Universidad Nacional

Universidad Nacional Pedro Ruiz GalloEscuela Profesional De Ingeniera Civil

Universidad NacionalPedro Ruiz GalloFACULTAD DE INGENIERA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURAFICSA

Escuela Profesional de Ingeniera Civil

ASIGNATURA:DINAMICA

TEMA:VIBRACION LIBRE AMORTIGUADADOCENTE: Ing. RODRIGUEZ LLONTOP, Yrma

ALUMNO:SANTAMARIA CHERO NILS HEBERT

CICLO ACADEMICO:2009 ILambayeque, octubre del 2009

INTRODUCCIONEl anlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado estudios completos, esta introduccin expone de forma resumida algunos aspectos tericos de las vibraciones de los sistemas elsticos que ayudarn a comprender los mtodos de clculo de la accin de los sismos sobre las estructuras basados en sus efectos dinmicos.El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin de equilibrio. La mayora de las mquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta cierto grado por lo que su diseo requiere la consideracin de este efecto dinmico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.En el presente trabajo de investigacin se hace detallar dos objetivos a mencionar uno es el llamado objetivo principal donde se demostrara la ecuacin del movimiento de masa de una vibracin libre amortiguada; ocurriendo en estas tres casos: sobre amortiguado; crticamente amortiguado, y sub amortiguado; la cual dentro de estos vale recalcar que nos ocuparemos en demostrar la solucin sobre el movimiento vibratorio sub. amortiguado siendo este nuestra segundo objetivo, que a sido llamado objetivo especifico.As mismo el presente informe tendr un ejercicio de aplicacin que nos facilitar mejor la comprensin sobre el objetivo especfico de esta investigacin y donde a su vez esperamos que sea de informacin til para el lector.

I.- TEMA: Vibracin Libre Amortiguada.II.-OBJETIVO: Discutir el movimiento resultante de una masa sujeta a un resorte con amortiguamiento cuando es desplazada de su posicin de equilibrio.III.- MARCO TEORICO:

En realidad todas las vibraciones se amortiguan hasta cierto grado por las fuerzas de friccin. Estas fuerzas pueden deberse a la friccin seca o a la friccin de coulomb entre cuerpos rgidos, por friccin fluida cuando un cuerpo rgido se mueve en un fluido, por friccin interna entre las molculas del cuerpo aparentemente elstico.Un tipo de amortiguamiento de inters especial es el amortiguamiento viscoso que ocasiona la friccin o rozamiento de un fluido a velocidades bajas moderadas. El amortiguamiento viscoso se caracteriza por el hecho de que la fuerza de friccin es directamente proporcional y opuesta a la velocidad del cuerpo en movimiento Como por ejemplo considere de nuevo un cuerpo de masa m suspendido de un resorte de constante k donde se supondr que el cuerpo esta conectado al embolo de un amortiguador. La magnitud de la fuerza de friccin que ejerce el fluido de los alrededores sobre el embolo es igual a cx donde la constante c expresada en N.s/m o Lb.s/ft y que se conoce como coeficiente de amortiguamiento viscoso depende de las propiedades fsicas del fluido y de la construccin del amortiguador. Una discusin sobre este movimiento es el grafico siguiente:

ks

m

Situacin dinmica Balance de fuerzas:

Balance de fuerzas:

Modelo matemtico:

Resolviendo:

Ecuacin auxiliar o caracterstica:

Donde se obtienen las races:Y se obtienen las races r=-

La cual puede ocurrir: Caso I

Races reales y distintas

Caso II

Races reales repetidas

Caso III

Races complejas conjugadas

Como en la solucin de las races pueden ocurrir tres casos entonces cada uno toma su respectivo nombre designado dentro del tema de vibraciones:Caso I: vibracin libre Sobre amortiguado

Races reales y distintas:

Ejemplo del desplazamiento del cuerpo en funcin del tiempo

Caso II: vibracin libre Crticamente Amortiguado

Races reales y repetidas:

Ejemplo del desplazamiento del cuerpo en funcin del tiempo

Caso III: Sub amortiguado

Complejas conjugadas:

Ejemplo del desplazamiento del cuerpo en funcin del tiempo

Objetivo especifico:Demostrar la solucin sobre el caso de vibracin libre sub amortiguadaI) Empezaremos planteando nuestra :

ECUACION DEL MOVIMIENTO DE LA MASA

m

K c

Entonces:=m.a

Obtenemos nuestra ecuacin diferencial; no sin antes dividiendo entre m la expresin anterior

Ya obtenida nuestra ecuacin diferencial realizamos nuestros cambios de variable de la siguiente manera:

Donde .) p: ser llamada la frecuencia natural del sistema esto especifica la rapidez con que se ejecuta un ciclo completo o por mayor exactitud el nmero de ciclos de movimiento que realiza el objeto por unidad de tiempo esta constante es llamada frecuencia angular cuya unidad es el rad/s.) n: es una constante cuya unidad es 1/s es utilizada como cambio de variable para reducir calculo. Entonces al realizar nuestro cambio de variable nuestra ecuacin diferencial ser convertida en:

Ahora realizamos un nuevo cambio de variable (que en la mayora es llamado en algunos textos matemticos artificio) con la finalidad de convertir esta ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica y as poder encontrar su solucin, el cambio de variable ser:

Nuestra ecuacin diferencial quedara transformada en:

Donde las races de sern:

Finalmente se observa que las races de depende exclusivamente de la parte radical de dicha expresin Ahora lo que nos ocuparemos es cuando este caso es el llamado vibracin sub amortiguada.Seguidamente si quiere decir que la parte radical es un nmero negativo por lo tanto la raz de este nmero negativo es otro nmero que es llamado nmero complejo que se representa de la siguiente manera abi por tanto las races seran:

iPor concepto de la solucin de una ecuacin diferencial la solucin de la variable X ser: X (t) = +Despejando: X (t) = ( +)Ahora por concepto de la Formula de Euler; tenemos: Si: =cos+i=cosiEntonces la solucin X (t) queda reducida a: X(t) = ( +) Agrupando: X (t) = ((+)cos +(sen)Ahora como y son constantes entonces haremos que:+ = A =BEntonces X (t) queda reducida en: X (t) = (A cos +B sen)Siendo esta ltima expresin la solucin general en un caso de vibracin sub amortiguada.

Ejercicio de Aplicacin:*) Una masa de 10 Kg se desliza por una superficie horizontalmente sin rozamiento como se indica. En t=0 la masa pasa por su posicin de equilibrio con una velocidad de 2.5 m/s dirigida hacia la derecha. Si k= y c=. Determinar la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa cuando este alcanza su mximo alargamiento m

KX

c

Solucin:cKx m

mg

Realizamos nuestra ecuacin del movimiento de la masa=m.a

Obtenemos nuestra ecuacin diferencial; no sin antes dividiendo entre m la expresin anterior

Ahora como: ===120 y n===9Entonces: < 0Al observar que se cumple la desigualdad anterior entonces se deduce que estamos en un movimiento libre sub amortiguadoSeguidamente resolvemos la ecuacin diferencial:

Mediante el cambio de variable convertimos nuestra ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica

Quedando:

Donde las races de sern: Ahora la solucin general segn el caso de un movimiento sub amortiguado ser: X= ( sen + cos)Ahora cuando t=0; X=0 =0La solucin general se reduce a:X= senDerivando: = sen+ cosAhora cuando t=0; =2.5 2.5= =0.4Entonces la solucin general del sistema ser:X= senLa fuerza que ejerce el resorte cuando su desplazamiento es mximo se da cuando = 0 = sen+ cos0 = 0.4(-9 sen+ cos) cos = 9 sen =Donde t = 5.565 sAhora si t = 5.565 s.Entonces X= senX= 4.0228*mPor lo tanto la fuerza del resorte ser:=Kx = ( 4.0228*m) =4.827*NRESPUESTA:La fuerza del resorte cuando este alcance su mximo alargamiento ser: =4.827*N

Dinmica