INSTITUTO TECNOLOGIO DE MATAMOROS

DINAMICA DE SISTEMAS

PROFESOR: LUIS CARLOS RINCON RUIZ.

TRABAJO TEORICO UNIDAD II.

2.1 Método con ecuaciones Integro-diferenciales.

2.2 Linealización de un modelo matemático no lineal

2.3 Método con variables de estado.

2.4 Método con funciones de transferencia.

2.4.1 Concepto de polos y ceros

2.4.2 Diagramas de bloques

2.4.3 Diagramas de flujos de señales

2.5 Métodos gráficos para representar sistemas.

2.6 Métodos con enfoque energético.

2.6.1 Método con variables generalizadas.

2.6.2 Método con gráficos de Bond.

2.7 Analogías entre sistemas.

INTEGRANTES:

ARMANDO ESAU MARTINEZ HERNANDEZ. LUIS FERNANDO CRUZ GONZALES.

JOSUE IVAN RAMIREZ SANCHEZ. DANTE ASSAEL BUENDIA CEDILLO.

H. MATAMOROS, TAMAULIPAS 9/20/2012

2.1 MÉTODO CON ECUACIONES INTEGRO-DIFERENCIALES.

Ecuaciones integro-diferenciales Como hemos discutido en el capítulo anterior, para un circuito en serie RLC, la aplicación del principio de Conservación de la energía nos lleva a una de las leyes de Kirchhoff: La suma de las caídas de voltaje a través de los elementos de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado. En símbolos: Donde la resistencia R se mide en ohms (• ), la inductancia L en henrys (H), la capacitancia C en farads (F), y el voltaje aplicado V en volts (V). Observemos que tanto Q como I son funciones definidas para t _ 0 con derivadas continuas. Se considera que el capacitor se encuentre sin carga en el tiempo t D 0. Por otro lado, por el teorema Fundamental del Cálculo, es posible plantear que Por lo cual podemos reescribir la ecuación del circuito en serie RLC como: Ecuaciones de este tipo se denominan ecuaciones integro-diferenciales. La TL nos permite resolver este tipo de ecuaciones de manera sistemática. Ejemplo 6.1.3 Calcular la corriente en un circuito en serie RLC cuyos componentes son: una resistor de 2• , un inductor de 1 H, un capacitor de 1 F y una fuente de voltaje que suministra (en voltios):

No olvide que la ED que vamos a resolver contiene derivadas e integrales y la fuente de voltaje es una función definida por partes.

2.2 LINEALIZACION DE MODELOS MATEMATICOS NO LINEALES.

Sistemas no lineales.

Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal al respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados. Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados << sistemas lineales >> solo lo son en rangos de operación limitados. En la practica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entra las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede hacer una zona muerta que afecte a las señales pequeñas. (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada alas cuales el componente es insensible). Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al cuadrado de la velocidad de operación.

Liberalización de sistemas no lineales.

En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio, y las señales pueden considerarse señales pequeñas alrededor del equilibrio. (Debe señalarse que hay muchas excepciones a tal caso.). Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal. Este sistema lineal es equivalente al sistema no lineal considerando dentro de un rango de operación limitado. Tal modelo linealizado (lineal e invariante con el tiempo) es muy importante en la ingeniería de control. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en el desarrollo de la función no lineal en serie de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término lineal. Debido a que no se consideran los términos de orden superior del desarrollo en serie de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables solo se desvían ligeramente de la condición de operación.

Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales.

Con la finalidad de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considérese un sistema cuya entrada es x(t) y cuya salida es y(t). La relación entre y(t) y x(t) se obtiene mediante

( ) ( )

Si la condición de operación normal corresponde a , la ecuación (1) se expande en serie de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente:

( )

( )

( )

( ) ( )

Donde las derivadas

se evalúan en Si la variación es pequeña,

es posible no considerar los términos de orden superior en . Entonces, la ecuación (2) se escribe como

( ) ( )

Donde

( )

|

La ecuación (3) puede rescribirse como

( ) ( )

Que indica que es proporcional a . La ecuación (4) da un modelo matemático lineal para el sistema no linal obtenido mediante la ecuación (4) cerca del

punto de operación , A continuación, considérese un sistema no lineal cuya salida y es una función de dos entradas x1 y x2, de modo que

( ) ( ) Con la finalidad de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la ecuación (5) en series de Taylor alrededor del punto de operación

normal . Entonces, la ecuación (5) se convierte en

( ) [

( )

( )]

[

( )

( )( )

( )

]+…

Donde las derivadas parciales e evalúan en . Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación, el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante

( ) ( )

Donde

( )

|

|

La técnica de linealización presentada aquí es valida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero no ser preciso para otras.

2.3 Representación por variable de estado

Sistemas contínuos

Entre las formas de modelar un sistema matemáticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representación de variables de estado. Buscar un modelo matemático es encontrar una relación matemática entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representación interna (representación por variables de estado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio.

La forma más general de representación por variable de estado de un sistema contínuo está dada por dos ecuaciones: la primera que define los cambios de las variables de estado en función de estas mismas variables, las entradas y el tiempo; y la segunda que define la salida en función de las variables de estado, las entradas y el tiempo. Así tenemos:

ecuación de estado [Ec. 1.a]

ecuación de salida [Ec. 1.b]

Aquí consideramos que x, y y u son vectores (columnas) de n, p y m componentes respectivamente. Esta forma de representación es válida para los sistemas contínuos no-lineales y variantes en el tiempo en forma general.

Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:

[Ec. 2.a]

[Ec. 2.b]

Si el sistema representado por las ecuaciones 1, es un sistema lineal, la dependencia de e y, pasa a ser lineal:

[Ec. 3.a]

[Ec. 3.b]

donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del tiempo.

Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del tiempo:

[Ec. 4.a]

[Ec. 4.b]

En general la dimensión de los vectores u e y puede ser cualquiera. Si en particular ambos se reducen a un escalar (p = m = 1) el sistema se denomina SISO (single-input single-output). En el caso que ambas dimensiones fuesen mayores a la unidad, el sistema se denomina MIMO (multiple-input multiple-output).

Sistemas propios y estrictamente propios

Para un sistema SISO, que sea lineal, la relación entre la entrada y la salida puede describirse mediante una ecuación diferencial ordinaria, de la siguiente forma:

[Ec.5]

donde y(r) es la derivada temporal r-ésima de la salida y con respecto al tiempo, y u(q) es la derivada temporal q-ésima de la entrada u con respecto del tiempo.

En sistemas físicos reales se da siempre que r es mayor o igual que q. Si fuera lo contrario, nunca se podría definir y en función de u pues no sería causal. A los sistemas en que r es mayor o igual a q se los denomina propios. En el caso en que r es mayor que q (no cabe la posibilidad de que sean iguales) se los denomina estrictamente propios.

Se puede demostrar que en los casos que el sistema es estrictamente propio, no existe transmisión directa, y la matriz D se hace nula en esos casos (tanto en la ecuación 3.b como en la ecuación 4.b).

Sistemas discretos

De igual manera, podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado:

ecuación de estado [Ec. 6.a]

ecuación de salida [Ec. 6.b]

donde k, k+1 representan los instantes consecutivos de las series de variables, x(k) es el vector de estados (discreto), u(k) es la serie del vector de entradas, e y(k) es el vector de salida todos en el instante k. Estos vectores nuevamente son de dimensión n, m y p respectivamente.

Esta forma de representación es válida para los sistemas discretos no-lineales e invariantes en el tiempo en forma general.

Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:

[Ec. 7.a]

[Ec. 7.b]

Si el sistema representado por las ecuaciones 6, es un sistema lineal, la dependencia del vector de estado en un nuevo tiempo x(k+1) y la saliida y(k) pasa a ser lineal:

[Ec. 8.a]

[Ec. 8.b]

donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del instante k.

Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del instante de tiempo k:

[Ec. 9.a]

[Ec. 9.b]

De manera similar pueden definirse nuevamente aquí, los sistemas propios y los sistemas estrictamente propios, y en éstos últimos consecuentemente la matriz D se hace nula (no hay transmisión directa de ninguna de las entradas a ninguna de las salidas).

Diagramas de simulación

Suele resultar muy útil determinar las ecuaciones de estado y de salida de un sistema mediante ecuaciones diferenciales (o en diferencias para el caso discreto) a partir de los llamados diagramas de simulación.

Los diagramas de simulación consisten en diferentes bloques, cada uno describiendo alguna función u operación sobre las variables de entrada, como lo muestra la siguiente figura.

Los diagramas de simulación nos ayudan a realizar una simulación en un computador digital para los sistemas contínuos, como por ejemplo a través de la herramienta de simulación que ofrece MATLAB, llamado SIMULINK. De ésta última herramienta se han extraído los íconos que muestra la figura. Éste no es el único programa de simulación, y los íconos pueden variar levemente de forma. Los íconos que se muestran no son tampoco los únicos que posee las herramientas gráficas de simulación, hay diversidad de ellos representando cada uno de ellos distintas operaciones o funciones aplicadas a sus respectivas entradas.

Notar que todos los íconos de la figura son para variables contínuas excepto la del retraso unitario que se utiliza solo para variables discretas. Observar que los íconos restantes pueden también transformarse a su equivalente discreto, salvo el integrador. Por ejemplo, un sumador discreto

daría como salida: y(k) = u1(k) u2(k).

2.4 MÉTODO CON FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. Calcular la función de transferencia para el sistema del ejemplo 3.2 y encontrar la salida y para La entrada u = eS!. Solución_ El sistema de ecuación del ejemplo 3.2 es Suponemos que podemos expresar y (t) como H(s) e'! Con este formulario, tenemos que = sH (s) e'!, y la ecuación (3.8) se reduce a Solución para la función de transferencia H(s), obtenemos: Sustituyendo esto en la ecuación (3.4) se produce la siguiente salida:

Una forma muy común de utilizar la respuesta exponencial de invariantes en el tiempo lineal sistemas está en encontrar la respuesta en frecuencia o respuesta a una sinusoide. Primero tendremos que expresar la sinusoide como una suma de dos expresiones exponenciales (relación de Euler): Si dejamos que s = jw en la fórmula de respuesta básica Eq. (3.4), entonces la respuesta a u(t) = eiúJI es y (t) = H (jw) eiúJ1 ; del mismo modo, la respuesta a you(t) = e-iúJt es H(-JW) e-iúJ1 Por superposición, la respuesta a la suma de estos dos exponenciales, qué componen la señal coseno, es la suma de las respuestas:

La función de transferencia H (j w) es un número complejo que puede ser representado en forma polar o en forma de fase y magnitud como H (jw) = M(w)ejrp(w), o simplemente H = ejrp M. Con esta sustitución, se convierte en la ecuación (3.10) Donde:

Esto significa que si un sistema representado por la función de transferencia H (s) tiene una entrada sinusoidal con magnitud A, la salida será sinusoidal al mismo frecuencia con magnitud soy y se desplazarán en fase por el ángulo ¡p.

2.4.1 CONCEPTOS DE POLOS Y CEROS CEROS_ Los ceros también corresponden a las propiedades de bloqueo de transmisión de señal del sistema y es también llamado la transmisión ceros del sistema. El Sistema tiene la capacidad inherente de bloque de frecuencias coincidiendo con su cero ubicaciones. Si nos excitan el sistema con la u entrada, cero = u (oéot,) donde no es un polo del sistema, entonces la salida es idénticamente cero, 5 y == O, para las frecuencias donde = Z¡. Los ceros también tienen un efecto significativo en el transitorio propiedades del sistema (ver sección 3.5). Las raíces del denominador, Pl, P2,..., PIl se llaman la poles60f la sistema. Los polos son las ubicaciones en el plano s donde la magnitud de la función de transferencia se convierte en infinito. Si S = Argentina, entonces POLOS_ Los polos del sistema determinan sus propiedades de estabilidad, como veremos en la sección 3.7. Los polos del sistema también determinan el natural o sólo comportamiento del sistema, denominado los modos del sistema. Los ceros y polos pueden ser cantidades complejas, y nosotros podemos mostrar sus ubicaciones en un complejo plano, que nos referimos como el s-planeo las ubicaciones de los polos y ceros líe en el centro de diseño de control de retroalimentación y tengan prácticas significativas implicaciones para el sistema de designo The se dice que tiene n-m ceros en infinito si m < n porque la función de transferencia acerca a cero como enfoques s infinito. Si también se cuentan los ceros en el infinito, el sistema tendrá el mismo número de polos y ceros. Ningún sistema físico puede tener n < m; de lo contrario, se tendría una respuesta infinita en úJ = oo. Si Z¡ = Pj, entonces hay cancelaciones en la función de transferencia, que puede conducir a propiedades del sistema no deseados como se discutió en el capítulo 7.

2.4.2 DIAGRAMA DE BLOQUES

Para obtener la función de transferencia, tenemos que encontrar la transformada de Laplace de la las ecuaciones de movimiento y resolver las ecuaciones algebraicas resultantes para el re lationship entre la entrada y la salida. En muchos sistemas de control del sistema las ecuaciones pueden escribirse para que sus componentes no interactúan excepto por con la entrada de una parte que la salida de la otra parte. En

estos casos, es fáciles de dibujar un diagrama de bloques que representa las relaciones matemáticas de manera similar a la utilizada para el diagrama de bloques del componente en la figura 1.2, Capítulo 1. La función de transferencia de cada componente se coloca en una caja, y las relaciones de insumo-producto entre componentes se indican mediante líneas y flechas. Entonces podemos resolver las ecuaciones por simplificación gráfica, que es a menudo más fácil y más informativa que la manipulación algebraica, aunque los métodos son de cada forma equivalente. Dibujos de tres bloques elementales diagramas se ven en la figura 3.6. Es conveniente pensar en cada bloque representa un amplificador electrónico con la función de transferencia impresa en el interior. El interconexiones de bloques incluyen sumando puntos, donde cualquier número de señales pueden añadirse juntos. Estos son representados por un círculo con el símbolo ¿; En el interior. En la figura 3.6(a) el bloque con transferencia función Gl (s) está en serie con el bloque con la función de transferencia G2 (S) y la función de transferencia global está dada por el producto G2Gl' en Fig. 3.6(b) dos sistemas están en paralelo con sus salidas añadido, y la función de transferencia global está dada por la suma de Gl + G2. Estos diagramas derivan simplemente de las ecuaciones que describen. La figura 3.6(c) muestra un caso más complicado. Aquí están los dos bloques conectados en un arreglo de votos para que cada uno se alimenta en el otro. Cuando la retroalimentación Y2 (s) es subtraeted, como se muestra en la figura, que llamamos negativo de retroalimentación. Como verá, retroalimentación negativa es generalmente requerido para el sistema de estabilidad. Por ahora será simplemente resolver las ecuaciones y luego volver a relacionarlos con el diagrama. Las ecuaciones son Y nuestra solución es:

Podemos expresar la solución por la siguiente regla.

Cuando la retroalimentación es añadida en lugar de restar, lo llamamos retroalimentación positiva. En este caso, la ganancia está dada por la ganancia dividida por la suma de 1 menos la ganancia de lazo. Los tres casos elementales en Fig. 3.6 pueden usarse en combinación Para resolver, por reducción de repetidos, toda transferencia de función definida por un diagrama However de bloque, las manipulaciones pueden ser tedioso y sujeto a error cuando la topología del diagrama es complicado. Figura 3.7 muestra ejemplos de diagrama de bloques álgebra que complementan a los que se muestra en la figura 3.6. Figuras 3.7(a) y (b) muestran cómo pueden manipularse las interconexiones de un diagrama de bloques sin afectar las relaciones matemáticas. La figura 3.7(c) muestra cómo la manipulaciones pueden utilizarse para convertir un sistema general (a la izquierda) a un sistema sin un componente de la ruta de retroalimentación, generalmente JAMLET a como una unidad Sistema del unily de retroalimentación de sistema de retroalimentación. Al! casos el principio básico es simplificar la topología manteniendo exactamente las mismas relaciones entre las variables restantes del bloque diagrama. En relación con el álgebra de las ecuaciones lineales subyacentes, diagrama de bloques la reducción es una forma pictórica para resolver ecuaciones eliminando variables.

Diagramas de flujo de señal

La figura se presenta las relaciones básicas de un diagrama de flujo de señal. Nótese que el énfasis se pone en la señal y no en el sistema, a diferencia de los diagramas de bloques. Este es un texto de análisis de sistemas y no de análisis de señales, por esa razón preferimos los diagramas de bloques a los de flujo de señal.

Camino directo Conjunto de ramas que llevan de la entrada a la salida, sin repetirse.

Ganancia de camino directo Producto de las ganancias de las ramas que forman el camino directo.

Lazo cerrado Conjunto de ramas que parten de un nodo y llegan a el mismo nodo, sin repetir ningún otro nodo.

Ganancia de lazo cerrado Producto de las ganancias de las ramas que forman un lazo.

Lazos adyacentes Lazos que comparten al menos un nodo.

Lazos no adyacentes Lazos que no comparten ningún nodo.

Camino directo Las figuras (b) y (c) muestran los caminos directos.

Ganancia de camino directo Las ganancias de camino directo Son:

2.5 OPERACIÓN DE TRANSFORMACION Este método es directo y permite combinar las cajas negras estables, independientes y compatibles; estas se relacionan mediante flechas. El diagrama de bloques resultante, indica: • Las entradas del sistema. • Las salidas del sistema. • La secuencia exacta de las operaciones que se colocan entre estos extremos. • Las transformaciones de las variables que tienen lugar en cada elemento u operación. Función de transferencia Si el sistema tiene una sola entrada E y una sola salida S, es cómodo reducir el diagrama de flujo total a una caja negra equivalente. Podemos efectuarlo fácilmente, definiendo la función de transferencia de la caja negra (a partir de su transformación), como la relación de la entrada a la salida. Una entrada x es transformada en salida y por una relación:

y = Kx Para conversiones continuas de este tipo, es habitual definir la función de transferencia, como la relación S a E. Esta función de transferencia se indica en el bloque. REGLAS DE COMBINACION DE LAS CAJAS NEGRAS Regla de multiplicación Si 2 bloques actúan en serie, es necesario multiplicar la función de transferencia de cada caja negra, para obtener la función de transferencia total, equivalente al nuevo sistema. En caso de disponer en serie más de dos cajas negras se aplica igualmente la regla. La caja A tiene por función de transferencia La caja B tiene por función de transferencia y el sistema se puede ahora, describir como una única caja negra de entrada x y salida z con la función de transferencia z/x. Regla de adición Cuando dos cajas negras funcionan en paralelo, será necesario sumar o restar las variables para obtener la función de transferencia total, definida como la relación de la salida a la entrada. Funciones de transferencia con 2 entrada-salida Cuando se tienen 2 entradas la reducción directa a un solo bloque no es posible, la función de transferencia hará intervenir otras variables, distintas a las de entrada y de salida. Caso de varias variables de entrada-salida Notación vectorial y matricial

Cuando la entrada de una caja negra tiene varios atributos o varias variables que son simultáneamente transformadas en una o varias variables, se acostumbra utilizar la notación vectorial y la matricial.

2.6 Métodos con enfoque energético

2.6.1 METODOS CON VARIABLES GENERALIZADAS

Aparte de las variables generalizadas de esfuerzo (e) y flujo (f), existen otras variables llamadas variables energéticas, que son las siguientes: el momento P(t) y el desplazamiento Q(t) en la notación generalizada. El momento es definido como integral de tiempo de un esfuerzo. En donde la integral indefinida de tiempo puede ser usada o una puede ser definida por P0 a ser el momento inicial al tiempo t0 y usar la integral definida desde t0 hasta t. En la misma forma una variable desplazamiento es la integral de tiempo de la variable de flujo:

2.6.2 METODOS CON GRAFICOS DE BOND.

Los gráficos de Bond se los aplica con frecuencia en sistemas mecánicos, siendo primordial saber que una unión tipo 0 representa una situación que incluye una única fuerza y tres velocidades que algebraicamente suman 0, mientras que una unión tipo 1 representa equilibrio dinámico de fuerzas asociado con una única velocidad. La representación los flujos de potencia en estos diagramas es un arpón en el que la variable esfuerzo se lo ubica del mismo lado del asta del arpón, el flujo del lado contrario y representa la dirección de disipación de potencia del sistema.

2.7 Analogías de los sistemas dinámicos

El modelo externo: Función de transferencia

Sistemas contínuos

Definición:

La función de trasferencia de un sistema lineal la definimos como la razón de la transformada de Laplace de la variable de salida del sistema a la transformada de Laplace de la variable de entrada, con todas las condiciones iniciales asumidas como cero.

La función de transferencia así definida de un sistema o elemento representa la relación que describe la dinámica del sistema o elemento involucrado.

En el caso de la representación en diagramas de bloques, es una práctica habitual en control de colocar las funciones de transferencia de cada elemento dentro del bloque correspondiente.

Corolario:

La función de transferencia G(s) es la transformada de Laplace de la respuesta de un impulso unitario; pues la transformada de Laplace del impulso unitario es la constante unidad.

Principio de superposición

El principio de superposición nos dice que si y1(t) es la respuesta del sistema a la entrada u1(t), e

y2(t) es la respuesta del sistema a la entrada u2(t), entonces . y1(t) + . y2(t) es la respuesta del

sistema a la entrada . u1(t) + . u2(t), siendo y constantes.

Para sistemas lineales este principio de superposición es válido. Mostraremos esto para sistemas SISO, pero lo podemos extender fácilmente a sistemas MIMO.

Sabemos que uno puede representar a un sistema SISO a través de una ecuación diferencial del tipo (sistema lineal variante en el tiempo):

[Ec. 19]

o de otra manera:

[Ec. 20]

Entonces si y1(t) es la respuesta del sistema cuando la entrada es u1(t), la siguiente ecuación debe cumplirse para todo tiempo:

[Ec. 21]

y con argumento similar, la siguiente ecuación también debe cumplirse para todo tiempo:

[Ec. 22]

Multiplicando la ecuación 21 por , y la 22 por , y sumándolas luego, obtenemos que también debe cumplirse en todo tiempo la ecuación:

[Ec. 23]

Introduciendo las constantes dentro de las sumatorias, y reagrupando, obtenemos:

[Ec. 24]

que sigue siendo válida para todo tiempo. Por lo tanto ( . y1(t) + . y2(t)) es la respuesta del

sistema a la entrada ( . u1(t) + . u2(t)).

Respuesta del sistema como convolución

Llamemos h(t,) a la respuesta del sistema en el tiempo t, de haber intoducido como entrada un

impulso en el tiempo . Entonces podemos pensar por la propiedad de superposición que una señal de entrada u(t) la podemos descomponer como una suma infinita de señales impulso moduladas con la señal de entrada u:

[Ec. 25]

La salida en el tiempo t habiendo puesto en la entrada del sistema una señal u(q) . |q será:

[Ec. 26]

Y por lo tanto, la sumatoria infinita (la integral) de todas estas respuestas será entonces la salida en el tiempo t (la entrada antes del tiempo 0 se consideran nulas):

[Ec. 27]

Si ahora, el sistema además de ser lineal, es también invariante en el tiempo, la respuesta del sistema a un impulso tendrá siempre la misma forma, independientemente del tiempo en que se haya aplicado el impulso. En otras palabras, la función h envés de depender en forma independiente de t y de q, ahora depende de la diferencia de éstos tiempos: h(t,q) = h(t-q).

Por lo tanto, la respuesta temporal del sistema invariante en el tiempo y(t), será:

[Ec. 28]

Esto es la convolución temporal entre las funciones u y h, que como sabemos su transformada de Laplace es directamente el producto de las transformadas de Laplace de u y h:

[Ec. 29]

Y si determinamos entonces, cuanto vale la función de transferencia del sistema lineal e invariante en el tiempo es:

[Ec. 30]

obteniendo así un resultado que habíamos determinado anteriormente: la función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta a un impulso unitario. Pero también podemos afirmar que la función transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo es completamente independiente de la entrada al sistema, y además podemos obtener la transformada de Laplace de la señal de salida del sistema como el producto de las transformadas de Laplace de la entrada al sistema por la función de transferencia del sistema. Notar que para esto necesito que el sistema sea invariante en el tiempo.

Además, para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la función de transferencia del sistema es única: es una ganancia por el cociente de dos polinomios mónicos (queda como ejercicio probarlo).

Sistemas discretos

De una manera similar, podemos trasladar la definición de función de transferencia para un sistema lineal discreto:

Definición:

La función de transferencia de un sistema lineal discreto la definimos como la razón de la transformada Z de la variable de salida del sistema a la transformada Z de la variable de entrada, con todas las condiciones iniciales asumidas como cero.

Fácilmente podemos trasladar también las propiedades de la función de transferencia discreta: si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la función de transferencia es única, es un cociente de polinomios y es además la respuesta del sistema a un impulso unitario.

Relación entre modelo interno y modelo externo

Función de transferencia de un sistema representado por variable de estados

Como hemos visto solamente podemos definir la función de transferencia de un sistema que sea lineal e invariante en el tiempo. Dado entonces un sistema de dichas características, que además sea SISO (por simplicidad, pero puede extenderse a sistemas MIMO), representado por las siguientes ecuaciones de estado:

[Ec. 31.a]

[Ec. 31.b]

Busquemos entonces hallar su función de transferencia, desde la entrada u(t) a la salida y(t). Para ello apliquemos la transformada de Laplace a las ecuaciones 31:

[Ec. 32.a]

[Ec. 32.b]

donde X(s) es el vector de variables de estado transformado por Laplace, y U(s) e Y(s) son respectivamente la entrada y la salida del sistema también transformadas por Laplace.

Como en la función de transferencia se define que las condiciones iniciales son nulas, el vector de estado inicial es el vector nulo: x(0) = 0. Por lo tanto, realizando pasajes de términos, la ecuación 32.a queda:

[Ec. 33]

Sacando factor comun X(s):

[Ec. 33]

donde I es la matriz identidad de nxn, necesaria para que las dimensiones de las matrices y vectores se correspondan. Ahora, premultiplicando por la inversa de la matriz (s.I-A), esta ecuación resulta en:

[Ec. 34]

Reemplazando esta ecuación, en la ecuación 32.b, obtenemos:

[Ec. 35]

Sacando factor común U(s), obtenemos finalmente la función de transferencia:

[Ec. 35]

Esta ecuación sigue siendo válida para los sistemas MIMO, con la salvedad que en ese caso obtendríamos una matriz G(s) de funciones de transferencias de pxm (p la dimensión del vector de salida y m la dimensión del vector de entrada), donde cada elemento Gij(s) de dicha matriz corresponde a la función de transferencia desde la entrada j-ésima uj, a la salida i-ésima yi.

Transformación de estados

Un mismo sistema, puede tener diversas formas diferentes de representación por variable de estado (no existe una única representación de estados, sino infinitas representaciones para un mismo sistema). Dicha representación depende de las variables de estado que hayan sido elegidas (y de la forma en que hayan sido ordenadas en el vector de estado). Deberá entonces existir una manera de pasar de una representación de estado a otra.

Consideremos un sistema lineal variante en el tiempo de orden n:

[Ec. 36.a]

[Ec. 36.b]

Y sea T(t) una matriz no singular variante en el tiempo de dimensión nxn. Entonces el vector:

[Ec. 37]

califica como un vector de estados del sistema, puesto que a cada instante t, x(t) puede ser recuperado a partir de z(t) como:

[Ec. 38]

La matriz T(t) es llamada como la matriz de transformación de estados. Supongamos que la nueva representación de estados sea:

[Ec. 39.a]

[Ec. 39.b]

La relación entre éstas matrices y las originales puede ser encontrada en términos de la matriz T(t).

Sacando la variable t fuera de la escritura, de las ecuaciones 37, 36.a, y 38, tenemos:

[Ec. 40]

De manera semejante, de las ecuaciones 36.b y 38, obtenemos:

[Ec. 41]

Por comparación de las ecuaciones 40, 41 con 39.a, 39.b, concluímos que:

[Ec. 42]

Hacemos notar aca que efectivamente puede haber un número infinito de representaciones por variables de estado para un mismo sistema. Notar que la matriz D no es afectada ante la transformación de estados porque es la relación directa entre la entrada y la salida. En el caso de un sistema lineal e invariante en el tiempo, la transformación de la matriz A pasará a ser:

[Ec. 43]

Formas canónicas de representación por variables de estado

Para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, y que sean SISO, existen de las infinitas formas de representar los sistemas por variables de estado, formas que son de referencia llamadas canónicas (formas normadas o estandarizadas) que nos serán útiles en el momento de analizar y diseñar el control para el sistema.

Lamentablemente no existe solamente una sola forma canónica, sino varias, y cada una útil para el análisis de una determinada característica del sistema, como veremos más adelante en el transcurso de la materia. Las formas canónicas que veremos aquí son tres:

Forma canónica de controlabilidad

Forma canónica de observabilidad

Forma canónica modal

Para ver cada una de estas formas es útil partir de la representación gráfica de los sistemas por diagramas de bloques, donde el sistema se encuentre descripto a través de funciones de transferencia de integradores puros (G(s) = 1/s), cuyas respectivas salidas definirán cada una de las variables de estado, y su entrada será la derivada respectiva que será el resultado de sumar las entradas y las variables de estado multiplicadas por constantes. Veamos pues entonces cómo se definen las formas canónicas de representación por variable de estado.

Bibliographic:

1.1 Metodo de ecuaciones integrodiferenciales. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CAPITULO 6 TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.4 TRANSFER FUNCTION PAG 78 2.4.1 POLES AND ZEROS PAG 95 2.4.2 THE BLOCK DIAGRAM PAG 102 FEEDBACK CONTROL OF DINAMIC SYSTEMS 5º EDICION GENE F. FRANKLIN

2.4.3 DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑALES

http://www.virtual.unal.edu.co

2.3 -M. Jamshidi & M. Malek-Zavarei, “Linear Control Systems: A Computer-Aided Approach”, Chapter 4: System Modeling 2.3 -Franklin, Powell & Emami-Naeini, “Feedback Control of Dynamic Systems”, Sección 7.2.1. Block Diagrams and Canonical Forms