FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGÍA Y CIVIL

Trabajo encargado Nº 03

: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES (ES-241)

: GUILLERMO TAPIA CALDERÓN

: DE LA CRUZ FLORES, Frank A.

: 16095631

AYACUCHO - PERÚ

PARTE I: ESTADISTICA DESCRIPTIVA (Cuadro incompleto y Cálculo de Estadígrafos)

I) Se tiene la siguiente información de la distribución de capital social de 50 pequeñas empresas industriales; tal que la longitud de los intervalos de clase es constante e igual a 20.Con estos datos se completa el cuadro dado:

I.1) Dar titulo al cuadro estadístico adjunto

“cuadro de distribución del capital social de 50 pequeñas empresas industriales”

I.2) A partir de los datos reconstruir un cuadro completo.

Con los datos anteriores reconstruimos el cuadro completo:

En primer lugar completamos los intervalos:Tenemos como dato Y’5=120 de donde, sabiendo que la longitud de los intervalos es de 20.

Se obtiene: Y'5 =Y'4+20 ⇒Y'4=100 ; Y'4 =Y'3+20 ⇒Y'3=80 ; Y'2 =Y'3+20 ⇒Y'2=60 ; Y'1 =Y'2+20 ⇒ Y'1=40 ; Y'0=Y'1+20 ⇒Y'0=20

Luego hallando la marca de clase: Y i=

Y 'i−1+Y 'i2

Y 1 =30; Y2=50;Y 3=70;Y4=90;Y5=110;Y6=130;Y7=150

Con los resultados anteriores y con los datos se puede hallar la frecuencia absoluta simple ya que:

Y 1n1=300=30(n1 )⇒n1=10 ; ^

i Y’i-1, Y’i

Marca de clase Yi

Frecuencia absoluta simple: ni

Nj Yi ni

1 20,40 30 10 10 3002 40,60 50 8 18 4003 60,80 70 5 23 3504 80,100 90 17 40 15305 100,120 110 4 44 4406 120,140 130 6 50 7807 140,160 150 0 50 0

Y 2n2=400=50( n2 )⇒n2=8 ; Y 3n3=350=70(n3)⇒n3=5

Y 4 n4=90(17 )=1530 ; Y 5n5=440=110 (n5)⇒n5=4

Ahora hallamos la frecuencia acumulada simple:

N1=10 ; N2=N1+n2 =18 ; N3=N2+n3 =23 ; N4=N 3+n 4 =40 ; N5=N4+n 5=44 ; N6=N5+n 6=50⇒ n6 =6 ;N7=N6+n 7=50⇒n7 =0

Volviendo:

Y 6 n6=6(130 )=780 ; Y 7 n7=150(0 )=0

i [Y i−1' ,Y i

' ⟩ Y i C i tabulación ni hi hi×100 N j H j H j×100N j¿ H j

¿ H j¿×100Y i . ni Y i . hi

1 [20,40⟩ 30 20 lIIIIIIIII 10 0,2 20% 10 0,2 20% 50 1,00 100% 300 6,02 [40,60⟩ 50 20 llllllII 8 0,16 16% 18 0,36 36% 40 0,80 80% 400 8,03 [60,80⟩ 70 20 lllll 5 0,1 10% 23 0,46 46% 32 0,64 64% 350 7,04 [80,100⟩ 90 20 llllllllllllllllI 17 0,34 34% 40 0,8 80% 27 0,54 54% 1530 30,65 [100,120

⟩110 20 llll 4 0,08 8% 44 0,88 88% 10 0,20 20% 440 8,8

6 [120,140⟩

130 20 llllll 6 0,12 12% 50 1 100% 6 0,12 12% 780 15,6

7 [140,160⟩

150 20 0 0 0% 50 1 100% 0 0,00 0% 0 0,0

I-3) Interprete estadísticamente seis casillas que estaban vacías y fueron llenadas por usted.

N4: 40 pequeñas empresas registraron tener no más de 100 de capital social.

n2: 8 pequeñas empresas registraron tener a los sumo 60 de capital social pero

no menos de 40 de capital social.

N1: 10 pequeñas empresas registraron tener no más de 40 de capital social.

N2: 18 pequeñas empresas registraron tener no más de 60 de capital social.

n3: 6 pequeñas empresas registraron tener a lo sumo 80 de capital social pero

no menos de 60 de capital social.

N6: 5 pequeñas empresas registraron tener a lo sumo 140 de capital social pero

no menos de 120 de capital social.

I-4) Determinar la media, mediana y moda interpretarla estadísticamente

MEDIA:

Se tiene por dato que la media es

Y=76 es decir:

Y=∑i=1

7

Y ihi=76

Interpretación estadística: el valor medio del número de capitales es 76.

MEDIANA:

Me=Y j−1' +c j(

n/2−N j−1'

N j' −N j−1

')

Me=80+20(25−2340−23

)

Me=80+20(0 .117647 )Me=82 . 35294

Interpretación estadística: el valor mediano de capital social es 82.35294 supera a lo sumo al 50% de datos pero a su vez es superado por no más del 50% de datos restantes.

MODA:

M d=Y j−1' +c j (

Δ1

Δ1+Δ2)

M d=80+20[17−5(17−5)+(17−4 ) ]

M d=80+20(1225

)

M d=80+20(0 . 48 )M d=89. 6

Interpretación estadística: el valor que más se repite de capital social es 89.6

I.5) Hallar la distribución simétrica o asimétrica por comparación de estadígrafos de tendencia central más representativos e interpretarla estadísticamente.

Como:

Me=82 . 35294

Y=76

M d=89. 6

Y <M e<M d

Entonces el cuadro es una distribución asimétrica negativa

I-6) Calcular la variancia o variancia muestral y la desviación estándar o desviación típica e interpretarla estadísticamente.

Calculando la varianza:

S2=∑i=1

m

niY i2

n−Y 2

S2=1044

Interpretación:

La variación promedio al cuadrado de los diámetros por cada uno de los capitales con respecto a los promedios de los mismos es de 1044.

Calculando la desviación estándar:

S=√∑i=1

m

niY i2

n −Y 2

S=√1044

S=¿ 32,31098884

Interpretación:

La variación promedio de los diámetros por cada uno de los capitales con respecto a los promedios de los mismos es de 32,31098884

I-7) Calcule la desviación media de datos agrupados e interpretarlos estadísticamente.

DM=∑ ni|y i− y|n

DM=139650

DM=27 . 92

Interpretación: Es el promedio de las sumatorias de los valores absolutos de los datos originales multiplicado por (fas), divido entre el tamaño de la muestra.

I-8) Calcule la desviación mediana de datos agrupados e interpretarlos estadísticamente.

DM e=∑ ni|y i−M e|n

DM e=1370 .588250

DM e=27 . 411765

I-9) Calcule el coeficiente de variación de datos agrupados. Interpretarlos estadísticamente.

CV %=Smediaaritmetica

∗100

CV %=32,3109888476

∗100

CV %=42,514459%

42,514459 % mucha variación => Y noes una buena medida descriptiva.

I.10) Calcule el Primer Cuartil(Q1), y el Tercer Cuartil(Q3). Interpretarlos estadísticamente.

Primer cuartil

1er paso: 1n4

=504

=12.5

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ n

4≤ N j

' →10≤12.5≤18

N1' =10

N2' =18

3er paso: Intervalo primer cuartilico¿¿ →¿4to paso:

Q1=Y j−1' +C j[ n4−N j−1

N j−N j−1]

Q1=40+20[ 12.5−1018−10 ]

Q1=46.25El primer cuartilQ1 es el capital social igual a 46.25 mil dólares, es un valor que supera a lo sumo a 25% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 75% de observaciones restantes.

Tercer cuartil

1er paso: 3n4

=1504

=37.5

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ 3n

4≤ N j

' →23≤37.5≤40

N3' =23

N4' =40

3er paso: Intervalo tercer cuartilico¿¿ →¿4to paso:

Q3=Y j−1' +C j[ 3n

4−N j−1

N j−N j−1]

Q3=80+20[ 37.5−2340−23 ]

Q3=97.0588El tercer cuartil Q3es el capital social igual a 97.0588, es un valor que supera a lo sumo a 75% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 25% de observaciones restantes.

I.11) Calcular el segundo y cuarto quintil (K i)

Segundo quintil

1er paso: 2n5

=1005

=20

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ 2n

5≤ N j

' →18≤20≤23

N2' =10

N3' =18

3er paso: Intervalo segundo Quintilico¿¿ →¿4to paso:

Q1=Y j−1' +C j[ 2n

5−N j−1

N j−N j−1]

Q1=60+20[ 20−1823−18 ]

Q1=68El segundo quintil es el capital social igual a 68 mil dólares, es un valor que supera a lo sumo a 40% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 60% de observaciones restantes.

Cuarto quintil

1er paso: 4n5

=2005

=40

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ 4n

5≤ N j

' →40≤40≤44

N4' =40

N5' =44

3er paso: Intervalo cuarto quintilico¿¿ →¿4to paso:

Q3=Y j−1' +C j[ 4 n

5−N j−1

N j−N j−1]

Q3=100+20[ 40−4044−40 ]

Q3=100Cuarto quintiles el capital social igual a 100 mil dolares, es un valor que supera a lo sumo a 80% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 20% de observaciones restantes.

I.12) Calcule el cuarto Decil (D4), y el noveno Decil (D9). Interpretarlos estadísticamente.

Primer decil

1er paso: 1n10

= 5010

=5

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ 1n

10≤ N j

' →0≤5≤10

N0' =0

N1' =10

3er paso: Intervalo primer decilico¿¿ →¿4to paso:

D1=Y j−1' +C j[ 1n

10−N j−1

N j−N j−1]

D1=20+20[ 5−010−0 ]

D1=30El primer decil D1es el capital social igual a 30 mil dólares, es un valor que supera a lo sumo a 10% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 90% de observaciones restantes.

Séptimo decil

1er paso: 7n10

=35010

=35

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ 7n

10≤N j

' →23≤35≤40

N3' =23

N4' =40

3er paso: Intervalo mediano¿¿ →¿4to paso:

D7=Y j−1' +C j[ 7n

10−N j−1

N j−N j−1]

D7=80+20[ 35−2340−23 ]

D7=94.11765

El séptimo decil D7es el capital social igual a 94.11765, es un valor que supera a lo sumo a 70% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 30% de observaciones restantes.

I.13) Calcule el Decimo Percentil (P10), y el nonagésimo Percentil (P90). Interpretarlos.

Decimo percentil

1er paso: 10n100

=500100

=5

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ 10n

100≤ N j

' →0≤5≤10

N0' =0

N1' =10

3er paso: Intervalo decimo Percentílico¿¿ →¿4to paso:

D1=Y j−1' +C j[ 10n

100−N j−1

N j−N j−1]

D1=20+20[ 5−010−0 ]

D1=30El decimo percentil P10es el capital social igual a 30 mil dólares, es un valor que supera a lo sumo a 10% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 90% de observaciones restantes.

Nonagésimo percentil

1er paso: 90n100

=4500100

=45

2do paso: “criterio de desigualdad”

N j−1' ≤ 90n

100≤N j

' →44 ≤45≤50

N5' =44

N6' =50

3er paso: Intervalo mediano¿¿ →¿4to paso:

P90=Y j−1' +C j [ 90n

100−N j−1

N j−N j−1]

P90=120+20 [ 45−4450−44 ]

P90=123.33333

El nonagésimo percentil P90 es el capital social igual a 123.33333 mil dólares, es un valor que supera a lo sumo a 90% de observaciones, pero que a su vez es superado por el 10% de observaciones restantes.

I.14) Calcule el recorrido Intercuartílico Interpretarlo.

El recorrido intercuartílico se obtiene restando el cuartil 3 menos el cuartil 1

R IQ=Q3−Q1=97.0588−46.25=50.8088

El recorrido intercuartilico de las observaciones de los capitales sociales de 50 pequeñas empresas constructoras es 75.17847 mil dólares.

I.15) calcular el Semi-recorrido Intercuartílico

Q=R IQ

2=50.8088

2=25.4044

El Semi-recorrido Intercuartílico de las observaciones de los capitales sociales de 50 pequeñas empresas constructoras es 25.4044mil dólares.

I.16) Calcule el Recorrido Interpercentílico. Interpretar estadísticamente.

Se obtiene restando el nonagésimo percentil con el décimo percentil

R IP=P90−P10=123.33333−30=93.33333

El recorrido interpercentilico de las observaciones de los capitales sociales de 50 pequeñas empresas constructoras es 93.33333mil dólares.

I.17) Hallar el 1er. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera AS?

A s=y−MoS

= 76−89.632.31098884

=−0.420909

Como A ses negativo la distribución es asimétrica negativa(o hacia la izquierda)

I.18) Hallar el 2do. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera AS?

A s=Q3+Q 1−2Me

Q3−Q1=

97.0588+46.25−2(82.35294)97.0588−46.25

=−0.421129

Como A ses negativo la distribución es asimétrica negativa(o hacia la izquierda)

I.19) calcular el coeficiente de Asimetria de Fisher A s∗¿¿

As∗¿=

∑ ( yi− y )3nin . S y

3 ¿

As∗¿= 33600

50 x 33732.672=0.019921¿

Como A s∗¿<1la ¿Distribución asimétrica negativa

I.20) Hallar el coeficiente Percentílico de KURTOSIS. ¿Qué distribución genera?

k 2=Q3−Q1

2(P¿¿90−P10)¿

Q3=97.0588

Q1=46.25

P90=123.33333

P10=30

Remplazando seria:

k 2=97.0588−46.25

2(123.33333−30)=0.27219

Como k 2>0.27219 la distribución es leptokúrtica

PARTE II: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE, CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE Y COEFICIENTE DE DETEMINACIÓN.

EN LA SUB GERENCIA DE defensa civil de l gobierno regional de Ayacucho se desea contratar a cinco(5) ingenieros para la obra de Drenaje Pluvial de los jirones san Martin y Arequipa de la ciudad de Ayacucho, los que son evaluados en “experiencia de estimación de riesgo” (X) y en “exámenes de sus conocimientos de drenaje pluvial”(Y). Los resultados obtenidos se registraron en la siguiente tabla:

Ingenieros CivilesEvaluados

X:Experiencia EstimaciónDel riesgo

Y:Conocimientos en drenaje social

XiYi Xi2 Yi

2

MARTINEZ 18 82 1476 324 6724OLARTE 15 68 1020 225 4624SUAREZ 12 60 720 144 3600NOA 9 32 288 81 1024PEREZ 7 28 196 49 784

Con la información determine:

a) Elabore la grafica estadística: diagrama de dispersión, con los pares ordenados.

6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80

90

b) Calcule la estimación de parámetros de α y β.

Sabemos que,α̂=Y− β̂ X

Calculamos las medias de laos valores de X e Y, sabiendo que n=5

Y=2705

=54 , X=615

=12.2

Calculamos el coeficiente de regresión lineal simple que su valor esta dado por.

β̂=∑i=1

5

x i y i+(∑i=1

5

x i)(∑i=1

5

y i)n

∑i=1

5

xi2−

(∑i=1

5

x i)2

n

β̂=3700− (61 ) (270 )

5

823−(61 )2

5

β̂= 40678.8

β̂=5 .15228426396

Calculamos el punto de corte de la gráfica con el eje Y.

α̂=Y− β̂ X

α̂=54−5.15228426396(12.2)

α̂=−8.8578680203

c) Halle la ecuación de regresión lineal simple.

Y= α̂+ β̂ X

Reemplazando:Y=−8.8578680203+5.15228426396 X

d) Calcule el nivel de conocimiento que corresponde para X=10.

Y=−8.8578680203+5.15228426396(10)

Y=42.6649746193

e) Pronostique el nivel de conocimiento para un ingo que tiene experiencia de estimación de riesgo de 20 puntos.

La experiencia de estimación de riesgo de 20 puntos viene a ser la variable independiente X, entonces reemplazamos.

Y=−8.8578680203+5.15228426396(20)

Y=94.1878172587

Entonces el conocimientos de drenaje pluvial para una experiencia de estimación de riesgo de 20 puntos es de 94.1878172587

f) Calcule el coeficiente de correlación lineal simple.

r̂=∑i=1

5

x i y i−(∑i=1

5

x i)(∑i=1

5

y i)n

√(∑i=1

5

x i2−

(∑i=1

5

x i)2

n )(∑i=1

5

y i2−

(∑i=1

5

y i)2

n )

r̂=3700− (61 ) (270 )

5

√(823− (61 )2

5 )(16756−(270 )2

5 )r̂= 460

√ (78.8 ) (2176 )

r̂= 460√171468.8

r̂=0 .980468124981

g) Calcule el coeficiente de determinación e interprete.

r̂2=(0.980468124981)2

r̂2=0 .961317744104

PARTE III: SIMBOLIZACIÓN DE DATOS.- Dado el siguiente cuadro A; donde cada valor corresponde a una unidad de análisis Xij , desarrolle la suma abreviada y calcule su valor numérico.

CUADRO N° 01 j i

1 2 3 4

1 4 3 2 0

2 3 5 0 1

3 1 0 3 6

4 0 4 2 3

SOLUCION:

III-a) ∑X i1 =X11+¿ X21 +X 31 +X 41 =4+3+1+0 =08

III-b) ∑X i2 =X12+¿ X22 +X 32 +X 42 =3+5+0+4 =12

III-c) ∑X i3 =X13+¿ X23 +X 33 +X 43 = 2+0+3+2 =07

III-d) ∑X i4 =X14+¿ X24 +X 34 +X 44 =0+1+6+3 =10

III-e) ∑X1 j =X11+¿ X12 +X 13 +X 14 = 4+3+2+0 =09

III-f) ∑X2 j=X 21+¿ X22 +X 23 +X 24 =3+5+0+1 = 09

III-g) ∑X3 j =X31+¿ X32 +X 33 +X 34 = 1+0+3+6 =10

III-h) ∑X 4 j =X 41+¿ X 42 +X 43 +X 44 =0+4+2+3 =09

III-i) X .2 =∑X i2 =X12+¿ X22 +X 32 +X 42 =3+5+0+4 =12

III-j) X3. = ∑X3 j =X31+¿ X32 +X 33 +X 34 =1+0+3+6 =10

III-k) X ..

= ∑i=1

4

∑j=1

4

xij =

∑i=1

4 (∑j=1

4

x ij)

= ∑i=1

4

(X i1+¿

X i2

+X i3

+X i4

)

= (X11+¿ X12 +X 13 +X 14 ) +(X21+¿ X22 +X 23 +X 24 ) +

. = ( X31+¿ X32 +X 33 +X 34 ) + (X 41+¿ X 42 +X 43 +X 44 )

= (4+3+2+0)+( 3+5+0+1)+( 1+0+3+6)+( 0+4+2+3 )

= 37

IIl-m) ∑X ij

= ∑i=1

4

∑j=1

4

xij =

4

1

4

1i jijx

= ∑i=1

4

. ( ∑j=1

4

X ij )

= ∑i=1

4

. (X i1+¿ X i2 +X i3 +X i4 )

= (X11+¿ X12 +X 13 +X 14 ) +(X21+¿ X22 +X 23 +X 24 ) +

. + ( X31+¿ X32 +X 33 +X 34 ) + (X 41+¿ X 42 +X 43 +X 44 )

= (4+3+2+0)+( 3+5+0+1)+( 1+0+3+6)+( 0+4+2+3 )

= 37