trabajos de metodos numericos
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TRABAJO N1 1.CALCULAR
a)Con 6 decimales. b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2 c)Resolviendo con la regla de Simpson: h0, h = 1/4 d) EncontrarlarelacinentreX n+1,XnalaplicarelmtododeNewtonala ecuacin f(x) = 0 Qu frmula se obtienen al hacer f(x) = x2 - c? SOLUCIN a)Con 6 decimales. -
- -
-Redondeando a 6 decimales:
b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2 -
-Regla del trapecio: -
[(
)(
)]
-
-Aplicamos la regla del trapecio: -
[(
)(
)]
-Reemplazando: -
()
-
-Redondeando a 6 decimales:
c)Resolviendo con la regla de Simpson: h0, h = 1/4 -
-Regla del Simpson: -
[(
)( ) ( )]
-
-Aplicamos la regla del Simpson: -
[(
)( )( )]
-Reemplazando: -
()
-
-Redondeando a 6 decimales:
TRABAJO N2 1.CALCULAR Obtengaunaaproximacinalasracescomplejasdelasiguienteecuacin algebraicacondoscifrasdecimalesexactos,aplicandoelmtododeLIN(mtodos de los factores cuadrticos), con una tolerancia de 0,01 en los valores de p y q.
SOLUCIN a)Sea la ecuacin P(x) = 0, donde P(x) tiene la forma: ()
-Se obtiene un factor cuadrtico de la forma:
-Con lo cual la ecuacin anterior resulta: ()(
) (
) -Donde: Rx + S es el residuo -Multiplicando la ecuacin anterior: ()(
) (
) ()
()
(
)
(
)
(
)
( )
()
-Tomamos como valores: p* = - 0.5 y q* = 0.67
()( )
( )( ) ()()
()( ) ( )() ()()
( )
()
-Tomamos como valores: p* = - 0.53 y q* = 0.79
()( )
( )( ) ()()
()( ) ( )() ()()
( )
()
-Tomamos como valores: p* = - 0.53 y q* = 0.81
()( )
( )( ) ()()
()( ) ( )() ()()
()
()
c)Reemplazando los valores en: ()(
) (
) -Resulta: ()(
)(
) -Como el residuo es muy pequeo se puede despreciar: ()(
)(
) -Resolviendo mediante la frmula de segundo grado:
TRABAJO N3 1.CALCULAR En estudios sobre polimerizacin inducida por radiacin, se us una fuente de rayos gamma para obtener dosis medidas de radiacin. No obstante, la dosificacin vara con la posicin en el aparato, donde se registraron las siguientes cifras: POSICIN AL PUNTO BASE00.51.01.52.03.03.54.0 (pulgadas) DOSIFICACIN (105 rads/h) 1.902.392.732.983.203.202.982.74
Por alguna razn, no se inform la lectura en 2.5 pulg, pero se requiere el valor de laradiacinah.Ajustepolinomiosdeinterpolacindevariosgradosalosdatos paraobtenerlainformacinfaltante.Culconsideraqueeslamejorestimacin para el nivel de dosificacin a 2.5 pulgadas?
SOLUCIN a)LoordenamosenunafuncintabularymedianteelmtododeNeville calcularemos el valor de f(x) correspondiente para x = 2.5 pulg. ixf (x) 001.90 = Q0.0 10.52.39 = Q1.0 21.02.71 = Q2.0 31.52.98 = Q3.0 42.03.20 = Q4.0 53.03.20 = Q5.0 63.52.98 = Q6.0 74.02.74 = Q7.0 b) Ahora utilizando el algoritmo:
() (
)
(
)
-Hacemos: i = 1, j = 1
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 2, j = 1
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 3, j = 1
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 4, j = 1
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 5, j = 1
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 6, j = 1
() (
)
(
)
() ()()
() -Hacemos: i = 7, j = 1
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 2, j = 2
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 3, j = 2
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 4, j = 2
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 5, j = 2
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 6, j = 2
() (
)
(
)
() ()()
() -Hacemos: i = 7, j = 2
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 3, j = 3
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 4, j = 3
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 5, j = 3
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 6, j = 3
() (
)
(
)
() ()()
() -Hacemos: i = 7, j = 3
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 4, j = 4
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 5, j = 4
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 6, j = 4
() (
)
(
)
() ()()
() -Hacemos: i = 7, j = 4
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 5, j = 5
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 6, j = 5
() (
)
(
)
() ()()
() -Hacemos: i = 7, j = 5
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 6, j = 6
() (
)
(
)
() ()()
() -Hacemos: i = 7, j = 6
() (
)
(
)
() ()( )
() -Hacemos: i = 7, j = 7
() (
)
(
)
() ()( )
() TRABAJO N4 1.CALCULAR Enunexperimentoseobtuvo7puntoscomoinformacinendondesedalos valores: T-1-0,96-0,86-0,790,220,50,936 Y-1-0,1510,8940,9860,8960,985-0,306 a)Trace los puntos y luego interpole con la curva suave. b) Trace el polinomio de 6 grado que interpole esos puntos. SOLUCIN a)Trace los puntos y luego interpole con la curva suave. b) Trace el polinomio de 6 grado que interpole esos puntos. POR DIFERENCIA DIVIDIDAS -PRIMERA DIFERENCIA
[
]
(
)
(
)
() ()
[
]
(
)
(
)
() ()
[
]
(
)
(
)
()
[
]
(
)
(
)
()
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
-SEGUNDA DIFERENCIA
[
]
[
]
[
]
()
[
]
[
]
[
]
()
[
]
[
]
[
]
()
[
]
[
]
[
]
[
]
() ()
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
-TERCERA DIFERENCIA
[
]
[
]
[
]
-[
] ()()
[
]
[
]
[
]
_
_ _
_
_ _ _ _
[
] () ()
[
]
[
]
[
]
[
] () ()
[
]
[
]
[
]
[
] () -CUARTA DIFERENCIA
[
]
[
]
[
]
[
] ()
[
]
[
]
[
]
[
] ()
[
]
[
]
[
]
[
] () -QUINTA DIFERENCIA
[
]
[
]
[
]
[
]
() ()
[
]
[
]
[
]
[
]
() () -SEXTA DIFERENCIA
[
]
[
]
[
]
[
]
() -CALCULANDO EL POLINOMIO DE SEXTO GRADO
()
(
)(
) [
](
)(
) [
] (
)(
)(
) [
] (
)(
)(
)(
) [
] (
)(
)(
)(
)(
) [
] (
)(
)(
)(
)(
)(
) [
]
() ( )() ( )( )() ( )()( )() ( )( ) ( )( )() ( )( ) ( )( )( )() ( ) ( )( )( )( )( )()
()
-REDONDEANDO A 3 DECIMALES P(X) = -1.01x6 + 13.48x5 1.039x4 18.062x3 + 1.807x2 + 5.193x 0.146 TRABAJO N5 1.CALCULAR En la tabla siguiente, X es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de uncanentsegundos.Encuentrelavelocidaddelabalaent=2segundosyent = 1.2 segundos: X012345 t00.03590.04930.05960.07000.0786 SOLUCIN a)Ajustando a un polinomio lineal de la forma:
-Para lo cual: 6 N= 0.2934 Yi = 15 Xi = 0.9863 Y Xi i= 55 X2i= -Expresando con la forma matricial para un polinomio lineal: [
][
][
] -Reemplazando: [ ][
][
] -Resolviendo la matriz:
-El polinomio lineal que se ajusta a los datos:
-Redondeando: b) Calculando para t = 2 segundos.
c)Calculando para t = 1.2 segundos.
TRABAJO N6 1.CALCULAR En la siguiente tabla se presentan los alargamientos de un resorte correspondientes a fuerzas de diferentes magnitudes que la deforman: Fuerza (kg-f) X02367 Longitud del resorte (m) Y 0.1200.1530.1700.2250.260 Determinepormnimoscuadradoselmejorpolinomiodeprimergradoque represente la funcin dada. SOLUCIN a)Hallar por mnimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado. -Ajustando al modelo:
-Se aplica la siguiente ecuacin:
(
)
(
) -Para lo cual: [
]
[
]
[
]
[
] [
]
[ ]
[
] [
]
[
] -Reemplazando en la ecuacin:
(
)
(
) [ ] [
] [
]
-La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
TRABAJO N7 1.CALCULAR En la tabla siguiente se muestran los pesos X1 con aproximacin de libras, alturas X2 conaproximacindepulgadasyedadesX3conaproximacindeaosde12 muchachos: Peso (x1) 647153675558775756517668 Peso (x2) 575949625150554852426157 Peso (x3) 81061187109106129 a)Halle la ecuacin de regresin de mnimos cuadrados de X1 sobre X2 y X3. b) Determine los valores estimados de X1 de los valores de X2 y X3. c)Estimar el peso de un muchacho de 9 aos y 54 pulgadas de alto. SOLUCIN a)Halle la ecuacin de regresin de mnimos cuadrados de X1 sobre X2 y X3. -Se realiza un cambio de variable. -X1 = Y -X2 = X1 -X3 = X2 -Ajustando al modelo:
-Se aplica la siguiente ecuacin:
(
)
(
) -Para lo cual:
[
]
[
]
[
] [
]
[
]
[
][
]
[
] 111 11 11 11 11 1 575949625150554852426157 8 10611 8 7 109 10 6 12 9 111 11 11 11 11 1 575949625150554852426157 8 10611 8 7 109 10 6 12 9 111 11 11 11 11 1 575949625150554852426157 8 10611 8 7 109 10 6 12 9 -Reemplazando en la ecuacin:
(
)
(
) [
] [
] [
]
-La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
b) Determine los valores estimados de X1 de los valores de X2 y X3. 1.Si: X2 = 57yX3 = 8X1 = 64.41464032 2.Si: X2 = 59yX3 = 10X1 = 69.13652482 3.Si: X2 = 49yX3 = 6X1 = 54.56509625 4.Si: X2 = 62yX3 = 11X1 = 73.20668693 5.Si: X2 = 51yX3 = 8X1 = 59.28698075 6.Si: X2 = 50yX3 = 7X1 = 56.92603850 7.Si: X2 = 55yX3 = 10X1 = 65.71808511 8.Si: X2 = 48yX3 = 9X1 = 58.22948328 9.Si: X2 = 52yX3 = 10X1 = 63.15425532 10.Si: X2 = 42yX3 = 6X1 = 48.58282675 11.Si: X2 = 61yX3 = 12X1 = 73.85840932 12.Si: X2 = 57yX3 = 9X1 = 65.92097264 c)Estimar el peso de un muchacho de 9 aos y 54 pulgadas de alto. -Utilizando la ecuacin de regresin:
-Si: X2 = 54yX3 = 9X1 = 63.35714286 TRABAJO N8 1.CALCULAR Uninvestigadorreportalosdatostabularesqueseindicaacontinuacinpara explicarlatasadecrecimientodeuntipodebacteriacomofuncinde concentracin de oxgeno dado en mg/L. estos datos se pueden modelar mediante:
Una transformacin para hacer lineal esta ecuacin, luego calcule C = 2 mg/L. C6471536755 K5759496251 SOLUCIN a)Ajustar a una ecuacin lineal. -Se tiene:
( )
b) Clculo de a y b por mnimos cuadrados. -Haciendo cambio de variable:
-Ajustando al modelo:
-Se aplica la siguiente ecuacin:
(
)
(
) -Para lo cual: [
]
[
]
[
]
[
] [
]
[ ] (
) [ ]
[
] [
]
[
] -Reemplazando en la ecuacin:
(
)
(
) [ ] [
] [
]
-La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
c)Calculando K. -Reemplazando en la ecuacin:
-Dato:
-El valor de K es: ()
TRABAJO N9 1.CALCULAR En una tubera circular de 20 cm de dimetro se midi la velocidad del aire con un tubo de Pilot, y se encontr la siguiente informacin: V (cm/s)600550450312240 r (cm)03578 Donde r es la distancia en cm medido a partir del centro del tubo. a)Obtengalacurvav=f(r)queaproximeaestosdatosexperimentalesmediante una curva adecuada de regresin, para lo cual obtenga el ndice de correlacin. b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm. SOLUCIN a)Obtenga la curva v = f (r) que aproxime a estos datos experimentales mediante una curva adecuada de regresin, para lo cual obtenga el ndice de correlacin. -A partir de los datos obtenemos los siguientes resultados: 5 N= 2152 Yi = 23 Xi = 8004 Y Xi i= 147 X2i=
1019944 Y2i= -Calculando el ndice de correlacin (r) (
) (
) (
)[ (
) (
)
] [ (
) (
)
] () () ()[ () ()
] [ () ()
]
b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm. -Ajustando al modelo:
-Se aplica la siguiente ecuacin:
(
)
(
) -Para lo cual: [
]
[
]
[
]
[
] [
]
[ ]
[
] [
]
[
] -Reemplazando en la ecuacin:
(
)
(
) [ ] [
] [
]
-La ecuacin de regresin de ajuste queda como:
-Calculando para r = 7.5 cm.
() TRABAJO N10 1.CALCULAR Evaluar la integral siguiente: ( )
a)Frmula analtica. b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio. c)Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio. d) Con la aplicacin de la regla de Simpson. SOLUCIN a)Frmula analtica. ( )
( )
()
( )
()() ()
b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio. ( )
-Regla del trapecio: -( )
[(
)(
)]
-
-Aplicamos la regla del trapecio: ( )
[(
)(
)]
iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)009191t/2616 Ki f (Xi) 15 -Reemplazando: ( )
()
( )
c)Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio:k = 3 ( )
-Considerando un trapecio iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)009191t/2616 Ki f (Xi)15 -
()
[(
) (
)] -
()
()
() -Considerando dos trapecios iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)009191t/48.1213216.2426 2t/2616 Ki f (Xi)31.2426 -
()
[(
)(
) (
)] -
()
()
() -Considerando cuatro trapecios iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)009191t/88.7716217.5432 2t/48.1213216.2426 33t/87.1481214.2962 4t/2616 Ki f (Xi)63.082 -
()
[(
)[(
) (
) (
)] (
)] -
()
()
() -Considerando ocho trapecios iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)009191t/168.9424217.8848 2t/88.7716217.5432 33t/168.4944216.9888 4t/48.1213216.2426 55t/167.6667215.3334 63t/87.1481214.2962 77t/166.5853213.1706 8t/2616 Ki f (Xi)126.4596 -
()
[(
)[(
) (
)(
)] (
)] -
()
()
() -Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuacin:
()
()
()
-Luego se construye la siguiente tabla: K Aproximaciones trapezoidales Primera Extrapolacin Segunda Extrapolacin Tercera Extrapolacin 0
()
() 1
()
()
()
() 2
()
()
() 3
() d) Con la aplicacin de la regla de Simpson. ( )
-Regla del Simpson: -( )
[(
)( ) ( )]
-
-Aplicamos la regla del Simpson: -( )
[(
)( ) ( )]
iXi f(Xi)Ki Ki f(Xi)00919 1t/48.1213432.4852 2t/2 616 Ki f(Xi)47.4852 -Reemplazando: ( )
()
( )
TRABAJO N11 1.CALCULAR Evaluar la integral siguiente: (
)
a)Frmula analtica. b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio. c)Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio. d) Con la aplicacin de la regla de Simpson. SOLUCIN a)Frmula analtica. (
)
(
)
()
()
()
()
()
()
(
)
(
)
b) Una sola aplicacin de la regla del trapecio. (
)
-Regla del trapecio: -(
)
[(
)(
)]
- ()
-Aplicamos la regla del trapecio: -(
)
[(
)(
)]
iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)0- 299199 16- 23071- 2307 Ki f (Xi) - 2208 -Reemplazando: (
)
( )
(
)
c)Con aplicacin mltiple de la regla del trapecio:k = 3 (
)
-Considerando un trapecio iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)0- 299199 16- 23071- 2307 Ki f (Xi) - 2208 -
()
[(
) (
)] -
()
()
()
-Considerando dos trapecios iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)0-29919911-62-12 24-23071-2307 Ki f (Xi)-2220 -
()
[(
)(
) (
)] -
()
()
()
-Considerando cuatro trapecios iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)0-299199 1-0.52.062524.125 21-62-12 32.5-259.31252-518.625 44-23071-2307 Ki f (Xi)-2734.5 -
()
[(
)[(
) (
) (
)] (
)] -
()
( )
() -Considerando ocho trapecios iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)0-299199 1-1.2516.1660232.3320 2-0.52.062524.125 30.250.685521.371 41-62-12 51.75-55.01372-110.0274 62.5-259.31252-518.625 73.25-864.74472-1729.4894 84-23071-2307 Ki f (Xi)-4540.3138 -
()
[(
)[(
) (
)(
)] (
)] -
()
()
() -Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuacin:
()
()
()
-Luego se construye la siguiente tabla: K Aproximaciones trapezoidales Primera Extrapolacin Segunda Extrapolacin Tercera Extrapolacin 0
()
()
1
()
()
()
()
2
()
()
() 3
() d) Con la aplicacin de la regla de Simpson. (
)
-Regla del Simpson: -(
)
[(
)
(
)]
- ()
-Aplicamos la regla del Simpson: -(
)
[(
) [(
) (
)] (
) ( )]
iXi f(Xi)Ki Ki f (Xi)0-299199 1-0.52.062548.25 21-62-12 32.5-259.31254-1037.25 44-23071-2307 Ki f (Xi)-3249 -Reemplazando: (
)
()
(
)