CÁLCULO DIFERENCIALTRABAJO COLABORATIVO 3

CURSO: 100410

PRESENTADO AL TUTOREDGAR ALONSO BOJACA

ELABORADO POR

ALBERTO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

25/11/2014

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN.....................................................................................................3

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD.........................................................................4

CONCLUSIONES.....................................................................................................9

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................10

INTRODUCCIÓN

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. Es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máximos y mínimos de una función. Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando la función es cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema. El presente documento es la evidencia de una serie de ejercicios de aplicación a la terminología ya presentada. A continuación se presenta el desarrollo de la actividad. (ULA, 2014)

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. Halle, paso a paso, las coordenadas, (x, y), del punto crítico de las siguientes ecuaciones. ¿Diga si ese punto crítico es un máximo o un mínimo? ¿Por qué?

Para saber si una función tiene un punto crítico se halla su primera derivada y esta se iguala a cero dado que es el punto en que la pendiente es constante e igual a 0, para saber si el punto hallado es máximo o mínimo se recurre al criterio de la segunda derivada en la cual se evalúa dicho punto crítico si la segunda derivada evaluada en el punto crítico es >0 el punto crítico será un mínimo, si por el contrario la evaluación del punto crítico en la segunda derivada da como resultado un valor <0 esto quiere decir que el punto crítico es un máximo

y=x2−3 x−2

y ´=2 x−3

0=2x−3

x=32

y=32

2

−3∗32

−2=−174

y ´ ´=2

Dado que y ´ ´=2>0 el punto critico ( 32,−17

4 ) es un mínimo

y=3 x2−12 x

y ´=6x−12

0=6 x−12

x=2

y=3¿22−12∗2=−12

y ´ ´=6

Dado que y ´ ´=6>0 el punto critico (2 ,−12 ) es un mínimo

2:y=3 x2−12 x

y=3 x2−12 x

y=6x−12x

−6 x=−12

x=−12−6

x=2

Segundo paso es sustituir en la primera ecuación

y=3 x2−12 x

y=3 (2)2−12(2)

y=3 (4 )−12(2)

y=12−24

y=−12

El punto critico es (2 ,−12)

El tercer paso, es identificar si es MAXIMO O MINIMO, por lo que hay que tener en cuenta el símbolo que se obtiene en la segunda derivada

y '=6 x−12

y '=6

Por lo que se puede decir que el punto es MINIMO, por lo que es positivo y nos da el cóncavo hacia arriba

Y

Decreciente Mínimo Creciente

X

a

Usando la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:

La regla de L’Hopital nos dice que debemos tomar tanto numerador como denominador como funciones diferentes f(x) y g(x) y derivar en ambos lados reemplazando inmediatamente con el límite hasta que el resultado deje de ser una indeterminación

3.limx→0

3√3 x+1−1x

=00

f ( x )= 3√3 x+1−1

f ´ ( x )= 1

3 (3 x+1 )23

∗3= 1

(3x+1 )23

g ( x )=x

g ´ ( x )=1

Aplicando L’Hopital limx→0

f ´ ( x )g´ (x )

= 1

(3 x+1 )23

=1

4.limx→1

1−x2

sin (πx)

Primer paso: con la regla L’Hopital

limx→1

(1−x2)(si n (πx ))

El segundo paso: se deriva

limx→1

−2 xCo s (πx )∗π

Tercer paso: se aplica el limite

−2(1)Cos (π (1))∗π

−2Co s (π )∗π

Como se conoce que Co s (π )=−1

−2−1∗π

−2−π

= 0,6366

5.limx→0

e2x−1x

Primer paso: con la regla L’Hopital

limx→0

(e¿¿2x−1)x

¿

Segundo paso: se deriva

limx→0

e2x∗21

limx→0

2e2x

Tercer paso: se aplica el límite

2e2(0)=2

Halle paso a paso la tercera derivada de:

6.f ( x )=3 tan 3x

f ´ ( x )=9 sec2 3x=9 (sec 3 x )2

Aplicando regla de la cadena

f ´ ´ ( x )=9∗2 sec3 x∗(sec 3xtan 3 x∗3 )=9∗2∗3∗Se c2 3 x tan3 x

f ´ ´ ´ ( x )=2∗3∗9∗2∗3∗Se c23 x tan 3x tan3 x+9∗2∗3∗Sec23 x ¿3∗sec23 x

f ´ ´ ´ ( x )=324 Se c2 (3 x )∗ta n2 (3 x )+162Sec4 3 x

7.f ( x )=3cot 3 x

f ´ ( x )=−9csc2 (3 x )=−9 (csc (3x ) )2

f ´ ´ ( x )=−9∗2∗csc (3 x )∗3∗(−cot (3x )∗csc (3x ))

¿9∗2∗3∗csc 23 x∗cot 3 x

R= 25 cm

f ´ ´ ´ ( x )=−9∗2∗3∗2∗3∗csc2 3 x∗cot 3 x∗cot 3 x+9∗2∗3∗csc2 3x∗¿

f ´ ´ ´ ( x )=−324csc2 3x∗cot2 3x−162csc 4 3x

Halle, paso a paso, la derivada implícita, con respecto a x, de:

8.e− x−e− y=1

−e− x+e− y dydx

=0

dydx

= e−x

e− y= e

y

ex=e y−x

9. Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen

aumenta a razón de 100cm3

s. ¿Con qué rapidez crece el globo cuando su radio es

de 25cm?

Recordar que el volumen es igual a 43π r3

-Razón de cambio en que aumenta el volumen del globo

dvdt

100cm3

s-con qué rapidez crece el radio

drdt?

-volumen de esfera en términos de su radio

V= 43π r3

-Se deriva a ambos lados con razón al tiempo

dvdt

=43π .3 r2 .

drdt

dvdt

=4 π r2 .drdt

-Se despeja la razón de cambio

drdt

=

dvdt

4 π r2

Y remplazamos

drdt

= 100

4 π (25)2

drdt

= 1002500π

Esta es la razón con que crece el radio del globo cuando: r = 25 cm

drdt

= 125π

cms

=0.0127cms

10. Una fábrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de forma cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000 litros). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima?

v=π r2h

Según las especificaciones del problema v=1m3

1=π r2h

h= 1

π r2

A (r )=2π r2+2πrh

A (r )=2π r2+2 πr

π r2

A (r )=2π r2+2r

Debemos hallar el punto crítico de la función A(R) y evaluarlo en la segunda derivada para saber si el radio que se encuentre será realmente el mínimo para disminuir la cantidad de material empleado

A´ (r )=4 πr− 2

r2

0=4 πr− 2

r2

4 π r3=2

r=3√ 12π

r=0.5419m

A´ ´ (r )=4 π+ 2

r3

Es evidente que r evaluado en A´ ´ (r )>0 por tanto este radio es el adecuado para minimizar la cantidad de material utilizado en la construcción del tanque

h= 1

π r2= 1

π∗(0.5419m )2=1.0838m

Por tanto las dimensiones del tanque deberán ser 0.5419m de radio por 1.0838m de alto

CONCLUSIONES

Se analizaron adecuadamente los diferentes casos de derivación y con el conocimiento pleno de los mismos se llevaron a la aplicación por medio de problemas de optimización y razón de cambio.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DURAN, J. E. (2010). CÁLCULO DIFERENCIAL. Bogotá: UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA .

Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable. Mexico: Pearson.

ULA. (11 de 11 de 2014). Aplicaciones de las derivadas. Obtenido de http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/graficacion_optimizacion2011.pdf