tpspehrs2012

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ciencias Económicas

Lógica

Asignatura 651

Guía de Trabajos Prácticos Nº 1

Cátedra: Dr. J. Legris

Docente a cargo: Dra. Adriana Spehrs

Curso: lunes y jueves 7 - 9

I) Señale cuáles de las siguientes oraciones cumplen función informativa. Ejemplos: a. Obra de manera tal que la razón de tus actos pueda servir de ley universal. La función principal que cumple esta oración es promover una acción, más que transmitir información. No

es un enunciado declarativo. b. Kant sostenía que debemos obrar de modo tal que la razón de nuestros actos pueda servir de ley universal. Cumple función informativa, porque al proferir esta oración el hablante transmite información. Tiene un

valor de verdad. Es un enunciado declarativo. c. Ojalá fuera posible obrar de modo tal que la razón de nuestros actos sirviera de ley universal.

La función principal que cumple esta oración no es informativa sino expresiva, porque al proferir esta oración el hablante expresa un deseo.. No es un enunciado declarativo.

d. Admito haber actuado sin analizar las consecuencias de mi conducta. La función principal que cumple esta oración no es informativa sino ejecutiva, porque por el mero hecho

de proferir esta oración el hablante ejecuta la acción expresada por el verbo principal “admito”. e. Si te ofendí, por favor créeme que fui sincero. La función principal de esta oración es expresiva, porque al proferir este comentario irónico el hablante

intenta expresar sus sentimientos. f. Los declaro marido y mujer.

La función principal que cumple esta oración no es informativa sino ejecutiva, porque por el mero hecho

de proferir esta oración el hablante ejecuta la acción expresada por el verbo “declaro”. Ejercicios propuestos: 1. Prométeme que cumplirás con tus obligaciones. 2. Sólo prometo aquello que estoy dispuesto a cumplir. 3. Prometo cumplir con mis obligaciones. 4. ¿Podría indicarme cómo llegar al salón de actos? 5. Los funcionarios son como los libros de una biblioteca, los que ocupan las posiciones más

elevadas son los menos útiles. 6. Si entrenaras más frecuentemente, podrías ganar el torneo. 7. Acepto las modificaciones del proyecto impulsado por el legislador de la bancada oficialista. 8. Los miembros del sindicato aceptaron la propuesta de los dirigentes del partido opositor. 9. El candidato prometió implementar una política de desarrollo industrial que disminuya el desempleo.

II) Indique cuáles de los siguientes textos son razonamientos, e identifique premisas y conclusión en los casos positivos.

1. Es posible que las ballenas patagónicas se extingan en el transcurso de esta década, pues ningún

gobierno nacional implementó una política conservacionista apropiada y algunas potencias pesqueras se han dedicado a la caza indiscriminada de ballenas en nuestras costas.

2. Durante mucho tiempo, los astrónomos más destacados se dedicaban también a la astrología. Era

frecuente que sus servicios fueran requeridos en las cortes europeas y, precisamente gracias al prestigio que lograban con la confección de cartas natales y de horóscopos, conseguían lo necesario para llevar a cabo sus investigaciones astronómicas.

3. La Luna es el único satélite natural de la Tierra y carece de atmósfera. Tampoco Fobos ni

Deimos, los satélites de Marte, poseen atmósfera. Por lo tanto, ningún satélite natural debe tener atmósfera.

4. Para confeccionar cartas natales y horóscopos, los astrólogos se fundan en la posición del Sol, la

Luna y los planetas con respecto a cada una de las doce subdivisiones imaginarias que efectúan sobre la eclíptica. En consecuencia, las predicciones astrológicas no pueden ser correctas. Pues estas subdivisiones zodiacales tienen origen en el punto vernal gamma, que está determinado por la intersección entre la eclíptica y el ecuador celeste. Pero, como consecuencia de la precesión de los equinoccios, el punto vernal gamma ha sufrido un desplazamiento con respecto a su posición en la época en que se determinaron las doce subdivisiones de la eclíptica.

5. La astrología puede concebirse como un sistema de enunciados que, supuestamente, expresan

leyes naturales referidas a la relación entre la personalidad y el destino de los individuos, por un lado, y las posiciones y desplazamientos relativos de los planetas, el Sol y Luna sobre la eclíptica, por el otro. Pero, en general, las personas instruidas no consideran que esta disciplina sea científica, ni suelen tomar en cuenta los horóscopos como guía para su conducta cotidiana. Por su parte, los astrónomos cuestionan que, en su afán de mostrar cómo los astros determinan el destino de los seres humanos, los astrólogos recurren a los testimonios de la tradición y no a la investigación empírica de los fenómenos naturales.

6. Sólo puede aspirar a ser reconocida como científica una disciplina, cuando es necesario efectuar

observaciones y diseñar experimentos para establecer si sus hipótesis son confirmadas en alguna medida por la evidencia empírica. Pues, si no es posible inferir predicciones a partir de aquellas conjeturas y éstas tampoco permiten explicar la ocurrencia de los fenómenos observados que pertenecen a su ámbito de investigación, entonces difícilmente esa disciplina despierte el interés de la comunidad científica.

III) Determine cuáles son las premisas y cuál es la conclusión en cada uno de los siguientes razonamientos.

Ejemplos: a. Es evidente que algunas personas prestigiosas son corruptas. Pues los funcionarios públicos son

personas prestigiosas que contraen ciertos compromisos éticos con la sociedad. Pero quienes no cumplen con los compromisos contraídos y sólo consideran sus propios intereses particulares son, sin duda, corruptos.

Conclusión: Algunas personas prestigiosas son corruptas Premisas: (1) Los funcionarios públicos son personas prestigiosas que contraen ciertos compromisos éticos con la sociedad. (2) Quienes no cumplen con los compromisos contraídos y sólo consideran sus propios intereses particulares son corruptos. b. Logrará persuadir a los directivos de la empresa si explica adecuadamente su proyecto y prueba

que su implementación será redituable a corto plazo. De modo que no es probable que consiga convencer a los directivos de la empresa, pues aunque la implementación del proyecto sea redituable, no tendrá suficiente tiempo para explicarlo adecuadamente.

Conclusión: No es probable que consiga convencer a los directivos de la empresa. Premisas: (1) Logrará persuadir a los directivos de la empresa si explica adecuadamente su proyecto y prueba que su implementación será redituable a corto plazo. (2) La implementación del proyecto será redituable. (3) No tendrá suficiente tiempo para explicar el proyecto adecuadamente. Ejercicios propuestos: 1. Dado que el hombre es un ser racional, ninguno de sus comportamientos puede ser irracional. 2. Cuando cada uno posea su propio automóvil, todos viajaremos más rápido. Ya que quienes

viajan en automóvil lo hacen más rápido que los que viajan en transporte público. 3. El profesor Pérez ha dictado en los últimos años la asignatura Cultura General en otras

instituciones. De modo que no se tomarán en cuenta sus argumentos para incluir dicha asignatura en nuestro plan de estudios, puesto que él tiene particular interés en el asunto.

4. El reglamento del consorcio establece que en este edificio está prohibido tener animales

domésticos. Pero yo poseo un cachorro de puma y no un animal doméstico, así que no veo impedimento alguno para tenerlo en mi departamento.

5. El señor Pérez debe ser un hombre eficiente y con ideas de avanzada, pues es uno de los

miembros del directorio de esa compañía de seguros. Y esa compañía se caracteriza por sus novedosos proyectos y la eficiencia de las prestaciones que realiza.

IV) Señale si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas.

Ejemplos: a. Si un razonamiento es inválido, su conclusión debe ser falsa. Esta afirmación es falsa, porque un razonamiento inválido puede tener una conclusión verdadera -tanto en

el caso de que sus premisas sean falsas como de que sean verdaderas-. b. Si la conclusión de un razonamiento se deduce de las premisas, entonces no puede ser falsa. Esta afirmación es falsa, porque a partir de premisas falsas puede deducirse una conclusión falsa. c. Si las premisas y la conclusión de un razonamiento son falsas, las premisas no implican

lógicamente a la conclusión. Esta afirmación es falsa, porque premisas falsas pueden implicar una conclusión falsa, el único caso que

no puede presentarse es que premisas verdaderas impliquen una conclusión falsa. Ejercicios propuestos: 1. Si tanto las premisas como la conclusión de un razonamiento son verdaderas, el razonamiento no

puede ser inválido. 2. Si un razonamiento tiene premisas y conclusión falsas, es necesariamente inválido. 3. Si un razonamiento es válido y todas sus premisas son verdaderas, su conclusión también debe

ser verdadera. 4. Un razonamiento válido puede tener conclusión falsa. 5. Un razonamiento válido cuya conclusión sea verdadera, debe tener premisas verdaderas. 7. No puede ser falsa la conclusión de un razonamiento, si ésta se deduce de las premisas. 8. Si las premisas de un razonamiento no implican a su conclusión, esa conclusión no puede ser

verdadera. 9. La conclusión de un razonamiento válido con premisas falsas, debe ser falsa. 10. La conclusión de un razonamiento inválido con premisas falsas, debe ser verdadera. 11. Si las premisas de un razonamiento son verdaderas y a partir de ellas no se deduce su

conclusión, entonces la conclusión debe ser falsa. 12. Si un razonamiento tiene premisas y conclusión verdadera, entonces la conclusión se deduce de

las premisas. 13. Si las premisas de un razonamiento son falsas, no puede deducirse de ellas una conclusión

verdadera. 14. Si las premisas de un razonamiento son verdaderas y no implican lógicamente a la conclusión,

entonces la conclusión debe ser falsa.

V) Simbolice los siguientes enunciados en el lenguaje de la Lógica de Enunciados, indicando el código empleado.

Ejemplos: a. El predominio de los oligopolios restringe la libertad de elección del consumidor Código : p: El predominio de los oligopolios restringe la libertad de elección del consumidor. Simbolización: p b. La disparidad en la distribución del ingreso no promueve la estabilidad social. Código: p: La disparidad en la distribución del ingreso promueve la estabilidad social. Simbolización: ¬p c. La disparidad en la distribución del ingreso y creciente pauperización de amplios sectores de la

población atentan contra la estabilidad social. Código: p: La disparidad en la distribución del ingreso atenta contra la estabilidad social. q: La creciente pauperización de amplios sectores de la población atenta contra la estabilidad social. Simbolización: p ∧ q d. No es verdad que aumenten las retenciones a las exportaciones o se incrementen los controles

aduaneros. Código: p: Aumentan las retenciones a las exportaciones. q: Se incrementan los controles aduaneros. Simbolización: ¬(p ∨ q) e. Se incrementará el desempleo si se acentúa la recesión. Código: p: Se incrementa el desempleo. q: Se acentúa la recesión. Simbolización: q → p f. Si todos los depositantes retiran sus fondos al mismo tiempo, las entidades bancarias quebrarán. Código: p: Todos los depositantes retiran sus fondos al mismo tiempo. q: Las entidades bancarias quiebran. Simbolización: p → q

g. Obtendrá un crédito hipotecario sólo si consigue un empleo bien remunerado. Código: p: Obtendrá un crédito hipotecario. q: Consigue un empleo bien remunerado. Simbolización: p → q h. Sólo si aumentan tanto la producción de soja como su volumen exportado, se incrementará el

ingreso de divisas Código: p: Aumenta la producción de soja. q: Aumenta el volumen exportado de soja. r: .Se incrementa el ingreso de divisas. Simbolización: r → p ∧ q i. A menos que se reduzca la evasión impositiva, aumentará el déficit fiscal. Código: p: Se reduce la evasión impositiva. q: Aumenta el déficit fiscal. Simbolización: ¬p → q j. Si se devalúa la moneda, no sólo se elevarán los precios de los productos importados sino también

los de los nacionales. Código: p: Se devalúa la moneda. q: Se elevan los precios de los productos importados. r: Se elevan los precios de los productos nacionales. Simbolización: p → q ∧ r k. Aumentará la producción, si el personal tiene participación en las ganancias de la empresa y se

modernizan las instalaciones de los establecimientos fabriles. Código: p: Aumenta la producción. q: El personal tiene participación en las ganancias de la empresa. r: Se modernizan las instalaciones de los establecimientos fabriles.. Simbolización: q ∧ r → p l. No es cierto que el progreso técnico sea una condición suficiente para incrementar la

productividad. Código: p: Progresan las técnicas de producción. q: Se incrementa la productividad. Simbolización: ¬(p → q) ll. Es condición necesaria que diminuya el gasto público para obtener crédito de las entidades

financieras internacionales.

Código: p: Disminuye el gasto público. q: Se obtiene crédito de las entidades financieras. Simbolización: q → p

m. No es condición suficiente que aumenten las exportaciones para que sea favorable el saldo de la balanza comercial.

Código: p: Aumentan las exportaciones. q: Es favorable el saldo de la balanza comercial. Simbolización: ¬(p → q) n. Es condición suficiente que no aumente el consumo para que se profundice la recesión. Código: p: Aumenta el consumo. q: Se profundiza la recesión. Simbolización: ¬p → q o. Es suficiente que aumenten las exportaciones para que no se perjudiquen las economías

regionales Código: p: Aumentan las exportaciones. q: Se perjudican las economías regionales. Simbolización: p → ¬q p. Si Juan fue ascendido, entonces no es cierto que sólo si tenía capacidad Juan sería ascendido. Código: p: Juan es ascendido. q: Juan tiene capacidad. Simbolización: p → ¬( p → q) Ejercicios propuestos.

1. Pérez es contador, pero no es actuario ni licenciado en administración. 2. Pérez es contador o actuario, aunque no es economista.. 3. No es cierto que los alumnos de esta facultad sean estudiantes de medicina. 4. O bajan los precios y los salarios, o habrá inflación e inestabilidad social. 5. No es verdad que se elevarán los salarios o los costos de las materias primas, pero no los precios. 6. Hay inflación; sin embargo, no habrá control de precios. 7. A menos que haya control de precios, habrá inflación. 8. Si no aumenta el poder adquisitivo del salario medio, disminuirá el consumo. 9. No habrá inflación si se establecen precios máximos para los productos de la canasta familiar.

10. Se profundizará la recesión sólo si no aumenta el poder adquisitivo del salario medio. 11. Sólo si se incrementa la presión tributaria, no aumentará el déficit fiscal. 12. Habrá control de precios si y sólo si hay inflación y los consumidores protestan. 13. Que se fijen precios máximos es condición suficiente para que haya escasez. 14. Es suficiente aumentar la presión tributaria para que se incremente la evasión impositiva. 15. Que haya inflación es condición necesaria para que se fijen precios máximos. 16. Es necesario que aumenten la productividad y las ventas para que se incrementen las ganancias. 17. Que se incremente la tasa de desempleo pero no la producción, es condición necesaria y

suficiente para que disminuyan los salarios. 18. Ser argentino no es condición necesaria ni suficiente para ser europeo. 19. No es cierto que ganar las elecciones es condición necesaria y suficiente para ejercer el poder. 20. Si se enoja, no vendrá a menos que lo llames y lo invites. 21. El certificado tiene validez si está firmado por el director o el vicedirector. 22. El certificado tiene validez sólo si está firmado por el director y por el vicedirector. 23. La mayor parte de las actividades que ocupan a los científicos consisten en llevar a cabo

experiencias diseñadas con el objetivo de establecer en que medida las conjeturas propuestas por ellos tienen alguna correspondencia con los fenómenos que observamos en la realidad.

24. Si un rayo de luz atraviesa oblicuamente dos medios ópticos diferentes, la proporción entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción será constante.

25. Un cuerpo introducido en un fluido tiene la misma densidad que éste, si no emerge sobre la superficie del fluido ni tampoco se hunde en él.

26. Saldará su deuda sólo si se la refinancian o le otorgan un préstamo. 27. Sólo si no se contradice con los convenios internacionales ratificados por nuestro país y no es

vetada por el poder ejecutivo, es sancionada una ley. 28. Tener antecedentes penales es condición suficiente para no ser admitido en la empresa. 29. Tener título universitario no es condición suficiente para ingresar en la carrera militar. 30. No tener experiencia en administración es condición suficiente para que sea rechazada tu

solicitud de empleo. 31. Es condición necesaria no ser graduado universitario para solicitar una prórroga. 32. Para obtener ese empleo, no es condición necesaria tener conocimientos de computación. 33. El deterioro del poder adquisitivo y el aumento de la presión tributaria, son condiciones

necesarias para que no disminuya la recesión. 34. No es cierto que si Juan fue ascendido entonces, si Pedro no está conforme, renunciará.

VI) Simbolice los siguientes razonamientos en el lenguaje de la Lógica de Enunciados, indicando el código empleado.

Ejemplo: a. No es cierto que la división tripartita del poder público y la publicidad de los actos de gobierno

sean una condición suficiente para que una república sea efectivamente democrática. Pero una república es democrática si el sistema parlamentario es representativo y los tres poderes son mutuamente independientes. En consecuencia, la independencia mutua de los tres poderes es condición necesaria para que sean públicos los actos de gobierno.

Código: p: Hay una división tripartita del poder público. q: Los actos de gobierno son públicos. r: Una república es democrática. s: El sistema parlamentario es representativo.

t: Los tres poderes son mutuamente independientes.

Simbolización: ¬(p ∧ q→ r) s ∧ t → r - - - - - - - -- - -- - - - - - - - - ---------------------------------------

q → t

Ejercicios propuestos: 1. Obtendré la licencia de conductor sólo si aprendo a conducir o recuerdo las reglas de tránsito.

Por lo tanto, no obtendré la licencia de conductor, dado que no aprendí a conducir ni recuerdo las reglas de tránsito.

2. No es una persona honesta, o si lo es, entonces no es sobornable. Pero, evidentemente, es

insobornable. Por consiguiente, no es una persona deshonesta. 3. Su vocabulario no es, seguramente, suficientemente rico. Ya que, o no se expresa con claridad o

es insuficiente la riqueza de su vocabulario. Pero se expresa claramente, aunque no con fluidez. 4. Es necesario ser talentoso para ser contratado por esta empresa, pero esa no es una condición

suficiente. De modo que sólo será contratado si no carece de talento y se desempeña eficientemente.

5. Sólo si es responsable y seguro de sí mismo cumplirá satisfactoriamente la tarea encomendada,

ya que para efectuar esa tarea es condición necesaria ser capaz de tomar decisiones acertadas rápidamente. Pero no es condición suficiente ser responsable para tener esta capacidad.

6. No es cierto que será admitido en la empresa si carece de conocimientos de programación y no

habla inglés. En consecuencia, será admitido si y sólo si tiene conocimientos de programación y se expresa adecuadamente en inglés, puesto que tener conocimientos de programación es una condición necesaria para realizar ciertas tareas.

7. No es condición suficiente que aumenten las exportaciones para que sea favorable el saldo de la

balanza comercial. Por consiguiente, este saldo no será favorable si y sólo si el volumen de las importaciones se intensifica pero las exportaciones no aumentan. Dado que sólo si no se intensifica la importación se diversificará la producción de manufacturas nacionales.

8. El deterioro del poder adquisitivo del salario medio y el incremento de la presión tributaria no

son una condición necesaria para detener la inflación. En consecuencia, no es cierto que sólo si aumenta el desempleo, se detendrá la inflación. Pues, o bien se deteriora el poder adquisitivo del salario medio o bien aumenta el desempleo, si se profundizan los efectos recesivos de la política económica actual.

VII) Simbolice los siguientes enunciados en el lenguaje de la Lógica de Predicados de Primer Orden, indicando el código empleado.

Ejemplos:

Código: Px: x es real Qx: x es persona Rx: x es responsable

a. Todo es real

∀x Px

b. Nada es real

∀x ¬Px

c. Algo es real

∃x Px

d. Algo no es real

∃x ¬Px

e. No todo es real ¬∀x Px

f. No es verdad que nada sea real. ¬∀x ¬Px

g. Algo es irreal

∃x ¬Px

h. Todo es irreal

∀x ¬Px

i. Nada es irreal

∀x ¬¬Px

j. No es cierto que nada sea irreal. ¬∀x ¬¬Px

k. Es falso que algo sea irreal ¬∃x ¬Px

l. Todos son responsables

∀x (Qx → Rx)

ll. No es cierto que haya responsables ¬∃x (Qx ∧ Rx)

Ejercicios propuestos:

1. Todo es mortal.

2. Nada es eterno.

3. No todo es eterno.

4. Algo se mueve.

5. Algo no es inmóvil.

6. Nadie es responsable.

7. Alguien es responsable.

8. Algunos no son responsables.

9. No todos son responsables.

10. No es cierto que no haya irresponsables

Código: Px: x es un político Qx: x es ambicioso a: Pérez.

a. Todos los políticos son ambiciosos.

∀x (Px → Qx)

b. Ningún político es ambicioso.

∀x (Px → ¬Qx)

c. Algunos políticos son ambiciosos.

∃x (Px ∧ Qx)

d. Algunos políticos no son ambiciosos.

∃x (Px ∧ ¬Qx)

e. No todo político es ambicioso.

¬∀x (Px → Qx)

f. No es cierto que ningún político sea ambicioso.

¬∀x (Px → ¬Qx)

g. No es verdad que algunos políticos no sean ambiciosos

¬∃x (Px ∧ ¬Qx)

h. Pérez es un político ambicioso.

Pa ∧ Qa


11. Algunos triángulos son equiláteros 12. Todos los triángulos son triláteros. 13. Ningún triángulo es cuadrilátero. 14. Algunos triángulos no son escalenos. 15. No todos los triángulos son equiláteros. 16. No es cierto que algunos triángulos son cuadriláteros.

Código: Px: x se beneficia Qx: x es un error Rx: x es persona

i. Nadie se benefició si hubo errores

∃y Qy → ∀x (Rx → ¬Px)

j. Sólo si no hay errores, todos se beneficiarán.

∀y (Ry → Py) → ¬∃x Qx

k. Toda empresa bien administrada es rentable.

Código: Px: x es una empresa; Qx: x está bien administrada; Rx: x es rentable.

Simbolización: ∀x (Px ∧ Qx → Rx)

l. Ningún asesor de seguros honesto es apreciado.

Código: Px: x es un asesor de seguros; Qx: x es honesto; Rx: x es apreciado. Simbolización: ∀x (Px ∧ Qx → ¬Rx)

ll. Algunos economistas argentinos se reciben en EEUU y no regresan a Argentina.

Código: Px: x es economista; Qx: x es argentino; Rxy: x se recibe en y; Sxy: x regresaa y,

a: EEUU, b: Argentina.

Simbolización: ∃x ((Px ∧ Qx) ∧ (Rxa ∧ ¬Sxb))

m. Hay empresas privadas que no son rentables si no son subsidiadas.

Código: Px: x es una empresa; Qx: x pertenece al ámbito privado; Rx: x es rentable; Sx: x es subsidiada.

Simbolización: ∃x ((Px ∧ Qx) ∧ ( ¬Sx → ¬Rx))

Ejercicios propuestos: 17. Los triángulos y los rombos son figuras planas

18. Ni los triángulos y ni los círculos son cuadriláteros.

19. Algunos triángulos son isósceles y rectángulos.

20. Las arpías eran monstruos alados

21. Las arpías vengativas eran perseverantes

22. Ninguna arpía era piadosa y tolerante

23. Algunas arpías vengativas no eran piadosas ni tolerantes.

24. Si hay fantasmas, son invisibles.

25. Si hay fantasmas, hay apariciones.

26. Cualquier fantasma es invisible o indiscreto o bromista.

27. Ningún fantasma aparecerá si no es invisible.

28. No es cierto que todos los fantasmas son bromistas sólo si son invisibles.

29. Todos los licenciados en sistemas, economistas y contadores son graduados universitarios.

30. Algunos caballos son dóciles y están bien entrenados.

31. Algunos caballos son dóciles sólo si están bien entrenados.

32. Algunos caballos son dóciles si están bien entrenados.

33. Ningún caballo es dócil a menos que esté bien entrenado.

34. Cualquier caballo es dócil si está bien entrenado.

35. Cualquier caballo es dócil si y sólo si está bien entrenado.

36. Los caballos dóciles están bien entrenados.

37. Nada es eterno, si algo es perecedero.

38. No todo es útil, sólo si algo es inútil

39. Es condición suficiente que nadie sea responsable para que Juan no sea responsable

40. Es condición necesaria que nadie sea responsable para que no todos sean culpables.

41. Juan no será contratado sólo si ninguno de los postulantes es contratado.

42. No todos serán contratados aunque ninguno sea ineficiente.

43. Para que nadie se queje es condición suficiente que todos estén conformes.

44. Pegaso era un caballo volador, sólo si no es cierto que ningún caballo es volador.

45. Si Medusa fue asesinada, entonces no todas las gorgonas eran inmortales

VIII) Simbolice los siguientes razonamientos en el lenguaje de la Lógica de Predicados de Primer Orden, indicando el código empleado.

Ejemplo: a. Si todos los filósofos ingleses eran empiristas, entonces Berkeley era un filósofo empirista. Pues

Berkeley era religioso; y algunos religiosos fueron filósofos ingleses. Código: Px: x es un filósofo; Qx: x es es inglés; Rx: x es empirista; Sx: x era religioso; a: Berkeley. Simbolización: Sa ∃x (Sx ∧ (Px ∧ Qx)) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

∀x ((Px ∧ Qx) →Rx) → (Pa ∧ Ra) b. Ningún hombre honrado es injusto. Por lo tanto, Meleto no era un hombre honrado ni valiente.

Pues Meleto condenó a Sócrates y los que condenaron a Sócrates fueron injustos pero no valientes. Además, no hay hombre honrado que no sea valiente, si Sócrates era valiente.

Código: Px: x es un hombre honrado; Qx: x es injusto; Rxy: x condenó a y; Sx: x es valiente, a: Meleto, b: Sócrates Simbolización: ∀x (Px → ¬Qx) Rab ∧ ∀x (Rxb → (Qx ∧ ¬Sx)) Sb→ ¬∃x (Px ∧ ¬Sx) ¬Pa ∧ ¬Sa 1. Dumbo era paquidermo, ya que Dumbo era elefante y los elefantes son paquidermos 2. Los gatos son felinos domésticos. Algunos felinos son más golosos que Garfield, pero Silvestre

no es más goloso que Garfield. Luego, si Silvestre es un felino, entonces hay gatos que son más golosos que Garfield.

3. Todos los terratenientes son conservadores. Pero ningún conservador es progresista. De modo

que el señor Pérez es, sin duda, conservador, dado que es un próspero terrateniente aunque no es progresista.

4. Algunas personas audaces pero de poco criterio son intelectuales, ya que los anarquistas son

personas de poco criterio, y hay intelectuales audaces que son anarquistas. 5. Los trenes del ferrocarril Roca parten de la estación Constitución. Hay trenes del ferrocarril

Roca que no circulan a horario. Por consiguiente, si algunos trenes que parten de Constitución no circulan a horario, entonces “El marplatense” no parte de Constitución. Pues “El marplatense” es un tren del ferrocarril Roca que circula a horario.

IX) Simbolice los siguientes enunciados en el lenguaje de la Lógica de Predicados de Primer Orden, indicando el código empleado.

Ejemplos: Código: Pxy: x engaña a y; Qx: x es hombre; Rx: x es mujer; Tx: x es persona

a: Juan; b: Pablo.

Juan engaña a Pablo Pablo es engañado por Juan Pab

Pablo engaña a Juan Juan es engañado por Pablo Pba

Todos engañan a todos ∀x(Tx → ∀y(Ty→Pxy)) ∀x∀y((Tx∧Ty) → Pxy))

Juan engaña a todos Todos son engañados por Juan ∀x(Tx → Pax))

Todos engañan a Juan Juan es engañado por todos ∀x(Tx → Pxa))

Todos son engañados por todos ∀y(Ty → ∀x(Tx→Pxy)) ∀y∀x((Ty∧Tx) → Pxy))

Juan engaña a alguien Alguien es engañado por Juan ∃x(Tx ∧ Pax)

Alguien engaña a Juan Juan es engañado por alguien ∃x(Tx ∧ Pxa))

Alguien engaña a alguien ∃x(Tx ∧ ∃y(Ty ∧ Pxy)) ∃x∃y((Tx ∧ Ty) ∧ Pxy))

Nadie engaña a nadie ∀x (Tx →∀y(Ty → ¬Pxy)) Nadie engaña a todos ∀x (Tx → ¬∀y(Ty → Pxy))

Nadie es engañado por nadie ∀y (Ty →∀x(Tx → ¬Pxy)) Nadie es engañado por todos ∀y (Ty → ¬∀x(Tx → Pxy)

Alguien es engañado por alguien ∃y(Ty ∧ ∃x(Tx ∧ Pxy)) ∃y∃x((Ty ∧ Tx) ∧ Pxy))

Todos engañan a alguien ∀x(Tx → ∃y(Ty ∧Pxy))

Todo hombre engaña a alguien ∀x (Qx → ∃y(Ty ∧ Pxy)

Todo hombre engaña a alguna mujer ∀x (Qx → ∃y (Ry ∧ Pxy))

Alguien es engañado por todos ∃y(Ty ∧∀x(Tx → Pxy))

Algún hombre es engañado por todos ∃y(Qy ∧ ∀x(Tx → Pxy))

Algún hombre es engañado por todas las mujeres ∃y(Qy ∧ ∀x (Rx → Pxy))

Todos son engañados por alguien ∀y (Ty → ∃x (Tx ∧ Pxy))

Todo hombre es engañado por alguien ∀y (Qy → ∃x(Tx ∧Pxy))

Todo hombre es engañado por alguna mujer ∀y (Qy → ∃x (Rx ∧ Pxy))


1. Pérez es asesor de García. 2. García es asesorado por Pérez. 3. Algunos asesoran a García.

4. Alguien asesora a todos. 5. Todos son asesorados por alguien. 6. Pérez es asesor de todos los contadores del estudio. 7. Todos los abogados asesoran a alguien. 8. Todos son asesorados por todos. 9. Alguno es asesorado por alguno. 10. Alguien no asesora a persona alguna. 11. Todos los depósitos son retenidos por alguna entidad financiera. 12. Algunas entidades financieras internacionales atraen a todos los ahorristas. 13. Algunos coreógrafos son admirados por todos los bailarines famosos. 14. Todos los empleados eligen algún delegado gremial deshonesto. 15. Ningún sindicalista defiende a todos trabajadores, pero cualquier sindicalista se defiende a sí mismo. 16. Algunos eruditos no cuestionan todas las verdades reveladas. 17. Nadie respeta a una (a cualquier) persona que no se respeta a sí misma 18. Es condición suficiente que Perseo haya asesinado a Medusa para que algunas gorgonas hayan

sido mortales. 19. No todas las gorgonas eran inmortales, si Medusa era gorgona y Perseo la asesinó 21. No hay políticos que sean personas honestas, pero nadie vota a todos los políticos deshonestos. 22. No todos los políticos son ambiciosos, aunque cualquier político se vota a sí mismo.

X) Simbolice siguientes razonamientos en el lenguaje de la Lógica de Predicados de Primer Orden, indicando el código empleado.

Ejemplo: Hay lectores se identifican con algún personaje depravado. Pues todo escritor es admirado

por algún lector, aunque ningún lector admira a todos los escritores. Sin embargo, hay escritores que crean algún personaje depravado. Pero cualquier lector que admira a algún escritor, se identifica con (todos) sus personajes (los que creó el escritor).

Código:

Px: x es lector Qxy: x se identifica con y Rx: x es depravado Sx: x es escritor Txy: x admira a y Uxy: x crea a y Wx: x es un personaje

Simbolización:

Todo escritor es admirado por algún lector ∀x(Sx → ∃y(Py ∧ Tyx)) Ningún lector admira a todos los escritores ∀y(Py → ¬∀x(Sx → Tyx)) Hay escritores que crean algún personaje depravado ∃x(Sx∧∃z((Wz∧Rz)∧Uxz)) Cualquier lector que admira a algún escritor, se identifica con (todos) sus personajes (los que creó el escritor)

∀x∀y∀z((Py∧(Tyx∧Sx))→((Wz∧Uxz)→Qyz)) Hay lectores se identifican con algún personaje depravado ∃y(Py∧∃z((Wz∧Rz)∧Qyz)))

1. Quien (cualquiera que) dibuja algún círculo dibuja alguna figura. Pero nadie dibuja círculos. En

consecuencia, algunos no dibujan figuras. 2. Si todos se preocupan por sí mismos, entonces todos se preocupan por alguien. Algunos se

preocupan por sí mismos. En consecuencia, hay quien se preocupa por alguien. 3. Los países latinoamericanos son deudores del FMI o del Banco Mundial. Así que hay países

deudores del Banco Mundial no comercian con cualquier país latinoamericano que sea deudor del FMI. Ya que ningún país deudor del FMI comercia con algún deudor del Banco Mundial.

4. Cada socio que vota, elige algún candidato. Pero no todos los socios son vitalicios. De modo que

hay socios que no elegirán candidato alguno (ningún candidato). Pues un socio vota sólo si es vitalicio. Pero no es cierto que todo candidato sea elegido por algún socio.

5. No todos los inversores se enriquecen. Sin embargo, hay especialistas que aconsejan a todos los

inversores. Pero cualquier inversor se enriquece sólo si es aconsejado por algún especialista prestigioso. Por lo tanto, algunos inversores no son aconsejados por especialista prestigioso alguno (por ningún especialista prestigioso).

SOLUCION EJERCICIO ( X) Simbolice siguientes razonamientos en el lenguaje de la Lógica de Predicados de Primer Orden, indicando el código empleado. 3. Los países latinoamericanos son deudores del FMI o del Banco Mundial. Así que hay países

deudores del Banco Mundial no comercian con cualquier país latinoamericano que sea deudor del FMI. Ya que ningún país deudor del FMI comercia con algún deudor del Banco Mundial.

Premisa 1: Los países latinoamericanos son deudores del FMI o del Banco Mundial Premisa 2: Ningún país deudor del FMI comercia con algún deudor del Banco Mundial Conclusión: Algunos países deudores del Banco Mundial no comercian con cualquier país

latinoamericano que sea deudor del FMI. Código: Px: x es país Qx: x es latinoamericano Rxy: x es deudor de y Sxy: x comercia con y a: F.M.I. b: Banco Mundial

P.1: ∀x((Px∧Qx) → (Rxa ∨ Rxb)) P.2: ∀x((Px∧Rxa) → ¬∃y(Rb∧Syx)) C.: ∃y((Py∧Rxb)∧¬∀x((Px∧Qx)∧Rxa → Syx))

4. Cada socio que vota, elige algún candidato. Pero no todos los socios son vitalicios. De modo que

hay socios que no elegirán ningún candidato. Pues un socio vota sólo si es vitalicio. Pero no es cierto que todo candidato sea elegido por algún socio.

Premisa 1: Cada socio que vota, elige algún candidato. Premisa 2: No todos los socios del club son vitalicios. Premisa 3: Un socio (cualquiera) vota sólo si es vitalicio Premisa 4: No es cierto que todo candidato sea elegido por alguien que vota Conclusión: Hay socios que no elegirán ningún candidato (hay socios que no elegirán candidato

alguno en absoluto) Código: Px: x es socio Qx: x vota Ry: x es candidato Sxy: x elige a y Tx: x es vitalicio

P. 1: ∀x((Px∧Qx) → ∃y(Ry∧Sxy)) P. 2: ¬∀x(Px→Tx) P. 3: ∀x(Px → (Qx→Tx)) P. 4: ¬∀y(Ry → ∃x(Px∧Sxy))C.: ∃x(Px∧∀y(Ry → ¬Sxy))

5. No todos los inversores se enriquecen. Sin embargo, hay especialistas que aconsejan a todos los

inversores. Pero cualquier inversor se enriquece sólo si es aconsejado por algún especialista prestigioso. Por lo tanto, algunos inversores no son aconsejados por ningún especialista prestigioso.

Premisa 1: No todos los inversores se enriquecen Premisa 2: Hay especialistas que aconsejan a todos los inversores Premisa 3: Cualquier inversor se enriquece sólo si es aconsejado por algún especialista prestigioso Conclusión: Algunos inversores no son aconsejados por ningún especialista prestigioso. (Algunos

inversores no son aconsejados por especialista prestigioso alguno) Código: Px: x es inversor Qx: x se enriquece Ry: x es especialista Sxy: x aconseja a y Tx: x es prestigioso

P. 1: ¬∀x(Px→Qx) P. 2: ∃y(Ry∧∀x(Px →Syx)) P. 3: ∀x(Px → (Qx → ∃y((Ry∧Ty )∧ Syx)) C.: ∃x(Px∧∀y((Ry∧Ty) → ¬Syx))

ANEXO EJERCICIO ( X) Simbolice siguientes razonamientos en el lenguaje de la Lógica de Predicados de Primer Orden, indicando el código empleado.

3*. Ningún organismo estatal controla todas las empresas privatizadas. Pero si cualquier empresa es

controlada por algún organismo estatal, entonces hay organismos estatales que controlan Metrovías.

Metrovías es una empresa privatizada o no es controlada por todos los organismos estatales .En

consecuencia, algunos organismos estatales controlan algunas empresas

4*. Algunos alumnos aprecian a todos los docentes sólo si los docentes aprueban a todos los

alumnos. De modo que algunos docentes del Departamento de Matemática no son apreciados por

todos los alumnos, pues ningún docente aprueba a cualquier alumno, aunque hay alumnos que son

aprobados por todos los docentes del Departamento de Matemática.

5* No es cierto que ningún miembro del senado sea asesorado por algún politólogo. Pues Méndez

es miembro del senado y hay politólogos que lo asesoran. Pero ningún politólogo asesora a todos

los miembros del senado.

6. Los generales ganan o pierden todas las batallas en las que han participado. Existe una batalla

que Napoleón Bonaparte, que era general, ni ganó ni perdió. Luego, no es cierto que Napoleón

Bonaparte haya participado en todas las batallas.

7. No hay turistas que exploren alguna región desértica. Cualquier egiptólogo viaja a Egipto, pero

no todos los que viajan a Egipto son turistas. Así que ningún egiptólogo es turista.

8. Cualquier galeón español transportaba alguna mercancía. Pero ningún pirata atacaba todos los

galeones. Por lo tanto, Francis Drake no atacó todos los galeones españoles o no fue pirata. Pues F.

Drake no atacó la Nao de Acapulco, y la Nao de Acapulco era un galeón español que transportaba

alguna mercancía.

9. La triple A era una organización paramilitar que estaba dirigida por José López Rega o por

Emilio Masera. Pero ninguna organización paramilitar estaba dirigida por algún militar. En

consecuencia, la triple A estaba dirigida por José López Rega o Emilio Masera no era almirante.

Pues toda organización que está dirigida por algún almirante es una organización que está dirigida

por algún militar.

XI) Proporcione ejemplos de las siguientes fórmulas: Ejemplos: a. Una fórmula que contenga un cuantificador y una constante que denote un individuo. ∀x (Pxb → Qx); ∀x ∃y Pxy → ∀y Qay b. Una fórmula general que no contenga conectivas. ∀x ∃y Pxy; ∀x Pxb c. Una fórmula abierta con constantes que denoten individuos. ∀x ∃y Pxy ∨ Qay; ∃x (Pax → ∀y Qy ∧ Ray) d. Una fórmula que sea la negación de una conjunción, cuyos conyuntos estén cuantificados

existencialmente. ¬(∃x ¬Qx ∧ ∃x Pax) e. Una fórmula molecular sin cuantificadores. ¬p & q → p ∨ ¬r Ejercicios propuestos: 1. Un predicado triádico o de grado 3. 2. Una fórmula molecular que incluya un cuantificador universal. 3. Una fórmula cuya conectiva principal sea una disyunción, y cuyos disyuntos sean conjunciones. 4. Una fórmula general sin constantes que denoten individuos. 5. Una fórmula que contenga constantes de predicado pero no incluya cuantificadores. 6. Una fórmula abierta. 7. Una fórmula cerrada. 8. Una fórmula cuya conectiva principal sea un condicional, cuyo antecedente sea una conjunción y

cuyo consecuente sea también una fórmula condicional.

XII) Pruebe la validez de los siguientes razonamientos utilizando las reglas básicas de la Lógica de Enunciados.

Ejemplo (a) :

(¬p → q) ∧ s , (q ∧ ¬p) → ¬¬r ⏐– (¬p → r) ∨ s 1. (¬p → q) ∧ s 2. (q & ¬p) → ¬¬r 3. ¬p → q (E∧) 1 ----------4. ¬p 5. q (E→) 3, 4 6. q ∧ ¬p (I∧) 5, 4 7. ¬¬r (E→) 2, 6 ----------8. r DN 7 9. ¬p → r (I→) 4 - 8 10. (¬p → r) ∨ s (I∨) 9 Otra forma de probar la validez del mismo razonamiento:

1. (¬p → q) ∧ s 2. (q ∧ ¬p) → ¬¬r 3. s (E∧) 1 4. (¬p → q) ∨ s (I∨) 3


1. p → q , p ⏐– q ∨ r 2. p → q , p , q → r ⏐– s ∨ r 3. p ∧ q , (p ∨ q) → t ⏐– t 4. (p ∧ q) → r , r → s ⏐– (p ∧ q) → s 5. p → (q ∧ ¬r) , (q ∨ r) → s ⏐– p → s 6. ¬p → q , (s ∨ q) → r ⏐– (¬p ∧ t) → r 7. p → q , r → s , (s ∧ q) → t ⏐– (p ∧ r) → t

Ejemplo (b):

p → (q ∨ r) , q → r , r → s ⏐– p → s 1. p → (q ∨ r) 2. q → r 3. r → s ------------4. p 5. q ∨ r (E→) 1, 4 --------6. q 7. r (E→) 2, 6 --------8. s (E→)3, 7 --------9. r -------10. s (E→) 3, 9 ------------11. s (E∨). 5, 6 - 8, 9 - 10 12. p → s (I→) 4- 11 Ejercicios propuestos:

8. p → q , r → s , p ∨ r ⏐– q ∨ s 9. p → q , p ∨ s , s → ¬¬t ⏐– q ∨ t 10. p → ¬s , q ∨ (t ∧ ¬s) , ¬s → ¬r ⏐– q ∨ (p → ¬r)

Ejemplo (c) :

(p ∨ q) → (r ∧ s) , ¬r ⏐– ¬q 1. (p ∨ q) → (r ∧ s) 2. ¬r ---------3. q 4. p ∨ q (I∨) 3 5. r ∧ s (E→) 1, 4 6. r (E∧) 5 ---------7. ⊥ (I∧). 6, 2 8. ¬q (I¬). 3 - 7 Ejercicios propuestos:

11. p → ¬q , r → q ⏐– ¬(p ∧ r) 12. p → ¬q , r → p , q ⏐– ¬r 13. (p ∧ q) → (r → ¬s) , q ∧ s ⏐– p → ¬r

14. p → ¬q , ¬q → ¬r ⏐– r → ¬p 15. p → q , q ∧ r → s ⏐– r → (p → s)

Ejemplo (d): p → (q ∨ r) , ¬q , ¬r ⏐– ¬p

1. p → (q ∨ r) 2. ¬q 3. ¬r -----------4. p 5. (q ∨ r) (E→) 1 y 4 -------6. q ----7. ⊥ (E¬)2 y 6 ----8. r ----9 ⊥ (E¬) 3 y 8 -------10. ⊥ (E∨) 5, 6-7 y 8 -9. ---------11. ¬p (I¬) 4-10 Ejercicios de resolución optativa:

16. p , p → (q ∨ r) , ¬q ⏐– r 17. (p → q) ∧ (r → s) , ¬q ∨ ¬s , r ⏐– (p → ¬t)

XIII) Demuestre los siguientes teoremas utilizando las reglas básicas de la Lógica de Enunciados. Ejemplos:

(a) ⏐– (p → ¬p) → ¬p

-------1. p → ¬p ----2. p 3. ¬p (E→) 1, 2 ----4. p ∧ ¬p (I∧). 2, 3 -------5. ¬p (I¬). 2 - 4 6. (p → ¬p) → ¬p (I→) 1 - 5

(b) ⏐– ((p ∧ q) → (r → ¬s)) → ((q ∧ s) → (p → ¬r)) ------------------1. (p ∧ q) → (r → ¬s) ----------------2. q ∧ s ------------3. p ----------4. r 5. q (E∧) 2 6. p ∧ q (I∧). 3 y 5 7. r → ¬s (E→) 1 y 6 8. ¬s (E→) 7 y 4 9. s (E∧).2 ----------10. s ∧ ¬s (I∧). 8 y 9 -------------11. ¬r (I¬) 4-10. ---------------12. p → ¬r (I→). 3-11. ------------------13. (q ∧ s) → (p → ¬r) (I→). 2-12. 14. ((p ∧ q) → (r → ¬s)) → ((q ∧ s) → (p → ¬r)) (I→)). 1-13 Ejercicios propuestos:

1. ⏐– q → (p → q) 2. ⏐– (p → r) → ((q → r) → ((p ∨ q) → r)) 3. ⏐– ((p → r) ∧ (q → s)) → ((p ∨ q) → (r ∨ s)) 4. ⏐– (p → q) → ((r → s) → ((p ∧ r) → (q ∧ s))) 5. ⏐– ((p → r) ∧ (q → s)) → ((p ∧ q) → (r ∧ s)) 6. ⏐– (p → ¬q) → ((r → p) → (q → ¬r)) 7. ⏐– (p → q) → ((q → r) → (¬r → ¬p)) 8. ⏐– (p ∧ q) → (((p ∨ q) → t) → (p ∧ t)) 9. ⏐– (p ∨ q) → ((p → (r ∧ s)) → ((q → (s ∧ t)) → s))

XIV) Pruebe la validez de los siguientes razonamientos utilizando por lo menos una regla derivada de la Lógica de Enunciados.

Ejemplos:

(a). p → (q ∨ r) , (q ∨ r) → s , p ∧ t ⏐– t ∧ s 1. p → (q ∨ r) 2. (q ∨ r) → s 3. p ∧ t 4. p → s SH 1 y 2 (Silogismo hipotético) 5. p (E∧) 3 6. t (E∧) 3 7. s (E→) 4 y 5 8. t ∧ s (I∧) 6 y 7

(b). p → (q ∧ r) , s → ¬r , s ∨ t , p ⏐– t 1. p → (q ∧ r) 2. s → ¬r 3. s ∨ t 4. p 5. q ∧ r (E→). 1 y 4 6. r (E∧) 5 7. ¬¬r IDN 6 (Introducción de doble negación) 8.¬s (E→) 2 y 7 9. t SD. 3 y 8 (Silogismo disyuntivo)

1. p ∨ q , q → s ⏐– ¬p → s (Silogismo Disyuntivo: SD) 2. p → q , (r → q) → s ⏐– p → s (Carga de Premisa: CPr) 3. p → q , r → (s ∨ p) , ¬q ⏐– r → s (Modus Tollens: MT - Silogismo Disyuntivo: SD) 4. p → (q → r) , r → s , q ⏐– p → s (Mutación de Premisas: MPr - Silogismo Hipotético: SH) 5. p ↔ q , r → p , q → (¬s & t) ⏐– r → t (Eliminación del Coimplicador: E↔ - Silogismo Hipotético: SH) Ejemplo:

(c) p → q , ¬p → r , r → s , s → (t ∧ u) ⏐– q ∨ (t ∧ u) 1. p → q 2. ¬p → r 3. r → s 4. s → (t ∧ u) 5. p ∨ ¬p PTE (Principio de tercero excluído) 6. ¬p → s. SH 2 y 3 7. ¬p → (t ∧ u) SH 6 y 4 8. q ∨ (t ∧ u) DCC 5, 1 y 7 (Dilema constructivo compuesto) Otra forma de probar la validez del mismo razonamiento: 1. p → q 2. ¬p → r 3. r → s 4. s → (t ∧ u)

5. ¬q → ¬p RIFE, Ctrp.1 (regla de intercambio o metateorema de reemplazo de fórmulas equivalentes, contraposición)

6. ¬q → r SH. 5 y 2 7. ¬q → s SH. 6 y 3 8. ¬q → (t ∧ u) SH. 7 y 4

9. ¬¬q ∨ (t ∧ u) Def →/¬∨ 8 (interdefinición del condicional mediante negación y disyunción)

10. q ∨ (t ∧ u) RISFE, EDN. 9. (regla de intercambio o metateorema de reemplazo de subfórmulas equivalentes y eliminación de doble negación)

6. ¬(p ∧ q) → s , ¬p ⏐– s (RISFE - De Morgan) 7. ¬(p ∨ q) ∧ s , t → ¬s ⏐– ¬t ∧ ¬p (RIFE - De Morgan - Introducción de doble negación: IDN - Modus Tollens)

Ejemplo (d) (d). p → (q → r) , ¬q → s ⏐– (p ∧ ¬r) → s 1. p → (q → r) 2. ¬q → s 3. q → (p → r) MPr. 1 4. ¬(p → r) → ¬q Ctrp. 3 5. ¬(p → r) →s SH. 4 y 2 6. (p ∧ ¬r) → s RISFE, Def ∧/¬→. 5 Otra forma de probar la validez del mismo razonamiento: (d). p → (q → r) , ¬q → s ⏐– (p ∧ ¬r) → s 1. p → (q → r) 2. ¬q → s

3. p → (¬r → ¬q) RIFE, Ctrp, 1 (regla de intercambio o metateorema de reemplazo de fórmulas equivalentes y contraposición)

4. (p ∧ ¬r) → ¬q Imp. 3 (importación) 5. (p ∧ ¬r) → s SH. 4 y 2 8. p → q , r → s , p ∨ r ⏐– q ∨ s 9. p → q , p ∨ s , s → ¬¬t ⏐– q ∨ t 10. p → q , ¬p → r ⏐– q ∨ r (puede emplear PTE y DCC) 11. p → (q ∨ r) , (q → ¬s) , (r → ¬s) ⏐– p → ¬s 12. p ∨ q , r → (s → ¬q) , ¬p ⏐– ¬r ∨ ¬s 13. p ∨ q , q → r , r → s , p → t , t → s ⏐– s 14. p → ¬q , r → p , q ⏐– ¬r (puede emplear IDN y MT) 15. (p ∧ q) → (r → ¬s) , q ∧ s ⏐– p → ¬r 16. p → (q ∨ r) , ¬(¬q ∧ ¬r) → t , p ∧ s ⏐– t ∨ u 17. p ∨ q , ¬q , p → q ⏐– r 18. (r ∨ s) ∨ t , (r ∨ s) → p , ¬p → ¬t ⏐– p 19. p ∨ q , p → (r ∧ s) , q → (s ∧ t) ⏐– s (emplee DCC y distribución de la

disyunción con respecto a la conjunción)

XV) Demuestre los teoremas 1, 2, 3, 6, 7 y 9 del ejercicio XIII, utilizando tanto reglas básicas como derivadas.

Ejemplos:

(a) ⏐– (p → ¬p) → ¬p ---1. p → ¬p 2. ¬(p ∧ p) Def. →/ ¬∧, 1 3. ¬p ∨ ¬p De Morgan: N∧, 2 (negación de la conjunción) ---4. ¬p Idempotencia de ∨, 3 5. (p → ¬p) → ¬p (I→)1-4

(b) ⏐– ((p ∧ q) → (r → ¬s)) → ((q ∧ s) → (p → ¬r)) ------1. ((p ∧ q) → (r → ¬s)) 2. p → (q → (r → ¬s)) Exp1 (Exportación) 3. q → (p → (r → ¬s)) MPr. 2 4. q → (p → (s → ¬r)) Ctrp., RI 3 5. q → (s → (p → ¬r)) MPr. 4 ------6. q ∧ s → (p → ¬r) Imp5 (Importación) 7. ((p ∧ q) → (r → ¬s)) → ((q ∧ s) → (p → ¬r)) (I→)-1-6 Otra forma de probar la teorematicidad de la misma fórmula:

(b) ⏐– ((p ∧ q) → (r → ¬s)) → ((q ∧ s) → (p → ¬r)) ------1. ((p ∧ q) → (r → ¬s)) 2. (q ∧ p) → (r → ¬s) RISFE, Conm∧. 1 3. (q ∧ p) → (¬¬s → ¬r) RISFE, Ctrp, 2 4. (q ∧ p) → (s → ¬r) RISFE, EDN. 3 5. (q ∧ p) ∧ s → ¬r Imp. 4 6. (q ∧ s) ∧ p → ¬r RISFE, Asoc.∧ 5. 7. (q ∧ s) → (p → ¬r) Exp. 6 ------8. ((p ∧ q) → (r → ¬s)) → ((q ∧ s) → (p → ¬r)) (I→)1-7

XVI) Simbolice los siguientes razonamientos indicando el código empleado, y pruebe su validez utilizando las reglas básicas y/o derivadas de la Lógica de Enunciados.

Ejemplos :

a. La inflación se detendrá sólo si disminuye la emisión de moneda. La emisión de moneda no disminuye. Por lo tanto, la inflación no se detendrá.

Código: p : La inflación se detendrá. q : Disminuye la emisión de moneda. Simbolización: p → q , ¬q ⏐– ¬p Prueba formal de validez: 1. p → q 2. ¬q ------3. p 4. q (E→) 1 y 3 ------5. ⊥ (E¬) 4, 2 6. ¬p (I¬). 3 - 5

Otra forma de probar la validez del mismo razonamiento: 1. p → q 2. ¬q 3. ¬p MT 3,2.

b. O los precios bajan o hay insatisfacción e intranquilidad social. Puesto que si hay sobreproducción, los precios bajan. Pero si no hay sobreproducción, las fábricas suspenden el trabajo. Además, si las fábricas suspenden el trabajo, el número de desempleados aumenta. Y si hay más desempleados, hay insatisfacción e intranquilidad social.

Código: p: Los precios bajan; q: Hay insatisfacción; r: Hay intranquilidad social; s: Hay sobreproducción; t: Las fábricas suspenden el trabajo; u: El número de desempleados aumenta Simbolización: s → p, ¬s → t, t → u, u → q ∧ r ⏐– p ∨ (q ∧ r) Prueba formal de validez: 1. s → p 2. ¬s → t, 3. t → u 4. u → q ∧ r 5. s ∨ ¬s PTE 6. ¬s → u SH. 2 y 3 7. ¬s → q ∧ r SH 6 y 4 8. p ∨ (q ∧ r) DCC. 5, 1 y 7

1. Este libro es superfluo o falso. Pues, o coincide con las verdades reveladas en el texto sagrado, o no lo hace. Pero si coincide, entonces es superfluo, y si no coincide, es indudablemente falso.

2. Si estoy destinado a desaprobar este examen, es inútil que me esfuerce estudiando; si no es así, no hace falta que lo haga. En consecuencia, o es inútil o no hace falta que me esfuerce estudiando, dado que o estoy destinado a desaprobar este examen o no lo estoy.

3. Si juego al tenis o practico natación, entonces participo en torneos y obtengo medallas. Pero no es cierto que obtengo medallas. Por lo tanto, no practico natación.

4. Si aumenta el precio del petróleo, EEUU invadirá Venezuela o Dubai. Ahora bien, EEUU no invadirirá Venezuela ni Dubai. De aquí se infiere que no aumentará el precio del petróleo.

5. Sólo si hubo evidencia de fraude electoral, intervendrá el poder judicial y se realizará nuevamente el escrutinio. En consecuencia, no intervendrá el poder judicial o no se realizará nuevamente el escrutinio, pues no hay evidencia de fraude electoral.

6. Si estudio filosofía, me dedicaré a la docencia o a la investigación. Por consiguiente, si estudio filosofía, no ganaré mucho dinero. Ya que, si me dedico a la docencia no ganaré mucho dinero, y si me dedico a la investigación tampoco.

7. Los criminales eran extranjeros o analfabetos. Si entre los indicios hallados en la casa de los ladrones había recortes de periódicos, entonces, si eran relativos al robo, los ladrones no eran extranjeros ni tampoco analfabetos. Luego, o no había recortes de periódicos, o no eran relativos al robo.

8. Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, Juan no vio partir el coche de Andrés. O Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. Por lo tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen, dado que el reloj está adelantado.

XVII) Pruebe la validez de los siguientes razonamientos utilizando las reglas básicas de la Lógica de Predicados de Primer Orden.

Ejemplo (a) :

∀x (Px → ¬Qx) , ∀y (Ry → Py) ⏐– ∀z (Rz → ¬Qz) Prueba formal de validez:

1. ∀x (Px → ¬Qx) 2. ∀y (Ry → Py) 3. Pb → ¬Qb (E∀). 1 4. Rb → Pb (E∀). 2

------5. Rb 6. Pb (E→) 4, 5

------7. ¬Qb (E→) 3, 6 5. Rb → ¬Qb (I. →) 4, 3 6. ∀z (Rz → ¬Qz) (I∀). 5


1. ∀x Px ∧ ∀x Qx ⏐– ∀x (Px ∧ Qx) 2. ∀x (Px → Qx) , ∀y ¬Qy ⏐– ∀x ¬Px 3. ∀y Py , Pa → ∀x Qx ⏐– ∀z Qz 4. ∀z Pz ∨ ∀x Qx ⏐– ∀y (Py ∨ Qy) 5. ∀y (Qy → ¬Ry) , ∀x (Px → Qx) ⏐– ∀z (Pz → ¬Rz) 6. ∀y (Py → Qy) , ¬∃z Qz ⏐– ∀x ¬Px 7. ∀x (Rx →Px) , ∀z (Pz → ¬Sz) , ∀y (Ry ∧ Qy → Sy) ⏐– ∀x (Rx → ¬(Px → Qx)) Ejemplo (b) :

∃x (Px ∧ Qx) ⏐– ∃y Py ∧ ∃z Qz

Prueba formal de validez:

1. ∃x (Px ∧ Qx) -------2. Pa ∧ Qa 3. Pa (E∧) 2 4. Qa (E∧) 2 5. ∃y Py (I∃) 3 6. ∃z Qz (I∃) 4 --------7. ∃y Py ∧ ∃z Qz (I∧). 5, 6 8. ∃y Py ∧ ∃z Qz (E∃) 1, 2 - 7

Ejercicios propuestos: 8. ∀x (Px → ¬Qx) , Qa ⏐– ∃x ¬Px 9. ∃y (Py ∧ ¬Qy) , ∀z (Pz → Rz) ⏐– ∃x (Rx ∧ ¬Qx) 10. ∃x ( (Px ∧ Qx ) ∧ Rx) , ∀y (Py → Sy) ⏐– ∃z (Pz ∧ Sz) 11. ∃x (Px ∨ Qx) ⏐– ∃y Py ∨ ∃z Qz 12. ∀y (Py → (Qy ∨ Ry)) , ∃z (Sz ∧ ¬Rz) , ∀x (Qx → Tx) ⏐– ∃x (Px → Tx) 13. ∀x(Rx → Px) ∧ Qa , ∃x Px→ ∀y ¬Qy ⏐– ¬∃x (Px ∨ Rx)

XVIII) Pruebe la validez de los siguientes razonamientos utilizando tanto las reglas básicas como las derivadas de la Lógica de Predicados de Primer Orden.

Ejemplo (a) :

∀x (Px → ¬Qx) , ∀y (Ry → Py) ⏐– ∀z (Rz → ¬Qz) Prueba formal de validez:

1. ∀x (Px → ¬Qx) 2. ∀y (Ry → Py) 3. Pb → ¬Qb (E∀). 1 4. Rb → Pb (E∀). 2 5. Rb → ¬Qb (SH) 4, 3 6. ∀z (Rz → ¬Qz) (I∀). 5

Ejercicios propuestos: 1. ∀x (Rx → ¬Qx) , ¬∃x ¬(Px → Qx) ⏐– ∀x (Px → ¬Rx) 2. ¬∃x ¬(Px ∨ Qx →Rx) , Pa ⏐– ∃y Ry 3. ∀y (Qy ↔ Ry) , ∃z (Pz ∧ Qz) ⏐– ¬∀x (Px → ¬Rx) 4. ∀x (Px ↔ ¬Rx) , ∃y (Py ∧ Qy) ⏐– ∃x ¬Rx 5. ∀x (Px ∧ Qx → Rx) , ∃z (Qz ∧ ¬Sz) ⏐– ∃x (¬Px ∨ Rx) 6. ¬∀z (Pz → ¬Qz) ⏐– ¬∀x Rx ∨ ∃x Qx 7. ¬∀x ¬(¬Px → Qx) ⏐– ∀z ¬Pz → ∃x Qx 8. ∀y(¬Qy → ∀x Rxy) , ∀z(Tz → ∃y(Sy ∧ ¬Rzy) ) ⏐– (¬∃x(Sx ∧ Qx) →¬∃yTy) 9. ∃xPx → (Qa ∨ Ra) ⏐– (¬Qa ∧ ∃xPx) → Ra 10. ∀y(Pya → Qyb) ⏐– ∀yPya → ¬∃x (Pxa ∧ ¬ Qxb)

XIX) Demuestre los siguientes teoremas utilizando las reglas básicas de la Lógica de Predicados de Primer Orden.

Ejercicios propuestos: 1. ⏐– ∀x (Px → Qx) → ∃x ¬(Px ∧ ¬Qx) 2. ⏐– ∀x Px → ∃x Px 3. ⏐– ∀x Px ↔ ∀y Py

4. ⏐– ∃x Px ↔ ∃y Py 5. ⏐– (∀z Pz ∨ ∀yQy) → ∀x (Px ∨ Qx) 6. ⏐– ∀x (Px ∧ Qx → Rx) → (∃y Py → (∀x Qx → ∃x Rx)) 7. ⏐– ∃x (Px → Qx ∨ Rx) → (∀z Pz → ∃x (¬Qx → Rx)) 8. ⏐– ∃x (Px ∧ Qx) → (∃z Pz ∧ ∃y Qy) 9. ⏐– (∃z Pz ∧ ∀x Qx) → ∃y (Py ∧ Qy) 10. ⏐– ∀z (Pz → Qz) → (∀y Py → ∀x Qx) 11. ⏐– ∀x (Px → Qx) → (∃x Px → ∃x Qx) 15. ⏐– ∀x (Px ↔ Qx) → (∀z Pz ↔ ∀y Qy) 16. ⏐– ∀z (Pz ↔ Qz) → (∃x Px ↔ ∃y Qy) 17. ⏐– ( ∀y(Tyc → Qyb) ∧ ∀yTyc ) → ¬∃x (Txc ∧ ¬ Qxb)

XX) Demuestre los siguientes teoremas utilizando tanto las reglas básicas como las reglas derivadas de la Lógica de Predicados de Primer Orden.

Ejemplo: (a). ⏐– ( (¬∃x(Px ∧ ¬Rx) → ¬∀x(Qx → Px)) ∧ ∀x(Px → Rx) )→ ∃x ¬ (¬Qx ∨ Px)

Prueba formal de teorematicidad:

-------1. (¬∃x (Px ∧ ¬Rx) → ¬∀x (Qx → Px)) ∧ ∀x (Px → Rx) 2. ¬∃x (Px ∧ ¬Rx) → ¬∀x (Qx → Px) (E∧) 1 3. ∀x (Px → Rx) (E∧). 1 4. Pa → Ra (E∀). 3 5. ¬(Pa ∧ ¬Ra) Def. →/∧ ¬, 4 6. ∀x ¬(Px ∧ ¬Rx) (I∀). 5 7. ¬∃x (Px ∧ ¬Rx) N∃. 6 8. ¬∀x (Qx → Px) (E→) 2 y 7 9. ∃x ¬(Qx → Px) (N∀). 8 ---10. ¬(Qb → Pb) 11. ¬(¬Qb ∨ Pb) RISFE, Def. →/∨ ¬,10 ---12. ∃x ¬(¬Qx ∨ Px) (I∃). 11 ------13. ∃x ¬(¬Qx ∨ Px) (E∃). 9, 10-12 14. (¬∃x(Px ∧ ¬Rx) → ¬∀x(Qx → Px)) ∧∀x(Px → Rx) → ∃x¬(¬Qx ∨ Px) (I→). 1-13

Ejercicios propuestos: 1. ⏐– ∀y (Py ∨ Qy) → (∀x Px ∨ ∃x Qx) 2 ⏐– ¬((∃x Px → ∃x Qx) ∧ ¬∃y (Py → Qy)) 3. ⏐– ¬∃z (Pz → Qz) ∨ (∀x Px → ∃y Qy) 4. ⏐– ∀x ((Px → Px) ∨ (Px ∧ ¬Qx))

XXI) Simbolice los siguientes razonamientos indicando el código empleado, y pruebe su validez utilizando las reglas de la Lógica de Predicados de Primer Orden.

Ejemplo:

Algunos niños no son molestos. Los niños también son seres humanos. Luego, existen seres humanos que no son molestos.

Código: Px : x es un niño: Qx : x es molesto; Rx : x es un ser humano Simbolización: ∃x (Px ∧ ¬Qx) , ∀x (Px → Rx) ⏐– ∃x (Rx ∧ ¬Qx)

Prueba formal de validez:

1. ∃x (Px ∧ ¬Qx) 2. ∀x (Px →Rx) -------3. Pa ∧ ¬Qa 4. Pa → Ra (E∀) 2 5. Pa (E∧) 4 6. Ra (E→)3, 5 7. ¬Qa (E∧) 4 8. Ra ∧ ¬Qa (I∧)6, 7 --------9. ∃x (Rx ∧ ¬Qx) (I∃) 8 10. ∃x (Rx ∧ ¬Qx) (E∃) 1, 3 - 9


1. Algunos profesionales no son honestos o idóneos, ya que hay abogados que no son honestos ni idóneos, y cualquier abogado es profesional aunque ningún profesional idóneo es deshonesto.

2. Hubo asesinos seriales sagaces y meticulosos. Los asesinos seriales son criminales

peligrosos y audaces, pero no todos los criminales audaces son asesinos. Por lo tanto, algunos criminales fueron sagaces.

3. Toda sustancia derivada del petróleo es contaminante. Nada que sea contaminante es nutritivo.

De modo que ninguna sustancia derivada del petróleo es producto lácteo, pues es falso que algunos productos lácteos no son nutritivos.

4. Algunos miembros de la Corte Suprema no cumplen con todos sus deberes. Pues no es cierto

que cualquier miembro de la Corte Suprema sea imparcial. Sin embargo, todos ellos son jueces, y ningún juez que no sea imparcial cumple con todos sus deberes.

5. Ningún avión del escuadrón del Barón Rojo estaba camuflado. El Fokker D-1 era avión del

escuadrón del Barón Rojo. Pero todos los aviones del escuadrón del Barón Rojo eran cazas alemanes. Así que el Fokker D-1 era un caza alemán que no estaba camuflado.

XXII) Pruebe la validez de los siguientes razonamientos utilizando las reglas de la Lógica de Predicados de Primer Orden.

Ejemplo: ∀x (Px → ∀y (Qy → Rxy)); ∃x (Px ∧ ∀y ¬Rxy) ⏐– ∃x ¬Qx Prueba formal de validez: 1. ∀x (Px → ∀y (Qy → Rxy)) 2. ∃x (Px ∧ ∀y ¬Rxy) -----3. Pa ∧ ∀y ¬Ray 4. Pa (E∧). 3 5. ∀y ¬Ray (E∧). 3 6. Pa → ∀y (Qy → Ray) (E∀). 1 7. ∀y (Qy → Ray) (E→). 6 y 4 8. Qb → Rab (E∀) 7 9. ¬Rab (E∀). 5 10. ¬ Qb MT. 8 y 9 ----11. ∃x ¬Qx (I∃). 10 12. ∃x ¬Qx (E∃). 2, 3-11

Ejercicios propuestos: 1. ∀x (Pxa → Pxb) , Pca ⏐– Pcb

2. ∀x (Px → Qxa) , ∀x (Qxa → Rx) ⏐– ∀y (Py → Ry)

3. ∃x Pxx ⏐– ∃x ∃y Pxy

4. ∃x ∀y Pxy ⏐– ∀y ∃x Pxy

5. ∀y (Py → Qy) ⏐– ∀x∀y (Rxy ∧ Py → Rxy ∧ Qy)

6. ∃x ∃y Pxy ⏐– ∃y ∃x Pxy

7. ∀x (∃y Pyx → ∀z Pxz) ⏐– ∀y ∀z (Pyz → Pzy)

8. ∀x (Pax → Qxb); ∃x Qxb → ∃yQby ⏐– ∃x Pax → ∃yQby

9. ∃x ∀y (∃z Pyz → Pyx); ∀y ∃z Pyz ⏐– ∃x ∀y Pyx

10. ∀x((Px ∧ Qx) → ¬∃y((Sy ∧ Ty) ∧ Rxy)) , ∀x(Sx → Tx) ∧ ∀x(Sx → Rxx) ⏐– ¬∃x(Sx ∧ (Px ∧ Qx) ) XXIII) Demuestre los siguientes teoremas utilizando las reglas de la Lógica de

Predicados de Primer Orden.

Ejemplo: ⏐– ∀x ∀y (Px → Qy) → ∃x ¬Px ∨ ∀y Qy

--------------1. ∀x ∀y (Px → Qy) 2. Pa → Qa (E∀) 1 --------3. ¬(∃x ¬Px ∨ ∀y Qy) 4. ¬∃x ¬Px ∧ ¬∀y Qy DM 3 5. ¬∃x ¬Px (E∧) 4 6. ¬∀y Qy (E∧) 4 7. ∀x Px (N∀) 5 8. Pa (E∀) 7 9. Qa (E→) 2, 8 10. ∀y Qy (I∀) 9 -------11. ∀y Qy ∧ ¬∀y Qy (I∧). 10, 6 12. ¬¬(∃x ¬Px ∨ ∀y Qy) (I¬). 3 - 11 -------------13. ∃x ¬Px ∨ ∀y Qy DN 12 14. ∀x ∀y (Px → Q) → ∃x ¬Px ∨ ∀y Qy (I→) 1 - 13

Ejercicios propuestos: 1. ⏐– ∀x ∀y (Px ∧ ¬Qy) → ∃x Px ∧ ¬∀y Qy 2. ⏐– ∀x∀y(Pxy→Qxy) ∧ ∀x∀y(Pxy ∨ Rxy) ∧ ∀x∀y(Rxy → Pxy) → ¬∀x∀y¬Qxy 3. ⏐– ∃x ∃y ( ((Pxy → Qxy) ∧ (∃z Rzx ∧ ¬Qxy) )→ ¬Pxy)

4. ⏐– ∃x (Px ∧ ∀y (Py → Qyx)) → ∃x (Px ∧ Qxx) 5. ⏐– ∃x (Px ∧ ∀y (Qy → Ryx)) → (∀x (Px → Qx) → ∃y (Qy ∧ Ryy)) 6. ⏐– ∃x (Px ∧ ∀y (Qy → Ryx)) ∧ ¬∃x (Px ∧ ¬Qx) → ∃y (Qy → Ryy) 7. ⏐– ∀x ∃y (Px → Ryx) → ∀x (Px → ∃y Ryx) 8. ⏐– ∀y(¬Qy → ∀xRxy) → (∀z(Tz → ∃y(Sy ∧ ¬Rzy)) → (¬∃x(Sx ∧ Qx) →¬∃yTy) )

9. ⏐– ∀x(∃y(Pxy ∧¬Qy) → (Qx → ∃yPxy)) XXIV) Simbolice los siguientes razonamientos indicando el código empleado, y

pruebe su validez utilizando las reglas de la Lógica de Predicados de Primer Orden.

Ejemplo: Nadie contratará a una persona que no se respeta a sí misma. Por lo tanto, una persona que no respeta a nadie no será contratada por nadie.

Código: Pxy: x respeta a y; Qx: x es una persona; Rxy: x contrata a y Simbolización:

∀x ((Qx ∧ ¬Pxx) → ¬∃y Ryx) ⏐– ∀x ((Qx ∧ ∀y ¬Pxy) → ¬∃y Ryx)) Prueba formal de validez: 1. ∀x ((Qx ∧ ¬Pxx) → ¬∃y Ryx) ----------2. Qa ∧ ∀y ¬Pay 3. (Qa ∧ ¬Paa) → ¬∃y Rya (E∀). 1 4. Qa (E∧). 2 5. ∀y ¬Pay (E∧). 2 6. ¬Paa (E∀). 5 7. Qa ∧ ¬Paa (I∧). 4 y 6 ----------8. ¬∃y Rya (E→) 3 y 7 9. (Qa ∧ ∀y ¬Pay) → ¬∃y Rya (I→). 2-8 10. ∀x ((Qx ∧ ∀y ¬Pxy) → ¬∃y Ryx) (I∀). 9


1. Todos los socios de Juan son asesorados por Pedro. Por lo tanto, Pedro asesora a María, pues ella es socia de Juan.

2. El hombre bueno ama todo lo que es bueno. De aquí se sigue que el hombre bueno se ama a sí

mismo.

3. Ningún juez es imparcial. Pero los miembros de la Corte Suprema que son amigos de Méndez son jueces. En consecuencia, los miembros de la Corte Suprema que son amigos de Méndez no son imparciales.

4. Todo aquel que estafa a cualquiera es un delincuente. Luego, nadie estafa a todos, dado que no

hay delincuentes. 5. Los políticos son personas ambiciosas y deshonestas. Por lo tanto, quien elige ser representado

por algún político, elige ser representado por alguna persona ambiciosa y deshonesta. 6. No hay políticos que sean personas honestas. Ya que ninguna persona honesta vota algún político

ambicioso. Sin embargo, los políticos son ambiciosos, y cualquier político se vota a sí mismo. 6. El rey Arturo odia a la reina Ginebra. Ya que los amigos del caballero Lancelot odian a quienes

Lancelot ama, y el rey Arturo es amigo de Lancelot. Pero el caballero Lancelot ama a la reina Ginebra, aunque ella es la esposa del rey Arturo.

7. Dados dos números naturales cualesquiera, su suma es siempre mayor o igual que cada uno de

ellos. Por lo tanto, si, dados dos números, su suma no es mayor o igual que cada uno de ellos, entonces, o bien el primer número no es natural, o bien el segundo no lo es.

8. Ninguna empresa que comercialice algún producto agrícola abastece todos los mercados. Por

consiguiente, Solosoja S.A. no abastece todos los mercados, si Solosoja S.A. es una empresa que comercializa algunos cereales y oleaginosas. Dado que todos los cereales y las oleaginosas son productos agrícolas.

9. Ningún senador, cualquiera sea la provincia que represente, respeta todas las leyes. Esto se

infiere de que ningún senador que sea sobornado respeta todas las leyes. Pero todos los senadores que representaban alguna provincia fueron sobornados.

10. Hay ríos que nacen en alguna zona lluviosa pero no son caudalosos. Pues el Nilo es un río que

nace en el Lago Victoria y atraviesa Sudán. Pero ningún río que atraviese una región desértica es caudaloso. Ahora bien, los ríos que nacen en el Lago Victoria nacen en alguna zona lluviosa. Además, cualquier río que atraviese Sudan atraviesa alguna región desértica.

XXV) Suministre, si es posible, una interpretación para los siguientes conjuntos de fórmulas que constituya un modelo de dichos conjuntos.

Ejemplo (a):

a) ∀x ∃y Rxy Una interpretación posible de esta fórmula es la siguiente: Universo del discurso U: conjunto de los números enteros. Función de interpretación I(R): { ⟨x,y⟩ / x + y = 0}

Según esta interpretación, R es la relación que asigna a cada número entero su opuesto, es

decir que y=-x. Esta interpretación es modelo pues es verdadero que cada número entero tiene un

opuesto, o simétrico, con respecto a la operación suma.

Sea, en cambio, la función de interpretación I(R): { ⟨x,y⟩ / y = x1/2} en el mismo universo

del discurso. Esta interpretación no es modelo, pues no es cierto que todo número entero x tenga

otro número entero y tal que y sea la raíz cuadrada de x. Por ejemplo, si x=2, no existe un número

entero y= 21/2

Otra interpretación posible de la misma fórmula es la siguiente: Universo del discurso U: conjunto de los seres vivos. Función de interpretación I(R): { ⟨x,y⟩ / y es progenitor de x} Esta interpretación es modelo porque todo ser vivo tiene un progenitor.

Sea, en cambio, la función de interpretación I(R): { ⟨x,y⟩ / x es progenitor de y} en el mismo

universo del discurso. Esta interpretación no es modelo ya que no es cierto que todo ser vivo tenga

un hijo.

Ejemplo (b): b) ∀x ∀y (Rxy → Ryx) ∃x ∃y (Rxy ∧ ¬Ryx)

Este conjunto de fórmulas es insatisfactible, pues cada una de ellas es la negación de la

otra, de modo que su afirmación conjunta resulta una contradicción.

Como el conjunto de fórmulas considerado es insatisfactible, ninguna interpretación

puede hacer verdaderas a ambas fórmulas simultáneamente, de modo que ninguna

interpretación posible será un modelo.

Ejercicios propuestos: 1. ∃y ∀x Rxy

2. ∀x ∀y (Rxy → Ryx)

3. ∀x ∀y (Rxy → ¬Ryx)

4. ∀x Rxx

∀x ∃y Rxy

5. ∀x ¬Rxx

∀x ∃y Ryx

6. ∀x Rxx

∀x ∀y (Rxy → Ryx)

∀x ∀y ∀z (Rxy ∧ Ryz → Rxz)

7. ∀x Rxx

∀x ∀y (Rxy → ¬Ryx)


8. ∀x Rxx

∀x ∀y (Rxy ∧ Ryx → x=y)


9. ∀x ¬Rxx

∀x ∀y (Rxy → ¬Ryx)


XXVI) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si las siguientes fórmulas son tautologías, contradicciones o contingencias. a) Ejemplo: p ∨ (p → q) El árbol formado a partir de la negación de la fórmula es cerrado. Luego la fórmula es una tautología.

√¬(p ∨ (p → q)) |

¬p |

√¬(p→q) | p |

¬q | x

b) Ejemplo: ¬p → q ∧ p El árbol formado a partir de la negación de la fórmula no es un árbol cerrado. Luego la fórmula no es una tautología. ¬(¬p → q ∧ p) | ¬p | ¬(q ∧ p) / \ ¬q ¬p El árbol formado a partir de la fórmula no es un árbol cerrado. Luego la fórmula no es una contradicción. ¬p → q ∧ p / \ ¬¬p q ∧ p | | p q |

p Dado que no son árboles cerrados ni el formado a partir de la fórmula ni el formado a partir de su negación, la fórmula es contingente. Ejercicios propuestos: 1. (p ↔q) → (¬p → ¬q)

2. p ∧ q ↔ ¬p ∨ ¬q

3. (p → q ∨ ¬p) → ¬q

5. (p → q) ∨ (q ↔ p)

6. ¬(p ∧ q) ↔ ¬(p → ¬q)

7. p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

8. (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ r) → q

XXVII) Indique cuáles de las fórmulas del ejercicio XXVI son teoremas o fórmulas lógicamente verdaderas y cuáles son fórmulas lógicamente falsas.

XXVIII) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si los siguientes conjuntos de fórmulas son consistentes o inconsistentes. Ejemplo: {((q ∨ r) ∧ p), ¬(r → p)}. El conjunto de fórmulas es inconsistente, pues el árbol generado a partir de sus miembros es un árbol cerrado. (q ∨ r) ∧ p. | ¬(r → p) | r | ¬p | q ∨ r | p / \ q r | | X X Ejercicios propuestos: 1. {((p→ q) → r, ¬(r ∨ q)}. 2. {¬(p ↔ q ) ∧ ¬q, ¬(p ∨ ¬(p→ q))} 3. {(p ↔ q) ∨ ¬t, ¬(t → (q → p ∨ ¬t ))} 4. {¬(p ∧ ¬q) ∨ ¬(q → p), ¬ ((p ↔ q) ∨ (q ∧ p))}.

XXIX) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si los siguientes razonamientos son válidos o inválidos. En caso de que sean inválidos construya una valuación booleana que sea un contraejemplo: Ejemplo: ¬p → ¬q, ¬(q ∨ ¬r) ⏐– p ↔ r El razonamiento es inválido, pues da lugar a un árbol abierto.

√¬p → ¬q |

√¬(q ∨ ¬r) |

¬(p ↔ r) |

¬q |

¬¬r | r

/ \ ¬¬p ¬q

| / \ p ¬p p

/ \ | | ¬p p r ¬r

| | | r ¬r X

| | X X

La valuación booleana generada por la rama abierta es: V(p)=f, V(q)=f, V(r)=v Ejercicios propuestos: 1. ¬p ↔ ¬(q ∨ r), ¬(p ∧ (q →r)) ⏐– p ∨ q. 2. ¬(p → ¬r), q→ ¬s, p ∨ r ⏐– ¬(q ↔ p). 3. p → (q ∨ r) , ¬(¬q ∧ ¬r) → t , p ∧ s ⏐– t ∨ u XXX) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si los siguientes conjuntos de enunciados son consistentes o inconsistentes. En caso de que sean consistentes construya una valuación que sea modelo del conjunto. Ejemplo: {¬∀x(Px ∨ Qx), ∃y (Py ↔ ¬Qy)}.

El conjunto de fórmulas es consistente pues el árbol formado a partir de sus fórmulas componentes resulta abierto.

√¬∀x(Px ∨ Qx) |

√∃y (Py ↔ ¬Qy) |

¬(Pa ∨ Qa) |

Pb ↔ ¬Qb |

¬Pa |

¬Qa / \

Pb ¬Pb | |

¬Qb ¬¬Qb |

Qb Ejercicios propuestos: 1. {∃x ¬Rx ↔ ∀yQy, ∀z(Pz ∨ Qz → Rz)} 2. {∃x (Px ∧ ¬Qx) , ∀y (Py → Ry), ¬∃x (Rx ∨ ¬Qx)} 3. {∀x (Px ↔ ¬Rx) ¬(∃x (Px ∧ Qx) → ∃x ¬Rx)} 4. {¬∀xPx → ∀xQx, ∃x¬Qx, ∃x(Qx ∧ ¬Px)} XXXI) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si las siguientes fórmulas son leyes lógicas. Ejemplo: ∀x(Px ∨ (Px→Qa)) Esta fórmula es una ley lógica, pues el árbol obtenido a partir de su negación es cerrado, de modo que es un teorema de T.

√¬∀x(Px ∨ (Px→Qa)) |

√¬(Pb ∨ (Pb→Qa)) |

¬Pb |

√¬(Pb→Qa) |

Pb |

¬Qa |

X

Ejercicios propuestos: 1. ⏐– ∀x (Px → Qxc) → (¬Qac → Pa) . 2. ⏐– (∃x Px ↔ ∃x Qx) → ¬∀x (Px ↔ ¬Qx) 3. ⏐– ∀x (Px ↔ Qx) → (∃x (Rx ∧ Px) ∨ ∀x (Rx → ¬Qx)) 4. ⏐– (∀x (Rx → ¬Qx) ∧ ¬∃x ¬(Px → Qx)) → ∀x (Px → ¬Rx) XXXII) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si los siguientes razonamientos son válidos o inválidos. En caso de que sean inválidos construya una valuación que sea un contraejemplo: Ejemplo: ¬∃x (Px ∨ Qx) ⏐– ∀x(Qx ∧ ¬Px). No es un razonamiento válido pues el árbol formado a partir de las premisas y la negación de la conclusión es abierto.

¬∃x (Px ∨ Qx) |

√¬∀x(Qx ∧ ¬Px). |

¬(Qa ∧ ¬Pa) |

√¬(Pa ∨ Qa) |

¬Pa |

¬Qa / \

¬Qa ¬¬Pa |

Pa |

X Valuación que constituye un contraejemplo: V(Pa)=f, V(Qa)=f. Ejercicios propuestos: 1. ∃x (Px ↔ Qx) ∨ Ra ⏐– ¬∀x(Px ∧ Rx) ∧ ∃yQy. 2. ¬∀x (Px ∨ Qx), ∃x(Rx → Pb ∨ Qx), ⏐– ∃z ¬Pz. 3. ∀x (Px → Qx), (¬∃x (Px ∧ ¬Qx) → ¬∀x (Rx → Px)) ⏐– ∃x ¬ (¬Rx ∨ Px)

XXXIII) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si los siguientes conjuntos de enunciados son consistentes o inconsistentes. En caso de que sean consistentes construya una valuación que sea modelo del conjunto. Ejemplo:

{ ∃x∀yRxy, ∃x¬Rxx} El conjunto de fórmulas es consistente, pues el árbol generado a partir de sus miembros es abierto.

√∃x∀yRxy |

√∃x¬Rxx |

∀yRay |

¬Rbb |

Raa |

Rab

La valuación es: V(Rab)=v, V(Raa)=v, V(Rbb)=f. (V(Rba)=v o V(Rba)=f.). Ejercicios propuestos: 1. {¬∃x Pxx, ∀x∀y(Pxy ∨ Pyx)} 2. {∀x ∀y (Pxy → Pyx), ∃x ∃y (Pxy ∧ ¬Pyx)} 3. {∀x ((Px ∧ ¬Qxx) → ¬∃y Ryx), ¬∀x ((Px ∧ ∀y ¬Qxy) → ¬∃y Ryx))} 4. {∀x ∃y(Pxy → ¬Pyx), ∃x∀yPxy} 5. {¬∃x Pxx, ∀x ∀y (Pxy → ¬Pyx), ∀x ∀y ∀z (Pxy ∧ Pyz → Pxz)} XXXIV) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si las siguientes fórmulas son leyes lógicas. Ejemplo: ⏐– ∃x ∃y ((Pxy → Qxy) ∧ (∃z Rzx ∧ ¬Qxy) → ¬Pxy) Esta fórmula es una ley lógica, pues el árbol obtenido a partir de su negación es cerrado, de modo que es un teorema de T.

XXXV) Determine mediante el sistema T (sistema de árboles lógicos) si los siguientes razonamientos son válidos o inválidos. En caso de que sean inválidos construya una valuación que sea un contraejemplo: Ejemplo:

∃x Pxx ⏐– ∃y∀xPxy No es posible demostrar la invalidez de este razonamiento, ya que el árbol es infinito. √ ∃x Pxx | ¬∃y∀xPxy | Paa | ¬∀xPxa | ¬Pba | ¬∀xPxb | ¬Pcb | etc.... Ejercicios propuestos: 1. ∃x (Px ∧ ∀y (Py → Qyx)) ⏐– ∃x (Px ∧ Qxx) 2. ∃x∀z(Px ∧ Qx → Rxz) ⏐– ∃x(Px → ∀zRxz) 3. ∀x (∃y Pyx → ∀z Pxz) ⏐– ∀y(∃zPyz → ∃zPzy) 4. ∀x∀y(Pxy→Qxy) ∧ ¬∃x∃y(¬Pxy ∧ ¬Rxy) ∧ ∀x∀y(Rxy → Pxy) ⏐– ∃x∃yQxy

XXXVI) Dados los siguientes circuitos, encuentre el circuito equivalente más simple. Ejemplo:

1. (A ∧ ((¬B ∧ C) ∨ B)) ∨ ((( ¬C ∨ A) ∧ ¬B) ∨ C) 2. (A ∧ (B ∨ (¬B ∧ C))) ∨ ((( ¬C ∨ A) ∧ ¬B) ∨ C) Conm. Disy., RI. 1. 3. (A ∧ ((B ∨ ¬B) ∧ (B ∨ C)) ∨ ((( ¬C ∨ A) ∧ ¬B) ∨ C) Distr.Disy., RI. 2 4. (A ∧ ((B ∨ ¬B) ∧ (B ∨ C)) ∨ (C ∨ (( ¬C ∨ A) ∧ ¬B)) Conm. Disy., RI. 3 5. (A ∧ ((B ∨ ¬B) ∧ (B ∨ C)) ∨ ((C ∨ ( ¬C ∨ A)) ∧ (C ∨ ¬B)) Distr. Disy., RI. 4 6. (A ∧ (B ∨ C)) ∨ ((C ∨ ( ¬C ∨ A)) ∧ (C ∨ ¬B)) Conj. c/Taut., RI. 5 7. (A ∧ (B ∨ C)) ∨ (((C ∨ ¬C) ∨ A) ∧ (C ∨ ¬B)) Asoc. Disy., RI. 6 8. (A ∧ (B ∨ C)) ∨ ((C ∨ ¬C) ∧ (C ∨ ¬B)) Disy. c/Taut., RI. 7 9. (A ∧ (B ∨ C)) ∨ (C ∨ ¬B) Conj. c/Taut., RI. 8 10. (C ∨ ¬B) ∨ (A ∧ (B ∨ C)) Conm. Disy. 9 11. ((C ∨ ¬B) ∨ A) ∧ ((C ∨ ¬B) ∨ (B ∨ C)) Distr. Disy. 10 12. ((C ∨ ¬B) ∨ A) ∧ ((C ∨ ¬B) ∨ (C ∨ B)) Conm. Disy., RI. 11 13. ((C ∨ ¬B) ∨ A) ∧ ((C ∨ C) ∨ (¬B ∨ B)) Asoc. Disy., RI. 12. 14. ((C ∨ ¬B) ∨ A) ∧ (¬B ∨ B) Disy. c/Taut., RI. 13 15. A ∨ (C ∨ ¬B) Conm. Disy. y Conj. c/Taut. 14


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tpspehrs2012

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