PROBLEMAS METODO SIMPLEX

Presentado a:

ING. GUIOMAR VEGA ALVAREZ

Presentado por:

LUIS GUILLERMO DEVIA COD: 339692

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA CIVIL

IBAGUE

2015

EJERCICIO #1:

El señor Martínez fue llamado para dar consulta a la compañía sigma, que con sus dos máquinas automáticas puede hacer montaje de motocicletas. La compañía tiene un contrato para armar 60 motocicletas de 4 cilindros, 120 de 2 cilindros y 150 de un cilindro, diariamente. Le cuesta 200 (en miles de pesos) operar la primera máquina y se puede hacer un montaje de 1,4 y 6 motocicletas de 4,2 y 1 cilindros, respectivamente. Cuesta 300 (en miles de pesos) operar la segunda máquina y puede hacer 2 montajes diariamente de cada motocicleta. El señor Martínez tiene que encontrar la combinación de motocicletas que se deben montar con estas 2 máquinas para minimizar el costo de operación. Formule un modelo de programación lineal.

MaquinasMotos Maquina 1 Maquina 2

Requerimiento(motos)

4 cilindros 1 2 602 cilindros 4 2 1201 cilindros 6 2 150

Costo ( $/mont) 200 300

OBJETIVO: Minimizar costos ($)

n: 2 ( maquina 1 , maquina 2 )

m: 3 (motos 4c, motos 2c, motos 1c)

Xj: cantidad de montajes a realizar en la maquina j-esima :. J= 1,2

MIN Z= 200 X1 + 300 X2 $

$

MONTMONT $

MONT MONT

S.a o Motos 4CL

1 X1 + 2 X2 ≥ 60

MOTOMONT

MONT MOTOMONT

MONT MOTOS

o Motos 2CL 4 X1 + 2 X2 ≥ 120

MOTOMONT

MONT MOTOMONT

MONT MOTOS

o Motos 1CL 6 X1 + 2 X2 ≥ 150

MOTOMONT

MONT MOTOMONT

MONT MOTOS

C.N.N X1 , X2 ≥ 0

METODO GRAFICO:

MIN Z= 200 X1 + 300 X2

1) 1 X1 + 2 X2 ≥ 60 1) 1 X1 + 2 X2 = 602) 4 X1 + 2 X2 ≥ 120 2) 4 X1 + 2 X2 = 1203) 6 X1 + 2 X2 ≥ 150 3) 6 X1 + 2 X2 = 150

1) 1 X1 + 2 X2 = 60

2) 4 X1 + 2 X2 = 120

3) 6 X1 + 2 X2 = 150

ZE= 12000 = 200 X1 + 300 X2

Para hallar las coordenadas del punto B L1 y L2.

1) 1 X1 + 2 X2 = 60 2X2 = 60 – 20

2) 4 X1 + 2 X2 = 120 (-1) X2 = 40/2

1 X1 + 2 X2 = 60 X2*= 20

-4 X1 - 2 X2 = - 120_____ Z*= 200(20) + 300(20)

-3X1 = -60 Z* = 10000

X1* = 20

C.N.N 4) X1= 0

5) X2= 0

X1 0 60X2 30 0

X1 0 30X2 60 0

X1 0 25X2 75 0

X1 0 60X2 40 0

SOLUCIONES:X1*= 20X2*= 20

Z* = 10000

METODO SIMPLEX:

MIN Z= 200 X1 + 300 X2 – 0X3 + MX4 – 0X5 + MX6 – 0X7 + MX8 VS VA VS VA VS VA

1) 1 X1 + 2 X2 ≥ 60 1) 1 X1 + 2 X2 - X3 + X4 = 60 VS VA

2) 4 X1 + 2 X2 ≥ 120 2) 4 X1 + 2 X2 - X5 + X6 = 120 VS VA

3) 6 X1 + 2 X2 ≥ 150 3) 6 X1 + 2 X2 - X7 + X8 = 150 VS VA

C.N.N X1 , X2 ≥ 0 C.N.N X1 , X2, X3, X4, X5, X6 ,X7, X8 ≥ 0

n = 8

m = 3

p= n-m = 5 NB = X1, X2, X3, X5, X7

q = m = 3 B = X4, X6, X8

---- Cj --- 200 300 0 M 0 M 0 M ---CBi Base bi a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 Ө= bi/aijM X4 60 1 2 -1 1 1 0 0 0 60/1=60M X6 120 4 2 0 0 0 -1 0 0 120/4=30M X8 150 (6) 2 0 0 0 0 -1 1 150/6=25--- Zj-Cj 330M 11M-200 6M-300 -M 0 -M 0 -M 0 ----------

X1=X2=X3=X5=X7=0 X1

150 (6) 2 0 0 0 0 -1 1 x 1/6Fp 25 1 1/3 0 0 0 0 -1/6 1/6 x -4

-100 -4 -4/3 0 0 0 0 2/3 -2/3+ 120 4 2 0 0 -1 1 0 0

XXX8

20 0 2/3 0 0 -1 1 2/3 -2/3 X6

Fp 25 1 1/3 0 0 0 0 -1/6 1/6 x -1-25 -1 -1/3 0 0 0 0 1/6 -1/6

+ 60 1 2 -1 1 0 0 0 035 0 5/3 -1 1 0 0 1/6 -1/6 X4

---- Cj --- 200

300 0 M 0 M 0 M ---

CBi Base bi a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 Ө= bi/aijM X4 35 0 (5/3) -1 1 0 0 1/6 -1/6 35/5/3=21M X6 20 0 2/3 0 0 -1 1 2/3 -2/3 20/2/3=30

200 X1 25 1 1/3 0 0 0 0 -1/6 1/6 25/1/3=75--- Zj-Cj 55M+5000 0 7/3M-

700/3-

M0 -

M0 5/6M-

100/3-11/6M - 100/3

----------

X2=X3=X5=X7=X8=0 X2

35 0 (5/3) -1 1 0 0 1/6 -1/6 x 3/5Fp

21 0 1 -3/5 3/5 0 0 1/10 -1/10 x-2/3

14 0 -2/3 2/5 -2/5

0 0 -1/15 1/15

+ 20 0 2/3 0 0 -1 1 2/3 -2/36 0 0 2/5 -

2/5-1 1 3/5 -3/5 X6

Fp 21 0 1 -3/5 3/5 0 0 1/10 -1/10 x-1/37 0 -1/3 1/5 -1/5 0 0 -1/30 1/30

+ 25 1 1/3 0 0 0 0 -1/6 1/618 1 0 1/5 -1/5 0 0 -1/5 1/5 X1

---- Cj --- 200 300 0 M 0 M 0 M ---CBi Base bi a1 a2 a3 a4 a5 a

6a7 a8 Ө= bi/aij

30 X2 21 0 1 -3/5 3/5 0 0 1/10 -1/10 21/1/10=210

XXX4

XXX6

0M X6 6 0 0 2/5 -2/5 -1 1 3/5 -3/5 6/3/5=10200

X1 18 1 0 1/5 -1/5 0 0 -1/5 1/5 18/-1/5=-90

--- Zj-Cj 6M+9900

0 0 2/5M-140

-7/5M +140

-M 0 3/5M - 10

-8/5M +70

----------

X3=X4=X5=X7=X8=0 X7

6 0 0 2/5 -2/5 -1 1 (3/5) -3/5 x 5/3Fp 10 0 0 2/3 -2/3 -5/3 5/3 (1) -1 x -1/10

-1 0 0 -1/15 1/15 1/6 -1/6

-1/10 1/10

+ 21 0 1 -3/5 3/5 0 0 1/10 -1/1020 0 1 -2/3 2/3 1/6 -

1/60 0 X2

Fp

10 0 0 2/3 -2/3 -5/3 5/3

(1) -1 x 1/5

2 0 0 2/15

-2/15 -1/3 1/3

1/5 -1/5

+ 18 1 0 1/5 -1/5 0 0 -1/5 1/520 1 0 1/3 -1/3 -1/3 1/

30 0 X1

---- Cj --- 200 300

0 M 0 M 0 M ---

CBi Base bi a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 Ө= bi/aij

300

X2 20 0 1 -2/3 2/3 1/6 -1/6 0 0

0 X7 10 0 0 2/3 -2/3 -5/3 5/3 1 -1200

X1 20 1 0 1/3 -1/3 -1/3 1/3 0 0

--- Zj-Cj 10000

0 0 -400/3

-M +400/3

-50/3 -M +50/3

0 -M ----------

X3=X4=X5=X6=X8=0

EJERCICIO #2: Un agricultor quiere cultiva maíz y trigo en un terreno de 70 hectáreas. Sabe que 1 hectárea (Ha) puede rendir 30 quintales de maíz o 25 quintales de trigo. Cada hectárea requiere un capital de $30 si se cultiva con maíz y de $40 si se cultiva con trigo. El capital total disponible es de $2.500.Las necesidades de agua de riego son de 900 m3 por hectárea de maíz y 650 m3 por hectárea de trigo en Octubre; y de 1.200 m3 por hectárea y 850 m3 por hectárea de maíz y trigo respectivamente en el mes de Noviembre. La disponibilidad de agua en Octubre es de 57.900 m3 y en Noviembre de 115.200 m3.Si los precios del maíz y del trigo son $4.50 y $6.00 por quintal métrico (qq) respectivamente. Hay que determinar la cantidad de maíz y de trigo que debe producirse para obtener el beneficio máximo.

1qqmétrico=100 Kg=0.1TON

FACTORES PRODUCTIVOS

REQUERIMIENTOS POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN ( Ha ) DISPONIBILIDAD DE

RECURSOSMAÍZ TRIGO

TERRENO ───── ───── 70( Ha )CAPITAL 30 40 2500( $ / Ha )

Solución :Z* = 10000 X5*= 0X1*= 20 X6*= 0X2*= 20 X7*= 10X3*= 0 X8*= 0X4*= 0

Solución :Z* = 10000X1*= 20X2*= 20

AGUA RIEGO 900 650 57900OCTUBRE ( m3/Ha )AGUA RIEGO 1200 850 115200NOVIEMBRE ( m3/Ha )

RENDIMIENTO 30 25 ─────( qq / Ha )PRECIO 4.50 6.00 ─────

OBJETIVO: MAXIMIZAR LA UTILIDAD ($).

n = 2 [Maíz (X1) y Trigo (X2)]

m = 4 (Terreno, Capital, Agua Octubre, Agua Noviembre)

X1 = Cantidad de Hectáreas (Ha) a sembrar de Maíz

X2 = Cantidad de Hectáreas (Ha) a sembrar de Trigo

MAX: Z = 4,50 (30) X1 + 6,00 (25) X2

$ =$qq× qqHa× Ha +

$qq× qqHa× Ha

Z = 135 X1 + 150 X2

$ = $Ha× Ha +

$Ha× Ha

S.a.:

TERRENO (1) X1 + X2 ≤ 70

Ha + Ha → Ha

CAPITAL (2) 30 X1 + 40 X2 ≤ 2.500

$Ha× Ha +

$Ha× Ha → $

AGUA OCTUBRE (3) 900 X1 + 650 X2 ≤ 57.900

m3

Ha×Ha + m3

Ha× Ha → m3

AGUA NOVIEMBRE (4) 1200 X1 + 850 X2 ≤ 115.200

m3

Ha×Ha + m3

Ha× Ha → m3

C.N.N → X1, X2 ≥ 0

SOLUCIÓN POR EL METODO GRAFICO:

MAX: Z = 135 X1 + 150 X2

S. a:

(1) X1 + X2 ≤ 70

(2) 30 X1 + 40 X2 ≤ 2.500

(3) 900 X1 + 650 X2 ≤ 57.900

(4) 1.200 X1 + 850 X2 ≤ 115.200

C.N.N. → X1, X2 ≥ 0

Ecuaciones de las inecuaciones:

(1) X1 + X2 = 70

(2) 30 X1 + 40 X2 = 2.500

(3) 900 X1 + 650 X2 = 57.900

(4) 1.200 X1 + 850 X2 = 115.200

X1 0 70X2 70 0

X1 0 83.33X2 62,50 0

X1 0 64,33X2 89,08 0

X1 0 96X2 135,53 0

C.N.N. → (5) X1 = 0

(6) X2 = 0

ZE = 8100 = 135X1 + 150X2

ZE = 10500 = 135X1 + 150X2

Para hallar las coordenadas del punto B (L1 y L2)

(1) X1 + X2 = 70 [se multiplica (1) por -30]

(2) 30 X1 + 40 X2 = 2.500

(1) - 30 X 1 - 30 X 2 = - 2.100

10 X2 = 400

X2* = 40

Se reemplaza X2 en (1)

(1) X1 + 40 = 70

X1* = 30

Se reemplaza X1* y X2* en la función objetivo para hallar Z*

Z* = 135 (30) + 150 (40)

Z* = 4.050 + 6.000

Z* = 10.050

X1 0 60X2 54 0

X1 0 77.80X2 70 0

CUADRO SOLUCIÓN

Z* = 10.050

X1* = 30

X2* = 40

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA – METODO SIMPLEX DE LA TABLA

MIN Z= 135 X1 + 150 X2 S.a.

1) X1 + X2 ≤ 70

2) 30 X1 + 40 X2 ≤ 2500

3) 900 X1 + 650 X2 ≤ 57900

4) 1200 X1 + 850 X2 ≤ 115200

C.N.N X1, X2 ≥ 0

MIN Z= 135 X1 + 150 X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 0X6 VR VR VR VR

S.a.

1) X1 + X2 + X3 = 70 VR

2) 30 X1 + 40 X2 + X4 = 2500 VR

3) 900 X1 + 650 X2 + X5 = 57900 VR

4) 1200 X1 + 850 X2 + X6 = 115200 VR

C.N.N X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0

n = 6 → Variables

m = 4 → Restricciones

p = n – m = 6 – 4 = 2 → Variables NO BÁSICAS (=0)

q = m = restantes = 4 → Variables BÁSICAS (>0)

Iniciando el problema de Programación Lineal por el Método Simplex de la Tabla, se consideran como variables Básicas a las variables adicionales positivas (Variables de Holgura y Variables Artificiales)

Variables BÁSICAS (>0): X3, X4, X5, X6

Variables NO BÁSICAS (=0): X1, X2

INTERACCIÓN I─── Cj ─── 135 150 0 0 0 0 ───CBi BASE Bi a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ = Bi/aij0 X3 70 1 1 1 0 0 0 70/1 = 70.000 X4 2500 30 40 0 1 0 0 2500/40 = 62.500 X5 57900 900 650 0 0 1 0 57900/650 = 89.080 X6 115200 1200 850 0 0 0 1 115200/850 = 135.53

─── Zj - Cj 0 -135 -150 0 0 0 0 ─── X1=X2=0

Fila Pivote 2500 30 40 0 1 0 0 (x1/40)Fila Pivote 125/2 3/4 1 0 1/40 0 0 (x-1)Fila Pivote -125/2 -3/4 -1 0 -1/40 0 0

Fila a Arreglar 70 1 1 1 0 0 0Fila Arreglada 15/2 1/4 0 1 -1/40 0 0

Fila Pivote 125/2 3/4 1 0 1/40 0 0 (x-650)Fila Pivote -40625 -975/2 -650 0 -65/4 0 0

Fila a Arreglar 57900 900 650 0 0 1 0Fila Arreglada 17275 825/2 0 0 -65/4 1 0

Fila Pivote 125/2 3/4 1 0 1/40 0 0 (x-850)

Fila Pivote -53125 -1275/2 -850 0 -85/4 0 0

Fila a Arreglar 115200 1200 850 0 0 0 1Fila Arreglada 62075 1125/2 0 0 -85/4 0 1

INTERACCIÓN II─── Cj ─── 135 150 0 0 0 0 ───CBi BASE Bi a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ = Bi/aij0 X3 15/2 1/4 0 1 -1/40 0 0 60/2 = 30.00 X3

X4

X2

150 X2 125/2 3/4 1 0 1/40 0 0 250/3 = 83.330 X5 17275 825/2 0 0 -65/4 1 0 1382/33 = 41.880 X6 62075 1125/2 0 0 -85/4 0 1 4966/45 = 110.36

─── Zj - Cj 9375 -45/2 0 0 15/4 0 0 ─── X2=X4=0

Fila Pivote 15/2 1/4 0 1 -1/40 0 0 (x4)

Fila Pivote 30 1 0 4 -1/10 0 0 (x-3/4)

Fila Pivote -45/2 -3/4 0 -3 3/40 0 0Fila a Arreglar 125/2 3/4 1 0 1/40 0 0Fila Arreglada 40 0 1 -3 1/10 0 0

Fila Pivote 30 1 0 4 -1/10 0 0 (x-825/2)

Fila Pivote -12375 -825/2 0 -1650 165/4 0 0Fila a Arreglar 17275 825/2 0 0 -65/4 1 0Fila Arreglada 4900 0 0 -1650 25 1 0

Fila Pivote 30 1 0 4 -1/10 0 0 (x-1125/2)

Fila Pivote -16875 -1125/2 0 -2250 225/4 0 0Fila a Arreglar 62075 1125/2 0 0 -85/4 0 1Fila Arreglada 45200 0 0 -2250 35 0 1

INTERACCIÓN III─── Cj ─── 135 150 0 0 0 0 ───CBi BASE Bi a1 a2 a3 a4 a5 a6 θ = Bi/aij135 X1 30 1 0 4 -1/10 0 0150 X2 40 0 1 -3 1/10 0 0

0 X5 4900 0 0 -1650 25 1 00 X6 45200 0 0 -2250 35 0 1

─── Zj - Cj 10050 0 0 90 3/2 0 0 ─── X3=X4=0

X1

EJERCICIOS # 3

METODO GRAFICO

MAX Z= 3X1 + 2X2 MIN Z= 2X2 - 1 MAX Z= 2X1 + 2X2

S.aa. X1 + X2 ≥ 1b. X2 – 5X1 ≤ 0c. 5X2 – X1 ≥ 0d. X1 – X2 ≥ -1e. X1 + X2 ≤ 6f. X1 ≤ 3

CNN X1, X2 ≥ 0

SOLUCIÓN

X1 + X2 = 1

Solución :Z* = 10050 X4*= 0X1*= 30 X5*= 4900X2*= 40 X6*= 45200X3*= 0

Solución :Z* = 10050X1*= 30X2*= 40

X1 0 1X2 1 0

X1 0 2X2 0 10

X2 = 5X1

5X2 =X1

X1 – X2 = -1

X1 + X2 = 6

X1 = 3

Punto óptimo 4

RESTRICCIONES:

f. X1 ≤ 3 => X1 = 3

e. X1 + X2 ≤ 6 => 3 + X2 = 6 => X2 = 3

MAX Z= 3X1 + 2X2

Z= 3(3) + 2(3) => Z=15

MIN Z= 2X2 - 1

2X2 – 1 = 9 2X2 – 1 = 3

X2 = 5 X2 = 2

Punto óptimo 6

X1 0 10X2 0 2

X1 0 -1X2 1 0

X1 0 6X2 6 0

a., X1 + X2 ≥ 1 => X2 = 1/6

c., 5X2 – X1 ≥ 0 => X1= 5/6

2X2 – 1 = [ 2 (1/6) – 1 ] = -2/3

Z= 15 X1=5/6 X2=1/6

MAX Z= 2X1 + 2X2

2X1+2X2=6 2X1+2X2=16

EXISTEN INFINITOS PUNTOS OPTIMOS ENTRE LOS PUNTOS 3 Y 4

RESTRICCIONES PARA EL PUNTO 3

d., X1-X2=-1 => X1=5/2

c,. X1 + X2=6 => X2 =7/2

2X1+2X2 = 2(5/2) + 2(7/2) =12

RESTRICCIONES PUNTO 4

f. X1 ≤ 3 => X1= 3

e., X1 +X2=6 => X2=3

2X1 + 2X2 = 2(3) + 2(3) = 12

X1 0 3X2 3 0

X1 0 8X2 8 0

EJERCICIOS # 4

1. MAX Z = 2X2 - X1

S. a

a. X1-X2 ≥ -1

b. 0.5X1-X2 ≥ -2

SOLUCION

X1-X2= -1 0.5X1 – X2 = -2

MAX= 2X2 – X1

2X2 – X1 = 5 2X2 – X1 = 2

Existen infinitas soluciones entre el punto 3 y la continuación de la línea de la restricción B.

X1 – x2 ≥ -1 x2 – x1 ≥ 1

0.5x1 – x2 ≥ -2 -X2 + 0.5X1≥-2

-0.5X1= -1

X1=2

(2)-X2= -1 => X2=3

X1 0 -1X2 1 0

X1 0 -4X2 2 0

X1 0 -5X2 5/2 0

X1 0 -2X2 1 0

2X2-X1= 2(3) - (2)= 4