,9 33,0 33,1 33,2 33,2 33,4 33,6

4 47,1 47,4 47,6 47,9 48,0 48,1 48,3 48,4 48,6 48,8

Critério 1

Hipótese 1: T1=2232,5 kgf ; t1=20°C ; pressão de vento=0,0kgf/m² (Estado Final)

Critério 1 –Hipótese 2 Critério 1

Hipótese 2: T1=5428,8 kgf ; t1=15°C ;pressão de vento=123kgf/m² (Estado Inicial)

𝑎 = 677, 166 𝑚

𝑠 = 5,174 𝑐𝑚2

𝐸 = 𝐸𝑖 = 548.000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝛼 = 𝛼𝑖 = 0,00002020 1/°𝐶

𝑝 = 1,600202 + 123 ∙ 0,02961 2

𝑝 = 3,97807 𝑘𝑔𝑓/𝑚

𝑇1𝑥 = 5.428,8 𝑘𝑔𝑓

𝑡1 = 15 °𝐶

𝑡2 [°𝐶] 5 10 15 20 22 25 28 30 35 40

𝑇2 [𝑘𝑔𝑓] 5478,5 5453,5 5428,8 5404,4 5394,7 5380,3 5366,0 5356,5 5333,0 5309,8

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [𝑚]3 33,3 33,5 33,6 33,8 33,9 33,9 34,0 34,1 34,2 34,4

4 48,5 48,7 48,9 49,2 49,2 49,4 49,5 49,6 49,8 50,0

Critério 1 –Hipótese 3 Critério 1

Hipótese 3: T1=2323,8 kgf ; t1=10°C ; pressão de vento=0,0kgf/m² (Estado Inicial)

𝑎 = 677, 166 𝑚

𝑠 = 5,174 𝑐𝑚2

𝐸 = 𝐸𝑖 = 548.000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝛼 = 𝛼𝑖 = 0,00002020 1/°𝐶

𝑝 = 1,600202 + 0 ∙ 0,02961 2

𝑝 = 1,60020 𝑘𝑔𝑓/𝑚

𝑇1𝑥 = 2.323,8 𝑘𝑔𝑓

𝑡1 = 10 °𝐶

𝑡2 [°𝐶] 5 10 15 20 22 25 28 30 35 40

𝑇2 [𝑘𝑔𝑓] 2336,3 2323,8 2311,5 2299,3 2294,5 2287,3 2280,2 2275,5 2263,9 2252,5

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [𝑚]3 31,4 31,6 31,8 32,0 32,0 32,1 32,2 32,3 32,5 32,6

4 45,7 46,0 46,2 46,5 46,6 46,7 46,9 47,0 47,2 47,4

Dados do Cabo CAA 954 KCM Rail

Critério 1

Hipótese 1: T1=2232,5 kgf ; t1=20°C ; pressão de vento=0,0kgf/m² (Estado Final)

Hipótese 2: T1=5428,8 kgf ; t1=15°C ;pressão de vento=123kgf/m² (Estado Inicial)

Hipótese 3: T1=2323,8 kgf ; t1=10°C ; pressão de vento=0,0kgf/m² (Estado Inicial)

𝑠 = 5,174 𝑐𝑚2

𝐸𝑖 = 548.000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝐸𝑓 = 659.000 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2

𝛼𝑖 = 0,00002020 1/°𝐶

𝛼𝑓 = 0,00002070 1/°𝐶

𝑑 = 0,02961 𝑚

𝑝𝑐 = 1,60020 𝑘𝑔𝑓/𝑚

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 11.750 𝑘𝑔𝑓

𝑡2 [°𝐶] 5 10 15 20 22 25 28 30 35 40

𝑇2 [𝑘𝑔𝑓] 2267,6 2255,7 2244,0 2232,5 2227,9 2221,1 2214,4 2210,0 2198,9 2188,1

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [𝑚]3 32,4 32,6 32,7 32,9 33,0 33,1 33,2 33,2 33,4 33,6

4 47,1 47,4 47,6 47,9 48,0 48,1 48,3 48,4 48,6 48,8

𝑡2 [°𝐶] 5 10 15 20 22 25 28 30 35 40

𝑇2 [𝑘𝑔𝑓] 5478,5 5453,5 5428,8 5404,4 5394,7 5380,3 5366,0 5356,5 5333,0 5309,8

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [𝑚]3 33,3 33,5 33,6 33,8 33,9 33,9 34,0 34,1 34,2 34,4

4 48,5 48,7 48,9 49,2 49,2 49,4 49,5 49,6 49,8 50,0

𝑡2 [°𝐶] 5 10 15 20 22 25 28 30 35 40

𝑇2 [𝑘𝑔𝑓] 2336,3 2323,8 2311,5 2299,3 2294,5 2287,3 2280,2 2275,5 2263,9 2252,5

𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [𝑚]3 31,4 31,6 31,8 32,0 32,0 32,1 32,2 32,3 32,5 32,6

4 45,7 46,0 46,2 46,5 46,6 46,7 46,9 47,0 47,2 47,4

Fuchs, R. D. et al Projetos Mecânicos das Linhas Aéreas de Transmissão, 2 ed; São Paulo 1992Edgard Blucher

Referência Bibliográfica

Obrigado!

FIM

transmissão de energia elétrica ii tabela de esticamento filecabos podem ser de alumínio, liga...

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