4) Atendendo as condies de contorno temos:

(x,y,z) = 0 em x=0,y=0 e z= 0

(x,y,z) = 0 em x=L,y=L e z=L

Como o problema descrito refere-se ao clculo da partcula no interior do poo temos

que o V(x,y,z) = 0, ou seja , a energia potencial nula.

Aplicando a solues separveis ento:

(x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z)

Atravs desse raciocnio obtemos a equao:

h2

2 2

+

2

+

2

=

Podemos verificar anteriomente o uso de derivadas parciais, transformaremos ela em

derivadas ordinrias:

h2

2

+

+

=

Ento analisando o caso acima:

+

+

Somado a mais duas constantes h e mresultando tambm em uma constante E,

isso s poderia ocorrer se as fraes resultassem uma constante. Logo chamaremos:

= 1

= 2

= 3

Onde:

X(x) = A sen + B cos

Y(y) = C sen + D cos

Z(z) = E sen + F cos

Substituindo a condio a seguir nas funes cosseno temos:

(x=0) = X(x=0) . Y(y) . Z(z) = 0

X (x=0) B= 0

Y(y=0) D=0

Z(z=0) F=0

Verificando as dependncias de seno:

(x=L) = X(x=L) . Y(y) . Z(z) = 0

A sen = 0

Onde A no pode ser igual a zero seno a funo seria nula.

Ento nos resta = (onde representa um nmero mltiplo de )ou seja

=

Utilizando o mesmo raciocnio para (y=L)= 0 e (z=L)=0 teramos =

e

=

, assim podemos definir que (x,y,z) = A Sen Sen Sen , possui

forma semelhante a do item 1.7.

Tomando o item 1.7 e substituindo na equao 1.4 (lembrando que a energia potencial

nesse caso nula), temos:

E = h 2

12 + 2

2 + 32

6) Podemos reescrever a equao 1.25 para um tomo com um eltron como:

h2

. 1

2 .

.

h2

2 2 .

1

.

.

.

+

1

2 .

2

2

. =

E

Para simplificar o procedimento vamos escrever:

= , =

, =

2 , =

Na primeira parcela temos na equao o primeiro termo como:

1

2 .

. .

=

1

2 . .

1

2 .

. 2

=1

2 . .

2

.

+

=

1

2 . .

2

. 1 2 1

4 .

2

= 1

2 .

2

2 +

4 .

2

Na Segunda parcela temos:

1

.

. .

+

1

.

= .

1

.

.

= AR . 1

.

. 2 = -2AR Cos = -2

Notamos que a funo Y() esfrico com l(l+1)=2, ou seja l=1. O

nmero quntico m=0 por Y no depende de .

Levando os resultados para Equao de Schrodinger,

h

2 .

1

2 .

.

2

h

2 . .

+

1

.

. =

2

h2 temos;

1

2 . .

2

2 + /4 .

2 + 2. .

1

22

2

2

h .

.

2 =

2

h .EAYu

2

h

2 ,

reescrevemos tudo como:

1

. .

2

2 +

4 + 2 .

1

2

. =

2

h .

.

2

Que podemos simplificar para:

1

4 . =

2

h

A equao satisfeita,portanto para E = h

2 .

1

4=

2 .

1

4 , onde a funo onda

corresponde ao estado de um tomo de um eltron com nmeros qunticos n=2,l=1 e

m=0.