MECÁNICA DE

MATERIALES

Cuarta Edición

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CAPÍTULO

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3 Torsión

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MECANICA DE MATERIALES

Cu

arta

E

dic

ión

Beer • Johnston • DeWolf

3 - 2

Torque neto debido a tensiones internas

dAdFT

• Las tensiones internas netas de corte son un

par interno, igual y opuesto al par aplicado,

• Aunque es conocido el par neto debido a los

esfuerzos de corte, la distribución de las

tensiones no es conocida.

• A diferencia de la tensión normal debido a cargas

axiales, la distribución de esfuerzo debido a

cargas torsionales no se puede suponer uniforme.

• La distribución de esfuerzos de corte es

estáticamente indeterminado – se debe

considerar deformaciones del eje.

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3 - 3

Deformaciones cortantes

• Considere una sección interior del eje. Como

se aplica una carga de torsión, un elemento en

el cilindro interior se deforma en un rombo.

• La deformación cortante es proporcional al

giro y el radio

maxmax and

cL

c

LL

or

• Resulta que

• Dado que los extremos del elemento

permanecen planos, la deformación por

esfuerzo cortante es igual al ángulo de giro.

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3 - 4

Tensiones en rango elástico

Jc

dAc

dAT max2max

• Recordemos que la suma de los momentos

de la distribución de la tensión interna es

igual al torque en el eje de la sección,

4

21 cJ

41

422

1 ccJ

and maxJ

T

J

Tc

• Los resultados se conocen como las fórmulas

de torsión elástica,

• Multiplicando la ecuación anterior por el

módulo de cizallamiento,

max

Gc

G

max

c

De la ley de Hooke, G , así

El esfuerzo varía linealmente con la

posición radial en la sección.

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3 - 5

El eje BC es hueco con diámetros

interiores y exteriores de 90 mm y 120

mm, respectivamente. Ejes AB y CD son

sólidos de diámetro d. Para la carga

mostrada, determinar (a) el esfuerzo

mínimo y máximo en el eje BC, (b) el

diámetro requerido d de los ejes AB y CD

Si el esfuerzo permitido en estos ejes es de

65 MPa.

Problema Ejemplo 3.1

SOLUCIÓN:

• Cortar secciones a través de ejes

AB y BC y realizar un análisis de

equilibrio estático para encontrar

cargas de torsión.

• Dado el esfuerzo permitido y par

aplicado, invertir la fórmula de

torsión elástica para encontrar el

diámetro requerido.

• Aplicar fórmulas de torsión

elástica para encontrar los

esfuerzos mínimo y máximo en el

eje BC.

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3 - 6

SOLUCIÓN:

• Cortar secciones a través de ejes AB y

BC y realizar análisis de equilibrio

estático para encontrar cargas de

torsión.

CDAB

ABx

TT

TM

mkN6

mkN60

mkN20

mkN14mkN60

BC

BCx

T

TM

Problema Ejemplo 3.1

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3 - 7

• Aplicar fórmulas de torsión

elástica para encontrar el esfuerzo

mínimo y máximo en el eje BC.

46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

ccJ

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN2046

22max

J

cTBC

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

• Dado el esfuerzo permitido y par

aplicado, invertir la fórmula de torsión

elástica para encontrar el diámetro

requerido.

m109.38

mkN665

3

3

2

4

2

max

c

cMPa

c

Tc

J

Tc

mm8.772 cd

Problema Ejemplo 3.1

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3 - 8

Ángulo de giro en el rango elástico

• Recordar que el ángulo de giro y la deformación

cortante máxima están relacionados por

L

c max

• En el rango elástico, la deformación y el esfuerzo

cortante están relacionados por la ley de Hooke,

JG

Tc

G max

max

• Igualando las expresiones de esfuerzo de corte y

resolver para el ángulo de torsión,

JG

TL

• Si las cargas torsionales o el eje de la sección

transversal cambia a lo largo de la longitud, el

ángulo de rotación es la suma de las rotaciones del

segmento i ii

ii

GJ

LT

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3 - 9

Ángulo de giro de eje cuando ambos extremos giran

• La ecuación fue deducida para ejes con

un extremo unido a un soporte fijo.

• Cuando ambos extremos del eje giran, el ángulo

de giro del eje es igual al ángulo que un extremo

gira con respecto al otro.

JG

TL

JG

TL

JG

TLBEBE /

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3 - 10

Problema ejemplo 3.4

Dos ejes de acero sólidos están

conectados mediante engranajes.

Sabiendo que para cada eje

G=11,2x106 psi y el esfuerzo

permitido es 8 ksi, determine: (a) el

mayor par T0 que puede aplicarse al

final del eje AB, (b) el ángulo

absoluto correspondiente que gira el

extremo A del eje AB.

SOLUCIÓN:

• Aplicar un análisis de equilibrio

estático en los dos ejes para encontrar

una relación entre TCD y T0.

• Encontrar el ángulo de giro

correspondiente para cada eje y la

rotación angular neta del extremo A.

• Encontrar el par máximo admisible en

cada eje, elija el más pequeño.

• Aplicar un análisis cinemático para

relacionar las rotaciones angulares de

los engranajes.

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3 - 11

SOLUCIÓN:

• Aplicar un análisis de equilibrio

estático en los dos ejes para encontrar

una relación entre TCD y T0.

0

0

8.2

in.45.20

in.875.00

TT

TFM

TFM

CD

CDC

B

• Aplicar un análisis cinemático para

relacionar las rotaciones angulares de

los engranajes.

CB

CCB

CB

CCBB

r

r

rr

8.2

in.875.0

in.45.2

Problema ejemplo 3.4

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3 - 12

•Encontrar el par máximo admisible

T0 en cada eje, elija el más

pequeño

in.lb561

in.5.0

in.5.08.28000

in.lb663

in.375.0

in.375.08000

0

4

2

0max

0

4

2

0max

T

Tpsi

J

cT

T

Tpsi

J

cT

CD

CD

AB

AB

inlb5610 T

•Encontrar el ángulo de giro correspondiente

para cada eje y la rotación angular neta del

extremo A.

oo

/

oo

o

64

2

/

o

64

2

/

2.2226.8

26.895.28.28.2

95.2rad0514.0

psi102.11in.5.0

.in36in.lb5618.2

2.22rad0387.0

psi102.11in.375.0

.in24in.lb561

BABA

CB

CD

CDDC

AB

ABBA

GJ

LT

GJ

LT

o48.10A

Problema ejemplo 3.4

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3 - 13

• Dadas las dimensiones del eje y el par aplicado,

nos gustaría encontrar las reacciones de torque en

A y B.

Ejes estáticamente indeterminados

• Un análisis de cuerpo libre del eje,

que no es suficiente para encontrar los pares en A y

B. El problema es estáticamente indeterminado.

ftlb90 BA TT

ftlb9012

21 AA TJL

JLT

• Sustituir en la ecuación de equilibrio original,

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 0

• Dividir el eje en dos componentes que deben

tener deformaciones compatibles,