transformari mobius˘diana.sotropa/files/research/...prin proiec¸tie stereografica se întelege o...
TRANSCRIPT
-
Transformări Mobius
Diana-Florina Haliţă
Facultatea de Matematică şi InformaticăMasterat Matematică Didactică
10 Mai 2014
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 1 / 31
-
Introducere
Rezumat
Transformări Geometrice
Structuri Algebrice ⇒ Grupul Izometriilor, împreună cusubgrupurile acestuia
Grupul Transformărilor Mobius + proprietăţi
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 2 / 31
-
Sfera Riemann
Sfera Riemann
Definiţie
Sfera Riemann
P ={
(z, t) ∈ C× R : |z|2 + t2 = 1}
.
Definiţie
Prin proiecţie stereografică se întelege o aplicaţie care transformăfiecare punct al planului complex în plan de pe sfera Riemann şireciproc.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 3 / 31
-
Proiecţia Stereografică
Proiecţia stereografică
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 4 / 31
-
Proiecţia Stereografică
Proiecţia stereografică
π(z) = (2z
1 + |z|2,−1 + |z|2
1 + |z|2)
Această funcţie este bijectivă, iar inversa ei este π−1 : P → C ∪ {∞},
π−1(z, t) =z
1 − t
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 5 / 31
-
Proiecţia Stereografică
Definiţie
Prin distanţă chordală între două puncte z1, z2 ∈ C se întelege distanţaeuclidiană dintre proiecţiile stereografice ale celor două puncte,π(z1), π(z2).
κ(z1, z2) =2|z1 − z2|
√
1 + z21
√
1 + z22
.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 6 / 31
-
Proiecţia Stereografică
Proprietăţi
Proprietate
Proiecţia stereografică este o transformare conformă, adică păstreazăunghiurile dintre două curbe.
Proprietate
Proiecţia stereografică transformă cercurile sau dreptele din planulcomplex în cercuri de pe sfera Riemann. Dreptele din planul complexvor corespunde cercurilor care trec prin polul nord al sferei Riemann.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 7 / 31
-
Transformări Mobius
Transformări Mobius
Definiţie
O transformare Mobius este o funcţie
T : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}, T (z) =az + bcz + d
, a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0
Definiţie
Mulţimea tuturor transformărilor Mobius formează un grup:
(Mob, ◦)
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 8 / 31
-
Transformări Mobius
Observaţie
Se pune în evidenţă omomorfismul între grupuri:
Φ : GL2(C) → Mob, Φ(
a bc d
)
=az + bcz + d
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 9 / 31
-
Vizualizarea transformărilor Mobius - Puncte fixe
Vizualizarea transformărilor Mobius - Puncte fixe
Teorema
O transformare Mobius diferită de transformarea identică are:
un punct fix, dacă matricea M corespunzătoare transformării este
conjugată matricii(
1 10 1
)
două puncte fixe, dacă matricea M corespunzătoare transformării
este conjugată matricii Mk
(
λ 00 λ−1
)
Observaţie
Dacă c 6= 0 ambele puncte fixe sunt din C. Dacă c = 0 atunci cel puţinunul din punctele fixe tinde spre ∞.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 10 / 31
-
Clasificarea Transformărilor Mobius
Clasificarea Transformărilor Mobius
O transformare Mobius este:
identitate, dacă M e conjugată ±(
1 00 1
)
parabolică, dacă M e conjugată ±(
1 10 1
)
eliptică, dacă M e conjugată(
λ 00 λ−1
)
, |λ| = 1
hiperbolică, dacă M e conjugată(
λ 00 λ−1
)
, λ ∈ R{±1}
loxodromică, dacă M e conjugată(
λ 00 λ−1
)
, |λ| 6= 1
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 11 / 31
-
Clasificarea Transformărilor Mobius
Clasificarea Transformărilor Mobius
parabolică, dacă tr(M) = ±2
eliptică, dacă −2 < tr(M) < 2
hiperbolică, dacă tr(M) < −2 sau tr(M) > 2
loxodromică, dacă tr(M) /∈ R
sau echivalent,
parabolică, dacă tr(M)2 = 4
eliptică, dacă tr(M)2 < 4
hiperbolică, dacă tr(M)2 > 4
loxodromică, dacă tr(M)2 /∈ [0,∞)
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 12 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare eliptică, z → eiθz - această transformare roteştesferă Riemann fixând punctele 0 şi ∞ - punctele se mişcă de-alungul unui cerc
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 13 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare hiperbolică, z → kz, k > 1 - punctele se mişcă de-alungul unui arc de cerc de la un punct fix la altul
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 14 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare loxodromică, z → kz, k /∈ R - punctele se mişcă de-alungul unei spirale logaritmice, de la un punct fix la altul
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 15 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare parabolică, z → z + 1 - punctele se mişcă de-alungul unui cerc, prin unicul punct fix.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 16 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Observaţie
Fie T o transformare Mobius T (z) = Az + B. În acest caz putem alegeA = ρeiα, cu scopul de a privi transformarea ca o compunere între orotaţie de centru α, o dilatare de ordin ρ şi o translaţie de vector B.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 17 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Observaţie
T (z) = Az + B, A = ρeiα.
Observaţie
Pentru α > 0, ρ = 1 şi B = 0, T (z) este o rotaţie a planului complex,care se mapează într-o rotaţie a sferei ((a)). Punctele fixe ale acesteitransformări sunt cei doi poli ai sferei, care corespund în planulcomplex originii şi ∞-ului. Aceasta este o transformare Mobiuseliptic ă.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 18 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Observaţie
T (z) = Az + B, A = ρeiα.
Observaţie
Pentru α = 0, ρ > 1 şi B = 0, T (z) este o dilatare a planului complexcentrată în origine ((b)). Punctele fixe ale acestei transformări sunt ceidoi poli ai sferei, care corespund în planul complex originii şi ∞-ului.Pentru α = 0, ρ < 1 şi B = 0, T (z) este o contracţie a planului complexcentrată în origine.Aceste transformări sunt transform ări Mobius hiperbolice .
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 19 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Observaţie
T (z) = Az + B, A = ρeiα.
Observaţie
Pentru α 6= 0, ρ 6= 1 şi B = 0, T (z) este combinaţie dintre cele douăcazuri anterioare ((c)). Punctele fixe ale acestei transformări sunt ceidoi poli ai sferei, care corespund în planul complex originii şi ∞-ului.Aceasta este o transformare Mobius loxodromic ă.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 20 / 31
-
Acţiunea Transformărilor Mobius asupra sferei Riemann
Observaţie
Pentru restul cazurilor posibile (adică A = 0 şi B 6= 0), T (z) este otranslaţie a planului complex ((d)). Singurul punct fix al acesteitransformări este ∞, acesta corespunzând polului nord de pe sferaRiemann. Aceasta este o transformare Mobius parabolic ă.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 21 / 31
-
Exemplu
Un scurt exemplu
parabolică - z →z
2iz + 1- punct fix 0
loxodromică - z → 2iz -puncte fixe 0 şi ∞
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 22 / 31
-
Exemplu
Un scurt exemplu
eliptică - z → iz - puncte fixe 0 şi ∞
Observaţie
În cazul transformării eliptice, se observă faptul că prin aplicareaacesteia de 4 ori se ajunge la transformarea identică. Astfel, seobservă faptul că prin transformarea aleasă fiecare cerc se transformăîn el însuşi după 4 iteraţii.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 23 / 31
-
Exemplu
Tranformare eliptică
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 24 / 31
-
Exemplu
Transformare parabolică
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 25 / 31
-
Exemplu
Transformare loxodromică
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 26 / 31
-
Exemplu
Astfel, se observă principalele caracteristici ale transformărilor Mobius:
parabolice: punctele de pe cercuri se mişcă spre punctele fixe
eliptice: cercurile se mişcă în jurul punctului fix
loxodromic: cercurile se mişcă în spirale cu extremităţile în celedouă puncte fixe.
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 27 / 31
-
Bibliografie
Rich Schwartz: Mobius Transformations and Circles,http : //www .math.brown.edu/ res/MFS/handout5.pdf , 8octombrie 2007
-: Classifying Mobius transformations: conjugacy, trace andapplications to parabolic transformations,http://www.maths.manchester.ac.uk/∼cwalkden/hyperbolic-geometry/lecture10.pdf
-: Classifying Mobius transformations: conjugacy, trace andapplications to parabolic transformations,http://www.maths.manchester.ac.uk/∼cwalkden/hyperbolic-geometry/lecture11.pdf
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 28 / 31
-
Bibliografie
Stephan Tillmann: Geometry and Groups,http ://www .maths.usyd .edu.au/u/tillmann/2012−amsi/g&g_02.pdf ,12 ianuarie 2012
Stephan Tillmann: Geometry and Groups,http ://www .maths.usyd .edu.au/u/tillmann/2012−amsi/g&g_04.pdf ,12 ianuarie 2012
http : //www .math.tifr .res.in/ ∼pablo/download/teichmuller/node4.html
T.K. Carne: Geometry and Groups,https ://www .dpmms.cam.ac.uk/ tkc/GeometryandGroups/GeometryandGroupshttps ://www .dpmms.cam.ac.uk/ tkc/GeometryandGroups/Corrections.pdf2012
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 29 / 31
-
Bibliografie
http : //en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation
Takis Konstantopoulos: Complex Analysis,http ://www2.math.uu.se/ takis/L/ComplexAnalysis/complexnotes.pdf
L. Penaranda, L. Sacht, L. Velho : Improving Projections ofPanoramic Images with Mobius Transformationshttp : //dcc.ufrj .br/ luisp/publi/psv .pdf
Thomas Au :Visualizing Complex Functionshttp : //www .math.cuhk .edu.hk/course/math3253/Notes02.pdf
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 30 / 31
-
Bibliografie
Multumesc!
Q & A
Diana-Florina Haliţă (Universitatea Babeş-Bolyai) Transformări Mobius 10 Mai 2014 31 / 31
IntroducereSfera RiemannProiectia StereograficaTransformari MobiusVizualizarea transformarilor Mobius - Puncte fixeClasificarea Transformarilor MobiusActiunea Transformarilor Mobius asupra sferei RiemannExempluBibliografie