tp3 aritmc3a9tica modular

8/17/2019 Tp3 Aritmc3a9tica Modular

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SALTA Año: 2014SEDE REGIONAL ORANCÁTEDRA: Algoritmos y Estructuras de Datos (TUP)

Trabajo Práctico N° 3: Aritmética Modular (3 clases)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.

Enumere cuatro elementos de cada una de las siguientes clases de equivalencia. Justifique.

a) [1] en Z7 b) [2] en Z11 c) [10] en Z17

2.

Demuestre r(b,n)r(a,n)n|a-b .

3.

Analice la validez de los siguientes enunciados. Justifique.

a) 111 6 b) 013 2 c) 1010 32

d) 15270 54 e) 1831 7 f) 33 2

g) 11 2 h) 190 13

4. ¿ Qué valores de m hacen verdaderas las siguientes congruencias?. Justifique

a) 45 m b) 45 m

c) 1861197 m d) 33 m

e)

2861197 m f)

1831 7

5. Determine si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas:

a.

bacbca nn

b. bababa mnmn )(

6.

Demuestre que si acabcbna Z ncba ann ,0,0;,,,

7.

Demuestre que si banmbanm Z nmba mn |,,0,0;,,,

8.

Demuestre que

nn

N n )1(10, 110

9. Demuestre que para ),(),(1;,, nbmcd namcd ban Z nba n

10. Demuestre el siguiente criterio de divisibilidad por 3, utilizando relaciones de congruencia y ldescomposición de un número como sumas ponderadas en la base 10.“Un nro Natural a de n dígitos es divisible por 3 si la suma de los n dígitos es divisible por 3”

11. Comprobar si los siguientes números son divisibles por 11. Justifique.a) 1213141516171819 b) 192837465564738291

12.

Para los siguientes números determineel valor del digito “d”, de forma que el resultado seun entero divisible entre 11. Justifique.

a) 2d653874 b) 37d64943252 c) 871782d1200

13.

Calcule el resto de la división de 1,722 k yk . Justifique.

14. Calcule el resto de la división de 7122 por 11. Justifique.


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15.

Probar que si 1; 22 aimpar esa Z a . Justifique.

16.

Probar que 12: 32 nn . Justifique.

17.

Probar que 12: 73

nn . Justifique.

18. Probar que 12: 154 nn . Justifique.

19.

Muestre las tablas de adición y multiplicación para Z8, Z10, Z11 y Z13.

20. Obtenga los inversos aditivos y multiplicativos en Z8, Z10,Z11 y Z13.

21. Halle (cuando sea posible) los inversos multiplicativos de:

a) 176 Z en b) 167 Z en c) 125 Z en

d)

108 Z en d)

3111 Z en e)

250111 Z en

22.

Programe un algoritmo invAditivo(a, n) que devuelva el inverso aditivo de a módulo n.

23. Programe un algoritmo invMultip(a, n) que devuelva el inverso multiplicativo de a módulo nsi existe, sino 0.

24. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones lineales de congruenciaJustifique.

a)

42330 273 x b)

1435 182 x c)

018 15 x d) 17 11 x

e

0813

x f)

21022

x

12617

x h

12913

x

i 119 140 x 3116 1217

x

k)

27 221 x l) 2815 1009 x

m)

12 7 x n) 36 21 x o) 25111 321 x p) 5603970 2755 x

q)

3018 42 x r) 219 30 x s) )5(mod13 x t) )13(mod53 x

u) )15(mod75 x v) )10(mod28 x w) )30(mod1821 x

25.

Programe un algoritmo resolver(a,b,n) que resuelve )n(mod bxa .

26.

Resuelva los siguientes sistemas de dos congruencias.

a)

)11(mod4

)7(mod1

x

x

b)

)25(mod8

)7(mod3

x

x

27. Encontrar n para que se verifique que:

)n(mod331229

)n(mod20748


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28.

La resolución de los sistemas de congruencias lineales fue conocida por los chinos en el sigltercero, particularmente por el matemático Sun Tsu. Él planteó el siguiente problema:“Se desconoce el total de elementos de un conjunto. Se sabe que al dividir ese total entre 3 e

resto es 2; al dividirlo entre 5 el resto obtenido es 3 y por último, 2 al dividirlo por 7”

Resuelva el sistema planteado.

29.

Encuentre el menor entero natural a>1 tal que: )4(mod1a , )5(mod1a y )7(mod1a

Justifique.

30. Hallar cuatro enteros consecutivos divisibles por 5,7,9 y 11 respectivamente. Justifique.

31.

¿Cuáles son los números enteros que son divisibles por 3 y vuyo resto al dividir por 5 es 1?.

32. Resuelva los siguientes sistemas:

a.

)7(mod2)5(mod3

)3(mod2

x x

x

b.

)9(mod5)7(mod3

)4(mod2

x x

x

c.

)11(mod43)7(mod12

)5(mod2

x x

x

33.

Programe un algoritmo para la resolución de congruencias simultáneas considerando el casde módulos coprimos dos a dos.

34. Una banda de 17 piratas robó una bolsa de monedas de oro. Al tratar de dividir la fortuna epartes iguales, sobraron 3 monedas. En la consiguiente disputa acerca de quién debíquedarse con ellas resultó muerto uno de los piratas. Entonces redistribuyeron el botín epartes iguales, pero sobraron 10 monedas, y otro pirata pereció a manos de sus compañerosFinalmente, las monedas se repartieron en partes iguales entre los sobrevivientes y no sobr

ninguna moneda. Averiguar cuál era la menor cantidad posible de monedas que conteníinicialmente la bolsa.

35. Se reparten cuatro bolsas iguales de caramelos entre tres grupos de niños. En el primer grupoque consta de cinco niños, se reparten dos bolsas y sobra un caramelo. En el segundo grupode seis niños, se reparte una bolsa y sobran dos caramelos. En el tercer grupo, de siete niñosse reparte una bolsa y sobran tres caramelos. Sabiendo que, en total, el número de caramelono llegaba a 500, ¿cuántos había en cada bolsa?

36. ¿Es posible encontrar la solución de las siguientes ecuaciones en Z?, justifique. Ppara laecuaciones que tienen solución, encuéntrela.

a.

1046 y x b. 10001813 y x

c. 41014 y x

37. En un cine las entradas se cobran $180 a adultos y $ 75 a menores de edad. Cierto día srecaudaron $9000 y asistieron más adultos que menores. ¿Cuáles fueron los números posiblede asistentes?

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