TRABAJO DE INVESTIGACION.

1 CONCEPTOS:

Eventos aleatoriosUn evento aleatorio es aquel acontecimiento de un hecho en proceso o que está por venir. Se dice que es aleatorio, si no es posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será posible predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también se le denomina un suceso o un fenómeno.Generalmente, se simula el evento por un conjunto de variables relacionadas entre sí. Por lo tanto, un evento está representado con una o más variables vinculadas entre ellas.Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles con exactitud se dice que el evento es aleatorio. Generalmente las variables representan atributos y propiedades de los entes que intervienen en el evento, y que pueden ser medidos. De esta manera se dice que las variables tienen una magnitud. Evento Aleatorio≻ Evento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto de Condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes – es decir, no se puede predecir el resultado de cada experiencia particular.

Ejemplo #1

Sea S el experimento de la tirada de dos dados. Escriba el evento que sea el resultado de que los

dos dados tengan el mismo valor.

Entonces S=(x,y)|x∈Dado#1∧y∈Dado#2 en la tabla que esta abajo se pueden ver todos

los puntos muestrales de este experimento.

Dado #2

1 2 3 4 5 6

Dado #1

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

El evento de que sean iguales seria el conjunto

A=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)

Dado #2

1 2 3 4 5 6

Dado #1

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Ejemplo #2

Si alguien dispara a un blanco tres veces y sólo nos interesa si cada disparo da o no en el blanco,

describa un espacio muestral apropiado, los elementos del espacio muestral que constituyen al

evento M que la persona acertará en el blanco tres veces seguidas, y los elementos del

evento N que la persona acertará una vez y fallará en dos ocasiones.

Si denotamos como 1 al hecho de que la persona dio en el blanco y como 0 al hecho de que la

persona no dio en el blanco, el conjunto S vendría dado porS=(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)

Podemos ver una representación grafica de S

Ahora podemos definir los eventos M y N,

N=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

M=(0,0,0)

VARIABLE EN ESTUDIO

Es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar

diferentes valores.

Existen diferentes tipos de variables:

Variables cualitativas

Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad

que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de

dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos

valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o

más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa: La variable puede tomar distintos

valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre

mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, fuerte.

Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio

de orden como por ejemplo los colores.

Variables cuantitativas

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas

además pueden ser:

Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de

valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre

los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3,

4, 5).

Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo

especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m,

1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría

permiten que siempre exista un valor entre dos variables.

Ejemplos de variables estadísticas cuantitativas discretas

Número de hermanos: pueden ser 1, 2, 3 …, pero nunca podrá ser 3,45. Número de hijos.

Número de empleados de una fábrica.

Número de goles marcados por un equipo de futbol en la liga.

Variables Continuas Pueden tomar cualquier valor real (infinitos) dentro de un intervalo.

Ejemplos de variables estadísticas cuantitativas continuas

Velocidad de un vehículo: puede ser 20; 54,2; 100 ; … km/h.

Temperaturas registradas en un observatorio cada hora.

Peso en kg de los recién nacidos en un día en España.

Cualitativas No se pueden medir numéricamente.

Ejemplos de variables estadísticas cualitativas

Color de los ojos.

Bondad de una persona.

Profesión de una persona.

3 Espacio muestral

En estadística se conoce como muestreo a la técnica para la selección de una muestra a partir de

una población.

Al elegir una muestra se espera conseguir que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este

proceso permite ahorrar recursos, y a la vez obtener resultados parecidos a los que se alcanzarían si se

realizase un estudio de toda la población.

Cabe mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio adecuado (que

consienta no solo hacer estimaciones de la población sino estimar también los márgenes de error

correspondientes a dichas estimaciones), debe cumplir ciertos requisitos. Nunca podremos estar

enteramente seguros de que el resultado sea una muestra representativa, pero sí podemos actuar de

manera que esta condición se alcance con una probabilidad alta.

En el muestreo, si el tamaño de la muestra es más pequeño que el tamaño de la población, se puede

extraer dos o más muestras de la misma población. Al conjunto de muestras que se pueden obtener de

la población se denomina espacio muestral. La variable que asocia a cada muestra su probabilidad de

extracción, sigue la llamada distribución muestral.

EJEMPLOS DE TIPOS DE MUESTREO:

Después de leer el texto del fichero tema2.pdf y que se titula “2.- Tipos de muestreo

aleatorio” indica y justifica cuál de los siguientes métodos de muestreo se aplicó en cada

uno de estos casos:

- Muestreo aleatorio simple

- Muestreo sistemático

- Muestreo estratificado con asignación proporcional

- Muestreo por conglomerados

- Muestreo bietápico o en dos etapas

- Muestreo no probabilístico

1) Un periódico obtiene una muestra de la opinión (a favor o en contra) sobre un tema

de actualidad de 3000 internautas que quisieron responder a una encuesta publicada en

su página web.

2) Se dispone de un directorio o lista de los 2000 bares y restaurantes de una gran

ciudad, se elige uno al azar y a partir de este primer seleccionado y contando de 25 en

25 se ha ido seleccionando una muestra de 80 bares y restaurantes.

3) Para investigar el impacto de la crisis en las empresas valencianas, tenemos una lista

numerada con los nombres de las 169.000 empresas de la provincia de Valencia. El

ordenador elige de forma aleatoria una muestra de 100 de esas empresas.

4) Para seleccionar una muestra 100 de hogares que residen en municipios de menos de

1000 habitantes en la provincia de Valencia, se eligen al azar 10 municipos con menos

de 1000 habitantes de la provincia de Valencia y en cada municipio seleccionado se

selecciona una muestra aleatoria de 10 hogares.

5) En una encuesta durante las elecciones, se elige al azar 2 mesas electorales y se

analizan todos los votos emitidos de las mesas seleccionadas.

6) Para analizar los hábitos de lectura de los estudiantes de la Universitat de València,

un equipo de sociólogos dispone de una muestra de estudiantes seleccionados

aleatoriamente en cada uno de sus 3 campus (Burjassot, Blasco Ibáñez y Tarongers) de

forma que, en cada campus el número de estudiantes seleccionados al azar para la muestra es proporcional al total de alumnos matriculados en dicho campus.

Población

Población es la totalidad de los elementos del grupo particular que se estudia.

Como por ejemplo, una empresa que está llevando a cabo un estudio a todos los 350 empleados de la empresa. Esto es población ya que se estudiará cada elemento de la población; en este caso la población es todos los empleados de la empresa,sus 350 empleados.

Muestra es una parte de la población seleccionada de forma que puedan hacerse inferencias de ella con respecto a la población completa. Por ejemplo, la empresa del ejemplo anterior escogerá 100 empleados de los 350 para hacerles un estudio. Esto es una muestra ya que el total de empleados es 350, se escogió a 100 para hacerse inferencias del resto.

Ejemplo de poblaciones: La población Mundial de Seres humanos que representa el total de habitantes que existe en la Tierra. La población flotante de la Ciudad de México, esta población esta formada por todas las personas que trabajan en esta ciudad pero que viven fuera de ella y solo la habitan durante el día. La población de Tigres de bengala que hay en la India. La población Latina que habita en los Estados Unidos. La gente que habita en el campo de un país representa su población rural. La población de adultos mayores en la Comunidad Europea.

Eventos posibles

Partiremos de la base de que los juegos de azar clásicos ofrecidos por los casinos (ruleta, craps, sic−bo, blackjack, baccarat, bingo, póquer, chuck-a-luck, etc.) son «experimentos físico−mecánicos imperfectos», ante los cuales el jugador casi siempre permanece en total estado de Incertidumbre para tomar decisiones acertadas porque desconoce el exacto valor matemático de todas las complejas condiciones y variables involucradas en su marcha, las cuales al interactuar de manera incontrolada e independiente siempre provocan que en cada ocasión se produzca un resultado final diferente que es Impredecible a la luz del estado actual del juego.

Ante esta realidad científica de los juegos de azar, muchas veces los únicos datos iniciales que un jugador puede conocer sobre un juego de azar es que éste puede producir un determinado número de posibles resultados, y que respecto de esos resultados es viable apostarle a la ocurrencia de uno, algunos o varios resultados, con la esperanza de acertar. Justamente, el Cálculo de Probabilidades se utiliza de manera «Estática» (como lo hacía Cardano, Galileo, Pascal o Fermat) cuando un jugador simplemente pretende establecer cuáles son las razones matemáticas existentes a favor o en contra de la ocurrencia de un determinado resultado en un juego de azar que puede producir distintos resultados posibles, cálculo que le sirve para adoptar decisiones racionales de apuesta frente a la escasa información disponible.

Ejemplos:

Internet en la educación

Sin duda el centro educativo y su entorno alumnos, padres y profesores encontrarán

en la jornada muchas razones para desarrollar actividades de todo tipo, talleres,

encuentros, conferencias y debates.

En las escuelas, los niños participarían en un concurso de pintura sobre, por ejemplo,

¿Cómo ves Internet?

Uno de los objetivos del proyecto es poder llegar a la casa del alumno desde el centro,

para ello debe pensarse en propuestas imaginativas que permitan esta posibilidad.

Demostraciones tecnológicas

Mostrar las tecnologías al servicio de la sociedad. El objetivo es que las empresas

privadas participen en un proyecto para el fomento de la cultura, de las artes y de las

tradiciones, de la excelencia empresarial, y la contribución de las TIC a los

discapacitados.

Se pretende responder a las preguntas de los usuarios y mostrar cómo funciona la

Red, favoreciendo al mismo tiempo el contacto directo entre los profesionales y el público, en un espacio solidario y creativo.

El espacio muestral

(denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de

un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el

conjunto (cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz). Un evento o suceso es cualquier

subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único

elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o

(cara, cara), (cara, cruz), estaría formado por los sucesos elementales (cara, cara) y (cara,

cruz).

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por

ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de

muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo

(diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo,

especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que

describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo

descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a

la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de

probabilidad (Ω,F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto

de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1Tenemos una moneda si en el primer lanzamiento cae sello, entonces se lanza otra vez la moneda, dando lugar a las siguientes posibilidades: ss, sa; pero si en el primer lanzamiento ocurre cara, se lanza un dado, dando lugar a: Puntos Muestrales: a1, a2, a3, a4, a5, a6. Entonces el Espacio Muestral es S=ss, sa, a1, a2, a3, a4, a5, a6 A veces, los espacios muestrales tienen un número grande o infinito de elementos. En este caso es mejor usar una regla o descripción antes que enumerar(*) sus elementos. Si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de individuos en el mundo con más de 1.60 m de estatura que asisten a una universidad, el espacio muestral se escribe así: S = x|x es un terrícola con más de 1.60 m de estatura que asiste a una universidad (*) Como ocurre con los conjuntos.

EJEMPLO 2Se tiene el siguiente experimento: suma de puntos obtenidos al lanzar dos dados. Si escribimos el espacio muestral como: Ω = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 los puntos muestrales no son equiprobables. Para que el espacio muestral tenga los puntos equiprobables, es necesario escribirlo como: Ω = (1, 1),(1, 2), (2, 1),(1, 3), (2, 2), (3, 1),(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1),(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2),(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3),(4, 6), (5, 5), (6, 4),(5, 6), (6, 5),(6, 6) En clase hay 50 alumnos. Se hace un examen y se observa cuantos alumnos aprueban. Obsérvese que: 8 es un punto muestral si el examen es aprobado por 8 alumnos. Si ningún alumno aprueba el examen, el punto muestral correspondiente es cero. El espacio muestral en este caso es el conjunto: S= 0,1,2,…,50

Que es una tecnica de conteo?Una tecnica de conteo nos sirve para enumerar los elementos de un conjunto, teniendo especial cuidado en no olvidar contar algun elemento ó contarlo mas de una vez. * contar cajas

DIAGRAMA DE ARBOL.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.

1) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,

Solución:

A = gana el equipo AB = gana el equipo B

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc, etc.

2) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que se efectué el juego de este hombre.Solución:

Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de jugar.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACION

Definición.- Si un suceso Pl ocurre de n1 maneras diferentes y otro suceso P2 ocurre de n2 maneras diferentes entonces el suceso Pl Y P2 ocurren de n1 por n2 maneras diferentes.

Esto se conoce como principio de multiplicación o principio fundamental de] análisis combinatorio.

Problema 1.- Juan el alumno más inteligente del salón se saca un premio al final del año, el premio consiste en vacaciones todo pagado a cualquiera de 3 posibles lugares que le gustaria ir, usando cualquiera de los 2 medios de transporte disponibles, y acompañado de uno de los 3 familiares que lo pueden acompañar, ¿cuantas posibilidades diferentes se le presentan a Juan ?

LUGARES MEDIOS FAMILIARES

Cancún avión hermano

Acapulco auto mamá P.M.=> 3*2*3 = 18Vallarta papan= 3 n= 2 n= 3

DIAGRAMA DE ARBOL

Mamá (Cancún, avión, mamá)

Avión papá (Cancún, avión, papá)

Cancún hermano (Cancún, avión, hermano)

Mama (Cancún, auto, mamá)

Auto papá (Cancún, auto, papá)

Hermano (Cancún, auto, hermano)

----Mamá (Acapulco, avión, mamá)

Avión papá (Acapulco, avión, papá)

Acapulco hermano (Acapulco, avión, hermano)

Mamá (Acapulco, auto, mamá)

Auto papa (Acapulco, auto, papá )

Hermano (Acapulco, auto, hermano)

----Mamá (Vallarta, avión, mamá)

Avión papá (Vallarta, avión, papá)

vallarta hermano (vallarta, avión, hermano

mamá (vallarta, auto, mamá)

auto papá (vallarta, auto, papá )

hermano (vallarta, auto, hermano)

NOTA INTERESANTE:

Si se quiere saber CUANTOS = usar el Principio de Multiplicación

Si se quiere saber CUALES = construir el Diagrama de Arbol

Recordar que para simbolizar conjuntos, si el conjunto esta dado por extensión ejemplo vocales a,e,i,o,u se usan sus elementos, pero si el conjunto esta dado por comprensión puedes usar subindices y primera letra, ejemplo:

Hombres del Salón x

Problema 2.- Carmen alumna del salón quiere ir al baile de graduación, para dicha fiesta ella puede usar uno cualquiera de sus 4 vestidos, uno cualquiera de sus 3 pares de zapatos y una de sus 2 bolsas. ¿Decuantas maneras diferentes puede asistir al baile y cuales son ellas?

n1 =4 n2 = 3 n3 =2 **P.M.=4*3*2= 24**

Problema 3.- Ya en el baile Carmen se junta con sus amigas Maria, Ana y Josefina cada una de ellas puede bailar con cualquier de los 5 jovenes que están disponibles en la fiesta, ¿cuantas parejas diferentes es posible formar y cuales son estas ?

AMIGAS Maria, Ana, Josefina, Carmen n= 4 P.M. = 4*5 = 20

JOVENES Jl, J2, J3, J4, J5 n= 5

RECORDAR QUE **CUALES** ES EL DIAGRAMA DE ARBOL Y DE TAREA CONSTRUIRLO A ESTE PROBLEMA.

Problema 4.- Cuantos posibles teléfonos hay en Tijuana

IER DIGITO 2DIGITO 3DIGITO 4DIGITO 5DIGITO 6DIGITO

2,3 0,1,2 0,1,2, 0,1,2 0,1,2 0,1,2

4,8 3,4,5,6 3,4,5,6 3,4,5,6 3,4,5,6 3,4,5,6

7,8,9 7,8,9 7,8,9 7,8,9 7,8,9

n= 4 n= 10 n= 10 n= 10 n= 10 n= 10

P.M. = 4* 10* 10* 10* 10* 10 = 400,000 posibles teléfonos.

Problema 5.- Cuantos posibles carros hay en Baja California

1digito 2digito 3digito 1letra 2letra 3letra 4digito

0,1,2 0,1,2 0,1,2 n,r,c 1,2,3

3,4,5,6 3,4,5,6 3,4,5,6 n d,z,b a...z 4,5,6,7

7,8,9 7,8,9 7,8,9 q,s 8,9

n= 10 n= 10 n= 10 n= 1 n= 8 n= 26 n= 9

P.M. = 10* 10* 10* 1*8*26*9 = 1,872,000 posibles carros.

Problema 6.- Cuantas palabras de 3 letras con y sin sentido se pueden formar usando las letras de la palabra Contabilidad.

contabilidad contabilidad contabilidad

n= 12 n= 12 n= 12 P.M. = 12* 12* 12 = 1,728

Permutaciones

Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para permutaciones es P(n,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.

Ejemplo: Si nueve estudiantes toman un examen y todos obtienen diferente calificación, cualquier alumno podría alcanzar la calificación más alta. La segunda calificación más alta podría ser obtenida por uno de los 8 restantes. La tercera calificación podría ser obtenida por uno de los 7 restantes.

La cantidad de permutaciones posibles sería: P(9,3) = 9*8*7 = 504 combinaciones posibles de las tres calificaciones más altas.

Permutaciones sin repetición de n elementos (de orden n), son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos. Se representa por Pn.

Ejemplo. Si con los elementos del conjunto A=1,2,3,4 construimos las permutaciones sin repetición de orden cuatro: tenemos que formar grupos de cuatro elementos. los grupos (1,2,3,4) y (3,1,4,2) son distintos, aunque tienen los mismos elementos, están colocados en distinto orden. el grupo (1,1,2,3) no es válido porque tiene elementos repetidos.

Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nkveces, son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación de los elementos. Se representa por PRn

n1

,n2

,...,nk.

Ejemplo. Si construimos las permutaciones sin repetición de cinco elementos en las que el número 1 se repite dos veces y el número 2 se repite tres veces: tenemos que formar grupos de cinco elementos utilizando exactamente dos veces el 1 y tres veces el 2.

Combinaciones

DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados de r en r, se llaman combinaciones.

Por ejemplo, sean cuatro elementos . Los conjunt a,b,c,d os, tomados de tres en tres, que se pueden

Formar con esos cuatro elementos son:

a,b,c, , y a,b,d a,c,d b,c,d

es decir, en total hay 4 conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4

combinaciones posibles.

Es importante notar la diferencia que existe entre una permutación y una combinación. En la permutación lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa el orden de los elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque sehayan escrito en diferente orden: b,c,d c,b,d =

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Ejemplo 1

Digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa El orden no importa

1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1

1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Ejemplo 2

1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres

alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.

Ejemplo 3

2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris

tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

ES UNA MEDIDA QUE ESTABLECE UNA CPRRESPONDENCIA ENTRE

LOS EVENTOS Y LOS NUMEROS REALES POSITIVOS.

Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A,

sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se

escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.

PARA QUE SIRVE

La denominada «Probabilidad Condicional» justamente sirve para calcular los

chances de ocurrencia de un evento D2 dada la ocurrencia de un evento D1,

teniendo en cuenta si los eventos en cuestión son dependientes o

independientes entre sí, y generalmente este tipo de probabilidad se expresa

mediante la fórmula P(D2\D1) en la que se usa el símbolo matemático back

slash (\) para separar los eventos analizados, expresión que se lee como «la

probabilidad de ocurrencia de D2 dada la ocurrencia de D1».

Ejemplo 1: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = aaa

Por lo tanto, A B =aaa y

De donde

Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es

como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,

Como los eventos (B A) y (B AC) son mutuamente exclusivos y su unión es B,

entonces por el axioma 3, tenemos: [3.3]

Despejando P(A B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos

P(A B) = P(A) P(B/A) y P(AC B) = P(AC) P (B/AC)

Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(AC) P (B/AC).

Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(A B) y P(AC) P(B/AC) = P(AC B)

PROBABILIDAD INDEOENDIENTEEventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

Ejemplo 30: En una escuela el 20% de los alumnos tiene problemas visuales, el 8% tiene problemas auditivos y el 4% tienen tanto problemas visuales como auditivos, Sean: V los que tienen problemas visuales y VC los que no lo tienen. A los que tienen problemas auditivos y AC los que no los tienen.

a. ¿Son los dos eventos de tener problemas visuales y auditivos, eventos independientes?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga problemas auditivos si sabemos que tiene problemas visuales?

c. Complete la siguiente tablad.

V VC Total

A 0.04 0.08

AC

Total 0.20 1.00

e. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño no tenga problemas auditivos si tiene problemas visuales?

Solución:

a. P(V)P(A) = (0.2)(0.08) = 0.016 y P(V A) = 0.04. Como P(V A) P(V)P(A), se concluye que V y A no son independientes.

b.c. Por diferencias podemos completar la tabla, ya que P(VC) = 1 – 0.20 =

0.80 y P(AC) = 1 – 0.08 = 0.92, por lo tantod.

V VC Total

A 0.04 0.04 0.08

AC 0.16 0.76 0.92

Total 0.20 0.80 1.00

e.

Miguel Ángel Cruz Miranda..

G:5

Procesos Industriales.

ESTADISTICA