1

Univerza v Ljubljani – FS & FKKT

Varnost v strojništvu

doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• boris.jerman@fs.uni-lj.si, (Tema/Subject: VDPN - ...)

Prosojnice izdelane po viru: S. Isakovič, Nauk o trdnosti

Torzijska ali vzvojna trdnostNa palico dolžine l krožnega preseka, ki je na enem koncu vpeta, deluje na drugem koncu dvojica sil, ki ustvarja torzijski moment Mt = F ⋅⋅⋅⋅ a. (Dvojica deluje v ravnini, ki je pravokotna na vzdolžno os nosilca �� in ga obremenjuje na torzijo.)

= � ∙ �

= �� �

��

Polmera: = �� = ��

2

Torzijska ali vzvojna trdnost

V podpori se pojavi vpetostni moment MA, po jakosti enak Mt, ima pa nasprotno smer.

Pod vplivom Mt nastopi deformacija. Tvorna črta ��, ki je bila ravna in vzporedna z osjo telesa, se zavije za kot γ (specifični zasuk=specifična tangencialna deformacija) v položaj ��′.

Polmer = �� se zavrti okoli točke o za kot ϕ, ki ga imenujemotorzijski kot, in pride v nov položaj ��′.

Zunanja vlakna se najbolj deformirajo, vlakna, ki leže bliže središču (npr. na = ��), pa manj. Nevtralna os nosilca se ne deformira.

Torzijska ali vzvojna trdnostVlakno ��, ki leži bliže središču, se zavije za manjši kot γ1 in preide v nov položaj ��′, torzijski kot ϕ pa ostane nespremenjen.

Ker je lok enak produktu polmera in središčnega kota, izraženega v ločnih stopinjah (radianih), dobimo:

Iz razmerja:

vidimo, da so specifični zasuki premo sorazmerni oddaljenosti vlaken od središča, kot sledi.

3

Torzijska ali vzvojna trdnostKot, za katerega se zasuče vlakno pod vplivom Mt, se spreminja v razmerju:

Če je r = 0 je γ1 = 0. Geometrična os se ne zasuče, zato jo imenujemo nevtralna os telesa.

Napetosti, ki nastopijo v materialu pod vplivom Mt, so tangencialne napetosti. Pri strigu je razmerje med τ in γ podan s Hookovem zakonom:

če to upoštevamo v enačbi s prejšnje prosojnice, dobimo:

Torzijska ali vzvojna trdnostEnačbo:

uporabimo za izračun torzijske napetosti na poljubni oddaljenosti od nevtralne osi:

kar se prikaže:

�� = �

=

��

��

y

z

r

R

�� ��. ��� =��

��

��

��. ��� = ��

4

Torzijska ali vzvojna trdnostEnačba za dimenzioniranje na torzijsko trdnost:

Torzijske deformacije/zasuk

Gredi so strojni elementi, namenjeni prenašanju torzijskega momenta. Dostikrat bi brez poškodb zdržala že tanjša gred, pa je potrebno zaradi delovanja mehanizma zagotoviti manjše torzijske deformacije – manjši vzvoj.

Zaradi tega je potrebno gredi dimenzionirati tudi na dopustni torzijski zasuk.

�� =��

��≤ ����

Torzijska ali vzvojna trdnostTorzijski kot v ločnih stopinjah – radianih:

��′� = ∙ �� = ∙ ! → ��=#∙$

%

It

ItIt

It

5

PrimerDimenzioniraj gred pri obremenitvi P = 110 kW, n = 60 min-1, če je τdop = 40 MPa. Kakšen je zasuk gredi, če je njena dolžina l=1 m?

16

It

*≥ 130,63�� → � = 135��

0,8353260

It =2

34∙ �5 =

2

34∙ 1355 = 3260 ∙ 105��5

Primer

Predhodno še izvedemo kontrolo - napetosti;- deformacij – torzijskega zasuka.

6

Uklonska trdnostKRITIČNA UKLONSKA SILA

Pri dimenzioniranju posameznih konstrukcijskih delov smo določevali potrebne dimenzije telesa glede na dopustno napetost oz. dopustno deformacijo.

Dejanska napetost, ki je v materialu nastopila pod vplivom zunanje obremenitve, je bila vedno manjša od σdop. V praksi se je pokazalo, da se material lahko v nekem primeru poruši tudi, če je dimenzioniranje izvedeno glede na σdop.

Tak prime nastopi npr. pri dimenzioniranju palic, ki so obremenjene na tlak, njihova dolžina "1" pa je nasproti prečni dimenziji “A“ zelo velika.

Uklonska trdnostKRITIČNA UKLONSKA SILA

Palica dolžine "1" je obremenjena z aksialno silo F na tlak. V primeru, ko sila F preide določeno mejo, palica izgubi stabitlnostin se ukloni.

V palici nastopi uklonska napetost. Palica preide iz položaja I v položaj II, se torej ukloni (povesi) za količino "f".

Aksialno tlačno silo, pri kateri se pojavi uklon imenujemo kritična uklonska sila Fk.

7

Uklonska trdnostKRITIČNA UKLONSKA SILA

Eulerjeva enačba za kritično uklonsko silo se glasi:

Pri tem je:a prosta uklonska dolžina, ki je odvisna od načina vpetja

palice in je pri dvostransko člena sto vpeti palici a = 1.Imin najmanjši vztrajnostni moment prereza (palica se vedno

ukloni v smeri najmanjšega upora).

Fk=24∙6∙789:

;4

Uklonska trdnost

Štirje značilni primeri vpetosti:

8

Uklonska dožina la u ⋅= β

5,0=uβ2

2=uβ.1=uβ.2=uβ

l l l lf

ff

f

Uklonska trdnost

Štirje značilni primeri vpetosti in kritična uklonska sila (uteži):

9

Uklonska trdnostVitkost palic in kritične napetosti

„Daljša“ in „ožja“ kot je palica, lažje se ukloni. Dolge in ozke palice imenujemo „vitke“ palice.

Merilo za „dolžino“ ni dejanska dolžina palice „l“, temveč uklonska dolžina „a“.

Merilo za „širino“ oz. „ozkost“ palice ni njena širina, temveč vztrajnostni radij oz. vztrajnostni polmer:

i=789:

<

Uklonska trdnostVitkost palic in kritične napetosti

Vitkost palice je definirana kot kvocient med uklonsko dolžino in vztrajnostnim polmerom:

Kritična napetost, ki nastopi zaradi vpliva kritične sile Fk je:

λ =�

=

( Fk= >? ∙ @ =24∙6

λ4 ∙ @ =24∙6∙789:

;4 )

λ =;

9=

;

ABCDE

� λ2 =;4

ABCDE

=<∙;4

789:

>? =F?

@=

*2 ∙ G ∙ H�=I

@ ∙ �2 =*2 ∙ G

λ2

10

Uklonska trdnostVitkost palic in kritične napetosti

• Eulerjeva enačba daje za majhne vitkosti previsoke nosilnosti.

• To je popravil Tetmayer s t.i. Tetmayerjevimi enačbami.

• Pri zelo majhnih vitkosti palice ne uklonijo, temveč nosijo do odpovedi zaradi tlačne trdnosti.

Zaradi velike računske negotovosti so pri preračunu po Eulerjevi/Tetmayerjevi teoriji potrebni veliki VARNOSTNI KOEFICIENTI. Zaradi tega se je v praksi uveljavil najprej ω-postopek in kasneje Izračun po evropskih uklonskih krivuljah. Oba postopka bolje popisujeta pojav in zato uporabljata nižje varnostne koeficiente. Teh postopkov ne bomo obravnavali.

Uklonska trdnostVitkost palic in kritične napetosti

λλλλmejEulerTetmayerTlak

N ...… centrična osna tlačna sila v palici;

Nmej.A...sila na meji plastifikacije;λλλλmej …. mejna vitkost – pri manjši

vitkosti se odstopanje med Eulerjevo teorijo in ralno palico povečuje;

λλλλA ..… pri vitkosti, manjši od λλλλA ne pride do uklona.

Z upoštevanjem

varnosti (4 do 8)!

11

Uklonska trdnostTetmayerjeve enačbe

Primer za mehko jeklo (izpisan iz tabele (rdeče podčrtano)):

Tetmajerjeva kritična uklonska sila se izračuna:

Mejne vitkosti

jeklena litina

mehko jeklo

trdo jeklo

FJ = >J ∙ @

=

=

>J = 310 − 1,14 ∙ M

Uklonska trdnost

Mejne vitkosti se izračuna z upoštevanjem pogoja, da mora biti kritična napetost v elastičnem območju, da Eulerjeva enačba še velja:

in:

oziroma:

>? =*2 ∙ G

λ2 ≤ >ν

→*2 ∙ G

>ν

≤ λ2

λ ≥*2 ∙ G

>ν

= * ∙G

>ν

λ�NO = * ∙G

>ν

12

Uklonska trdnost

Mejne vitkosti za mehka jekla se določi s pomočjo sledečih podatkov:

ki se jih vstavi v prej izpeljano enačbo:

Na isti način se mejno vitkost izračuna tudi za druge materiale.

λ�NO = * ∙6

Pν

= * ∙4�QQQQ

�RQ = 104,444≅ 105

G = 210000�T�>ν=190 MPa

Uklonska trdnost

Palic ne smemo nikoli obremeniti s kritično silo Fk. Dejanskosilo F, s katero smemo obremeniti nosilec, določimo z upoštevanjem varnostnega koeficienta:

Za Eulerjevo področje:

Za Tetmayerjevo področje:

Za področje čistega tlaka:

Fukl.dop=UV

ν

Fukl.dop=24∙6∙789:

ν∙;4

Fukl.dop=PV.WXY∙<

ν

Ftl.dop=Pν

ν∙ @ = >tl.dop ∙ @

13

Primer

Ojnica krožnega preseka d, dolžine 1 = 1900 mm je členkasto vezana na bat in ročično gred ladijskega motorja. Ročica gredi je r=400 mm. Sila na bat v trenutku, prikazanem na skici (ko je lpravokotno na r) je Fbat= 500 kN.

Določite premer d ojnice iz jeklo S235 z mejo plastičnosti 235 MPa in natezno trdnostjo 420 MPa.

ϕϕϕϕ

Primer

Sila na batnico je njena uklonska sila:

Uklonska dolžina:

F= F��� ∙ ��Z� = 500 ∙ ��Z11,889 = 489,3kN = F_?

t�`� = ab

t�`� = cddefdd

=0,2105� =11,889°

a= = 1900mm

ϕϕϕϕ

14

PrimerUporabimo* Eulerjevo enačbo. Varnost za mehko jeklo za Eulerjevo enačbo: ν = 5:

Izberemo:

* … ker vitkosti ne moremo izračunati, Tetmayerjevih enačb v tem koraku

sploh ne moremo uporabiti. Na koncu bomo preverili, če je uporaba Eulerjeve

enačbe upravičena.

d= 100mm

Fk=24∙6∙789:

;4

F_? ≤Fkν

=24∙6∙789:

ν∙;4 �H ≥Fukl ∙ν∙;4

24∙6� H�=I =

Fukl ∙ν∙;4

24∙6

H�=I =5iR3QQ∙j∙�RQQ4

24∙4�QQQQ= 426,12 ∙ 104��4 = k∙lc

mc�

d ≥ mc∙ABCDk

c= mc∙com,eo∙edc

k

c= 96,53 mm

PrimerVitkosti prej nismo mogli izračunati, ker nismo poznali lastnosti prereza. Sedaj, ko le te poznamo, preverimo dejansko vitkost:

Vitkost je manjša od mejne (105), zato: - Eulerjeve enačbe, ki smo jih uporabili, ne držijo;- dimenzioniranje moramo ponoviti po Tetmayerjevih enačbah,

kjer za sedaj približno poznano vitkost izračunamo:

λ =;

9=

;

ABCDE

=�RQQ

cfd,pq∙edc

qprs,fp

= 76 < 105

H�=I = k∙lc

mc= k∙eddc

mc= 490,87 ∙ 104��4

@ = k∙lo

c= k∙eddo

c= 7853,98��2

>? = 310 − 1,14 ∙ λ = 310 − 1,14 ∙ 76 = 323,36�T�

15

PrimerIz sledeče enačbe:

izrazimo potrebno površino. Pri tem upoštevamo, da je pri večjih strojih potrebno upoštevati za Tetmayerjeve enačbe varnost 6 do 8in izberemo varnost 8:

in potreben premer:

Izberemo:

@ = k∙lo

c�d ≥

5∙<

2

o=

5∙�vi5v,54

2

o= 150,74��

@ ≥ w∙νx

y

= cfpsdd∙poos,sm

=17847,42 mm2

z{ = �{

|= �∙ν

|����

d= 152mm

} F ≤Fkν

�Fk = F ∙ ν

PrimerKontrola na uklon:

Dejanska varnost proti uklonu:

(Zahtevana varnost je 8!) �

@ = k∙lo

c~

k∙eroo

c~�i�5j,i884

ν = xy

x= ors,d

om,fm= 9,38 > 8

> = U< = 5iR3QQ

�i�5j,i = 4�,R���;

H�=I = k∙lc

mc= k∙eroc

mc= 2620,25 ∙ 104��4

λ =;

9=

;

ABCDE

=�RQQ

omod∙edc

epecr,p

= 50,0 < 105

>? = 310 − 1,14 ∙ λ = 310 − 1,14 ∙ 50= 253,0 MPa

� Tetmayerjeve enačbe so veljavne.

16

PrimerKontrola na tlak:

Dejanska varnost na tlak:

(Zahtevana varnost je 1,5!) �

���

> = U< = 5iR3QQ

�i�5j,i = 4�,R���;�>� ��� = �j�,����;

>� ��� = Pνν

= 43j�,j = �j�,����;

ν = Pν

P = 43j4�,R� = 8,72 > 1,5