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8/15/2019 TP4_FunPol

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U N de Cuyo – F. Ingeniería Ingreso - MatemáticaIng. Gladys Astargo

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4

FUNCIONES POLINÓMICASEn este eje intentaremos continuar desarrollando en los estudiantes la competencia básica deResolución de Problemas y además las siguientes competencias específicas

1. Analizar una función o un fenómeno físico o químico sencillo a partir de su representación gráficay/o a partir de sus ecuaciones matemáticas.

2. Resolver problemas sencillos de Matemática, Física y Química aplicando modelos matemáticos.

Contenidosconceptuales

Habilidades y destrezas Indicadores de Logro

Inherentes a la Resolución de Problemas vistos en elTP 1

Funcionespolinómicas.

Factorización.Funcionesracionales.

Comparación entre polinomios

y expresiones algebraicas Análisis y aplicación de lasoperaciones con funcionespolinómicas.

Aplicación del teorema delresto a la clasificación de loscasos de divisibilidad.

Aplicación de la divisibilidadde polinomios a factorizacióny obtención del mcm y MCD.

Análisis (determinación deldominio y ceros.) y aplicación

de las operaciones confunciones racionales.

• Identifica datos e incógnitas.

• Completa la información necesaria recurriendo aotras fuentes: observación, experimentación, textos,Internet y otras.

• Plantea y usa ecuaciones adecuadas.• Usa la notación adecuada.• Opera con números reales en forma correcta.• Usa y realiza las conversiones de unidades

necesarias.• Analiza las soluciones aritméticas halladas,

vinculándolas con el problema planteado.• Comunica el/los resultado/s en forma adecuada.

Una expresión algebraica1 es una combinación cualquiera de varias variables y constantes, relacio-nadas un número finito de veces por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división,potenciación y radicación.

Si las variables están sometidas a las cuatro operaciones racionales: adición, sustracción, multiplica-ción y división, entonces la expresión algebraica se llama racional.

Si las operaciones a que están sometidas las variables son solamente adición, sustracción y multiplica-

ción (incluyendo potencias de exponente natural), la expresión algebraica se llama entera.En particular si la expresión algebraica racional entera tiene una sola variable, se llama polinomio.

La expresión general de una función polinómica (o polinomio) de grado ‘n’ en la variable ‘x’, es:

P(x) = a n xn + a n−1 x

n−1 + ... + a 2 x2 + a 1 x + a 0 con a n ≠ 0

Donde a0 se llama………………………., los ai (con i = 1, 2,.., n) se llaman………………….., y sonnúmeros (reales o complejos). Su dominio natural es……….

Ejemplos:

P(x) = 3 x4 + 5 x3 – x + 4 es un polinomio de grado 4, en función de ‘x’, siendo a4 =3, a3 =5, a2 =0,

a1 = –1 y a0= 4Q(t) = –5 t3 + ½ t2 – t + 1 es un polinomio de grado 3 en función de ‘t’.

1 Definición dada en Rey Pastor, Pi Calleja, Trejo. Análisis Matemático. Ed. Kapeluz


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1) Indica grado y variable en los siguientes polinomios:

a) Q(x) = 3 x 4 – 2 x 3 + 8 su grado es........... y la variable independiente.......

b) R(s) = 2 a 2 + 4 s3 – ½ s5 su grado es............ y la variable independiente.......

c) T(x) = 3 a 2

− b su grado es............ y la variable independiente.......2) Indica si las siguientes expresiones son funciones polinómicas o no:

a) 3x2 + 43 – ln (x+3) SI NO

b) 4x2 + 54

x – 2 SI NO

c)4

3 x – sen 45º SI NO

d) 7 + 2 (x+1)3 + sen π SI NO

e) 2 (x+4)–1

− 3x2

SI NO

3) Dos polinomios son iguales cuando..........................................

Completa la tabla con los valores de las constantes, de manera que las funciones sean iguales:

a) P(x) = (c – a) x 3 + b x 2 + c x + b + d y Q(x) = x 3 – x 2 + 4 x –6

b) R(x) = (a + b) x 3 + (c + d) x 2 –5 x +5 y T(x) = x 3 + 7 x 2 + (c – 2d) x + a – 2b

a b c d

a)

b)

4) Dados los polinomios:

P(x) = 5 x 2 – 3 x; Q(x) = 2 x 3 − 3 x 2 + 4; S(x) = x +2; y T(x) = 2 x 3 + 5 x 4 –5 x – 2;realiza las operaciones indicadas y completa el grado:

a) L(x) = P + 2Q grado de l(x) =..........

b) M(x) = Q . S grado de m(x) =..........

c) N(x) = T : P grado de n(x) = ..........

d) P(x) = s2 grado de p(x) =...........

5) Encuentra el valor de las funciones Q(x) y S(x) para cada ‘x’ indicadoa) Q(x) = x 3 + 4 x 2 +5 x + 4 para x = −2

b) S(t) = t 3 – 5 t 2 + 8 t − 4 para x = 1

6) Si x1 = –1 es un cero de P(x) = 4x4 + ax3 + 3x2 – 2ax –2, entonces a =...............

REPASA En una división de polinomios: D(x) : d(x) se obtiene un cociente C(x) y un resto R(x), tal

que D(x) = d(x). C(x) + R(x) ⇔ )x(d

)x(D=….

Un polinomio es divisible por otro cuando.........................................................................................

Cuando el divisor es de la forma x – a podemos averiguar la divisibilidad más fácilmente por elteorema del Resto, que en símbolos, dice: R(x) =.....................

Además se puede efectuar la división aplicando la regla de Ruffini. Repásala


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7) ¿Cuál es el polinomio que dividido por x–2 tiene cociente C(x) = 2 x3 + 7 x2 + 6 x − 2 y resto R(x)= 3?

8) Aplicando el teorema del resto contesta:

a) ¿Por cuál binomio es divisible S(t) del ejercicio 5? Verifica.

b) ¿Es Q(x) divisible por (x+2)? ¿Por qué?

c) ¿Cuánto debería valer el término independiente de Q(x) para que sea divisible por x–2?

9) Indica con una cruz si los polinomios que siguen son divisibles por (x+3) o no

p i (x) = Realiza acá tus cálculos SI NO

a) p1(x) = x 2 – 32

p2(x) = x 3 + 33 b)

c) p3(x) = x 2 + 3x

d) p4(x) = x4 + 3 x3 + 9 x2 + 27 x + 81

e) p5(x) = x2 + 1

f) p6(x) = x4 + 1

10) Encuentra el cociente y resto aplicando regla de Ruffini:

a) (4x4 - 3x2 - 1) : (x-1)

b) (3x4 + 2x3 - 4x2 + 3x +1) : (x + 2)

REPASA: Potencias de un binomio (a + b) 2 =(a + b)⋅ (a + b) = a 2 + 2 ab + b 2

(a − b) 2 = (a − b) ⋅ (a − b) = a 2 − 2 ab + b 2 que no es lo mismo que (a−b) ⋅ (a+b) = a 2 − b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Casos de factoreo. Factorizar una expresión significa expresarla como un producto de dos o másfactores. El siguiente es un resumen de los casos comunes. El tercero y cuarto casos son lasoperaciones recíprocas de desarrollar la potencia correspondiente de un binomio.

1) Factor común.

2) Factor común en grupo∗ Ej.: 6x 2 + 10ax + 15x + 25a = 2x (3x + 5a) + 5 (3x + 5a) = (3x + 5a).(2x + 5)

3) Trinomio cuadrado perfecto: a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2

4) Cuatrinomio cubo perfecto: (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

5) Diferencia de cuadrados: a 2 − b 2 = (a−b) ⋅ (a+b)

6) Suma o diferencia de potencias de igual grado: x m ± a m. Depende del exponente (par, impar) yde si es suma o diferencia. Distinguimos 4 casos:a) La suma dividida por la suma + +b) La suma dividida por la diferencia + − c) La diferencia dividida por la suma − +d) La diferencia dividida por la diferencia − −


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Te demuestro el primero y te dejo los otros como ejercitación.

a) Si m es impar P(x) = x m + a m es divisible por (x+a) porque aplicando teorema del resto seobtieneR(x) = P(–a) = (–a) m + a m = – a m + a m = 0. Pero no es divisible por (x–a), ¿por qué?

Dividiendo se obtiene C(x) = x m−1 − x m−2.a + x m−3.a 2 − ...+ x.a m−2 − b m−1 Y factorizando: x m + a m = (x + a) ⋅ (x m−1 − x m−2.a + x m−3.a 2 − ...+ x.a m−2 − b m−1).

b) Tanto si m es par o impar, no puede factorizarse dividiendo por la diferencia de las bases

c) Si m es par: x m − a m = (x+a).(x m−1 − x m−2.a + x m−3.a 2 − ...+ x.a m−2 − a m−1)

d) Tanto si m es par o impar: x m − a m = (x−a).(x m−1 + x m−2.a + x m−3.a 2 + ...+ x.a m−2 + a m−1)

7) Expresión factorizada de una ecuación de 2º grado: a x2 + bx + c = a (x–x1) (x–x2).

Verás en Álgebra que todo polinomio de grado n tiene exactamente n ceros (reales o complejos,iguales o distintos) y se puede factorizar así: P(x) = an (x–x1) (x–x2)…. (x– xn)

11) ¿Son iguales o distintos?

a) (m + n) 2 con (–m – n) 2

b) (m – n) 2 con (n – m) 2

12) Completa T(x) para que sea trinomio cuadrado perfecto:

a) T(x) = 16 x4 + ....... + 25 = ( ) 2

b) T(x) = 49 x6 - 70 x3 + ......... = ( ) 2

c) T(x) = ............– 30x..............= (..........–5)

2

13) Desarrolla:

P(x) = (2x + 5)3 =

14) Completa C(x) para que sea cuatrinomio cubo perfecto:

C(x) =............ − 12 x 2 ......................... = ( 4 –...........) 3

15) Factoriza hasta la mínima expresión:

1) 4axn - 6bnx - 10nxy + 2axn =

2) 4 x 5 + 16 x 4 + 16 x 3 =

3) 3 x 3 + 6 x 2 + 5 x +10 =

4) 4 x4 + 1/16 – x 2 =

5) a4 x6 – 49 =

6) – x 2 + 100 =

7) 2 x 3 – 3 x 2 – 8 x + 12 =

8) 8 x 3 – 4x 2 +3

2 x −

27

1=

9) 32 x 5 + 1=

10) x 6 – 729 =


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16) Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de las siguientes expresiones:

a) 4 x 5 + 16 x 4 + 16 x 3 ; 3 x 3 – 12 x y 6 x 3 + 12 x 2

b) x 3 – 125 ; x 2 – 25 y x 2 – 10 x + 25

FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es un cociente de polinomios:

f (x) =)x(Q

)x(P

El dominio de f(x) es el conjunto de los números reales, menos el conjunto de valores de ‘x’ que hacencero al denominador. En símbolos:

Df = – OQ, siendo OQ el conjunto de ceros de Q(x), es decir: OQ = {x / Q(x) = 0}

Of = {x / P(x) = 0 ∧ Q(x) ≠ 0}En primer año de la Facultad, necesitarás factorizar las funciones racionales y reducirlas a unaexpresión más sencilla, para calcular límites, discontinuidades y asíntotas, intervalos donde sonpositivas o negativas, intervalos donde son crecientes o decrecientes, máximos y mínimos, etc., con elobjeto de poder graficarlas.

Por ahora solamente determinaremos el dominio y las reduciremos a expresiones más simples.

17) Determina el dominio de las siguientes funciones racionales y encuentra la expresión másreducida posible.

Recuerda que:

al simplificar se cambia la función, por lo tanto no se puede mantener el nombre

se debe aclarar que el factor por el cual se divide, es distinto de cero.

a) f(x) =1x2x

1x

1x

3x4

2x2

122

+−

−−

−

−+

− Df =……….

b) g(x) =25x

x6

25x10x

x5x

10x2

4x222

2

−−

++

++

−

− Dg =……….

c) h(x) =

12x3

x4x2

16x

16x8x

x2

x6x3 23

4

2

3

2

+

−⋅

−

++⋅

+ Dh =……….

d) j(x) =x16x4x

13x3x

x64x

12xx23

2

4

2

++

+++

−

−− D j =……….


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AUTOEVALUACIÓN

1) Aplicando el teorema del Resto, indica si son divisibles o no los polinomios dividendos por losdivisores indicados en cada caso:

a) P(x) = x

4

+ 1 , por (x+1)b) P(x) = x5 + 1 , por (x+1)

c) P(x) = x4 + 1 , por (x-1)

d) P(x) = x5 + 1 , por (x-1)

e) P(x) = x4 - 1 , por (x+1)

f) P(x) = x5 - 1 , por (x+1)

g) P(x) = x4 - 1 , por (x-1)

h) P(x) = x5 - 1 , por (x-1)

2) Resuelve de dos maneras: aplicando propiedad distributiva y por quinto caso de factoreo.

a) (2x + 3). (2x − 3) =

b) [(x − 2) −a] . [(x − 2) +a]

3) Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de: x 4 – 8 x ; 2 x 3 – 8 x y 2 x 4 – 32

4) Resuelve y simplifica las siguientes expresiones algebraicas

a)x

x9:

3x

62

x

9

x

61

2

2

−

+−⋅

+−

b)

+−

−+

−−

+⋅+

2x82:

2x2

4xx4

2xx)12x6( 2

5) ¿V o F?

a) (243 − x5y5) es divisible por (3 − xy)… ( )

b) (3a − 3b2) = 3(a − b)2............................ ( )

6) Completa

a) Si (4x3 + 5x2 − x + 10) : d(x) = 4x2 − 3x + 5 , con resto cero, entonces d(x) = ..................

b) Si x1 = 2 es un cero de P(x) = 3x4

+ ax3

+ x2

– x + 2a , entonces a =...............c) Si ½ (a+b) x2 − 3x + 1 = 2x2 + ax + c, entonces a =........... , b =........... , c =.................d) Para que la división de P(x) = 2x4 − x3 + ax + 1 por (x−2) tenga resto 3, a =.............

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