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Mat. Edgar Johni Bustamnte Romero ESPOL FCNM-ICM

Nociones de Topolog a

I) Espacios Me tricos

Sea X un conjunto no vaco

Sea la funcin

:

(, ) (, )

(E1)

, ,

(C1)

i) , (, ) > 0

= , (, ) = 0

ii) Conmutatividad

(, ) = (, )

iii) Desigualdad triangular

(, ) (, ) + (, )

Def 1) La funcin d que satisface i, ii, iii, la llamamos mtrica.

Def 2) La estructura (, ) la llamaremos Espacio mtrico.

Es decir, un espacio mtrico es cualquier conjunto no vaco en el cual se puede

definir una mtrica.

Propiedades

P1) , , se verifica (, ) 0

Demostracin

(, ) (, ) + (, ), ,

0 2(, )

, , (, ) 0

(DP1)

P2) Si (, ) = 0 =

Demostracin Por reduccin al absurdo

Sea (, ) = 0

pero (, ) > 0

esto contradice (, ) = 0

P2 es verdadero

(DP2)

Ejemplos de mtricas:

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1) = , (, ) = | |

2) = 2, ((12

) , (12

)) = (1 1)2 + (2 2)2

3) = 2, ((12

) , (12

)) = Max{|1 1|, |2 2|}

Actividad en clase

Determinar que 1,2,3 son mtricas.

Tarea 1

T 1.1) = , (, ) = [| |]

a) (, ) es un espacio mtrico?

b) Qu propiedad s cumple y qu propiedad no cumple?

II) Elementos de los Espacios Me tricos.

Def 2.1) Entorno.- Sea (, ) espacio mtrico, Se dice entorno, vecindad o bola

al conjunto () = { , (, ) < }, al punto "" le llamamos centro y a

"" lo llamamos radio.

Caso particular.

() = { , | | < }

Ejemplo

Ej. 2.1) 2(3) = { , | 3| < 2}

Ej. 2.2) 1(0) = { , | (0)| < 1}

1(0) =

Observamos que el radio debe ser positivo.

Observacin:

Otra notacin puede ser: (, ) = ()

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Entorno "No Incluido".

Def 2.1.1).

() = { , 0 < (, ) < }

A este conjunto lo llamamos entorno "No Incluido" por cuanto

() = () {} es decir no incluye el punto centro.

Ejemplo:

Ej.2.3)

En adelante con frecuencia tomaremos la mtrica euclidiana, es decir

(, ) = | |

Def 2.2) Punto de acumulacin o Punto Lmite.

Sea , , no necesariamente , se dice que es un punto de

acumulacin del conjunto si y solo si, > 0

Esto significa que siempre se puede encontrar un punto del conjunto tan cercano

al punto como se quiera.

Ejemplo:

Ej. 2.4) = , = (1 3], = 1

Se puede verificar > 0

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que = 1 Observamos

Def 2.3) Punto Aislado.

Sea = , , se dice que es un punto aislado del conjunto si y solo si

y no es punto de acumulacin de .

Ej. 2.5) = , = {1,2,3}

= 1

= 2

= 3

Def 2.4) Conjunto Cerrado.

Sea, , se dice que no es cerrado si y solo si todos sus puntos lmites o de

acumulacin pertenecen a l.

Ej. 2.6) = , = (1 3]

No es cerrado, ya que 1 es el punto de acumulacin de y 1

Ej. 2.7) Si no tiene puntos de acumulacin entonces es cerrado.

Def 2.5) Punto Interior.

Sea , se dice que es punto interior de si y solo si > 0, ()

Observamos que, si es punto interior de entonces

Def 2.6) Conjunto Abierto.

Sea , se dice es conjunto abierto si y solo si todos sus puntos son puntos

interiores.

Observaciones:

Decir "No Cerrado" no implica "Abierto".

Decir "No Abierto" no implica "Cerrado".

Existen conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez.

Proposicin 2.1

Toda vecindad es un conjunto abierto.

Demostracin

Sea () ,

Pide demostrar que: es punto interior de ()

(DP2.1)

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Si () (, ) <

por propiedad de los nmeros reales > 0, tal que

(, ) + <

(, ) <

Ahora construimos (), tenemos que

(, ) (, ) + (, ) < ( ) + ,

Es decir (, ) < ().

Por lo tanto () (),

esto significa () ()

A la vez concluimos que es punto interior de (),

Por lo tanto todos los puntos de () son puntos interiores,

entonces () es abierto.

Proposicin 2.2

Si es un punto lmite de un conjunto , entonces toda vecindad de contiene

infinitos puntos de .

Demostracin:

Por construccin

(Actividad en clase)

Def 2.7) Punto de Adherencia.

Un punto es punto de Adherencia del conjunto si todo () es tal

que

()

Se hace evidente que todo punto interior y todo punto lmite del conjunto es punto

de adherencia, esto incluye a los puntos de frontera.

Def 2.8) Clausura de

= { }

Proposicin 2.3

El conjunto es conjunto cerrado.

Observacin: Se evidencia que: A es cerrado si y solo si =

Def 2.9) conjunto derivado. Sea ,

= { }

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Def 2.10) Punto de Frontera.

, (no necesariamente pertenece a )

Se dice que: es punto de frontera de si y solo si

> 0, () ()

Def 2.11) frontera de

= { }

Proposicin 2.4

es un conjunto cerrado.

Proposicin 2.5

Todo punto aislado de un conjunto es punto de frontera y tambin es punto de

adherencia del conjunto.

= ;

Abierto Cerrado

(0 1) [0 1] [0 1] {0,1} Si No

(0 1] [0 1] [0 1] {0,1} No No

[0 1] [0 1] [0 1] {0,1} No Si

(0 1] {2} [0 1] [0 1] {2} {0,1} No No

[0 1] {2} [0 1] [0 1] {2} {0,1,2} No Si

{0,1,2} {0,1,2} {0,1,2} No Si

{0,1

2,2

3, }

{1} {1} {1} No

No

{(1) +1

}

{1,1} {1,1} {1,1} No No

Actividad.

Teorema.- Un conjunto es abierto si y solo si es cerrado.

Sea =

1) Proposicin. es abierto,

2) Proposicin. es cerrado,

3) Proposicin. es abierto,

4) Proposicin. es cerrado,

5) Proposicin. =

Procedemos a la demostracin del teorema

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Demostracin:

Tomamos

Esto implica que , adems es cerrado entonces p no puede ser punto

de acumulacin, esto es:

( > 0, )

Equivalente: > 0 , adems , entonces

( ) {} = , Entonces () = ()

Esto significa que p es punto interior de E, por lo tanto todos los puntos de E

son interiores y en consecuencia E es conjunto Abierto. LQQD.

Demostracin:

Sea p cualquier punto de acumulacin del conjunto , entonces tenemos dos

posibilidades

1.-

2.-

Demostraremos que la primera posibilidad no es posible.

En efecto si , pero E es conjunto abierto por consiguiente

p es punto interior de E, lo cual significa que:

> 0, () ()

() =

Por tanto p no es punto de acumulacin de lo cual es contradictorio,

Solo queda la segunda posibilidad: ,

Es decir todos los puntos de acumulacin del conjunto pertenecen al

conjunto , entonces por definicin es un conjunto cerrado. LQQD.

III. Convergencia en Espacios Me tricos.

Sea (, ) , = {} ,

lim

= si y solo si [ > 0 , , (, ) < ]

Para un espacio mtrico euclidiano (, ) = | |

Si existe decimos que converge caso contrario diverge.

Lmite de Funciones.

Def 2.12.- Sean (, ), (, ) espacios mtricos, sea y : y

punto lmite de , decimos:

lim

() = > 0, > 0, () () ()

Su equivalente en un espacio mtrico Euclidiano

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> 0, > 0, , 0 < | | < |() | <

Observacin.

La existencia del lmite de una funcin tiene sentido en un punto de acumulacin

o punto lmite, llamado as por cuanto se lo usa especialmente para definir el

lmite.

Continuidad de funciones.

Def 2-13.- (, ), (, ) espacios mtricos , y :

Se dice que es contnua en si y solo si

> 0, > 0, , (, ) < ((), ()) <

Su equivalente en un espacio Euclidiano

> 0, > 0, , | | < |() | <

Observacin.

* En el lmite, debe ser punto de acumulacin del conjunto, no

necesariamente debe pertenecer al conjunto.

* En el lmite, los acercamientos se realizan por todos los lados posibles.

Ej.

= , = (0 1)

: (0 1)

() =sen

Calcular:

lim0

() = 1

En efecto lim0

() = 1 no se tiene en cuenta los acercamientos por la izquierda

del punto cero, por cuando no son parte del dominio.

Observacin:

Proposicin: Toda funcin es continua en los puntos aislados de su dominio.

Esta proposicin se la puede demostrar por la definicin de

continuidad

Proposicin Si es un punto lmite o de acumulacin entonces es contnua

en si y solo si:

lim

() = ()

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