transformações de lorentz

Summary

Transformacoes De Lorentz

Hector L. Carrion

ECT-UFRN

22 de junho de 2015

Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

T.L.Cone de luz

Grupo general linearGrupo de Lorentz

quadrivetoresEquacoes de maxwell

Tensor de campo eletromagneticoPrincipio de mınima acao

Referencias

Summary

1 Transformacoes de LorentzRetraso do tempo na T.R.E.Contracao de Lorentz

2 Diagramas do espaco-tempo

3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores

6 Equacoes de maxwell

7 Tensor de campo eletromagnetico

8 Principio de Hamiltonequacoes canonicas de movimento

9 Referencias


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Referencias

Retraso do tempo na T.R.E.Contracao de Lorentz

Summary



3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores




9 Referencias


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Referencias


Consideremos os sistemas de referencia inercial K ′ e K , sendo queK ′ se move em relacao a K com velocidade ~V = Vi .

Consideremos os eixo y e y ′ paralelos, e os eixos x e x ′ tambemparalelos.

Quando as origens de coordendas O,O ′ de ambos referenciascoincidem, consideremos que t = t ′ (a cronometragem comeca porigual em ambos referencias).


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Referencias


SRI


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Referencias


As coordenadas do evento P = (t, x , y) no referencial K ′ e ascoordenadas do mesmo evento P = (t ′, x ′, y ′) no referencial K ′ estaorelacionados pela seguinte transformacao linear

t ′ = (t − xV

C 2) γ

x ′ = γ x − V γ t

y ′ = y (1)

sendoγ = 1√

1−β2, β = V

C .

Forma matricial t ′

x ′

y ′

=

γ − VC 2 γ 0

−V γ γ 00 0 1

txy

(2)


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Referencias


Definindo os vetores de Lorentz : X =

txy

e X ′ =

t ′

x ′

y ′

e a matriz de Lorentz

M(V ) =

γ − VC 2 γ 0

−V γ γ 00 0 1

(3)

logo a T.L. (2) fica assim

X ′ = M(V ) X (4)


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Referencias


Observacoes:

Quando C →∞ T.Lorentz → T. Galileu.

Na T.R.E. a sincronizacao de relogios e dada com ajuda de sinalluminosa que tem velocidade limite: C .

quando C →∞ temos:γ = 1√

1− VC

2→ 1, substituindo na matriz de Lorentz

t ′

x ′

y ′

=

γ − VC 2 γ 0

−V γ γ 00 0 1

txy

→ t ′

x ′

y ′

=

1 0 0−V 1 0

0 0 1

txy

,

a Transformacao de Lorentz recai na Transformacao de Galileu.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias


Transformacao de Lorentz inversa

X = M(V )−1 X ′ (5)

♠ Calcular M(V )−1 e provar que M(V )−1 = M(−V ).Explicitamente t

xy

=

γ VC 2 γ 0

V γ γ 00 0 1

t ′

x ′

y ′

(6)

Ao comparar as transformacoes (2) e (6), observamos que asmatrizes sao simetricas, o que confirma mais uma vez aindistingibilidade do referencial inercial K e K ′.


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Referencias


Considere dois referenciais inerciais K e K’, nas condicoes em que foramapresentadas as Transformacoes de Lorentz.Considere dois eventos P e Q arbirarios nos referencial K e K ′.Em K as coordenadas dos eventos sao:P = (t1, x1, y1),Q = (t2, x2, y2)Em K ′ as coordenadas dos eventos sao:P ′ = (t ′1, x

′1, y′1),

Q ′ = (t ′2, x′2, y′2)

Discuta a o conceito de simultaneidade no referencial K ′ do ponto devista do referencial K .Ou seja, se P e Q sao simultaneos no referencial K ′, que acontece comos dois eventos no referencial K ?


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Referencias


relatividade do conceito da simultaniedade

Da transformacao de Lorentz (6) temos

∆t = γ∆t ′ +V γ

C 2∆x ′ (7)

sendo ∆t = t2 − t1, ∆t ′ = t ′2 − t ′1, ∆x ′ = x ′2 − x ′1.No sistema K ′ os eventos P e Q sao simultaneos, logo t ′1 = t ′2, entao:

∆t =V γ

C 2∆x ′ (8)

Se ∆x ′ > 0→ t2 > t1, logo o evento Q acontece depois do evento P

Se ∆x ′ < 0→ t1 > t2, logo o evento P acontece depois do evento Q


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Referencias


Atraso do tempo a partir das transformacoes de LorentzConsidere dois eventos P e Q que acontecem no mesmo lugar noreferencial K ′, ou seja, x ′1 = x ′2, logo de (7)

∆t = γ∆t ′ (9)

como γ(V ) > 1 entao se conclui que ∆t > ∆t ′, ou seja o relogio noreferencial K ′ transcorre mais lentamente que o relogio do referencial K .conclusaoO trancurso do tempo entre dois eventos na relatividade especial,depende do referencial inercial na qual se mede o tempo.Em particularo intervalo de tempo (∆t ′) entre dois eventos que acontecem no mesmolugar no referencial K ′, e menor que o intervalo de tempo entre osmesmos eventos, medidos no referencial K .


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Referencias


plataforma com velocidade V constante em relacao a KNo exemplo da plataforma (associado ao referencial K’) em movimentouniforme e velocidade constante V em relacao ao referencial K ′, oseventos ”a emisao da luz de um extremo da plataforma (P)”e ”o retornoda luz ao ponto de emisao (P)”(apos se refletir no espelho no outroextremo da plataforma) acontece no mesmo lugar em K ′, ou seja x ′1 = x ′2.Logo, e licito utilizar a equacao (9) para comparar os tempos transcurridoentre os eventos dados, tanto no referencial K e o referencial K ′. logo

∆t = γ∆t ′

onde:∆t ′ e o intervalo de tempo da viagem da luz dentro da plataforma, desdea sua emisao (P’) ate seu retorno (Q’), apos se refletir no espelho nocanto oposto de plataforma (ida e volta, na direcao transversal aodeslocamento da plataforma) .∆t e o intervalo de tempo da viagem da luz, visto de terra (K), desde asua emisao (P) ate seu retorno (Q), apos se refletir no espelho na suatrajetoria em forma de zig-zag.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias


Figura : No referencial K ′: emisao e detecao da luz nomesmo ponto

Figura : No referencial K


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Referencias


QuestaoConsideremos um referencial inercial K ′ em movimento uniforme comvelocidade constante ~V = Vi em relacao ao referencial inercial K fixo.Consideremos tambem uma barra fixa no referencial K ′, com suasextremidades nos pontos x ′1 e x ′2. Qual e o comprimento desta barra noreferencial K ?SolucaoNo referencial K’:Sendo uma barra rıgida e fixa, temos: l0 = x ′2− x ′1 = ∆x ′12l0 → comprimento propio.No referencial K :suponhamos que x1(t) e x2(t) sao os extremos da barra, medidos nomesmo instante t, logo o comprimento e

l = x2(t)− x1(t) = ∆x12 (10)


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Referencias


pela transformacoes de Lorentz de K → K ′ temos:

x ′1 = (x1 − Vt1)γ

x ′2 = (x2 − Vt2)γ, (11)

logo, substraindo:∆x ′12 = ∆x12γ − V γ(∆t12).

Sendo que a medicao do comprimento l da barra, no referencial K se dano mesmo instante (t1 = t2 = t), logo

l0 = lγ − V γ(0)

l0 = lγ


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Referencias


l0l

= γ > 1 (12)

Conclusao : ”O comprimento da barra en movimento e menor que seucomprimento propio”ouA medida do comprimento da barra l0 no referencial K ′ em que ela estaem repouso e maior que a medida do comprimento da barra na qual elaesta em movimentoComentario 1: Este resultado ja havia sido sugerido por Lorentz e porFitzGerald antes da TRE, na tentativa de explicar o resultado falho doexperimento de Michelson e Morley.Comentario 2: Como os comprimento transversai ao movimento nao sealteram, e os comprimentos longitudinais pode se contrair, dependendodo referencial, entao; pra objetos com volume, como as dimensoetransversais nao se modificam, entao o volume propio (V0) se contraiquando medido em movimento.Comentario 3: Da definicao de comprimento, se deduz que arelatividade do comprimento da barra e resultado da relatividade doconceito de simultaneidade.


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Referencias


Comentario 4: A contracao de Lorentz e simetrico, ou seja, uma barrarıgida e fixa no referencial K , tambem sera menor medido por umobservador no referencial en movimento K ′.

Figura : contracao de Lorentz


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Referencias

Summary



3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores




9 Referencias


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Referencias


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Referencias

Tang(θ) =∆x

C ∆t=

v

C< 1⇒ θ <

π

4


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Referencias

No digrama E − T , a linha do tempo de uma partıcula de massa m comvelocidade constante v e uma reta, com angulo em relacao ao eixo Ctmenor que 450, . As linhas do tempo da luz sao retas que forma 450 ou−450 com o eixo ct.


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Referencias

Diagramas do espaco-tempo do referencial K ′, visto peloobservador em K .O eventos P tem coordenadas (ct1, x1) no referencial inercial K .O evento P tem coordendas (ct ′1, x

′1) no referencial inercial K ′.


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Referencias

Os eventos P e Q sao simultaneos no referencial inercial K .Os eventos P e Q nao sao simultaneos no referencial inercial K ′.O evento Q acontece antes do evento P no referencial inercial K ′.


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Referencias

Summary



3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores




9 Referencias


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Referencias

Grupo geral linear : GL(Rn,A)Considere um espaco vetorial V = Rn onde podemos definir uma formabilinear

WA(X ,Y ) =< X ,AY >R , (13)

sendo o produo escalar:

< X ,Y >=k=n∑k=1

xkyk = XTY

O grupo GL(Rn,A) e o conjunto de matrizes Mn×n inversiveis, quedeixam invariante a forma bilinear (13) sobe a acao da matriz M(X ′ = MX ).

GL(Rn,A) = {Mn×n/ < X ′,AY ′ >R=< X ,AY >R , det(M) 6= 0} (14)


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Referencias

Da invarianca da forma bilinear (13) se conclui que

A = MTAM. (15)

Definicao equivalente

GL(Rn,A) = {Mn×n/ det(M) 6= 0, A = MTAM, } (16)

Grupo ortogonal O(n)Na definicao (14) se consideramos A = I (matriz identidade), concluimostambem que

I = MT IM → MT = M−1, (17)

Definicao: O grupo O(n) esta formado por matrizes Mn×n inversiveis,tais que deixam invariante a forma bilinearWI (X ,Y ) =< X ,Y >R = XTY .

O(n) = {Mn×n / det(M) 6= 0, MT = M−1} (18)

Da condicao MT = M−1 podemos concluir que Det(M) = ±1.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias

Observacao Se pode provar facilmente que o modulo de um vetorV =

√< V ,V > e invariante pela transformacao V ′ = M X , sendo M

um elemento qualquer do grupo O(n), ou seja |V ′| = |V | (exercıcio).A matriz M e denominada tambem como matriz de rotacao.Em particular podemos pensar tambem que a distancia infinitesimal entredois ponto do espaco euclidiano Rn, definido assim:

ds2 = dx21 + dx2

2 + ....+ dx2n = [dr ]T [dr ]

e invariante pela transformacao ortogonal dr ′ = M dr . Ou sejads2 = ds ′2. Sendo que o vetor d~r pode-se arranjar como uma matrizlinha [dr ] = [dx1 dx2 .... dxn]T (ou coluna, de acordo a necesidade).Grupo ortogonal especial :SO(n) E um subgrupo de O(n), formadopor matrizes cuja det(M) = 1.

SO(n) = {Mn×n / det(M) 6= 0, MT = M−1, det(M) = 1} (19)


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Referencias

Grupo pseudo-ortogonal O(p, q)Na definicao (14) se consideramos A = η, sendo η uma matriz diagonal,da seguinte forma:

η =

1 0 0 0 . . 00 1 0 . . . 00 0 . . . . 0. . 0 . . . .. . . . −1 . .. . . . 0 −1 .. 0 0 . 0 0 −1

, p + q = n (20)

p → elemento da diagonal principal com valor = 1.q → elemento da diagonal principal com valor −1.substituindo na forma bilinear geral (13) temos

Wη(X ,Y ) =< X , ηY >= x1y1 + x2y2 + ....+ xpyp−xp+1yP+1− ...−xnyn,(21)


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Referencias

A condicao de existencia da matriz A (15) agora toma a forma particular

η = MTηM. (22)

Definicao: O grupo O(p, q) esta formado por matrizes Mn×n inversiveis,tais que deixam invariante a forma bilinear (21).

O(p, q) = {Mn×n / det(M) 6= 0, η = MTηM.} (23)

Da condicao η = MTηM podemos concluir que Det(M) = ±1.Grupo pseudo-ortogonal especial :SO(p, q) E um subgrupo de O(p, q), formado por matrizes cujadet(M) = 1.

SO(p, q) = {Mn×n / det(M) 6= 0, η = M−1 ηM, det(M) = 1} (24)


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Referencias

Consideremos,agora o espaco vetorial V = <n onde o produto escalarentre dois vetores X e Y de <n tem a seguinte forma

< X ,Y >= x1y1 + x2y2 + ....+ xpyp − xp+1yP+1 − ...− xnyn. (25)

Sabemos pela propria definicao do grupo SO(p, q), que os elementodeste grupo deixam invariante o produto escalar anterior (25). Comocaso particular, os elementos do grupo SO(p, q) deixam invariante omodulo do vetor V ∈ <n definido como: V =

√< V , ηV >.

O espaco vetorial Rn munido do produto escalar (25) e chamado deespaco de Minkowski M{p,q}.Em particular a ”distancia infinitesimal”entre dois pontos do espacoM{p,q} e dado por

ds2 = dx21 + dx2

2 + ....+ dx2p − dx2

p+1 − ...− dx2n . (26)

esta ”distancia”infinitesimal e invariante pela aplicacao dapseudo-rotacao [dr ′] = M[dr ], (M ∈ SO(p, q))


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Referencias

Consideremos o caso:p = 1, q = 3 entao temos o grupo SO(1, 3)denominado o grupo de Lorentz do espaco de Minkowsi M{1,3}.

SO(1, 3) = {M4×4 / det(M) 6= 0, η = M−1 ηM, det(M) = 1} (27)

Distancia infinitesimal entre dois pontos: (de (26))

ds2 = dx21 − dx2

2 − dx23 − dx2

4 . (28)

identificando dx1 = cdt, dx2 = dx , dx3 = dy , dx4 = dz

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (29)

As transformacoes de Minkoswki (representados pelas matrizes M4×4)deixam invariante a ”distancia”infinitesimal (29) do espaco M{1,3}.


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Referencias

Grupo ortogonal : O(2)

O(2) = {R2×2 / det(R) 6= 0, R−1 = RT} (30)

ele preserva o produto escalar < X ,Y >= x1y1 + x2y2. Sendo

X =

(x1x2

)∈ <2 e Y =

(y1y2

)∈ <2.

Suponhamos que R =

(a bc d

)e det(R) = 1. Logo

SO(2) = {R2×2 =

(a bc d

)/R−1 = RT , det(R) = ad − bc = 1}

(31)Da condicao R−1 = RT temos: a = d , c = −b.


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Referencias

Finalmente: R =

(a c−c a

), sendo a2 + c2 = 1.

Com a escolha a = cos(θ), c = − sin(θ) temos:

R9θ) =

(cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

).

Desta forma temos a definicao alternativa para o grupo ortogonalespecial SO(2) que fica assim:

SO(2) = {R =

(cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

), θ ∈ <} (32)


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Referencias

A circunferencia unitaria S1 = {(a, c) ∈ <2 / a2 + c2 = 1} e mapeiadaponto a ponto (unıvocamente) pela matriz R(θ) do grupo SO(2).


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Referencias

R(θ) e a matriz de rotacoes no plano xy . Sendo θ o angulo de rotacao

do vetor X =

(xy

)quando aplicado a matriz de rotacao R.

V ′ = R(θ)V


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Referencias

Summary



3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores




9 Referencias


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Referencias

Grupo O(1, 1) no espaco de Minkowski M1,1.(p = 1, q = 1, n = p + q = 2).

O(1, 1) = {M2×2(<) / det(M) 6= 0, η = MTηM} (33)

Como sabemos, os elemento desta matriz deixa invariante a seguinteforma bilinear

W (X ,Y ) =< X , ηY >= XTηY = x1y1 − x2y2 (34)

sendo X =

(x1x2

),Y =

(y1y2

). η =

(1 00 −1

)Impondo det(M) = 1, chegamos ao subgrupo SO(1, 1) definido assim:

SO(1, 1) = {M2×2(<) / det(M) = 1, η = MTηM} (35)


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Referencias

Consideremos que M =

(a bc d

)∈ SO(1, 1), logo temos a condicao

det(M) = ad − bc = 1.Adicionalmente :

η = MTηM →(

1 00 −1

)=

(a cb d

).

(1 00 −1

).

(a bc d

),

concluimos que : a = d , b = c .

SO(1, 1) = {M2×2 =

(a bb a

), a2 − b2 = 1} (36)


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Referencias

da condicao anterior a = ±√

1− b2, b ∈ <; o grupo SO(1, 1) e a uniaode dois subconjuntos

SO(1, 1) = L↑+ ∪ L↓+ (37)


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Referencias

L↑+ = {L(b) =

( √1− b2 b

b√

1− b2

), b ∈ <}

L↓+ = {L(b) =

(−√

1− b2 b

b −√

1− b2

), b ∈ <}

Se pode mostrar que o conjunto L↑+ e subgrupo de SO(1, 1) (verificar)

Observe que L(0) =

(1 00 1

)∈ L↑+.

L(b)L(0) = L(b)

A matriz L(0) e o elemento identidade do grupo SO(1, 1) e do subgrupo

L↑+.No plano (a, b) a hiperbole esta parametrizada por b. No subconjunto

L↑+, b = 0 corresponde ao vertice da hiperbole.


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Referencias

Nova parametrizacao: a = cosh(z), b = − sinh(z) , baseado naidentidade hiperbolica cosh(z)2 − sinh(z)2 = 1

L↑+ = {L(z) =

(cosh(z) sinh(z)sinh(z) cosh(z)

), z ∈ <} (38)

L↓+ = {L(b) =

(− cosh(z) − sinh(z)− sinh(z) − cosh(z)

), z ∈ <}

Provar que L(z)L(z ′) = L(z + z ′)

Provar que L−1(z) = L(−z)


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Referencias

Agora, realizamos nova mudanca de parametros: tanh(z) = VC , logo:

cosh(z) =1√

1− V 2

C 2

, sinh(z) =V

C√

1− V 2

C 2

substituindo em (38) temos finalmente:

L↓+ = {L(V ) =

1√1− V 2

C2

− V

C√

1− V 2

C2

− V

C√

1− V 2

C2

1√1− V 2

C2

,−1 ≤ V

C= tanh(z) ≤ 1}

Ou seja, chegamos a uma matriz de Lorentz L↓+ onde naturalmente−C ≤ V ≤ C .


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Referencias

Se aplicarmos a matriz L(V ) (transformacao de Lorentz) no vetor

X =

(ctx

)do espaco de Minkoswsi M{1,1}, temos

(ct ′

x ′

)=

1√1− V 2

C2

− V

C√

1− V 2

C2

− V

C√

1− V 2

C2

1√1− V 2

C2

.

(ctx

)com a escolha de γ = 1√

1− V 2

C2

, temos :(ct ′

x ′

)=

(γ −V

C γ−V

C γ γ

).

(ctx

)ou

t ′ = γt − V

C 2γx

x ′ = −V γt + γx (39)

que e a transformacao de Lorentz apresentada inicialmente em (1)Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias

O subgrupo L↓+ preserva a orientacao temporal, ouseja se t aumentaentao t ′ tambem aumenta.

O subgrupo L↓+ nao preserva a orientacao temporal, ouseja se taumenta, t ′ diminui.

L(v)L(v ′) = L(v) (relacao de clausura ou fechadura do grupo L↓+).

v =v + v ′

1 + vv ′

C 2

(40)

esta ultima equacao se pode interpretar como a regra da adicao develocidades ao longo do eixo x . Quando temos uma partıcula comvelocidade v em relacao ao referencial K e velocidade v no referencialK ′. A velocidade v ′ se pode indentificar como a velocidade do referencialK ′ em relacao ao referencial K .


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Referencias

IntervaloSabemos que o intervalo espacial (entre dois eventos)ds2 = dx2 + dy2 + dz2 e um conceito relativo, ouseja depende doreferencial inercial, de forma similar o intervalo temporal dt e tambemrelativo. Definamos um intervalo no espaco tempo de Minkowski M(1,3),num referencial inercial K

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (41)

De forma similiar, em outro referencial inercial K ′

ds ′2 = c2dt ′2 − dx ′2 − dy ′2 − dz ′2 (42)

Vamos extender a transformacao de lorentz do grupo SO(1, 1)apresentada na equacao (39) ao grupo SO(1, 3). Na nova situacao,temos o Referencial K ′ viajando com velocidade constante V em relacaoao referencial K , e paralelamente ao eixo x ; com os eixos y e zortogonais ao movimento de K ′. Observamos tambem que os eixo x e x ′

sao paralelos, e os eixos y ey ′ sao paralelos, e os eixos z e z ′ tambem saopralelos. Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias

Logo a matriz de transformacao de Lorentz do grupo SO(1, 3) e:t ′

x ′

y ′

z ′

=

γ −V γ

C 2 0 0−V γ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

txyz

(43)

logo diferenciando a sistema de equacoes anterior, linha por linha, temos:dt ′

dx ′

dy ′

dz ′

=

γ −V γ

C 2 0 0−V γ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

dtdxdydz

(44)


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Referencias

Por substituicao direta, se pode verificar que:

ds2 = ds ′2 (45)

Isto ja e de conhecimento, justamente porque o grupo SO(1, 3) foiconstruido para deixa invariante formas bilenares do tipo (41).


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Referencias

Summary



3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores




9 Referencias


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Referencias

Quadrivetores (tensor de primeiro ordem)

Aν → {A0,A1,A2,A3} quadrivetor contravariante (46)

Aν → {A0,A1,A2,A3} quadrivetor covariante (47)

Aµν tensor de ordem 2 (48)

Aµν tensor de ordem 2 (49)

AµBµ tensor de ordem 0 =escalar (?) (50)

Aµ tensor de ordem 1 = vetor (51)

(52)

? convencao de Einstein: Indices repetidos (um covariante e outrocontravariante) significa que devemos somar para todos os valorespermitidos do ındice µ. no final, nao tem indice livre, ou seja temos umescalar.


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Referencias

xµ = {ct,~r} coordenadas de um evento

Pµ = {E

c, ~P} tensor energia momentum

Jν = {cρ,~J} densidade de corrente

Aν = {φ, ~A} potencial eletromagnetico


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Referencias

QuadrivetoresQuadrivetor : Xµ ↔ {x0, x1, x2, x3} no referencial K .Quadrivetor : X ′µ ↔ {x ′0, x ′1, x ′2, x ′3} no referencial K ′.Notacao tensorialConsideremos a transformacao de Lorentz no espaco M(1,3)

ct ′

x ′

y ′

z ′

=

γ −V γ

C 0 0−V

C γ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

ctxyz

(53)

Podemos rescrever a equacao anterior, utilizando as seguintes redefinicoes

x0 = ct

x1 = x

x2 = y

x3 = z (54)

A transformacao de lorentz (53) do referencial K ao referencial K ′ podese re-escrever assim


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Referencias

x0′

x1′

x2′

x2′

=

γ −V γ

C 0 0−V

C γ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

x0

x1

x2

x3

(55)

Ou na forma simplicada assim:

X ′µ = Λµν X ν , (56)

sendo µ = {0, 1, 2, 3}; ν = {0, 1, 2, 3}.onde para cada valor fixo de µ no lado esquerdo, iremos expandir asomatoria no indice repetido ν no lado direito. Os valores de Λµν saodefinidos da matriz de Lorentz (53), sendo assim :

Λ00 = γ, Λ0

1 = −Vγ

C,

Λ10 = −V γ, Λ1

1 = γ,

Λ22 = 1

Λ33 = 1, o resto nulo

(57)


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Referencias

Aplicacao no espaco EuclidianoTensor metrico no espaco Euclidiano

η =

1 0 00 1 00 0 1

⇒ ηµν =

{1, i = j ;0, i 6= j .

(58)

Onde µ = {1, 2, 3}, ν = {1, 2, 3} .Logo, e facil demonstrar que:

ds2 = ηµν dxµ dxν (?) (59)

e igual ads2 = dx2 + dy2 + dz2 (60)

(?) aqui temos que expandir no indice µ e ν, para todos seu valorespossıveis.


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Referencias

Aplicacao no espaco Minkowskiano M(1,3)

Tensor metrico no espaco Minkowskiano

η =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⇒ ηµν =

1, i = j = 1;0, i 6= j .−1, i = j > 1;

(61)

Onde µ = {0, 1, 2, 3}, ν = {0, 1, 2, 3} .Logo, e facil demonstrar que:

ds2 = ηµν dxµ dxν (?) (62)

e igual ads2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (63)

(?) aqui temos que expandir no indice µ e ν, para todos seu valorespossıveis.


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Referencias

Subindo e descendo ındicesPodemos subir ou descer os indices do quadrivetor utilizando o tensormetrico.

Aµ = ηµνAν , (64)

na equacao anterior, se diz que os indices ν acima e embaixo estaocontraidos, isto significa que devemos expandir para todos os valores deν.Podemos definir o tensor metrico covariante ηµν tal que

ηµαηνβ = δαβ

com isto,

ηµν =

1, i = j = 1;0, i 6= j .−1, i = j > 1;

(65)

δαβ → delta de kronecker, δαβ =

{1, i = j ;0, i 6= j .


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Referencias

Aµ = ηµνAν , (66)

Produto escalar no espaco de MinkowskiQuadrivetor : Aµ ↔ {A0,A1,A2,A3}Quadrivetor : Bµ ↔ {B0,B1,B2,B3}

A.B = AµBµ (67)

importanteO importante neste momento e que escalares, sao invariantes de Lorentz;ou seja quando passamos de um referencial inercial a outro, ela ficaconstante.exemplos: AµBµ,A

µνBµν , etc .


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3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores




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Referencias

Definicoes

~E → Intensidade de campo eletrico.~B → Intensidade de campo magnetico.

ρ→ densidade de carga.~J → densidade de corrente.

Equacoes de Maxwell

∇.~E =ρ

ε(Lei de Gauss eletrico) (68)

∇.~B = 0, (Lei de Gauss magnetico) (69)

∇× ~E = −∂~B

∂t(Lei de Farady) (70)

∇× ~B = µ~J + εµ∂~E

∂t, (Lei de Amper) (71)


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Referencias

Equacao de onda eletromagnetica para deduzir a equacao de ondapara o campo eletromagnetico, precisamos da identidade vectorial aseguir

∇× (∇× ~E ) = ∇(∇.~E )−∇2~E (72)

sendo o operador laplaciano ∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 , logo

∇2~E = (∇2E1,∇2E2,∇2E3) (73)

A seguir aplicamos rotacional a equacao (70) e temos :

∇× (∇× ~E = −∂~B

∂t)

∇× (∇× ~E ) = −∇× (∂~B

∂t) = −∂(∇× ~B)

∂t(74)


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Referencias

utilizando a identidade (72) e a equacao (71) na equacao (74)

∇(∇.~E )−∇2~E = −∂(µ~J + εµ∂

~E∂t )

∂t(75)

∇(ρ

ε)−∇2~E = −µ∂

~J

∂t− µε∂

2~E

∂t2(76)

No vacuo J = 0, ρ = 0, µ→ µ0, ε→ ε0

∇2~E − µε∂2~E

∂t2= 0 (77)

sendo ~E (t, x , y , z) = (E1(t, x , y , z),E2(t, x , y , z),E3(t, x , y , z))


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Referencias

Equacao de onda unidimensional Consideremos ~E = (E1, 0, 0) = E1~i

logo em (78) temos

∇2(E1~i)− µε∂

2(E1~i)

∂t2= 0 (78)

como c = 1µ0ε0

, simplificando

∇2E1 −1

c2

∂2E1

∂t2= 0 (79)

∂2E1

∂x2+∂2E1

∂y2+∂2E1

∂z2− 1

c2

∂2E1

∂t2= 0 (80)

A equacao anterior e a equacao de onda eletromagnatico relativo aocamp eletrico num referencial inercial K .


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Referencias

Identificando x0 = ct, x1 = x , x2 = y , x3 = z temos:

∂2E1

∂(x1)2+

∂2E1

∂(x2)2+

∂2E1

∂(x3)2− ∂2E1

∂(x0)2= 0 (81)

considerando xν = ηνµxµ, e ηµν = (+1,−1,−1,−1). temos que

x0 = x0, x1 = −x1, x2 = −x2, ; x3 = −x3.

A equacao anterior (81) pode se escrever assim:

∂

∂xµ(∂

∂xµ(E1)) = 0 (82)

Identificando ∂µ ≡ ∂∂xµ

, ∂µ ≡ ∂∂xµ temos a equacao de onda (80) na sua

forma tensorial :

∂µ∂µ(E1) = 0, (83)

sendo E1 = E1(x0, x1, x2, x3) o campo eletromagnetico dependendo dotempo t e posicao no espaco ~r = (x , y , z).Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias

Na equacao de onda eletromagnetico anterior, temos indices contraidos,logo ele e um escalar de Lorentz, que quer dizer que ele e invariante pelatransformacao de Lorentz. Ou seja, ele e invariante quando passamos deum referencial inercial a outro.Invarianca da equacao de onda E.M. explicitaConsideremos o caso particular de onda eletromagnetica unidimensionalE = E (x , t) (ver (80)) escrito num referencial inercial K

∂2E

∂x2− 1

c2

∂2E

∂t2= 0 (84)

A questao e, qual e a forma da equacao de onda eletromagneticaE = E (x ′, t ′) em outro referencial inercial K ′, que viaja com velocidadeV em relacao ao referencial em repouso K ?.para responde, iremos utilizar a transformacao de Lorentzt ′ = (t − xV

C 2 ) γ, x ′ = γ x − V γ t ja definida anteriormente e a regra dacadeia para funcoes de duas variaveis como segue


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Referencias

∂

∂t(E (x ′(x , t), t ′(t, x))) =

∂

∂t ′(E (t ′, x ′))

∂t ′

∂t+

∂

∂x ′(E (t ′, x ′))

∂x ′

∂t

∂

∂x(E (x ′(x , t), t ′(t, x))) =

∂

∂t ′(E (t ′, x ′))

∂t ′

∂x+

∂

∂x ′(E (t ′, x ′))

∂x ′

∂x

Com a notacao simplificada∂∂t (E (x ′(x , t), t ′(t, x))) = ∂

∂t (E ) = Et ;∂∂x (E ) = Ex ; ∂2

∂t2 (E ) =

Ett ,∂2

∂x2 (E ) = Exx ,∂∂t ( ∂∂x (E )) = Ext .

A equacao de onda (84) fica

Exx −1

c2Ett = 0 (85)


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Referencias

e a regra da cadeia fica assim

Et = Et′∂t ′

∂t+ Ex′

∂x ′

∂t(86)

Ex = Et′∂t ′

∂x+ Ex′

∂x ′

∂x. (87)

(88)

A seguir teremos que calcular Ett ,Exx e substituir na equacao (85).Desta maneira podemos provar facilmente que a equacao de ondaeletromagnetica unidimensional para E = E (x ′, t ′) tem a mesmaestrutura que a apresentada em (84), ou seja:

∂2E

∂x ′2− 1

c2

∂2E

∂t ′2= 0 (89)

Includive a velocidade da propagacao da O.E.M.e a mesma, e e igual avelocidade da luz c .


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3 grupo GL(Rn,A)

4 Grupo SO(1, 1)

5 quadrivetores




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Referencias

O tensor de campo eletromagnetico e um tensor de ordem dois, cujarepresentacao matricial e antisimetrica,tem a seguinte estrutura

Fµν =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B3 0

(90)

Observe que Fµν = −F νµ;∀ν, ∀µ. (antisimetria)

F 00 = 0,F 01 = −E1,F10 = E1, ....


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Referencias

Consideremos por simplicidade µ = ε = c = 1. Logo as equacoes demaxwell ficam

∇.~E = ρ (Lei de Gauss eletrico) (91)

∇.~B = 0, (Lei de Gauss magnetico) (92)

∇× ~E = −∂~B

∂t(Lei de Farady) (93)

∇× ~B = ~J +∂~E

∂t, (Lei de Amper) (94)

A equacao (91) pode se escrever explicitamente assim:

∂E1

∂x+∂E2

∂y+∂E3

∂z= ρ (95)


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Referencias

na notacao quadridimensional a equacao anteior fica

∂E1

∂x1+∂E2

∂x2+∂E3

∂x3= ρ (96)

A partir da definicao do tensor de campo eletromagnetico (90) temos:

E1 = F 10,E2 = F 20,E3 = F 30, 0 = F 00

substituindo na equacao (97) obtemos

∂F 10

∂x1+∂F 20

∂x2+∂F 30

∂x3= ρ (97)

Agregando ∂F 00

∂x0 = 0 a equacao anterior e considerando o quadrivetordensidade de corrente Jµ = (J0, J1, J2, J3) = (ρ, J1, J2, J3) :

∂F 00

∂x0+∂F 10

∂x1+∂F 20

∂x2+∂F 30

∂x3= J0 (98)


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Referencias

∂Fµ0

∂xµ= J0. (99)

A equacao vetorial (94) pode se escrever explicitamente assim: i j k∂x ∂y ∂zB1 B3 B3

− ∂E

∂t= ~J (100)

em componentes:

∂B3

∂y− ∂B2

∂z− ∂E1

∂t= J1 (101)

−∂B3

∂x+∂B1

∂z− ∂E2

∂t= J2 (102)

∂B2

∂x− ∂B1

∂y− ∂E3

∂t= J3. (103)


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Referencias

escrevendo em termos dos elementos do tensor de campo eletromagnetico

∂F 21

∂x2+∂F 31

∂x3+∂F 01

∂x0= J1 (104)

∂F 12

∂x1+∂F 32

∂x3+∂F 02

∂x0= J2 (105)

∂F 13

∂x1+∂F 23

∂x2+∂F 01

∂x0= J3 (106)

adicionando as derivadas parciais dos elemento da diagonal principal deFµν convenientemente

∂F 11

∂x1+∂F 21

∂x2+∂F 31

∂x3+∂F 01

∂x0= J1 (107)

∂F 12

∂x1+∂F 22

∂x2+∂F 32

∂x3+∂F 02

∂x0= J2 (108)

∂F 13

∂x1+∂F 23

∂x2+∂F 33

∂x3+∂F 01

∂x0= J3 (109)Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Referencias

∂Fµ1

∂xµ= J1 (110)

∂Fµ2

∂xµ= J2 (111)

∂Fµ3

∂xµ= J3 (112)

utilizando o indice latino k = 1, 2, 3, podemos resumir as 3 equacoesanteriores numa so.

∂Fµk

∂xµ= Jk , k = 1, 2, 3 (113)


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Referencias

Finalmente, juntando a equacao (99) e (114) podemos unifcar as duasequacoes de Maxwell (91) e (91) na seguinte forma tensorial

∂Fµν

∂xµ= Jν (114)

sendo {µ, ν = {0, 1, 2, 3}}.


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Campos eletromagnetico e a tranformacao de Lorentz.Consideremos uma configuracao de campo eletromagnetico numreferencial inercial K e sua forma tensorial Fµν . Qual e configuracao domesmo campos eletromagnetico medido por outro referencial inercialK ′?. Para isto e suficiente utilizar a transformacao de Lorentz para cadaindice do tensor de campo eletromagnetico como segue

F ′µν = Λµα ΛµβFαβ (115)

sendo Λµβ matriz de transformacao de Lorentz apresentada na equacao(55) ou (56)


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Hamiltoniana de um sistema mecanico

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4 Grupo SO(1, 1)

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O princıpio de Hamilton foi inspirado por outro, publicado no mesmo anode 1744 por Maupertuis. O princıpio de acao mınima de Maupertuis diziabasicamente que a quantidade de acao necessaria para que qualquermudanca seja feita pela natureza e sempre a menor possıvel.Hamilton modificou o principio de Maupertuis definindo a acao como aintegral da Lagrangeana:

S [xi ] =

∫ t1

t0

L(t, xi , xi ) dt, (116)

L = T − U, e a denominada lagrangeana do sistema fısica em estudo,sendo:a) T = T (xi ) e a energia cinetica no sistema de coordenadas cartesiano.b) U = U(xi ), quando a partıcula se move num campo de forcasconservativo.


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enunciado do principio de Hamilton”De todas as trajetorias possiveis (compatıveis com os vınculos), quepode seguir um sistema dinamico para se deslocar de um ponto a outronum dado intervalo de tempo,a trajetoria real seguida e aquela que fazextremal a acao (116).

δS ≡ 0. (117)

Logo as coordenadas da trajetoria real, devem satisfazer a seguinteequacao de Euler/Lagrange

Lxk −d

dtLx′

k= 0, k = 1, 2, ..., n. (118)

e um sistema de equacoes diferenciais de segunda ordem, que devera serresolvida. A solucao da equacao de Euler/lagrange representa a trajetoriafısica real, seguida pelos constituintes do sistema fısico.Sendo n o numero de coordenadas cartesianas necessarios para descrevero sistema dinamico.


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Exemplo 1 Particula livre. Dado um Sistema de referencia inercial (SRI)uma partıcula de massa m e livre de interacoes, descreve um movimentomecanico com a seguinte condicao inicial ~r |0 = ~r0,~r |0 = ~v0 (a posicaoinicial e a velocidade inicial, respectivamente).a) Determine a Lagrangiana da partıcula livreb) Defina a acao desta partıcula e encontre a equacao do movimento damesma utilizando o principio de mınima acao de Hamilton.c) Verifique que a equacao do movimento encontrada na questao anteriore a mesma proveniente da segunda lei de Newton.d) Resolva a equacao de movimento desta partıcula com as condicoesiniciais ~r(0) = (0, 2, 0), ~v(0) = (3, 4, 0).


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Exemplo 2 Oscilador classico. Uma mola de massa desprezıvel econstante elastica K = 100N/cm e fixa a uma parede vertical, e a outraextremidade esta ligada a um bloco metalico, de massa m = 1kg , demodo que ela pode deslizar numa superficie horizonatal sem atrito.Considerando que a terra e um SRI, o movimento do oscilador eunidimensional e utilizando o princıpio de Hamilton encontre a equacaodiferencial de movimento do oscilador. Resolva e equacao diferencial comas condicoes iniciais x0 = 5cm, v0 = 0cm/s.Exemplo 3 Campo gravitacional uniforme. Uma partıcula de massa m elanzada de uma altura h com uma velocidade inicial ~v = v01~i + v02~jdentro de um campo gravitacional uniforme na direcao −~j .a) Determine a Lagrangeana da partıcula num instante t.b) Determine a equacao do movimento da partıcula.


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Exemplo 5 Pendulo simples. Um pendulo simples esta constituido porum fio inextensıvel de comprimento l e massa desprezıvel e com umapartıcula pontual de massa m num extremo, sendo que o outro extremoesta unido a um ponto fixo. Consideremos que ela e solta a uma certaaltura em relacao a superfıcie horizontal e oscila num plano verticial.Generalizacao do principio de Hamilton.Quando temos por exemplo um pendulo em movimento, para especificaro estado dinamico do pendulo nao precisamos necessariamente ascoordenadas cartesianas x , y em relacao a certo S.R.; podemos tambemespecificar completamente o estado dinamico do pendulo atravez doangulo θ que forma o pendulo com a vertial, sendo que o comprimentodo pendulo sera uma constante. Logo e possivel descrever a dinamica dopendulo, analizando o comportamento desta coordenada generalizadaθ no tempo.


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Consideremos um sistema fısico, e seja as coordenadas generalizadasq1, q2, ..., qn que designa todo o conjunto de quantidades que deixecompletamente especificado o estado do sistema. Podemos definirtambem as derivadas temporais das coordenadas generalizadasq1, q2, ..., qn que por analogia com as coordenadas cartesianas, podemosidentificar estas como velocidades generalizadas. Logo, podemo enunciaro principio de Hamilton para o sistema fısico em funcao destascoordenaas generalizadas.Identificando :

S ⇒ S

t ⇒ t

xi ⇒ qi (119)

xi ⇒ qi

L(t, xi , xi ) ⇒ L(t, qi , qi ). (120)


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A acao tera a seguinte forma

S [q] =

∫ t1

t0

L(t, q, q′) dt, (121)

q = {q1, q2, ...., qn} representa os n graus de liberdade que descreve osistema. Como vimos na secao anterior, a imposicao de que a primeiravariacao da funcional S seja nula leva naturalmente as equacoes deLagrange na forma (118). Repetimos as equacoes aqui por completeza:

Lqk −d

dtLq′

k= 0, k = 1, 2, ..., n, (122)

Dito de outro modo, a trajetoria fısica que realiza o sistema mecanico doinstante t0 ao t1 e aquela que extremiza a acao S [q] e por tanto aequacao da trajetoria fısica resolve a equacao de Euler/Lagrange (122).


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A aplicacao do princıpio de Hamilton requer, que as forcas aplicadassejam derivadas de uma funcao potencial e que os vinculos sejamholonomicos∗.Principio de HamiltonO princıpio de Hamilton diz que dentre todos os possıveis caminhos queconecta as coordenadas iniciais qk(t0) as coordenadas finais qk(t1) doespaco de configuracoes, aquele que de fato corresponde a trajetoria realdo sistema e aquele que torna nulo a primeira variacao da acao S

δS = 0. (123)

(∗) As vezes as condicoes dentro das quais o movimento se da impoemrestricoes a ele. A tais restricoes damos o nome de vınculos. Os vınculosmais comuns sao aqueles dados por superfıcies que restringem omovimento de partıculas. Por exemplo, se ela estiver restrita aomovimento ao longo de uma superfıcie como o plano inclinado. Nessescasos escrevemos a restricao sob a forma y − x tan(θ) = 0. Em geral ovınculo holonomico tem a forma g(q1, ..., qn, t) = 0 e num sistema fısicopodemos ter varios vınculos.Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

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Exemplo 1 Geodesica. A geodesica e a curva que representa a trajetoriamais corta entre dois pontos quaisquer, quando dita trajetoria pertence auma superfıcie determianda. Considere dois pontos arbitrarios numasuperfıcie plana <2, demonstre que a geodesica que passa por estes doispontos na superfıcie plana e uma linha reta.Exemplo 2 Pendulo simples. Um pendulo simples esta constituido porum fio inextensıvel de comprimento l e massa desprezıvel e com umapartıcula pontual de massa m num extremo, sendo que o outro extremoesta unido a um ponto fixo. Consideremos que ela e solta a uma certaaltura em relacao a superfıcie horizontal e oscila num plano verticial.a) Determine a Lagrangeana da partıcula num instante t quando o fioforma um angulo θ com a vertical que passa pelo ponto fixo da corda.b) Determine a equacao do movimento da partıcula pontual.


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Considere um sistema mecanico onde L = T − V e a energia potencial Vseja independente da velocidade generalizada qi . Logo em coordenadasgeneralizadas as componentes do momento generalizado e dado por

pi =∂L

∂qi(124)

Definicao Hamiltoniana de um sistema mecanico

H(qk , pk , t) =∑j

pj qj(q, p, t)− L(qk , qk(q, p, t), t). (125)

Se a energia potencial e independente da velocidade, e qi = qi (q, p),entao a energia mecanica E do sistema e igual a hamiltoniana H dosistema.

H(qk , pk , t) = E = T + V = constante


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Referencias

referencias

Leyes fundamentales de mecanica clasica, Irodov, editora MIR,Moscou (1981).

http://video.if.usp.br/aulas/ ”introducao a teoria de grupos”, JoaoBarata.

Teoria de campo, L.Landu, E. lifshitz, editora MIR, Moscou, (1980).

calculo variacional, M. Krasnov, G. Makarenko, A. Kiseliov. EditorialMIR, Moscou.

Notas de aula ”introducao ao calculo das variacoes”, JuscelinoPereira Silva, departamento de matematica UFC-2005.

Dinamica clasica de las partıculas y sistemas, J. Marion, editoralReverte (1981)e.

Calculo variacional e controle otimo, Antonio Leitao, 23 coloquiobrasileiro de matmatica (Impa).Hector L.Carrion aula-ECT/UFRN

transformações de lorentz

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