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trabalho dado no curso de engenhariaTRANSCRIPT
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Índice1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................2
2 DEFINICÕES......................................................................................................................................3
2.1 Definição.....................................................................................................................................4
2.2 Classificação dos sistemas não lineares.......................................................................................5
2.2.1 Linearização de modelos matemáticos não lineares.............................................................6
2.2.2 Não linearidades inerentes e Não linearidades intencionais.................................................8
2.3 Exemplo pratico de um sistema não linear.................................................................................16
3 FUNÇÕES DISCRETAS..................................................................................................................20
3.1 Tipos de sinais...........................................................................................................................21
3.1.1 Sinal analógico...................................................................................................................21
3.1.2 Sinal discreto no tempo......................................................................................................21
3.1.3 Sinal amostrado.................................................................................................................21
3.1.4 Sinal digital........................................................................................................................21
3.2 Amostragem..............................................................................................................................21
3.3 Modelagem e resposta de sistemas discretos.............................................................................23
3.4 Equações diferença....................................................................................................................23
3.5 Função de transferência discreta................................................................................................23
3.5.1 Obtenção da função de transferência discreta....................................................................25
3.6 Álgebra de blocos......................................................................................................................27
3.6.1 Associação em cascata.......................................................................................................28
3.6.2 Associação em paralelo......................................................................................................29
3.6.3 Malha Fechada...................................................................................................................30
4 CONCLUSÃO...................................................................................................................................32
5 BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................................33
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1 INTRODUÇÃO
Muitas relações entre quantidades físicas não são muito lineares, embora frequentemente sejam
aproximadas por equações lineares, principalmente pela simplicidade matemática. Esta
simplificação pode ser satisfatória desde que as soluções resultantes estejam de acordo com os
resultados experimentais.Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser
linear ou não linear.
O controle de sistemas dinâmicos não lineares pode se tornar uma tarefa de grande
complexidade, em função das características e não linearidades do sistema a ser controlado.
Existem na literatura diversos métodos/algoritmos de controle para esse tipo de sistema, em sua
grande maioria baseados em simplificações e linearizações do modelo não linear.
O constante crescimento da capacidade computacional disponível, cria uma motivação para a
aplicação de técnicas relativamente novas de inteligência computacional ao problema de controle
por meios menos convencionais.
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2 DEFINICÕES
Sistemas lineares são descritos por equações lineares que se assemelham à equação de uma
recta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o quadrado, ou o cubo, ou o seno
ou ainda a função exponencial das variáveis de estado. Se o sistema for linear, os coeficientes da
equação linear podem ser constantes (sistema a parâmetros constantes) ou então variar
lentamente no tempo (sistemas variantes no tempo). Se os coeficientes variam rapidamente no
tempo, é muito provável que este sistema não seja linear.
Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apenas em determinados instantes de
tempo. Eles podem, eventualmente, ser modelados por funções contínuas. A propriedade discreta
pode tanto estar no próprio sistema quanto na forma de se medir o sistema. Se a medição for
discreta, a intervalos regulares no tempo, este sistema é considerado discreto. Exemplos de
sistema discretos são: o número de habitantes contaminados a cada ano pelo vírus da gripe, a
temperatura máxima do dia observada durante um ano num dado local, etc.
Se um sistema dinâmico contínuo for simulado num computador, ele passa a ser discreto, uma
vez que é impossível obter o valor do estado a cada instante de tempo, mas somente nos pontos
calculados pelo computador. Na prática, porém, considera-se que o cálculo efectuado pelo
computador é preciso o suficiente para que o sistema possa ser admitido como contínuo.
Sistemas contínuos no tempo são aqueles nos quais é possível conhecer o estado a qualquer
instante de tempo. Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser linear ou
não linear. Sistemas lineares são descritos por equações lineares (definidas logo a seguir) que se
assemelham à equação de uma recta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o
quadrado, ou o cubo, ou o seno ou ainda a função exponencial das variáveis de estado.
Se o sistema for linear, os coeficientes da equação linear podem ser constantes (sistema a
parâmetros constantes) ou então variar lentamente no tempo (sistemas variantes no tempo). Se os
coeficientes variam rapidamente no tempo, é muito provável que este sistema não seja linear.
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3. SISTEMAS NÃO LINEARES
O Controle não-linear constitui a análise e projecto de controle de sistemas não lineares, isto é,
sistemas de controle contendo ao menos uma componente não-linear. Na análise objectiva-se
determinar as características do comportamento do sistema. Já no projecto, a tarefa é construir
um controlador, para uma planta não-linear, de modo que o sistema controlado atenda a
requisitos previamente estabelecidos. Na prática as tarefas de projecto e análise estão
interconectadas, pois o projecto de sistemas de controle não lineares usualmente envolve
processos iterativos de análise e projecto (Slotine e Li, 1991). Não existem, contudo, métodos
gerais de análise de sistemas não-lineares. De fato, trata-se de uma classe de sistemas definida
através de uma negação, isto é, sistemas não-lineares são, simplesmente, todos aqueles que não
são lineares.
2.1 DefiniçãoUm sistema é não linear se a ele não se aplica o princípio da superposição. Assim, nos sistemas
não lineares a resposta a duas entradas não pode ser calculada tratando-se uma entrada de cada
vez e adicionando-se os resultados.
Diferentemente dos sistemas lineares, as características de resposta de sistemas não-lineares
dependem, de alguma forma, da entrada. Assim, o desenvolvimento de um método geral para
análise ou projecto de sistemas não-lineares é impossível. Todavia, é possível desenvolver
métodos de análise que se aplicam a classes restritas de nãolinearidades, e estender estas técnicas
conhecidas a uma gama maior de sistemas (Gibson, 1963). Embora dificultoso, existem várias
razões para o estudo de sistemas decontrole não-lineares. Dentre estas razões,pode-se citar:
A melhoria do desempenho decontroladores e
A análise de não-linearidades com descontinuidades.
Modeloslinearizados assumem que o sistema opera na vizinhança próxima a um ponto
deoperação. Caso esta condição não seja válida os controladores lineares têm desempenhopobre
ou não garantem a estabilidade.
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Existem algumas não-linearidades que, devido a sua natureza descontínua, não podem ter seus
efeitos representados por aproximações lineares como por exemplo:
Atrito de Coulomb,
Saturação,
Zona-morta,
Folga e histerese.
Contudo, um sistema com não-linearidades descontínuas pode serlinearizado dependendo da
extensão dos efeitos destas não-linearidades (Slotine e Li, 1991). São exemplos de equações
diferenciais não lineares os a baixo mostrados:
d2 xdt2
+¿
d2 xdt2 + (x2−1 ) dx
dt+x=0
d2 xdt2 + dx
dt+x+ x3=0
Assim métodos de análise de sistemas não-lineares devem ser desenvolvidos para prever o
desempenho de sistemas na presença deste tipo de não-linearidades, pois, frequentemente, estes
tipos de não-linearidades causam comportamentos indesejados em sistemas de controle, como,
instabilidade e ciclo-limite, se não forem compensados devidamente. Além disso os sistemas
físicos são inerentemente não-lineares, e então, decerta forma, todos os sistemas de controle são
não-lineares.
2.2 Classificação dos sistemas não linearesAs não-linearidades podem ser classificadas por:
Suas propriedades matemáticas:
o Contínuas ou descontínuas, que são comumente encontradas em sistemas de
controle;
Como inerentes ou intencionais.
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2.2.1 Linearização de modelos matemáticos não linearesO processo de linearização de sistemas não lineares é importante, pois através da linearização de
equações não lineares é possível aplicar numerosos métodos de análise linear que produzirão
informação sobre o comportamento do sistema não linear considerado. O procedimento de
linearização apresentado a seguir é baseado na expansão da função não linear em serie de Taylor,
em torno do ponto de operação, com a retenção apenas do termo linear. Em virtude de serem
desprezados os termos de ordem mais alta da expansão em serie de Taylor, estes termos devem
ser suficientemente pequenos, isto é, os valores das variáveis se desviam apenas ligeiramente da
condição de operação.
2.2.1.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não lineares
Para se obter um modelo matemático linear de um sistema não linear supõe-se que os valores das
variáveis mudam muito pouco em relação a alguma condição de operação. Considere-se um
sistema cujo valor instantâneo do sinal de entrada seja x (t) e o valor instantâneo do sinal de
saída seja y (t ). A relação entre y (t ) e x (t) é dada por:
y=f (x )
Se a condição de operação normal corresponder a x , y , então a equação acima pode ser
expandida em serie de Taylor, em torno desse ponto, como se segue:
y=f (x )
¿ f ( x )+ dfdx
( x−x )+ 12!
d2 fdx2 ¿
Onde as derivadas dfdx
,df 2
dx2 …. São calculadas parax=x. Se a variação x−x for pequena, pode-se
desprezar os termos de maior ordem emx−x. A equação anterior pode ser escrita:
y= y+k (x−x )
Onde
y=f (x )
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k= dfdx|x=x
Que esta pode ser escrita como
y− y=k (x−x)
O que indica que y− y é proporcional a x−x a equação acima fornece um modelo matemático
linear para o sistema não linear descrito pela inicial acima, valido nas proximidades do ponto de
operação x−x, y− y.
Seja, um sistema não linear cuja grandeza de saída y é função de duas grandezas de entrada x1ex2
, de modo quey=f (x1 , x2).Pode-se obter uma aproximação linear deste sistema não linear
expandindo-se a equação anterior em serie de Taylor, em torno do ponto de operação x1 , x2. A
equação acima torna-se, então:
y=f (x1 , x2 )+[ ∂ f∂ x1(x1−x1 )+ ∂ f
∂ x2
(x2−x2)]+ 12 ! [ ∂2 f
∂ x12 (x1−x1)
2+2∂2 f
∂ x1∂x2(x1−x1 ) (x2−x2 )+ ∂2 f
∂ x22 (x2−x2)
2]+…Onde as derivadas parciais são calculadas emx1=x1, x2=x2. Perto do ponto de operação normal,
os termos de ordem mais alta podem ser desprezados. O modelo matemático linear deste sistema
não linear nas vizinhanças da condição de operação normal é então dado por:
y− y=k1 (x1−x2 )+k2(x2−x2)
Onde
y=f (x1 , x2)
k 1=∂ f∂ x1
|x1=x1, x2=x2
k 2=∂ f∂ x2
|x1=x1, x2=x2
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A técnica de linearização apresentada é valida nas vizinhanças da condição de operação. Se,
contudo, as condições de operação variarem amplamente, tais equações linearizadas deixam de
ser adequadas, devendo-se tratar directamente as equações não lineares.
2.2.2 Não linearidades inerentes e Não linearidades intencionais
2.2.2.1 Não-linearidades inerentes
São aquelas que existem naturalmente nos sistemas.Usualmente estas não-linearidades causam
efeitos indesejáveis aos sistemas, devendoser compensadas apropriadamente. Alguns exemplos
de não linearidades inerentes são:saturação, zona-morta, histerese, folga, atrito estático, atrito de
Coulomb e outros tiposde atrito não-lineares, mola não-linear, compressibilidade de um fluido,
etc.
Na prática, muitos sistemas electrodinâmicos, hidráulicos, pneumáticos etc., envolvem relações
não lineares entre as variáveis. Por exemplo a saída de um componente pode saturar para sinais
grandes na entrada. Pode haver, por outro lado, uma zona morta que afecta os sinais pequenos. (a
zona morta de um componente é um pequeno intervalo de valores de sinal de entrada ao qual o
componente é insensível). Não linearidades do tipo lei quadrática podem ocorrer em alguns
componentes. Por exemplo, amortecedores utilizados em sistemas físicos podem ser lineares em
operações a baixa velocidade, mas podem tornar-se não lineares nas altas velocidades, com uma
força amortecedora proporcional ao quadrado da velocidade de operação. Exemplos de curvas
características para estas não linearidades são indicados a seguir:
Figura 1:
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É de se notar que alguns sistemas de controlo importantes são não lineares independentes dos
valores dos sinais de entrada. Por exemplo, em sistemas de controlo liga – desliga (on-off), a
acção de controle ou é liga ou é desliga, e não há uma relação linear entre a entrada e a saída do
controlador.
2.2.2.2 Não-linearidades intencionais
São aquelas introduzidas deliberadamente emum sistema para melhorar seu desempenho ou
simplificar sua construção. Um exemplosimples de um sistema não-linear intencional é um
sistema operado convenientementepor relé.As técnicas de análise de sistemas não-lineares são
importantes por várias razões. Primeiramente, a análise teórica tem, quase sempre, o menor custo
dentre osmétodos de estudo do comportamento de um sistema.
Da mesma forma, a simulação desistemas não-lineares, embora muito importante, deve sempre
ser guiada pela teoria,caso contrário há o risco de se produzir resultados enganosos,
principalmente devido aofacto de sistemas não-lineares se comportarem das mais variadas
formas dependendo dascondições iniciais e da entrada. Outros, métodos de projecto usualmente
são baseadosem técnicas de análise e, por último, as técnicas de análise são utilizadas para
avaliar oprojecto dos sistemas de controle e sugerir modificações em caso de
desempenhoinadequado.
Em sistemas de controle não-lineares a análise no domínio do tempo ou da frequência não são
utilizadas, já que geralmente é impossível encontrar soluçõesanalíticas directas para as equações
diferenciais não-lineares, e transformações para odomínio da frequência não se aplicam (Gibson,
1963 e Slotine e Li, 1991). Devido adificuldade de análise em sistemas não-lineares, vários
métodos têm sido propostos.Dentre eles, pode-se citar:
A análise pelo plano de fase,
A teoria de Lyapunove
O método do primeiro harmónico.
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2.2.2.2.1 O plano de fase
É um método gráfico para estudar equações não-lineares de segunda ordem, e consiste em
resolver graficamente a equação diferencial não-linear. O resultado é uma família de trajectórias
no plano, chamado de plano de fase, que nos permite visualizar características do sistema. Este
método é mais indicado para sistemas de segunda ou primeira ordem, ou ainda para dinâmicas
que possam ser representadas no plano (x , x ), Já que o estudo de sistemas de ordens mais
elevadas é mais complexo, tanto computacionalmente como geometricamente. Por outro lado,
devido a sua forma gráfica, é frequentemente usado para prover informações intuitivas sobre o
comportamento dos sistemas não-lineares (Slotini e Li, 1991).
2.2.2.2.2 A teoria de Lyapunove
Consiste de dois métodos, o directo e o indirecto. O método indirecto, ou método de
linearização, afirma que as propriedades de estabilidade de um sistema não-linear na vizinhança
de um ponto de equilíbrio são, essencialmente, as mesmas daquelas da aproximação linearizada.
Este método serve como uma justificativa teórica para o uso de controle linear em sistemas
físicos, que são inerentemente não-lineares.
O método directo é uma generalização dos conceitos de energia associados a sistemas
mecânicos, isto é, um sistema mecânico é estável se sua energia mecânica total decresce ao
longo do tempo. A ideia é construir uma função escalar (função de Lyapunov) semelhante a uma
função de energia, e verificar se esta função decresce. Este método é aplicável a qualquer sistema
de controle, sem restrição. Contudo, sua limitação reside no fato de normalmente ser difícil
encontrar uma função de Lyapunov para um dado sistema. Embora o método directo refira-se à
análise de estabilidade, pode ser aplicado no projecto de sistemas de controle não-lineares.
A ideia básica é construir uma função escalar positiva dos estados do sistema e, então, escolher a
lei de controle que faça esta função decrescer. Isto garante que o sistema de controleprojectado é
estável. O método directo também pode ser usado para estimar o desempenho de sistemas de
controle e em estudos de robustez.
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2.2.2.2.3 O método do primeiro harmónico ou função descritiva
É uma técnica de aproximação para o estudo de sistemas não-lineares. A ideia básica é
aproximar o componente não-linear por um linear equivalente e, em seguida, utilizar técnicas do
domínio da frequência para analisar o que foi obtido. Ao contrário do método do plano de fase, o
método do primeiro harmónico não é restrito a sistemas de segunda ordem.
Da mesma forma que a teoria de Lyapunov, cuja aplicabilidade a um sistema depende do sucesso
da busca, por tentativa e erro, de uma função de Lyapunov, a aplicação do método do primeiro
harmónico é simples, devendo satisfazer algumas condições fáceis de serem verificadas. O
método do primeiro harmónico é usado, principalmente, na determinação da existência de ciclos-
limite em sistemas não-lineares. Outras aplicações são a previsão da existência de componentes
sub-harmónicos na resposta de um sistema com excitação senoidal.
O método tem várias vantagens. Por exemplo, pode lidar igualmente com sistemas de baixa ou
alta ordem. Outros, devido a sua similaridade com a análise no domínio da frequência de
sistemas lineares, é conceitualmente simples e atraente por favorecer intuições do ponto de vista
físico do sistema decontrole. Além disso, trata de não-linearidades descontínuas, como folga e
histerese. Desta forma, o método do primeiro harmónico é importante em problemas práticos em
análise e projecto de sistemas de controlenão-lineares (Slotine e Li, 1991).
As desvantagens deste método estão ligadas ao fato de ser uma aproximação, o que pode
provocar resultados com pouca precisão, ou mesmo falsos (se certas condições não forem
satisfeitas.) Por último, o método tem dificuldade de lidar com elementos não-lineares em
cascata (Gibson, 1963; Slotine e Li, 1991; Ogata, 1993).
2.2.2.2.4 Método do Primeiro Harmónico
O método de resposta em frequência é uma técnica importante para a análise e projecto de
sistemas de controle lineares. É baseado na descrição de um sistema linear por uma função
complexa, ao invés de uma equação diferencial. Contudo, a análise nodomínio da frequência não
pode ser aplicada directamente em sistemas não-lineares, pois não é possível definir as funções
de resposta em frequência para estes sistemas.
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Entretanto, para alguns sistemas não-lineares e sob certas condições, uma versão estendida do
método de resposta em frequência, o método do primeiro harmónico, pode ser usado para
analisar e predizer comportamentos não-lineares (Slotine e Li, 1991). Para que o método do
primeiro harmónico seja aplicável, deve-se supor que se a entrada para um elemento não-linear é
senoidal, a saída deve ser periódica e ter o mesmo período da entrada. Por outro lado,
geralmente, a saída deste elemento é não senoidal e contém harmónicos superiores, além do
componente harmónico fundamental.
Na análise por função descritiva supõe-se, outros, que apenas o componente harmónico
fundamental da saída é significativo. Tal suposição é frequentemente válida, uma vez que
harmónicos superiores na saída de um elemento não-linear são, usualmente, de amplitude menor
que a do harmónico fundamental. Além disso, a maioria dos sistemas de controle somado à
dinâmica do processo são filtros passabaixa, assim os harmónicos superiores são muito
atenuados quando comparados ao componente harmónico fundamental (Ogata, 1993).
A função descritiva de um elemento não-linear é definida como a relação complexa entre o
componente harmónico fundamental da saída e a amplitude da entrada, isto é,
N=Y 1
X<∅1
OndeN é a função descritiva, X é a amplitude da senóide de entrada, Y 1é a amplitude do
componente harmónico fundamental da saída e ∅ 1é a desfasagem do componente harmónico
fundamental da saída.
Se não houver elemento armazenador de energia incluído no elemento não linear, então N é uma
função apenas da amplitude da entrada para o elemento. Por outro lado, se um elemento
armazenador de energia for incluído, então N é uma função tanto da amplitude como da
frequência da entrada. Ao se calcular a função descritiva para um dado elemento não-linear,
objectiva-se determinar o componente harmónico fundamental da saída. Tendo como entrada a
função x (t )=Xsen (ωt )para o elemento não-linear, a saída y (t ) pode ser expressa como uma série
de Fourier:
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y (t )=A0+∑n=1
∞
Y n sen (nωt+∅ n)
Sendo Y na amplitude do n – ésimo harmónico dada por:
Y n=√An2+Bn
2
Os coeficientes da serie de Fourier são dados por:
An=1π∫
0
2 π
y ( t)cos nωtd (ωt)
e
Bn=1π∫0
2π
y (t)sen nωtd(ωt)
O atraso de fase de cada harmónico é dado por:
∅ n=tan−1( An
Bn)
Caso dois elementos não lineares estejam posicionados em cascata de forma que a saída do
primeiro elemento (entrada do segundo elemento) seja senoidal, então a função descritiva
equivalente é o produto das funções descritivas de cada elemento. Caso contrário deve ser
determinada uma função descritiva para os elementos não lineares combinados.
2.2.2.2.4.1 Análise de Sistemas de ControleNão-Lineares pelo Método do Primeiro Harmónico.
Considerando o sistema visto na Figura 2onde N ( jω) indica a função descritiva do elemento
não-linear, se os harmónicos de ordem superior são suficientemente atenuados, apenas a
frequência fundamental está circulando na malha e, portanto, a resposta em frequência de malha
fechada é dada por:
C( jω)R( jω)
=N ( jω)G( jω)
1+N ( jω)G( jω)
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Onde ω é a frequência fundamental.
Figura 2: Sistema de controle não linear.
Para que o sistema apresente ciclo – limite a função de transferência de malha aberta deve ter
ganho unitário e atraso de fase de180o, Isto é:
N ( jω )G ( jω )=−1
Ou seja,
G ( jω )= −1N ( jω)
Se a equação acima é satisfeita, então haverá ciclo – limite na saída. Isto corresponde ao caso, na
análise de frequência em sistemas lineares, em que o lugar geométrico de G( jω) passa pelo
ponto crítico (−1+0 j).
No método do primeiro harmónico a analise convencional da resposta em frequência é
modificada de tal modo que todo o lugar geométrico de −1
N ( jω )se torna o lugar geométrico dos
pontos críticos. Assim, os lugares geométricos relativos entre −1
N ( jω)eG( jω) provêem
informações sobre a estabilidade.
Para esta análise supõe-se que a parte linear do sistema é de fase mínima. O critério é que se o
lugar geométrico de −1
N ( jω )nãoé interceptado pelo lugar geométrico de G( jω) então não há
ciclo-limite.
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Por outro lado se os lugares geométricos de −1
N ( jω )eG( jω) se interceptam, então a saída do
sistema pode apresentar um ciclo-limite. Esta oscilação mantida é caracterizada pela amplitude e
frequência na intersecção dos lugares geométricos de −1
N ( jω ) e de G( jω).
A amplitude e frequência do ciclo-limite indicado pela intersecção dos lugares geométricos de
−1N ( jω ) e de G( jω) são valores aproximados. Se os harmónicos superiores são todos atenuados,
então a precisão é excelente, caso contrárioé de razoável a boa (Ogata, 1993).
Estabilidade do Ciclo-Limite
A Figura abaixo mostra os lugares geométricos de G( jω) e de −1
N ( jω)de um sistema. Supondo
que o ponto A do lugar geométrico de −1
N ( jω) , Corresponda a um valor pequeno de X , e que o
ponto B corresponda a um valor grande deX3, então, pode-se observar que nos pontos de
operação A e B o sistema apresentaciclo-limite, além disso a amplitude do sinal de entrada X no
ponto B é maior que no ponto A.
Supondo que o sistema opere no ponto A, a amplitude da oscilação é X Ae a frequência é ωA. Se
uma pequena perturbação ocorre de modo que a amplitude da entrada do elemento não-linear é
aumentada, então, o sistema passa a operar no ponto C. Nesse caso, o ponto C passa a ser o
ponto crítico e o lugar geométrico de G( jω) circunda o ponto C no sentido de Nyquist. Esta é
uma situação de instabilidade.
A amplitude da oscilação aumentará até que o sistema passe a operar no ponto B, com amplitude
de oscilação X Be frequência ωB.
Supondo agora que uma pequena perturbação passe a operar no ponto D, então o lugar
geométrico de G( jω) não circunda o ponto crítico (ponto D) e a amplitude da entrada do
elemento não-linear diminui, fazendo o ponto de operação mover-se além do ponto D. Com isso,
conclui-se que o ponto A é divergente e caracteriza um ciclo-limite instável.
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Por outro lado, se o sistema operar no ponto E, e uma pequena perturbação ocorrer, o sistema
tenderá a operar no ponto B. Dessa forma o ponto B é um ponto convergente. Conclui-se então,
que o ciclo-limite de amplitude X Be frequência ωBéestável (Distefanoet al., 1972; Slotini e Li,
1991; Ogata, 1993).
Figura 3: Análise de estabilidade de ciclo-limite
2.3 Exemplo pratico de um sistema não linearbaseando – se no controle do pendulo invertido, consideremos um modelo não linear do pendulo
invertido, dado pela equação abaixo:
y=9 .8 sen ( y )+cos ( y )[−u−0 .25 y2 sen( y)
1 .5 ]0 .5 [ 4
3−13 cos2( y)]
O modelo desse sistema no espaço de estado é dado pela equação:
x1=x2
x2=9.8 sen ( y )+cos ( y )[−u−0.25 y2 sen ( y)
1.5 ]0.5 [4
3−13 cos2 cos ( y )]y=x1
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Ee utilizado aqui um controlador genetico com saída futura calculada para δ=0.02 s . a
configuração do algorítmo genetico utilizado é dada a seguir:
N p=200 – Número de individuos.
n=1 – Dimensão do problema.
N g=20 – Número de gerações.
T mut=30 % - Porcentagem máxima da população que sofre mutação em cada geração.
Pmut=10 % - Amplitude máxima da mutação.
Figura 4 – Controlador genético
Considerando inicialmente uma simulação com tempo tota de 4 segundos. O periodo de
amostragem do controlador genetico ee de 0.01 segundos e a entrada aplicada ao sistema ee um
degrau de amplitude 0.2 rad. A Figura 5 ilustra a entrada do sistema u(t ) calculada pelo
controlador genetico para esta simulacao:
Figura 5: Entrada do sistema para uma referencia em degrau de amplitude 0.2
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o processo de controle utilizando o controlador genetico ee semelhante a qualquer outro
controlador. A entrada do sistema ee calculada a cada periodo de amostragem aplicada ao
sistema. A aplicacao do sinal de controle dado na figura 5 aa entrada do sistema resulta na saida
y (t ) mostrada na figura 6:
Figura 6 – Saida resultante y (t ) e sinal de referencia r (t ) do sistema para a entrada mostrada
acima e o estado do sistema.
A simulacao previamente discutida ilustra a operacao do controlador genetico para uma entrada
constante, porem, ee de fundamental interesse avaliar a sua capacidade de seguir uma referencia
variante no tempo, caracterizando o problema do servo mecanismo. Para tanto, considereremos
um sinal de referencia variante no tempo dado por:
r (t )=sen (4 t)
Para o caso um sinal de referencia em degrau anteriormente analisando, o controlador foi
plenamente capaz de seguir essa referencia com tempo de acomodacao e erra relativamente
pequenos, poreem, para um sinal de referencia variante no tempo, nota-se claramente que o
sistema ira produzir na saida um atraso igual a α , ou seja, periodo de amostragem.
Esse atraso indejavel pode ser eliminado pela utilizacao de um preditor na entrada do
controlador. Tal ferramenta ira estimar o valor do sinal de referencia para o tempo t+α :
rα (t )=r (t+α ). A funcao de fitness ee entao substituida pela equacao que segue:
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fitness (ai )=e¿
Para o calculo do valor rα (t ) o preditor quadratico dado pela equacao:
rα ( t )=r ( t )+dr( t)dt
α+d2
r (t)dt2 α 2
Este preditor exige o conhecimento da primeira e da segunda derivada temporal do sinal de
referencia. Essas variaveis, dr(t )d t
e d2
r(t)dt 2 , são fornecidas ao controlador genetico alterando o
diagrama de blocos da fiqura 4, que passa a ser dado conforme a figuara abaixo:
Figura 7 : Controlador genetico aplicado a uma referencia variante no tempo
utilizando o mesmo controlador anteriormente analisado com as mesmas configuracoes e saida
futura tambem calculada para 0.02 segundos, ee desenvolvida uma nova simulacao do
controlador proposto para esta configuracao ee obtido o sinal de controle mostrado abaixo:
Figura 8: entrada e saida resultantey (t ) e sinal de referencia r (t )do sistema para a referencia
dada
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Figura 9 – estado do sistema para a entrada dada pela equacao
3 FUNÇÕES DISCRETAS
Alguns sistemas de controle envolvem controladores analógicos, que produzem sinais de
controle contínuos no tempo a partir de sinais da entrada também contínuos no tempo. Estes
controladores apresentam pouca flexibilidade e modificações na lei de controle implicam na
modificação do ”hardware”. Além disto, é difícil implementar leis de controle mais complexas.
Com o desenvolvimento e redução de custos do hardware, o controle digital passou a ser uma
solução cada vez mais usada. O controle digital caracteriza-se pelo uso de um computador
específico ou geral, que gera a lei de controle e exerce a função de controlador. Controladores
digitais são flexíveis e as funções de controle podem ser facilmente modificadas. Leis de
controle mais complexas também podem ser implementadas sem dificuldade. O esquema do
sistema de controle é mostrado na Figura abaixo:
Figura 10: Controlador digital
Neste esquema o erro é amostrado e convertido em uma sequência de pulsos expressos em um
código numérico (código binário, por exemplo). A função de transferência do controlador é
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convertida em uma equação diferencial implementada como um programa no computador. A
saída do computador por sua vez, que é expressa também no mesmo código binário, é convertida
para um sinal contínuo. Esta saída é a acção de controle.
Sistemas de controle amostrados são usados quando um elevado grau de precisão é requerido.
Também no caso onde transmissão de dados à longa distância é necessário, o uso de modulação
de amplitude de pulso permite que um único meio de transmissão seja usado para vários canais
de informação sem estar sujeito a distorções encontradas em transmissão analógica. Para alguns
sistemas a amostragem é inerente aos mesmos.
3.1 Tipos de sinais
Vários termos usados com relação a sinais usados em controle discreto são definidos a seguir:
3.1.1 Sinal analógicoÉ um sinal que toma um conjunto contínuo de valores em uma faixa contínua de tempo.
3.1.2 Sinal discreto no tempoÉ o sinal definido apenas em instantes discretos do tempo (apenas a variável independente é
quantizada).
3.1.3 Sinal amostradoSe o sinal discreto no tempo tem amplitude que pode assumir umafaixa de valores contínuos
então o sinal é chamado amostrado.
3.1.4 Sinal digitalSe o sinal discreto no tempo tem amplitude quantizada (ou seja, pode ser representado por uma
sequência de números) então o sinal é chamado digital.
3.2 Amostragem
O controle digital envolve a medição do sinal de saída da planta, que em geral é contínuo. Como
este sinal deve ser processado pelo computador, ele deve ser discretizado. Este é o chamado
processo de amostragem. Por outro lado o sinal de controle gerado pelo computador deve ser
aplicado na planta.
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Como este sinal é discreto, ele deve então ser transformado em um sinal contínuo. Este é o
processo de reconstrução do sinal. Estes dois processos são analisados a seguir.
O processo de amostragem transforma um sinal contínuo em um sinal discreto. Vários tipos de
operações de amostragem podem ser usados:
Amostragem periódica na qual os instantes de amostragem são igualmente espaçados e dados por
t k=k ×T ,k=0,1,2…
Amostragem de ordem múltipla neste casot k−r−t ké constante para todo t k. Ou seja, um
certopadrão de amostragem é repetido periodicamente.
Amostragem com múltiplas taxas em casos onde o sistema de controle possui vários laços
envolvendo diferentes constantes de tempo é conveniente á amostragem em alta freq¨uência para
os laços com pequenas constantes de tempo e amostragem em baixa frequência para laços que
envolvem constantes de tempo lentas.
Amostragem aleatória os instantes de amostragem são aleatórios.
Na grande maioria das aplicações consideram-se apenas amostragem periódica.
É interessante analisar o efeito que a amostragem tem sobre o sinal a
ser amostrado e as consequências para o desempenho do sistema. Seja o processo de amostragem
mostrado na Figura abaixo:
Figura 11: Processo de Amostragem
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O amostrador converte o sinal contínuo em um trem de pulsos que ocorrem nos instants
t=0 , T ,2T ,…onde T é o período de amostragem.
O processo de amostragem é equivalente a multiplicar o sinal e (t)por um trem de pulsos
periódicos, ou seja:
ea ( t )=e( t)× p ∆
ondep∆( t) é o trem de pulsos periódicos dado na Figura abaixo
a) Trem de pulsos b) Trem de impulsos
Figura 12: Trem de Pulso
3.3 Modelagem e resposta de sistemas discretos
Os sistemas discretos podem ser representados, do mesmo modo que os sistemas contínuos, no
domínio do tempo ou através de uma transformaçãoo, neste caso a transformada Z. No caso do
domínio no tempo, a representação é feita por equações diferença, também chamadas de
equações recursivas. No caso da representação por uma transformação, usam-se funções de
transferência discretas, obtidas pela aplicaçãoda transformada Z.
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3.4 Equações diferença
Seja um sistema discreto com uma entrada u(k ) e uma saída y (k), onde K=0 ,1 ,2 ,…,∞, e kT
representa o tempo no K-ésimo instante de amostragem. A relação entre a entrada e a saída, no
domínio do tempo, é dada por uma equação a diferenças
y (k )+a1 y (k−1 )+…+an y (k−n )=b0u (k )+b1u (k−1 )+…+bnu (k−n )
A solução desta equação pode ser feita no domínio do tempo, através de recursividade, ou
usando a transformada Z.
3.5 Função de transferência discreta
Seja o sistema descrito pela Equação
y (k )+a1 y (k−1 )+…+an y (k−n )=b0u (k )+b1u (k−1 )+…+bnu (k−n )
A função de transferência discreta ou função de transferência
Pulsada G(z ) é definida como a relação entre a transformada Zda saída, Y (z ), e a transformada
Zda entrada,U (z ). Portanto
G ( z )=Y (z)U (z)
A função de transferência amostrada pode ser calculada, tomando-se a transformada Z nos dois
lados da Equação
y (k )+a1 y (k−1 )+…+an y (k−n )=b0u (k )+b1u (k−1 )+…+bnu (k−n )
Tem-se então:
Y ( z )+a1 z−1Y ( z )+…+an z
−nY (z )=b0U ( z )+b1 z−1U ( z )+…+bn z
−nU ( z )
(1+a1 z−1+…+an z
−n )Y ( z )=(b0+b1 z−1+…+bn z
−n)U ( z )
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G ( z )=Y (z)U (z)
=b0+b1 z
−1+…+bn z−n
1+a1 z−1+…+an z
−n
Usaremos a função de transferência discreta para representar tanto a planta quanto o controlador
na maior parte do estudo neste e nos capítulos seguintes.
A partir da função de transferência pode-se determinar a equação recursiva correspondente.
Formalmente, deve-se primeiro escrever a função de transferência na forma de potências
negativas de . Pode-se então substituir z iporq−i, ondeq−1representa o operador de atraso, no
domínio do tempo, ou seja,
q−i y (k )= y (k−1)eq−i y (k )= y (k−i)
O operador qcorresponde ao operador p=ddt
no caso cont´ınuo.
É usual, no entanto, passar diretamente da função de transferência discreta para o domínio do
tempo,
usando o operador z−1como o operador produzindo o atraso no tempo.
3.5.1 Obtenção da função de transferência discreta
Para a obtenção da função de transferência discreta em sistemas de controle, deve-se levar em
conta que muitas vezes sinais discretos e contínuos estão simultaneamente presentes nestes
sistemas. Além disto, um sustentador de ordem zero está presente.
lembrandp alguns factos básicos sobre a transformada Z
3.5.1.1 Relação entre a transformada Z e a transformada de Laplace
A transformada de Laplace de um sinal discreto y (k) também pode ser determinada. Seja Y ¿ (s )
esta transformada, que alguns autores chamam de transformada estrela. Se a relação entre a
variável complexa ze a transformada complexa s for z=esT , onde T é o período de amostragem,
tem-se que
Y ( z )=Y ¿(s)|s= lnzT
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ou seja, a transformada Zcoincide com a transformada estrela se a relação s=lnzT
for usada.
3.5.1.2 Combinação de sinais discretos e contínuos
A função de transferência discreta relaciona uma sequência de amostras da entrada com uma
sequência de amostras na saída. Esta função muda dependendo da existência ou não de um
amostrador antes de cada bloco que compõe o diagrama de blocos do sistema. Se o amostrador
existe, a entrada do sistema é amostrada e a resposta é diferente do caso onde o amostrador não
existe e a entrada é o próprio sinal contínuo. Por outro lado, a existência de um amostrador na
saída de um bloco é irrelevante em termos da
determinação da função de transferência discreta, pois ela relaciona as amostras da entrada e da
saída. Se o amostrador não existe, podemos supor a existência de um amostrador fictício. Se a
saída desta função de transferência é a entrada de uma outra função de transferência, a existência
ou não do amostrador terá importância na determinação da função de transferência seguinte.
A presença ou não do amostrador na entrada de um bloco pode ser considerada de forma
automatic através de uma propriedade da transformada estrela. Quando toma-se a transformada
estrela de um produto de funções na forma de transformada de Laplace, termos que já forem
transformada estrela podem ser fatorizados.
Para a Figura abaixo a saída do sistema pode ser escrita como:
Y (s )=G ( s)×E¿ (s)
a) Amostrador antes do bloco b) Sem amostrador antes do bloco
Figura 13: Efeito do amostrador na entrada do bloco
Tomando-se a transformada Znos dois lados da equação tem-se
Y ¿ ( s)=¿
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pois a transformada estrela E¿ ( s )pode ser fatorizada do produto. Usando-se a relação entre a
transformada Ze a transformada estrela obtem-se:
Y ( z )=G(z )×E (z)
No caso do lado (b) da figura acima, onde o amostrador não existe na entrada do bloco, o sinal
de entrada é contínuo. Pode-se então escrever:
Y (s )=G(s)×E (s)
e tomando-se a transformada estrela nos dois lados da equação tem-se
Y ¿ ( s)=G(s )× E(s)¿¿
e não é possível obter-se um produto de transformadas Z, como no caso anterior. Neste caso
pode-se escrever
Y ( z )=¿(z )
que significa que deve-se obter a transformada Zcorrespondente ao resultado do produto das
transformadas de Laplace.
3.5.1.3 Sustentador de ordem zero
A função de transferência do sustentador de ordem zero é dada por:
SOZ (s )=1−e−Ts
s×G(s)
U ( z )Y (s)
Figura 14: Sustentador de ordem zero em cascata com a planta
Na Figura acima onde tem-se um sustentador de ordem zero em cascata com uma função de
transferênciaG p(s), Tem-se
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SOZ (s) G p(s)
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G (s )=1−e−Ts
s×G p(s)
É importante ressaltar que G ( z ) não é o produto do equivalente no domínio Zdo sustentador de
ordem zero porG p ( z ), pois não existe um amostrador entre o sustentador de ordem zero e a
função de transferência G p (s ).
3.6 Álgebra de blocos
A álgebra de diagramas de bloco para o caso discreto deve levar em conta a existência de
amostradores antes de um bloco. Dependendo do sinal que entra em bloco se é contínuo ou
amostrado, as funções de transferência serão diferentes, pois a resposta será diferente para cada
sinal. No entanto, as regras de manipulação são semelhantes ao caso contínuo. A seguir são
apresentadas as principais regras de manipulação de diagramas de bloco.
3.6.1 Associação em cascata
Seja o sistema mostrado na Figura abaixo:
(a) Com amostrador antes do segundo bloco
(b) Com amostrador antes do segundo bloco
Figura 15: Associação em cascata
Os amostradores são supostos sincronizados e com o mesmo período de amostragem. Então:
Y 1(s)=G1(s)× E¿ ( s)
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ou tomando-se a transformada ”estrela”nos dois lados da equação
Y 1¿(s)=G1
¿ (s)× E¿ ( s)
Do mesmo modo, calculando-se a saída
Y 1(s)=G2(s)×Y 1¿ (s )
Então:
Y ¿ ( s)=G2¿ (s )×Y 1
¿ (s )=G2¿ ( s)×G1
¿ (s)× E¿ ( s)
Ou
Y ¿ (s )E¿ ( s)
=G2¿ (s )×G1
¿ (s)
Usando-se a relação entre a tranformada estrela e a transformada Z tem-se:
Y (z)E(z )
=G1(z )×G2(z)
Quando não existe o amostrador intermediário, como mostrado na Figura (b), tem-se:
Z [G1(s)×G2(s)]=G1G2(z)=G 2G1(z)
ou seja, a transformada Z deve ser a transformada do produto das funções de transferência e:
Y ¿ (s )E¿ ( s)
=G1G 2¿(s)
Ou
Y ( z )G ( z )
=G1G 2(z )
3.6.2 Associação em paralelo
Seja o sistema dado na Figura(a) abaixo. O amostrador existe antes dos dois blocos.
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(a) Com amostrador antes do bloco (b) sem amostrador do bloco
Figura 16: Associação em paralelo
Neste caso tem-se:
Y ¿ ( s)=G1¿ (s )× E¿ ( s)+G2 E
¿ (s )
Ou
Y ( z )=G1(z)E ( z )+G2E( z)
3.6.3 Malha Fechada
(a) Com amostrador antes do bloco na realimentacao
(b) Sem amostrador antes do bloco na realimentação
Figura 17: Malha fechada
Seja o sistema apresentado na Figura (a). Neste caso existem amostradores antes dos blocos
correspondentes a G(s) e H(s). Tem-se então:
Y (s )=G ( s)×E¿ (s)
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E ( s)=R ( s )+H (s)×Y ¿(s)
Das duas equações obtem-se:
Y ( z )=G ( z )×E (z)
E ( z )=R ( z )+H (z)×Y ( z)
Usando-se as equações anteriores obtem-se:
Y ( z )=G ( z )×R (z)+G(z )×H (z)×Y (z )
Y (z)R (z)
=G(z)
1+G(z)×H (z)
Seja agora o sistema mostrado na Figura (b). Na malha de realimentação, não existe amostrador
antes do bloco correspondente a H(s). Ou seja, a saída contínua e não a amostrada, é que é
realimentada.
As equações correspondentes a este diagrama são dadas por:
Y (s )=G(s)×E¿(s)
E ( s)=R ( s )−H (s)×Y (s)
Y ¿ ( s)=G¿(s)×E¿ (s )
Substituindo-se Y(s) obtem-se:
E ( s)=R ( s )−H (s)×G(s)× E¿(s)
Ou, tomando-se a transformada estrela nos dois lados da equação,
E¿ (s )= 11+GH ¿ (s )
×R¿ (s )
Ai teremos:
Y ¿ (s )=G¿(s)
1+GH ¿ (s)×R¿ (s)
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Ou ainda, usando-se a relação entre a transformada estrela e a transformada Z:
Y (z )=G (z)
1+GH (z )×R (z)
Do desenvolvimento anterior verifica-se que para a determinação da função de transferência
amostrada é importante o conhecimento da posição dos amostradores na malha. Devido ao uso
da transformada Z e de um amostrador fictício na saída, os resultados da antitransformada dão os
valores da saída nos instantes da amostragem, nada podendo-se afirmar quanto ao
comportamento entre as amostragens.
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4 CONCLUSÃOA grande maioria dos sistemas físicos reais é não linear até um certo grau. Isto significa que deve
ser aplicado o procedimento linearização (quando possível) do sistema a fim de tornar o controle
menos susceptível às não linearidades. Infelizmente nem sempre esta prática resulta num sistema
controlável.
É importante lembrar que embora a previsão do comportamento de sistemas não lineares seja
normalmente difícil, ao se projectar um sistema de controle não devemos tentar forçar o sistema
a ser o mais linear possível, porque a exigência de linearidade do sistema pode levar ao projecto
de um sistema caro e menos desejável do que um sistema não linear adequadamente projectado.
O meetodo da função discreta nos permite estudar a estabilidade de muitos sistemas de controle
não lineares simples do ponto de vista do domínio da frequência.
O método da função discreta fornece informação sobre a estabilidade para um sistema de
qualquer ordem, mas não da informação exata sobre as características de resposta temporal.
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5 BIBLIOGRAFÍA
[1] Ogata, Katsuhiko. Enginharia de controle Moderno. Terceira Ediccao. LTC editora: Rio de
Janeiro, 2000.
[2]
[3]
[4]
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