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INGENIERIA CIVIL FICSA

BASE TEORICA

1. CANALES:

Son estructuras de conducción, que conducen los fluidos líquidos por acción de la gravedad, pudiendo ser abiertos o cerrados, pero a presión constante, pues la superficie libre del líquido está en contacto con la atmósfera.Los canales pueden ser naturales (ríos o arroyos) o artificiales, es decir aquellos construidos por el hombre (Geometría 0o formas definidas: sección triangular, rectangular, trapezoidal, etc.)

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2. TIPOS DE FLUJOS EN CANALES La clasificación de flujo en un canal depende de la variable de referencia que se tome así tenemos:

2.1. Flujo Permanente Y No Permanente: (Con Respecto Al Tiempo)

Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como variable flujo es permanente si los parámetros (tirante; velocidad; área; etc.) no cambian con respecto al tiempo; es decir; en una sección del canal en todos los tiempos; los elementos del flujo permanecen constantes. Matemáticamente se pueden representar:

∂Y∂t

=0; ∂v∂ t

=0; ∂ A∂ t

=0

Si los parámetros cambian con respecto al tiempo el flujo se llama permanente; es decir:

∂Y∂t

≠0, ∂v∂ t

≠0 ; ∂ A∂ t

≠0 ;etc .

2.2. Flujo Uniformemente Y Variado: (Con Respecto Al Espacio)

Esta clasificación obedece a la utilización del espacio como variable. El flujo uniforme si los parámetros (tirante; velocidad; área; etc.) no cambian con respecto al espacio; es decir; en cualquier sección del canal los elementos del flujo permanecen constantes. Matemáticamente se puede representar:

∂Y∂ L

= 0; ∂V∂ L

= 0; ∂ A∂ L

= 0; etc.

Si los parámetros varían de una sección a otra; el flujo se llama no uniforme o variado; es decir:

∂Y∂ L

≠0 ; ∂V∂ L

≠0; ∂ A∂ L

≠0 ;etc .

El flujo variado se puede a su vez clasificar en gradual y rápidamente variado.

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El flujo gradualmente variado es aquel en el cual los parámetros cambian en forma gradual a lo largo del canal; como es el caso de una curva de remanso producida por la intersección de una presa en el cauce principal elevándose el nivel del agua por encima de la presa con efecto hasta varios kilómetros aguas arriba de la estructura. El flujo rápidamente variado es aquel en el cual los parámetros varían instantáneamente en una distancia muy pequeña. Como es el caso del salto hidráulico.

2.3. Flujo Laminar Y Turbulento

El comportamiento de flujo en un canal está gobernado principalmente por efectos de las fuerzas viscosas y de gravedad con relación a las fuerzas de inercia internas del flujo. Con relación al efecto de la viscosidad; el flujo puede ser laminar; de transición o turbulento; en forma semejante al flujo en conductos forzados; la importancia de la fuerza viscosa se mide a través del número de Reynolds definido en este caso como:

Re=VDv

, pero D = 4R

Entonces

Re=V (4 R)

v (2.3.1)

Donde: R= radio medio hidráulico de la sección; en m.

V= velocidad media en la misma; en ms

.

V= viscosidad cinemática del agua. m2

s.

En los canales se han comprobado resultados semejantes a los de los tubos lo que; respecto a este criterio de clasificación y para propósitos prácticos; en el caso de un canal; se tiene:

Flujo laminar para Re ¿575 Flujo de transición para 575≤ Re ≤ 1000 Flujo turbulento para Re ¿1000

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En la mayoría de los canales el flujo laminar ocurre muy raramente debido a las dimensiones relativamente grandes de los mismos y la baja viscosidad cinemática del agua.

2.4. Flujo Crítico; Subcrítico Y Supercrítico.

Con relación del efecto de la gravedad; el flujo puede ser crítico; subcrítico y supercrítico; la importancia de la fuerza de gravedad se mide a través del número de Froude (F); que relaciona fuerzas de inercia de velocidad; con fuerzas gravitatorias; el cual se define como:

F = V

√gD (2.4.1)

Donde: V= velocidad media de la sección; en m/s

g= aceleración de la gravedad; en m/s2

D= tirante medio de la sección; en m.

De acuerdo al número de Froude de flujo puede ser:

Flujo subcrítico si F ¿1

Flujo crítico si F = 1 Flujo supercrítico si F¿1

3. FLUJO UNIFORME.

El flujo es uniforme si los parámetros (tirante; velocidad; área; etc.) no cambian con respecto al espacio; de lo cual se desprende que; las características profundidad; área transversal; velocidad y caudal en cada sección del canal deben ser constantes; además la línea de energía; la superficie libre del agua y el fondo del canal deben ser paralelos; es decir la pendiente de la línea de energía; la pendiente de la superficie libre del agua ya la pendiente del fondo del canal; son iguales.

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Llamando: SE = pendiente de la línea de energía SW = pendiente de la superficie libre del agua. SO = pendiente del fondo del canal.Se tiene: SE = SW = SO = S

Una de las condiciones para que se desarrolle un flujo uniforme en un canal; es que la pendiente sea pequeña; por lo que los tirantes normales se toman iguales a los verticales.

Y = tirante vertical d = tirante normal Del gráfico se tiene: Y = d cos ∝ Si “∝”es pequeño; cos ∝≈1 ; luego: Y = d

El flujo uniforme es; para cualquier propósito práctico; también permanente ya que el flujo impermanente y uniforme no existe en la naturaleza. Las condiciones ligadas al flujo uniforme y permanente se llaman normales. Ahí los términos tirante; normal; velocidad normal; pendiente normal; etc.

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Usualmente se considera que el flujo en canales y ríos es uniforme; sin embargo; la condición de uniformidad es poco frecuente y debe entenderse que únicamente porque los cálculos para flujo uniforme son relativamente sencillos y porque estos aportan soluciones satisfactorias; se justifica esta simplificación. Para la deducción de la formula general para el flujo uniforme; consideremos un tramo de un canal de longitud “L”y de sección cualquiera como se ilustra en la figura.

Mediante el balance de fuerzas que ocurren en el momento fluido no sometido a acciones de aceleración se tiene:

∑ F x= ∅

F = W sen ∝ (3.1)

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Donde: W =γ ∀ ;∀=¿ volumen Y ∀=¿ AL

Es decir: W = γ AL (3.2)

Además: sen ∝= S (3.3)

Sustituyendo (3.2) y (3.1) resuelta: F = γ ALS (3.4)

La fuerza de fricción externa “F” también puede expresarse como: F = t 0 AT (3.5) Donde: At = P.L AT = área tangente P = perímetro mojado

Y t 0 = F8

(pV 2)¡

t 0 = esf cortante en la pared; obtenido de la ecuación de Darcy.

Luego en (3.5):

F = f8p .V 2. P .L . (3.6)

Igualando (3.4) y (3.6) se tiene

Y AL = F8p .V 2 . P .L . (3.7)

DONDE: R =AP

R= radio medio hidráulico

y=γ=pg .

En (3.7) PgRS=F8pV 2

De donde:

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V=√ 8S

f√R .S.

La expresión (3.8) constituye la formula general de la velocidad para flujo uniforme; siendo “f”el factor de fricción, que en términos generales depende del número de Reynolds “Re”y de la rugosidad relativa del conducto “E/R”, es decir:

f=∅ (Re ,E /D)

Donde par el caso de canales, se considera D=4R

Conocernos que para el flujo en tuberías ,para número de Reynolds elevados y factores de rugosidades grandes, el factor de fricción “f” es independiente del número de Reynolds y solo depende del factor de rugosidad (zona de flujo rugoso), es decir :

f=∅ (E)

Esto ocurre en muchos flujos en canales que usualmente se encuentran en la práctica por consiguiente puede decirse que.

√ 8Sf

= C = Funcion del factor rugosidad.

f=ϕ (R0 , ε /D)

Donde para el caso de canales se considera D =4R (3.9)

Conocemos que para el flujo en tuberías, para número de Reynolds elevados y factores de rugosidades grandes, el factor de fricción “f” es independiente del número de Reynolds y solo depende del factor de rugosidad (zona de flujo rugoso), es decir:

f=ϕ (ε )

Esto ocurre en muchos flujos en canales que usualmente se encuentran en la práctica por consiguiente puede decir que g:

√ 8gf

=С

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4. FLUJO TURBULENTO

En la mayoría de los canales de los canales se presenta el flujo turbulento en cambio el régimen laminar ocurre muy raramente debido a las dimensiones relativamente grandes de los mismos y a la baja viscosidad cinemática del agua

En la sección 2.3 puede notarse que para propósitos prácticos el flujo turbulento en canales ocurre para números de Reynolds, superiores a 1000

En el flujo turbulento para tuberías existen ciertos criterios que pueden aplicarse al flujo en canales, tales como

V ¿εv

<4 : Zona de flujo hidráulicamente liso

4 ≤V ¿εv

≤100 : Zona de flujo de transición

V ¿εv

>4 : Zona de flujo rugosa

Donde: V ¿= velocidad de corte =√ τ0

p=√gRS

𝜀 = rugosidad promedio

v = viscosidad cinemática del agua

El diagrama de Moody y las formulas semiempíricas utilizadas en tuberías para calcular el factor de fricción también son aplicables en el flujo de canales, razón por la cual recordaremos tales expresiones para el caso del flujo turbulento.

Para la zona de flujo hidráulicamente liso, se puede aplicar la fórmula de Blasius

si:Re<105

f=0.316

ℜ0.25 (4.3)

Si: ℜ>105 es preferible aplicar la formula de von Karman

1√ f

=2 log( ℜ√ f2.51 ) (4.4)

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Para la zona de flujo de transición puede utilizarse la ecuación de Colebrook

a) 1f=−2 log( ε

3.71D+

2.51ℜ√ f ) (4.5a)

b) 1f=1.14−2 log( ε

3.71D+

9.35ℜ√ f ) (4.5b)

para la zona de flujo rugoso ,”f” no depende del número de Reynolds de manera que

al considerar la ecuación (4.5b) significa εD

≫ 9.35ℜ√ f ; obteniéndose asi la ecuación de

Nikuradse:

1f=1.14−2 log( εD ) (4.6)

Además se presenta la ecuación de Swamee – Jain, la cual es válida para ciertos intervalos de valores de 𝜀/D y Re los cuales cubren la mayor la mayor parte de la zona de transición

f= 0.25

{log( ε3.71D

+ 5.74Rê 0,9 )}

2 (4.7)

La cual es válida para los rangos

5 x103≤ℜ≤109

10−6≤( εD )≤10−2

5. FORMULAS CLASICAS EN EL DISEÑO DE CANALES

5.1. Fórmula de Chezy

La fórmula se originó en 1768 cuando el ingeniero francés Antoine Chezy recibió el encargo de diseñar un canal para suministro a París .

Las experiencias realizadas por Chezy le permitieron establecer la primera fórmula de flujo uniforme, para el cálculo de la velocidad media en un conducto, la cual se expresa:

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V=C √R . S (5.1.1)

Que comparada con la ecuación (8) resulta

С=√ 8gf

(5.1.2)

Donde:

V = velocidad media de canal, en m/s

C = coeficiente de Chezy que depende de las características del encubrimiento y de la naturaleza de las paredes.

R = radio medio hidráulico en m.

S = pendiente del canal.

5.2 Fórmula de Kutter

Esta fórmula fue presentada en 1869 por el ingeniero suizo Kutter, quien vasado en sus experiencias estableció que para pendientes mayores que 0,0005 el valor del coeficiente “c” esta dado por:

C=100√Rm+√R

(5.2.1)

Luego:

V=100√Rm+√R √RS (5.2.2)

Dónde:

V = velocidad media, en m/s



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m= coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza de las paredes del canal

5.3 Formula de Bazin

Henry Bazin en 1987 de acuerdo a sus experiencias presento, en el sistema métrico , la siguiente expresión para evaluar el coeficiente “ C ” de Chezy .

C= 87

1+γ

√R (5.3.1)

Luego:

V= 87

1+γ

√R

√RS (5.3.2)

Donde:

V = velocidad media, en m/s



γ = coeficiente que depende de las características de rugosidad de las paredes.

Los siguientes valores de γ fueron determinados por Bazin:

γ= 0.06 para paredes de plancha mecánica, cemento liso o madera cepillada. γ = 0.16 para paredes de ladrillos , madera γ = 0.46 para paredes de mampostería. γ = 0.85 para canales en tierra de superficie muy regular. γ = 1.30 para canales en tierras ordinarios. γ = 1.75 para canales en tierra muy rugosa, cubiertos con maleza y cantos rodados.

5.4. Formula de Manning:

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En el año de 1889 el ingeniero irlandés Robert Manning presento una formula cuyo uso se haya extendido a casi todas las partes del mundo .Proviene de considerar en la fórmula de Chezy un coeficiente C igual a :

C=1nR1 /6

Como :

V=C √RS

Entonces :

V=1nR1/6R1/2S1 /2

V=1nR2/3S1/2

El caudal, mediante la fórmula de Manning es:

Q=1nA R2/3S1 /2

Donde:

Q = caudal o gasto , en m3/s

n = coeficiente de rugosidad de la pared

A = área hidráulica de la sección transversal en m2



TABLA N 01

Valores promedio del n de Manning y la rugosidad 𝜀 promedio

MATERIAL n 𝜀, pies 𝜀,mAsfalto 0.016 0.018 0.0054Ladrillo 0.016 0.0012 0.0037Canal en concreto pulido 0.012 0.0032 0.001Sin pulir 0.015 0.0080 0.0024Tubo de concreto 0.015 0.0080 0.0024Tierra buena condición 0.025 0.12 0.037

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Maleza y piedra 0.035 0.8 0.240Tubo de Hierro Fundido 0.015 0.0051 0.0016Hierro forjado 0.015 0.0051 0.0016Acero corrugado 0.022 0.012 0.037Remachado 0.015 0.0012 0.0037Madera cepillada 0.012 0.0032 0.001

6. FORMULA MODERNA EN EL DISEÑO DE CANALES :

Hasta ahora hemos considerado las formulas clásicas que son aplicables a la zona del flujo rugoso sin embargo trabajos más recientes desarrollados en la década de 1930 y basados en la experiencias de Darcy , pueden utilizarse para cubrir la zona del flujo hidráulicamente liso y la zona de flujo en transición así como el flujo en la zona rugosa , utilizando el diagrama de Moody o de las formulas empíricas para el factor de fricción “f”.

Recordando que la formula general de la velocidad para el flujo uniforme es:

V=√ 8 gf

√R .S ¿√ 8 gfRS (6.1)

Como Q = V.A

Entonces: Q=A √ 8gf

RS

Que es la fórmula moderna para el diseño de canales o formula de Darcy por contener la factor de fricción “ f ” .

Donde:

Q = caudal, en m3/s

A = área hidráulica de la sección transversal en m2

f = factor de fricción (adimensional)



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DISEÑO DE CANALES

1. METODO MODERNO

Aplicando la fórmula de Darcy :

El procedimiento consiste en calcular primero f .Luego determinamos la velocidad mediante la expresión (6.1):

V=√ 8 gf

RS

Se calcula el número de Reynolds de flujo utilizando la expresión ( 2.3.1 ) :

Re=V (4 R)

v

Con este número de Reynolds Re y con la relación de rugosidad relativa εD

= ε4 R

se

encuentra “f ” en el diagrama de Moody . Si este “f” no coincide con el cálculo original, se continúa con una segunda iteración, utilizando el f que se calculó.

Se procede de esta forma hasta que se alcanza buena concordancia entre el f insertado y el f calculado.

Si desean utilizarse ecuaciones para calcular f, debe conocerse en qué zona del flujo se está. Para un flujo en tuberías existen los siguientes criterios que pueden aplicarse al flujo en canales.

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V ¿ϵυ

<4 :Zonade Flujo hidr áulicamente liso .

4 ≤V ¿ϵυ

≤100 :Zonade Flujo de Transició n.

V ¿ϵυ

>100 :Zonade FlujoRugoso .

Donde:

V ¿=velocidad de corte=√gRS

ϵ=rugosidad promedio

υ=viscosidad cinemá ticadel agua .

Conocida la zona de flujo, el coeficiente f puede determinarse por ecuaciones, que son análogas presentadas para el flujo en tuberías. Allí tenemos que:

Para la zona de flujo hidráulicamente liso podemos aplicar la fórmula de Blasius, si Re<105.

f=0.316

Re0.25

Si Re>105 es recomendable la ecuación de Von Karman:

1√ f

=2 log( Re √ f2.51 )

Para la zona de flujo de transición, puede utilizarse una modificación de a ecuación de Colebrook:

1

√ f=2.16−2 log [ ϵR +

30Re√ f ]

Finalmente en la zona de flujo rugoso donde ε /R≫30/ (R e√ f ) en la ecuación anterior, se

tiene:

1√ f

=2.16−2 log [ ϵR ]

2. METODO CLÁSICO

Aplicando la fórmula de Manning.

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El procedimiento consiste en agrupar en un solo miembro de la fórmula de Manning los valores conocidos y en el otro las variables que estarán en función del tirante normal, y cuyo valor podría determinarse a través de un proceso de tanteos o por otro método que se crea conveniente.

Simbólicamente el procedimiento a seguir es el siguiente:

De la fórmula de Manning, se tiene:

Q= A R2 /3S1/2

n

Los valores conocidos para el diseño son: Q, n, S y Z.

Los valores desconocidos son: A, R, Y, T y P.

Luego agrupando los valores conocidos, tenemos:

Qn

S1/2=A R2/3

Como A y R son funciones del tirante Y.

Entonces:

Qn

S1/2=f (Y )

El valor del tirante normal “Y” puede determinarse por tanteos.

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EJEMPLOS DE APLICACION

Problema 01:

A través de un canal rectangular de concreto pulido, fluye un caudal de 5m 3/s de agua; a una temperatura de 20° C; el canal tiene una plantilla de 2 m. y una pendiente del 1,6°/°°.Determine el tirante normal: a. Aplicando el método clásico.b. Aplicando el método moderno.

Solución:

Q= 5 m3/sB= 2mS= 1,6°/°°= 0.0016T=20º C; υ =1.007x10-6 m2/sn= 0.012

ϵ= 0.001my= ?

a) Aplicando el Método Clásico:De la fórmula de Manning, se tiene que:

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Q= A R2 /3S1/2

n

O bien:Qn

S1/2=A R2/3(1)

Donde:A=by=2 y

R= AP

= byb+2 y

= 2 y2+2 y

= y1+ y

Sustituyendo los valores en (1)

5x 0.0120.00161 /2 =2 y ( y

1+ y )2/3

0.75= y(1+ y )2/3

5 /3

Resolviendo por tanteos resulta:y=1.15m .

b) Aplicando el Método Moderno:

Asumimos f=0.02 para determinar la velocidad V.

V=QA

=( 8gRSf )

1/2

52 y

=[ 8 (9.81 ) (0.0016 )( y1+ y )

0.02 ]1 /2

(1)

0.9965= y3

1+ yResolviendo por tanteos, resulta:

y=1.32m

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V= 52 y

=1.89m /s

Determinamos Re y ϵ /R:

Re=V (4 R)

υ=

1.89(4) [1.32/(1+1.32)]1.007 x10−6

Re=4.271x 106

ϵR

= 0.0011.32 /(1+1.32)

=0.00176

Ahora corregimos el valor de f aplicando la ecuación modificada de Colebrook:

1

√ f=2.16−2 log(0.00176+

30

4.271x 106 √0.02 )f=0.0171

Calculamos el nuevo valor de “y”:En (1)

52 y

=[ 8 (9.81 ) (0.0016 )( y1+ y )

0.0171 ]1 /2

0.8520= y3

1+ yResolviendo por tanteos:

y=1.24mVerificamos el valor de f:

V= 52 y

=2.016m /s

Re=V (4 R)

υ=

2.016 (4) [1.24 /(1+1.24)]1.007x 10−6

Re=4.433 x106

ϵR

= 0.0011.24 /(1+1.24 )

=0.00181

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1

√ f=2.16−2 log(0.00181+

30

4.433 x 106 √0.0171 )f=0.0172

Como este valor es muy próximo al f=0.0171, entonces daremos por aceptado al valor de “y” obtenido anteriormente es decir:

y=1.24mAhora determinemos a que zona pertenece el flujo, para ello utilizaremos la expresión (6.3)

V ¿ϵυ

=√gRS . ευ

=√9.81[ 1.241+1.24 ] (0.0016 )(0.001)

1.007 x10−6

V ¿ϵυ

=92.5<100 :Zonade flujo de transici ó n .

Luego la fórmula de Manning no es aplicable en esta zona, así mismo para este problema el tirante obtenido por el método clásico es un 7.25% menor con respecto al método moderno.

Problema 02:

Se desea construir un canal de concreto pulido y de sección trapezoidal con talud Z=1.5 para evacuar las aguas pluviales. El caudal de diseño es de 600 lps, La plantilla es 0.8 m., la pendiente es 1°/°° y la temperatura del agua es 20° C.Determine el tirante normal: c. Aplicando el método clásico.d. Aplicando el método moderno.

e.

Q= 0.6 m3/sB= 0.8mS= 1°/°° = 0.001T=20° C; υ =1.007x10-6 m2/s

n= 0.012

ϵ= 0.001m

y= ?21

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a) Aplicando el Método Clásico:De la fórmula de Manning, se tiene:

Q=1nA R

23 S

12

Ó bien: Qn

S12

=A R23 …(1)

Donde:Q=0.6m3/sN=0.012S=0.001A= (b+zY) Y = (0.8+1.5Y) Y

R =AP

=(b+zY ) Y

b+2Y (1+ z2)12

=(0.8+1.5Y ) Y0.8+3.6Y

Sustituyendo valores en (1):

0.6∗0.012

0.00112

=(0.8+1.5Y )Y [ (0.8+1.5Y )Y0.8+3.6Y ]

23

0.2277=[ (0.8+1.5Y )Y ]

53

[ 0.8+3.6Y ]23

Resolviendo por tanteos resulta:Y=0.40m


Asumimos f = 0.02 para determinar la velocidad

V=QA

=√ 8gf

RS

0.6Y (0.8+1.5 Y )

=[8 (9.8 ) (0.001 )[ (0.8+1.5 Y ) Y0.8+3.6Y ]

0.02 ]12

…(1)

22

FL

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RM

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N C

AN

AL

ES

– M

EC

AN

ICA

DE

FL

UID

OS

II


0.0918=[ ( 0.8+1.5Y )Y ]3

0.8+3.6Y

Resolviendo por tanteos, resulta:

Y=0.42m

V=QA

= 0.60.42 (0.8+1.5∗0.42 )

=1m /s

Determinar Re y E/R:

Re=V (4 R )

v=

1 (4 )[ 0.42 (0.8+1.5∗0.42 )0.8+3.6∗0.42 ]

1.007∗10−6

Re=1.032∗106

ER

= 0.0010.42 (0.8+1.5∗0.42 )

0.8+3.6∗0.42

ER

=0.00384

Corregimos el Valor de f, aplicando la ecuación modificada de Colebrook.

1

√ f=2.16−2 log(0.00384+

30

1.032∗106∗√0.02 )f=0.0207

Calculamos el nuevo valor de y:En (1):

0.6Y ( 0.8+1.5Y )

=[ 8 (9.8 ) (0.001 )[Y (0.8+1.5Y )0.8+3.6Y ]

0.0207 ]12

0.0951=[Y (0.8+1.5Y ) ]3

0.8+3.6Y

Resolviendo por tanteos:

Y=0.42m

23

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– M

EC

AN

ICA

DE

FL

UID

OS

II


Verificando el valor de f:

V=QA

= 0.60.42 (0.8+1.5∗0.42 )

=1m /s

Re=V (4 R )

v=

1 (4 )[ 0.42 (0.8+1.5∗0.42 )0.8+3.6∗0.42 ]

1.007∗10−6

Re=1.032∗106

ER

= 0.0010.42 (0.8+1.5∗0.42 )

0.8+3.6∗0.42

ER

=0.00384

Aplicamos la ecuación modificada de Colebrook, para verificar f:

1

√ f=2.16−2 log(0.00384+

30

1.032∗106∗√0.02 )f=0.0207

Luego el tirante calculado Y = 0.42 m es el correcto.

Determinamos a que zona pertenece el flujo y de acuerdo a la expresión (6.3) se tiene:

V∗εv

=√ 9.8 (0.42 ) (0.8+1.5∗0.42 )(0.8+3.6∗0.42 )∗(0.001 )

1.007∗10−6

V∗εv

=76.186<100 : zonade flujo de transici ón

En este caso la fórmula de Manning no es aplicable; así mismo para nuestro ejemplo, el tirante obtenido por el método clásico es un 4.76% menor con respecto al método moderno.

Problema 03:

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II


Para conducir 500 lps, se debe diseñar una alcantarilla con tubería de concreto y con una pendiente del 1 %. Por seguridad el tirante debe ser el 90% del diámetro de la tubería y la temperatura del agua 20oC. Determinar el tirante:

a. Aplicando método clásicob. Aplicando el método moderno

Q=0.5 m3/s n = 0.015

Y/D = 0.90 ε = 0.0024 m

S = 0 0.001

Y = ?

SOLUCION

a) Aplicando el Método Clásico:

La ecuación de Manning, para hallar el caudal es:

Q=1nA R

23 S

12

Ó bien: Qn

S12

=A R23 …(1)

Donde: Q=0.5 m3/s

S = 0 0.001

DY

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II


n = 0.015

Además para Y/D = 0.90 se obtiene:

AD2=0.7445

⇒

A=0.7445D2

RD

=0.2980⇒

R=0.2980D

Sustituyendo valores en (1):

0.5∗0.015

(0.001 )12

=(0.7445D2 ) (0.2980D )23

D83=0.7140

D=0.88m

Luego el tirante es:

Y=0.90D=0.90∗0.88

Y=0792m


Asumimos f = 0.02 para luego determinar la velocidad V

V=QA

=√ 8gf

RS

0.50.7445 D2 = √8*9.8*0.001*0.2980 D

0.02 …(1)

0.3861=D5

D=0.8267≅ 0.83m

El tirante es:

Y=0.90D=0.90∗0.83

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II


Y=0.747≅ 0.75m

Entonces:

V= QA

= 0.5

0.7445* (0.83 )2=0.97 m / s

Determinamos Re y E/R:

Re=V (4 R )

v=0.97∗4∗0.2980∗0.83

1.007∗10−6

Re=0.953∗106

ER

= 0.00240.2980∗0.75

ER

=0.01074

Corregimos el nuevo valor de “Y”

En (1):1

√ f=2.16−2 log(0.01074+

30

0.953∗106∗√0.02 )f=0.0270

Calculamos el nuevo valor de “Y”:

En (1): 0.5

0.7445D2=[ 8∗9.8∗0.001∗0.2980D

0.0270 ]12

0.5212=D5

D=0.88mEl tirante es: Y=0.90D=0.90∗0.88

Y=079m

Verificamos el valor de f:

V=QA

= 0.5

0.7445∗0.882=0.87m / s

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Re=V (4 R )

v=0.87∗4∗0.2980∗0.88

1.007∗10−6

Re=0.906∗106

ER

= 0.00240.2980∗0.88

ER

=0.00915

1

√ f=2.16−2 log(0.00915+

30

0.906∗106∗√0.0270 )f=0.0259

⇒

f R≠ f n−1

⇒

nuevaiteraci ón y=0.783⇒

f =0.02594

Luego el tirante calculado y = 0.79 m es el correcto, redondeado.

Ahora determinamos a que zona pertenece el flujo:

V∗εv

=√9.8∗0.2980∗0.88∗0.001∗0.00241.007∗10−6

V∗εv

=120.82>100 : zonade flujorugosa

En este caso si es aplicable la fórmula de Manning y vemos que, por ambos métodos hemos obtenido el mismo tirante normal: Y = 0.79 m.

4) Análisis Comparativo De Resultado

SECCION DE CANALTIRANTE NORMAL (METROS)

ERROR (%)MANNING DARCY

Rectangular 1.15 1.24 7.26Trapezoidal 0.40 0.42 4.76

Circular 0.79 0.79 0.00Se puede notar que los errores del 7.26 % y 4.76 % son considerables y esto debido a que el flujo se encuentra dentro de la zona de transición; donde no es aplicable la fórmula de Manning; sin embargo en el tercer caso no se encontró error y esto se justifica puesto que para tal caso el flujo se encuentra en la zona rugosa, donde si es aplicable la fórmula de Manning.

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II


3. SECCIONES DE MÁXIMA EFICIENCIA HIDRÁULICA

Uno de los factores que intervienen en el costo de construcción de un canal es el volumen por excavar, este a su vez depende de la sección transversal.

Mediante ecuaciones se puede plantear y resolver el problema de encontrar la menor excavación para conducir un gasto dado, conocida la pendiente, o lo que es lo mismo, la forma que conviene dar a una sección de magnitud dada, para que escurra el mayor gasto posible: es lo que se ha llamado “sección de máxima eficiencia hidráulica”. Consideremos un canal de sección constante por la cual debe pasar un gasto máximo, bajo las condiciones impuestas por la pendiente y la rugosidad, de la ecuación del caudal, tenemos:

Q=1nA R2/3S1 /2

Donde: n, A y S son constantes, luego, la ecuación del caudal puede expresarse como:

Q=K R2 /3…(1)

En (1) , observamos que el caudal será máximo si el radio hidráulico es máximo, o sea que R=A /P es máximo.

R= AP…(2)

En (2) , como A es constante, R será máximo si P es mínimo. Resumiendo, el caudal será máximo si el perímetro es mínimo, es decir:

Qmáximo si P esmínimo4.1. Relaciones Geométricas

Sección trapezoidal:1. Considerando un talud Z conocido ( constante)

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II


Sabemos que: A=by+z y2⇨b=A y−1−zy…(1)

P=b+2 y √1+z2………(2)

Sustituyendo (1) en (2) , se tiene:

P=A y−1−zy+2 y √1+z2…(3)

Sabemos que Q máx. si P mín., y:

Pmín si ¿

2. Luego, derivando (3) en función del tirante, se tiene:

¿(−1 ) A y−2−z+2√1+z2=0−A

y2+2√1+z2−z=0

A

y2=2√1+z2−z…(4 )

Sustituyendo (1) en (4) , resulta:

by+z y2

y2 =2√1+z2−z

by+z=2√1+z2−z

by=2√1+z2−2 z

by=2 (√1+z2−z )…… (5)

3. Calculo de √1+z2−z en función de θ:De la figura:

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e = ángulo de inclinación de las paredes del canal con la horizontal

ctg θ=Z

Luego:

√1+z2−z=√1+ctg2θ−ctg θ

√1+z2−z=√csec2θ−ctgθ

√1+z2−z=csec θ−ctgθ

√1+z2−z= 1senθ

− cosθsenθ

√1+z2−z=1−cosθsenθ

Expresando en función del ángulo mitad, se tiene:

1−cosθ=2 sen2 θ2

senθ=2 senθ2.cos

θ2

Luego: √1+z2−z=2 sen2 θ

2

2 senθ2.cos

θ2

√1+z2−z=sen

θ2

cosθ2

√1+z2−z=tgθ2………(6)

4. Relación entre el ancho de solera y el tirante:

Remplazando (6) en (5) se obtiene:

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by=2tg

θ2

Relación entre el ancho de solera y tirante en un canal trapezoidal para una

sección de máxima eficiencia.

En un canal rectangular: θ=90⇨ θ2=45⇨ tg

θ2=1, luego :

by=2

b=2 y

5. Relación entre el radio hidráulico y el tirante:

Sabemos que:

R= AP… ..(7)

Donde:

A=by+z y2

P=b+2 y √1+z2

De (5) : b=2 y (√1+z2−z )

Luego: A=2 y2 (√1+z2−z )+z y2

A= y2 (2√1+z2−z )…(8)

Y: P=2 y (√1+z2−z )+2 y √1+z2

P=2 y (2√1+z2−z )… (9)

Sustituyendo (8) y (9) en (7) , resulta:

R=y2 (2√1+z2−z )

2 y (2√1+z2−z )

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R= y2

Lo que indica que en una sección de máxima eficiencia hidráulica de forma trapezoidal o rectangular (para cualquier valor de Z) el radio hidráulico es igual a la mitad del tirante.

6. Condición de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.

En este caso se busca de todas las secciones trapezoidales variables, cual es el “talud más eficiente”, para ello y lo consideramos constante.

De (9) , se tiene: P=2 y (2√1+z2−z )

Pmínsidpdz

=0

Luego:dpdz

= ddz

[2 y (2√1+z2−z ) ]=0

2 yddz

(2√1+z2−z )=0

2ddz

√1+z2−1=0

2 ∙12∙ (1+z2 )

−12 (2 z )=1

2 z

√1+z2=1

2 z=√1+ z2

Elevando

4 z2=1+ z2

3 z2=1

z= 1√3

∴ z=√33

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EJEMPLOS DE APLICACION

Problema 01:

Un canal de riego de sección trapezoidal, construido en tierra (n=0.025), se usa para regar una superficie de 80 Has. El modulo de entrega máximo fijado por el distrito de riego es de 2 l.p.s. /Ha.Determinar la sección de máxima eficiencia hidráulica y la pendiente del canal, para una velocidad en el canal de 0.75m/seg. y un talud Z=1.

Solución.Datos:

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n = 0.025

Q = 2 l.p.s./Ha x 80 Has = 160 l.p.s. = 0.16 m3/seg.

V = 0.75 m/seg.

Sección de máxima eficiencia:

by=2tg

θ2

R= y2

Se pide:

Y, b, S ⇨?

1. Calculo de b e y:

De la ecuación de continuidad:

Q=V . A

A=QV

A=0.160.75

A=0.2133m2

Por condición geométrica:

A=by+z y2

Para Z = 1: A=by+z y2

Luego:

by+ y2=0.2133…(1)

De la condición de máxima eficiencia:

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by=2tg

θ2

Para z=1⇨θ=45 ° ,luego :

by=2tg 22.5 °

by=0.8284

b=0.8284 y…(2)

Sustituyendo (2) en (1) , resulta:

0.8284 y2+ y2=0.2133

1.8284 y2=0.2133

y=√ 0.21331.8284

y=0.3416

Remplazando en (2) , se tiene:

b=0.8284 x 0.3416

b=0.2829m

2. Calculo de S:

De la formula de Manning, se tiene:

V=1nR2/3S1/2

Despejando S, resulta:

S=(V .nR2 /3 )

2

Donde:V=0.75m /seg .n=0.025

R= y2=0.3416

2=0.1708m

Luego:

S=( 0.75 x0.0250.17082 /3 )

2

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S=0.0037

∴S=3.7°° °

Problema 02:

Hallar el caudal en un canal de máxima eficiencia hidráulica, sabiendo que el ancho

de solera es de 0.7 m, el espejo de agua 1.9 m., pendiente 0.001 y el coeficiente de

rugosidad n = 0.025.

Solución

Datos:

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Canal de máxima eficiencia hidráulica

S=0.001

n=0.025

1. De las relaciones geométricas:Espejo de agua:

T=b+2Zy

1.9=0.7+2Zy

2Zy=1.2

Zy=0.6…(1)

Área:

A=(b+Zy ) y

A=(0.7+0.6 ) y

A=1.3 y

2. De la fórmula de Manning, se tiene:

Q=1nA R2/3S1 /2

donde :

n=0.025

A=1.3 y

R= y2

(secciondemaxima eficiencia )

S=0.001

Luego:

Q= 10.025

¿

Q=1.3 x (0.001 )1 /2

0.025 x y2 /3 y x y2/3

Q=1.0359 y5 /3…(2)

De donde, para conocer Q hay que calcular y

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3. Calculo de y:

Por condición de máxima eficiencia, se tiene:

by=2tg

θ2

De donde:

by=2 (√1+z2−z )… (3)

De donde:

b=0.7

y

Z=0.6y

(de (1))

Sustituyendo valores en (3) , se tiene:

0.7y

=2(√1+( 0.6y )

2

−0.6y )

0.7y

= 2y

(√ y2+0.36−0.6 )

0.72

=√ y2+0.36−0.6

0.35+0.6=√ y2+0.36

0.95=√ y2+0.36

Elevando al cuadrado:

0.9025= y2+0.36

0.5425= y2

y=0.7365…(4)

4. Remplazando (4) en (2) , se tiene:

Q=1.0359 x 0.73655 /3

Q=0.6223m3/ seg .

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Problema 03:

Demostrar que en un canal trapezoidal de máxima eficiencia hidráulica, de talud

Z=1, se cumple que:

Q .n

S1/2 . b8/3=1.9

Demostración

1. De la fórmula de Manning, se tiene:

Q=1nA R2/3S1 /2

de donde :

Q.n

S12

=A R23

dividiendo entre b83 ,resulta :

40

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Q .n

S1/2 . b8/3=A R

23

b8 /3 … (1)

2. De las condiciones geométricas:

A=(b+Zy ) y

Donde:

z=1⇨θ=45 °

luego :

A=(b+ y ) y…(2)

De las condiciones de máxima eficiencia:

by=2tg

θ2y R= y

2

De done:

b=0.8284 y

En (2) , se tiene:

A=1.8284 y2

3. Sustituyendo valores en (1) , resulta:

Q .nS1/2 . b8/3=

(1.8284 y2)( y2 )23

(0.8284 y)8 /3

Q .n

S1/2 . b8/3=1.8284

(2 )23 x0.8284

8/3

∙y2 ∙ y

23

y8/3

Q .n

S1/2 . b8/3=1.9

L .Q.Q .D.

4. Sustituyendo valores en 4 , se obtiene:

yc+(0.3+ yc) yc2(0.3+2 yc)

=0.48

5. Multiplicando ambos miembros por 2 (0.3 + 2yc), se obtiene:

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2 yc ( 0.3+2 yc)+( 0.3+ yc ) yc=0.48 x2¿)

0.6 yc+4 yc2+0.3 y c+ yc

2=0.288+1.92 yc

5 yc2−1.02 yc−0.288=0

6. Aplicando la fórmula para obtener las raíces de una ecuación de 2º grado, se tiene:

yc=1.02±√1.022+4 x 5x 0.288

2x 5

yc=1.02±2.6078

10

7. Tomando la solución positiva, resulta: yc=0.3628m .

8. De (2) ,se tiene: Q=√ g A c3

T c

donde:

Ac= (0.3+0.3628 ) 0.3628=0.2404

T c=0.3+2 x0.3628=1.0256

9. Luego, sustituyendo valores, resulta: Q=√ 9.81 x0.24043

1.0256

Problema 04:

Un canal rectangular con un coeficiente de rugosidad n= 0.014, trazado con una pendiente de 0.0064, transporta un caudal de 0.664m3/seg. En condiciones de flujo crítico indicar el ancho de solera del canal.

Solución.-

Datos:

n = 0.014

s = 0.0064

Q = 0. 664m3/seg

Se pide:

Q=0.3645m3/ seg

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b en condiciones de flujo crítico :

1. La ecuación para el caudal de la fórmula de Manning, es:

Q=1nA R2/3S1 /2

O también:

Q.n

S1 /2=A R2/3…(1)

donde:

Q=0.664m3/seg

n = 0.014

S = 0.0064

A = by

R = by

b+2 y

2. Sustituyendo valores en (1) , resulta:

0.664 x 0.0140.00641/2 =by x [ by

b+2 y]2 /3

de donde, para las condiciones del flujo crítico, se tiene:

(b yc )5/3

(b+2yc )2/3 =0.1162... (2)

3. En un canal rectangular, para un flujo crítico, se cumple:

yc3=q2

g

o también: yc3= Q2

gb2

donde: Q=0.664

luego: yc3= 0.6642

9.81b2

43

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yc3=0.0449

b2

yc=3√0.0449

b2 /3

yc=0.3555

b2 /3…(3)

4. Reemplazando (3) en (2) , resulta:

[b x 0.3555b2/3 ]

5/3

[b+ 2 x0.3555

b2 /3]2 /3 =0.1162

5. Simplificando:0.1784 b

( b53 +0.711)2/3

=0.1162

o también: f (b )= b

(b53+0.711)2/3

=0.6512

6. Resolviendo por tanteos:

b f(b)0.7000.7500.8000.8300.8400.835

0.59910.62010.63910.64970.65300.6514

FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO:

RESALTO HIDRAULICO

1. DEFINICIÓN DEL FENÓMENO

solución

b=0.835m .

44

FL

UJO

UN

IFO

RM

E E

N C

AN

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ES

– M

EC

AN

ICA

DE

FL

UID

OS

II


El trabajo o salto hidráulico es un fenómeno local, que se presenta en el flujo rápidamente variado, el cual va siempre acompañado por un aumento súbito del tirante y una pérdida de energía bastante considerada (disipada considerablemente como calor), en un tramo relativamente corto. Ocurre en el paso brusco del régimen supercrítico (rápido) a régimen subcrítico (lento), es decir, en el resalto hidráulico el tirante, en un corto tramo, cambia de un valor inferior al crítico otro superior a este. La siguiente figura muestra este fenómeno:

Generalmente, el resalto se forma cuando en una corriente rápida existe algún obstáculo o un cambio brusco de pendiente. Esto sucede al pie de estructuras hidráulicas tales como vertederos de demasías, rápidas, salidas de compuertas con descarga por el fondo, etc., lo anterior se muestra en la siguiente figura:

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II


En un resalto como el que se muestra en la siguiente figura se pueden hacer estas observaciones:

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– M

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II


1. Antes del resalto, cuando el agua escurre todavía en régimen rápido, predomina la energía cinética de la corriente, parte de la cual se transforma en calor (perdida de energía útil) y parte en energía potencial (tirante); siendo esta la que predomina, después de efectuado el fenómeno.

2. En la figura, las secciones (1) y (2) marcan esquemáticamente el principio y el final del resalto. Los tirantes y1 y y2 con que escurre l agua antes y después del mismo se llaman “tirantes conjugados”.donde: y2= tirante conjugado mayor.

Y1= tirante conjugado menor.

3. La diferencia: y2 - y1 es la altura del resalto y L su longitud, existen muchos criterios para encontrar este último valor.

4. E1 es la energía específica antes del resalto y E2 la que posee la corriente después de él. Se observa que en (2) la energía específica es menor en (1) debido a las fuertes pérdidas de energía útil que el fenómeno ocasiona, ésta pérdida se representa como: E1 - E2.

Además de su mérito como disipador natural de energía, el resalto hidráulico tiene muchos usos prácticos, entre los cuales se pueden mencionar los siguientes:

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II


a. Prevención o confinamiento de la socavación aguas debajo de las estructuras hidráulicas donde es necesario disipar energía.

b. El mezclado eficiente d efluidos o de sustancias químicas usadas en la purificación de aguas, debido a la naturaleza fuertemente turbulenta del fenómeno.

c. Incremento del caudal descargado por una compuerta deslizante al rechazar el retroceso del agua contra la compuerta. Esto aumenta la carga efectiva y con ella el caudal.

d. La recuperación de carga aguas debajo de un aforador y mantenimiento de un nivel alto del agua en el canal de riego o de distribución del agua.

2. ECUACIÓN GENERAL DEL RESALTO HIDRÁULICO

Debido a que en principio se desconoce la perdida de energía asociada con el resalto hidráulico, la aplicación de la ecuación de energía antes y después del resalto no proporciona un medio adecuado de análisis. Por otra parte, debido a la gran variación de velocidad media entre los extremos del resalto y al hecho de que no se requiere conocer los cambios de energía interna, es más adecuada la aplicación del principio de la cantidad de movimiento en el análisis del fenómeno. La concordancia general entre los resultados teóricos y los experimentales confirman la seguridad de un análisis general del fenómeno con base en este principio.

2.1. Ecuación De La Cantidad De Movimiento O Momentum

En una sección de un canal, en la cual pasa un caudal Q con una velocidad v, la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo se expresa por:

β δQv

donde:

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II


β=¿Coeficiente de la cantidad de movimiento coeficiente de bousssinesq que permite el uso de la velocidad media. Para canales prismáticos se tiene usualmente: 1.01<β <1.12.

δ = densidad del fluido.

Q =caudal.

v =velocidad media.

Consideremos un tramo del canal de sección transversal cualquiera donde se produce el resalto hidráulico y el volumen de control limitado por las secciones (1) y (2) (antes y después del resalto), por el piso del canal y por la superficie libre, como se muestra en la figura:

La variación de la cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2 será:

δQ (β2 v2−β1 v1)

De acuerdo a la segunda ley de newton: “la suma de fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento”, aplicando este principio a las secciones (1) y (2) del canal se tiene:

Σ f exteriores = δQ (β2 v2−β1 v1)

Siendo:

+ G

T

Y G

Y

SECCION TRANSVERSAL

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II


Σ f exteriores = FP1−FP 2

+W sin∝−F f

donde:

FP1,F P2

= fuerza de presión actuando en las dos secciones.

W = peso del fluido (W sin∝, peso del fluido en el sentido del movimiento).

F f= fuerza externa total de resistencia que se pone al movimiento.

luego:

… (1)

La ecuación 1 es conocida como la ecuación de la cantidad de movimiento o momentum.

2.2. Fuerza EspecificaAplicando la ecuación de la cantidad de movimiento, considerando que se satisfacen las siguientes condiciones:

a) El canal es horizontal y de sección constante, pudiendo despreciarse la componente del peso del fluido.

b) Se desprecie la resistencia de fricción originada en la pared del canal, debido a la poca longitud del tramo en que se desarrolla el resalto.

c) Se considera que la distribución de velocidades en la secciones (1) y (2) es prácticamente uniforme y que los coeficientes: β1=β2=1

Resulta:

δQ (β2 v2−β1 v1 )=FP1−F P2

…. ( 2 )

Sustituyendo en (2) el valor de v=Q /A, obtenido de la ecuación de continuidad, se tiene:

δQ [ QA2

− QA1 ]=FP1

−FP2

δQ (β2 v2−β1 v1 )=FP1−F P2

+W sin∝−F f

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II


δQ 2[ QA2

− QA1 ]=FP1

−FP2… (3)

Los empujes totales debido a la presión hidrostática se pueden calcular como sigue:

FP1=γ yG1

A1

FP2=γ yG2

A2

donde: yG1, yG2

son las profundidades de los centros de gravedad de las aéreas de las secciones (1) y (2) respectivamente (ver figura anterior).

Sustituyendo estos valores en ( 3 ) , resulta:

δQ2

A2

− δQ2

A1

=γ yG 1A1−γ yG2

A2

También:δQ2

A1

+γ yG1A1=

δQ2

A2

+γ yG 2A2

Dividiendo entreγ=δ g, se tiene

..… (4)

Esta ecuación proporcionara en todos los casos, a la solución de uno de los tirantes conjugados a partir del otro conocido. Observando ambos miembros de la ecuación (4) , se nota que tiene la misma forma, de modo que en general se puede escribir:

F=Q2

gA+ yG A…… (5)

La cual se compone de dos términos: el primero representa la cantidad de movimiento del flujo que atraviesa la sección del canal en la unidad de tiempo y por unidad de peso del agua; el segundo, el empuje hidrostático por unidad de peso y también el momento estático del área respecto de la superficie libre. Debido a que ambos términos tienen las dimensiones de una fuerza especifica. La fuerza específica para el tramo puede escribirse:

F1=F2

δQ2

g A1

+ yG1A1=

δQ 2

g A2

+ yG 2A2

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II


Lo cual significa que la fuerza especifica es constante en cada sección, siempre y cuando las fuerzas de resistencia externa así como el peso del fluido en la dirección del movimiento, en el tramo pueden despreciarse.

Para un caudal dado Q, la fuerza específica es únicamente función del tirante, de manera similar a la energía específica. Su representación geométrica en su plano F-y consiste en una curva similar a E-y con la única diferencia que tiene asíntota exclusivamente en la rama inferior, correspondiente a y=0. La rama superior se eleva y extiende indefinidamente a la derecha. Así mismo, para un valor dado de la función F, la curva tiene dos posibles tirantes y1, y2 que reciben el nombre de tirantes conjugados, y que, de acuerdo a la ecuación 4 , corresponden a los tirantes antes y después del resalto, excepto cuando F es mínima al cual le corresponde un único valor del tirante yc, llamado tirante crítico. La siguiente figura muestra las curvas de la fuerza específica y energía específica para un resalto hidráulico:

Si F min dFdy

=0

Derivando la ecuación 5 con respecto a y e igualando a cero, se obtiene:

dFdy

= ddy [ Q2

gA+ yG A ]=0

−Q2

g A2 .dAdy

+ ddy

( yG A )=0

donde:

dAdy

=T , luego :−Q 2Tg A2 + d

dy( yG A )=0 … (6)

Y1

Y2

E 2

E 1

hf 1-2

V21/2g

V21/2g

Linea de Energia

RESALTO HIDRAULICO

2

1

F min F1= F2

Curva F-y

Y c

y

F E

CURVA DE LA FUERZAESPECIFICA

? E

Perdida enel resalto

Curva E-y

E 2 E 1

CURVA DE LAENERGIA ESPECIFICA

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II


En la figura se observa que a un cambio de dy en el tirante corresponde un cambio d ( yG A ) en el momento estático del área hidráulica respecto a la superficie libre, el cual es:

d ( yG A )=[ A ( yG+dy )+dA⋅d yG ]− yG A

d ( yG A )=[ A ( yG+dy )+T dy⋅dy2 ]− yG A

d ( yG A )=A yG+A dy+ T2

(dy )2− yG A

d ( yG A )=A dy+ T2

(dy )2

Despreciando los diferenciales de orden superior, es decir, si (dy )2=0 , se tiene:

d ( yG A )=A dy ⋯⋯ (7 )

Sustituyendo (7 ) en (6 ) , resulta:

−Q2 Tg A2

+Adydy

=0

−Q2 Tg A2

+A=0

De donde:

Q2

g= A3

T

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Ecuación, que como ya se explicó establece la condición del régimen crítico. Esto significa que, para un gasto dado, la fuerza específica mínima corresponde también al tirante crítico y, por ello, al régimen crítico. El tirante conjugado menor debe corresponder a régimen

supercrítico y el mayor al subcrítico. Al referir los tirantes conjugados y1 y y2 (antes y después del resalto) a la curva de la energía específica (fig. tras anterior). Se observa que

corresponde a energías específicas E1 y E2 distintas, cuya diferencia ΔE es la pérdida de energía interna debida a las turbulencias propias del resalto hidráulico.

La discusión anterior permite llegar a las siguientes conclusiones:

a) El cambio de régimen supercrítico a subcrítico se produce de manera violenta (únicamente a través del resalto hidráulico), con pérdida apreciable de energía. El cambio de subcrítico a supercrítico si es posible de manera gradual (sin salto) y sin pérdida apreciable de energía.

b) Para estudiar el fenómeno se requiere aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento debido a que en principio se desconoce la pérdida de energía de resalto.

c) De la aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento se concluye que el fenómeno se produce únicamente cuando se iguala la fuerza específica en las secciones antes y después del resalto.

d) Para un gasto dado, si el conjugado mayor y1 (aguas arriba del salto) aumenta, el

conjugado menor y2 (aguas abajo) disminuye.

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II


3. ECUACIONES DEL RESALTO HIDRÁULICO PARA DIFERENTES FORMAS DE SECCIÓN:

Como se indicó anteriormente, la ecuación que proporciona la solución de uno de los tirantes conjugados, para cualquier forma geométrica de la sección, conocido el otro es:

Q2

g A1

+ yG1A1 =

Q2

g A2

+ yG2 A2

O también:

yG2A2− yG1

A1−Q2

g [ A2−A1

A1 A2]=0

De otro lado, en cualquier forma de sección, la profundidad yG de su centro de gravedad se puede calcular de la ecuación:

yG=K y

Donde K es un coeficiente que depende de la geometría de la sección, por lo tanto, la ecuación anterior se puede escribir como sigue:

K2 y2−K1 y1−Q2

g [ A2 A1

A1 A2]=0 ⋯⋯ (8 )

A continuación se desarrollan las ecuaciones particulares para algunas secciones más usuales, éstas aunadas a sus representaciones gráficas, permiten el cálculo directo del tirante conjugado mayor, a partir de las condiciones en la sección del conjugado menor y viceversa.

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II


3.1 Sección Rectangular

1. RÉGIMEN SUPERCRÍTICO CONOCIDO:En una sección rectangular de ancho de solera b y tirante y, se tienen las siguientes relaciones:

Sustituyendo estos valores en la ecuación (8), se tiene:

12y2⋅by2−

12y1⋅by1−

Q2

g [by 2−by1by1−by 2 ]=0

by 22

2−by1

2

2−Q2

gb [ y2− y1

y1− y2]=0

b2

( y22− y1

2)−Q2

gb [ y2− y1

y1− y2 ]=0

b2

( y2− y1)( y2+ y1 )−Q2

gb [ y2− y1

y1− y2]=0

Dividiendo entre

b( y2− y1 )2 , resulta:

y2+ y1−2Q2

gb2 [ 1y1 y2 ]=0

Pero:

Qb

=q⋯caudal unitario, luego

y2+ y1−2qgb [ 1

y1 y2 ]=0⋯(9 )

Multiplicando por y2, se tiene:

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A=b y

K=12

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II


y22+ y1 y2−

2q2

gy 1

=0

Aplicando la fórmula para hallar las raíces de la ecuación de 2° grado se obtiene:

y2=− y1±√ y1

2+8 g2

gy12

y2=−y1

2±√2q2

gy 1

+y1

2

4

Tomando el signo (+), para que y2 resulte positivo, se tiene:

y2=−y1

2+√ 2q2

gy 1

+y1

2

4

La ecuación que permite calcular el tirante conjugado mayor en un canal de sección rectangular, conocido el menor y el caudal por unidad de ancho.

Colocando la ecuación en términos de la velocidad, ya que q1=v1 y1 , se tiene:

y2=−y1

2+√2v1

2 y12

gy1+y1

2

4⋯(10 )

y2=−y1

2+√2v1

2 y1

g+y1

2

4

Sabemos que F1=

v1

√gy 1

⇒F12=

v1

gy1

Sustituyendo este valor en la ecuación (10), resulta:

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y2=−y1

2+√2 F1

2 y12+

y12

4

y2=−y1

2+√ y1

2

4(8 F1

2+1)

y2=−y1

2+y1

2 √8F12+1

y2=y1

2(√8F1

2+1−1)o tambien:y2

y1

=12

(√8 F12+1−1)⋯(11)

Ecuación que permite calcular el tirante conjugado mayor en un canal de sección,

conocido el menor y el número de Froude F1=v1/√ gy1 antes del resalto.

2. RÉGIMEN SUBCRÍTICO CONOCIDO:Si la ecuación (9) se multiplica por y1 y se continúa en forma análoga, se obtiene las siguientes ecuaciones:

y1=−y2

2+√2q2

gy 2

+y2

2

4

y1=−y2

2+√2v2

2 y2

g+y2

2

4

y1=y2

2(√8F2

2+1−1)y1

y2

=12

(√8 F22+1−1)⋯(12)

Ecuaciones que permiten calcular el tirante conjugado menor, conocidos el mayor y

q ,v2 o F2=v2/√ gy2En las figuras 4 y 5 muestran las curvas que representan a las ecuaciones (11) y (12) respectivamente y que permiten un cálculo directo de los tirantes en la sección rectangular.

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II


11 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

FIG 4. CURVA PARA LA DETERMINACION DEL TIRANTE SUBCRITICO, CONOCIDO EL REGIMEN SUPERCRITICO

y1

y2=?

v1 y1

59

y2

y1

F1=v1/√ gy1

0.10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.0

FL

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II


FIG 5 . CURVA PARA LA DETERMINACION DEL TIRANTE SUPERCRITICO, CONOCIDO EL REGIMEN SUBCRITICO

A continuación se indica el uso de la fig. 4

y1=?

y2v2

y2

60

y2

y1

F1=v1/√ gy1

FL

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1. conocido F1=v1/√ gy1 ,Se entra con este valor en el eje x hasta intersectar a la curva

2. del punto de intersección de traza una paralela al eje x, con lo cual se encuentra y2 / y 1 , de donde se calcula y2

La siguiente figura muestra el proceso indicado

3.2. Sección Trapezoidal

1. RÉGIMEN SUPERCRÍTICO CONOCIDO:En una sección trapezoidal de ancho de solera b y taludes z1 y z2, se tienen las siguientes relaciones

1 1Z1 Z2

b

De la ecuación (8), multiplicando por A2, se tiene:

A22 k2 y2−A1 A2 k1 y1−

Q2

g [ A2−A1

A1]=0

De la ecuación de continuidad, se tiene Q=v1 A1 , luego:

61

y2

y1

F1=v1/√ gy1

A=by+Zy 2

Donde: Z=Z1+Z2

2Además:

k=13

+16bb+Zy

=13

+16byA

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II


A22 k2 y2−A1 A2 k1 y1−

v12 A1

2

g [A2−A1

A1]=0

A22 k2 y2−A1 A2 k1 y1−

v12 A1

g (A2−A1)=0

Dividiendo entre Y 1

A22 K2

Y 2

Y 1

−A1 A2K1−V 2

1

gY 1

A1 ( A2−A1 )=0

Haciendo r =V 1

2

2g

Y 1

=V 1

2

2 gY 1

, se tiene :

A22 K2

Y 2

Y 1

−A1 A2K1−2rA1 ( A2−A1 )=0

Sustituyendo los valores de K, resulta:

A22[ 1

3+ 1

6

bY 2

A2]Y 2

Y 1

−A1 A2[ 13+ 1

6

bY 1

A1]−2rA1 (A2−A1)=0

[ A22

3+bA2Y 2

6 ] Y 2

Y 1

−[ A1

3+bY 1

6 ] A2−2rA1 ( A2−A1 )=0

Sustituyendo los valores de A, se obtiene:

[ (bY 2+zY 22 ) 2

3+b (bY 2+ zY 2

2 )Y 2

6 ] Y 2

Y 1

−[ bY 1+ zY 12

3+bY 1

6 ](bY 2+zY 22 )−2 r (bY 1+zY 1

2 ) [(bY 2+zY 22 )−(bY 1+zY 1

2 )]=0

Multiplicando por 3

z2 y14 y ordenando en forma conveniente, se obtiene:

{[ bzy 1

.y2

y1

+[ y2

y1 ]2]2+ 12.bzy1 [ b

zy1

.y2

y1

+[ y2

y1 ]2] y2

y1 } y2

y1

−[ bzy1

+1+ 12.bzy1 ] [ b

zy1

.y2

y1

+[ y2

y1 ]2]−6 r [ bzy1

+1]{[ bzy1

.y2

y1

+[ y2

y1 ]2]−[ bzy1

+1]}=0

Haciendo los siguientes cambios de variables:

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II


bzy1

=t ;y2

y1

=J

Resulta

[ (tJ+J 2 ) 2+ 12t (tJ+J 2 )J ]J=(t+1+ t

2 ) (tJ+J 2 )−6 r ( t+1 ) [ ((tJ+J2 ))−( t+1 ) ]=0

Efectuando, se tiene:

t 2 J2+2 tJ 4+J5+ t2

2J3+ t

2J 4−( 3 t

2+1) tJ−( 3

2t+1)J 2−6 r (t+1 ) tJ−6 r ( t+1 ) J 2+6 r ( t+1 ) 2=0

Reduciendo términos semejantes, resulta:

J5+ 52t J 4+3

2t2 J 3−[6 r (t+1 )+ 3

2t+1]J2−[6 rt (t+1 )+(3

2t+1)+( 3

2t+1) t ] J+[6 r (t+1 )+( 3

2t+1)t ]J +6 r (t+1)2=0

Factorizando el primer miembro, en términos de J, mediante el método de evaluación, luego factorizando y ordenando en forma conveniente los coeficientes, resulta:

( J−1 ){J 4+ 5 t+22

J 3+(3 t+2 ) ( t+1 )

2J2+[ t22 +( t−6 r ) ( t+1 )] J−6 r ( t+1 )2}=0

Donde ( J−1 )≠0, pues si ( J−1 )=0 entonces J=1, es decir y2

y1

=1; ó también y2 ¿ y1, lo que indica

que los tirantes, conjugados, serian iguales y por lo tanto no se produciría el resalto hidráulico.

Luego dividiendo la ecuación anterior entre (J−1), se obtiene

{J 4+ 5 t+22

J 3+(3 t+2 ) (t+1 )

2J2+[ t22 +( t−6 r ) (t+1 )] J−6 r (t+1 )2}=0

La ecuación anterior es de cuarto grado con una sola raíz positiva real que permite calcular el tirante conjugado mayor; conocidos:

a) El tirante menor, y1

b) r=v1

2

2 g y1

c) t= bz y1

63

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II

Valores de t

Valores de J

Valores de r


Para simplificar la ecuación se puede recurrirá la figura— que resuelve esta ecuación, en lo cual se presentan las curvas para el cálculo del tirante subcritico, conocido el régimen supercritico en el resalto hidráulico.

A continuación se indica el uso de la figura.

Conocido: r=v1

2

2 g y1

y t=bz y1

, se ingresa con el primer valor, en el eje Y, trazando una paralela

al eje X, hasta interceptar la curva t.

1. Del punto de intersección se traza una paralela al eje Y. con lo cual se encuentra J=y2

y1

,

donde se calcula y2.La siguiente figura muestra el proceso indicado.

2. RÉGIMEN SUBCRITICO CONOCIDO:

Las condiciones del régimen supercritico (antes del resalto), conocidas las del subcrítico (después del resalto), se encuentra de la siguiente forma:

1.1. Multiplicando la ecuación 8. Por A1 ,obtiene:

A1 A2K 2 y2−A12K1 y1−

Q 2

g [ A2−A1

A2]=0

1.2. Desarrollando en forma análoga al proceso anterior se obtiene:

64

FL

UJO

UN

IFO

RM

E E

N C

AN

AL

ES

– M

EC

AN

ICA

DE

FL

UID

OS

II

D

CG


J4+( 52t+1)J 3+( 3

2t2+ 5

2t+1)J 2−6 r ( t+1 )−3

2t+1tJ−6 r (t+1 ) 2=0

O también:

J4+ 5 t+22

J 3+(3 t+2 ) ( t+1 )

2J2+[ t 2

2+(t−6 r ) ( t+1 )]J−6 r ( t+1 )2=0

Donde:

J=y1

y2

;r=v2

2

2 gy2

; t= bzy 2

;z=z1+ z2

2

La resolución de la ecuación anterior proporciona una sola raíz positiva real que permite conocer el tirante conjugado menor y1; conocido el mayor y2, r, y t.

3.3. Sección Circular

Sea la sección circular de diámetro D:

Donde:

A=18

(θ−senθ )D2=( θ8−1

4sen

θ2

cosθ2)D2

…………………………………(13)

65

FL

UJO

UN

IFO

RM

E E

N C

AN

AL

ES

– M

EC

AN

ICA

DE

FL

UID

OS

II


senθ2=√Dy− y2

D /2=2√( y

D )−( yD )

2

………………………………………………(14)

cosθ2=D /2− y

D /2=1−2( y

D) entonces θ=2 arccos [1−2( y /D)]……….……(15)

Sustituyendo ( 14) y (15) en (13)

A={14arc cos[1−2(

yD

)]−12 √( y

D )−( yD )2

(1−2( yD ))}D2,

De donde, haciendo que N= A

D2 , se tiene:

N= A

D2=1

4arc cos [1−2( y

D)]−1

2 √( yD )−( yD )2

(1−2( yD ))………… ………(16)

De la figura anterior, se observa que:

yCG= y−(D2 − y)k y= y+ y−D

2

Ó también k=1−12Dy

+ yy

………………………………………………………(17)

Donde: y=

2 R3 sen3 θ2

3 A=2

D3

88¿¿¿

y=2D( yD

)32 [1− y

D ]32………………………………………………………………¿18)

Sustituyendo 18 en 17 resulta:

k=1−12Dy

+2( y

D)

12 [1− y

D ]32

3N

k=1−12

1

( yD

)+

2( yD

)12 [1− y

D ]32

3N…………………………………………………….(19)

66

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UN

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RM

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N C

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EC

AN

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DE

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UID

OS

II


1. RÉGIMEN SUPERCRITICO CONOCIDO:

De la ecuación 8 se obtiene

k 2 y2 A2−k1 y1 A1−Q2

g A1(1− A1

A2)=0………………………………….(20)

De 16 tenemos: A=ND2……………………………………………….(21)

Sustituyendo 21 en 20; tenemos

k 2 y2N 2D2−k1 y1 N1D

2−Q2

g N1D2 (1− N1 D

2

N2 D2 )=0

Multiplicando por N 1D

2

y15 ; resulta

k 2

y2

y15 N1N2 D

4−k1

y1

y15 N1

2D4− Q2

gy15 (1− N1

N2)=0

k 2( y2

y1) N 1N2

¿¿¿

…………………………………………………(22)

…………

La ecuación (22) se resuelve por tanteos con el siguiente proceso:

a. Para un diámetro D, un caudal Q y conocido el régimen supercritico ( y1 conocido), el segundo miembro es conocido.

b. Conocidos D e y1, y1/D es conocido, luego:

b.1) De la ecuación 16 se puede calcular N1 que esta en función de y1/D o también en forma aproximada haciendo uso de la tabla 1.

b.2) De la ecuación 19 se puede calcular k 1 que esta en función de y1/D .

c. Conocidos D y supuesto un y2, se conoce y2/D , luego:

k 2N1N 2¿¿

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UN

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RM

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EC

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DE

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UID

OS

II

t

CG

p

X

y

Ty k=2/502/5


c.1) De la ecuación 16 o haciendo uso de la tabla 1, se calcula N2.

c.2) De la ecuación 19 se calcula k 2.

d. Para el y2 supuesto, sustituyendo valores en el primer miembro e la ecuación 22 y cuando este resulte aproximadamente igual al obtenido en la parte (a), segundo miembro, se tendrá que el y2 considerado será la solución de la ecuación.

2. RÉGIMEN SUPERCRITICO CONOCIDO

2.1. De la Ecuación 8, se tiene:

k 2 y2 A2−k1 y1 A1−Q2

gA2[ A2

A1

−1]=0

2.2. Procediendo en forma análoga al desarrollo anterior, resulta:

…………………(23)

La ecuación 23 se resuelve por tanteos, siguiendo un proceso similar a lo indicado para la ecuación 22..

3.4. SECCION PARABOLICA.1. RÉGIMEN SUPERCRITICO CONOCIDO:

En una sección parabólica se cumple que:

k2N 22−k2 N1N 2 ( y1/ y2 )

¿¿¿

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II


De la ecuación 8, se tiene:

k 2 y2 A2−k1 y1 A1−Q2

gA2[ A2

A1

−1]=0

Multiplicando por A2

Y 1A 12

, se obtiene:

k 2

y2

y1( A2

A1) 2−k 1

A2

A1

− Q2

gy1 A12 [ A2

A1

−1]=0

De la ecuación de continuidad se tiene V 1=Q1

Q2

, luego :

K2

Y 2

Y 1( A2

A1)

2

−K1

A2

A1

−V 1

2

gY 1

[ A2

A1

−1]=0 …24

Para la sección parabólica, se tiene que:

A =23T Y

AT

=23Y=Y

Donde: X2=2 py

(T2 )2

=2 py

T 2=8 py→T=√8 p y12

Luego:

A=23

√8 p y12 y

A=23

√8 p y12→

A2

A1

=

23√8 p y2

32

23

√8 p y1

12 y

=(y2

y1

)32

Además:

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v12

g y1

=

23v1

2

g23y1

=23

v12

g y’1

=23F1

2

Y k 1=k2=25

Sustituyendo la ecuación 24 , se tiene:

52y2

y1

(y2

y1

)3

−25(y2

y1

)32−

23F1

2(( y2

y1)

32−1)=0

Multiplicando por 52

, se obtiene:

( y2

y1)

4

−( y2

y1)

1.5

−53F1

2(( y2

y1)

1.5

−1)=0

Haciendo ( y2

y1)

1

= j , se tiene :

j 4= j1.5−53F1

2 ( j1.5−1 )=0

j 4= j1.5−53F1

2 ( j1.5−1 )=0

j 4= j1.5 (1+53F1

2)=0

…………………………………… (25)

Factor izando la ecuación 25 se tiene:

( j0.5−1 )( j3.5+ j3+ j2.5+ j2+ j1.5−53F1

2 j−53F1

2 j0.5−53F1

2)=0…………. (26 )

Donde:

j0.5−1≠0 , pues si j0.5−1=0→ j=1 , esdecir :y2

y1

=1 ,

j 4= j1.5 (1+53F1

2)=0

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O también:y1= y2 , lo que indica que los tirantes conjugados serian iguales, por lo cual no se produciría el resalto hidráulico.

Dividiendo la ecuación 26 entre j0.5−1, se tiene:

j3.5+ j3+ j2.5+ j2+ j1.5−53F1

2 j−53F1

2 j0.5−53F1

2=o

……………(27)

Las ecuaciones 25 y 27 se pueden emplear en forma indistinta para calcular j=y2

y1

>1 y a partir de

ello calcular el tirante conjugado mayor y2 conocidos:

a )el tirante conjugadomenor y1

b ) F1=

v1

√g y’1

=v1

√g A1

T 1

=v1

√ 23g y1

Se recomienda para los cálculos utilizar la ecuación 25, que a pesar de tener mayor grado la ecuación 26, es de forma más sencilla.

Para simplificar la solución de estas ecuaciones se puede recurrir a la fig. 9 la misma que presenta la curva para el cálculo del tirante subcritico conocido el tirante supercritico.

2.- RÉGIMEN SUBCRITICO CONOCIDO:

2.1.- multiplicando la ecuación 8 por A1

y2A 2

2 y simplificando, se tiene:

k 2

A2

A1

−k1

Y 1

Y 2( A1

A2)

2

− Q2

g y2 A 22 (1−

A2

A1)=0

2.2.- procediendo en forma análoga al desarrollo anterior, se obtiene:

j 4−(53F2

2+1) j1.5+ 53F2

2=0

……………………….. (28)

j3.5+ j3+ j2.5+ j2+ j1.5−53F1

2 j−53F1

2 j0.5−53F1

2=o

j 4−(53F2

2+1) j1.5+ 53F2

2=0

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Donde, en este caso:

j=y1

y2

<1

F2=v2

√g A2

T 2

=v1

√ 23g y2

4.- LONGITUD DE RESALTO (L):

La longitud de resalto ha recibido gran atención por parte de los investigadores pero hasta ahora no se ha desarrollado un procedimiento satisfactorio para su cálculo. Sin duda, esto se debe al hecho de que el problema no ha sido analizado teóricamente, así como las complicaciones prácticas derivadas de la inestabilidad general del fenómeno y la dificultad en definir las secciones de inicio y de fin del resalto.

Se acepta comúnmente que la longitud L de resalto se defina como la distancia media entre la sección de inicio y la sección inmediatamente aguas abajo en que termina la zona turbulenta.}

Según el U.S. Bureau of Reclamation, la longitud del resalto en un canal rectangular horizontal varía de acuerdo con la siguiente tabla, o bien con la curva So=0 en la figura que sigue.

F1=v1

√g y1

1.7 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 8.00 10

Ly2

4.00 4.35 4.85 5.28 5.55 5.80 6.00 6.10 6.12 6.10

O bien, para canales rectangulares con pendiente del fondo “So” diferente de cero, según se muestra en la siguiente figura:

La longitud del resalto de un canal trapezoidal es mayor debido a la simetría que se produce por efecto de la distribución no uniforme de la velocidades.

Según SIEÑCHIN :L=A ( y2− y1)

Donde “A” depende del talud Z del canal, según la siguiente tabla:

Talud Z 0 0.5 O.75 1.O 1.25 1.5A 5.0 7.9 9.2 10.6 12.6 15.0

Según Hsing, la longitud del resalto hidráulico en un canal trapezoidal es mucho mayor, de acuerdo con la siguiente formula.

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II


L=5 y2 ¿

5.- FORMAS DE RESALTO EN CANALES CON PENDIENTE CASI HORIZONTAL

La forma del resalto hidráulico depende del número de Froude correspondiente al tirante conjugado menor:

F1=v1

√g y1

de los estudios realizados por el U.S. Bureau of Reclamation sobre el resalto hidráulico,

dentro de los tanques amortiguados como medio, para disipar la energía en descargas ya sean en vertederos en obras de toma, y en general en estructuras terminales, se tiene los siguientes casos:

1.- si F1esta comprendido entre 1.0 y 1.7 se tiene el resalto ONDULADO, así:

y1

Cuando del valor del número de froude, vale 1 el régimen es crítico y no se forma el resalto hidráulico. Para valores entre 1 y 1.7 se tiene un régimen un poco menor que el régimen subcritico, formándose ondulaciones ligeras en la superficie. Aproximadamente la velocidad v2 es 30% menor que la velocidad critica.

2.- si F1esta comprendido entre 1.7 y 2.5 se tiene el resalto DEBIL, así:

Es un régimen bastante uniforme, se designa por la etapa previa al resalto, sin turbulencia activa.

y1

3.- si F1esta comprendido entre 2.5 y 4.5 se tiene el resalto OSCILANTE , así:

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II


No se forma un resalto propiamente dicho, es mas bien un resalto oscilante y se dice que se tiene un régimen de transición.

Se recomienda, cuando cuando setenga números de froude dentro de este intervalo, variar las condiciones del régimen, de manera que se estén fuera de un régimen de transición.

y1

4.- si F1esta comprendido entre 4.5 y 9 se tiene el resalto ESTABLE Y EQUILIBRADO, así:

y1

5.- si F1 es mayo de 9 se tiene el IRREGULAR, así:

y1

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trabajo final unprg

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