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U N de Cuyo – F. Ingeniería Ingreso - MatemáticaIng. Gladys Astargo

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1NÚMEROS REALES - OPERACIONES

En este Trabajo Práctico nos proponemos desarrollar la competencia básica de Resolución deProblemas y las siguientes competencias específicas del programa:

2. Resolver problemas sencillos de Matemática, Física y Química aplicando modelos matemáticos.4. Transferir el conocimiento científico deFísica, Química yMatemática a situaciones cotidianas.

Para comenzar a aplicar modelos matemáticos es necesario primeramente conocer los números, lasoperaciones entre ellos y sus propiedades. En este eje se trabajará la siguiente tabla de saberes.

Contenidosconceptuales Habilidades y destrezas Indicadores de Logro

Comunes aMatemática yFísica para laresolución deproblemas:

• Identificación de datos e incógnitas planteadas enlas situaciones-problemáticas.

• Establecimiento de relaciones entre los datos eincógnitas.

• Interpretación y elaboración de distintasrepresentaciones utilizando diferentes registros ylenguajes.

• Traducción del lenguaje coloquial al simbólico yviceversa.

• Verificación del proceso realizado y losresultados obtenidos.

• Análisis crítico de la coherencia de los resultados.

• Aplicación de modelos en la resolución deproblemas.ConjuntosnuméricosNúmeros Reales.Operaciones.Relación deorden. Intervalos.Distancia entredos puntos.Circunferencia.

• Clasificación y comparación de conjuntosnuméricos.

• Resolución de ejercicios y problemas connúmeros reales, operaciones y propiedades.

• Representación de números e intervalos en larecta real.

• Resolución de ejercicios y problemas conintervalos, distancia entre puntos ycircunferencia.

• Interpreta representacionesgráficas.

• Representa gráficamente a travésde esquemas, tablas, diagramas,etc.

• Utiliza escalas adecuadas.• Identifica datos e incógnitas.• Completa la información necesaria

recurriendo a otras fuentes:observación, experimentación,textos, Internet y otras.

• Plantea y usa ecuacionesadecuadas.

• Usa la notación adecuada.• Opera con números reales en

forma correcta.• Usa y realiza las conversiones de

unidades necesarias.• Analiza las soluciones aritméticas

halladas, vinculándolas con elproblema planteado.

• Comunica el/los resultado/s enforma adecuada.

Clasificación de conjuntos numéricos; ejercicios y problemas con números reales, operaciones ypropiedades.

1) Completa los siguientes enunciados de modo que resulten verdaderos:

a) a∈ y b∈ entonces (a + b)∈ .............b) a∈ entonces a +3 7 ∈ ...........c) a∈ entonces (a +π )∈ ……….d) 1,42424242…∈………. porque…………………..e) 16 =……….f) 16− ............. g) a∈ y b∈ ∧ b ≠ 0, entonces (a / b)∈ .............

Alto ¿Qué significa el símbolo ‘∧’? ¿Por qué es necesario aclarar que “b≠ 0”?

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h) El primer número natural es............... y el último....................................i) El primer número entero negativo............... y el último.................................... j) El número entero que antecede a−5/3 es............k) El número entero consecutivo de –3/5 es...............

2) Encuentra el valor de cada expresión o indica si no está definida.a) 0 . 0 b) 0 . 5 c) 0 / 5

d) 5 / 0 e) 50 f) 0 5

3) Mediante el uso de ( ), [] ó { }, indica que a la suma a + b + c se la divide por a− b; a ese cocientese lo multiplica por q + r; al resultado se le suma x; y a todo se lo divide por x – 3.No uses ( ), [ ] o { } que no sean estrictamente necesarios

En tu vida profesional te enfrentarás muchas veces a problemas de diversa índole y deberás resolverlrápido y bien. Por ello en este curso trataremos de enseñarte algunas…

Estrategias para resolver problemas:1. Comprender el problema. Para ello puedes:

a. Buscar el significado de todas las palabras que no conozcas.b. Hacer un esquema interpretativo, diagrama, tabla, etc.c. Ubicar los datos que te da explícita e implícitamente el problema, los que puedas inferir o

relacionar (cuidado con las unidades) y los que debas investigar aparte.A veces hay datos que no son relevantes para resolver el problema, hay que aprender areconocerlos.

d. Identificar cuáles son tus incógnitas (qué te piden que averigües). Es conveniente marcarlasde manera especial, por ejemplo con un signo de pregunta “?”.e. Expresar el problema con tus propias palabras.

2. Buscar un plan mediante:a. Una fórmula que relacione los datos con las incógnitas.b. Buscar problemas parecidos que te resulten más sencillos o conocidos.c. Utilizar menor número de elementos para encontrar una regularidad.d. Una estrategia de tanteo inteligente con registro en tablas.e. Emplear materiales alternativos (cintas, fichas, palillos, entre otros)f. etc.

3. Llevarlo a cabo:a. Reemplazar los datos numéricos en la fórmula elegida.b. Realizar los planteos en forma ordenada, justificando o colocando al costado las propiedade

aplicadas, porque te servirán para repasar.c. Trabajar en Cálculos auxiliares a la derecha de tu hoja, separados por una línea vertical,

dejando todas las cuentas indicadas, aunque parezcan muy elementales. Esto te será útil a lahora de revisar.

4. Verificar:a. Las operaciones realizadas, fórmulas utilizadas y propiedades aplicadas;b. Las respuestas aritméticas en relación con el problema. Por ejemplo: no puede haber

longitudes negativas.5. Comunicar de la manera más completa posible tu respuesta. Por ejemplo: si el valor numérico detu respuesta es 48 y te pedían calcular la medida de una longitud, deberás escribir: “la longitud

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día $/día $acumulados123

n

0,010,020,04

0,010,030,07

g)32

32

32

−=−

=−

6) Identifica el error que cometí en el siguiente algoritmo.Si no estás seguro/a de algún “paso”, realiza la operación al revés, volviendo de abajo hacia arriba pver si obtienes lo mismo.Sea a = b≠ 0

a⋅a = b⋅aa2 – b2 = b. a – b2

(a−b) ⋅ (a+b) = b⋅ (a−b)a+b = bb+b = b2b = b2 = 1!?

multipliqué por ‘a’ ambos miembrosresté ‘b2’ en ambos miembrosfactoricé (diferencia de cuadrados y factor común)dividí ambos miembros por ‘(a−b)’reemplacé ‘a’ por su igual ‘b’sumé b + b = 2bdividí ambos miembros por ‘b’¡Obviamente hay un error!

7) Calcula expresando primero en una sola potencia:a) (–2)4. (–2). (–2)3 : [(–2)2. (–2)-1] = (–2)………. b) (–2/3)-3. (–2/3)-1. (–2/3)2 =

c)3

42

51

3.33.3.3

−

−

−

= d) ( ) ( )( )22

4321

44.4− =

e) –24 f ) (–2)4 g) (–2)-- 4 h) –2--4 (¿Hay dos iguales o son todas diferentes?)

8) El señor A te propone el siguiente trato2: Debes darle $100 por día durante 20 días y él a cambio te

dará un centavo el primer día, 2 cvs el segundo día, 4cvs el tercero y así siguiendo, duplicará cada dílos centavos durante los 20 días. ¿Te conviene el trato o no?Otra vez te pedimos que apliques las estrategias para resolver problemas1. Comprender el problema: Lee atentamente el problema,¿cuánto debes darle al Sr. A por día y cuánto debe darte él?Explica a algún compañero en qué consiste el problema2. Buscar un plan: podrías ir anotando en una tabla losvalores que te paga por día y el dinero acumulado. Eso tepermitirá encontrar alguna regularidad entre los números..3. Ejecutar el plan: Completa la segunda columna de la tablacon los valores que te pagará el Sr. A día por día y en latercera columna suma para obtener el dinero acumulado.Observa la tercera columna relacionando con el nº de laprimera columna:Para n = 1 $ 0,01; para n = 2 $ 0,03 y continúa así hasta encontrar una regularidad; trata para ellode relacionar el dinero acumulado con potencias de 2 (¿por qué 2?) para obtener así una fórmulageneral para el día “n”. Tal vez te convenga expresarlos como 1x 10–2; 2 x 10–2, etc.4. Verifica todos los números que hallaste y además que la fórmula “funcione bien” para todos losvalores que encontraste antes.

5. Comunica tu respuesta de la manera más completa posible teniendo en cuenta la pregunta formulad

2 Adaptado de Perelman. Ver nota 1

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en el enunciado: “¿Te conviene el trato o no?”.

9) Indica si las siguientes afirmaciones son V o F, en caso de ser F escribe la correcta

a) [a. (– b)]2 = a2 b2 ( )

b) (a: b)2 = a2 : b2 ( )

c) 03 = 0 ( )

d) (a–1)--1 = a ( )

e) (−3)--2 = 1/ 3−2 ( )

f) 4643 −=− ( )g) 864 ±= ( )h) 451625 +=+ ( )i) 633 =+ ( )

j)ba

ba 333

= ( )

10)Calcula

a) 321883 +− b) 48108753 +−

11)Racionaliza los denominadores:

a) 512

+ b) 3333

−

+ c) 64

20+

12)Introduce factores en el radical

a) 2xx2 + b) 43 mba.b.a c)x1

1x3xx43

4⋅

+

+

13)En el barrio de Lucas, van a colocar una alarma comunitaria debido a los asaltos producidosúltimamente. Les informaron que cada vecino recibe un pulsador que emite una señal y se coloca unmonitor en una central donde se recibe esa señal desde un radio de 120 metros a la redonda. Laempresa cobra un monto fijo más el precio de cada pulsador, debiendo abonar cada usuarioaproximadamente $ 150. Lucas duda de que la señal llegue desde su casa hasta la central y tiene mieque sus padres paguen por un servicio que no van a recibir. Decide investigar por su cuenta y aplicar tema de matemática que vio en el colegio.Para ello reúne la siguiente información (él ya sabe que su calle tiene dirección este – oeste y el númde su casa es 1093, en la vereda sur): la casa donde colocarán el monitor está en la misma manzana avuelta de su casa, hacia al oeste y luego unos metros hacia el sur; el número de esa casa es 915. En ezona la numeración aumenta hacia el norte y hacia el este. Después de hacer sus cálculos habla con spadres para aconsejarlos.¿Cuál era el problema de Lucas y qué le aconsejó a sus padres?

1. Comprender el problemaBusca en el diccionario todas las palabras que no conozcasRealiza un esquema interpretativo con la ubicación de la casa de Lucas y de la casa donde colocarán

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monitor. ¿Es importante saber hacia dónde aumenta la numeración para ubicar estas casas?Identifica los datos del problema, hay algunos que tal vez no los necesites para resolverlo, se llamandatos superfluos o no relevantes.Clasifícalos en datos relevantes datos no relevantes

Explica a un compañero cuál es el problema de Lucas2. 3. Buscar un plan y ejecutarloBusca alguna fórmula que relacione los datos con lo que pide elproblema.¿Cuál es el tema de matemática que Lucas vio en el colegio y que quiere aplicar?Aplica la fórmula y resuelve.4. Verifica todo lo que hiciste y la solución que hallaste5. Elabora tu respuesta tomando en consideración la pregunta que formula el problema

Representación de números e intervalos en la recta real

14)Repasa la relación de orden y luego indica si las siguientes desigualdades son V o Fa) –2 < –20 ( )

b) (0,1)3 < (0,01)3 ( )

c) (0,1)3 < (0,1)2 ( )d) (0,1)1/3 < (0,1)1/2 ( )e)

5

4

8

7< ( )

f) Si x < 4, entonces x2 < 16 ( )

g) Si x2 < 16, entonces x < 4 ( )

h) Si 2 < x, entonces –2 > –x ( ) (asigna valores numéricos a x)

15) Expresa los siguientes conjuntos como intervalos, cuando sea posible:a) A = {x / x∈ R∧ –2 < x≤ 5}b) B = {x / x∈ Z∧ –1≤ x < 4}

c) C es el conjunto formado por las temperaturas de hoy en tu ciudad de origen. (No olvides lestrategias de resolución de problemas)d) D es el conjunto de las áreas posibles para los círculos de diámetro≤ .15

En los problemas siguientes aplica las estrategias de resolución vistas

16) Una jarra cilíndrica tiene N cm de diámetro de la base y 25 cm de altura. ¿Cuál es el intervalo enque estará comprendido el volumen? N es≤ que el número de letras de tu nombre.

17) Cuando se calienta una barra metálica de sección circular, cuyas dimensiones son 20 cm de largo1 cm de diámetro, se estira 0,02 cm por cada ºC que aumenta su temperatura (En rangos bajos

temperatura). Determina el intervalo de longitudes posibles si la barra se lleva de 15ºC a 50ºC.18) El diámetro de una esfera es de 20 cm y se ha medido con una regla graduada que tiene un errmenor que 0,1 cm. Indica el intervalo de valores posibles para el radio y para el volumen.

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19)Los puntos (−2; 5) y (4;−1) son vértices de un cuadrado de lados paralelos a los ejes coordenados.Encuentra los otros dos, la longitud de los lados y la longitud de las diagonales. Grafica.

20) Dos vértices de un triángulo isósceles se encuentran en (0,0) y (5,2). Si el segmento comprendientre estos puntos, es uno de los lados iguales del triángulo, determina todas las posibilidades números enteros para el tercer vértice. Grafica.21) Si se consideran números reales en lugar de enteros para el triángulo anterior, ¿Cuáles son lpuntos?

22) La distancia entre los puntos (–3; 1) y (2; 3), ¿es mayor, igual o menor que la distancia ent(–2; –2) y (4; –1)? 23) El segmento que une los puntos (3, 4) y (6, 8) es uno de los diámetros de una circunferenciDetermina las coordenadas del centro y la ecuación de la circunferencia. Grafica.24) Una circunferencia tiene como ecuación general x 2 + y 2 + 4x – 6y –3 = 0. Encuentra lascoordenadas del centro y la medida del radio.25) Un ingeniero está proyectando una pileta para riego de forma circular y de 10 m de diámetro, qdebe pasar por el surtidor ubicado 5 m hacia la derecha y 10 m hacia arriba de donde él ubicó el origde medición en su tablero. El centro está 3 m hacia la izquierda y 4 m hacia abajo del surtidor. Hay árbol 2 m hacia la izquierda y 2 m hacia arriba del origen. ¿Llega la pileta hasta el árbol? Realiza esquema.

AUTOEVALUACIÓN1) COMPLETA

Si (–3)3 ( )p3− (–3)4 = 91 , entonces p =..................

Si 0 < p < q < 1, entonces p ........... q

( )[ ] =− −0332 .................. = ............

Si ( ) 6m12

24m x

x1x =

⋅

−

, entonces m =............

=− 64

2 ................................... =..........................................=.......................

2) Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F), en caso de que sean falsas,escribe el valor correcto• a2 − b2 = (a−b)2 ( ).........................................................• 04 = 0 ( ).........................................................• 2 / 0 = 2 ( ).........................................................• 12526 += ( ) .........................................................• 15125 +=+ ( ) .........................................................

• ( )3

1 534 1 5− = − + ( ) .........................................................

3) ¿Cuál es el intervalo de variación del volumen de un cono de 16 cm de diámetro de la base, si sualtura no puede ser mayor de 30 cm?

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Ayuda : la fórmula para calcular el volumen del cono es31

π r2 h

4) Un terreno rectangular de 600 m de largo por 400 m de frente, compartido por tres propietarios, tieun pasillo para auto de 7m de ancho ubicado en el centro, paralelo al lado más largo. Uno de los dueñposee una de las partes iguales en que está dividido, y los otros dos poseen la tercera parte y las dterceras partes respectivamente, de la otra sección. Para pagar el derecho de agua de riego, realizan urepartición proporcional a la superficie de terreno que posee cada uno, dividiendo también la superfdel callejón. ¿Qué superficie posee cada propietario? ¿Cuánto tiene que pagar cada uno si la tarifa esa zona es de $14 por hectárea? Realiza un esquema.5) El segmento que une los puntos (−1; 2) y (5; 6) es un diámetro de una circunferencia. Entonces lacoordenadas del centro son h =………, k =………., y la medida del radio es……….6) Una circunferencia tiene por ecuación general x2 + y2 + 2x− 10y + 1 = 0, entonces la coordenadasdel centro son h =………, k =………., y la medida del radio es……….

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