Maquina de Atwood’sCalculo de la polea ideal aplicando dinámica y momento de inercia

Clase: 6038

Profesor: Diaz Leiva Nelson Alberto

Integrantes:

Arias Ocampo, Yuri

Cañazaca Lazo, Juan José

Pariona Gamarra, Leonel

Suarez Chea, Enrique

Vidal Ruiz, Fernando

27 de junio del 2013Universidad Privada del NorteIngeniería Industrial

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INDICE

Dedicatoria ………………………………………………………………………. 3

Introducción ……………………………………………………………………… 4

1. Planteamiento del Problema ……………………………………………… 5

2. Fundamento Teórico ……………………………………………………….. 5

2.1.Leyes de Newton ……………………………………………………….. 5

2.1.1. Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia ………………….. 6

2.1.2. Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza …………………… 7

2.1.3. Tercera Ley de Newton …………………………………………. 8

2.2.Maquina de Atwood ……………………………………………………. 8

2.2.1. Ecuación para la aceleración …………………………………. 11

2.2.2. Ecuación para la tensión ………………………………………. 11

3. Resolución del Problema – Solución Teórica …………………………… 12

4. Resolución del Problema – Solución Practica ………………………….. 15 5. Conclusiones ……………………………………………………………….. 18

Bibliografía ………………………………………………………………………. 19

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Dedicatoria

El presente trabajo está dedicado a cada uno de nuestros profesores, los cuales con sus conocimientos y vocación están contribuyendo a nuestra formación profesional.

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Introducción

La máquina de Atwood es un experimento inventado en 1784 por el matemático inglés George Atwood con el propósito de estudiar el movimiento acelerado en una dimensión.

La máquina está conformada por una polea por la que pasa una cuerda a la que se conecta una masa en cada extremo. A partir de la relación entre las masas se obtienen diferentes aceleraciones que van desde el movimiento sin aceleración hasta el movimiento acelerado con aceleración igual a g.

La máquina de Atwood es un clásico ejemplo de la aplicación de la segunda ley de Newton. Consta de una polea fija y una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por la polea y de cuyos extremos cuelgan dos masas.Primero, se considera que la polea tiene un momento de inercia despreciable y cuando se estudia la dinámica de rotación, se proporciona el dato del momento de inercia de la polea

En el siguiente proyecto de investigación, se estudia el movimiento de una máquina de Atwood. Consta de una rueda que supondremos de masa despreciable, por la rueda pasa una cuerda inextensible y de masa despreciable del cual cuelgan dos masas de pesos diferentes.

Los objetivos principales del experimento son:

La determinación de las tensiones. La determinación de la aceleración de la gravedad.

1. Planteamiento del Problema

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Para nuestro caso de estudio, la máquina de Atwood empleada ha sufrido unas ligeras modificaciones que no afectan en absoluto al funcionamiento.

Nuestra primera prueba será con una polea de 30cm de diámetro y peso 852gr, a la cual se le acoplara 2 pesas de 204gr y 300gr.

La segunda prueba constara con una polea de 5cm de diámetro y peso 36gr, a la cual se le acoplara 2 pesas de 204gr y 300gr.

En este caso calcularemos la aceleración que genera el objeto de peso mayor y la tensión que genera esta en un sistema de polea ideal sin fricción.

2. Fundamento Teórico

2.1.Leyes de Newton

Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la mecánica, en particular, aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo, en tanto que constituyen los cimientos no sólo de la dinámica clásica sino también de la física clásica en general. Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse como axiomas, Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y

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experimentos cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su validez radica en sus predicciones y a validez de esas predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de dos siglos.

No obstante, la dinámica de Newton, también llamada dinámica clásica, sólo se cumple en los sistemas de referencia inerciales; es decir, sólo es aplicable a cuerpos cuya velocidad dista considerablemente de la velocidad de la luz (que no se acerquen a los 300.000 km/s); la razón estriba en que cuanto más cerca esté un cuerpo de alcanzar esa velocidad (lo que ocurriría en los sistemas de referencia no-inerciales), más posibilidades hay de que incidan sobre el mismo una serie de fenómenos denominados efectos relativistas o fuerzas ficticias, que añaden términos suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partículas clásicas que interactúan entre sí. El estudio de estos efectos (aumento de la masa y contracción de la longitud, fundamentalmente) corresponde a la teoría de la relatividad especial, enunciada por Albert Einstein en 1905.

2.1.1. Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia

La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza.

Newton expone que: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

La formulación original en latín de Newton de esta ley fue: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.

Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como esta a la fricción.

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La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.

2.1.2. Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza

La segunda ley del movimiento de Newton dice que: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

En las palabras originales de Newton: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, la fuerza y la aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto.

En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

Donde:

 es el momento lineal

 la fuerza total o fuerza resultante.

Suponiendo que la masa es constante y que la velocidad es muy inferior a la velocidad de la luz la ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

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Sabemos que   es el momento lineal, que se puede escribir m.V donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.

Consideramos a la masa constante y podemos escribir   aplicando estas modificaciones a la ecuación anterior:

La fuerza es el producto de la masa por la aceleración, que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia. Veamos lo siguiente, si despejamos m de la ecuación anterior obtenemos que m es la relación que existe entre   y  . Es decir la relación que hay entre la fuerza aplicada al cuerpo y la aceleración obtenida. Cuando un cuerpo tiene una gran resistencia a cambiar su aceleración (una gran masa) se dice que tiene mucha inercia. Es por esta razón por la que la masa se define como una medida de la inercia del cuerpo.

Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta. La expresión anterior así establecida es válida tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista, a pesar de que la definición de momento lineal es diferente en las dos teorías: mientras que la dinámica clásica afirma que la masa de un cuerpo es siempre la misma, con independencia de la velocidad con la que se mueve, la mecánica relativista establece que la masa de un cuerpo aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve dicho cuerpo.

De la ecuación fundamental se deriva también la definición de la unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleración valen 1, la fuerza también valdrá 1; así, pues, el newton es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/s². Se entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y sentido.

2.1.3. Tercera Ley de Newton

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Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

La formulación original de Newton es: Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi.

La tercera ley de Newton es completamente original (pues las dos primeras ya habían sido propuestas de otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la mecánica un conjunto lógico y completo. Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo (empuje), este realiza una fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y de dirección, pero con sentido opuesto.

Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. Junto con las anteriores leyes, ésta permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento angular.

2.2.Maquina de Atwood

La Máquina de Atwood fue inventada en 1784 por George Atwood como un experimento de laboratorio para verificar las leyes mecánicas del movimiento uniformemente acelerado. La máquina de Atwood es una demostración común en las aulas usada para ilustrar los principios de la Física, específicamente en Mecánica.

La máquina de Atwood es un clásico ejemplo de la aplicación de la segunda ley de Newton. La máquina de Atwood consiste en dos masas, m1 y m2, conectadas por una cuerda inelástica de masa despreciable con una polea ideal de masa despreciable.

Cuando m1 = m2, la máquina está en equilibrio neutral a pesar de la posición de los pesos.

Cuando m2 > m1 ambas masas experimentan una aceleración uniforme.

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La máquina de Atwood es un dispositivo mecánico que se utilizó para medir la aceleración de la gravedad. El dispositivo consiste en una polea que tenga muy poco rozamiento y un momento de inercia muy pequeño.

De ambos extremos de la cuerda se colocan dos masas iguales M, con lo que el sistema se encuentra en equilibrio, pero si en el lado derecho se añade una sobrecarga m, el sistema se acelera.

Si m es pequeña con respecto de M, la aceleración es pequeña y se pueden medir tiempos y posiciones en una de las dos masas con relativa facilidad, y de esos valores se puede deducir el valor de g.

En el análisis dinámico de la maquina de Atwood, consideramos despreciable las masas de la polea y la cuerda así como la fricción de la polea con el eje. Con estos antecedentes, examinaremos este mecanismo, en el cual m2 es mayor a m1.

Análisis de diagrama de cuerpo libre:

Ya que m2 > m1, la dirección del movimiento para m2 es hacia abajo y de m1 hacia arriba, entonces se escoge estas direcciones como positivos según al movimiento que estas tengan.

Debemos aclarar que no es imprescindible escoger estos sentidos como positivos, otras orientaciones son posibles y las ecuaciones a deducir serán equivalentes; sin embargo, se considera que el sentido positivo al sentido del movimiento.

2.2.1. Ecuación para la aceleración

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Podemos obtener una ecuación para la aceleración usando análisis de fuerzas. Puesto que estamos usando una cuerda inelástica con masa despreciable y una polea ideal con masa despreciable, las únicas fuerzas que tenemos que considerar son: la fuerza tensión (T) y el peso de las dos masas (mg). Para encontrar la fuerza resultante tenemos que considerar las fuerzas que afectan a cada masa por separado.

Fuerzas que afecten :

Fuerzas que afecten :

Usando la segunda Ley de Newton del movimiento podemos obtener una ecuación para la aceleración del sistema.

2.2.2. Ecuación para la tensión

Puede ser útil obtener una ecuación para la tensión en la cuerda. Para evaluar la tensión sustituimos la ecuación por la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones de fuerza.

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Por ejemplo sustituyendo en , obtenemos

La tensión puede obtenerse de una forma similar de:

.

3. Resolución del Problema – Solución Teórica

Para nuestro caso Nº1:

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m2gm1g

T2 – m2g = m2a

m2g – T2 = m2a

T1 – m1g = m1a

T1R – T2R = -Iα

α= α/R

T2 – T1 = Iα/R

m2g – T2 = m2a

T1 – m1g = m1a

m2g – m1g = Iα/R + ( m1 + m2 )a

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R = 0.15m; M = 0.852Kg ; m1 = 0.204Kg; m2 = 0.3Kg

Momento de inercia de la polea:I = 1/2 x M * R2

I =0.5 x 0.852 x 0.152

I = 0.009585 kg*m²

Para m1: Segunda ley de Newton:T1 – m1g = m1x a

Para m2: Segunda ley de Newton:m2g – T2 = m2a

Para el momento de la polea:T2R – T1R = Iα

Sustituyo que a = α x R y multiplico por R las ecuaciones de cada masa:

T1 R - m1g R = m1 α R2

m2gR - T2R = m2 α R2

T2R - T1R = Iα

m2gR - m1gR = α (m1R² + m2R² + I)α = (m2gR - m1gR ) / (m1R² + m2R² + I)α = (0.3x10x0.15 – 0.204x10x0.15) / (0.204x0.152 + 0.3x0.152 + 0.009585)α = 0.144 / 0.022α = 6.545 rad/s²

a = α * R = 6.545 x 0.15a = 0.982 m/s²

También se pueden calcular las tensiones:Para m1:T1 – m1g = m1aT1 = (0.204 x 0.982) + (0.204 x 10)T1 = 2.6 N

Para m2: m2g – T2 = m2aT2 = (0.300 x 10) - (0.3 x 0.982)

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T2 = 2.971 N

Para el momento de la polea:T2R – T1R = IαIα = (2.971 x 0.15) - (2.6 x 0.15)Iα = 0.056 Nm

Para nuestro caso Nº2:

R = 0.025m; M = 0.036Kg ; m1 = 0.204Kg; m2 = 0.3Kg

Momento de inercia de la polea:I = 1/2 x M * R2

I =0.5 x 0.036 x 0.0252

I = 0.00001125 kg*m²

Para m1: Segunda ley de Newton:T1 – m1g = m1x a

Para m2: Segunda ley de Newton:m2g – T2 = m2a

Para el momento de la polea:T2R – T1R = Iα

Sustituyo que a = α x R y multiplico por R las ecuaciones de cada masa:

T1 R - m1g R = m1 α R2

m2gR - T2R = m2 α R2

T2R - T1R = Iα

m2gR - m1gR = α (m1R² + m2R² + I)α = (m2gR - m1gR ) / (m1R² + m2R² + I)α = (0.3x10x0.025 – 0.204x10x0.025) / (0.204x0.0252 + 0.3x0.0252 + 0.000011)α = 0.024 / 3.2625x10-4

α = 73.563 rad/s²

a = α * R = 73.563 x 0.025a = 1.839 m/s²

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También se pueden calcular las tensiones:Para m1:T1 – m1g = m1aT1 = (0.204 x 1.839) + (0.204 x 10)T1 = 2.415 N

Para m2: m2g – T2 = m2aT2 = (0.300 x 10) - (0.3 x 1.839)T2 = 2.448 N

Para el momento de la polea:T2R – T1R = IαIα = (2.448 x 0.025) - (2.415 x 0.025)Iα = 8.25x10-4 Nm

4. Resolución del Problema – Solución Practica

En el montaje experimental se ubica el sensor de movimiento rotacional a un lado de la cuerda para poder registrar la aceleración. Las masas, amarradas a cada extremo de la cuerda, se suspenden utilizando la polea. El sistema de adquisición registra el desplazamiento angular de la polea a medida que las masas están en movimiento. A partir de la información obtenida se determina la posición, la velocidad y la aceleración de una de las masas en función del tiempo.

Inicialmente las masas m1 y m2 se encuentran a la misma altura. Se inicia el sistema de adquisición y se suelta los pesos, como las masas son diferentes hace que el sistema se mueva de manera uniforme. En la pantalla aparece la gráfica de posición, velocidad y aceleración respecto al tiempo asociada al movimiento de la masa m2

La aceleración del sistema depende del valor de las masas m1 y m2. En el caso particular en donde m2 = m1, se encuentra que las masas pueden quedar suspendidas en reposo o pueden moverse a velocidad constante después de que se imparte un pequeño impulso inicial al sistema.

PruebaNº1

En la siguiente figura se muestra los valores registrados por el equipo. En el cual indica el valor de A que será nuestra aceleración.

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En la siguiente figura se puede observar la curva que genera la aceleración del sistema al soltar los pesos.

Prueba Nº2

En la siguiente figura se muestra los valores registrados por el equipo. En el cual indica el valor de A que será nuestra aceleración.

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En la siguiente figura se puede observar la curva que genera la aceleración del sistema al soltar los pesos.

5. Conclusiones

En esta práctica se ha estudiado el movimiento de masas en la máquina de Atwood. Se ha analizado el valor de la aceleración de la gravedad y la tensión de las cuerdas.

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Utilizando las formulas matemáticas hemos obtenido un resultado y en el caso práctico otro resultado, por tanto se observa, que los valores no son compatibles (están con un porcentaje de error), pero que entran en su mayoría dentro de lo aceptable experimentalmente (± 15%). Las limitaciones experimentales principales, que han provocado esta imprecisión en los resultados, han sido el rozamiento del sistema (la cuerda con las poleas y las poleas sobre su eje), el rozamiento del aire, la oscilación que perturbaba la verticalidad del movimiento, el desprecio de la masa de la cuerda.

En resumen, podemos concluir que el experimento ha cumplido el objetivo de estudiar el movimiento de masas en la máquina de Atwood y que los valores calculados se ajustan y son compatibles, dentro de las limitaciones experimentales citadas, con lo esperado según los desarrollos teóricos. Por tanto, el experimento se ha desarrollado satisfactoriamente y se han logrado los objetivos propuestos.

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Bibliografía

Física 1 José Antonio Ibáñez 1989 1era Edición España

Física Vol. 1 Paul Allen Tiple 2003 5ta Edición España

Mecánica Vol. 1 Charles Kittel 2005 2da Edición España

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Atwood

https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton

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