trabajo herramientas de análisis de señales 2013_ii_andresmeloi
DESCRIPTION
Herramienta para la obtención de analisis de herramientas de señales para universitarios, via consola matlab.TRANSCRIPT
Universidad de la Frontera
Facultad de Ingeniería Ciencias y Administración
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Nombre : Andres Melo Inostroza
Carrera : Ingeniería Civil Electrónica
Profesor : Fernando Huenupán Quinan
INFORME HERRAMIENTAS DE ANALISIS DE SEÑALES
3
INDICE DE CONTENIDOS
RESUMEN ......................................................................................................................................................... 5
PRIMERA PARTE................................................................................................................................................ 6
POTENCIA, ENERGÍA Y VALOR MEDIO DE LAS SEÑALES F(T) Y G(T).................................................................... 6
POTENCIA DE LA SEÑAL F(T) ......................................................................................................................................... 6 ENERGÍA DE LA SEÑAL F(T) ........................................................................................................................................... 6 VALOR MEDIO DE LA SEÑAL F(T) ................................................................................................................................... 6 POTENCIA DE LA SEÑAL G(T) ........................................................................................................................................ 6 ENERGÍA DE LA SEÑAL G(T) .......................................................................................................................................... 7 VALOR MEDIO DE LA SEÑAL G(T) .................................................................................................................................. 7
RUTINA PARA ESTIMAR LA POTENCIA MEDIA, ENERGÍA Y VALOR MEDIO DE LAS SEÑALES F(T) Y G(T) ............. 7
TRANSFORMADA DE FOURIER .......................................................................................................................... 8
TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA SEÑAL F(T) ............................................................................................................... 8 TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA SEÑAL G(T) ............................................................................................................... 9
GRÁFICAS DE LOS ESPECTROS DE MAGNITUD DE LAS SEÑALES F(T) Y G(T) ....................................................... 9
ENERGÍA PARA FRECUENCIAS MENORES A 5 HZ ............................................................................................. 10
ENERGÍA DE LA SEÑAL F(W) ....................................................................................................................................... 10 ENERGÍA DE LA SEÑAL G(W) ...................................................................................................................................... 10
ESPECTRO DE FASE DE LAS SEÑALES EN RADIANES ......................................................................................... 11
AUTOCORRELACIÓN EN FUNCIÓN DE Τ ........................................................................................................... 12
ESPECTRO DE MAGNITUD DE LA SEÑAL F(T) MULTIPLICADA POR COS(WOT) ................................................... 13
CONVOLUCIÓN DE LA SEÑAL F(T) CON LA SEÑAL G(T) ..................................................................................... 14
SEGUNDA PARTE ............................................................................................................................................. 16
POTENCIA MEDIA, ENERGÍA Y VALOR MEDIO DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) ................................................... 16
POTENCIA MEDIA DE LA SEÑAL FP(T) ............................................................................................................................ 16 ENERGÍA DE LA SEÑAL FP(T) ........................................................................................................................................ 16 VALOR MEDIO DE LA SEÑAL FP(T)................................................................................................................................. 16 POTENCIA DE LA SEÑAL GP(T) ..................................................................................................................................... 17 ENERGÍA DE LA SEÑAL GP(T) ....................................................................................................................................... 17 VALOR MEDIO DE LA SEÑAL GP(T) ................................................................................................................................ 17
RUTINA PARA ESTIMAR LA POTENCIA MEDIA, ENERGÍA Y VALOR MEDIO DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) ......... 17
SERIES DE FOURIER DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) ........................................................................................... 18
SERIE DE FOURIER EXPONENCIAL DE LA SEÑAL FP(T) ........................................................................................................ 18 SERIE DE FOURIER EXPONENCIAL DE LA SEÑAL GP(T) ........................................................................................................ 19 SERIE DE FOURIER TRIGONOMÉTRICA DE LA SEÑAL FP(T) .................................................................................................. 19 SERIE DE FOURIER TRIGONOMÉTRICA DE LA SEÑAL GP(T) .................................................................................................. 20
ESTIMACIÓN DE LA SERIE DE FOURIER CON N ARMÓNICOS ............................................................................ 20
ERROR CUADRÁTICO MEDIO ........................................................................................................................... 23
4
POTENCIA MEDIA POR TEOREMA DE PARSEVAL ............................................................................................. 24
FILTRO PASABAJOS IDEAL DE FRECUENCIA DE CORTE IGUAL AL 5TO ARMÓNICO PARA FP(T) Y DEL 8VO
ARMÓNICO PARA GP(T)................................................................................................................................... 26
FILTRO PASA ALTOS IDEAL DE FRECUENCIA DE CORTE INFERIOR AL 1ER ARMÓNICO PARA LAS SEÑALES FP(T) Y
GP(T) ............................................................................................................................................................... 27
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) CON -5T<T<5T ......................................... 27
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE FP(T) ................................................................................................................. 28 DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE GP(T) ................................................................................................................. 28
POTENCIA DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) ......................................................................................................... 28
POTENCIA DE LA SEÑALES FP(T) Y GP(T) ......................................................................................................................... 29
CONCLUSIONES ............................................................................................................................................... 30
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................. 31
INDICE DE TABLAS
TABLA 1: COMPARACIÓN ENTRE LOS VALORES OBTENIDOS ANALÍTICAMENTE DE LA POTENCIA, ENERGÍA Y VALOR MEDIO DE LAS SEÑALES
F(T) Y G(T) CON LOS OBTENIDOS MEDIANTE EL COMPUTADOR ......................................................................................... 8 TABLA 2: COMPARACIÓN ENTRE LOS VALORES DE LA ENERGÍA DE LAS SEÑALES F(T) Y G(T) CALCULADOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y EN
EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. ............................................................................................................................. 10 TABLA 3: COMPARACIÓN DE LOS VALORES ANALÍTICOS CON LOS VALORES NUMÉRICOS DE POTENCIA, ENERGÍA Y VALOR MEDIO DE LAS
SEÑALES FP(T) Y GP(T) ........................................................................................................................................... 18
INDICE DE FIGURAS
FIGURA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS ESPECTROS DE MAGNITUD DE LAS SEÑALES EN DECIBELES Y EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA ......................................................................................................................................................... 9 FIGURA 2: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESPECTRO DE FASE DE F(W) EN RADIANES ................................................................ 11 FIGURA 3: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESPECTRO DE FASE DE G(W) EN RADIANES ............................................................... 11 FIGURA 4: GRÁFICOS DE AUTOCORRELACIÓN DE LAS SEÑALES F(T) Y G(T) RESPECTIVAMENTE ...................................................... 13 FIGURA 5: ESPECTRO DE MAGNITUD DE LA SE SEÑAL F(T) MULTIPLICADA POR COS(WOT) , CONSIDERANDO W0=50Π ....................... 14 FIGURA 6: GRÁFICA DE LA CONVOLUCIÓN ENTRE LAS SEÑALES F(T) Y G(T) .............................................................................. 15 FIGURA 7: FUNCIONES PERIÓDICAS FP(T) Y GP(T) RESPECTIVAMENTE ...................................................................................... 16 FIGURA 8: SEÑAL ORIGINAL FP(T) V/S SUS APROXIMACIONES POR SERIE DE FOURIER CON N=1,5,10 Y 30 .................................... 21 FIGURA 9: SEÑAL ORIGINAL GP(T) V/S SUS APROXIMACIONES POR SERIE DE FOURIER CON N=1,5,10 Y 30 ................................... 22 FIGURA 10: ESPECTROS DE MAGNITUD DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) RESPECTIVAMENTE CONSIDERANDO N=10 ............................ 22 FIGURA 11: ESPECTROS DE FASE DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) RESPECTIVAMENTE CONSIDERANDO N=10 .................................... 23 FIGURA 12: GRÁFICA DEL ERROR CUADRÁTICO MEDIO DE APROXIMACIÓN DE FP(T) Y GP(T) EN RELACIÓN A CANTIDAD DE ARMÓNICOS 24 FIGURA 13: GRÁFICAS DE LA POTENCIA MEDIA DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) RESPECTIVAMENTE ................................................. 26 FIGURA 14: NUEVAS GRÁFICAS DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) DESPUÉS DE APLICARLES UN FILTRO PASABAJOS IDEAL DE FRECUENCIAS DE
CORTE IGUAL AL 5TO Y 8VO ARMÓNICO RESPECTIVAMENTE .......................................................................................... 26 FIGURA 15: NUEVAS GRÁFICAS DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) DESPUÉS DE APLICARLES UN FILTRO PASA ALTOS IDEAL DE FRECUENCIA DE
CORTE INFERIOR AL PRIMER ARMÓNICO DE CADA SEÑAL ............................................................................................... 27 FIGURA 16: DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE LAS SEÑALES FP(T) Y GP(T) RESPECTIVAMENTE ............................................... 28
5
Resumen
Hoy en día las series de Fourier juegan un papel fundamental en las telecomunicaciones y en la
transmisión de señales. Son una potente herramienta dentro de lo que significa el análisis de señales,
que permiten aproximarse a una señal mediante sumas de señales ortogonales a esta por senos y
cosenos.
Las series de Fourier proporcionan una amplia información acerca de las señales como los son la
potencia, el valor medio, y la energía que lleva la señal; permiten poder hacer un análisis acerca de los
espectros de magnitud y espectros de fase de las señales para poder saber cuáles son los armónicos
que más contribuyen al desarrollo de la señal y cuales son posibles eliminar para abaratar costos en la
transmisión de las señales.
Al igual que las series de Fourier, también existe la transformada de Fourier, una potente herramienta
para analizar las señales en el dominio de la frecuencia y poder ver detalles de las señales que no se
ven en el dominio del tiempo. De aquí se extrae una nueva relación matemática para el cálculo de la
energía de las señales en el dominio de la frecuencia.
El siguiente documento tiene por objetivo principal utilizar las transformadas de Fourier para facilitar el
análisis de dos señales distintas y aplicar las series de Fourier a otras dos señales periódicas para
formar una aproximación a éstas y poder analizarlas de una mejor manera y de forma más sencilla.
Se utilizara una herramienta informática llamada Matlab, programa por el cual será posible realizar todos
los cálculos hechos de forma analítica de una manera más rápida y óptima con tan solo programar
ambas señales y sus respectivas transformadas y series de Fourier.
6
PRIMERA PARTE
Potencia, Energía y Valor Medio de las señales f(t) y g(t)
Los periodos de las señales f(t) y g(t) son T1=8.614 y T2=5.7426 respectivamente.
Para el cálculo de la potencia media es necesario aplicar la siguiente fórmula:
𝑃 =
1
𝑇∫ |𝑓(𝑡)|2𝑑𝑡
∞
−∞
(1)
Para la energía:
𝐸 = ∫ |𝑓(𝑡)|2𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑃 ∗ 𝑇 (2)
Y para el valor medio:
𝑉𝑚 =
1
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
(3)
Potencia de la señal f(t)
𝑃 =1
𝑇1
∫ |𝑓(𝑡)|2𝑑𝑡∞
−∞
=1
8.614[∫ |0.3483𝑡|2𝑑𝑡
−1.43565
−4.307
+ ∫ |0.5|2𝑑𝑡1.43565
−1.43565
+ ∫ |0.3483𝑡|2𝑑𝑡4.307
1.43565
]
𝑃 = 0.8056[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎]
Energía de la señal f(t) 𝐸 = 𝑃 ∗ 𝑇1
𝐸 = 6.9394[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎]
Valor Medio de la señal f(t)
𝑉𝑚 =1
𝑇1
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =1
8.614
𝑡2
𝑡1
[∫ (−0.3483𝑡)𝑑𝑡−1.43565
−4.307
+ ∫ (0.5)𝑑𝑡1.43565
−1.43565
+ ∫ (0.3483𝑡)𝑑𝑡4.307
1.43565
]
𝑉𝑚 = 0.8333
Potencia de la señal g(t)
𝑃 =1
𝑇2
∫ |𝑔𝑝(𝑡)|2
𝑑𝑡∞
−∞
=1
5.7426[∫ (0.5)2𝑑𝑡
−1.7228
−2.8713
+ ∫ (0.8)2𝑑𝑡1.7228
−1.7228
+ ∫ (0.5)2𝑑𝑡2.8713
1.7228
]
𝑃 = 0.4840[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎]
7
Energía de la señal g(t)
𝑃 =𝐸
𝑇1
→ 𝐸 = 𝑃 ∗ 𝑇1
𝐸 = 2.7794[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎]
Valor Medio de la señal g(t)
𝑉𝑚 =1
𝑇1
∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
=1
5.7426[∫ (0.5)𝑑𝑡
−1.7228
−2.8713
+ ∫ (0.8)𝑑𝑡1.7228
−1.7228
+ ∫ (0.5)𝑑𝑡2.8713
1.7228
]
𝑉𝑚 = 0.681
Rutina para estimar la Potencia Media, Energía y Valor Medio de las señales f(t) y
g(t)
T1=8.614; %%Periodo de la señal f T2=5.7426; %%Periodo de la señal g t=-5:1/fs:5; %%Ajusta el eje del tiempo entre -5 y 5 f1=-0.3483*t; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal f(t) sin
acotar F1=f1.*(-4.307<=t & t<-1.43565); %%Ecuación de la recta primera parte de
la señal f(t) acotada f2=0.5; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal f(t) sin acotar F2=f2.*(-1.43565<t & t<1.43565); %%Ecuación de la recta segunda parte de
la señal f(t) acotada f3=0.3483*t; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal f(t) sin
acotar F3=f3.*(1.43565<t & t<=4.307); %%Ecuación de la recta tercera parte de la
señal f(t) acotada f=F1+F2+F3; %%Suma de las tres partes que componen la señal f(t) potenciaf=(1/T1)*sum((f.^2)*(1/fs)) %%Cálculo de la potencia de f(t) Energiaf=potenciaf*T1 %%Calculo de la energía de f(t) valorMediof=(1/T1)*sum(f*1/fs) %%Cálculo del valor medio de f(t) g1=0.5; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal g(t) sin acotar G1=g1.*(-2.8713<=t & t<-1.7228); %%Ecuación de la recta primera parte de
la señal g(t) acotada g2=0.8; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal g(t) sin acotar G2=g2.*(-1.7228<t & t<1.7228); %%Ecuación de la recta segunda parte de la
señal g(t) acotada g3=0.5; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal g(t) sin acotar G3=g3.*(1.7228<t & t<=2.8713); %%Ecuación de la recta tercera parte de la
señal g(t) acotada g=G1+G2+G3; %%Suma de las tres partes que componen la señal g(t) potenciag=(1/T2)*sum((g.^2)*(1/fs)) %%Cálculo de la potencia de g(t) Energiag=potenciag*T2 %%Calculo de la energía de g(t) valorMediog=(1/T2)*sum(g*1/fs) %%Cálculo del valor medio de g(t)
Rutina 1: Código para estimar la potencia, energía y valor medio de las señales f(t) y g(t)
Con la Rutina 1 se estima la potencia, energía y valor medio de las señales f(t) y g(t) mediante el cálculo
de las integrales como sumas de Riemann. Para ello se definió un vector de tiempo entre -5 y 5 con un
muestreo de 1/1000(1/fs), se definieron las señales f(t) y g(t) como sumas de 3 señales, dando como
resultado las señales f(t) y g(t) definidas a tramos. Posterior a esto se calculó la potencia, la energía y
8
el valor medio de cada señal mediante sumas de Riemann, obteniéndose valores muy cercanos a los
del cálculo analítico.
A continuación se presenta una tabla con los valores obtenidos analíticamente y los obtenidos mediante
la rutina 1 para poder realizar un mejor análisis:
Tabla 1: Comparación entre los valores obtenidos analíticamente de la potencia, energía y valor medio de las señales f(t) y g(t) con los obtenidos mediante el computador
Analítica Numérica(fs=1000)
Potencia f(t) 0.8056 0.8059
Potencia g(t) 0.4840 0.4840
Energía f(t) 6.9394 6.9424
Energía g(t) 2.7794 2.7793
Valor Medio f(t) 0.8333 0.8336
Valor Medio g(t) 0.6810 0.6800
Transformada de Fourier
Las transformadas de Fourier son una representación de las señales en el dominio del tiempo llevadas
al dominio de la frecuencia. Existen detalles en las señales que no son posibles ver en el dominio del
tiempo, pero que si son posibles ver en el dominio de la frecuencia, es por ello que se utiliza la
transformada de Fourier.
Las transformadas de Fourier se calculan mediante la siguiente fórmula:
𝐹(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡∞
𝑡=−∞
(4)
Transformada de Fourier de la señal f(t)
𝐹(𝑤) = ∫ −0.3483𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡−1.43565
−4.307
+ ∫ 0.5𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡1.43565
−1.43565
+ ∫ 0.3483𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡4.307
1.43565
𝐹(𝑤) = [(0.3483𝑡𝑒−𝑗𝑤𝑡
𝑗𝑤+
0.3483𝑒−𝑗𝑤𝑡
(𝑗𝑤)2)|
−4.307
−1.43565
+ (−0.5𝑒−𝑗𝑤𝑡
𝑗𝑤)|
−1.43565
1.43565
]
+ (−0.3483𝑡𝑒−𝑗𝑤𝑡
𝑗𝑤−
0.3483𝑒−𝑗𝑤𝑡
(𝑗𝑤)2)|
1.43565
4.307
Evaluando los límites de integración, simplificando términos y factorizando términos comunes se llega
a lo siguiente:
𝐹(𝑤) = [1.5
𝑗𝑤[𝑒4.307𝑗𝑤 − 𝑒−4.307𝑗𝑤] +
0.3483
(𝑗𝑤)2[𝑒1.43565𝑗𝑤 − 𝑒4.307𝑗𝑤 − 𝑒−4.307𝑗𝑤 + 𝑒−1.43565𝑗𝑤]]
La siguiente ecuación es para llevar todo a función de senos y cosenos:
9
{
𝑒𝑗𝑛𝜔 = cos(𝑛𝑤) + 𝑗 sin(𝑛𝑤)
𝑒−𝑗𝑛𝑤 = cos(𝑛𝑤) − 𝑗 sin(𝑛𝑤) (5)
Luego de aplicar (5) y simplificando términos, finalmente la transformada de Fourier de la señal f(t) es:
𝐹(𝑤) =0.6966
𝑤2cos(4.307𝑤) −
0.6966
𝑤2cos(1.43565𝑤) +
3
𝑤sin(4.307𝑤)
Transformada de Fourier de la señal g(t)
𝐺(𝑤) = [∫ 0.5𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡−1.7228
−2.8713
+ ∫ 0.8𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡1.7228
−1.7228
+ ∫ 0.5𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡2.8713
1.7228
]
𝐺(𝑤) = [−0.5𝑒−𝑗𝑤𝑡
𝑗𝑤|
−2.8713
−1.7228
−0.8𝑒−𝑗𝑤𝑡
𝑗𝑤|
−1.7228
1.7228
−0.5𝑒−𝑗𝑤𝑡
𝑗𝑤|
1.7228
2.8713
]
𝐺(𝑤) =0.3
𝑗𝑤(𝑒1.7228𝑗𝑤 − 𝑒−1.7228𝑗𝑤) +
0.5
𝑗𝑤(𝑒2.8713𝑗𝑤 − 𝑒−2.8713𝑗𝑤)
Aplicando (5) a G(w) y simplificando términos se obtiene la transformada de Fourier de la señal g(t):
𝐺(𝑤) =1
𝑤[0.6𝑠𝑖𝑛(1.7228𝑤) + 𝑠𝑖𝑛(2.8713𝑤)]
Gráficas de los espectros de magnitud de las señales f(t) y g(t)
Figura 1: Representación gráfica de los espectros de magnitud de las señales en decibeles y en el dominio de la frecuencia
Para poder obtener las gráficas anteriores fue necesario crear un programa en Matlab, en donde se
definió la frecuencia de ambas señales entre -30 y 30, escogido así por motivos de comodidad para
trabajar, luego, con la transformada de Fourier de ambas señales, las cuales ya se habían obtenido
anteriormente de forma analítica, se le indico al programa que obtenga la magnitud de cada
transformada(con la función abs()) para luego graficarla e indicarle que lo haga en decibeles. Dicho de
otra forma, el programa se encargó de graficar |F(w)| y |G(w)|.
10
Energía para frecuencias menores a 5 Hz
Para estimar la energía de una señal existen varias maneras, para el caso particular, ya se conoce la
transformada de Fourier de ambas señales por lo que la siguiente fórmula es de gran utilidad.
𝐸 =
1
2𝜋∫ |𝐹(𝑤)|2𝑑𝑤
∞
𝑤=−∞
(6)
Como se necesita la energía para frecuencias menores a 5 Hz, esto implica que w es menor a 10π, es
decir:
Energía de la señal F(w)
𝐸 =1
2𝜋∫ |
0.6966
𝑤2cos(4.307𝑤) −
0.6966
𝑤2cos(1.43565𝑤) +
3
𝑤sin(4.307𝑤)|
2
𝑑𝑤10𝜋
−10𝜋
Desarrollando el trinomio cuadrado que está dentro de la integral, aplicando identidades trigonométricas,
reordenando términos y desarrollando la integral mediante el método tabular o directamente por tabla
se llega a que:
𝐸 = 6.8923[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎]
Energía de la señal G(w)
𝐸 =1
2𝜋∫ |
1
𝑤[0.6𝑠𝑖𝑛(1.7228𝑤) + 𝑠𝑖𝑛(2.8713𝑤)]|
2
𝑑𝑤10𝜋
−10𝜋
De manera similar a F(w), se desarrolla el binomio cuadrado que aparece dentro de la integral, se
aplican identidades trigonométricas , se reordenan términos y se resuelve la integral, arrojando como
resultado:
𝐸 = 2.7719[𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎]
A continuación se presenta una tabla con los valores de la energía calculada mediante la ecuación (2)
y la calculada mediante la ecuación (6) para las señales f y g respectivamente:
Tabla 2: Comparación entre los valores de la energía de las señales f(t) y g(t) calculados en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
Ecuación (2) Ecuación (6)
Energía señal f 6.9394 6.8923
Energía señal g 2.7794 2.7719
Se deduce de la tabla que los valores de energía obtenidos para ambas señales en el dominio de la
frecuencia son un poco menores a los obtenidos en el dominio del tiempo, pero la diferencia no es alta
y es poco considerable, por lo que es posible afirmar que en las frecuencias menores a 5 Hz o en el
intervalo de -5 Hz a 5 Hz se encuentra contenida la mayor parte de la energía de ambas señales.
11
Espectro de fase de las señales en radianes
Figura 2: Representación gráfica del espectro de fase de F(w) en radianes
Figura 3: Representación gráfica del espectro de fase de G(w) en radianes
En las gráficas de los espectros de fase de ambas señales se observan dos tipos de fase, a saber cero
y pi. Esto es debido a que las transformadas calculadas de forma analítica arrojaron resultados
representados solamente en los reales, sin presencia de alguna parte imaginaria.
Para graficar los espectros de fase, fue necesario crear un programa en matlab en donde se ajustó la
frecuencia entre -20 y 20 con un paso de 5 en 5, pudiendo ser el intervalo de frecuencia mayor, pero se
escogió ese por comodidad en los cálculos. Luego fue necesario indicarle al programa la parte real de
cada transformada y la parte imaginaria de cada transformada, siendo ésta última igual a cero.
Finalmente se le indicó al programa que calcule la fase y que arroje la gráfica de ésta para cada una de
las señales.
12
Autocorrelación en función de τ
La Autocorrelación es una comparación de la señal consigo misma, es sumamente importante en
análisis de señales, ya que permite, de manera eficiente, diferenciar la señal original del ruido y así
poder separarla de éste, aunque no en su totalidad. Gráficamente, la Autocorrelación toma un valor
mayor en τ=0. Matemáticamente, el cálculo de la Autocorrelación corresponde a:
𝑅 = lim𝑇→∞
1
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑓(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡
𝑇2
−𝑇2
(7)
Con matlab se creó un programa en donde se definen ambas señales f y g en función de tau, es decir,
se dejaron las señales fijas. Dentro de un ciclo, a cada una de las señales se les aplicó el desplazamiento
f(tau+t) y g(tau+t) para poder hacer la Autocorrelación de cada señal. Por cada vuelta del ciclo, se le
indicó al programa que calcule la Autocorrelación y que dichos valores los almacene en dos arreglos,
uno para f y otro para g, para una vez finalizado el ciclo indicarle que grafique dichos arreglos en función
de tau en una ventana dividida para dos figuras. A continuación se presentan dichos códigos y gráficas.
tau=-20:1/fs:20; gtau1=0.5; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal g evaluada en
tau sin acotar Gtau1=gtau1.*(-2.8713<=tau & tau<-1.7228); %%Ecuación de la recta primera
parte de la señal g evaluada en tau y acotada gtau2=0.8; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal g evaluada en
tau sin acotar Gtau2=gtau2.*(-1.7228<tau & tau<1.7228); %%Ecuación de la recta segunda
parte de la señal g evaluada en tau y acotada gtau3=0.5; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal g evaluada en
tau sin acotar Gtau3=gtau3.*(1.7228<tau & tau<=2.8713); %%Ecuación de la recta tercera
parte de la señal g evaluada en tau y acotada gtau=Gtau1+Gtau2+Gtau3; %%Suma de las tres partes que componen la señal g
evaluada en tau k=1; %%Contador for t=-20:1/fs:20 %%Ciclo para ir desplazando g(tau) g1=0.5; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal g evaluada en tau
sin acotar G1=g1.*(t-2.8713<=tau & tau<t-1.7228); %%Ecuación de la recta primera
parte de la señal g evaluada en tau, desplazada y acotada g2=0.8; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal g evaluada en tau
sin acotar G2=g2.*(t-1.7228<tau & tau<t+1.7228); %%Ecuación de la recta segunda parte
de la señal g evaluada en tau desplazada y acotada g3=0.5; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal g evaluada en tau
sin acotar G3=g3.*(t+1.7228<tau & tau<=t+2.8713); %%Ecuación de la recta tercera
parte de la señal g evaluada en tau desplazada y acotada g=G1+G2+G3; %%Suma de las tres partes que componen la señal g evaluada en
tau y desplazada c=gtau.*g; %%Producto entre g evaluada en tau y la funcion g evaluada en
tau y desplazada convo(k)=sum(c*1/fs); %%Crea el arreglo con cada valor de la convolución
13
k=k+1; %%Aumento del contador end %%Fin del ciclo autocorrelacion=(1/5.7426)*convo; %%Calcula la autocorrelación de g
Rutina 2: Código para estimar la autocorrelación de la señal g(t)
La rutina 2 se limita a la señal g(t), para obtener la Autocorrelación de la señal f(t) basta con cambiar los
datos de la señal g por los de f.
Figura 4: Gráficos de autocorrelación de las señales f(t) y g(t) respectivamente
De las gráficas, en ambos casos se concluye que la Autocorrelación parte desde cero en un determinado
valor de τ. Su nivel máximo está en τ=0, el cual representa la potencia de la señal, desde ahí entonces
comienza a disminuir. Ambas gráficas son simétricas respecto al eje de Autocorrelación.
Espectro de magnitud de la señal f(t) multiplicada por cos(wot)
En este caso, se necesita el espectro de magnitud de f(t)cos(wot), es decir, |F{f(t)cos(wot}|. La fórmula
matemática que transforma dicha multiplicación desde el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia
es la siguiente:
𝐹{𝑓(𝑡) cos(𝑤0𝑡)} =1
2𝐹(𝑤 − 𝑤0) +
1
2𝐹(𝑤 + 𝑤0) (8)
𝐹{𝑓(𝑡) cos(𝑤0𝑡)} =1
2[
0.6966
𝑤2 cos(4.307(𝑤 − 𝑤0)) −0.6966
𝑤2 cos(1.43565(𝑤 − 𝑤0)) +3
𝑤sin(4.307(𝑤 − 𝑤0))]
+1
2[0.6966
𝑤2cos(4.307(𝑤 + 𝑤0)) −
0.6966
𝑤2cos(1.43565(𝑤 + 𝑤0)) +
3
𝑤sin(4.307(𝑤 + 𝑤0))]
Para este caso específico, se considera wo=50π, por lo que:
𝐹{𝑓(𝑡) cos(𝑤0𝑡)} =1
2[0.6966
𝑤2cos(4.307𝑤 − 215.35𝜋) −
0.6966
𝑤2cos(1.43565𝑤 − 71.783𝜋)
14
+3
𝑤sin(4.307𝑤 − 215.35𝜋)] +
1
2[0.6966
𝑤2cos(4.307𝑤 + 215.35𝜋) −
0.6966
𝑤2cos(1.43565𝑤 + 71.783𝜋)
+3
𝑤sin(4.307𝑤 + 215.35𝜋)]
La gráfica del espectro de magnitud de esta transformada de Fourier corresponde a:
Figura 5: Espectro de magnitud de la se señal f(t) multiplicada por cos(wot) , considerando w0=50π
De la figura (5), se aprecia que el nuevo espectro de magnitud obtenido corresponde al espectro de
magnitud de la señal f(t) original, desplazado en el eje de la frecuencia en ±wo=±50π. Esta ocurrencia
se conoce con el nombre de modulación y es muy útil en las telecomunicaciones en la transmisión de
varias señales bajo la misma banda de frecuencias.
Convolución de la señal f(t) con la señal g(t)
La Convolución es una comparación que se produce entre una señal y otra. Tal comparación se
estima dejando una de las dos señales fijas en el tiempo y la otra se invierte y se le aplica un
desplazamiento en el tiempo, superponiéndose sobre la señal que se deja fija. La Convolución sería
entonces la magnitud de tal superposición mientras se desplaza una señal sobre la otra, por ende,
para distintos tiempos, dicha superposición será distinta y es posible trazar una gráfica de ésta.
Operacionalmente se tiene que la Convolución entre dos señales se representa mediante:
𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏∞
𝜏=−∞
(9)
El proceso en matlab consiste en dejar la señal f(t) fija e ir desplazando la señal g(t) en el tiempo para
que se vaya superponiendo sobre f(t). Por cada desplazamiento de la señal g(t) en el tiempo(g(t-tau)),
15
logrado con la creación de un ciclo, se le indica al programa que calcule la Convolución entre ambas
señales y que dicho valor lo vaya almacenando en un arreglo. Una vez finalizado el ciclo, solamente
basta con indicarle al programa que grafique los datos contenidos en el arreglo con respecto al
tiempo. A continuación el código del programa y la gráfica arrojada por él mismo:
f1=-0.3483*t; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal f(t) sin
acotar F1=f1.*(-4.307<=t & t<-1.43565); %%Ecuación de la recta primera parte de
la señal f(t) acotada f2=0.5; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal f(t) sin acotar F2=f2.*(-1.43565<t & t<1.43565); %%Ecuación de la recta segunda parte de
la señal f(t) acotada f3=0.3483*t; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal f(t) sin
acotar F3=f3.*(1.43565<t & t<=4.307); %%Ecuación de la recta tercera parte de la
señal f(t) acotada f=F1+F2+F3; %%Suma de las tres partes que componen la señal f(t) k=1; %%Contador for tau=-20:1/fs:20 %%Ciclo para ir desplazando g g1=0.5; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal g sin acotar G1=g1.*(-2.8713-tau<=t & t<-1.7228-tau); %%Ecuación de la recta primera
parte de la señal g desplazada y acotada g2=0.8; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal g sin acotar G2=g2.*(-1.7228-tau<t & t<1.7228-tau); %%Ecuación de la recta segunda
parte de la señal g desplazada y acotada g3=0.5; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal g sin acotar G3=g3.*(1.7228-tau<t & t<=2.8713-tau); %%Ecuación de la recta tercera
parte de la señal g desplazada y acotada g=G1+G2+G3; %%Suma de las tres partes que componen la señal g c=g.*f; %%Producto entre f y la funcion g invertida y desplazada convo(k)=sum(c*1/fs); %%Crea el arreglo con cada valor de la convolución k=k+1; %%Aumento del contador end %%Fin del ciclo
Rutina 3: Código para obtener la gráfica de la Convolución entre f(t) y g(t)
Figura 6: Gráfica de la Convolución entre las señales f(t) y g(t)
16
SEGUNDA PARTE
Figura 7: Funciones periódicas fp(t) y gp(t) respectivamente
Los periodos Tf y Tg de la señales fp(t) y gp(t) son 12 y 10 respectivamente
Potencia Media, Energía y Valor Medio de las señales fp(t) y gp(t)
Para el cálculo de la potencia media, la energía y el valor medio, se hace referencia a las ecuaciones
(1), (2) y (3)
Potencia media de la señal fp(t)
𝑃 =1
𝑇𝑓
∫ |𝑓𝑝(𝑡)|2
𝑑𝑡∞
−∞
=1
12[∫ (−0.3484𝑡)2𝑑𝑡
−1.43565
−4.307
+ ∫ (0.5)2𝑑𝑡1.43565
−1.43565
+ ∫ (0.3483𝑡)2𝑑𝑡4.307
1.43565
]
𝑃 = 0.5783[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎]
Energía de la señal fp(t) 𝐸 = 𝑃 ∗ 𝑇𝑓
𝐸 = 6.9396[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎]
Valor medio de la señal fp(t)
𝑉𝑚 =1
𝑇𝑓
∫ 𝑓𝑝(𝑡)𝑑𝑡 =1
12
𝑡2
𝑡1
[∫ (−0.3483𝑡)𝑑𝑡−1.43565
−4.307
+ ∫ (0.5)𝑑𝑡1.43565
−1.43565
+ ∫ (0.3483𝑡)𝑑𝑡4.307
1.43565
]
𝑉𝑚 = 0.5982
17
Potencia de la señal gp(t)
𝑃 =1
𝑇𝑔
∫ |𝑔𝑝(𝑡)|2
𝑑𝑡∞
−∞
=1
10[∫ (0.5)2𝑑𝑡
−1.7228
−2.8713
+ ∫ (0.8)2𝑑𝑡1.7228
−1.7228
+ ∫ (0.5)2𝑑𝑡2.8713
1.7228
]
𝑃 = 0.2779[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎]
Energía de la señal gp(t)
𝑃 =𝐸
𝑇𝑔
→ 𝐸 = 𝑃 ∗ 𝑇𝑔
𝐸 = 2.779[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎]
Valor medio de la señal gp(t)
𝑉𝑚 =1
𝑇𝑔
∫ 𝑔𝑝(𝑡)𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
=1
10[∫ (0.5)𝑑𝑡
−1.7228
−2.8713
+ ∫ (0.8)𝑑𝑡1.7228
−1.7228
+ ∫ (0.5)𝑑𝑡2.8713
1.7228
]
𝑉𝑚 = 0.39
Rutina para estimar la Potencia Media, Energía y Valor Medio de las señales fp(t) y
gp(t)
Para generar una rutina en matlab que arroje los valores de la Potencia Media, energía y valor medio
de las señales, primero es necesario tener claro los periodos de cada señal e indicárselos al programa,
seguido de eso se define cada función en el tiempo y se le indica que calcule la potencia media, energía
y valor medio de ambas señales mediante sumas de Riemann.
T1=12;
T2=10;
t=-6:1/fs:6; %%Ajusta el eje del tiempo entre -6 y 6 f1=-0.3483*t; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal fp(t) sin
acotar g1=0.5; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal gp(t) sin acotar F1=f1.*(-4.307<=t & t<-1.43565); %%Ecuación de la recta primera parte de
la señal fp(t) acotada G1=g1.*(-2.8713<=t & t<-1.7228); %%Ecuación de la recta primera parte de
la señal gp(t) acotada f2=0.5; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal fp(t) sin acotar g2=0.8; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal gp(t) sin acotar F2=f2.*(-1.43565<t & t<1.43565); %%Ecuación de la recta segunda parte de
la señal fp(t) acotada G2=g2.*(-1.7228<t & t<1.7228); %%Ecuación de la recta segunda parte de la
señal gp(t) acotada f3=0.3483*t; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal fp(t) sin
acotar g3=0.5; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal gp(t) sin acotar F3=f3.*(1.43565<t & t<=4.307); %%Ecuación de la recta tercera parte de la
señal fp(t) acotada G3=g3.*(1.7228<t & t<=2.8713); %%Ecuación de la recta tercera parte de la
señal gp(t) acotada f=F1+F2+F3; %%Suma de las tres partes que componen la señal fp(t) g=G1+G2+G3; %%Suma de las tres partes que componen la señal gp(t)
18
potenciaf=(1/T1)*sum((f.^2)*(1/fs)) %%Cálculo de la potencia de fp(t) potenciag=(1/T2)*sum((g.^2)*(1/fs)) %%Cálculo de la potencia de gp(t) Energiaf=potenciaf*T1 %%Calculo de la energía de fp(t) Energiag=potenciag*T2 %%Calculo de la energía de gp(t) valorMediof=(1/T1)*sum(f*1/fs) %%Cálculo del valor medio de fp(t) valorMediog=(1/T2)*sum(g*1/fs) %%Cálculo del valor medio de gp(t)
Rutina 4: Código para estimar la Potencia Media, Energía y Valor Medio de las señales fp(t) y gp(t)
Los valores que arroja la Rutina 1 se aproximan bastante bien a los valores que arrojan los cálculos de
las integrales de forma manual. A medida que se aumenta la frecuencia de muestreo de la señal en el
tiempo(fs) la aproximación se acerca más al valor real, pero el pc demora más en arrojar el cálculo, es
por eso la elección de fs=1000. A continuación se presenta una tabla con una comparación entre éstos
valores.
Tabla 3: Comparación de los valores analíticos con los valores numéricos de potencia, energía y valor medio de las señales fp(t) y gp(t)
Analítica Numérica(fs=1000)
Potencia f 0.5783 0.5785
Potencia g 0.2779 0.2779
Energía f 6.9396 6.9424
Energía g 2.7790 2.7793
Valor Medio f 0.5982 0.5984
Valor Medio g 0.3900 0.3905
Series de Fourier de las señales fp(t) y gp(t)
Las series de Fourier del tipo exponencial se calculan mediante la siguiente ecuación:
𝑓(𝑡) = ∑ 𝐹𝑛𝑒𝑗𝑛𝑤0𝑡
∞
𝑛=−∞
(10)
Donde Fn se llama coeficiente de la serie exponencial de Fourier,
𝐹𝑛 =1
𝑡2 − 𝑡1
∫ 𝑓𝑝(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
(11)
𝑤0 =2𝜋
𝑇 (12)
Serie de Fourier Exponencial de la señal fp(t)
𝐹𝑛 =1
12[∫ (−0.3483𝑡𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡)𝑑𝑡
−1.43565
−4.307
+ ∫ (0.5𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡)𝑑𝑡1.43565
−1.43565
+ ∫ (0.3483𝑡𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡)𝑑𝑡4.307
1.43565
]
19
𝐹𝑛 =1
12[(
0.3483𝑡𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
𝑗𝑛𝑤0
+0.3483𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
(𝑗𝑛𝑤0)2)|
−4.307
−1.43565
+ (−0.5𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
𝑗𝑛𝑤0
)|−1.43565
1.43565
]
+ (−0.3483𝑡𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
𝑗𝑛𝑤0
−0.3483𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
(𝑗𝑛𝑤0)2)|
1.43565
4.307
Evaluando los límites de integración, simplificando términos y factorizando términos comunes se llega
a lo siguiente:
𝐹𝑛 =1
12[
1.5
𝑗𝑛𝑤0
[𝑒4.307𝑗𝑛𝑤0 − 𝑒−4.307𝑗𝑛𝑤0] +0.3483
(𝑗𝑛𝑤0)2[𝑒1.43565𝑗𝑛𝑤𝑜 − 𝑒4.307𝑗𝑛𝑤0 − 𝑒−4.307𝑗𝑛𝑤0 + 𝑒−1.43565𝑗𝑛𝑤𝑜]]
𝑤0 =2𝜋
12=
𝜋
6
Aplicando (5) a Fn y simplificando términos, se obtiene:
𝐹𝑛 =3
2𝑛𝜋sin (
4.307𝜋𝑛
6) +
2.0916
(𝑛𝜋)2cos (
4.307𝜋𝑛
6) −
2.0916
(𝜋𝑛)2𝑐𝑜𝑠 (
1.43565𝜋𝑛
6)
Finalmente,
𝑓𝑝(𝑡) = ∑ ((3
2𝑛𝜋sin (
4.307𝜋𝑛
6) +
2.0916
(𝑛𝜋)2cos (
4.307𝜋𝑛
6) −
2.0916
(𝜋𝑛)2𝑐𝑜𝑠 (
1.43565𝜋𝑛
6)) 𝑒𝑗𝑛𝑤0𝑡)
∞
𝑛=−∞
Serie de Fourier Exponencial de la señal gp(t)
𝐺𝑛 =1
10[∫ 0.5𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡𝑑𝑡
−1.7228
−2.8713
+ ∫ 0.8𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡𝑑𝑡1.7228
−1.7228
+ ∫ 0.5𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡𝑑𝑡2.8713
1.7228
]
𝐺𝑛 =−1
10[0.5𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
𝑗𝑛𝑤0
|−2.8713
−1.7228
+0.8𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
𝑗𝑛𝑤0
|−1.7228
1.7228
+0.5𝑒−𝑗𝑛𝑤0𝑡
𝑗𝑛𝑤0
|1.7228
2.8713
]
𝐺𝑛 =1
10𝑗𝑛𝑤0
[0.3𝑒1.7228𝑗𝑛𝑤0 + 0.5𝑒2.8713𝑗𝑛𝑤0 − 0.5𝑒−2.8713𝑗𝑛𝑤0 − 0.3𝑒−1.7228𝑗𝑛𝑤0]
Aplicando (5) a Gn y simplificando términos se obtiene:
𝐺𝑛 =1
10𝑗𝑛𝑤0
[0.6𝑗𝑠𝑖𝑛(1.7228𝑛𝑤0) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(2.8713𝑛𝑤0)]
𝑤0 =2𝜋
10=
𝜋
5
𝐺𝑛 =1
2𝜋𝑛[0.6 sin (
1.7228𝜋𝑛
5) + 𝑠𝑖𝑛 (
2.8713𝜋𝑛
5)]
Finalmente,
𝑔𝑝(𝑡) = ∑ (1
2𝜋𝑛[0.6 sin (
1.7228𝜋𝑛
5) + 𝑠𝑖𝑛 (
2.8713𝜋𝑛
5)] 𝑒𝑗𝑛𝑤0𝑡)
∞
𝑛=−∞
Serie de Fourier Trigonométrica de la señal fp(t) La siguiente relación permite calcular la serie de Fourier Trigonométrica a partir de la Exponencial,
20
𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑤0𝑡)
∞
𝑛=1
+ ∑ 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑤0𝑡)
∞
𝑛=1
(13)
𝑎0 = 𝐹0 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓 (14)
{
𝑎𝑛 = 2𝑅𝑒(𝐹𝑛)𝑏𝑛 = −2𝐼𝑚(𝐹𝑛)
(15)
Para la señal fp(t), el valor medio y el coeficiente de la serie exponencial ya están calculados, solo basta
identificar su parte real y su parte imaginaria,
𝑎0 = 0.5982 ;
{𝑎𝑛 = 2 (
3
2𝑛𝜋sin (
4.307𝜋𝑛
6) +
2.0916
(𝑛𝜋)2cos (
4.307𝜋𝑛
6) −
2.0916
(𝜋𝑛)2𝑐𝑜𝑠 (
1.43565𝜋𝑛
6))
𝑏𝑛 = 0
Aplicando (13):
𝑓𝑝(𝑡) = 0.5982 + ∑ 2 (3
2𝑛𝜋sin (
4.307𝜋𝑛
6) +
2.0916
(𝑛𝜋)2cos (
4.307𝜋𝑛
6) −
2.0916
(𝜋𝑛)2𝑐𝑜𝑠 (
1.43565𝜋𝑛
6)) cos(
𝑛𝜋𝑡
6)
∞
𝑛=1
Serie de Fourier Trigonométrica de la señal gp(t) 𝑎0 = 0.39 ;
{𝑎𝑛 = 2 (
1
2𝜋𝑛[0.6 sin (
1.7228𝜋𝑛
5) + 𝑠𝑖𝑛 (
2.8713𝜋𝑛
5)])
𝑏𝑛 = 0
Ahora es posible aplicar (13):
𝑔𝑝(𝑡) = 0.39 + ∑ 2 (1
2𝜋𝑛[0.6 sin (
1.7228𝜋𝑛
5) + 𝑠𝑖𝑛 (
2.8713𝜋𝑛
5)])
∞
𝑛=1
cos (𝑛𝜋𝑡
5)
Estimación de la Serie de Fourier con N armónicos
Para poder estimar y generar las señales periódicas a partir de los coeficientes de la serie de Fourier
estimados anteriormente, es necesario crear un vector que contenga la cantidad de armónicos
deseados dentro de un ciclo for e iniciar las series en el valor medio calculado también anteriormente.
Dentro del ciclo for es necesario crear otro ciclo for para así generar la sumatoria de la serie de Fourier.
Cada vez que se repita el ciclo for más interior, el valor de la serie se irá acumulando desde el valor
medio hasta el número de armónico para poder generar la aproximación a la señal original. Una vez
obtenida la aproximación, es necesario repetir la serie de Fourier 3 veces para considerar los tres
periodos originales y graficar. A continuación se presenta la rutina:
c=1;
for N=[1 5 10 30] %%Vector con número de armónicos F=a0; %%Se inicia la serie en el valor medio de la señal t=linspace(-6,6,10000) %%se define t entre -6 y 6 con muestras de tamaño
1/10000 for n=1:N %%Genera las sumatorias que aparecen en la Serie Trigonométrica
21
an=2*((3*sin((4.307*n*pi)/6))/(2*n*pi)+(2.0916*cos((4.307*n*pi)/6)/(n*pi)^
2)-(2.0916*cos((1.43565*n*pi)/6)/(n*pi)^2)); %%Expresión para an bn=0; F=F+an*cos(n*w0*t)+bn*sin(n*w0*t); %%Es la serie Trigonométrica end FF=[F F F] %%Vector para repetir la Serie de Fourier 3 veces p=[t-T t t+T]; %%Considera los 3 periodos subplot(2,2,c) plot(p,FF,'red'); %%Grafica la serie Trigonométrica considerando N
armónicos c=c+1; end
Rutina 5: Código para estimar la Serie de Fourier de fp(t) con N armónicos
El código anterior permite obtener la gráfica de la Serie Trigonométrica de Fourier de la señal fp(t),
considerando N armónicos. Para obtener la Serie de la señal gp(t) solo basta con cambiar el periodo, el
valor medio, an y bn, valores que ya son conocidos de los puntos anteriores.
Figura 8: Señal original fp(t) v/s sus aproximaciones por Serie de Fourier con N=1,5,10 y 30
22
Figura 9: Señal original gp(t) v/s sus aproximaciones por Serie de Fourier con N=1,5,10 y 30
Como se aprecia en las gráficas de aproximación a ambas señales periódicas mediante serie de Fourier,
figuras 2 y 3, a medida que va aumentando la cantidad de armónicos, la aproximación va siendo cada
vez mejor y más exacta. Se observa que con sólo un armónico, la aproximación a las señales originales
es muy lejana y queda expresada mediante una señal sinusoidal.
Figura 10: Espectros de magnitud de las Señales fp(t) y gp(t) respectivamente considerando N=10
En la gráfica del espectro de magnitud al cuadrado de la señal periódica fp(t), es observa claramente
que son los 5 primeros armónicos los que contribuyen considerablemente a la señal, para el caso del
espectro de la señal gp(t), los armónicos que más aportan al desarrollo de la señal son los primeros 2.
23
Figura 11: Espectros de Fase de las Señales fp(t) y gp(t) respectivamente considerando N=10
En el espectro de fase de ambas señales, se observan 2 tipos de fase, 0 y 180 grados. Cuando Fn o Gn
toman un valor positivo la fase es 0°, cuando Fn o Gn son negativos la fase es 180°, además, al ser la
fase 0° o 180° se deduce que la señal periódica fp(t) y gp(t) no poseen parte compleja.
Error cuadrático medio
Para el cálculo del error cuadrático medio se utiliza la siguiente fórmula:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟(𝑁) =1
𝐿∑ [𝑓(𝑖) − (𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛cos (𝑛𝑤0)
𝑁
𝑛=1
+ ∑ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤0𝑖)
𝑁
𝑛=1
)]
2𝐿
𝑖=1
(16)
Para estimar el error cuadrático medio mediante matlab, primero se define un vector de tiempo, seguido
de eso se definen ambas señales f(t) y g(t), se le indica al programa el periodo de cada una de las
señales, la frecuencia fundamental y se inicia cada una de las señales en su valor medio. Luego de esto
es necesario crear un ciclo que se repita una cantidad de veces igual a la cantidad de armónicos que
se desea considerar para así generar las sumatorias o más bien dicho, las series de Fourier de cada
señal dependientes del número de armónicos. Por cada vuelta del ciclo, a las series originales se le
resta su aproximación por serie de Fourier y se eleva al cuadrado y se le indica al programa que esos
valores los almacene como arreglos. Cuando finalice el ciclo, cada arreglo se divide en el total de puntos
de la señal en el tiempo y se le indica al programa que grafique los errores:
fs=1000; t=-6:1/fs:6; %%Ajusta el eje del tiempo f1=-0.3483*t; %%Primera parte de la señal f sin acotar F1=f1.*(-4.307<=t & t<-1.43565); %%Primera parte de la señal f acotada f2=0.5; %%Segunda parte de la señal f sin acotar F2=f2.*(-1.43565<t & t<1.43565); %%Ssegunda parte de la señal f acotada f3=0.3483*t; %%Ttercera parte de la señal f sin acotar
24
F3=f3.*(1.43565<t & t<=4.307); %%Ttercera parte de la señal f acotada f=F1+F2+F3; %%Señal f
Tf=12; %%Periodo de la señal f_p w0f=(2*pi)/Tf; %%Frecuencia fundamental de f_p a0f=0.5982; %%Valot mefio de la f_p F=a0f; %%Se inicia la serie de f en el valor medio de f for n=1:100 %%Ciclo
anf=2*((3*sin((4.307*n*pi)/6))/(2*n*pi)+(2.0916*cos((4.307*n*pi)/6)/(n*pi)
^2)-(2.0916*cos((1.43565*n*pi)/6)/(n*pi)^2)); %%Expresion para a_n de f bnf=0; %%Expresion para b_n de f F=F+anf*cos(n*w0f*t)+bnf*sin(n*w0f*t); %%Es la serie Trigonométrica de f errorf(n)=sum((f-F).^2); %%Señal original f menos su serie todo al
cuadrado almacenado como arreglo end errorf=errorf./length(f) %%Error cuadrático medio de f
Rutina 6: Código para Estimar el error cuadrático medio de Aproximación de la señal fp(t)
La rutina 5 sólo estima el error cuadrático medio de la señal f, para estimar el de la señal g, basta con
cambiar los datos de la señal f por la g, como lo son los intervalos de tiempo en que se define la señal,
su periodo, su valor medio y su serie de Fourier. Para graficar se utiliza el comando stem.
Figura 12: Gráfica del error cuadrático medio de aproximación de fp(t) y gp(t) en relación a cantidad de armónicos
En la figura 12 es evidente que mientras más armónicos se consideren para hacer la aproximación a
cada una de las señales el error disminuye y por ende la aproximación es cada vez mejor.
Potencia media por Teorema de Parseval
Para estimar la potencia media de la señal fp(t) aplicando el Teorema de Parseval, se creó una rutina
en matlab definiendo primeramente la señal fp en el dominio del tiempo. Seguido de eso se le indicó al
programa que calcule la potencia por sumas de Riemann. A continuación se le indicó al programa que
genere la sumatoria de Parseval para estimar la potencia, logrando esto con un ciclo y con una sentencia
muy importante dentro del ciclo para n=0, en donde el valor de la potencia corresponde al valor medio
de la señal al cuadrado. Por cada vuelta del ciclo, los valores de potencia y de N se almacenaron en un
arreglo, para una vez finalizado el ciclo crear las gráficas de potencia v/s N.
25
fs=1000; t=-6:1/fs:6; %%Ajusta el eje del tiempo entre -6 y 6 f1=-0.3483*t; %%Ecuación de la recta primera parte de la señal f_p sin
acotar F1=f1.*(-4.307<=t & t<-1.43565); %%Ecuación de la recta primera parte de
la señal f_p acotada f2=0.5; %%Ecuación de la recta segunda parte de la señal f_p sin acotar F2=f2.*(-1.43565<t & t<1.43565); %%Ecuación de la recta segunda parte de
la señal f_p acotada f3=0.3483*t; %%Ecuación de la recta tercera parte de la señal f_p sin
acotar F3=f3.*(1.43565<t & t<=4.307); %%Ecuación de la recta tercera parte de la
señal f_p acotada f=F1+F2+F3; %%Suma de las tres partes de la señal f_p T1=12; %%Periodo de la señal f_p potenciaf=(1/T1)*sum((f.^2)*(1/fs)); %%Cálculo de la potencia de f_p w0f=(2*pi)/T1; %%Frecuencia fundamental de f_p F=0.5982^2; %%Para n=0, Fn cuadrado es el valor medio de f_p al cuadrado k=1; for n=0:50 %%Genera la sumatoria de parseval if n==0 %%Sentencia para n=0 la potencia es el valor medio al cuadrado F=F; potf(k)=potenciaf; Fncuad(k)=F; %%Arreglo que almacena potencia de Fn para n=0 wf(k)=n; %%Arreglo que almacena el número de armónico para f_p k=k+1; else
anf=2*((3*sin((4.307*n*pi)/6))/(2*n*pi)+(2.0916*cos((4.307*n*pi)/6)/(n*pi)
^2)-(2.0916*cos((1.43565*n*pi)/6)/(n*pi)^2)); %%a_n de f_p bnf=0; %%Expresión para bn de f_p F=F+2*abs((anf^2+bnf^2)/4); %%Fn cuadrado para n distinto de cero potf(k)=potenciaf; Fncuad(k)=F; %%Arreglo que almacena los valores de Fn, n distinto de cero wf(k)=n; k=k+1; end end
Rutina 7: Código para estimar la potencia media de las señal fp(t) mediante el Teorema de Parseval y de forma analítica
El código anterior se limita a la señal fp(t). Para el caso de gp(t) basta con cambiar los datos de f por los
de g, a saber, su representación en el tiempo, su periodo, su valor medio an y bn.
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Figura 13: Gráficas de la potencia media de las señales fp(t) y gp(t) respectivamente
A medida que aumenta la cantidad de armónicos, la potencia estimada por el teorema de parseval cada
vez se acerca más a la potencia de la señal llegando un momento en donde la diferencia entre las
potencias ya no es considerable y la aproximación de potencia es muy buena.
Filtro pasabajos ideal de frecuencia de corte igual al 5to armónico para fp(t) y del
8vo armónico para gp(t)
Cuando se aplican filtros pasabajos ideales con alguna frecuencia de corte igual a cierto armónico,
simplemente quiere decir que todos aquellos armónicos que sean mayores o igual al armónico en
cuestión serán eliminados de la señal. En la práctica, eliminar armónicos es debido a que ya no
contribuyen mayoritariamente al desarrollo de la señal y ya no son de gran importancia. Cabe señalar
que al eliminar armónicos de una señal, el costo de transmisión de ésta será menor.
Figura 14: Nuevas gráficas de las señales fp(t) y gp(t) después de aplicarles un filtro pasabajos ideal de frecuencias de corte igual al 5to y 8vo armónico respectivamente
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En la figura 14 se aprecia un cambio en las señales fp(t) y gp(t) luego de haberles aplicado un filtro
pasabajos ideal de frecuencias de corte igual al 5to y 8vo armónico respectivamente. Este cambio en la
forma de las señales, viene dado debido a la eliminación de armónicos en cada una de las señales
dando como resultado las señales f2p(t) y g2p(t) las cuales se parecen en forma a las señales originales,
pero aún no es posible considerarlas como una buena aproximación.
Filtro pasa altos ideal de frecuencia de corte inferior al 1er armónico para las
señales fp(t) y gp(t)
Con los filtros pasa altos de frecuencia de corte inferior a cierto armónico se eliminan todos aquellos
armónicos que están por debajo del armónico en cuestión. En el caso de que la frecuencia de corte sea
menor que el primer armónico, a la señal original se le elimina su valor medio, es decir, queda
desplazada en el eje de la amplitud.
Figura 15: Nuevas gráficas de las señales fp(t) y gp(t) después de aplicarles un filtro pasa altos ideal de frecuencia de corte inferior al primer armónico de cada señal
En la figura 15, al aplicar el filtro pasa altos ideal de frecuencia de corte inferior al primer armónico, las
señales fp(t) y gp(t) se desplazan en el eje de la amplitud dando como resultado dos nuevas señales
f3p(t) y g3p(t). Este desplazamiento o diferencia en la amplitud coincide con el valor medio de cada una
de la señales original. Se corrobora lo planteado anteriormente a la figura 8.
Densidad espectral de potencia de las señales fp(t) y gp(t) con -5T<t<5T
Para este caso, considerar dicho intervalo de tiempo, es equivalente a multiplicar ambas señales fp(t) y
gp(t) por un pulso rectangular de ancho 10T.
La densidad espectral de potencia se calcula de la siguiente forma:
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Se considera T=ancho del pulso rectangular
𝑆𝑓(𝑤) = lim𝑇→∞
∑ 𝑇|𝐹𝑛|2𝑆𝑎2 ((𝑤 − 𝑛𝑤0)𝑇
2)
∞
𝑛=−∞
(17)
Los valores de Fn y Gn ya son conocidos, además se consideran 3 periodos, por lo que el límite tendiendo
a infinito se elimina y queda la sumatoria multiplicada por 3:
Densidad espectral de potencia de fp(t) Con la fórmula (17) se tiene que:
𝑆𝑓(𝑤) = 3 ∗ 10 ∗ 12 ∑ |3
2𝑛𝜋sin (
4.307𝜋𝑛
6) +
2.0916
(𝑛𝜋)2cos (
4.307𝜋𝑛
6)
∞
𝑛=−∞
−2.0916
(𝜋𝑛)2𝑐𝑜𝑠 (
1.43565𝜋𝑛
6)|
2
𝑆𝑎2 ((𝑤 − 𝑛𝑤0)10 ∗ 12
2)
Densidad espectral de potencia de gp(t) Al igual que para f, aplicando la fórmula (17) se llega a:
𝑆𝑔(𝑤) = 30 ∗ 10 ∑ |1
2𝜋𝑛[0.6 sin (
1.7228𝜋𝑛
5) + 𝑠𝑖𝑛 (
2.8713𝜋𝑛
5)]|
2
𝑆𝑎2 ((𝑤 − 𝑛𝑤0)10 ∗ 10
2)
∞
𝑛=−∞
Sus respectivas gráficas vienen dadas en la siguiente figura:
Figura 16: Densidad espectral de potencia de las señales fp(t) y gp(t) respectivamente
Potencia de las señales fp(t) y gp(t)
Una vez obtenida la densidad espectral de potencia, si se suman todas esas pequeñas
densidades(Sumas de Riemann), entonces se está en presencia de otra potente herramienta para el
cálculo de la potencia de señales:
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𝑃 =1
2𝜋∫ 𝑆𝑓(𝑤)
∞
−∞
𝑑𝑤 (18)
Potencia de la señales fp(t) y gp(t)
𝑃𝑓 =180
𝜋∫ ( ∑ |
3
2𝑛𝜋sin (
4.307𝜋𝑛
6) +
2.0916
(𝑛𝜋)2cos (
4.307𝜋𝑛
6)
∞
𝑛=−∞
∞
−∞
−2.0916
(𝜋𝑛)2𝑐𝑜𝑠 (
1.43565𝜋𝑛
6)|
2
𝑆𝑎2 ((𝑤 − 𝑛𝑤0)10 ∗ 12
2)) 𝑑𝑤
Con ayuda de Matlab, si se considera una frecuencia w desde -6 a 6 con pasos de 1/1000, el resultado
de potencia arroja Pf=0.5417[unidades de potencia], resultado que se acerca bastante al valor calculado
analíticamente(0.5783[unidades de potencia]).
𝑃𝑔 =150
𝜋∫ ( ∑ |
1
2𝜋𝑛[0.6 sin (
1.7228𝜋𝑛
5) + 𝑠𝑖𝑛 (
2.8713𝜋𝑛
5)]|
2
𝑆𝑎2 ((𝑤 − 𝑛𝑤0)10 ∗ 10
2)
∞
𝑛=−∞
)∞
−∞
𝑑𝑤
Con ayuda de Matlab, considerando las mismas condiciones anteriores de w, finalmente el valor de la
potencia es Pg=0.2634[unidades de potencia], un resultado muy cercano al calculado
analíticamente(0.2779[unidades de potencia]).
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Conclusiones
La tabla 1 hace una comparación entre los valores de potencia, energía y valor medio obtenidos
analíticamente y computacionalmente. Los resultados obtenidos se asemejan bastante entre ellos.
Para las señales no periódicas, se obtuvo la transformada de Fourier, y con ésta, se estableció una
relación matemática para el cálculo de la energía. Los valores de energía para frecuencias menores a
5Hz arrojaron un resultado muy cercano a lo obtenido analíticamente. La mayor parte de la energía
estaba concentrada en las frecuencias menores a los 5Hz. Dichos valores se resumen en la tabla 2
Los espectros de fase obtenidos con la ayuda de Matlab, arrojaron 2 fases, 0° y 180°; con esto se afirma
que las señales en estudio no poseen parte imaginaria.
El cálculo de Autocorrelación se hizo de forma analítica, para ambos señales se obtuvieron funciones
lineales para los distintos valores de tau.
Gráficamente se observa que al multiplicar cada una de las señales no periódicas por coseno(wot), el
nuevo espectro de magnitud fue el mismo de cada señal, pero desplazado en ±wo.
Finalmente, con la Convolución, proceso por el cual se logra hacer una comparación entre dos señales,
dejando una fija, y la otra se desplaza en el tiempo, superponiéndose sobre la que está fija, se concluye
que ésta es la magnitud del área común entre ambas señales mientras ocurre dicha superposición.
La tabla 3 refleja los resultados de potencia, energía y valor medio de las señales periódicas. Claramente
el cálculo computacional se asemeja mucho al analítico.
Con la serie trigonométrica de ambas señales, a medida que se aumentan los armónicos la
aproximación a cada señal periódica es más exacta. Cuando se considera sólo un armónico, la
aproximación es muy lejana y la señal original queda representada mediante una señal sinusoidal.
Con los gráficos de magnitud al cuadrado, se concluye que para la señal fp(t) son los 5 primeros
armónicos los que contribuyen mayoritariamente al desarrollo de la señal, para gp(t) son los 2 primeros.
Del espectro de fase se esperaba que arrojara 2 fases, 0° y 180°, caso comprobado, ya que las señales
periódicas en estudio no poseían parte compleja. Por lo demás, para los armónicos que hacen a Fn o
Gn positivo se deduce que la fase es 0°, caso contrario, la fase es 180°.
Con las gráficas del error cuadrático medio, a medida que el número de armónicos aumenta, la
aproximación a las señales periódicas mediante series de Fourier es más exacta y el error es menor.
Mediante el teorema de Parseval se calculó la potencia media de cada señal periódica, a medida que
se aumenta la cantidad de armónicos, la potencia de Parseval es más exacta hasta un punto en donde
las potencias son casi iguales. Para n=0, la potencia corresponde al valor medio al cuadrado de la señal.
Al aplicar el filtro pasabajo con frecuencia de corte igual al 5to armónico para fp(t) y 8vo para gp(t), se
eliminaron todos aquellos armónicos mayores o iguales al 5to y 8vo respectivamente, dando como
resultado f2p(t) y g2p(t), dos nuevas señales parecidas en forma a las periódicas originales, pero con la
eliminación de dichos armónicos se perdió mucha información y la aproximación no es buena. Con el
pasa altos, se eliminó el valor medio de cada señal periódica, desplazándose en el eje de la amplitud.
Finalmente, con la obtención de la densidad espectral de potencia, se obtuvo la potencia de cada señal,
con menos precisión que los otros métodos, pero aun así fue muy cercana a la potencia obtenida
analíticamente.
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Bibliografía
[1] Salgado, M., Yuz, J. y Rojas R., "Análisis de Sistemas Lineales”, Prentice-Hall, 2005
[3] Oppenheim, A.V. and Willsky, A.S., “Signals and Systems”, Prentice-Hall, 1994