transformacje fouriera - jagiellonian universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf ·...

Transformacje Fouriera*

podstawowe własności

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015*podejście mało formalne

Transformacja Fouriera - wstęp

Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości

W podobny sposób funkcje zdefiniowanie w domenie położenia możemy przedstawiać w domenie częstości przestrzennych (wektora falowego)

Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału

Obie domeny są równoważne, ale ….

Funkcja w domenie czasowej Ta sama funkcja w domenie częstości

Dodajemy „biały” szum

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015

W tym przypadku domena częstotliwości jest dużo „wygodniejsza”


k0

k

r(r)

A(q)

Przykłady bezpośredniej realizacji transformacji Fouriera

Rozpraszanie Elementy optyczne

Obraz rozproszenie jest transformatą Fouriera obiektu

Obraz w tylnej płaszczyźnie ogniskowej jest TF obrazu w przedniejpłaszczyźnie ogniskowej


Iloczyn skalarny (rzut)


Pewne całki z funkcjami sinus i kosinus

Zatem, składowe fourierowskie są niezależne [funkcje sin/cos są ortogonalne]Te własności czynią transformacje Fouriera użytecznymi/możliwymi

Transformacja Fouriera polega na rozkładzie sygnału na funkcje sin i cos czylina wyznaczeniu wkładu danej składowej częstotliwościowej do sygnału


Prosta zagadka 1

Całka z iloczynu dwóch funkcji

I1 I2

która z poniższych całek jest większa?

Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2009

Prosta zagadka 1


I1<I2

I1 I2

która z poniższych całek jest większa?


Prosta zagadka 2


I1 I2g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)

f(x) - gauss


Prosta zagadka 2


I1 I2

I1>I2

g(x)=cos(x) g(x)=cos(5x)

f(x) - gauss


Prosta zagadka 3


I1 I2

g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)

f(x) - gauss


Prosta zagadka 3


I1 I2

I1>I2 I2=0

g(x)=cos(5x) g(x)=sin(5x)

f(x) - gauss


Definicja transformacji Fouriera

Rozkład funkcji na funkcje harmoniczne: sinus i cosinus

2p/k

x

F(k) – jest także funkcją[w przestrzeni odwrotnej]W ogólności jest funkcją zespoloną!


Terminologia

Transformacja Fouriera – operacja na funkcji

Transformata Fouriera – funkcja uzyskana po zastosowaniu transformacji


Konwencja

Generalnie:

nasza

Mathematica

Wolfram MathWorld

Inne

Uwaga 1: Mathematica umożliwia liczenie w dowlolnej konwencjihttp://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html

Uwaga 2: Pewne transformaty i tożsamości zależą od konwencji.Tutaj warto użyć Wiki [generalnie zawsze z rozwagą!]: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform


Odwrotna transformacja Fouriera

Transformacja Fouriera:

Mając do dyspozycji F(k) dla wszystkich wartości k możemy odzyskać (czyli zrekonstruować )oryginalną funkcję f(x) !

Odwrotna transformacja:

Jest to jedna z najważniejszych cech transformacji Fouriera!!!!


Prezentacja

Transformata Fouriera jest funkcją zespoloną!

część rzeczywista część urojona amplituda faza


f(x) rzeczywiste to F(k)=F*(-k)

f(x) urojone to F(k)=-F*(-k)

f(x) rzeczywiste i f(x) = f(-x) to F(k) rzeczywiste i F(k)=F(-k)

f(x) rzeczywiste i f(x) =- f(-x) to F(k) urojona i F(k)=-F(-k)

Symetria i „rzeczywistość”


Delta Diraca

„Robocza” definicja

Symboliczny „wykres”Wysokość jest miarą stałej mnożącej deltę.

Własności

Delta Diraca – definicja przez granicę



Transformacje pewnych prostych funkcjiAby zilustrować pewne podstawowe własności transformaty Fouriera poznajmy najpierw transformaty „podstawowych” funkcji

kolory -Re, Im

k=k0

k=01

-1

1

0

Stała wartość (np. tło) występuje dla k=0

k=0

k=0


Transformacje pewnych prostych funkcji

k=k0k=-k0

k=k0

k=-k0

kolory -Re, Im

k=0

k=0



Gauss

DxDk

Transformata Fouriera gaussa jest gaussem. Mała lokalizacja w przestrzeni rzeczywistej oznacza dużą lokalizację w przestrzeni odwrotej.

[por. Heisenberg]

kolory -Re, Im

k=0



x=1/2x=-1/2

0

1

Bardzo ważna funkcja. Granice w całce Fouriera są nieskończone. Funkcja prostokątna często służy do opisu sygnałów zlokalizowanych w przestrzeni lub

w czasie [jako czynnik mnożący]

Funkcja prostokątna

kolory -Re, Im

k=0



kolory -Re, Im



kolory -Re, Im

x=0 k=0

-1/2

1/2

0

Grzebień Diraca



Funkcje periodyczne i szeregi Fouriera

Funkcja periodyczna z okresem :

Zdefiniujmy:

Taką funkcję można zapisać jako szereg:

Obliczmy jej transformatę:

Otrzymujemy:


Licznenie – np. Mathematica


Ogólne własności - liniowość

k=0

Ogólne własności – skalowanie


×

Ogólne własności - przesunięcie

x=x0

kolory –Re, Im, |…|

x=x0

Cała informacja o przesunięciu zawarta jest w fazie. Nie wpływa ono na amplitudę!Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015


Ogólne własności – twierdzenie o mocy

Uwaga: spełnione nie dla wszystkich konwencji!


Splot

Ważna operacja: sygnał + poszerzenie aparaturowe, rozmycie obrazów


Ważny splot


Twierdzenie o splocie

Transformata Fouriera splotu funkcji jest proporcjonalna do iloczynu transformat Fouriera tych funkcji !!!

Pozwala to na łatwe obliczanie splotu

Analogicznie

Transformata Fouriera iloczynu funkcji jest splotem transformacji Fouriera tych funkcji !!!


Przykład 1

0

1


Przykład 2

Typowy przykład: impuls o podstawowej częstość w (energii E) i skończonej długości Dt ma rozmycie energetyvze DwDE 1/Dt


Twierdzenie o korelacji i autokorelacji(szczegółowa dyskusja póżniej)

Definicja korelacji

Autokorelacja

Twierdzenie

Łatwy sposób na liczenie


Dyskretna transformacja Fouriera – dane eksperymentalne

W eksperymencie dyskretnie próbkujemy ciągły sygnał:

x

L

f(x)

Całka Fouriera jest wtedy aproksymowana sumą


Próbkowanie


Twierdzenie Shannona o próbkowaniu

Jeżeli próbkowana funkcja jest ograniczona pasmowo tzn. jejtransformata Fouriera jest zero powyżej pewnej częstości kc

to funkcje i jej transformatę można bezstratnie odzyskać stosując próbkowanie Nyquista D=p/kc

kc

D=p/kc

-kc


Szybka transformacja Fouriera

Dyskretna postać transformacji [uwaga inna konwencja!]

N2 operacji

N punktów

N1 x N2 punktów

N12 x N2

2 operacji

1D

2D

FFT (N całkowita liczba danych)

1D N2 Nlog2(N)2D N4 2 N2 log2(N)

Przykład N=1000 [macierz 1024x1024]

N4=1012

2 N2 log2(N)=2x107

Pozwala na niesamowite przyspieszenie obliczeń

W FFT macierz wyjściowama taki sam wymiar jak macierz wejściowa:konsekwencja twierdzenia Shannona


Transformacja Fouriera w n-wymiarach


Transformacja Fouriera w 2D


Prosty przykład w 2D

(0,0)

(-k0,0) (k0,0)

(0,0)

(-k0, -k0)

(k0, k0)

kx

ky

kx

ky

x

x

y

y


Przykład – filtracja przestrzenna


Wizualizacja zespolonych funkcji 2D

Dowolna zespolona funkcja dwóch zmiennych rzeczywistych [np. zespolony obraz]

Zwykle do wizualizacji używamy dwóch obrazów

Sposób 1: Część rzeczywista i urojona Sposób 2: Moduł i faza

Sposób 2

0

1

0

2p

Problemy ze skokami fazy : funkcja arctan lub arctan2 zwraca kąt [–p/2,p/2] lub [-p/p]Nie widać amplitudy

Sposób 1

-1

1

-1

1

kx

ky



Kolor nienasycony[prawie biały]szerokie widmo

HSV (hue, saturation,value) – barwa, nasycenie, jasnośćOdzwierciedla fizyczną percepcję kolorów

Alternatywny sposób opisu kolorów

Nasycenie

Długość fali [nm]

Kolor nasycony [czysty czerwony]wąskie widmo

Barwa

Długość fali [nm]

Widmo światła widzialnego

Model HSV

RGB [red,blue,green] – mieszanie kolorów podstawowych


Prezentacja HS(V=1)

Re f

Im f

f

| f |

| f | odpowiada saturacji [zero to biały]f odpowiada barwie

0 - rzeczywiste, dodatnie

180 - rzeczywiste, ujemne [dopełnienie RGB czerwonego]

90 - urojone, dodatnie

270 - urojone, ujemne


Przykłady

rzeczywisty gauss rzeczywisty kosinus urojony sinus


W tym obszarze brak koloru białegoFunkcja nie ma zer!


|F |

Im F

Re F

kx

ky

Superpozycja prostopadłych fal Prążki: tylko odległość.

f

F Zera (biały):sinus lub cosinus.Symetria względem tej prostej !

Brak zer w tym kierunku!Czysto zespolone wartości!Mała symetria.

Trochę bardziej skomplikowana funkcja


Kevin Cowtan's Picture Book of Fourier Transformshttp://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/fourier.html

http://www.ysbl.york.ac.uk/~cowtan/fourier/fourier.html

transformacje fouriera - jagiellonian universityusers.uj.edu.pl/~korecki/optykax/w7_2015.pdf ·...

Documents