Transformacions al pla

Vectors i translacions

Girs

Simetries

Composició de transformacions

VectorsUn vector és un segment orientat.

Un vector ens determina una direcció, un sentit i una distància (anomenada mòdul del vector).

La direcció la determina la recta que conté al vector

La punta de fletxa determina el sentit

VectorsDes de l'origen al final d'un vector, es por arribar mitjançant un segment horitzontal i un vertical, les mides d'aquests segments, en aquest ordre, són les coordenades del vector.

VectorsParlem de vector fix quan donem importància a les coordenades de l'origen del vector. Si no ho fem, parlem de vector lliure.

VectorsEls dos vectors de la figura són diferents com a vectors fixos, però com a vector lliure és el mateix. Les seves coordenades són (4,2).

VectorsExercici: Troba les coordenades dels següents vectors:

Vectors

Dos vectors poden sumar-se (o restar-se) tant analítica com gràficament.

Anaílicament: sumem (o restem) per coordenades.

Exemple:

u=(4 , 2) , v=(1 , 2) w = u + v = (4+1,2+2) = (5 , 4)

a=(-2 , 1), b=(-2 ,-2) c = a - b = (-2-(-2),1-(-2)) = (0 , 3)

VectorsGràficament:

Suma: El segon vector comença allà on acaba el primer. El vector suma comença amb el primer i acaba amb el segon.

Resta: Els dos vectors surten del mateix punt. El vector diferència comença allà on acaba el segon i acaba amb el primer.

VectorsExercici: Dels següents vectors, calcula u+v, w-z i a+b-c tant

analítica com gràficament.

TranslacionsUna translació de vector v és una transformació al pla fa correspondre a cada punt P un punt P'=P+v

TranslacionsUna translació conserva les distàncies i els angles, qualsevol distància o angle de la figura original mesura el mateix a la figura traslladada.

AB = A'B'

TranslacionsExercicis:

1. Calcula el vector que trasllada la figura A i la transforma en B.

2. Copia la figura A en un full quadriculat i realitza una translació de vector (4 , 3)

Girs

Un gir de centre O i radi α és una transformació al pla que fa correspondre a cada punt P un punt P' tal que l'angle POP'=α i OP=OP'

GirsUn gir conserva les distàncies i els angles, qualsevol distància o angle de la figura original mesura el mateix a la figura traslladada.

AB = A'B'

GirsExercicis:

1. Calcula l'angle que transforma la figura A en B mitjançant un gir de centre O.

2. Copia la figura B en un full quadriculat i realitza un gir de 45 graus amb centre O.

SimetriesUna simetria central, donat un punt O anomenat centre de simetria, transforma cada punt A per un punt A' equidistant a O i tal que A, O i A' estan alineats. Una simetria central és equivalent a un gir de 180º.

SimetriesUna simetria axial, donada una recta anomenada eix de simetria, transforma cada punt A per un punt A' equidistant a l'eix, i de forma que el segment AA' és perpendicular al mateix.

SimetriesUna simetria, ja sigui central o axial, conserva les distàncies i els angles, qualsevol distància o angle de la figura original mesura el mateix a la figura traslladada.

AB = A'B'

SimetriesExercicis:

Copia la figura, l'eix i el punt en un full quadriculat i realitza una simetria axial (amb l'eix e) i una central (amb el punt O).

Composició de movimentsRealitzar dues translacions successives de vectors u i v, és equivalent a realitzar una translació de vector u+v.

Composició de moviments

Realitzar dos girs successius d'angles α i β, amb el mateix centre, és equivalent a realitzar un gir d'angle α+β.

Composició de movimentsRealitzar dos simetries centrals successives amb el mateix centre transforma cada punt en si mateix.

Composició de movimentsRealitzar dos simetries centrals successives amb centre diferent és equivalent a una translació de vector v=2(OO'), on O i O' són els centres i OO' el vector que els uneix.

Composició de movimentsRealitzar dos simetries axials successives amb eixos paral·lels és equivalent a una translació de vector v=2u, on u és el vector trasllada un eix a l'altre.

Composició de movimentsRealitzar dos simetries axials successives amb eixos secants és equivalent a un gir de centre el punt de tall dels eixos i angle el doble del que formen els eixos.

Composició de movimentsA partir de combinacions de moviments al pla de diverses figures, es poden crear mosaics o frisos. Vegem-ne algun exemple: