Mtodo de los multiplicadores de LagrangeIntroduccinEn este trabajo se presenta un conjunto de conceptos como lo son: campo vectorial, gradiente, derivada direccional, y el mtodo de los multiplicadores de Lagrange para obtener mximos y/o mnimos de funciones sometidas a ciertas restricciones; se busca que sea visto desde un punto de vista intuitivo, haciendo uso histrico de la nocin de campo vectorial con el fin de reconocer su importancia en el desarrollo de la fsica, de igual manera se presentan notas histricas del concepto de gradiente y la relacin existente entre stos dos ltimos. Por otra parte se intenta dar una visualizacin del resultado del mtodo de los multiplicadores de Lagrange, con el fin de ofrecer una mayor claridad y detalles, para entender dicho concepto se han restringido las funciones a R2 y R3, y no se han tratado demostraciones rigurosas. Por ultimo se pretende tratar de relacionar dichos temas con algunas cuestiones de la geometra vectorial tales como vectores libres, de posicin.Nota: cuando se indique un punto en negrita se hace referencia a un conjunto de puntos por ejemplo x puede indicar la terna ordenada (x, y, z).

Para comenzar a hablar del gradiente y los multiplicadores de Lagrange es bueno tomar en cuenta algunas consideraciones previas, como lo son algo de historia y lo referente al operador diferencial nabla.El gradiente fue denotado por Hamilton en 1846, hacia 1870 se denoto la letra delta invertida, que se llam atled. En 1871 Maxwell escribi la cantidad P es un vector. El nombre de pendiente como se conoca en un principio pas de uso y se reemplaz por la de gradiente; se refiere a la palabra grado, el peralte de un camino o una superficie. El nombre de (nabla apareci impreso por vez primera en 1901 en Vector Analysis, un libro para uso de estudiantes de matemticas y fsica.Ahora bien en cuanto al operador nabla para el caso de unaaaaa superficie de en coordenadas cartesianas, no es un vector, sino un operador, puede considerarse como un vector simblico; as si es un campo escalar, entonces es un operador, por tanto colocando a la izquierda da operadores, mientras que aplicado a la derecha da la importante funcin vectorial llamada gradiente, por lo tanto a la derecha entrega funciones vectoriales o escalares, en el caso de tener una funcin real definida en un conjunto abierto S de , el gradiente de designado por o por grad, es una funcin vectorial definida por =(D1 (x),,Dn (x)) donde D1 ,D2, Dn son las derivadas parciales; a lo anterior se le conoce como campo gradiente de , pero entonces surge un nuevo concepto a tratar aunque de manera algo vaga, el de campo vectorial, para conocer algo acerca de ste remitmonos nuevamente a un poco de historia, el concepto de campo, entendido como campo de vectores, tuvo un gran impacto en el desarrollo de las bases conceptuales de la fsica y la ingeniera, es realmente una de las ideas que supusieron un avance significativo en la historia del pensamiento humano. Es la nocin que permite describir de modo sistemtico las influencias sobre objetos y entre objetos que estn separados espacialmente. La idea de campo comenz con el concepto de Newton de campo gravitacional en este caso, dicho campo describe la atraccin de un cuerpo o grupo de cuerpos sobre otro. Anlogamente el campo elctrico producido por un objeto o grupo de objetos cargados crea una fuerza sobre otro objeto cargado elctricamente. El uso de campos vectoriales para describir este tipo de fuerzas ha conducido a una misma comprensin ms profunda de las fuerzas atractivas y repulsivas en la naturaleza. Sin embargo fue el monumental descubrimiento de las ecuaciones de Maxwell que describen la propagacin electromagntica, las que consolidaron el concepto de campo en el pensamiento cientfico. Este ejemplo es especialmente interesante teniendo en cuenta que los campos se pueden propagar. El contraste entre campos electromagnticos que se pueden propagar y el campo gravitacional que implica una accin a distancia, ha originado gran inters entre los filsofos de la ciencia. La idea de Einstein es que la gravitacin puede describirse en trminos de las propiedades mtricas del espacio-tiempo y que en esta teora los campos asociados tambin pueden propagarse, exactamente como el campo electromagntico, proporcionando por lo tanto una profunda evidencia filosfica de que la versin de Einstein de la gravitacin debera ser correcta. La idea de campo tambin se usa en ingeniera para describir sistemas elsticos e interesantes propiedades micro-estructurales de los materiales, con la teora de la fsica moderna, el concepto de campo se usa para describir partculas elementales, adems es una herramienta fundamental en los esfuerzos de los fsicos tericos modernos para unificar la gravedad con la mecnica cuntica de las partculas elementales.Es imposible imaginar un marco terico moderno que no incorpore algn tipo de concepto de campo como ingrediente central. En las aplicaciones matemticas a la fsica y a ciertas ramas de la ingeniera como la mecnica de fluidos por ejemplo, se maneja con frecuencia el concepto de campo vectorial.Ahora matemticamente un campo vectorial no es otra cosa que una funcin vectorial definida en un cierto conjunto. Por ejemplo si a cada punto x de la atmosfera asignamos un vector V(x) que representa la velocidad del viento, queda definido un campo vectorial. Si V(x) se expresa en funcin de sus tres componentes de una cierta base por ejemplo { base ortonormal derecha para R3, entonces se define una funcin vectorial:.Las componentes V1, V2, V3, son tres funciones reales por lo tanto un estudio de los campos vectoriales equivale en cierto sentido al de estudiar en este caso ternas de funciones reales. Para distinguir entre campos vectoriales y funciones reales, a estas ltimas se les suele llamar campos escalares. Por ejemplo la temperatura en cada punto de la atmosfera define un campo escalar.Uno de los modelos fsicos ms tiles de campo vectorial se presenta al considerar el movimiento de un fluido. A cada punto x (o partcula del fluido) atribuimos un vector V(x) que representa la velocidad de aquella partcula. Naturalmente el campo puede o no cambiar con el tiempo. El flujo estacionario V(x) est completamente determinado por x y no depende del tiempo. En problemas fsicos que incluyan campos vectoriales es importante conocer no solamente el vector V(x) en cada punto x, sino tambin como varia dicho vector al pasar de un punto a otro. Para estudiar este cambio disponemos del mecanismo de la diferenciacin parcial que puede aplicarse a los componentes de V. en general las derivadas parciales de estos componentes dependern de la eleccin de la base con relacin a la que los componentes han sido determinados. Por eso las derivadas parciales son un tanto insatisfactorias para describir ciertas magnitudes fsicas, mientras que ciertas combinaciones de derivadas parciales, como la divergencia, el rotacional, entre otras, se usan para describir mejor el comportamiento de los campos vectoriales, la divergencia de un campo vectorial por ejemplo es un campo escalar que en el uso de una corriente de fluido, mide la proporcin en la que el fluido fluye del entorno inmediato a cada punto.Ahora retomando nuevamente el campo gradiente este es un ejemplo claro de la relacin existente de un campo vectorial con el estudio de la derivacin parcial. Si es una funcin (un campo escalar) definida en un conjunto abierto de Rn, el gradiente de , designado por grad, y definida por la relacin anterior grad(x) = (D1 (x),,Dn (x)) en cada punto x de S en que existan las derivadas parciales.Interpretaciones del campo gradiente.Para el caso de R3, se tiene una interesante interpretacin.Sea c una constante y consideremos el conjunto de superficies en donde (x)=c si alguna de estas superficies tiene un plano tangente en a= (a1, a2, a3) la ecuacin de dicho plano esta dada por esto significa que (a) es normal al plano en el punto a. Por tanto el plano tangente existe siempre que (a) .El campo escalar cuyo gradiente es se llama funcin potencial del campo vectorial . Las correspondientes distintas superficies se denominan superficies equipotenciales (o superficies de nivel) ahora si se trata de campos bidimensionales cada conjunto de superficies son ahora conjuntos de curvas planas que se llaman curvas equipotenciales o de nivel. Las superficies o curvas de nivel dependiendo del caso son ortogonales al vector gradiente en cada punto a en el que 0.De forma geomtrica el gradiente evaluado en un punto es un vector que se encuentra normal a una superficie en el espacio a la cual se le esta estudiando en dicho punto, bien sea (x,y) o de coordenadas(x,y,z); por ejemplo: supngase que se considera la temperatura en un lugar determinado, la cual se define a travs de un campo escalar de tal manera que en cualquier punto (x,y,z) la temperatura esta dada por T(x,y,z). Asumiendo que no varia con respecto al tiempo. Ahora el gradiente en un punto (x,y,z), y la magnitud de este nos dar cuan rpido se calienta un fluido en una direccin cuya temperatura este regida por la funcin T(x,y,z).Otro ejemplo interesante es el relacionado con una montaa en la cual su altura en un punto (x,y) esta definida por un campo escalar H(x,y), el gradiente de H, en ese punto estar en la direccin del punto a mayor grado de inclinacin, la magnitud del gradiente nos mostrar que tan empinada se encuentra la pendiente.Con respecto a la fsica ya antes mencionado el gradiente posee bastantes aplicaciones especialmente en electromagnetismo y mecnica de fluidos. En particular existen muchos campos vectoriales que pueden escribirse como el gradiente de una funcin potencial escalar, uno de ellos por ejemplo es el campo electrosttico que deriva del potencial elctrico . Ahora bien todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial conservativo o irrotacional. As por ejemplo una fuerza conservativa deriva de la energa potencial , y como ya antes mencionado los gradientes tambin aparecen en procesos de difusin que verifican ciertas leyes como la de Fourier para la temperatura. As por ejemplo, el flujo de calor de un material es proporcional al gradiente de temperatura siendo k una constante de conductividad trmica.He aqu la grafica de algunos campos gradientes en R3 y de una taraza en particular asociada a la funcin potencial del campo sobre una pequea regin del espacio, funciones que utilizaremos posteriormente:

Las pequeas flechas de colores representan el campo gradiente evaluado en algunos puntos y la superficie representa una superficie de nivel de la funcin que se esta tratando.En los ejemplos anteriores se ha tratado el gradiente y algo relacionado con la direccin es por ello que se hace necesario mencionar algunas cuestiones sobre la derivada direccional, es decir como es la variacin de determinada funcin con respecto a una direccin especfica, en una funcin de dos variables cuando estamos hablando de derivadas parciales de , estamos indicando solamente como est variando lafuncin en direccin del vector respectivamente pero surge la pregunta cmo est variando en otras direcciones.Es fcil mostrar que esta variacin est dada por: Donde representa la variacin de la funcin en la direccin de un vector unitario en la direccin de de esta relacin anterior se deducen varias cosas:a) El mximo valor de la derivada direccional esta dado por b) El mnimo ser entonces De lo dicho anteriormente podemos sacar algunas conclusiones previas o ms bien algunas propiedades que verifica el vector gradiente: Es ortogonal a las superficies escalares. Apunta en la direccin en que la derivada direccional es mxima. Se anula en los puntos crticos (mximos, mnimos y puntos silla).Esta ltima propiedad mencionada no es ms que una extensin a la definicin de punto crtico de una variable, para el caso de dos variables que se dice si existe en todos los puntos de algn subconjunto de R2 el punto (x0 , y0) es un punto crtico de si una de las siguientes condiciones se cumple:i) ii) Es decir que es un punto crtico si no existe.Hasta este punto hemos hablado de campo vectorial, derivada direccional, gradiente y puntos crticos, entremos ahora en una segunda parte, una pequea introduccin a lo que se denomina el mtodo de los multiplicadores del Lagrange.

Mtodo De Los Multiplicadores De Lagrange

Cuando se quiere determinar los mximos o mnimos de una funcin sometida a una o ms restricciones por ejemplo el de encontrar la distancia mnima que hay de una superficie y el origen no siempre es posible resolver la restriccin para alguna de las variables en trminos de las otras, pero se puede seguir un mtodo para determinar dichos puntos mximos o mnimos ; dicho procedimiento se denomina Mtodo de los Multiplicadores de Lagrange en honor al matemtico francs Joseph L. Lagrange y consiste en lo siguiente:Si un campo escalar tiene un extremo relativo cuando esta sometido a un conjunto de condiciones siendo m