transformé de fourier discrète - imt
TRANSCRIPT
![Page 1: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/1.jpg)
Transformé de Fourier Discrète
![Page 2: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/2.jpg)
Transformée de Fourier Discrète (TFD)
La TFD d’un signal fini (SF) défini sur {0, … , 𝑁 − 1} est encore un SF défini sur {0, … ,𝑁 − 1} par :
𝑢 𝑘 = 𝑢𝑛𝑒−2𝑖𝜋
𝑘𝑁𝑛
𝑁−1
𝑛=0
On indexe 𝑢 par 𝑘, mais la fréquence des ondes correspondantes est 𝑘/𝑁
![Page 3: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/3.jpg)
Théorème d’inversion
La formule d’inversion est :
𝑢𝑛 =1
𝑁 𝑢 𝑘𝑒
2𝑖𝜋𝑘𝑁𝑛
𝑁−1
𝑘=0
Démonstration :
1
𝑁 𝑢 𝑘𝑒
2𝑖𝜋𝑘𝑁𝑛
𝑁−1
𝑘=0
=1
𝑁 𝑢𝑚𝑒−2𝑖𝜋
𝑘𝑁𝑚
𝑁−1
𝑚=0
𝑒2𝑖𝜋𝑘𝑁𝑛
𝑁−1
𝑘=0
=1
𝑁 𝑢𝑚 𝑧𝑘
𝑁−1
𝑘=0
𝑁−1
𝑚=0
Avec 𝑧 = 𝑒2𝑖𝜋𝑛−𝑚
𝑁
![Page 4: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/4.jpg)
Théorème d’inversion
Avec 𝑧 = 𝑒2𝑖𝜋𝑛−𝑚
𝑁 . On trouve donc facilement :
𝑧𝑘
𝑁−1
𝑘=0
= 𝑁𝛿𝑛−𝑚 ∀𝑛,𝑚, ∈ {0,1, … , 𝑁 − 1}
En remplaçant dans l’équation précédente on trouve :
1
𝑁 𝑢 𝑘𝑒
2𝑖𝜋𝑘𝑁𝑛
𝑁−1
𝑘=0
=1
𝑁 (𝑢𝑚𝑁𝛿𝑛−𝑚 )
𝑁−1
𝑚=0
= 𝑢𝑛
En outre termes, les 𝑢 (𝑘)
𝑁 sont les coefficients de la décomposition sur une
base de Fourier
![Page 5: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/5.jpg)
Propriétés classiques
𝑢 = 𝛿𝑚 ⇒ 𝑢 𝑘 = 𝑒−2𝑖 𝜋𝑚𝑁𝑘
ℱ 𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑢 𝑣
ℱ 𝑢𝑣 =1
𝑁𝑢 ∗ 𝑣
ℱ 𝜙𝑢 = 𝑢 𝑘 − 𝑘0 𝜙𝑛 = 𝑒2𝑖 𝜋𝑘0𝑁𝑛
ℱ 𝑢𝑚 = 𝑢 𝑘𝑒−2𝑖 𝜋
𝑚𝑁𝑛
Propriétés de symétrie
Convolution circulaire
Translation circulaire
![Page 6: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/6.jpg)
“Égalité” de Parseval
• Les ondes de Fourier sont orthogonales deux à
deux et de norme 𝑁 (voir démo invertibilité)
• On en déduit
𝑢 2 = 𝑢 𝑘2
𝑁−1
𝑘=0
= 𝑢𝑛𝑒−2𝑖𝜋
𝑘𝑁𝑛
𝑁−1
𝑛=0
𝑁−1
𝑘=0
𝑢 𝑚𝑒2𝑖𝜋𝑘𝑁𝑚
𝑁−1
𝑚=0
= 𝑢𝑛𝑢 𝑚
𝑁−1
𝑚=0
𝑁−1
𝑛=0
𝑒−2𝑖𝜋𝑘𝑁(𝑛−𝑚)
𝑁−1
𝑘=0
= 𝑁 𝑢 2
![Page 7: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/7.jpg)
Liens entre TFD et TFtD
• La TFD est la seule transformée calculable sur ordinateur.
• Nous allons voir comment une TFD peut approximer une TFtD sous certaines hypothèses
![Page 8: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/8.jpg)
Cas d’une suite à support fini
• On considere 𝑢 définie sur ℤ, et à support fini: 𝑢𝑛 = 0 ∀𝑛 ∉ {0,… ,𝑁 − 1}.
• Soit 𝑣 la restriction de 𝑢 à {0,… ,𝑀 − 1}, avec 𝑀 ≥ 𝑁,
𝑣 𝑘 = 𝑣𝑛𝑒−2𝑖𝜋
𝑘𝑀𝑛
𝑀−1
𝑛=0
= 𝑢 𝑘
𝑀
• Parfois 𝑣 est nommée TFD d’ordre M de la partie non nulle de 𝑢 (zero-padding)
• Donc avec un abus de langage, on peut parler de 𝑀-TFD d’une suite à support fini
![Page 9: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/9.jpg)
Cas d’une suite à support fini
• En changeant 𝑀 on peut échantillonner 𝑢 𝜈 si finement qu’on le souhaite
• Cela revient à effectuer un zero-padding
• Toutefois, il suffit d’avoir 𝑁 échantillons de 𝑢 𝜈 pour connaitre parfaitement 𝑢
𝑢 𝑘
𝑁𝑘∈{0,…,𝑁−1}
TFD−I 𝑢
TFtD𝑢 (𝜈)
• Peut-on généraliser ? Quand est-ce que des
échantillons pris avec pas 1
𝑁 permettent de
reconstruire une fonction de variable réelle ?
![Page 10: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/10.jpg)
Un signal sur Z et sa TFtD (à droite) Le support est {0, …, 59}
Exemple
![Page 11: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/11.jpg)
A droite: La TFD de taille 60 de la partie non nulle du signal.
Ici on a indexé par k.
Exemple
![Page 12: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/12.jpg)
A droite on a indexé par 𝑘/𝑀 et périodisé de 1 pour
revenir dans −1
2,1
2
Exemple
![Page 13: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/13.jpg)
Superposition de TFD et TFtD. Des que 𝑀 ≥ 𝑁 la TFD est un échantillonnage parfait de la TFtD
![Page 14: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/14.jpg)
• On observe 𝑁 échantillons d’une onde.
• On veut à partir de ces échantillons, trouver la fréquence de l’onde.
Détermination de la fréquence d’une onde
![Page 15: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/15.jpg)
Détermination de la fréquence d’une onde
∀𝑛 ∈ ℤ, 𝑢𝑛 = 𝑒2𝑖𝜋𝜈0𝑛 c-à-d., 𝑢 = 𝜙, OF à fréq 𝜈0
On peut observer seulement un nombre fini d’échantillon : on a
𝑢𝑇 = 𝜙𝑤
Ou 𝑤 est une suite à support fini {0, … ,𝑁 − 1}
Par exemple, 𝑤 est le créneau :
𝑤𝑛 = 1 si 𝑛 ∈ {0, …𝑁 − 1}
0 sinon
![Page 16: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/16.jpg)
• Calculons la TFtD de 𝑢𝑇 ℱ(𝑢𝑇) = ℱ 𝜙𝑤
= 𝑤 𝜈 − 𝜈0
On trouve facilement que
𝑤 𝜈 =sin 𝜋𝑁𝜈
sin 𝜋𝜈
Alors 𝜈0 est la position du pic de ℱ(𝑢𝑇)
Détermination de la fréquence d’une onde
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
𝑤 𝜈 pour N=20
![Page 17: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/17.jpg)
TFtD d’une onde de fréquence 0,123 tronquée à 20 échantillons.
![Page 18: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/18.jpg)
• Problème : on n’a pas 𝑢𝑇 , mais seulement ses échantillons de pas 1/𝑀
• La position du pic sera donc connue avec une précision liée à l’ordre de la TFD 𝑀 et non à la durée d’observation 𝑁
Détermination de la fréquence d’une onde
![Page 19: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/19.jpg)
• TFD d’ordre 30 (gauche) et 60 (droite) • La précision de la détermination de la fréquence est 1/𝑀 • On choisit le k pour lequel la TFD est maximale
![Page 20: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/20.jpg)
Séparation de deux ondes
• La durée de l’observation affecte la résolution en fréquence
• On considère un mélange deux ondes de Fourier, observé sur un nombre 𝑁 d’échantillons:
𝑢𝑛 = 𝐴0𝑒2𝑖𝜋𝜈0𝑛 + 𝐴1𝑒
2𝑖𝜋𝜈1𝑛
![Page 21: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/21.jpg)
𝑁 = 20. A gauche les deux TFtD, à droite la somme. On ne peut pas distinguer les ondes de fréquences
proches à moins de 1/𝑁 (ordre de grandeur)
Résolution fréquentielle:
![Page 22: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/22.jpg)
𝑁 = 60. On arrive maintenant à distinguer les deux ondes.
Résolution fréquentielle:
![Page 23: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/23.jpg)
• La TFD du mélange de 2 ondes est :
𝐴0𝑤𝑘
𝑀− 𝜈0 + 𝐴1𝑤
𝑘
𝑀− 𝜈1
• Si 𝐴0 = 𝐴1, les pics sont séparables si leurs lobes sont séparés d’une demi-amplitude
• L’amplitude du lobe dépend de la fenêtre : pour le
créneaux est 1
𝑁
• Alors la condition est: 𝑁 ≥1
|𝜈0−𝜈1|
Résolution fréquentielle:
![Page 24: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/24.jpg)
Problème des amplitudes très différentes, masquage et fenêtrage
• Pour remédier au problème de la résolution fréquentielle, il faut augmenter le nombre d’échantillons observés 𝑁, si possible.
• Ce ne dépende pas de l’ordre 𝑀 de la TFD
– Bien que on doive toujours avoir 𝑀 ≥ 𝑁
• Que se passe-t-il si les deux ondes ont des amplitudes très différentes?
![Page 25: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/25.jpg)
Gauche: TFtD des deux ondes. Droite: TFtD de la somme.
Les pics secondaires masquent la 2ème onde
![Page 26: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/26.jpg)
Le choix d’une fenêtre:
Haut: Fenêtre de Hamming. Bas: fenêtre créneau (taille 30 dans les deux cas).
![Page 27: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/27.jpg)
Gauche : TFtD d’un créneau de taille 30. Droite : TFtD d’une fenêtre de Hamming.
Le choix d’une fenêtre:
![Page 28: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/29.jpg)
Analyse en fréquence : résumé
• Détermination de la fréquence d’une onde de Fourier : précision = 1/𝑀
• Séparation de deux ondes de la même amplitude : Δ𝜈 ≥ 1/𝑁
• Séparation de deux ondes d’amplitude très différente : en fonction du rapport entre amplitude du lobe principale et secondaire
– Cela ne dépende pas de 𝑁 (cf. TD 1) mais de la forme de la fenêtre
![Page 30: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/30.jpg)
Le spectrogramme
• L’idée du spectrogramme est d’analyser localement le contenu fréquentiel d’un signal.
• Autour de chaque point du signal, on extrait une fenêtre dont on calcul la TFtD (par une TFD)
• Pour un signal u et une fenêtre w centrée en zéro :
∀𝑛 ∈ ℤ, ∀𝜈 ∈ −1
2,1
2, 𝑈 𝑛, 𝜈 = 𝑢𝑚𝑤𝑚−𝑛𝑒
−2𝑖𝜋𝜈𝑚
𝑚∈ℤ
En réalité en peut calculer uniquement les échantillons de 𝑈 𝑛, 𝜈 par TFD
∀𝑛 ∈ ℤ, ∀𝑘 ∈ {0,…𝑀 − 1}, 𝑈 𝑛,𝑘
𝑀= 𝑢𝑚𝑤𝑚−𝑛𝑒
−2𝑖𝜋𝑘𝑀𝑚
𝑚∈ℤ
![Page 31: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/31.jpg)
Le spectrogramme
• Pour 𝑛 (temps) fixé on a la formule
∀𝜈 ∈ −1
2,1
2, 𝑈 𝑛, 𝜈 = 𝑢𝑚𝑤𝑚−𝑛𝑒
−2𝑖𝜋𝜈𝑚
𝑚∈ℤ
• Elle signifie que 𝑈(𝑛, 𝜈) est la TFtD de 𝑢 multipliée par la fenêtre 𝑤 translatée de 𝑛 : analyse en fréquence aux alentours de l’instant 𝑛
![Page 32: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/32.jpg)
Le spectrogramme
• Pour une fréquence fixée on a la formule
𝑈 𝑛, 𝜈0 = 𝑢𝑚𝑤𝑚−𝑛𝑒−2𝑖𝜋𝜈0(𝑛−𝑚)𝑒−2𝑖𝜋𝜈0𝑛
𝑚
𝑈 𝑛, 𝜈0 = 𝑢𝑚𝑤𝑚−𝑛𝑒−2𝑖𝜋𝜈0 𝑛−𝑚
𝑚
= < 𝑢,𝜓𝑛 >
𝜓 = 𝑤𝜙𝜈0
Produit scalaire entre 𝑢 et 𝜓𝑛: similitude entre 𝑢 et une « onde » tronquée (autour de 𝑛) de fréquence 𝜈0
![Page 33: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/33.jpg)
Affichage des spectrogrammes
• Comme on a affaire à des signaux réels, le module de la TFtD est symétrique.
• L’axe du temps est l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦 est l’axe des fréquences (ici en Hz)
• On utilise une échelle logarithmique pour le module, sinon, certaines fréquences domineraient trop (c’est d’ailleurs l’échelle de sensibilité de l’oreille)
![Page 34: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemple
TFtD (gauche) et spectrogramme (droite) du même signal. La TFtD ne permet pas de savoir à quel moment arrive l’onde à 15000Hz.
![Page 35: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/35.jpg)
Observation du codage mp3 sur le spectrogramme
Piano: Original
![Page 36: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/36.jpg)
Observation du codage mp3 sur le spectrogramme
MP3: 128kbits/s
![Page 37: Transformé de Fourier Discrète - IMT](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062504/62b03abb2f7e09655d1e9589/html5/thumbnails/37.jpg)
Observation du codage mp3 sur le spectrogramme
MP3: 64kbits/s. Tout a diparu au-delà de 10000Hz. Cependant le codage MP3 n’est pas un simple passe bas.