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análisis de vigas isostaticas e hiperestaticasTRANSCRIPT
INTRODUCCIÓN
Resistencia de materiales tienen como objetivo estudiar el
comportamiento de los sólidos deformables y establecer los criterios que nos
permitan determinar el material más conveniente, la forma y las dimensiones
más adecuadas que hay que dar a estos sólidos cuando se les emplea como
elementos de una construcción o de una máquina para que puedan resistir la
acción de una determinada solicitación exterior, así como obtener este
resultado de la forma más económica posible.
Las vigas son elementos cuya disposición en las estructuras es
principalmente horizontal, aunque también pueden ser inclinadas, pero que
en todo caso tienen la importante función de servir de apoyo de otros
miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por
la gravedad, las cuales actúan lateralmente a lo largo de su eje. Gracias a
estos elementos se pueden construir todo tipo de maquinarias y estructuras,
tales como chasis de vehículos, soporte de maquinarias, vigas de puentes y
edificaciones, etc. Esta condición hace que las vigas estén sometidas a
esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por los esfuerzos de
flexión. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una sección a
otra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de
soporte y la geometría, genera en el interior de la misma la aparición de
cuatro fuerzas llamadas resistentes. Si consideramos un sistema espacial
tenemos:
1- Fuerza Cortante: se produce con dirección perpendicular al eje de la viga y
su efecto es similar al generado por una tijera al cortar un papel, es decir una
fuerza cortante paralela a la cara de la sección de la viga.
2- Fuerza Axial: se produce cuando la disposición de las fuerzas externas no
es totalmente perpendicular al eje de la viga, existiendo componentes de
ellas a lo largo del eje. Cuando aparece esta fuerza junto con la flexión, se
genera un esfuerzo combinado de flexión con esfuerzo axial. Este estudio
está fuera del alcance del presente trabajo.
3- Momento Flector: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar
la rotación del sólido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y
que produce sobre la viga un efecto de curvatura a largo de su eje.
4- Momento Torsor: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la
rotación del sólido según un eje paralelo al eje longitudinal de la viga, y que
produce sobre la misma un efecto de giro alrededor de su propio eje.
En el presente trabajo solo se considera el estudio de vigas a flexión
pura y no uniforme, es decir bajo la aplicación de cargas externas que
generan en su interior fuerzas cortantes y momentos flectores. Se estudia la
relación que existe entre las fuerzas externas y las internas. Como varían
estas últimas a lo lago de la viga, mediante la elaboración de diagramas de
fuerzas cortantes y momentos flectores, a los fines de poder diseñar su
dimensionado de manera económica con la condición más crítica de fuerza
interna. Se estudia también por varios métodos, finalmente se aborda el tema
de las vigas hiperestáticas, y la forma de encontrar las reacciones externas,
utilizando las ecuaciones adicionales proporcionadas por las deformaciones.
Objetivo General
El objetivo principal es desarrolla la capacidad de analizar cualquier
problema de forma lógica y sencilla, y de aplicar para su solución unos
cuantos principios básicos perfectamente analizado y comprobado. Los
sistemas estructurales se pueden clasificar según la estructura
predominante; entre ellas tenemos las vigas isostáticas, y las vigas híper
estáticas.
Objetivo específico:
En esta parte del texto se introduce el análisis de los tipos de vigas con
sus números de reacciones, numero de ecuación de equilibrios disponibles,
para que el sólido permanezca en equilibrio estable, también el grado de
indeterminación.
Para el análisis las vigas isostáticas se utiliza el métodos de la
secciones, método de integración directa. De igualmente para la vigas
hiperestática se utiliza el método de tres momento, método de doble
integración, método de cross; el principios de este material hacer énfasis en
la resistencia de los materiales para aplicarlo para resolver cada caso de los
diferentes análisis o método y que nos sirva como herramienta práctica.
TIPOS DE VIGAS.
De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen
dos grandes grupos de vigas:
1. Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas:
En estas vigas el número de reacciones externas coincide con el
número de ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan reacciones
para que el sólido permanezca en equilibrio estable, tiene grado de
indeterminación (G.I) cero. A continuación se muestran algunos ejemplos:
a) Viga simplemente apoyada de un tramo:
# Reacciones = 3
# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)
G.I. = 0
b) Viga en cantiliver, voladizo o ménsula:
# Reacciones = 3
# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)
G.I. = 0
c) Viga simplemente apoyada con volados:
# Reacciones = 3
# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)
G.I. = 0
d) Viga continúa de dos tramos, con volados y articulación:
# Reacciones = 4
# Ecuaciones = -4 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA, ΣMCizq o ΣMCder)
G.I. = 0
2. Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas:
Presentan un número mayor de reacciones externas que de
ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas
presentan al menos una condición de sujeción adicional a las mínimas
requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen
reacciones sobrantes, cuya eliminación las convertiría teóricamente en
isostáticas. A continuaron se muestran algunos ejemplos:
a) Viga empotrada y apoyada en un rodillo:
# Reacciones = 4
# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)
G.I. = 1
b) Viga empotrada- empotrada:
# Reacciones = 6
# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)
G.I. = 3
c) Viga de dos tramos empotrada y apoyada:
# Reacciones = 5
# Ecuaciones = -3 ( ΣFx, ΣFy , ΣMA)
G.I. = 2
FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isostática de un
solo tramo, con una carga puntual “P”, en la sección a-a se hace un corte
imaginario para observar las fuerzas internas que aparecen para satisfacer
las condiciones de equilibro, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo
libre de abajo.
Se muestra en el siguiente diagrama la convención de signos desde el
punto de vista de la deformación de un elemento diferencial situado justo en
la sección a-a.
Fuerza Cortante:
Del equilibrio de fuerzas verticales practicado a cualquiera de los dos
segmentos de viga separados, aparece una fuerza interna “Va-a”, llamada
resistente, debido a que se opone al efecto de las fuerzas activas externas,
cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga AB, el cual
coincide a su vez con el eje “X” del sistema de referencia particular “XY” de la
viga.
Para el caso de vigas inclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la misma
inclinación, puesto que se orienta según el eje particular de la viga y no
según el sistema global vertical-horizontal. En este sentido se define la
fuerza cortante como la sumatoria de la componente perpendicular al
eje, de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la
sección de viga estudiada:
Va-a = ΣFyizqa-a= ΣFydera-a.
La convención de signos más común, es aquella que considera positiva
la fuerza cortante que hace deslizar hacia arriba, la porción de viga situada a
la izquierda de la sección estudiada, en caso contrario se considera negativa.
En otras palabras cuando la sumatoria de fuerzas a la izquierda de la sección
es positiva la fuerza cortante tiene el mismo signo, igual para el caso
contrario, tal como
Momento Flector: el equilibrio rotacional de los segmentos de viga
estudiados se logra con la aparición del Momento Flector Ma-a, señalado en
el diagrama de cuerpolibre anterior. De esta manera este se puede definir
como la sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a
la izquierda o a la derecha de la sección estudiada, considerando que el
plano de aplicación de las fuerzas es XY (hoja de papel), y la dirección del
momento flector es perpendicular a este, es decir el eje particular Z:
Ma-a = ΣMiizqa-a= ΣMidera-a
En cuanto al signo del momento flector, es importante resaltar que este
no depende de su sentido de rotación, tal como sucede con el momento de
equilibrio, sino más bien de la curvatura que sufre la viga por la aplicación del
mismo. De tal manera que una curvatura cóncava hacia arriba se considera
positiva, lo contrario es negativo. En la siguiente figura se ilustra esta
convención.
Los momentos flectores positivos generan tracción o alargamiento en
las fibras inferiores de la viga y compresión o acortamiento en las superiores,
los negativos producen lo contrario, como se muestra en la parte superior de
la figura anterior. En los gráficos inferiores, de la figura anterior, se muestra el
efecto de fuerzas individuales y el sentido de curvatura de la viga,
considerando un empotramiento imaginario en la sección a-a.
RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR.
Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y
del momento flexionante en un punto de la viga, sino más bien a lo largo de
todo el elemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición
más desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del sólido, para lograr
esto se construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento
flector. La realización de estos diagramas requiere conocer la relación
existente entre las cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento
flector. En el siguiente gráfico, se ha considerado una viga simplemente
apoyada, con un sistema de cargas distribuida general “q”, de signo positivo,
por tener sentido vertical hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la
viga separadas una distancia dx. A la derecha se ha graficado en forma
ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial de viga
contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzas externas
“q”, como las fuerzas internas V y M, las cuales se supusieron con signo
positivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y
momentos flexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la
sección 02, son los valores de la sección 01 más un cierto diferencial dV y
dM respectivamente.
Equilibrando el elemento diferencial tenemos:
Relación Carga – Corte: por sumatoria de fuerzas verticales
De esta manera se encuentran las siguientes relaciones:
a) donde “q” es intensidad de carga y es la pendiente del
diagrama de corte.
b) El signo de la carga, define la inclinación de la pendiente del diagrama
de corte.
c) La intensidad de la carga “q” define la variación de la pendiente del
diagrama de corte.
d) Se puede calcular el corte en la sección 02, con el corte anterior en la
sección 01, más el área del diagrama de carga existente entre las
secciones 01 y 02:
Relación Corte – Momento: por sumatoria de momentos en el punto “0”:
Las relaciones entre corte y momento son:
a) donde “V” es intensidad del diag. De corte y es la
pendiente del diagrama de Momentos.
b) El signo del diagrama de corte, define la inclinación de la pendiente
del diagrama de momentos.
c) La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la
pendiente del diagrama de Momentos, como se muestra a
continuación:
d) Se puede calcular el momento en la sección 02, con el momento
anterior en la sección 01, más el área del diagrama de corte existente
entre las sección 01 y 02:
Vigas Isostáticas
Método de las secciones
El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas
internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre que
muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reacciones. En los pasos
subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las
fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede
entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura. L/2 L a P P P/2 P/2
P/2 P/2 ? ∙ ? 2 Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas
puntuales y distribuidas actuando sobre ellas. Se supone que se conocen las
reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las reacciones mantienen
todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga
uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos
segmentos de viga es un cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas
condiciones de equilibrio requieren de la existencia de un sistema de fuerzas
internas en la sección de corte de la viga.
Método de la integración directa
Otra posibilidad es usar fórmulas vectoriales directas, si se tienen
fuerzas puntuales y reacciones verticales aplicadas en los
puntos , una carga distribuida continua y momentos
puntuales aplicados en puntos , el momento
flector total puede calcularse directamente como:
Donde la suma sobre i se extiende hasta k dado por la
condición [análogamente para j y l]. La anterior
función será continua si y sólo si todos los momentos puntuales se anulan, y
será diferenciable si sólo existe carga continua q. Cuando las fuerzas
puntuales no sean todas nulas la función será continua a tramos. Otra forma
práctica de expresar la última ecuación es:
La cual permite encontrar la función mediante una integral simple en
lugar de doble. O en términos de la función escalón de
Heaviside función rampa :
Vigas Hiperestáticas
Método de los Tres Momentos
Este no es el único método que da soluciones a los problemas de
cálculo en vigas continuas. Sin embargo, el problema genérico parte de
condición estática de la viga.
Para entender mejor el método se definirán algunos conceptos básicos
que deben conocerse para llevar acabo el análisis.
Una viga continua puede definirse como una estructura hiperestática
formada por varias piezas rectas alineadas, unidas entre si por nudos rígidos
apoyados, determinándose vano, o tramo, al segmento comprendido entre
dos apoyos sucesivos de la viga. Esta tipología es apreciable en la siguiente
figura.
En el estudio de las vigas continuas sólo consideramos la acción de fuerzas
verticales y de momentos, con lo que las reacciones en los apoyos también
serán verticales. De actuar alguna fuerza horizontal, como, por ejemplo, de
frenado en puentes de carretera o de ferrocarril, supondremos que uno de
los apoyos es fijo y, por tanto, que soporta todas las acciones horizontales.
Con esta disposición de los apoyos, los cambios térmicos uniformes a través
del espesor de las piezas no producen ningún tipo de esfuerzo.
Como la viga sobre dos apoyos simples es un sistema isostático, en una viga
de más de un tramo cada apoyo intermedio introduce un vínculo redundante
y, en general, una viga continua sobre n apoyos, constituye un sistema n-2
veces hiperestático. Por tanto, en la resolución de una viga continua pueden
tomarse como incógnitas hiperestáticas las reacciones de los apoyos
intermedios.
Como alternativa a diferentes métodos para resolver vigas continuas se
eliminan los enlaces entre los diversos tramos y se eligen como incógnitas
hiperestáticas los momentos flectores sobre los apoyos intermedios. Eso
equivale a suprimir la continuidad de los tramos y considerar la viga como
una sucesión de vigas biapoyadas isostáticas que interaccionan entre sí a
través de momentos de extremidad de valor desconocido al momento del
cálculo.
En el diseño de elementos mecánicos se cuenta con piezas y elementos que
se pueden analizar como vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos
se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La
determinación de las reacciones en los apoyos no se pueden establecer
mediante la estática, por lo que se denominan hiperestáticos, como ya se
mencionó, se recurre a la mecánica de materiales para su análisis.
Buscando determinar la ecuación que se utilizará para el desarrollo del
método, se toma en cuenta que se tiene una viga continua infinita con
diferentes tipos de cargas en cada uno de los extremos y se toma de la
misma, en el hipotético caso, dos tramos, los cuales tienen longitud L1 y L2,
como se observa en la figura
Separando por tramos la viga y haciendo la similitud estática de las cargas
en las secciones de corte, construimos los diagramas de cortante y
momento, señalando las áreas y centroides de las figuras compuestas en la
siguiente forma:
Al dividir la estructura por tramos, es decir, entre cada apoyo, un corte, se
generan momentos compensados de signos contrarios. Los ángulos de giro
son señalados con relación a la pendiente de la deformación, en la división
de los tramos. Al realizar el corte sobre los extremos infinitos, se generan
momentos que también son señalados sobre ambos tramos.
En estas razones se puede establecer:
Si se toma por separado cada uno de estos tramos y se observa que las
cargas externas producen un diagrama de momentos pero también aparecen
momentos hiperestáticos al separar cada tramo de la viga. Los dos tramos
tienen un punto común en el cuál se ubica el apoyo No. 2, y en cual se sabe
que .
El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a cero. También se
observa que cada uno de de los tramos es afectado por las cargas y los
momentos. Tomando en consideración el teorema de area momentos, la
contribución de las cargas externas del tramo 1 a es la siguiente:
Podemos expresar el ángulo como una contribución de los momentos
hiperestáticos
En el tramo dos, igualmente está expresado como sigue:
Igualando con la ecuación determinada antes donde , tenemos:
Donde:
M1, M2, M3: Momento flectores en los apoyos 1, 2 y 3.
L1, L2: Longitudes de los tramos 1 y 2.
A1, A2: Área del diagrama de Momentos Flectores de las Cargas sobre los
tramos 1 y 2.
a1: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 1 al
apoyo 1.
b2: Distancia del centro del diagrama de Momentos Flectores del tramo 2 al
apoyo 3.
Método de la doble integración.
Es uno de tantos métodos que se basan en el análisis de las
deformaciones, en particular la de los soportes. El método consiste en
integrar sucesivamente una ecuación denominada “Ecuación Diferencial de
la Elástica” dada por la expresión:
E = Módulo elástico del material del que está hecha la viga.
I = Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro.
Mx = Ecuación de momentos a lo largo de toda la barra.
Al integrar sucesivamente la ecuación de momentos, aparecen
constantes que será necesarios definir. Estas constantes se determinan en
función de las condiciones de frontera, que generalmente las definen los
tipos de apoyo o la simetría de la carga. Recordemos que un apoyo simple
tiene pendiente pero no tiene flecha y un apoyo empotrado no tiene ni
pendiente ni flecha. En un punto cualquiera de la viga, la pendiente es la
misma analizando las cargas y momentos a la izquierda o a la derecha del
punto.
Método de Cross
El Método de Distribución de Momentos o Método de Cross, es un
método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y
marcos, desarrollado por Hardy Cross. Publicado por primera vez en 1.930
en una revista de la American Society Civil Engineering; el método solo
calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y
cortantes, suficiente para efectos prácticos. Desde esa fecha hasta que las
computadoras comenzaron a ser usadas en el diseño y análisis de
estructuras, el método de distribución de momentos fue el más usado.
En el Método de Distribución de Momentos cada articulación de la
estructura que se va a analizar, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en
los Extremo fijos. Después cada articulación fija es secuencialmente liberada
y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está
en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio
es alcanzado. El método de distribución de momentos desde el punto de
vista matemático puede ser demostrado como el proceso de resolver una
serie de sistemas de ecuaciones por iteraciones.
Para la aplicación del método de cross deben seguirse los siguientes
pasos:
1) Momentos de “empotramiento” en extremos fijos: son los momentos
producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas
están fijas.
2) Rigidez a la Flexión: la rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es
representada como el producto del Módulo de Elasticidad (E) y el segundo
momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido
por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de
distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética
de rigidez de todos los miembros.
3) Factores de Distribución: pueden ser considerados como las
proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus
miembros.
4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no balanceados
son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada.
La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el
extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.
5) Convención de Signos: un momento actuando en sentido horario es
considerado positivo. Esto difiere de la convención de signos usual en
ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianos.
Cálculo de Reacciones
+ ΣM B=0
M B= - (9kn x 4.5m) - (8kn x 1.5m) + Ra x 6m = 0
Ra =
= 8.75kn
+Σfv=0 8.75 kn - 9kn - 8kn + Rb =0
Ra= 8.25 kn
Corte por metodo de Areas
V(0)= 0 + 8.75 kn = 8.75 kn
V(0-3)= 8.75 kn – 9 kn = -0.25 kn
V(3)= - 0.25 kn – 0 kn = -0.25 kn
V(3-4.5)= -0.25 kn + 0 kn = -0.25 kn
V(4.5)= -0.25 kn – 8 kn= -8.25 kn
V(4.5-6)= - 8.25kn - 0 = - 8.25 kn
V(6)= - 8.25 kn + 8.25 kn = 0 kn
Momento por metodo de Areas
M(0-2.917)= 0 + ( ) = 12.762 kn.m
M(2.917- 3)= 12.762 kn.m -
= 12.752 kn.m
M(3 - 4.5)= 12.752 kn.m + 0.25 kn x 1.5 m=12.377 kn.m
M(4.5- 6)= 12.377kn.m - (8.25 kn x 1.5 m) = 0.002 kn.m
8.75 kn
12.377 kn.m
12.752 kn.m 12.762 kn.m
0.083 m
2.917 m
8.25 kn
0.25 kn 0.25 kn
Cálculo de Reacciones
+ ΣM B=0
M A= - (800 lb x 6 pies) - (Rc x 9 pies) + 400 x 12 pies + 300 lb.pies= 0
Rc =
= 1100 LB
+Σfv=0 Ra – 800 lb + 1100 lb – 400 lb =0
Ra= 100 lb
Corte por metodo de Areas
V(0)= 0 + 100 lb = 100 lb
V(0-6)= 100 lb - 0 = 100 lb
V(6)= 100 lb - 800 lb = - 700 lb
V(6-9)= -700 lb + 0 = -700 lb
V(9)= -700 – 1100 = 400 lb
V(9-12)= 400 - 0 = 400 lb
V(12)= 400 - 400 = 0 lb
Momento por metodo de Areas
M(0-6)= 0 + 100 lb x 6 pies = 600 lb.pies
M(6-9)= 600 lb.pies – 700 lb x 3 pies= -1500 lb.pies
M(9-12)= -1500 lb.pies + 400 lb x 3 pies=-300 lb.pies
M(12-14)= -300 lb.pies – 0 = -300 lb.pies
M(14)= -300 lb.pies + 300 lb.pies= 0
V (-)
V (+)
300 lb.pies
M (-)
M (+)
400 lb 400 lb
700 lb 700 lb
100 lb 100 lb
600 lb.pies
1500 lb.pies
Cálculo de Reacciones
+ ΣM B=0
M A= - 13.5 kn.m x – Rc x 9 m= 0
Rc = = 9 kn
+Σfv=0 Ra – 13.5 kn + 9 kn = 0
Ra= 4.5 kn
Corte por metodo de Areas
V(0)= 0 + 4.5 kn = 4.5 kn
V(0-9)= 4.5 kn - = - 9 kn
V(9)= - 9 kn + 9 kn = 0
Momento por metodo de Areas
M(0-5.1961)= 0 + 15.588 kn.m= 15.588 kn.m
M(5.19619-9)= 15.588 kn.m –15.588 kn.m = 0
9 kn
4.5 kn
V (-)
V (+)
M (+)
M (-)
5.1961 m
15.588 Kn.m
Cálculo de Reacciones
+ ΣM A=0
24 kip.pies x + MA + 24 kip.pies x [( ) ]= 0
MA = = - 576 kip.pies
+Σfv=0 Ra – 24 kip - 24 kip = 0
Ra= 48 kip
Corte por metodo de Areas
V(0)= 0 + 48 kip = 48 kip
V(0-12)= 48 kip - = 24 kip
V(12)= 24 kip + 0 kip = 24 kip
V(0-24)= 24 kip - kip = 0 kip
Momento por metodo de Areas
M(0)= 0 - 576 kip.m= - 576 kip.pies
M(0-12)= -576 kip.pies –[ ]kip.pies = -96 kip.pies
M(12-24)= -96 kip.pies +96 kip.pies = 0 kip.pies
576 kip.pies
V (-)
V (+)
M (-)
M (+)
48 kip
24 kip
96 kip.pies
1
Solución:
Para elaborar el D.C.L de la viga se debe calcular la carga puntal generada por la carga uniformemente distribuida (W) y ubicarla en el medio de la longitud donde está actuando la carga por unidad de longitud
Diagrama de Cuerpo de la Viga
Cálculo de las reacciones en los apoyos de la viga:
Aplicado en B
3 m1 m
5 kN
A B C D
1 mw=2000 N/m
W 2kN
m
4m( ) 8 kN
1 m 1 m 1 m1 m
W =8 kN 5 kN
RBy RDy
A B C D
RBy RDy 13kN a( )
W 1m( ) 5kN 2m( ) RDy 3m( ) 0 RDyW 1m( ) 5kN 2m( )
3m6 kN
Cálculo de diagrama de Corte y Momento por el método de las secciones
Aplicado en D
Verificando la ecuación (a).
Análisis por sección
Secc AB: 0<x<1m
Cálculo de la carga equivalente:
Evaluando para el intervalo de 0<x<1m
Para
RBy 3m( ) W 2m( ) 5kN 1m( ) 0 RByW 2m( ) 5kN 1m( )
3m7 kN
RBy RDy 13kN
7kN 6kN 13kN
Vi
Mi
Qeq1
(x/2)
(x)
Qeq1 2kN
m
x
ViAB Qeq1 2kN
m
x MiAB Qeq1x
2
MiAB 2kN
m
x
x
2
x2
kN
m
x 0m
ViAB 2kN
m
x ViAB 0 MiAB x2
kN
m
MiAB 0
Para
Secc BC:
Cálculo de la carga equivalente: Cálculo de la carga puntual debido a la carga distribuida:
x 1m
ViAB 2kN
m
x ViAB 2 kN MiAB x2
kN
m
MiAB 1 kN m
V i
M i
Q e q 2
( x - 1 m ) / 2
( x )
1 m ( x - 1 m )
W 2
0 , 5 m
( x - 0 , 5 m )
R B y = 7 k N
Qeq2 2kN
m
x 1m( ) W2 2kN
m
1m( ) 2 kN
ViBC W2 RBy Qeq2
MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) 2kN
m
x 1m( )
x 1m
2
MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) x 1m( )2 kN
m
Evaluando para el intervalo de 1<x<3m
Para
Para
Secc CD:
x 1m
ViBC W2 RBy 2kN
m
x 1m( )
ViBC 5 kN
MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) x 1m( )2 kN
m
MiBC 1 kN m
x 3m
ViBC W2 RBy 2kN
m
x 1m( )
ViBC 1 kN
MiBC W2 x 0.5m( ) RBy x 1m( ) x 1m( )2 kN
m
MiBC 5 kN m
Vi
M i
Qeq3
(x-3m )/2
(x)
1 m
(x-3m )
W 2
0,5 m
(x-0,5m )
RBy = 7 kN
2 m
W 3
(x-2m )
(x-2m )
(x-1m )
3m
5kN
Qeq3 2kN
m
x 3m( ) W3 2kN
m
2 m 4 kN
Evaluando para el intervalo de 3m<x<4m
Para
Para
ViCD W2 RBy W3 5kN Qeq3
MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) Qeq3x 3m
2
MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) 2kN
m
x 3m( )
x 3m
2
MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) x 3m( )2 kN
m
x 3m
ViCD W2 RBy W3 5kN 2kN
m
x 3m( )
ViCD 4 kN
MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) 5kN x 3m( ) x 3m( )2 kN
m
MiCD 5 kN m
x 4m
ViBC W2 RBy W3 5kN 2kN
m
x 3m( ) ViBC 6 kN
MiCD W2 x 0.5m( ) RBy x 1 m( ) W3 x 2 m( ) 5kN x 3m( ) x 3m( )2 kN
m
MiCD 0 kN m
Diagrama de Carga
Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Felxionante
Cálculo de las reacciones :
Por simetría:
4500 4 12 9000
2 2i jR R kgf
⋅= = ⋅ = ↑
Otra forma, por equilibrio:
1 4500 4 2 4500 40 4 4 4 8 0
3 2 3 2
9000
4500 40 2 9000 0
2
9000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + ⋅ − =
⇒ = ↑
⋅= ⇒ − ⋅ + + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación :
( )
( ) ( ) 2
0 4 (primer segmento)
45004500 1125 4500
4
562,5 4500 9000
x
W x x x
V x W x dx x x
≤ ≤
= − = −
= = − +∫
Cálculo de Diagrame de Corte y momento por metodo de integración (Vigas Isostaticas)
( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
3 2
2
3
187,5 2250 9000
4 0
4 12000
0 4 (segundo segmento)
45001125
4
562,5
187,5 12000
4 9000
4 0
M x V x dx x x x
V
M mkgf
x
W x x x
V x W x dx x
M x V x dx x
V kgf
M
= = − +
=
=
≤ ≤
= − = −
= = −
= = − +
= −
=
∫
∫∫
Diagramas de cortante y momento:
Cálculo de las reacciones :
Por equilibrio:
( )
7,50 1 3000 7,50 2000 7,5 5 3000 7,5 7,5 0
2 3 2
13250
7,50 5000 2000 3000 13250 0
2
16000
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅= ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − =
⇒ = ↑
= ⇒ − + − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación :
( )
( )
( )
( )( )
2
3 2
0 5 (primer segmento)
5000 30005000 400 5000
5
200 5000 16000
2002500 16000
3
5 4000
5 25833,33
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
≤ ≤
−= − = −
= − +
= − +
= −
=
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
1
2
0 200 5000 16000 0
3,77
21, 23 5 no es solución
3,77 28360,10
5 (fuerza puntual)
5 3000 4000 7000
5 25833,33
0 2,50 (segundo segmento)
3000 20003000 400 3000
2,5
20
V x x x
x m
x m m
M mkgf
x
V kgf
M mkgf
x
W x x x
V x
= ⇒ − + =
=
= >
=
=
= − − = −
=
≤ ≤
−= − = −
=
( )
( )( )
2
3 2
0 3000 7000
2001500 7000 25833,33
3
2,5 13250
2,5 0
x x
M x x x x
V kgf
M
− −
= − − +
= −
=
Diagramas de cortante y momento:
Cálculo de las reacciones :
Por equilibrio:
( )2 3000 2 1 3000 3 30 2 750 2 3 5 1000 3 5 1,5 1500 8 0
3 2 3 2 2
5937,5
3000 2 3000 30 1000 3 1500 5937,5 0
2 2
6062,5
V
Mi Rj
Rj kgf
F Ri
Ri kgf
⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ − =
⇒ = ↑
⋅ ⋅= ⇒ − − − ⋅ − + =
⇒ = ↑
∑
∑
Cálculo de las características de solicitación :
( )
( )( )( )( )
( )( )
2
3
0 2 (primer segmento)
30001500
2
750 6062,5
250 6062,5
2 3062,5
2 10125
2 (momento aplicado)
3062,5
750 10125 10875
x
W x x x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M x mkgf
≤ ≤
= − = −
= − +
= − +
=
=
=
=
= + =
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 2
2
1
2
0 3 (segundo segmento)
30003000 1000 3000
3
500 3000 3062,5
5001500 3062,5 10875
3
3 1437,5
3 11062,59
0 500 3000 3062,5 0
1,3
4,7 3 no es solución
(1,3) 12
x
W x x x
V x x x
M x x x x
V kgf
M mkgf
V x x x
x m
x m m
M
≤ ≤
= − = −
= − +
= − + +
= −
=
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = >
=
( )( )( )( )( )
( )( )
2
687, 42
0 1,5 (tercer segmento)
1000
1000 1437,5
500 1437,5 11062,59
1,5 2937,5
1,5 7781,34
1,5 (fuerza puntual)
1500 2937,5 4435,5
7781,34
0 1,5 (cuarto
mkgf
x
W x
V x x
M x x x
V kgf
M mkgf
x
V x kgf
M x mkgf
x
≤ ≤
= −
= − −
= − − +
= −
=
=
= − − = −
=
≤ ≤
( )( )( )( )( )
2
segmento)
1000
1000 4437,5
500 4437,5 7781,34
1,5 5937,5
1,5 0
W x
V x x
M x x x
V kgf
M
= −
= − −
= − − +
= −
=
Diagramas de corte y momento :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
45004500
8
45004500
16
45002250
48
4500 2250
192 3 2
0 0 0
4500 2250
960 12 6 2
0 0 0
8 0
8 0
0 288000 32 8
0 6
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
RiEI x x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= − + −
= − 14400 85,3 32
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
12600
14400
4500 80 12600 0 5400
2
V
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
F Rj Rj kgf
+ −
=
=
⋅= ⇒ − + = ⇒ =∑
?
Cálculo de vigas hiperestaticas por metodo de integración.
( ) [ ]
( ) [ ]2
1 80 14400 8 4500 8 5400 0 9600
3 2
Ecuación general de la carga:
562,50 4500 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
281, 25 4500 12600 0,8
Ecuación general del moment
Mi M j M j mkgf
W x x x
V x x x x
= ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒ =
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
∑
( ) [ ]( ) [ ]
( )
3 2
4 3 2
o flector:
93,75 2250 12600 14400 0,8
23, 44 750 6300 14400 0,8
Máximo momento flector:
0 281
xx
M x x x x x
EI x x x x x x
V x
θ
= − + − ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒
( )( )? ( )
2
1
2
, 25 4500 12600 0
3,62
12,38 8 no es solución
3,62 6174, 41
0 14400
0 14400 para 0
x x
x m
x m m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
− + =
⇒ =
⇒ = >
=
= −
⇒ = = − =
( )( )( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 2
1
1
4 3 2
2
2
2000
2000
1000
333,32
0 0 0
83,36 2
0 0 0
8 0
8 0
170666,6 32 8
341333,3 85,3 32
resolviendo el si
xx
xx
W x
V x x Ri
M x x Rix Mi
RiEI x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= −
?
?
?
? ?
stema de ecuaciones resulta:
8000
10666,67
por simetría 8000
Ri kgf
Mi mkgf
Rj kgf
=
=
=
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) 2
por simetría: 10666,67
Ecuación general de la carga:
2000 0,8
Ecuación general de la fuerza cortante:
2000 8000 0,8
Ecuación general del momento flector:
1000 8000 10166,67
M j mkgf
W x x
V x x x
M x x x
=
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( )
( )( )( )? ( ) ( )
0,8
Máximo momento flector:
0 2000 8000 0
4
4 5333,33
0 10666,67
8 10666,67
0 8 10666,67
x
V x x
x m
M mkgf
M mkgf
M mkgf
M M M mkgf
∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
=
= −
=
⇒ = = = − para 0 y 8x x= =
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3 2
4 3 2
1
1
5 4 3 2
2
2
400 5000
200 5000
2002500
3
200 2500
12 3 2
0 0 0
200 2500
60 12 6 2
0 0 0
7,5 0
7,5 0
298828,13 28,13 7,5
580078
xx
xx
W x x
V x x x Ri
M x x x Rix Mi
RiEI x x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x x C
x x C
x x
x x
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
θ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
,12 70,31 28,13
resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:
15363,19
17778, 44
Ri Mi
Ri kgf
Mi mkgf
= −
=
=
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
2
3 2
Ecuación general de la carga:
400 5000 0;7,5
Ecuación general de la fuerza cortante:
200 5000 15363,19 0;7,5
Ecuación general del momento flector:
66,67 2500 15363,19 17778, 44
W x x x
V x x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − [ ]
( ) [ ]
( )
( )
5 4 3 2
2
1
2
0;7,5
Ecuación general de la deformada:
3,33 208,33 2560,53 8889, 22 0;7,5
Máximo momento flector:
0 200 5000 15363,19 0
3,59
21, 41 7,5 no es solución
3,59 8239,88
xx
x
EI x x x x x x
V x x x
x m
x m m
M m
δ
∀ ∈
= − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = >
=
( )? ( )
0 17778, 44
0 17778, 44 para 0
kgf
M mkgf
M M mkgf x
= −
⇒ = = − =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
2
3
4 2
1
1
5 3 2
2
2
6000
7
6000
14
6000
42
6000
168 2
0 0 0
6000
840 6 2
0 0 0
7 0
7 0
49000 7
120050 57,16 24,5
resolviendo e
xx
xx
W x x
V x x Ri
M x x Rix Mi
RiEI x x x Mix C
x x C
Ri MiEI x x x x C
x x C
x M x
x x
Ri Mi
Ri Mi
θ
θ
δ
δ
δ
= −
= − +
= − + −
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= − + − +
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= −
= −?
l sistema de ecuaciones resulta:
9450
17150
Ri kgf
Mi mkgf
=
=
Rj
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
2
3
Ecuación general de la carga:
6000 0,7
7
Ecuación general de la fuerza cortante:
60009450 0,7
14
Ecuación general del momento flector:
60009450 17150 0,7
42
Ecuación general
W x x x
V x x x
M x x x x
= − ∀ ∈
= − + ∀ ∈
= − + − ∀ ∈
( ) [ ]
( )
( )( )? ( )
5 3 2
2
1
2
de la deformada:
6000 9450 17150 0,7
840 6 2
Máximo momento flector:
60000 9450 0
14
4,7
4,7 0 no es solución
4,7 12433,18
0 17150
0 17150 para 0
xxEI x x x x x
V x x
x m
x m
M mkgf
M mkgf
M M mkgf x
δ = − + − ∀ ∈
= ⇒ − + =
⇒ =
⇒ = − <
=
= −
⇒ = = − =
http://metododecross1031.blogspot.com/Cálculo de Diagrama de Corte y Momento por el método de Cross
4.0 ton
3.0 ton/m 3.0 2 ton/m 3.0 ton/m
A B C D
1) Rigidez en cada seccion de la viga.
EI= Para vigas en voladizo
EI=Para vigas internas de seccion kte
EI=Para vigas externas de seccion kte
R= EI/L
R=0/2
R=
Tramo A-B = R= EI/L
R=
R=
Tramo B-C = R= EI/L
Tramodel
Voladizo=
2.00 6.00 7.00 5.00
2.00
0.00
1.00
0.75
ton/m
0.00
2.0 5.00
0.17
1/6
R=
R= 0.14
Tramo C-D = R= EI/L
R=0.75/5
R= 0.15
R=
A B C D
2) Coeficientes de Distribucion
CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der )) CD= R(Der ) / (R(Der)+ R(Izq))
CD=0/(0+0.17) CD=0.17/(0.17+0)
R= R=
CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der)) CD= R(Der) / (R(Der)+ R(Izq))
CD=0.17/(0.14+0.17) CD=0.14/(0.147+0.17)
R= R=
CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der)) CD= R(Der) / (R(Der)+ R(Izq))
CD=0.14/(0.14+0.15) CD=0.15/(0.15+0.14)
R= R=
CD= R(izq) / (R(izq)+ R(Der)) CD= R(Der) / (R(Der)+ R(Izq))
CD=0.15/(0.15+0.00) CD=0.00/(0.00+0.15)
R= R=
3) Momentos Isostaticos en los nudos
1.00
0.46
0.51
0.00
0.00
2.00 6.00 7.00 5.00
R= 0.00 R= 0.17 R= 0.15
2.00
0.54
0.49
1.00
1/7
0.14
Punto D der=
Punto C der=
Punto B der=
Punto A der=
Punto D izq=
Punto C izq=
Punto B izq=
Punto A izq=
Momentos por carga Uniformemente distribuidaMomentos por carga Uniformemente distribuida
Mfq= WL^2/2 Mfq= WL^2/12
Mf= 3*2^2/2 Mf= 3*6^2/12
R= R=
Mfq= WL^2/12 Mfq= WL^2/12
Mf= 3*6^2/12 Mf= 1.5*7^2/12
R= R=
Mfq= WL^2/12 Mfq= WL^2/8
Mf= 1.5*7^2/12 Mf= 3*5^2/8
R= R=
Mfq= 0.00 Mfq=
Momentos por carga concentrada
Mfp= P.a.b^2/L^2 Mfp= P.b.a^2/L^2
Mfp= 4*2*5^2/7^2 Mfp= 4*5*2^2/7^2
Mfp= Mfp=
Momentos fijos en los nudos
Mf A Izq= t-m Mf A Der = t-m
Mf B Izq= t-m Mf B Der = t-m
Mf C Izq= t-m Mf C Der = t-m
Mf D Izq= t-m Mf D Der = t-m
4) Proceso de aproximacion sucesiva
2.00
A B C D
1.63
0.00
Momento C Izq=
Momento Ader=
Momento B der=
Momento C der=
Momento D der=
5.00
3 ton/m
Momento B der=
-4.08
Momento D Izq=
Momento B Izq=
Momento C Izq=
Momento A Izq=
2.00 6.00 7.00
4 ton
3 ton/m 1.5 ton/m
6.00
9.00
7.76
0.00
6.00 -9.00
-6.13
-9.38
9.00
-9.00
-10.21
-9.38
0.00
6.13
CD 0.51 0.00
Mf -9.38 0.00
Equilibrar Momentos
0.00 -0.01
-0.07 -0.44
0.05 0.02 0.01
-0.01 -0.07 -0.01
0.00 -0.01 -0.04 -0.03
0.02 0.02 0.04 0.04
0.54 0.46 0.49
-0.16
-0.14
9.00
3.00 1.21 1.62
-0.33 -1.90
0.65 0.56
-0.28
1.50 0.40 0.28
0.00
0.10 0.04 0.08
-0.20 -0.17 -0.03 -0.03
-0.03 -0.01 -0.08
0.51 0.23 0.44
-0.06 -0.36 -0.05
0.13 0.11
0.01
0.00
6.00
1.00
-9.00
1.00
0.00
0.21 0.22
0.26 0.11 0.05
0.79 0.83
-10.21 7.76
-1.02 -0.87 -0.14
3.00
0.33
-0.33
-0.51
0.51
0.06
-0.06
-0.10
0.10
0.02 0.01 0.02
-0.02 -0.01 0.00 -0.02
0.00
0.00
0.00
0.00
-6.00 10.15 -10.16 8.45 -8.46
5) Momentos definitivos en el apoyo
6) reaciones isostaticas por carga uniformemente distribuida
2.00 4.0 ton
3.00 ton/m ton/m ton/m
A B C D
Ro q 9.00 9.00 5.25 5.25 7.50 7.50
Ro P 2.86 1.1429
∆M/L 0.69 0.24 -0.24 1.69 -1.69
2.00 6.00 7.00 5.00
1.50 3.00
6.00 10.16 8.45
0.00 0.02 0.00 0.00 0.01 0.01
0.00
0.00 0.00 0.00 0.00
0.00 0.01 0.00 0.00
0.00 -0.01 0.00
5.00
6.00
-0.69
0.00 0.00 -0.01 -0.01 0.00
7) Cargas que llega a la columna2.0 4.0 ton 5.00
ton/m ton/m ton/m
A B C D
Ro q
8) Momentos maximos de cada tramo2.0 4.0 ton 5.00
3.00 ton/m ton/m ton/m
A B C D
1.50 3.00
14.31 18.04 15.34 5.81
1.50 3.00
2.00 6.00 7.00 5.00
3.00
A B C D
Ro q 0.00 0.00 0.00 0.00
2.00 6.00 7.00 5.00
TEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS:
SOLUCION
Tramo A’AB :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) *( )( ) ( ) ( )( )( )( )+
[
]
Tramo ABC:
( ) ( ) ( )
*( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )+
[( ) ( ) ( ) (
) ( )( )( )( )]
Tramo BCD:
( ) ( ) ( )
[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)]
[( )( ) ( ) ( )]
Tramo CDE:
( ) ( ) [( )( )( )( )]
Tenemos las ecuaciones:
Usamos matrices para resolver el sistema:
2 1 0 0 -22 12 42 9 0 -304 0 36 192 60 -1325 0 0 2 8 -75
Transformando a una matriz escalonada:
Fila 1 por -6 y sumo a la fila 2:
2 1 0 0 -22 0 36 9 0 -172 0 36 192 60 -1325 0 0 2 8 -75
Fila 2 por -1 y sumo a la fila 3:
2 1 0 0 -22 0 36 9 0 -172 0 0 183 60 -1153 0 0 2 8 -75
Fila 3 por
y sumo a la fila 4:
2 1 0 0 -22 0 36 9 0 -172
0 0 183 60 -1153
0 0 0
Igualamos las variables correspondientes con la matriz de respuesta:
( )
( )
( )
-
CALCULO DE CORTANTES:
Cortantes isostáticas:
( )
( )
( )
( )
Según formula:
( )
( )
Reemplazamos:
( ( ) )
( ( ) )
( ( )
)
( ( )
)
( ( ) )
( ( ) )
( )
( )
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES