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El trabajo W hecho sobre un objeto, por un agente
externo ejerciendo una fuerza constante en el objeto,
es el producto de la fuerza y de la magnitud del
desplazamiento:
W = F * l
BF
A
En SI: Wéë ùû =Nxm º Joule
En CGS: Wéë ùû =Dinaxcm º Ergio
W F l
DW = F x Dx
Dx
F x( )
DWi= F x
i( )Dxi
W » F xi( )Dx
ii=1
N
å
W = limN®¥Dx ®0
F xi( )Dx
ii=1
N
å = F x( )dxA
B
ò
Dxi
F x
i( ) A B
W = F x dx
A
B
Dxi
F x
i( ) A B
El trabajo W hecho sobre un objeto, por un agente
externo ejerciendo una fuerza constante en el objeto,
es el producto de la componente de la fuerza en la
dirección del desplazamiento y la magnitud del
desplazamiento:
= *W F cos l
l·
Si la fuerza F es paralela al desplazamiento;
es decir, =0, el trabajo es
W = Fl
W = Flcos
F
l
0
Si la fuerza F es perpendicular al desplazamiento;
es decir, =90, el trabajo es cero, W = 0, ya que
cos90 = 0
W = Flcos
F
l
90
El signo del trabajo depende de la dirección
de F en relación a
l .
El trabajo es positivo cuando
la componente de la fuerza
tiene la misma dirección que el desplazamiento.
El factor cos se encarga automaticamente del signo
correspondiente.
W = Flcos
Es importante notar que el trabajo
es una transferencia de energía.
Þ Si la energía es transferida al sistema,
W es positivo.
Þ Si es el sistema el que transfiere la energía,
W es negativo.
F
l
W = F cos * l
( )F x
lD
DW = F x cos * Dl
F
x( )
Dl
DW = F x × Dl
F
x( )
l
W = lim
N®¥
F
x
i( ) × Dli
i=1
N
å =F ×d
lò
X
Y
( )t
( )d t
dt
( )F r
Z
W F dl
= ×ò
X
Y
t
1( ) t
2( )
t
3( )
X
Y
t( )
( )d t
dt
F x, y( )
F
t( )éë
ùû ×
d t( )dt
dtò =
F
t( )éë
ùû
a
b
òd
t( )dt
cosdt
X
Y
t( )
d
t( )dt
F x, y( )
En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola variable.
Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesosdependen de varias variables.
Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirvenpara describir correctamente los procesos de la naturaleza.
Por motivos metodológicos las podemos dividir como:•Funciones vectoriales•Funciones escalares de un vector o campos escalares•Funciones vectoriales de un vector o campos vectoriales
( )( )
=
= 3
En el caso de 2, podemos "dibujar" la gráfica,
Gráfica , , ,v
n
x y x y
( )( )
® ® =
=
2
3
: , 1
Gráfica , ,1v
R R x x y x y
R x y x y
Gráfica
x Y φ(x,y)=1-x-y0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 -1
-1 -1 3
-1 1 1
1 -1 1
2 0 -1
3 -1 -1
• Ec vectorial o ecescalar?
• Ec. De una línea recta…..
Un plano….ec. de un plano?
f : R2 ® R f x, y( ) = z = 1 x2 y2
Gráfica = x, y, z( ) z = 1 x2 y2
Gráfica
x Y f(x,y)=1-x2-y2
0 0 11 0 00 1 01 1 -1-1 -1 -12 3 -12-4 5 -40
• Ec vectorial o ecescalar?
• Ec. De una curva…..
Una superficie …… 2D?
( )
( )
2:
, 1 sin cos
Gráfica , , 1 sin cos
x y z x y
x y z z x y
®
= =
= =
R R
• Ec. de curvas
en 1D…..
Una superficie 2D
( )
( )
( ) 2 3
, ,
, , sin cos sin
, ,
x y z x y z
x y z x y z
s x y z x y z
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
®
=
®
® =
3 3
1 2 3
3 3
3
:
, ,
Cada una de las componentes del campo vectorial
es una función de .
Es decir, cada una de las componentes del campo
vectorial es un campo escalar.
: 1,...,3
i
F
F x F x F x F x
F x
F i
F :R2 ® R2
x ®
F
x( ) = x y,y x( )
x Y x+y y-x0 0 0 01 0 1 -10 1 1 11 1 2 0-1 -1 -2 0-1 1 0 21 -1 0 -22 0 2 -23 -1 2 -4
F :R2 ® R2
x ®
F
x( ) = x y,y x( )
(x,y) F(x,y)
(0,0) (0,0)
(1,0) (1,-1)
(0,1) (1,1)
(1,1) (2,0)
(-1,-1) (-2,0)
(-1,1) (0,2)
(1,-1) (0,-2)
(2,0) (2,-2)
(3,-1) (2,-4)
F : R2 ® R2
x ®
F
x( ) = x y, y x( )
F : R3 ® R3 ;
F
x( ) =
y
x2 y2 z2,
x
x2 y2 z2,
z
x2 y2 z2
æ
èçç
ö
ø÷÷
F
x( )
l
W = lim
N®¥
F
x
i( ) × Dli
i=1
N
å =F ×d
lò
X
Y
( )t
( )d t
dt
( )F r
Z
W F dl
= ×ò
W =
F ×d
l
Gò
F = F
x,F
y.F
z( ) ; dl = dx,dy,dz( )
W =F ×d
l
Gò = F
xdx F
ydy F
zdz( )
Gò
W = Fxdx
xi
xf
ò Fydy
yi
yf
ò Fzdz
zi
zf
ò
¡¡¡El trabajo, en general,
depende de la trayectoria!!!
La energía cinética de un cuerpo es una
energía que surge en el fenómeno del
movimiento.
Se define como el trabajo necesario
para acelerar un cuerpo de una masa
dada desde su posición de equilibrio
hasta una velocidad dada.
=
= = = =
=
= × = ×
=
= =
ò ò ò
ò
ò
2 2
que
( . ) . v. = 2 .v
· · ·
·
1 1( )
2 212
12
Kdv dv dr
W F dr m dr m dtdt dt dt
dvm vdt
dt
dK W m v v dt mv v
d
note
d dv dv dvv v v
dt dt
t
m
t
v
d dt
mv
Es el trabajo necesario para acelerar un
cuerpo de una masa dada desde su
posición de equilibrio hasta una velocidad dada:
Es el trabajo necesario para acelerar
un cuerpo de una masa dada desde
su posición de equilibrio hasta una
velocidad dada:
K º1
2m
v
2
K º
1
2m
v
2
Una vez conseguida esta energía durante la
aceleración, el cuerpo mantiene su energía
cinética.
Un trabajo negativo de la misma magnitud
podría requerirse para que el cuerpo regrese
a su estado de equilibrio.
K º
1
2m
v
2
ÞLa energía cinética es una cantidad escalar.
Þ Sus unidades son las mismas que las del
trabajo, Joules y Ergios.
W =Fò d
r = m
dv
dt d
r
vi
vf
ò = md
v
dt dr
dtdt
vi
vf
ò
= mv ×d
v
vi
vf
ò =1
2mv
f2
1
2mv
i2
Si una fuerza externa actua sobre una partícula,
causando que su energía cinética cambie
de Ki a K
f, entonces el trabajo mecánico está
dado por
W = DK º1
2mv
f2
1
2mv
i2
Se deben incluir todas las fuerzas
que hagan trabajo en la partícula en
el cálculo del trabajo neto hecho.
W = DK º
1
2mv
f2
1
2mv
i2
Con este teorema vemos que la velocidad
de una partícula crece si el trabajo neto
hecho en ella es positivo, porque la energía
cinética final es mayor que la energía
cinética inicial.
W = DK º
1
2mv
f2
1
2mv
i2
La velocidad de una partícula decrece
si el trabajo neto hecho en ella es negativo,
porque la energía cinética final es menor
que la energía cinética inicial.
W = DK º
1
2mv
f2
1
2mv
i2
Este teorema nos permite pensar en la energía
cinética como en el trabajo que puede hacer
la partícula cuando llegue al reposo, o como
la cantidad de energía almacenada en la
partícula.
W = DK º
1
2mv
f2
1
2mv
i2
º
Esto es equivalente a la velocidad de cambio
de energía en un sistema o al tiempo empleado
en realizar un trabajo; es decir,
PdW
dt
En Física, la potencia P es la cantidad de
trabajo efectuado por unidad de tiempo.
F
x( )
l
W =
F ×d
l
G
P º
dW
dt
De la definición del trabajo:
dW =F ×d
r
entonces
P =dW
dt=
F ×d
r
dt=
F ×
dr
dt=
F ×
v
P º
dW
dt
La unidad de potencia en el SI
es el Joule/segundo,
llamado Watt y denotado W.
Se tiene
1 W =1 J/s = 1 kg ×m2 / s3
P º
dW
dt