Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica

Matematicas III (MAT 023)

Ayudantıa n◦1

1er Semestre de 2015

1. Sea T : M2(R)→ R3 la transformacion lineal definida por:

T

(x y

z w

)=(x + y + z + w, x− y + w, z + w

)(a) Calcule nucleo e imagen de T . Indique, ademas, la nulidad y rango de T .

(b) ¿(1,−2,−1) ∈ ImT? Justifique.

2. Considere T : R3[x]→ R2[x] la transformacion lineal definida por:

T(p(x)

)= p′′(x) + p′(x)

Si las bases de R3[x] y R2[x] son, respectivamente,

B ={

1, 1 + 2x, 3x + x2, x3}

y:

D ={

1, x, x + x2}

Calcule la matriz asociada[T]DB a la transformacion T .

3. Sean V y W los espacios generados por:

B =

{(1 −1

1 2

),

(0 1

0 3

),

(0 1

−1 1

)}⊆M2(R)

y:

D ={

1 + x− x3, x2 + x3, 1− x2}⊆ R3[x]

respectivamente. Considere T : V → W la transformacion lineal tal que:

[T]DB =

−1 −1 0

2 1 −1

−2 0 2

Calcule el nucleo, la imagen de T y sus bases respectivas. ¿Es T un isomorfismo? Justifique.

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