INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍADE ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL

IUTAAMPLIACIÓN PUERTO PÍRITU

Profesora:

Mariana Santamaría

Bachilleres:

Cedeño Mailenys C.I.: 23.653.122Ysea Yunerys C.I.: 19.967.642Contreras Jean Carlos C.I.: 25.362.077

PUERTO PÍRITU, 11 DE FEBRERO 2.015.

Derivadas por Teorema y Ecuaciones Diferenciales de

Primer Orden

INTRODUCCIÓN

A través de los años, los matemáticos han tratado de resolver muchas ecuaciones especializadas. Por ello hay muchos métodos; sin embargo, lo que funciona bien con un tipo de ecuación de primer orden no necesariamente se aplica a otros.

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingenierías y otras disciplinas donde hay envuelta razones de cambio de una o varias funciones desconocidas con respecto a una o varia variables independientes.

Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas.

TEOREMAS SOBRE DERIVADAS

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

Teorema 1. La derivada de una función constante es cero. 

Ejemplos:

1. Si   entonces 

2. Si   entonces 

Teorema 2. Si   entonces   es derivable sobre   

y   

Ejemplos:

1.

2.

  Teorema 3. Si   con   y   pertenece al conjunto A en el

que   está bien definida, entonces   es derivable en   y  . Ejemplos:

Si   entonces 

Si   entonces 

Teorema 4. Si la función   es derivable sobre un intervalo   y   es un

número real, entonces la función   para la que   es derivable sobre  ,

además  Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función. 

Ejemplos:

Si   entonces 

Si   entonces 

Teorema 5. Si   y   son dos funciones derivables sobre un intervalo  ,

entonces la función   es derivable sobre   y además

, para  . 

Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones. También: 

donde   son funciones derivables sobre un intervalo  . 

Ejemplos:

1.

2.

 Si   y   son funciones derivables sobre un intervalo   entonces la

función   es derivable sobre  , y además para cualquier   se tiene que

 

Ejemplos:

1.

2.  

Teorema 6. Si   y   son funciones derivables sobre un intervalo   

entonces la función   es derivable sobre  , y además para cualquier   se

tiene que  

Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera. 

Ejemplos:

 1.

2.

Teorema 7. Si   y   son dos funciones derivables y si   sobre un

intervalo   entonces la función   es derivable sobre  , y además para

cualquier   y se tiene que   

Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador. 

Ejemplos:

1.  

 

 

 

 con   

2.  

 

 

 

 

 con   

Teorema 8. "La derivada del cociente de dos funciones es igual al cociente entre, el producto de la función en el denominador por la derivada de la función en el numerador menos el producto de la función en el numerador por la derivada de la función en el denominador, y, el cuadrado de la función en el denominador":Sean f, g  y h  funciones tales que, f (x) = g(x)/h(x), entonces, si g'(x)  y  h'(x)  están definidas,

Teorema 9:"La derivada de una constante es cero":Si k es una constante, k pertenece a los reales, y si  f (x) = k  para toda x, entonces

Teorema 10: "La derivada de la función potencia es igual al producto del exponente por la función con su exponente disminuido en la unidad":

    Si n pertenece a los enteros, y si 

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial es una igualdad en la que intervienen:

Una o varias variables independientes La variable dependiente o función incógnita Las derivadas de la función incógnita

Si la función incógnita es solo función de una variable, la ecuación diferencial se llama ordinaria.

Si la función incógnita es función de más de una variable, la ecuación diferencial se llama en derivadas parciales.

Tipos de Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES : Son ecuaciones de la forma:

ECUACIONES HOMOGÉNEAS : Son ecuaciones de la forma:

ECUACIONES EXACTAS : Son ecuaciones de la forma:

ECUACIÓN LINEAL: Una ecuación diferencial es lineal si presenta la

forma:

Y que tienen por solución:

Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

ECUACIÓN DE BERNOULLI: Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma:

En la cual, si se hace la sustitución  , la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

ECUACIÓN DE RICCATI: Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:

Para resolverla, se debe hacer la sustitución  , donde   es una solución particular cualquiera de la ecuación.

ECUACIÓN DE LAGRANGE : Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:

Resolviéndose con la sustitución  , obteniéndose una solución general y una solución particular.

ECUACIÓN DE CLAIRAUT: Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut, tiene la forma:

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la

ecuación diferencial de Lagrange, con  , por lo cual, su resolución es análoga a la anterior.

CONCLUSIÓN

Las leyes científicas, que por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático.

Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en las matemáticas y sobre todo en la ingeniería debido a que muchos problemas se presentan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones.

BIBLIOGRAFÍA

Fuentes Consultadas en Internet

http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node6.html

http://chinazos11.tripod.com/derivadas/id6.html

http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden.html

http://www.um.es/docencia/plucas/manuales/mat/mat4.pdf

http://www.matematica.ciens.ucv.ve/pregrado/EDP/EDP.pdf.