transformada ztransformada z - bioingeniería...

Bioingeniería I Transformada Z 13 de Abril 1 / 30

Definición AplicaciónFunción de transferencia Transformaciones conformes

Transformada ZTransformada Z

13 de Abril de 2010

MSc. Bioing Rubén [email protected]

Bioingeniería I

Carrera: BioingenieríaFacultad de Ingeniería - UNER



Organización

1 Definición

2 Función de transferencia

3 Transformaciones conformes

4 Aplicación



Definición

• Función de transferencia.

• Respuesta en frecuencia.

Conceptos generalesConceptos generales

x

x Re

Plano S

Im

• Análisis de estabilidad.



Definición

Conceptos generalesConceptos generales

x[n] secuencia discreta, -∞ < n < +∞

x[n] ↔ X(z)

∑==+∞

−∞=

−

n

nz].n[x])n[x(Z)z(X TZ bilateral.

∑==+∞

=

−

0n

nz].n[x])n[x(Z)z(X TZ unilateral o causal.



Definición

x[n]

1

2 2 21,51,5

EjemploEjemplo

n0

x[n] = [1,5 1 2 2 2 1,5]

43211 51222151 −−−− +++++= z.,z.z.z.z.,)z(X



Definición

Expresión de la transformada ZExpresión de la transformada Z

∫∞

∞−

−= dt.e).t(x)s(X st

∑∞

−∞=−δ=δδ=

nTT

* ]nTt[)t( ),t(x.)t()t(x donde

∑∞

−∞=−δ=

n

* ]nTt[].nT[x)t(x

∫∞

∞−

−= dt.e).t(x)s(X st**

P



Definición

Región de convergenciaRegión de convergencia

θ= je.rZ

∑=∑=+∞

∞=

−+∞

∞=

− θ−

ne.n

n

n njr].n[xz].n[x)z(X

En la región de convergencia ⏐X(z)⏐ < ∞

∑=∞+

−∞=

− θ−

ne.n njr].n[x)z(X

∑=∑≤+∞

−∞=

−+∞

−∞=

− −

n

n

ne.n r].n[xr].n[x nj θ



Definición


∑∑ +=∑+∞

=

−

−∞=

−∞

−∞=

−

0

1

n nn

n

n

n

r]n[xr].n[xr].n[x

r1

Im

Re

r2

Im

Re

Im

Re

r1

r2

∑∑ +−=+∞

=

∞

= 01 n nn

n

r]n[xr].n[x)z(X

Parte no causal Parte causal



Definición

x[n]

n

111

−−=⎯→←=

z.α)z(X)n(u.α)n(x zn

x[n]n

1111

−−−=⎯→←−−−=

z.α)z(X)n(u.α)n(x zn

|α|

Im

Re


|α|

Im

Re



Definición


Causal: ⏐z⏐> r2.

No causal: z⏐< r1.

Bilateral: r2 < z⏐< r1.

Señales de duración infinita

Causal: plano Z excepto z = 0.

No causal: plano Z excepto z = ∝.

Bilateral: plano Z excepto z = 0 y z = ∝.Señales de duración finita



Definición

Planos S y ZPlanos S y Z

z = eSTz = eST

Re

Im

Re

Im

Plano S Plano z



Definición

Trans. Z y trans. de FourierTrans. Z y trans. de Fourier

z = ejθS = jω

Re

Im

Re

Im

θ

Plano S Plano z



Definición


∑=+∞

∞=

− θ−

ne.n njr].n[x)z(X

θ== jez)z(X])n[x(TF

∑=+∞

∞=

θ−θ−

nee njnj ].n[x)(X

P



Definición




Definición

Relación entre transformadasRelación entre transformadas

z = esT

Transformada Z de x[n]Transformada Z de x[n]Transformada de Laplace de x(t)Transformada de Laplace de x(t)

s = jω

Transformada de Fourier de x(t)Transformada de Fourier de x(t)

z = ejθ

Transformada de Fourier de x[n]Transformada de Fourier de x[n]

-π < θ < π

θ = k2π / N, k = 0..(N-1)

TDF de x[n]TDF de x[n]



Definición

PropiedadesPropiedades

• Linealidad

• Desplazamiento temporal

• Desplazamiento frecuencial

• Inversión temporal

• Convolución

• Diferenciación en dominio Z

P



Función de transferencia

Sistemas LTISistemas LTI

]jn[x.b]in[y.a]n[yq

0jj

p

1ii −+−= ∑∑

==

Ecuación general de sistemas LTI discretosEcuación general de sistemas LTI discretos

P



Función de transferencia

Sistemas LTISistemas LTI

∑

∑

=

=

−= p

1i

-ii

q

0j

-jj

.za1

.zbH(z) Sistemas ARMA

∑=

−= p

1i

-ii

0

.za1

bH(z) Sistemas AR

∑=

=q

0j

-jj.zbH(z) Sistemas MA



Transformaciones conformes

AplicaciónAplicación

Sistema de tiempo continuoSistema de tiempo continuo Sistema de tiempo discretoSistema de tiempo discreto

P




AplicaciónAplicación

sTeXZ =

Ejemplo simple:2s

1)s(H+

=

Transformaciones conformesTransformaciones conformes

P



( )Tz1s

1−−=

Plano S Plano z

Re

Im

1

Transformación de EulerTransformación de Euler


Re

Im




( )( )1

1

z1z1

T2s

−

−

+

−=

Transformación bilinealTransformación bilineal

Re

Im

Re

Im

1

Plano S Plano z





-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-4

-2

0

2

4

f [Hz]

tita

[rad]

Transformación de Euler

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-3

-2

-1

0

1

2

3

f [Hz]

tita

[rad]

Transformación Bilineal

θ = ωT

fm = 1 kHz

)tan(.T 2

θ2ω =





|H(jω)|

ω

ω

θ

π

|H(ejθ)|

θ



Aplicación

Consideraciones prácticasConsideraciones prácticas

¿Cuando usar una transformación u otra?¿Cuando usar una transformación u otra?



Aplicación


01920101

2 ,s.,ss.,)s(H++

+=

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

[Hz]

Mag

nitu

d

Respuesta en frecuencia del sistema analógico



Aplicación

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

[rad]

Mag

nitu

d

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

[rad]

Mag

nitu

d

Respuesta en frecuencia del sistema discreto(Azul: Euler, Rojo: Bilineal)


fm = 5 Hz

fm = 100 Hz



Aplicación

Consideraciones prácticasConsideraciones prácticasfm = 100 Hz fm = 5 Hz

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

yPa

rt

Lugar de raices: Transformacion de Euler

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

yPa

rt

Lugar de raices: Transformacion de Euler

Euler

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

yPa

rt

Lugar de raices: Transformacion Bilineal

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real PartIm

agin

ary

Part

Lugar de raices: Transformacion Bilineal

Bilineal



Aplicación

EjemploEjemplo

L C

Ei(t) R Eo(t)

i(t)

)s(E)s(E)s(H

io=



Fin de la claseFin de la clase

transformada ztransformada z - bioingeniería...

Documents