LOJB  Página 1 

Transferencia Avanzada de Calor y Masa

1. Introducción A diferencia de la Termodinámica, las áreas de la transferencia de calor y masa tienen su acercamiento buscando la modelación considerando la razón de cambio de la transferencia con respecto al tiempo, la geometría del sistema en estudio es influyente y como tercer aspecto importante es el estado o régimen en que se lleva a cabo la transferencia (estacionario o no estacionario). Se iniciará este material con las tres formas o mecanismos básicos de transferencia de calor, las cuales comúnmente llamamos leyes. Sin embargo, es necesario aclarar que estas leyes o formas de transferencia se han desarrollado empíricamente mediante experimentación y comprobación de cumplimiento en consecuencia, no son leyes universales ya que existen materiales los cuales las cumplen con modificaciones o no cumplen sus aproximaciones por simplificación y consecuentemente requieren mayor experimentación. Estas formas o mecanismos básicos son los siguientes: Conducción de calor: Relación o Ley de conducción de Fourier (1.1) Convección de calor: Relación o Ley de convección de Newton (1.2) Radiación de calor: Relación o Ley de radiación (1.3) En las expresiones anteriores, k es la conductividad térmica del material, A es área de transferencia, h es el coeficiente individual de película convectiva o también llamado coeficiente de transferencia de calor por convección, σ es la constante de Stefan-Boltzman, ε es la emisividad, T es la temperatura y la q o bién qx son las transferencias de calor. Los mecanismos básicos de transferencia de calor se han clasificado principalmente por su forma de transmisión y la necesidad de un medio o no en su transmisión. En los tres mecanismos obviamente se requiere que existan diferencia de temperaturas. En la conducción, la transmisión de energía es fundamentalmente por efectos vibratorios de las partículas que conforman el material. En la convección, la transmisión de energía es fundamentalmente por efectos traslacionales de las partículas, es decir existen movimientos del fluido. En la radiación, la transmisión de energía no requiere algún material de “medio”, ésta se lleva a cabo aún en el vacio y es fundamentalmente transmitida mediante “cuantum” del espectro electromagnético y tiene asociado las longitudes de onda correspondientes del mismo espectro. La transferencia de masa tiende a ser un poco más complicada que la conducción o convección de calor, principalmente se debe lo anterior al hecho del manejo de mezclas de substancias en la transferencia. A semejanza de los procesos de transferencia de calor, se ha desarrollado la ley de Fick (1° ley de Fick de la difusión) que para un sistema binario de componentes A y B, su expresión es la siguiente. Difusión molar: Relación o Ley de Fick (1.4) Donde JA

* es el vector de densidad de flujo molar, DAB es la difusividad de A en B, c es la concentración y es el gradiente de fracción molar dado por el vector operador nabla.

LOJB  Página 2 

2. Conducción, Convección En esta sección se tratarán aspectos de conducción y convección, los cuales para su comprensión inicialmente se tratará la conducción y posteriormente se incluirá la convección. Considere el dibujo que a continuación se presenta en la figura 2.1, el material es un sólido isótropo y homogéneo con una cierta conductividad k, la dirección y sentido de la transferencia de calor es en el eje x de izquierda a derecha, su geometría representa una área transversal al flujo de calor A constante. Para su análisis se selecciona una sección transversal al eje x de espesor ∆x, este material tiene la posibilidad de ser un generador o sumidero de energía por cada unidad de volumen en donde es la energía por cada unidad de volumen y tiempo, Ce es el calor específico del material (al ser isótropo y homogéneo tiene el mismo valor en las direcciones, sin embargo puede verse modificado por la temperatura). Además el sistema puede estar en régimen no estacionario (variaciones de temperatura con respecto al tiempo t previo al equilibrio estacionario). Se desea obtener su ecuación diferencial para su modelación correspondiente.

Figura 2.1 Entrada = Salida = ∆ Producción = ∆

Acumulación = ∆ Un balance de energía siguiendo la forma tradicional de plantear los balances, obtenemos la expresión (2.1).

∆ ∆ ; ∆ ∆ ∆ ∆∆

; lim∆∆∆

(2.1) La expresión (2.1) es la ecuación diferencial que representa el sistema en estudio. En el enunciado de este planteamiento solo un dato se nombró que es constante, el área transversal A. Consecuencia de lo anterior en la ecuación diferencial (2.1) pueden obtenerse diferentes perfiles de transferencia de calor (q) y diferentes perfiles de temperatura (T). Algunas opciones de simplificación son las siguientes. Opción 1: Edo.Est. 0, con y .

Opción 2: Edo.Est. 0, con y k = f(T).

LOJB  Página 3 

Es obvio estimado lector que no son las únicas. En las opciones 1 y 2, las expresiones son las siguientes.

0 y (2.1.1)

0 y (2.1.2) Para la opción 1, el perfil de transferencia de calor es lineal y el perfil de temperaturas es cuadrático. Para la opción 2, el perfil de transferencia de calor continúa siendo lineal pero el perfil de temperatura ya es complicado y depende de la función f(T). No se pretende en esta sección inicial de conducción resolver a solución general ni su solución particular substituyendo condiciones fronteras. 2.1 Conductividades térmicas El mecanismo de conducción en los sólidos es el más ponderante sin embargo, en las fronteras del sólido pueden existir convección y radiación. Además el modelado conductivo anterior, no está limitado exclusivamente a sólidos, es posible utilizarlo en líquidos y gases con el adecuado ajuste para estos estados físicos. La siguiente figura 2.2 muestra las magnitudes de la conductividad para diversas substancias gaseosas, líquidas y sólidas.

Figura 2.2 Conductividades para diversas substancias gaseosas, líquidas y sólidas

LOJB

En no 2.3

Habaplantparsóli EjeSe desinfo

B 

general, lasmetálicos, a se observan

bitualmente icativo, sin

terior, se obsrtir de aproxido claro).

emplo No. 1:tiene una p

scrita en la ormación ob

s magnitudesaleaciones mn valores de

asignamos embargo es

serva una tenx 400°K) y

: placa de cob

figura 2.1.btenida se pr

s de las condmetálicas, me

la conductiv

Co

por simplifis necesario tndencia asceuna tendenc

bre de purez. Sus dimenesenta en la

ductividadesetales puros vidad en func

Fonductividad en

ficación la ctener claro qendente en lcia general d

za 99% cuyansiones sontabla 2.1.

s en orden cy por último

ción de la teFigura 2.3 n función de la

onductividadque realmenos gases, undescendente

a densidad en (LargoxAn

Tabla 2.1

creciente sono cristales nmperatura.

a temperatura

d constante nte es funcióna tendencia

en los sólid

es 8930 Kg/nchoxEspeso

n: gases, aislno metálicos

dentro del ón de la temdescendente

dos (excepto

/m3 a 0°C eor): 0.5m x

lantes, líquid. En la sigui

intervalo enmperatura. Ee en líquidoso en el cuar

en la forma x 0.25m x

Página 4

dos, sólidos iente figura

n el estudio En la figura s (el agua a rzo fundido

geométrica 0.10m. La

LOJB  Página 5 

Las temperaturas en las caras izquierda y derecha son 100°C y 20°C respectivamente. Las unidades del Ce son: kcal/(Kg*K); para la k son: kcal/(h*m*K). Se desean obtener los perfiles de transferencia de calor y temperatura bajo las siguientes condiciones: (a) Estacionario, 0 y k = CTE. (b) Estacionario,  3915.859836  y k = CTE. Solución para la condición (a): Una aceptable correlación para k es la siguiente: 298.05648 9371.1181 como puede observarse con lo siguiente: Obteniendo una km (k media) en la siguiente expresión:

326.321653 kcal/(h*m*K)

En consecuencia, la k = CTE = 326.321653 kcal/(h*m*K). Las ecuaciones diferenciales son: 0 (ec: 1a) 0 (ec: 2a) Las soluciones generales de ambas ecuaciones son: (ec: 3a) (ec: 4a) Substituyendo las condiciones frontera siguientes: x = 0.00 T = 373.15° K x = 0.10 T = 293.15° K Obtenemos: 32632.1653  373.15°  800  °

LOJB  Página 6 

Los perfiles de transferencia y temperatura son: 32632.1653 37939.4244 373.15 800 La tabulación y perfil de temperatura son los siguientes: Solución para la condición (b): Las ecuaciones diferenciales son: (ec: 1b) 0 (ec: 2b) Las soluciones generales de ambas ecuaciones son: (ec: 3b) (ec: 4b) Substituyendo las condiciones frontera siguientes: x = 0.00; T1 = 373.15° K; x = 0.10; T2 = 293.15° K Se obtienen las siguientes constantes:

.

.799.4  °

373.15° 

LOJB  Página 7 

Sin embargo, se requiere una condición frontera adicional la cual es obtenida a partir de la condición (a). Esta condición está justificada ya que la propia situación geométrica establecen fijas las temperaturas T1 y T2, en el lado derecho del sistema requerirá retirar mayor transferencia de calor para mantener dicha temperatura. x = 0.00 32632.1653 

32632.1653  Los perfiles de transferencia y temperatura son:

32632.1653 489.4824795

2 6 799.4 373.15 La tabulación y perfiles de transferencia y de temperatura son los siguientes:

LOJB  Página 8 

En la información inicial de este ejemplo No. 1 y en la Tabla (2.1) se reportan los cambios de Ce con respecto a la temperatura y la densidad de la placa de cobre. Los datos anteriores pueden ser de utilidad para estudios en estado no estacionario, es obvio que requerimos para estas condiciones transitorias la obtención teórica o experimental de la función de la temperatura con respecto al tiempo: T = f(t), esta es la razón por la cual no se utiliza dicha información en las condiciones (a) y (b) aplicadas. Para geometrías de tipo cilíndrica o tubo en donde la trasferencia de calor sea radial con r > 0, las ecuaciones diferenciales para la transferencia de calor y para la temperatura son las siguientes:

(2.2)

(2.3) Enfoque de similitud Resistencia-Potencial-Flujo (RPF) Como en todas las transferencias (cantidad de movimiento, eléctrica, difusión másica, difusión térmica y difusión energética), la modelación de las mismas conllevan tres partes esenciales estas son: Parte Resistiva, Parte Potencial y la Parte de Flujo. La parte potencial contiene una diferencia que provoca la transferencia, ésta parte siempre tiene una oposición que es la parte resistiva, lo anterior puede ser expresado mediante la siguiente proporcionalidad.

En los aspectos eléctricos dicha similitud esta representada por: , en el mecanismo de transferencia de

calor por conducción esta representada por: , en donde – representa la diferencia de

temperaturas o potencial, representa la parte resistiva a la transferencia conductiva o flujo . Configuraciones clásicas de resistencias en el sistema La resistencia en los procesos de transferencia puede ser tratada en forma similar a lo eléctrico, es decir “la resistencia resultante o total en un sistema serial es la suma de sus resistencias individuales”. En los sistemas en paralelo: “El recíproco de la resistencia total es igual a la suma de recíprocos de las resistencia individuales”. Lo anterior, es planteado en las siguientes expresiones.

∑ (2.4)

∑ (2.5) La expresión (2.4) representa la resistencia total en los sistemas en serie, la expresión (2.5) representa la resistencia total de los sistemas en paralelo.

LOJB  Página 9 

2.2 Convectividades térmicas El mecanismo de transferencia de calor convectivo se lleva a cabo principalmente por traslación de partículas, en consecuencia existe en los fluidos. La relación (1.2) planteada al principio de este documento, muestra su asociación con la transferencia de calor, sus expresiones diferenciales son las siguientes.

Relación diferencial de convección (2.6)

Relación para perfil de temperatura (2.7a) O bién:

Relación para perfil de temperatura (2.7b) Donde: h coeficiente de película convectiva, fuente o sumidero por cada unidad de tiempo y volumen, calor específico del fluido y densidad del fluido. Como el mecanismo convectivo se lleva a cabo en los fluidos, es más dificil valuar h en convección que la propia k en conducción. La presencia de fuente o sumidero se justifica exclusivamente para las transferencias de calor en las reacciones químicas homogeneas (reacciones que se llevan a cabo por unidad de volumen-tiempo) sin agitación forzada. La presencia de se justifica exclusivamente para el estado transitivo de inestabilidad. Un aspecto adicional a comentar es que en el proceso convectivo aplicado dentro de un campo gravitacional como la Tierra influye en los valores de h al ser colineal o transversal a la aceleración gravitacional (no será tratado en este documento). En forma simplificada, la mayoría de las veces es suficientemente preciso con la realidad consideraciones tales como: h = CTE, 0 y 0. Valores de coeficiente de película convectiva En general, existen dos tipos de convecciones “la convección libre o natural” y “la convección forzada”. Sin embargo, en los procesos de ebullición y condensación es especial el comportamiento convectivo, en la siguiente figura (2.4) se presentan los valores típicos de estos 3 procesos.

Figura No. 2.4 Valores típicos de h para los tipos de convecciones

LOJB  Página 10 

Como se observa, los coeficientes convectivos tienden a ser menores en los gases que en los líquidos. Ejemplo No. 2: Un alambre eléctrico sin aislamiento de 2 m de longitud y 0.003 m de diámetro se encuentra extendido en un cuarto cuya temperatura ambiente es de 15° C y es medida la temperatura en la superficie del alambre cuando logra su estado estable de 152° C. Por el alambre circula una corriente de 1.5 amper y entre sus extremos existe una diferencia de potencial eléctrico de 60 volts, despreciando pérdidas por radiación y considerando que todas las pérdidas de calor son debidas al efecto convectivo, calcular su coeficiente de transferencia.

La cantidad de energía perdida por transferencia convectiva es: 60 1.5 90 . En consecuencia, el coeficiente de transferencia h es:

425.15 288.15 ° 34.8514 °

El coeficiente de transferencia convectivo obtenido aquí representa la media de h. Además se ha supuesto que no existe radiación infrarroja, visible o ultravioleta en el alambre, en consecuencia el resultado tiende a ser mayor que el coeficiente convectivo medio real. El valor q de este ejemplo debe desglosarse en el convectivo y el dado por la radiación, su expresión sería la siguiente: . Números adimensionales de ayuda para la estimación de h medio Existen una gran diversidad de números adimensionales que nos ayudan a la estimación de coeficientes, tanto de transferencia de calor como de transferencia de masa. En este momento del documento serán nombrados los principales en el mecanismo de transferencia de calor convectivo.

   á

: Reynolds, velocidad, x longitud, viscosidad dinámica.

: No. de Biot, h Coef.Convectivo, k Coef.Conductivo, s dimensión característica.

: No. de Nusselt, h Coef.Convectivo, k Coef.Conductivo, x longitud característica.

: No. de Fourier, α Difusividad Térmica, t tiempo, x dimensión característica.

Donde la difusividad térmica es:   

á . En los casos en que tenemos velocidad del fluido, la convección esta fuertemente relacionada con la transferencia de cantidad de movimiento y el esfuerzo cortante dado en las capas laminares por la viscosidad.

LOJB  Página 11 

En la siguiente figura (2.5), se muestran las tres regiones de capas laminar, transición y turbulencia de un fluido cuya velocidad (V corbada) inicial, entra en la zona de fricción o viscosidad 0, el perfil de velocidad creado con la variable u en el dibujo. En la zona de capa límite laminar el perfil de u tiende a ser de forma semejante a la parábola. En la zona de transición dicho perfil es destruido, sin embargo en la zona de capa de límite turbulento se reconforma y se observan tres zonas verticales que son: Subcapa laminar, subcapa buffer o estabilizadora y la subcapa netamente turbulenta, haciendo un perfil de velocidades u prácticamente plano o chato, estas tres subcapas conforman el espesor δ de la capa límite de turbulencia.

Figura No. 2.5 Regiones de capa laminar, transición y turbulencia en un fluido sin convección

La relación o ley que permite el estudio de la transferencia de momentum o cantidad de movimiento es la relación o ley de Newton de la viscosidad, la cual es la siguiente.

Relación o Ley de Viscosidad de Newton (2.8) Donde es el esfuerzo cortante ejercido en el eje x, provocado por las fuerzas de fricción entre las capas de partículas del fluido en el eje y, sus unidades son

á  . La viscosidad dinámica es una medida de

las fuerzas de fricción presentes entre las capas de partículas adyacentes del fluido, sus unidades son . El término representa la derivada de la velocidad en x con respecto al eje y. La misma

relación de viscosidad, frecuentemente aparece con un signo negativo involucrado por la posición geométrica que se tome como referencia para el modelado o bién el sentido de la velocidad. Es necesario aclarar que frecuentemente se simplifica (fuerza/área) con unidades que habitualmente utilizamos para mediciones de presiones, el área en el esfuerzo cortante NO ES TRANSVERSAL A LA FUERZA. La relación de viscosidad de Newton, sirve para definir el concepto de viscosidad dinámica , mediante la expresión siguiente.

o bién  

(2.8.1)

LOJB  Página 12 

Cuando la viscosidad dinámica tiende a ser constante en el fluido estudiado, decimos que es un fluido newtoniano ya que el perfil de velocidades tiende a ser lineal, ejemplo de estos fluidos son: (a) en general la mayoría de los líquidos tales como agua, aceites etc. (b) algunos gases a condiciones estándares tales como aire, N2, O2, CO2 siempre y cuando sean en sistemas isotérmicos. Cuando no se cumple lo anterior, decimos que es un fluido no-newtoniano, ejemplo de estos fluidos son: (c) fluidos orgánicos tales como la sangre, fluidos de lípidos en suspensión. (d) fluidos producto de polimerizaciones. (e) fluidos en suspensión coloidal de la industria alimentaria etc. Un concepto empírico-experimental más útil en la medición de la viscosidad dinámica , es el concepto de viscosidad cinemática que se obtiene mediante la expresión.

Viscosidad Cinemática (2.8.2) Ya que en general, existe la tendencia a decrecer al aumentar la temperatura en los líquidos y la tendencia a incrementar al aumentar la temperatura en los gases y por otro lado, la expresión (2.8.1) es difícil de valuar experimentalmente, existe un razonable acercamiento en la medición del esfuerzo cortante sobre la superficie colineal usando la energía cinetica del fluido, mediante las expresiones (2.8.3) y (2.8.4).

V La V es la V corbada de la figura (2.5) (2.8.3)

V Fuerza de fricción (2.8.3) El término representa el coeficiente de fricción. En la siguiente figura (2.6) se muestran valores de la viscosidad dinámica para algunos fluidos a 1 atm de presión y 20°C (al menos que se establezca alguna otra condición).

Figura No. 2.6 Viscosidades de algunos fluidos

LOJB  Página 13 

Interpretación de algunos números adimensionales Número de Nusselt: Este número asocia la transferencia de calor convectivo por unidad del área de transferencia, con respecto a la transferencia de calor conductivo por unidad del área de transferencia. Sea

∆ la transferencia convectiva por unidad de área, sea ⁄∆ ⁄ la transferencia conductiva por unidad de área. Se ha establecido que , en consecuencia la

trasferencia de calor q es en el sentido de arriba hacia abajo (en la figura (2.7) aparece como ). Se estableció este sentido de la q para que el campo gravitacional terrestre no genere movimiento del fluido ascendente provocado por cambios de densidad. Figura No. 2.7 La figura (2.7) representa un fluido colocado entre dos placas térmicas, la superior a T2 y la inferior a T1. La velocidad del fluido de izquierda a derecha tiene valor de cero (fluido en reposo). El número de Nusselt esta representado por la expresión. ∆

∆ (2.9)

En la condición del fluido en reposo de la figura (2.7), no está existiendo movimiento del fluido por dos razones, el fluido se encuentra en reposo aún sin diferencia de temperaturas, la segunda se cuidó que la placa caliente se encuentre en la parte superior, la reducción de valor de su densidad no genera movimiento. Lo anterior representa que la transferencia de calor debe llevarse a cabo exclusivamente en forma conductiva es decir, el número de Nusselt esperado es igual a 1 o expresado en forma de igualdad: . En general un número de Nusselt mayor que 1 representa el mejoramiento de la transferencia de calor q por el efecto combinado de conducción y convección, mientras mayor sea el número de Nusselt la convección beneficia la transferencia de calor. Número de Prandtl: Este número representa los espesores relativos de las capas límites hidrodinámica y térmica, se expresa mediante la razón de la difusividad molecular del momentum o cantidad de movimiento entre la difusividad molecular térmica mediante la expresión (2.10) siguiente.

         é

(2.10) Figura No. 2.8 Los rangos típicos del número de Prandtl estan presentados en la figura (2.8). Se puede observar que estos rangos varian aproximadamente desde 4X10-3 hasta 1X10+5. En los aceites y la glicerina (propanotriol) dominan fuertemente los efectos de capacidad de almacenamiento energético y efecto viscoso. En los gases y metales líquidos domina el efecto conductivo.

LOJB  Página 14 

Número de Reynolds: Este número permite definir el régimen o región (laminar, transitorio o turbulento) que un fluido contenga en cierto momento o estado con respecto a diversas condiciones tales como: (a) geometría de la superficie, (b) rugosidad de superficie, (c) velocidad del fluido libre (V corbada de la figura 2.5), (d) temperatura de superficie y (e) tipo de fluido. El régimen o región del flujo depende principalmente de la relación de fuerzas que el propio fluido contenga en cierto momento. Esta relación define el número de Reynolds de la siguiente forma.

  

⁄⁄ La V es la V corbada de la figura (2.5) (2.11)

A valores pequeños del número de Reynolds (Re), las fuerzas viscosas del fluido mantienen el movimiento en forma de línea (laminar), sin embargo para números mayores del Re, las fuerzas viscosas no logran mantener el movimiento en forma de línea. Consecuencia de lo anterior, existe una región de rupturas graduales de las lineas laminares conocido como régimen transitorio (ver figura 2.5), en este régimen todavía existen partes laminares y partes destruidas, este régimen es inestable porque se forman fracciones de remolinos en forma aleatoria. A valores del Re grandes, puede predecirse la total ausencia del movimiento en forma de línea y es substituido fundamentalmente por un perfil de velocidades plano que corresponde a la velocidad V corbada de la figura (2.5). Número de Reynolds crítico Existen diversas cartas gráficas las cuales cada una contiene condiciones y geometrías diferentes, en consecuencia el número de Reynolds crítico depende de las condiciones descritas en el párrafo anterior (a), (b), (c), (d) y (e). Para las condiciones de plato plano descrito con la figura (2.5) el Re crítico generalmente aceptado es del orden de 5x105, en donde podemos considerar inicio del régimen turbulento. Para tratamientos de trasferencia de momentum y calor simultáneamente, refiérase al capítulo 6, secciones 6, 7 y 8 del libro “Heat and Mass Transfer, Yunus A. Cengel”. 3. Radiación El mecanismo de transferencia de calor por radiación conlleva algunos conceptos básicos iniciales, que son necesarios recordar en el presente documento. La velocidad de propagación de la luz en el vacío es constante e igual a: 2.99792458 10   . La expresión que relaciona la velocidad de propagación de la luz en algún medio físico, con la longitud de onda y su frecuencia es la siguiente.

(3.1) Donde es la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas (o luz) en algún medio físico, es la longitud de onda y es la frecuencia, sus unidades son: , longitud y .   respectivamente. La frecuencia de la onda electromagnética (o luz), sólo depende de la fuente emisora y es independiente del medio que la luz atraviese.

LOJB  Página 15 

Cuando la luz atraviesa algún medio físico, decrece su velocidad en consecuencia reduce su longitud de onda cumpliendo la expresión (3.1), esta es la razón que los diversos materiales contengan índices de refracción. Las expresiones (3.1.1) y (3.1.2) muestran sus relaciones.

(3.1.1)

(3.1.2) La energía asociada con alguna cierta frecuencia de onda electromagnética se obtiene mediante la siguiente expresión.

es la constante de Planck h = 6.6256 x 10-34 Js (3.2) La siguiente figura (3.1) muestra las magnitudes de las longitudes de onda de la luz en el vacío.

Figura No. 3.1 Espectro de ondas electromagnéticas de la luz

en el vacío

LOJB  Página 16 

4. Transferencia de masa 5. Intercambiadores de Calor 6. Técnicas generales de ahorro de energía en intercambios de calor 7. Referencias de consulta