to¸n cao cÊp 1 - học viện công nghệ bưu chính...

TËp ®oµn bu chÝnh viÔn th«ng viÖt nam

Häc viÖn c«ng nghÖ bu chÝnh viÔn th«ng

Bµi gi¶ng

To¸n cao cÊp 1 (Häc phÇn gi¶i tÝch)

(Dành cho khối ngành kinh tế)

Biªn so¹n: NguyÔn ThÞ Dung

Hµ Néi - 2013

PTIT

4

MỤC LỤC

Trang Lời nói đầu .................................................................................................................................. 3

Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ..................................................................................... 6 1.1. Dãy số thực ................................................................................................................... 6 1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn ..................................... 6 1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì ...................................................... 6 1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ ................................................................................... 7 1.2. Các khái niệm cơ bản về hàm số................................................................................. 9 1.2.1. Các khái niệm cơ bản ........................................................................................... 9 1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản .................................................................................... 11 1.3. Giới hạn của hàm số ................................................................................................... 12 1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số ................................................................................. 12 1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn ....................................................................... 14 1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ .................................................................................... 17 1.3.4. Đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn ..................................................... 18 1.4. Hàm số liên tục ......................................................................................................... 21 1.4.1. Khái niệm hàm số liên tục.................................................................................... 21 1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục ............................................................... 21 1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng ........................ 23 Bài tập.................................................................................................................................. 24

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN .................................................................................. 28 2.1. Đạo hàm của hàm số ................................................................................................ 28 2.1.1. Khái niệm đạo hàm ............................................................................................. 28 2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm .................................................................................... 29 2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản .............................................................. 30 2.2. Vi phân của hàm số .................................................................................................. 33 2.2.1. Định nghĩa vi phân .............................................................................................. 33 2.2.2. Các quy tắc tính vi phân ...................................................................................... 33 2.2.3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng ....................................................................... 33 2.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao .................................................................................... 34 2.3.1. Đạo hàm cấp cao ................................................................................................. 34 2.3.2. Vi phân cấp cao ................................................................................................... 36 2.4. Các định lí giá trị trung bình .................................................................................... 37 2.4.1. Định lí Fermat ..................................................................................................... 37 2.4.2. Định lí Rolle ....................................................................................................... 37 2.4.3. Định lí Lagrange ................................................................................................. 38 2.4.4. Định lí Cauchy .................................................................................................... 39 2.4.5. Công thức Taylor, công thức Maclaurin ............................................................. 39 2.5. Một số ứng dụng của đạo hàm ................................................................................. 40 2.5.1. Sử dụng qui tắc Lôpitan để tính các giới hạn dạng vô định................................ 40 2.5.2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số ....................................................................... 43 2.5.3. Cực trị của hàm số .............................................................................................. 44 2.5.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đóng........................... 45 Bài tập ................................................................................................................................. 46

Chương 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN ................................................................................ 51

PTIT

5

3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định ........................................................................... 51 3.1.1. Nguyên hàm của hàm số ...................................................................................... 51 3.1.2. Tích phân bất định .............................................................................................. 51 3.1.3. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản ......................................................... 52 3.1.4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định ................................................ 53 3.1.5. Tích phân của các hàm hữu tỉ .............................................................................. 56 3.2. Tích phân xác định .................................................................................................. 61 3.2.1. Khái niệm tích phân xác định ............................................................................. 61 3.2.2. Điều kiện khả tích ............................................................................................... 63 3.2.3. Tính chất của tích phân xác định ........................................................................ 64 3.2.4. Liên hệ với tích phân bất định ............................................................................. 65 3.2.5. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định .............................................. 67 3.3. Tích phân suy rộng ................................................................................................... 70 3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn .................................................................... 70 3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn ................................................. 73 Bài tập ................................................................................................................................ 75 Chương 4: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN ...................................................................................... 79 4.1. Các khái niệm cơ bản .............................................................................................. 79

4.1.1. Tập hợp n� , khoảng cách, lân cận, tập mở, tập đóng, tập bị chặn ..................... 79 4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của hàm nhiều biến ......... 79 4.1.3. Giới hạn của hàm số nhiều biến .......................................................................... 80 4.1.4. Sự liên tục của hàm số nhiều biến ....................................................................... 82 4.2. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần ........................................................................ 83 4.2.1. Đạo hàm riêng ..................................................................................................... 83 4.2.2. Đạo hàm riêng của hàm số hợp............................................................................ 84 4.2.3. Vi phân toàn phần ............................................................................................... 85 4.2.4. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao ...................................................................... 89 4.2.5. Đạo hàm của hàm số ẩn ...................................................................................... 92 4.3. Cực trị của hàm nhiều biến ....................................................................................... 95 4.3.1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc ................................................................ 95 4.3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn ..................... . 99 Bài tập .............................................................................................................................. ..100

Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................................... 103 5.1. Khái niệm chung về phương trình vi phân ............................................................ 103 5.2. Phương trình vi phân cấp một ................................................................................ 103 5.2.1.Đại cương về phương trình vi phân cấp một....................................................... 104 5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một ................................................ 105 5.3. Phương trình vi phân cấp hai .................................................................................. 112 5.3.1. Các khái niệm cơ bản ......................................................................................... 112 5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai ............................................................ 113 Bài tập ................................................................................................................................ 126

ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý ................................................................................................................ 129 Tài liệu tham khảo ................................................................................................................ 141

PTIT

3

LỜI NÓI ĐẦU

Toán cao cấp 1 là một trong những môn học đầu tiên của sinh viên khối ngành kinh tế. Học

phần này bao gồm những nội dung sau:

Chương 1: Hàm số và giới hạn

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Chương 3: Phép tính tích phân

Chương 4: Hàm số nhiều biến số

Chương 5: Phương trình vi phân

Chương 1 trình bày những khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số một biến, giới hạn hàm một

biến và hàm số một biến liên tục.

Chương 2 và chương 3 gồm các nội dung về đạo hàm, vi phân, tích phân của hàm một biến.

Chương 4 dành cho hàm số nhiều biến số.

Chương 5 trình bày những khái niệm cơ bản về phương trình vi phân và cách giải một số

phương trình vi phân cấp một, cấp hai.

Các nội dung trên được lựa chọn nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về

phép tính vi tích phân, phương trình vi phân. Nhờ đó, sinh viên có kiến thức nền tảng để học tiếp

các môn xác suất thống kê, toán kinh tế, kinh tế lượng và sau này biết vận dụng nghiên cứu các

vấn đề chuyên môn của mình.

Vì thời gian dành cho môn học không nhiều nên bài giảng Toán cao cấp 1 không quá đi sâu

vào lí thuyết, nhiều định lí không được chứng minh, sinh viên có thể tìm hiểu trong các tài liệu

tham khảo.

Để cho việc tự học của sinh viên được dễ dàng hơn, tác giả đã đưa thêm một số ví dụ minh

họa vào bài giảng, từ đó sinh viên có thể hiểu lí thuyết và tự giải các dạng bài tập tương tự.

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Toán đã đọc và cho nhiều ý

kiến sâu sắc liên quan đến nội dung bài giảng.

Chắc rằng bài giảng vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả rất mong nhận được thêm những ý kiến

đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Tác giả xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, ngày 25 tháng 8 năm 2013

Tác giả

PTIT


6

Chương 1

HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

1.1. DÃY SỐ THỰC

1.1.1. Định nghĩa dãy số thực, dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

Định nghĩa:

Hàm số : u

( ) nn u n u

gọi là một dãy số thực.

Dãy số thường được viết dưới dạng nu hoặc 1 2, ,..., ,...nu u u

nu gọi là số hạng tổng quát của dãy số .nu

Định nghĩa:

Dãy nu được gọi là

tăng nếu 1 ,n nu u n

tăng ngặt nếu 1n nu u , n

giảm nếu 1 ,n nu u n

giảm ngặt nếu 1n nu u , .n

Dãy số tăng hoặc giảm gọi là dãy số đơn điệu.

Dãy số tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là dãy số đơn điệu ngặt.

Định nghĩa:

Ta nói rằng dãy

nu bị chặn trên nếu A sao cho nu A , n

nu bị chặn dưới nếu B sao cho nu B , n

nu bị chặn nếu tồn tại M sao cho nu M , .n

Ví dụ 1.1:

Dãy số nu với 1

nun

gồm các số hạng là 1 1 1 1

1, , , ,..., ,...2 3 4 n

nu là dãy giảm ngặt, bị chặn.

1.1.2. Giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kì

PTIT


7

Dãy nu được gọi là có giới hạn l nếu với mỗi số dương cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại

số 0n sao cho:

( n ) 0 .nn n u l

Kí hiệu lim nn

u l

hoặc nu l khi .n

Dãy nu được gọi là hội tụ nếu có số l để lim .nn

u l

Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.

Dãy nu được gọi là có giới hạn nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại số

0n sao cho:

0 ( ) .nn n n u A

Kí hiệu lim .nn

u

Dãy nu được gọi là có giới hạn nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số

0n sao cho:

0( ) .nn n n u A

Kí hiệu lim .nn

u

Ví dụ 1.2: Chứng minh 1

lim 0.n n

Giải:

1 1

0, 0 nn

Chọn 0n là số tự nhiên mà 0

1n

Ta có: 0

1 10 .n n n

n

Vậy 1

lim 0.n n

Ví dụ 1.3: Xét dãy nu gồm các số hạng

100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 1 1 1 1 1

, , , ,..., ,...9 10 11 12 n

Ta thấy lim 0.nn

u

Ví dụ 1.4: Xét dãy nu trong đó với mọi n .

PTIT


8

Dễ thấy lim .nn

u a

1.1.3. Tính chất của dãy số hội tụ

A. Tính duy nhất của giới hạn

Định lí 1.1: Nếu dãy nu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

B. Tính bị chặn

* Dãy nu hội tụ thì bị chặn trong tập .

C. Tính chất đại số của dãy hội tụ

1. lim lim .n nn n

u a u a

2. lim 0 lim 0.n nn n

u u

3. lim , lim lim( ) .n n n nn n n

u a v b u v a b

4. auau nn

nn

limlim , là hằng số.

5. ,0lim

nn

u nv bị chặn lim( ) 0.n nn

u v

6. lim , lim lim( ) .n n n nn n n

u a v b u v ab

7. lim , lim 0 lim .nn n

n n nn

u au a v b

v b

D. Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp

1. Giả sử lim nn

u l

và a l b . Khi đó 0 0 sao cho n n n .na u b

2. Giả sử lunn

lim và 0 0 :n n n .na u b Khi đó .a l b

3. Giả sử 3 dãy , ,n n nu v w thoả mãn:

0 0: n n nn n n u v w và lim lim .n nn n

u w l

Khi đó lim .nn

v l

4. Giả sử 0,n n n nu v và lim .nn

u

Khi đó lim .nn

v

E. Tính chất của dãy số đơn điệu

1. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

2. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

3. Dãy nu tăng và không bị chặn trên thì dần đến .

4. Dãy nu giảm và không bị chặn dưới thì dần đến .

PTIT


9

Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng 1

1n

nen

hội tụ.

Giải:

Trước hết ta sẽ chỉ ra ne tăng. Thật vậy, theo công thức nhị thức Newton, ta có:

n

n

nnn

k

nnkn

nn

nnnn

n

nnn

n

nn

nn

ne

n

n

n

11

11

!

111

21

11

!

111

!2

111

1

...2.1

)1)...(1(1

3.2.1

)2)(1(1

2.1

)1(11

11

32

Suy ra

1

1

1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1

1 2! 1 3! 1 1

1 1 2 1 1 1 2... 1 1 ... 1 1 1 ... 1

! 1 1 1 ( 1)! 1 1 1

n

nen n n n

n n

n n n n n n n n

Nhận xét: 1ne nhiều hơn ne một số hạng dương và từ số hạng thứ 3 trở đi mọi số hạng của ne nhỏ

hơn số hạng tương ứng của 1ne (vì 1

11

11

nn) . Suy ra 1n ne e .

Ngoài ra 12 2

1

2

1

2

12

!

1

!3

1

!2

12

nnn

e ,

Như vậy

1

22 3,1

12

ne n

. Dãy ne tăng và bị chặn trên nên hội tụ.

Gọi giới hạn của ne là số e , có 1

lim 1n

ne

n

( 2,718e )

Lôgarit cơ số e của x được kí hiệu là ln x (đọc là lôgarit tự nhiên của x , hay lôgarit Nêpe của

x ) .

1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

1.2.1. Các khái niệm cơ bản

A. Định nghĩa hàm số

Cho , .X Y

Một hàm số f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x X một phần tử duy

nhất .y Y

:

( )

f X Y

x y f x

PTIT


10

X được gọi là tập xác định của hàm số f.

Phần tử x X được gọi là biến số.

Số thực ( )y f x gọi là giá trị của hàm số f tại x (hay gọi là ảnh của x bởi hàm số f ).

Tập ( ) ( ) :f X f x x X gọi là miền giá trị của hàm số .f

Người ta thường kí hiệu hàm số dưới dạng công thức xác định ảnh là ( ).y f x Khi

đó miền xác định X của hàm số là tập hợp các phần tử x làm cho biểu thức ( )f x có nghĩa.

B. Các phép toán trên các hàm số

Cho hai hàm số :f X , :g X

Các hàm số

:f g X

:f g X

:fg X

xác định bởi

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

( )( ) ( ) ( )fg x f x g x

theo thứ tự gọi là tổng, hiệu, tích của hai hàm số , .f g

Ngoài ra, nếu ( ) 0g x với x X thì hàm số :f

Xg

xác định bởi

( )

( )( )

f f xx

g g x

gọi là thương của hai hàm số , .f g

C. Các hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn, đơn điệu

Định nghĩa:

Giả sử X là tập số thực sao cho x X với x X và f là hàm số xác định trên X.

f được gọi là hàm số chẵn nếu ( ) ( )f x f x , .x X

f được gọi là hàm số lẻ nếu ( ) ( )f x f x , .x X

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục hoành, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc O.

Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên X.

f được gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại số 0 sao cho với mọi ,x X ta có:

PTIT


11

x + X và f (x + ) = f (x).

Số T dương bé nhất trong các số gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn ( ).f x

Định nghĩa:

Cho hàm số f xác định trên X , f được gọi là

tăng trên X nếu: 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x

tăng ngặt trên X nếu: 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x

giảm trên X nếu: 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x

giảm ngặt trên X nếu: 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )x x X x x f x f x .

f được gọi là hàm số đơn điệu trên X nếu nó tăng hoặc giảm trên X.

f được gọi là đơn điệu ngặt trên X nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt trên X.

Định nghĩa:

Hàm số f (x) được gọi là

bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho: ( )f x A , x X

bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: ( )f x B , x X

bị chặn trong X nếu tồn tại các số A, B sao cho ( )B f x A , .x X

D. Hàm số hợp

Định nghĩa:

Cho các hàm số f : X Y và g: Y

Hàm số hợp của hai hàm số f , g kí hiệu là g f và xác định như sau:

:

( ) ( ( )).

g f X

x g f x g f x

* Người ta còn diễn tả định nghĩa hàm số hợp bằng lược đồ như sau:

Ví dụ 1.6: Hàm số 3sin( 2)z x x là hợp của hai hàm số 3 2u x x và sinz u .

g f

X f

Y g

x f (x) ( ( )) ( )g f x g f x

PTIT


12

Nói cách khác, z g f trong đó

3

:

( ) 2

f

x u f x x x

và

:

( ) sin

g

u g u u

E. Hàm số ngược

Cho song ánh :f X Y ( ,X Y ).

Ánh xạ ngược 1 :f Y X

1( )y x f y

gọi là hàm số ngược của hàm số f.

1( ) ( ).x f y y f x

Người ta thường kí hiệu biến số là x, hàm số là y, nên nói hàm số 1( )y f x là hàm số ngược

của hàm số ( )f x (chẳng hạn hàm số logay x là hàm số ngược của hàm số xy a ).

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường phân

giác thứ nhất.

1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản

A. Các hàm số sơ cấp cơ bản

1. Hàm lũy thừa: ( )f x x ( 0,x ).

2. Hàm số mũ: ( ) ( 0, 1).xf x a a a

3. Hàm số lôgarit: ( ) log ( 0, 1).af x x a a

4. Các hàm số lượng giác: ( ) s in , ( ) cos , ( ) tan , ( ) cotf x x f x x f x x f x x .

5. Các hàm số lượng giác ngược:

( ) arcsin , ( ) arccos , ( ) arctg , ( ) arccotgf x x f x x f x x f x x

Hàm arcsin là hàm số ngược của hàm sin: , 1,1 .2 2

arcsin: 1,1 , 2 2

arcsinx x

Như vậy, arcsin sin .y x x y

Hàm arccos là hàm số ngược của hàm số cos : 0, 1,1 .

PTIT


13

arccos : 1,1 0,

arccosx x

Như vậy, arccos cos .y x x y

Hàm arctan là hàm số ngược của hàm số tan : , .2 2

arctan : ,2 2

arctanx x

Như vậy, arctan tan .y x x y

Hàm arccot là hàm số ngược của hàm cot: (0, ) .

arccot : 0,

arccotx x

Như vậy, arccot coty x x y .

Ví dụ 1.7: Tính 1 1

arcsin ,arccos ,2 2

arctan0, arccot1.

Giải:

1

arcsin2 6

vì

1sin

6 2

và ,

6 2 2

Tương tự 1

arccos ,2 3

arctan0 0, arccot1= .

4

Nhận xét:

Có sin(arcsin ) cos arcsin arcsin arccos2 2

x x x x x

arcsin arccos .2

x x

Tương tự, arctan arccot .2

x x

B. Hàm số sơ cấp

Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng,

trừ, nhân, chia và phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.

PTIT


14

1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1.3.1. Định nghĩa giới hạn hàm số

A. Định nghĩa giới hạn hàm số

Cho hàm số f xác định trên tập 0( , )X a b x \ , 0 ( , ).x a b

f được gọi là có giới hạn l khi x dần đến 0x nếu với mỗi số dương cho trước bé tùy ý,

tồn tại một số dương sao cho:

0( ) 0 ( ) .x X x x f x l

Kí hiệu : 0

lim ( )x x

f x l

hoặc 0

( ) .x x

f x l

Chú ý: Với điều kiện 00 x x , ta chỉ cần xét những điểm x dần đến 0x nhưng khác 0.x Hàm

số f có thể không xác định tại 0.x

B. Định nghĩa giới hạn một phía

Cho hàm số f xác định trên khoảng 0( , ).X x b

Số thực l được gọi là giới hạn phải của hàm số ( )f x tại 0x nếu với mỗi số dương cho trước

bé tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:

0 0( ) ( ) .x X x x x f x l

Kí hiệu:0

lim ( )x x

f x l

hoặc 0( ) .f x l

Cho hàm số f xác định trên khoảng 0( , ).X a x

Số thực l được gọi là giới hạn trái của hàm số ( )f x tại 0x nếu với mỗi số dương cho trước bé

tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:

0 0( ) ( )x X x x x f x l

Kí hiệu:0

lim ( )x x

f x l

hoặc 0( ) .f x l

Nhận xét: Điều kiện cần và đủ để 0

lim ( )x x

f x l

là 0 0

lim ( ) lim ( ) .x x x x

f x f x l

C. Giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực

Các giới hạn khi 0 ,x l được định nghĩa như sau:

1. Cho hàm số f xác định trên tập 0( , )X a b x \ , 0 ( , ).x a b

0

lim ( )x x

f x

nếu với mỗi số dương A cho trước lớn tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:

0( ) 0 ( ) .x X x x f x A

PTIT


15

0

lim ( )x x

f x

nếu với mỗi số âm A cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương sao cho:

0( ) 0 ( ) .x X x x f x A

2. Cho hàm số f xác định trên khoảng ( , ).X a

lim ( )x

f x l

nếu 0, :( ) ( ) .A x X x A f x l

lim ( )x

f x

nếu 0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A

lim ( )x

f x

nếu 0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A

3. Cho hàm số f xác định trên khoảng ( , )X a .

lim ( )x

f x l

nếu 0, :( ) ( ) .A x X x A f x l

lim ( )x

f x

nếu 0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A

lim ( )x

f x

nếu 0, :( ) ( ) .A B x X x B f x A

Tương tự, ta có các định nghĩa 0 0

lim ( ) , lim ( ) .x x x x

f x f x

Ví dụ 1.8: Bằng định nghĩa, hãy chứng minh:

a) 0

limsin 0;x

x

b)1

lim 0.x x

Giải:

a) Có sin x x .x

0 ( bé), lấy

( ) : 0 sin 0x x x 0

limsin 0.x

x

b) 0 , 1 1

.x Ax

Từ đó:

*1

0, A

: ( )x x A 1

0 .x

Vậy 1

lim 0.x x

*1

0, A

: ( )x x A 1

0 .x

Vậy 1

lim 0.x x

PTIT


16

1.3.2. Tính chất của hàm số có giới hạn

A. Sự liên hệ với dãy số

Định lí 1.2: Giả sử ( , )a b chứa điểm 0x và f là hàm số xác định trên tập 0( , ) \X a b x . Khi đó

0

lim ( )x x

f x l

nếu và chỉ nếu

0lim lim ( ) .n n nn n

x X x x f x l

Chứng minh:

* Giả sử 0

lim ( ) .x x

f x l

Khi đó:

0 0, 0 ( ) : 0 ( ) .x X x x f x l

Với nx X

Có 0lim nn

x x

nên 0 0 0: nn n n x x

Như vậy 0 00, : ( )nn n n f x l

lim ( )nn

f x l

.

* Ngược lại, giả sử với 0, lim lim ( )n n nn n

x X x x f x l

, ta chứng minh

0

lim ( ) .x x

f x l

Thật vậy, giả sử ( )f x không có giới hạn l khi 0.x x Khi đó 0, 0, x mà

00 x x nhưng ( ) .f x l

*n , lấy 1

, nxn

để 0

10 nx x

n và ( ) .nf x l

Ta có nx X , 0lim nn

x x

nhưng lim ( )nn

f x l

(vô lý). Vậy 0

lim ( ) .x x

f x l

Nhận xét: Có thể chứng minh định lí 1.2 đúng cả khi 0 , .x l

Ví dụ 1.9: Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn lim sin .x

x

Giải:

Đặt ( ) sin .f x x

Lấy dãy nx với 2 ,2

nx n

ta có lim nn

x

và lim ( ) 1.nn

f x

Mặt khác, nếu lấy dãy nx với 2nx n ta cũng có lim nn

x

nhưng lim ( ) 0 1.nn

f x

PTIT


17

Vậy không tồn tại lim ( ).x

f x

B. Tính duy nhất của giới hạn

Định lí 1.3: Nếu 0

lim ( )x x

f x l

thì l là duy nhất.

C. Tính bị chặn

Định lí 1.4 : Nếu 0

lim ( )x x

f x l

thì )(xf bị chặn trong một lân cận đủ bé của 0 0( ).x x x

D. Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp

Định lí 1.5: Giả sử 0

lim ( ) ,x x

f x l

khi đó:

Nếu c l thì ( )c f x với mọi x đủ gần 0 0( ).x x x

Nếu l d thì ( )f x d với mọi x đủ gần 0 0( ).x x x

Nếu c l d thì ( )c f x d với mọi x đủ gần 0 0( ).x x x

Định lí 1.6: Giả sử 0

lim ( ) .x x

f x l

Khi đó:

Nếu )(xfc với mọi x đủ gần 0 0( )x x x thì .c l

Nếu dxf )( với mọi x đủ gần 0 0( )x x x thì .l d

Nếu dxfc )( với mọi x đủ gần 0 0( )x x x thì .c l d

Định lí được chứng minh bằng phản chứng (Dựa vào định lí 1.5)

Định lí 1.7: (Nguyên lí kẹp)

Cho ba hàm số , ,f g h thoả mãn các điều kiện:

)()()( xhxgxf với mọi x trong lân cận nào đó của 0.x

0 0


f x h x l

Khi đó 0

lim ( ) .x x

g x l

Định lí 1.8: Giả sử ( ) ( )f x g x với mọi x trong lân cận nào đó của 0x và0

lim ( ) .x x

f x

Khi

đó 0

lim ( ) .x x

g x

Chú ý: Các định lí trên được phát biểu tương tự trong các trường hợp 0 0, .x x

Định lí 1.8 cũng được phát biểu tương tự khi 0

( ) .x x

g x

E. Các phép tính đại số của hàm có giới hạn

Định lí 1.9: (Trường hợp giới hạn là hữu hạn)

PTIT


18

1. 0 0


f x l f x l

2. 0 0

lim ( ) 0 lim ( ) 0.x x x x

f x f x

3. 0

1lim ( ) ,x x

f x l

và 0 0

2 1 2lim ( ) lim ( ) ( ) .x x x x

g x l f x g x l l

4. 0 0

lim ( ) lim ( ) , .x x x x

f x l f x l

5. 0

lim ( ) 0x x

f x

và ( )g x bị chặn trong lân cận của 0

0 0( ) lim ( ) ( ) 0.x x

x x x f x g x

6. 0

1lim ( )x x

f x l

và 0 0

2 1 2lim ( ) lim ( ) ( ) .x x x x

g x l f x g x l l

7. 0

1lim ( )x x

f x l

và 0 0

12

2

( )lim ( ) 0 lim .

( )x x x x

lf xg x l

g x l

Mệnh đề: (Trường hợp giới hạn là vô hạn)

1. Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( )x x

g x l

thì 0

lim ( ) ( ) .x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( )x x

g x l

thì 0

lim ( ) ( ) .x x

f x g x

2. Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( )x x

g x

thì 0

lim ( ) ( ) .x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( )x x

g x

thì 0

lim ( ) ( ) .x x

f x g x

3. Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( ) 0x x

g x l

thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( ) 0x x

g x l

thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( ) 0x x

g x l

thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( ) 0x x

g x l

thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x

4. Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( )x x

g x

thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( )x x

g x

thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x

và 0

lim ( )x x

g x

thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x

5. Nếu 0

lim ( ) 0x x

f x

và ( ) 0f x với mọi x đủ gần 0x 0( )x x thì 0

1lim .

( )x x f x

Nếu 0

lim ( ) 0x x

f x

và ( ) 0f x với mọi x đủ gần 0x 0( )x x thì 0

1lim .

( )x x f x

(Mệnh đề trên đúng cả khi 0 0, , , )x x x x x x

PTIT


19

F. Giới hạn của hàm số hợp

Mệnh đề: Cho các hàm số : , : .f X Y g Y

Giả sử 0

lim ( )x x

f x a

và lim ( ) .y a

g y l

( )f x a với mọi x đủ gần 0 0( ).x x x

Khi đó 0

lim ( ) .x x

g f x l

Chứng minh:

Với mọi 0 , vì lim ( )y a

g y l

nên 0 sao cho

( ) : 0 ( ) .y Y y a g y l

Do 0

lim ( )x x

f x a

và ( )f x a với mọi x đủ gần 0 0( )x x x nên

với 1 0 10, 0 : ( ) 0 0 ( )x X x x f x a

( ( )) .g f x l

Chứng tỏ 0 1( ) : 0< ( ( )) .x X x x g f x l

Vậy 0

lim ( ) .x x

g f x l

G. Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp

Định lí 1.10: Nếu hàm số sơ cấp ( )f x xác định tại 0x thì 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x

Ví dụ 1.10: Tìm các giới hạn:

a) 2

lim ( 2);x

x

b) 2

3

9lim ;

3x

x

x

c) 0

lim ;x

x

x d)

4

2 1 3lim ;

2 2x

x

x

e) 0

1lim sin .cos .x

xx

Giải:

a) 2

lim ( 2) = 2 + 2 = 4;x

x

b) 2

3 3

9lim lim( 3) 6;

3x x

xx

x

c) 0 0

lim lim 1x x

x x

x x

PTIT


20

0 0

lim lim 1 1x x

x x

x x

Vậy không tồn tại 0

lim ;x

x

x

d) 4 4 4

2 1 3 2( 4).( 2 2) 2.2 2 2lim lim lim 2;

2.3 32 2 ( 4).( 2 1 3)x x x

x x x

x x x

e) 0 0

1 1 limsin 0, cos 1 lim sin .cos 0.

x xx x

x x


a) 5 3 lim 5 2 3 4 ;x

x x x

b)6

4 3 lim .

6x

x

x

Giải:

a) 5 3 5

2 4 5

2 3 4 5 2 3 4 5x x x x

x x x

Vì 5limx

x

và 2 4 5

2 3 4lim 5 5x x x x

nên 5 3 lim 5 2 3 4 .

xx x x

b) 6

lim 4 3 21x

x

6

lim 6 0.x

x

Vì khi 6x ta luôn có 6x nên 6 0x

6

1lim .

6x x

Vậy

6

4 3lim .

6x

x

x

1.3.3. Một số giới hạn đáng nhớ

a) 1sin

limsin

lim00

x

x

x

xxx

b) 1 1

lim 1 lim 1 .x x

x xe

x x

Tổng quát: Nếu 0

lim ( ) 0x x

u x

và ( ) 0u x với mọi x trong lân cận nào đó của 0 0( )x x x

thì 0

1

( )lim 1 ( ) u xx x

u x e

và 0

sin ( )lim 1.

( )x x

u x

u x

PTIT


21

Ví dụ 1.12: Tính 20

cos cos3lim .x

x x

x

Giải:

2 20 0 0

cos cos3 2sin 2 .sin( ) sin 2 .sinlim lim lim .4 4.

2 .x x x

x x x x x x

x x x x

Ví dụ 1.13: Tìm

2 12 2

2

1lim .

1

x

x

x

x

Giải:

2 21 12 2 2

2 2

1 2lim lim 1 = .

1 1

x x

x x

xe

x x

1.3.4. Đại lượng vô cùng bé (VCB), đại lượng vô cùng lớn (VCL)

A. Đại lượng VCB

Định nghĩa:

Hàm số : X được gọi là đại lượng VCB khi x dần đến 0x (hoặc vô cùng bé tại 0x )

nếu 0

lim ( ) 0x x

x

.

( 0x có thể là hoặc ).

Tương tự, ta có các định nghĩa VCB khi 0 0, .x x x x

Ví dụ 1.14:

Hàm số ( ) sinx x là đại lượng VCB khi 0.x

3

1

x là VCB khi .x

2 ( 1)x x là VCB khi 1 .x

So sánh các VCB:

Cho )(),( xx là các VCB tại 0x .

* Nếu 0

( )lim 0

( )x x

x

x

thì gọi là VCB cấp cao hơn tại 0x , kí hiệu )( o tại 0x .

Khi đó, gọi là VCB cấp thấp hơn tại 0x .

* Nếu 0

( )lim 1

( )x x

x

x

thì , được gọi là các VCB tương đương tại 0x .

Kí hiệu ~ tại 0x .

PTIT


22

Ví dụ 1.15: 3 ( )x o x khi 0.x

sin x x khi 0.x

3 ( 1) 1x x x khi 1 .x

Nhận xét:

* Nếu 1 1~ , ~ tại 0x thì 1 1~ tại 0x .

* Nếu 1 1~ , ~ tại 0x thì 0 0

1

1

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

x x

x x

.

* Nếu )( o khi x dần đến 0x thì ~ tại 0x .

* (Qui tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao)

Nếu là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB , ( 1, )i i m

là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB , ( 1, )j j n khi x dần đến 0x thì

0 0

1

1

( )( )

lim lim( )

( )

m

iin

x x x x

jj

xx

xx

.

Ví dụ 1.16: Tính các giới hạn:

a) 0

sin 2lim

sin 7x

x

x; b)

4 3 2

5 4 3 20

2 3 3lim .

3 2 3 2x

x x x

x x x x

Giải:

a) sin 2 ~ 2 , sin 7 ~ 7x x x x tại 0 nên

0 0

sin 2 2 2lim lim ;

sin 7 7 7x x

x x

x x

b) Áp dụng quy tắc ngắt bỏ các VCB cấp cao, ta có:

4 3 2 2

5 4 3 2 20 0

2 3 3 3 3lim lim .

3 2 3 2 2 2x x

x x x x

x x x x x

B. Đại lượng VCL

Định nghĩa:

Hàm số :f X được gọi là đại lượng VCL khi x dần đến 0x (hoặc VCL tại 0x ) nếu

0

lim ( )x x

f x

hoặc 0

lim ( )x x

f x

.

( 0x có thể là hoặc ).

So sánh các VCL:

PTIT


23

Cho , gf là các VCL khi x dần tới 0x .

* Nếu 0

( )lim

( )x x

f x

g x thì f gọi là VCL cấp cao hơn g tại 0x , hay g là VCL cấp thấp hơn

f tại 0x .

* Nếu 0

( )lim 1

( )x x

f x

g x thì ta nói rằng , gf là các VCL tương đương tại 0x .

Kí hiệu ~f g khi 0x x .

Nhận xét:

* Nếu 1 1~ , g ~f f g tại 0x thì 1 1~fg f g tại 0x .

* Nếu 1 1~ , g ~f f g tại 0x thì 0 0

1

1

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x .

* Nếu f là VCL cấp cao hơn g tại 0x thì ~f g f tại 0x .

* (Qui tắc ngắt bỏ các VCL cấp thấp)

Giả sử f là VCL cấp cao nhất trong các VCL , 1, 2,...,if i m

g là VCL cấp cao nhất trong các VCL , 1,2,...,jg j n , tại 0.x

Khi đó:

0 0

1

1

( )( )

lim lim .( )

( )

m

iinx x x x

jj

f xf x

g xg x


2

2

1lim .

2 2x

x x

x

Giải:

2 2

2 2

1 1 lim lim .

2 2 2 2x x

x x x

x x

Chú ý: Đối với các VCL và VCB nói chung, f g và 1 1f g tại 0x không suy ra 1f f tương

đương với 1g g tại 0.x

Chẳng hạn:

* Với 2 3( )f x x x , 2 3( )g x x x , 21 1( ) ( )f x g x x

Ta có: f g và 1 1f g khi 0x nhưng 31( ) ( )f x f x x không tương đương với

31( ) ( )g x g x x khi 0.x

PTIT


24

* Với 3 2( ) ,f x x x 3 2( ) ,g x x x 31 1( ) ( )f x g x x

Ta có: f g và 1 1f g khi x nhưng 21( ) ( )f x f x x không tương đương với

21( ) ( )g x g x x khi .x

1.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1.4.1. Khái niệm hàm số liên tục

A. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số : f X và 0 .x X

f được gọi là liên tục tại 0x nếu 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x

B. Hàm số liên tục một phía

Cho hàm số 0: , .f X x X

f được gọi là liên tục trái tại 0x nếu 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x

f được gọi là liên tục phải tại 0x nếu 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x

Nhận xét: f liên tục tại 0x f liên tục trái và liên tục phải tại 0.x

C. Điểm gián đoạn của hàm số

Nếu hàm số f không liên tục tại 0x thì 0x gọi là điểm gián đoạn của hàm số f.

D. Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số f được gọi là liên tục trên ( , )a b nếu f liên tục tại mọi ( , ).x a b

Nếu hàm số f liên tục trên khoảng mở (a,b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a thì ta nói f

liên tục trên đoạn [a,b].

Định nghĩa được phát biểu tương tự trong các trường hợp f liên tục trên ,a b , ,a b .

1.4.2. Các phép toán trên các hàm số liên tục

0x x

0( )f x

O

y

Hàm số liên tục tại 0x

( )y f x

H.1.1

0x x

0( )f x

O

y

Hàm số không liên tục tại 0x

( )y f x

H.1.2

PTIT


25

Định lí 1.11: Cho các hàm số 0, : , , .f g X x X

1. Nếu )(xf liên tục tại 0x thì )(xf liên tục tại 0.x

2. Nếu ( ), ( )f x g x liên tục tại 0x thì )()( xgxf liên tục tại 0.x

3. Nếu )(xf liên tục tại 0x thì )(xf liên tục tại 0.x

4. Nếu ( ), ( )f x g x liên tục tại 0x thì ( ) ( )f x g x liên tục tại 0.x

5. Nếu ( ), ( )f x g x liên tục tại 0x và 0( ) 0g x thì ( )

( )

f x

g x liên tục tại 0.x

Định lí trên cũng được phát biểu tương tự với các hàm liên tục trên khoảng X.

Định lí 1.12: Cho các hàm số : , :f X Y g Y

Giả sử 0

0lim ( )x x

f x y Y

và g liên tục tại 0.y Khi đó

0 0

0lim ( ) ( ) (lim ( )).x x x x

g f x g y g f x

Hệ quả: Cho : ; :f X Y g Y , 0 .x X

Nếu ( )f x liên tục tại 0x và ( )g y liên tục tại 0 0( )y f x thì hàm hợp ))(( xfg liên tục tại 0.x

* Nhận xét: Từ định lí trên, ta có thể chứng tỏ được rằng:

Nếu 0 0

lim ( ) 0, lim ( )x x x x

f x a g x b

thì 0

( )lim ( ) .g x b

x xf x a

Thật vậy: 0 0

( ) ( )ln ( )lim ( ) lim .g x g x f x

x x x xf x e

Khi 0x x thì ( )f x a và do hàm số lnz u liên tục tại a nên 0

lim ln ( ) lnx x

f x a

0

lim ( ) ln ( ) ln .x x

g x f x b a

Vì hàm xe liên tục tại mọi điểm nên 0

( ) ln ( ) lnlim .g x f x b a b

x xe e a

Ví dụ 1.18: Tính

2

2

2

3lim .

2

x

x

x

x

Giải:

2 22

2

2 5.2

5 2

2 2

3 5lim lim 1 =

2 2

x xxx

x x

x

x x

PTIT


26

2

2 2

5

2 2

55

2

5 = lim 1 .

2

x

x x

xe

x

(Vì lim

2 2

5

2

5lim 1

2

x

xe

x

và 2

20

5lim 5)

2x

x

x

Định lí 1.13: Giả sử hàm số ( )f x liên tục và tăng ngặt (giảm ngặt) trên khoảng X. Khi đó f là

một song ánh từ X lên khoảng ( ) .f X Y Hàm số ngược 1 :f Y X cũng là hàm liên tục và

tăng ngặt (giảm ngặt) trên Y.

Định lí 1.14: Nếu hàm số sơ cấp ( )f x xác định tại 0x thì liên tục tại 0.x

Ví dụ 1.19: Xét sự liên tục của hàm số

1sin 0

( )

0 0

x khi xf x x

khi x

Giải:

Dễ thấy f liên tục tại mọi 0.x

0

lim ( ) 0 (0)x

f x f

(vì 0

lim 0x

x

và 1

sinx

là hàm số bị chặn)

f liên tục tại 0.

Vậy f liên tục trên .

1.4.3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một khoảng đóng

Định lí 1.15: Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa ( )f a và

( )f b (nghĩa là nếu là một số thực nằm giữa ( )f a và ( )f b thì ,c a b sao cho ( )f c ).

Hệ quả: Giả sử f liên tục trên ,a b . Nếu ( ). ( ) 0f a f b thì tồn tại ít nhất một điểm ( , )c a b

sao cho ( ) 0f c .

x O

( )f a

( )f b

y ( )y f x

b c a

H.1.3

PTIT


27

Ví dụ 1.20: Cho : , ,f a b a b là hàm số liên tục trên , .a b

Chứng minh rằng tồn tại ,c a b sao cho ( ) .f c c

Giải:

Xét hàm số ( ) ( ) .x f x x

Dễ thấy liên tục trên , .a b

Có ( ) 0, ( ) 0a b nên ( ). ( ) 0a b

,c a b sao cho ( ) 0 ( ) .c f c c

Định lí 1.16: Nếu hàm số f liên tục trên [a,b] thì

f bị chặn trên [a,b],

f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a,b].

1.4.4. Một vài giới hạn liên quan tới số e

Ta có một số giới hạn cơ bản sau:

1. 0

log (1 )lim log ;a

ax

xe

x

2. 0

1lim ln ;

x

x

aa

x

(0 1)a

3.

0

1 1lim .x

x

x

Từ đó suy ra

0

ln(1 )lim 1x

x

x

hay ln(1 )x x khi 0.x

0

1lim 1

x

x

e

x

hay 1xe x khi 0.x

Thật vậy:

1. 1

0 0

log (1 )lim lim log (1 ) log .a x

a ax x

xx e

x

(Vì 1

0lim(1 ) x

xx e

và hàm số ( ) logag y y liên tục tại e)

2. Đặt 1 log (1 )xaa t x t

0 0

1 1lim lim ln .

log (1 ) log

x

x ta a

a ta

x t e

3. ln(1 )

0 0 0

1 1 1 ln(1 )lim lim lim .

x

x x x

x e x

x x x

PTIT


28

BÀI TẬP

1.1. Bằng định nghĩa, hãy tìm giới hạn của các dãy có số hạng tổng quát sau:

a) 1

n

nu

n

; b)

1

4 1n

nu

n

;

c) 2

3 1n

nu

n

.

1.2. Tìm giới hạn của các dãy có số hạng tổng quát sau:

a) 2 1nx n n ; b) ( )nx n n a n ;

c) 3 31nx n n ; d) 3 31nx n n .

1.3. Cho dãy nx với 1

1

1n n

n

x xx

, 1x = 1.

a) Chứng minh nx không có giới hạn hữu hạn ;

b) Chứng minh

nn

xlim .

1.4. Chứng tỏ rằng các dãy số sau có giới hạn hữu hạn:

a) 2 2

1 11

2nx

n ; b)

1 1

2! !nx

n .

1.5. Chứng tỏ các dãy số sau có giới hạn là +

a) 1 1

12

nxn

;

b) 2 3 1

log log log1 2

n a a a

nx

n

. ( 1)a

1.6. Cho hàm số ( ) arccos( lg )f x x . Tính 1

( ), (1), (10)10

f f f .

1.7. Tìm miền xác định của các hàm số:

a) 1

( ) ( 2)1

xf x x

x

; b) ( )

sin

xf x

x ;

c) ( ) arccos(2sin )f x x ; d) 4( ) lg(tan )f x x .

1.8. Tìm miền giá trị của các hàm số:

a) 2( ) 2f x x x ; b) ( ) lg(1 2cos )f x x ;

PTIT


29

c) 2

2( ) arcos

1

xf x

x

; d) ( ) arcsin lg

10

xf x

.

1.9. Tìm hàm số ( )f x biết

a) 2( 1) 3 2f x x x ;

b) 2

2

1 1( 2)f x x x

x x

;

c) 2

1

xf x

x

.

1.10. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) xxf )( ; b) 2( ) 2 1f x x x ;

c) 1

( ) ln1

xf x

x

; d) 2 23 3( ) (1 ) (1 )f x x x .

1.11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của các hàm số:

a) ( ) cos sinf x A x B x ; ( 0)

b) 2( ) sinf x x ;

c) ( ) tanf x x .

1.12. Tìm hàm ngược của các hàm số sau:

a) 32 xy ; b) 2 1, 0y x x ;

c) 3 31 xy ; d) 2

lgx

y .

1.13. Tìm các giới hạn

a)

202

102 3

2lim

12 16x

x x

x x

;

b) 1

...lim

2

1

x

nxxx n

x;

c) 12

12lim

50

100

1

xx

xxx

.


PTIT


30

a) 1

lim

x

xxxx

; b) 12

lim43

x

xxxx

.


a) x

xx nm

x

11lim

0; b)

x

xx nm

x

11.1lim

0

.


a) ax

axax

sinsinlim ; b)

30

1 tan 1 sinlimx

x x

x

;

c) x

xxxx cos1

3cos.2cos.cos1lim

0

; d) x

xxx 2

3

0 sin

coscoslim

.


a) 45

2lim

24

xx

xx

; b) 3 23lim ( 1 )x

x x x

.


a) x

x

x xx

xx

1

2

2

2

12

13lim ; b)

1

1

2

2

1

1lim

x

x

x x

x;

c) 1

0lim 1 2 xx

x

; d) 1

0lim cos x

xx

.

1.19. Tính các giới hạn

a) tan

2

lim sinx

x

x

; b) 2cot2

0lim 1

x

xx

;

c)

1

sin

0

1 tanlim

1 sin

x

x

x

x

.

1.20. Tính các giới hạn

a) xxx

lnsin)1ln(sinlim

; b) 2 1lim , 0; n n

nn x x x

PTIT


31

c) xx

ee xx

x

sinsinlim

0

; d)

3

2

ln 2lim

ln 3

x

xx

e

e

.

1.21. Xét sự liên tục của các hàm số sau:

a) xxf )( ; b)

2 4 khi 2

( ) 2

khi 2

xx

f x x

A x

;

c)

1sin khi 0,

( ) ;

0 khi 0

nx x nf x x

x

d) 2

1

khi 0( )0 khi 0

xe xf xx

;

1.22. Tìm A để hàm số sau liên tục trên khoảng ( 1,1) :

ln(1 ) ln(1 ) khi 0< 1

( )

khi 0

x xx

f x x

A x

.

1.23. Chứng minh rằng mỗi đa thức bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực.

PTIT


32

Chương 2

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

2.1.1. Khái niệm đạo hàm

A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa: Giả sử f là một hàm số xác định trên khoảng ( , )a b , 0 ( , ).x a b Nếu tồn tại

giới hạn hữu hạn

0

0 0 0

00

( ) ( ) ( ) ( )lim (hay lim )x x x

f x x f x f x f x

x x x

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại 0x . Kí hiệu 0( )f x hay 0( ).df

xdx

Khi đó ta nói f khả vi tại 0.x

Nếu hàm số được kí hiệu là ( )y f x thì đạo hàm của hàm số tại 0x còn được kí hiệu là

0( ).y x Đạo hàm 0( )y x biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số ( )y x tại 0.x

Ví dụ 2.1: Xét hàm số ( ) sin .f x x

Tại mọi 0 ,x ta có:

0 0

0 0

00

0 0

2cos sinsin sin 2 2( ) lim limx x x x

x x x xx x

f xx x x x

0 0

0

00

0

sin2lim cos . lim cos .

22

x x x x

x xx x

xx x

B. Đạo hàm một phía

Định nghĩa

1. Giả sử hàm số f xác định trên 0 , .x b Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x

x x

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải của f tại 0.x Kí hiệu là 0( ).pf x

Khi đó ta nói f khả vi phải tại 0.x

2. Giả sử hàm số f xác định trên 0,a x . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

0

0

0

( ) ( )lim

x x

f x f x

x x

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm trái của f tại 0.x Kí hiệu là 0( ).tf x

PTIT


33

Khi đó ta nói f khả vi trái tại 0.x

Nhận xét: f khả vi tại 0x f khả vi trái, khả vi phải tại 0x và

0 0 0( ) ( ) ( ).t pf x f x f x

Ví dụ 2.2: Tìm đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm số ( )f x x tại 0.x

Giải:

0 0 0

( ) (0)(0) lim lim lim 1.

0p

x x x x x x

xf x f xf

x x x

0 0 0

( ) (0)(0) lim lim lim 1.

0t

x x x x x x

xf x f xf

x x x

C. Tính liên tục của hàm khả vi

Định lí 2.1: Nếu f khả vi tại 0x thì 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f x x o x khi 0.x

Chứng minh:

Đặt 0 00

( ) ( )( ) ( )

f x x f xx f x

x

Ta có 0

lim ( ) 0.x

x

Từ đó 0 0 0 0( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( )f x x f x f x x x x f x x o x

tức là 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ).f x x f x f x x o x

Hệ quả: Nếu f khả vi tại 0x thì f liên tục tại 0.x

Chứng minh:

Vì f khả vi tại 0x nên theo định lí 2.1, ta có

0 00

lim ( ) ( ) 0x

f x x f x

. Vậy f liên tục tại 0.x

Nhận xét:

a) f có thể liên tục tại 0x nhưng không khả vi tại 0.x

Chẳng hạn,

* Xét hàm số xxf )(

Dễ thấy f liên tục tại 0 nhưng

f không khả vi tại 0 vì (0) 1, (0) 1t pf f .

* Xét hàm số

00

0,1

sin.)(

x

xx

xxf

f liên tục tại 0 vì 0

( ) 0 (0).x

f x x f

x O

y

y x

H.2.1

PTIT


34

f không khả vi tại 0 vì giới hạn 0 0

1.sin 1

lim limsinx x

xx

x x không tồn tại.

b) Nếu f khả vi phải (hoặc trái) tại 0x thì f liên tục phải (hoặc trái) tại 0.x

D. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu f khả vi tại 0x thì tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại điểm 0 0( , ( )).A x f x Tiếp

tuyến này không song song với trục Oy và có hệ số góc là 0( ).f x

E. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Định nghĩa: Giả sử hàm số f khả vi tại mọi điểm ( , ).x a b Hàm số

: ( , )

( )

f a b

x f x

gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng ( , ).a b

Ví dụ 2.3:

Hàm số sin x có đạo hàm là hàm số cos x trên (Xem ví dụ 2.1)

* Nếu f liên tục trên ( , )a b thì ta nói f khả vi liên tục trên ( , ).a b

2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

Định lí 2.2: Cho u và v là các hàm số khả vi tại 0.x Khi đó, tại 0x ta có:

1. ( )u v u v

2. ( )u u ( )

3. ( )uv u v uv

4. 02( ) 0.

u vu uvkhi v x

v v

Định lí 2.3: (Đạo hàm của hàm hợp)

Cho 0 , : , :x X f X g Y với YXf )( . Nếu f khả vi tại 0x và g khả vi tại

0( )f x thì hàm hợp h g f khả vi tại 0x và

0 0 0( ) ( ) ( ) . ( ).g f x g f x f x

Định lí 2.4: (Đạo hàm của hàm ngược)

Giả sử :f X đơn điệu ngặt, liên tục trên X , khả vi tại 0x X và 0( ) 0f x .

Khi đó hàm ngược của f là 1 : ( )f f X X khả vi tại 0( )f x và

10

0

1( ) .

( )f f x

f x

PTIT


35

Các định lí trên được phát biểu tương tự với đạo hàm trên một khoảng.

Ví dụ 2.4: Tìm đạo của hàm số arcsiny x trên khoảng (1,1).

Giải:

Hàm số arcsiny x có hàm số ngược là sin .x y

Với ( 1,1) , .2 2

x y

2( ) cos 1 sin .x y y y

Vậy 2 2

1 1( ) (arcsin )

1 sin 1y x x

y x

, ( 1,1).x

Nhận xét: Cho hàm số dạng tham số

( )

( ) ( , )

x t

y t t T

Nếu yx, khả vi trên T, tồn tại hàm ngược )(1 xt khả vi và ( )t khác không trên T, thì

theo các công thức tính đạo hàm của hàm số ngược và hàm số hợp, ta có:

( )

.( )

dy t

dx t

2.1.3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

0, y C y x

1 ( )y x y x

ln , x xy a y a a x

,x xy e y e x

*1log ,

lnay x y x

x a

*1ln ,y x y x

x

sin cos , y x y x x

cos sin , y x y x x

2

2

1tan 1 tan , \ ,

cos 2y x y x x k k

x

2

2

1cot (1 cot ), \ ,

siny x y x x k k

x

2

1arcsin , ( 1,1)

1y x y x

x

PTIT


36

2

1arccos , ( 1,1)

1y x y x

x

2

1arctan ,

1y x y x

x

2

1arccot ,

1y x y x

x

.

Nhận xét : Dựa vào bảng đạo hàm trên và công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có:

1.y u y u u

2

1arctan .

1y u y u

u

( ( )u u x là hàm số khả vi)

...

Nhận xét: (Đạo hàm lôgarit)

Trong một số trường hợp, trước khi tính đạo hàm ta lấy lôgarit hai vế. Chẳng hạn:

* Xét hàm số ( )( ) ( )v xy x u x ( ( ) 0,u x x )

Ta có ln ln lny u

y v u v u vy u

ln .u

y v u v yu

* Xét hàm số y u v w

( , , và ( ), ( ), ( )u u x v v x w w x là các hàm số dương)

Ta có ln ln ln lny u v w

y u v w

y u v w

.u v w

y yu v w

Ví dụ 2.5: Tính đạo hàm của hàm số sau:

2 1sin khi 0

( )

0 khi 0

x xf x x

x

.

Giải:

Với 1 1

0, ( ) 2 sin cos .x f x xx x

2

0 0 0

1sin

( ) (0) 1lim lim lim sin 0 (0) 0.

0x x x

xf x f x x f

x x x

PTIT


37

Ví dụ 2.6: Tính đạo hàm của hàm số

ln .y x

Giải:

Ta có ln

ln( )

x xy

x x

nÕu > 0

nÕu < 0

1

( 1)

xx

y

xx

nÕu > 0

1nÕu 0

-

Vậy 1

yx

với mọi .x

Ví dụ 2.7: Tính đạo hàm của hàm số sau:

2( ) sin .3

x xf x x

Giải:

Có 2 21

( ) sin .cos . .3 3 3

x xx xf x x x

Đặt u = 2

x

x ln ln2

xu x

' 1 1 1

ln . (ln 1)2 2 2

u xx x

u x

21

(ln 1) .2

x

u x x

Vậy 2 21 1

( ) (ln 1) sin cos .2 3 3 3

x xx xf x x x x

Ví dụ 2.8: Tính đạo hàm ( )y x của hàm số

2ln(1 )

arctan

x t

y t t

Giải:

2

2

11

( ) 1( ) .2( ) 2

1

y t tty xtx tt

PTIT


38

2.2. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

2.2.1. Định nghĩa vi phân

A. Vi phân của hàm số tại một điểm

Giả sử hàm số f khả vi tại 0 .x X Khi đó

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f x x o x (theo định lí 2.1)

Vi phân của f tại 0x kí hiệu là 0( )df x và xác định bởi công thức

0 0( ) ( ). df x f x x

Như vậy, 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ).f x x f x df x o x (2.1)

* Xét hàm số xxf )( trên , ( ) 1f x với x 1. .dx x

Từ đó, ta còn viết 0 0( ) ( ) .df x f x dx

B. Vi phân trên một khoảng

Cho hàm số f khả vi trên ( , ) .a b X Vi phân của f trên ),( ba là ánh xạ df xác định bởi

công thức

( ) ( )df x f x dx với ( , ).x a b (2.2)

Ví dụ 2.9: Xét hàm số 1

arcsin .1

xy

x

Ta có 22

2

1 (1 )( 1) (1 ) 1.

(1 ) (1 )(1 )1

(1 )

x xy

x x xx

x

1

.(1 )

dy dxx x

1

(4) .10

dy dx

Ứng với 2dx thì 1

(4) .5

dy

2.2.2. Các quy tắc tính vi phân

Theo định lí (2.2) và công thức (2.2) ta có:

Định lí 2.5: Nếu ,u v khả vi trên ),( ba thì

1. ( )d u v du dv

2. ( )d u du ( )

3. ( )d uv udv vdu

4. 2

u vdu udvd

v v

khi ( ) 0v x ( , ).x a b

PTIT


39

Nhận xét: Biểu thức vi phân có tính bất biến.

Thật vậy, xét hàm số ( ),y f x ( )x t ( ,f là các hàm số khả vi )

( ( )).y f t

Có ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) .dy f t dt f t t dt f x dx

(Biểu thức ( )dy y x dx vẫn giữ nguyên dù x là biến độc lập hay là biến phụ thuộc)

2.2.3. Áp dụng vi phân để tính gần đúng

Giả sử hàm số ( )f x khả vi tại 0.x Từ công thức (2.1) ta có:

0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x

khi x rất nhỏ.

Ví dụ 2.10: Tính gần đúng 3 1,02.

Giải:

Xét hàm số 3( )f x x 3 2

1( )

3f x

x .

Áp dụng công thức 0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x

với 0 1x và 0,02x , ta có:

31

1,02 1 .0,02 1,0067.3

2.3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

2.3.1. Đạo hàm cấp cao

A. Định nghĩa

1. Cho hàm số ( )y f x khả vi trên ,X khi đó ( )f x là hàm số xác định trên X. Đạo

hàm của ( )f x tại 0x gọi là đạo hàm cấp hai của f tại 0x , kí hiệu 0( )f x hoặc 0( ).y x

Như vậy 0 0( ) ( ) ( ).f x f x

Tương tự, đạo hàm cấp n của f tại 0x kí hiệu ( )0( )nf x hoặc ( )

0( )ny x và được định nghĩa

bằng qui nạp:

( ) ( 1)0 0( ) ( ) ( ).n nf x f x

2. f được gọi là khả vi đến cấp n (hay khả vi n lần) trên X nếu tồn tại )()( xf n trên

X , *.n

3. f được gọi là khả vi vô hạn lần trên X nếu f khả vi mọi cấp trên .X

Chú ý:

* Quy ước )()()0( xfxf , (1) ( ) ( ).f x f x

* Nếu f khả vi n lần trên X thì bằng quy nạp ta có thể chứng minh được

PTIT


40

)()()( qpqp ff ( ,p q sao cho nqp )

B. Các phép tính

Định lí 2.6: Cho *, , ,n f g khả vi n lần trên .X Khi đó, ta có:

1. )()()( nnngfgf

2. )()( nnff

3.

n

k

knkkn

ngfCfg

0

)()()( (công thức Leibnitz)

tại mọi .x X

Ví dụ 2.11: Cho hàm số ( ) sinf x ax . Chứng minh rằng:

( ) * ( ) sin , , .2

n nf x a ax n x n

Giải:

Trường hợp 1,n công thức đúng vì (sin ) cos sin .2

ax a ax a ax

Giả sử công thức đúng với n, ta có

( ) ( 1) 1( ) sin ( ) . cos sin ( 1)2 2 2

n n n n nf x a ax n f x a a ax n a ax n

công thức đúng với 1n . Vậy công thức đúng với *.n

* Tương tự, ta có:

( )(cos ) cos , , .2

n nax a ax n x n

Ví dụ 2.12: Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số 2( ) sin .f x x x

Giải:

Áp dụng công thức Leibnitz, ta có:

100

(100) 2 ( ) (100 )100

0

( ) ( ) (sin ) .k k k

k

f x C x x

Vì 2 (0) 2( ) ,x x

2( ) 2 ,x x

2( ) 2,x

2( ) 0,...x

nên (100) 0 2 (100) 1 (99) 2 (98)100 100 100( ) . (sin ) .2 .(sin ) .2.(sin )f x C x x C x x C x

)49sin(99002

99sin200)50sin(2

xxxxx

PTIT


41

2 sin 200 cos 9900sin .x x x x x

Ví dụ 2.13: Cho 1

( )f xx a

, tính )()( xf n ( a ).

Giải:

1 2( ) ( ) ( ) 1( )f x x a f x x a

3( ) 1.( 2)( )f x x a

4( ) 1.( 2)( 3)( )f x x a

...

( )

1

( 1) !( ) .

( )

nn

n

nf x

x a

Ví dụ 2.14: Cho 2 1

( )3 2

xf x

x

, tính ( ) ( ).nf x

Giải:

2 7 1

( ) .3 3 3 2

f xx

( )

( ) 7 1( ) . .

3 3 2

n

nf xx

Đặt 11( ) (3 2)

3 2u x x

x

2( ) 1.(3 2) .3u x x

3 2( ) 1.( 2)(3 2) .3u x x

4 3( ) 1.( 2)( 3)(3 2) .3u x x

...

( )

1

( 1) .3 . !( )

(3 2)

n nn

n

nu x

x

.

Vậy 1

( )

1

7.( 1) .3 . !( ) .

(3 2)

n nn

n

nf x

x

2.3.2. Vi phân cấp cao

A. Định nghĩa

1. Nếu hàm số f khả vi đến cấp n tại 0x X thì biểu thức ( )0( )n nf x dx gọi là vi phân

cấp n của f tại 0x , kí hiệu 0( )nd f x , trong đó dx là vi phân của biến.

Như vậy, ( )0 0( ) ( ) .n n nd f x f x dx

2. Nếu f khả vi đến cấp n trên X thì vi phân cấp n của f trên X được kí hiệu là

( )nd f x , xác định bởi:

PTIT


42

( ) ( ) ( )n n nd f x f x dx , .x X

Ví dụ 2.15: Xét hàm số ( ) sin 2f x x

Ta có ( ) ( ) 2 sin 2 ,2

n nf x x n x

( ) 2 sin 2 .2

n n nd f x x n dx

2 1 2 1

0 2(0) 2 sin

2 2 .( 1) . 2 1

n n n

m m m

khi n mnd f dx

dx khi n m

Ứng với 0,1dx thì 2 1

0 2(0)

( 1) .(0,2) 2 1

n

m m

khi n md f

khi n m

B. Các phép tính

Định lí 2.7: Nếu gf , khả vi đến cấp n trên X thì

1. ( )n n nd f g d f d g

2. ( )n nd f d f ,

3. 0

( )n

n k k n kn

k

d fg C d fd g

(Công thức Leibnitz)

4. Nếu 0)( xg thì g

f có vi phân đến cấp n.

Nhận xét:

a) Không có công thức tổng quát cho

)(n

g

f

và n f

dg

.

b) Biểu thức vi phân cấp cao không có tính bất biến.

Chẳng hạn, xét hàm số 2( )y f x x với 2x t

4 2 2 212 .y t d y t dt

Mặt khác, 2 2 2 2 2( ) 2 2(2 ) 8y x dx dx tdt t dt

2 2 2( ) ( ) .d y y t dt y x dx

2.4. CÁC ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

2.4.1. Định lí Fermat

A. Điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số f xác định trên X , 0 .x X

PTIT


43

f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại 0x X nếu tồn tại khoảng( , )a b X sao cho

0 ( , )x a b và 0( ) ( )f x f x với mọi ( , )x a b ( 0( ) ( )f x f x với mọi ( , )x a b ).

Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại 0x gọi là đạt cực trị tại 0.x

B. Định lí Fermat

Định lí 2.8: Nếu )(xf khả vi tại 0x và đạt cực trị tại 0x thì 0( ) 0.f x

Chứng minh:

Giả sử f đạt cực đại tại 0.x

Tồn tại khoảng ( , )a b mà 0 ( , )x a b và

0

0

( ) ( )0

f x f x

x x

với mọi 0( , ),x a b x x

0

0

( ) ( )0

f x f x

x x

với mọi 0( , );x a b x x .

Từ đó 0( ) 0tf x , 0( ) 0pf x .

Vì f khả vi tại 0x nên 0 0 0( ) ( ) ( ).t pf x f x f x

Vậy 0( ) 0.f x

(Trường hợp f đạt cực tiểu tại 0x thì hoàn toàn tương tự)

Nhận xét :

a) Nếu hàm số đạt cực trị tại 0x thì 0x phải là điểm trong của .X Như vậy nếu )(xf xác

định trên [a, b] thì không có khái niệm đạt cực trị tại các đầu mút a, b.

b) Hàm số đạt cực trị tại 0x chưa chắc đã khả vi tại 0.x

Chẳng hạn, xét hàm số ( )f x x , dễ thấy f đạt cực tiểu tại 0x nhưng không khả

vi tại 0x (Xem nhận xét 2.2).

c) Điểm 0x thỏa mãn điều kiện 0( ) 0f x gọi là điểm dừng của hàm số .f

Các điểm dừng hoặc các điểm mà tại đó hàm số f không khả vi gọi là các điểm tới hạn

của hàm số .f Điểm cực trị của hàm số (nếu có) phải là điểm tới hạn.

2.4.2. Định lí Rolle

Định lí 2.9: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn các điều kiện:

* ( )f x liên tục trên [a, b]

* ( )f x khả vi trên (a, b)

* ( ) ( ).f a f b

Khi đó tồn tại ),( bac sao cho ( ) 0.f c

Chứng minh:

PTIT


44

Vì f liên tục trên [a, b] nên f đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên [a, b].

Nếu m M thì ( ) ( ) 0, ( , ).f x const f x x a b

Nếu ,m M vì )()( bfaf nên ( ),f a ( )f b không thể đồng thời nhận 2 giá trị m và M.

Chứng tỏ hàm đạt giá trị nhỏ nhất m hoặc lớn nhất M tại điểm ( , ),c a b như vậy c là điểm

cực trị của hàm số. Theo định lí Fermat, ( ) 0.f c

Nhận xét :

Định lí Rolle có thể minh họa hình học như sau:

Trên đồ thị của hàm số ( ),y f x tồn tại ít nhất một điểm , ( )M c f c với ( , ),c a b tại đó

tiếp tuyến của đồ thị song song với trục Ox.

Ví dụ 2.16: Cho ( )f x là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và ( ) ( ) 0.f a f b

Chứng minh rằng với k là hằng số bất kỳ, phương trình ( ) ( )f x kf x có nghiệm.

Giải:

Đặt ( ) ( ) .kxg x f x e

Dễ thấy g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).

( ) ( ) ( ) ( )kx kxg x f x e f x e k

( ) ( ) 0g a g b

c (a, b) sao cho ( )g c = 0

( ) ( ) 0kcf c kf c e ( ) ( )f c kf c

c là nghiệm của phương trình ( ) ( ).f x kf x

2.4.3. Định lí Lagrange


* ( )f x liên tục trên [ , ]a b

* ( )f x khả vi trên ( , ).a b

Khi đó tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) ( ) ( )( ).f b f a f c b a

( ) ( )f a f b

b c a O

H.2.3

x

y

( )y f x

PTIT


45

Chứng minh:

Đặt ( ) ( )

( ) ( ) .f b f a

x f x x ab a

)(x liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và ( ) ( ) ( ).a b f a

Theo định lí Rolle, tồn tại ( , )c a b sao cho ( ) 0c , cụ thể là:

( ) ( )

( ) ( ) 0f b f a

c f cb a

( ) ( )

( )f b f a

f cb a

hay ( ) ( ) ( )( ).f b f a f c b a

Nhận xét:

Định lí Lagrange có thể minh họa hình học như sau:

Trên đồ thị của hàm số f, tồn tại ít nhất một điểm , ( )C c f c với ),( bac mà tiếp tuyến tại

đó song song với cát tuyến AB, trong đó )(,)(, bfbBafaA , .

(Xem hình 2.4)

2.4.4. Định lí Cauchy

Định lí 2.11: Cho , f g là các hàm số thỏa mãn các điều kiện:

* , f g liên tục trên [a, b]

* , f g khả vi trên (a, b)

* ( ) 0g x với ( , )x a b .

b c a

( )f a

O

H.2.4

x

y

B ( )f b

A

C

PTIT


46

Khi đó tồn tại ),( bac sao cho ( ) ( ) ( )

.( ) ( ) ( )

f b f a f c

g b g a g c

Chứng minh

Dễ thấy )()( bgag , vì nếu )()( bgag thì theo định lí Rolle, tồn tại ( , )c a b để

( ) 0,g c điều này trái với giả thiết.

Xét hàm số ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .( ) ( )

f b f ax f x f a g x g a

g b g a

Hàm thỏa mãn các điều kiện của định lí Rolle nên tồn tại ),( bac để ( ) 0c ,

tức là ( ) ( )

( ) ( ) 0( ) ( )

f b f af c g c

g b g a

hay

( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

f b f a f c

g b g a g c

Nhận xét:

a) Định lí Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy khi xxg )( trên [a, b].

b) Định lí Rolle là trường hợp riêng của định lí Lagrange khi ( ) ( ).f a f b

2.4.5. Công thức Taylor, công thức Maclaurin

A. Công thức Taylor với phần dư Lagrange

Định lí 2.12: Giả sử hàm số ( )f x có đạo hàm cấp 1n trên ( , )a b , 0 ( , ).x a b Khi đó, với

mỗi ( , )x a b ta có:

20 00 0 0

( ) 110

0 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ...

1! 2!

( ) ( )( ) ( )

! ( 1)!

n nn n

f x f xf x f x x x x x

f x f cx x x x

n n

(2.3)

trong đó c là điểm nằm giữa 0x và x.

Nếu 0 0x thì công thức (2.3) gọi là công thức Maclaurin.

B. Công thức Taylor với phần dư Peano

Giả sử hàm số ( )f x có đạo hàm cấp n liên tục trên ( , )a b , 0 ( , ).x a b Khi đó, với mỗi

( , )x a b ta có:

( )

20 0 00 0 0 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

1! 2! !

nn nf x f x f x

f x f x x x x x x x o x xn

(2.4)

Ta dễ dàng chứng minh được công thức (2.4) bằng cách áp dụng công thức (2.3).

Từ công thức (2.4), khi 0 0x ta có công thức khai triển Maclaurin của hàm số ( )f x :

( )

2(0) (0) (0)( ) (0) ... ( ).

1! 2! !

nn nf f f

f x f x x x o xn

PTIT


47

C. Công thức Maclaurin với phần dư Peano của các hàm số thường dùng

1. ( ) , .xf x e x

Có ( ) ( )k xf x e và ( ) (0) 1 .kf k

Vậy 2

0

( ) 1 ... ( ).! 1! 2! !

k nnx n n

k

x x x xe o x o x

k n

Tương tự, ta có:

2. 3 5 2 1

2 2sin ... ( 1) ( ), .3! 5! (2 1)!

mm mx x x

x x o x xm

3.

2 4 6 22 1cos 1 ... ( 1) ( )

2! 4! 6! 2 !

mm mx x x x

x o xm

, .x

4. 1

( 1)...( 1)(1 ) 1 ( ), , ,

!

nk n

k

kx x o x x X

k

X phụ thuộc .

5. 2

1ln(1 ) ... ( 1) ( ).2

nn nx x

x x o xn

( 1)x


1 1lim .

sin tanxA

x x

Giải:

22

0 0

1 121 cos

lim limsinx x

xo x

xA

x x o x

=

2 22

0 0

2 2lim lim 0.x x

x xo x

x o x x


sinlim .

(1 cos )x

x x

x x

Giải:

Áp dụng công thức khai triển Maclaurin của các hàm số sin , cosx x ta có:

3 3 3

320 0 03

1 1( )

sin 16 6lim lim lim .(1 cos ) 3

( )22

x x x

x o x xx x

xx x xx o x

2.5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

2.5.1. Sử dụng qui tắc L’Hospital để tính các giới hạn dạng vô định

A. Qui tắc L’Hospital

Định lí 2.13: Giả sử các hàm số ( ), ( )f x g x xác định, khả vi trong lân cận của điểm 0x

(có thể trừ tại 0x ), ( ) 0g x với mọi x thuộc lân cận trên.

PTIT


48

* 0 0

lim ( ) lim ( ) 0x x x x

f x g x

* 0

( )lim .

( )x x

f xl

g x

Khi đó 0

( )lim .

( )x x

f xl

g x

Chứng minh:

Đặt 0 0( ) 0, ( ) 0.f x g x

Với mọi x trong lân cận nói trên của 0x (giả sử 0x x , trường hợp 0x x thì hoàn toàn

tương tự).

,f g liên tục trên 0 ,x x , khả vi trên 0( , ).x x Theo định lí Cauchy, 0( , )xc x x sao cho

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )x

x

f x f x f c

g x g x g c

hay

( ) ( )

( ) ( )x

x

f c f x

g c g x

Khi 0x x thì 0

( ).

( )x

x

x

f cc x l

g c

Vậy 0

( )lim .

( )x x

f xl

g x

Định lí 2.14: Giả sử các hàm số ( ), ( )f x g x xác định, khả vi trong lân cận của điểm 0x , (có

thể trừ tại 0x ), ( ) 0g x với mọi x thuộc lân cận trên.

* 0 0

lim ( ) , lim ( )x x x x

f x g x

* 0

( )lim .

( )x x

f xl

g x

Khi đó 0

( )lim .

( )x x

f xl

g x

Nhận xét:

a) Các định lí trên vẫn đúng khi 0x hoặc .l

b) Các định lí trên vẫn đúng với các giới hạn một phía.

c) Có thể không tồn tại 0

( )lim

( )x x

f x

g x

nhưng tồn tại

0

( )lim .

( )x x

f x

g x Chẳng hạn,

cos 1

lim2 2x

x x

x

nhưng

( cos ) ' 1 sinlim lim

(2 ) ' 2x x

x x x

x

không tồn tại.

B. Một số giới hạn dạng vô định

a) Dạng vô định0

0

Ví dụ 2.19: Tìm giới hạn

2

coslim .

2x

x

x

PTIT


49

Giải:

* Vì (cos ) sin 1

(2 ) 2 2

x x

x

khi 2

x

nên theo quy tắc L’Hospital,

2

cos 1lim .

2 2x

x

x

* Ta có thể viết một cách ngắn gọn như sau:

2 2 2

cos (cos ) sin 1lim lim lim .

2 (2 ) 2 2x x x

x x x

x x

b) Dạng vô định

Ví dụ 2.20: Tìm giới hạn ln

lim .x

x

x )0(

Giải:

Áp dụng qui tắc L’Hospital, ta có:

1

1ln (ln ) 1

lim lim lim lim 0.( )x x x x

x x xx x x x

* Với các trường hợp sau, ta chuyển về dạng 0

0 hoặc

rồi áp dụng qui tắc L’Hospital.

c) Dạng vô định .0

Ví dụ 2.21: Tìm giới hạn 2

2lim( 4)tan .

4x

xx

Giải:

Đưa giới hạn về dạng 0

0 và áp dụng qui tắc L’Hospital, ta có:

2

2

2 2 2

2

4 2 16lim( 4)tan lim lim .

14 .cot44 sin

4

x x x

x x xx

xx

d) Dạng vô định


1 1lim

ln 1x x x

.

Giải:

Đưa giới hạn về dạng 0

0 và áp dụng qui tắc L’Hospital:

PTIT


50

1 1 1 11

11

1 1 1 ln 1 1 1lim lim lim lim lim

1ln 1 ln ( 1) ln 1 ln 2 2ln ( 1)x x x xx

x x xxx x x x x x x xx x

x

.

e) Dạng vô định 1

Ví dụ 2.23: Tìm giới hạn

1

1 cos

0

sinlim .

x

x

xA

x

Giải:

Ta có

sin.

sin (1 cos )

0

sinlim 1

x x x

x x x x

x

x xA

x

sin

0

sinlim 1 .

x

x x

x

x xe

x

Áp dụng qui tắc L’Hospital với dạng 0

,0

ta có:

0 0 0 0

sin cos 1 sin 1 1lim lim lim lim .

(1 cos ) 1 cos sin 2sin cos 32 cossin

x x x x

x x x x

xx x x x x x x x xx

Vậy 1

3 .A e

f) Dạng vô định 00


1 ln

0lim .x

xB x

Giải:

1

ln1 ln

0lim .

xx

xB e

Áp dụng qui tắc L’Hospital với dạng

Có 1

0 0

1ln

lim lim 1 .11 lnx x

x x B e ex

x

g) Dạng vô định 0

Ví dụ 2.25: Tìm giới hạn tan

0

1 C = lim .

x

x x

Giải:

1

tan ln

0lim .

xx

xC e

PTIT


51

Bằng cách đưa giới hạn về dạng

và áp dụng qui tắc L’Hospital, ta có:

2

0 0 0 0

2

1 1ln .

1lim tan .ln lim lim lim 0.

1cotsin

x x x x

xx x

x xx x

x

Vậy 0 1.C e

Ví dụ 2.26: Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát sau:

1

2( ) .nnu n n

Giải:

Xét giới hạn hàm số

1

2lim x

xA x x

(Dạng 0 )

Có 21

ln

limx x

x

xA e

2 2

2 1ln( )

lim lim 01x x

xx x x x

x

0 1.A e

Vậy 1

2lim 1.n

nn n

2.5.2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số


* f liên tục trên đoạn [a, b]

* f khả vi trên khoảng (a, b)

* ( ) 0f x với mọi ( , ).x a b

Khi đó ( )f x không đổi trên [a, b].

Chứng minh:

Lấy bất kỳ ],[, 21 baxx . Theo định lí Lagrange, tồn tại ),( 21 xxc sao cho

2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )f x f x f c x x f x f x .

Vậy ( )f x không đổi trên [a, b].

Định lí 2.16: Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).

Điều kiện cần và đủ để f tăng trên [a, b] là ( ) 0, ( , ).f x x a b

Điều kiện cần và đủ để f giảm trên [a, b] là ( ) 0, ( , ).f x x a b

Định lí 2.17: Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).

PTIT


52

Điều kiện cần và đủ để f tăng ngặt trên [a, b] là:

* ( ) 0, ( , )f x x a b

* Tập { ( , ), ( ) 0}x a b f x không chứa bất kỳ khoảng mở nào.

Định lí được phát biểu tương tự trong trường hợp f giảm ngặt trên [a, b].

Ví dụ 2.27: Xét hàm số ( ) sinf x x x

( ) cos 1 0f x x x

( ) 0 2 .f x x k

Tập 2 /k k không chứa bất kì khoảng mở nào.

Vậy f giảm ngặt trên .

2.5.3. Cực trị của hàm số

Định lí 2.18: Giả sử hàm số ( )f x liên tục tại 0x , khả vi trong một lân cận của 0x (có thể

không khả vi tại 0x ). Khi đó:

Nếu đạo hàm ( )f x đổi dấu từ sang khi x qua điểm 0x thì f đạt cực đại tại 0x .

Nếu đạo hàm ( )f x đổi dấu từ sang khi x qua điểm 0x thì f đạt cực tiểu tại 0x .

Định lí 2.19: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n liên tục trong một lân cận của điểm 0x và

( 1) ( )0 0 0( ) ... ( ) 0, ( ) 0.n nf x f x f x

Khi đó:

1. Nếu n chẵn thì ( )f x đạt cực trị tại 0.x

Đó là cực tiểu nếu ( )0( ) 0nf x

Đó là cực đại nếu nếu ( )0( ) 0nf x .

2. Nếu n lẻ thì ( )f x không đạt cực trị tại 0.x

Ví dụ 2.28: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 3 2( ) 3 2;f x x x

b) 3( ) .f x x

Giải:

a) Ta có 2( ) 3 6 .f x x x

( ) 0 0f x x hoặc 2.x

( ) 6 6.f x x

Vì (0) 6 0f nên f đạt cực đại tại 0,x (0) 2.f

Vì (2) 6 0f nên f đạt cực tiểu tại 2,x (2) 2.f

b) 2( ) 3f x x

PTIT


53

( ) 0 0.f x x

Hàm số f có một điểm tới hạn là 0.x

Có ( ) 6 , ( ) 6.f x x f x

(0) 0, (0) 0f f f không đạt cực trị tại 0.x

Vậy hàm số không có cực trị.

Ví dụ 2.29: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: 2 2

3 3( ) ( 1)f x x x

Giải: Hàm số xác định với x và khả vi trên \ 0,1 .

3 3

3 3 3

2 1 1 2 1( ) .

3 31 ( 1)

x xf x

x x x x

( ) 0f x khi 3 3 1x x 1

1 .2

x x x

Vậy hàm số giảm trên các khoảng 1

,0 , ,12

và tăng trên các khoảng 1

0, , 1, .2

Hàm số đạt giá trị cực tiểu là 1 tại 0, 1.x x

Hàm số đạt giá trị cực đại là 3 2 tại 1

.2

x

2.5.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên khoảng đóng

Cho hàm số f liên tục trên ,a b , khi đó f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , .a b

Giả sử f đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất tại 0 , .x a b

Trường hợp 1: 0x a hoặc 0x b

Trường hợp 2: 0 ,x a b 0x là điểm cực trị của hàm số. Khi đó 0x là điểm tới hạn của

hàm số.

x

( )f x

( )f x

0

1

2

1 +

0

3 2

1 1

PTIT


54

Vậy để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f, ta làm như sau:

* Tính ( ), ( )f a f b

* Tìm giá trị của f tại các điểm hàm số không khả vi

* Tìm giá trị của f tại các điểm đạo hàm bằng 0

* So sánh các giá trị tìm được ở trên.

Ví dụ 2.30: Tìm GTNN, GTLN của hàm số 2 23( ) ( 2 ) , 0 3.f x x x x

Giải:

* 3(0) 0, (3) 9f f

* 3

4 1( )

3 ( 2)

xf x

x x

( 0, 2)x x

( ) 0 1.f x x

(1) 1.f

(0) 0, (2) 0.f f

So sánh các giá trị 0, 3 9 ,1, ta thấy:

f đạt giá trị lớn nhất là 3 9 tại 3,x

f đạt giá trị nhỏ nhất là 0 tại các điểm 0, 2.x x

Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f trên khoảng mở hoặc khoảng vô hạn,

ta làm tương tự như trên ,a b .Tuy nhiên, thay vì tính ( ), ( )f a f b , ta tìm giới hạn của hàm số

khi , , ,...x a x b x , tùy theo từng trường hợp.

Ví dụ 2.31: Tìm GTNN, GTLN của hàm số 1

( ) , 10

xf x x x

Giải:

Hàm số khả vi trên khoảng 1

, .10

*1

10

1 1, lim ( ) lim

1010

x

x xf f x x

.

* ( ) (ln 1)xf x x x

( )f x 0 khi 1

xe

, 1

1 1

e

fe

e

.

1 1 1

10

1 1 1min , .

10e ee e

PTIT


55

Vậy f đạt giá trị nhỏ nhất là 1

1

ee

tại 1

xe

. Hàm số không có GTLN.

BÀI TẬP

2.1. Dùng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) ( ) 2 1f x x b) 1

( )f x xx

;

c) 1

( )x

f xx

.

2.2. Tính đạo hàm của các hàm số

a) 2 3( 1) ( 1)y x x ; b)

22 khi 1

1 khi 1

xx e x

yx

e

;

c) *1

sin khi 0,

0 khi 0

nx x ny x

x

; d) .y x x .

2.3. Chứng tỏ rằng nếu ( )f x khả vi tại x a thì

( ) ( )

lim ( ) ( )x a

xf a af xf a af a

x a

.

2.4. Chứng minh rằng hàm số ( ) ( )f x x a x trong đó ( )x là hàm số liên tục và

( ) 0a không khả vi tại x a .

2.5. Tính các đạo hàm (0)pf và (0)tf của các hàm số sau đây:

a) 2( ) sinf x x ; b) 1

khi 0( ) 1

0 khi 0

x

xx

f x e

x

.

2.6. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) ln tan2

xy ; b) 2ln( 1)y x x ;

c) 2 1

sinxy e ; d)

2

4

2arcsin

1

xy

x

;

e)

3

3

11y

x

; f) 2

1 2arctan

2 1

xy

x

;

g) ln 1

lnln 1

x xy

x x

; h)

2

1

2y

ax x

;

PTIT


56

i) 2

4ln

1

xy

a

; j)

5

1

(1 cos 4 )y

x

;

k) 2 1cos

1

xy

x

; l)

11 tany x

x

;

m) 1

arcsin1

xy

x

; n) 2 3 5log log logy x .

2.7. Tính đạo hàm sau bằng phương pháp đạo hàm lôgarit:

a) 2xxy ; b) cos(sin ) xy x ;

c) 3 4

25

( 1) 2

( 3)

x xy

x

; d)

1

xx

yx

;

e) 2 sin( 1) xy x ; f) 2

32 2

( 1)

( 1)

x xy

x

;

g) 1

xy x ; h) 22x xy x x ;

2.8. Tính vi phân của hàm số

a) 2

cos 1ln tan

2sin 2 2

x xy

x ;

b) Cho 3( ) 2 1f x x x . Tính (1), (1)f df ;

c) x

xxy 6

2

13

2

1

tại 1x và 0,2dx .

2.9. Tính đạo hàm xy của các hàm cho theo tham số:

a) 3cosx a , 3siny b ;

b) ( sin )x a t t , (1 cos )y a t .

2.10. Chứng minh các hệ thức sau:

a) Cho 1

( ) ln1

f xx

. Chứng minh ( ) (0) ( 1)!nf n ;

b) Cho 2( )x

af x x e

. Chứng minh ( )

2

( 1) ( 1)(0)

nn

n

n nf

a

;

c) Cho ( ) nf x x . Chứng minh ( )(1) (1)

(1) ... 21! !

nnf f

fn

.

2.11. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:

a) 2 2x xy ; b) ln( )y ax b ;

c) ax b

ycx d

; d)

2

2 3

( 1) ( 1)

xy

x x

PTIT


57

e) x

xy

1.

2.12. Tính các đạo hàm cấp cao sau:

a) 2( 1)siny x x , tính (20)y ;

b) xe

yx

, tính (10)y ;

c) sin .siny ax bx , tính ( )ny .

2.13. Áp dụng các phép tính đạo hàm, hãy tìm các tổng sau:

a) 2 11 2 3 ... nnA x x nx ;

b) 2 21.2 2.3. 3.4. ... ( 1) nnB x x n n x . ( 1)x

2.14. Chứng minh rằng với mọi m , phương trình 033 mxx không thể có 2 nghiệm

khác nhau trong [0,1].

2.15. Chứng tỏ rằng phương trình ( ) 0f x có 3 nghiệm thực biết rằng

( ) ( 1)( 2)( 3).f x x x x x

2.16. Không cần tính đạo hàm của hàm số 2 2( ) ( 1)( 4)f x x x , hãy cho biết số nghiệm

của phương trình ( ) 0f x và chỉ ra các khoảng chứa nghiệm đó.

2.17. Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:

a) ln , (0 )a b a a b

b aa b b

;

b) 2 2

tan tan , (0 )cos cos 2

;

c) 1 1( ) ( ), ( ), n n n nnb a b a b na a b b a n * ;

d) arctan arctana b a b .

2.18. Dùng qui tắc L’Hospital tìm các giới hạn sau:

a) 2

lim

x

xx

xe

x e ; b)

1

1lim

1 sin2

x

x

x

;

c) ln( )

limln( )x a

x a

x a

e e

; d)

1

tan2lim

ln(1 )x

x

x

;

e) 0

lnlim

1 2ln sinx

x

x ; f)

0lim

cot2

x

x

x

.

2.19. Tìm các giới hạn sau:

PTIT


58

a) 0

1 1lim

1xx x e

; b)

1lim ln .ln( 1)x

x x

;

c) 2

1

100

0lim .x

xe x

2.20. Tìm các giới hạn sau:

a) x

xx ln

0)1(lim

; b) 2cos

2

lim(tan ) x

x

x

;

c) 1

2

0lim( )x x

xx e

; d)

1

ln( 1)

0lim

xe

xx

;

2.21. Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của các hàm số sau:

a) (1 )y x x ; b) lny x x ;

c) 3

2 2( 1)y x ; d) xe

yx

.

2.22. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 2 (1 )y x x x ; b) ( 2)y x x ;

c)

2

2

x

y xe

; d) 1 ln x

yx

.

2.23. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) 2

arctan arcsin1

xx

x

;

b) 2

arcsin arctan1

xx

x

.

2.24. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin tan 2x x x với

2,0

x ;

b) 21cos 1

2x x , 0x ;

c) tan tan

, 0

2

;

d) 1xe x , 0x .

2.25. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số:

a) 2

2

1,

1

x xy

x x

0 1x ; b) ,1

22

x

b

x

ay

0 1, 0x b a ;

c) 22tan tan ,y x x 02

x

; d) 1

arctan ,1

xy

x

0 1x .

PTIT


59

zChương 3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

3.1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

3.1.1. Nguyên hàm của hàm số

Định nghĩa:

Hàm số ( )F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảng X nếu:

( ) ( )F x f x , x X.

Ví dụ 3.1:

1

sin 44

x là một nguyên hàm của cos 4x trên vì 1

sin 4 cos 4 , .4

x x x

Định lí 3.1:

Nếu ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên khoảng X thì

1) ( )F x C là một nguyên hàm của ( )f x trên X.

2) Mọi nguyên hàm của ( )f x đều có dạng ( )F x C (C: hằng số)

Chứng minh:

1) Hiển nhiên.

2) Giả sử ( )x là một nguyên hàm bất kì của ( )f x

( ) ( )x f x

( ( ) ( )) 0x F x x X

( ) ( )x F x C ( :C hằng số)

( ) ( ) .x F x C

3.1.2. Tích phân bất định

Định nghĩa: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảng X được gọi là tích

phân bất định của hàm số ( )f x , kí hiệu là ( ) .f x dx

Vậy ( ) ( )f x dx F x C

trong đó ( )F x là một nguyên hàm của f (x) trên X, ( C : hằng số)

Tính chất: Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a, b] thì f (x) có nguyên hàm trên [a, b] và

( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

( )f x dx f x dx ( )

( ) ( )f x dx f x

PTIT


60

( ( ) ) ( )d f x dx f x dx

Nếu ( ) ( )f x dx F x C thì ( ) ( )f u du F u C với ( )u u x là hàm số của x (u có đạo

hàm liên tục).

Thật vậy, ( ) ( ( )). ( ) .f u du f u x u x dx

Có ( ) ( ( )). ( ) ( ( )). ( )F u F u x u x f u x u x ( ) ( ) .f u du F u C

Chú ý: Ở đây, khi nói ( )F x là nguyên hàm của ( )f x trên [a,b] ta hiểu là ( ) ( )F x f x với mọi

( , )x a b và ( ) ( ), ( ) ( ).p tF a f a F b f b

3.1.3. Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản

1) 0dx C

2) 11

1x dx x C

( 1)

lndx

x Cx

3) ln

xx a

a dx Ca

x xe dx e C

4) sin cosxdx x C

5) cos sinxdx x C

6) 2

1tan

cosdx x C

x

7) 2

1cot

sindx x C

x

8) 2

1arctan arccot

1dx x C x K

x

9) 2

1arcsin arccos

1dx x C x K

x

10) 2 2

1arctan

dx xC

x a a a

11) 2 2

1ln

2

dx a xC

a x a a x

PTIT


61

12) 2 2

arcsindx x

Caa x

13) 2

2ln

dxx x a C

x a

14) 2

2 2 2 2 arcsin2 2

x a xa x dx a x

a

15) 2 2 2ln .2 2

x ax a dx x a x x a C

Các công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của các hàm số ở vế phải, hoặc

dùng các phép biến đổi đơn giản.

Ví dụ 3.2: Tính 10(3 4) .I x dx

Giải:

11

101 (3 4)(3 4) (3 4) .

3 33

xI x d x C

Ví dụ 3.3: Tính sin

dxI

x

Giải:

2 2

(tan )1 1 2 ln tan .

22sin .cos sin sin tan2 2 2 2 22 .cos 2 .cos

2 2cos cos2 2

xd

dx xI dx dx C

x x x x xx x

x x


50(1 )

x dxI

x

Giải:

Vì 33 2 31 (1 ) 1 3(1 ) 3(1 ) (1 )x x x x x nên

50 49 48 47

1 3 3 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )I dx

x x x x

50 49 48 47(1 ) (1 ) 3 (1 ) (1 ) 3 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x d x x d x x d x x d x

49 48 47 46

1 1 3 1.

49(1 ) 16(1 ) 47(1 ) 46(1 )C

x x x x

3.1.4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định

A. Phương pháp đổi biến số:

PTIT


62

Xét ( )f x dx ( f là hàm số liên tục)

Đặt ( )x t ( ( )t là hàm số đơn điệu, có đạo hàm liên tục)

( ) ( ( )). ( )f x dx f t t dt

Nếu ( ) ( ( )). ( )f x dx g x d x thì có thể đặt ( )t x

( ) ( ) .f x dx g t dt

* Chú ý: Sau khi đổi biến, kết quả phải đưa về dạng chứa biến ban đầu.

Ví dụ 3.5: Tính 2 2 .I a x dx ( 0a )

Giải:

Đặt a sin cosx t dx a tdt 2 2

t

2 2 2 2 2sin . cos cosI a a t a tdt a tdt

2

2 1 cos 2 1sin 2 .

2 2 2

t aa dt t t C

Có arcsinx

ta

2

2 2

2 2sin 2 2sin t cos 2 1 2

x x xt t a x

a a a

2

2 2arcsin .2 2

a x xI a x C

a

B. Phương pháp tích phân từng phần

Công thức:

udv uv vdu (u, v có đạo hàm liên tục)

Phương pháp này thường dùng khi tính các tích phân dạng:

( ) , ( ) cos , ( )sinxP x e dx P x xdx P x xdx … (1)

( ) arcsin , ( )arctan , ( ) lnP x xdx P x xdx P x xdx … (2) (P(x) là đa thức)

Đối với các tích phân dạng (1) nên đặt ( ).u P x

Đối với các tích phân dạng (2) nên đặt ( ) .dv P x dx

Ví dụ 3.6: Tính 3 .xI x dx

Giải:

PTIT


63

Đặt 3

, 3 , .ln 3

xxu x dv dx du dx v

2

3 3 3 3. . .ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

x x x x

I x dx x C

Ví dụ 3.7: Tính arctan .I x xdx

Giải:

Đặt 2

2

1arctan , , .

1 2

xu x dv xdx du v

x

2 2 2

2 2

1 1 1arctan . arctan 1

2 2 1 2 2 1

x x xI x dx x dx

x x

2 1 1

arctan arctan .2 2 2

xx x x C

Ví dụ 3.8: Tính 3 ln .I x xdx

Giải:

Đặt 4

3 1ln , ,

4

xu x dv x dx du dx v

x

4 4 431

ln ln .4 4 4 16

x x xI x x dx x C

Ví dụ 3.9: Tính

2.

1

xxeI dx

x

Giải:

Đặt

2

1 1, 1 ,

11

x xu xe dv dx du x e dx vxx

.1 1

x xx xxe xe

I e dx e Cx x


1.n n

I dxx a

( 0a )

Giải:

Đặt

12 2 2 2

1 2, , .

n n

nxu dv dx du dx v x

x a x a

2

12 2 2 22n n n

x xI n dx

x a x a

PTIT


64

2

12 2 2 2 2 2

12

n n n

x an dx

x a x a x a

2

12 2

2 2n n nn

xI nI na I

x a

1 2 2 2

12 1

2n nn

xI n I

na x a

(*)

Nhờ công thức truy hồi (*), ta tính 2I từ 1I , tính 3I từ 2I ,…

Chẳng hạn:

1 2 2

1 1arctan

xI C

x a a a

2 2 2 2

1 1arctan .

2

x xI C

a x a a a

3.1.5. Tích phân của các hàm hữu tỉ

A. Tích phân của các hàm hữu tỉ

Tính ( )f x dx với f x là phân thức hữu tỉ.

* Viết

Q xf x P x

R x

P(x), Q(x), R(x) là các đa thức, bậc Q(x) < bậc R(x)

* Viết

Q x

R x thành tổng các phân thức tối giản.

* Tính các tích phân dạng

n

Adx

x a ,

2 m

Bx Cdx

x px q

với 2 4 0.p q

(A, B, C, p, q ; m, n *)

Có

*

1

khi 11

ln khi 1

n

n

AC nA

n x adxx a

A x a C n

*

2 2

22 2

m m

B Bpx p C

Bx Cdx dx

x px q x px q

PTIT


65

2

2 22 2m m

d x px qB Bp dxC

x px q x px q

* 22 2

2 4

m m

dx dx

x px q p px q

= 2 2 m

dt

t a với

2

pt x ,

24.

4

q pa

Đây là dạng tích phân ở ví dụ 3.10.


1.

3 1I dx

x x

Giải:

2 22 2

1 1 1 1

4 1 33 1 x xx x

= 2

1 1 1 1 1

4 2 1 1 3x x x

= 2

1 1 1 1 1 1. . .

8 1 8 1 4 3x x x

2

1 1 1 1 1 1

8 1 8 1 4 3I dx dx dx

x x x

1 1 1

ln arctan .8 1 4 3 3

x xC

x


.dx

Ix x

Giải:

Có 5 2 2 3 2 2

1 1 1

1 1 1x x x x x x x x

Viết 5 2 2 2

1

1 1

A B C Dx E

x x x x x x x

3 3 2 2 21 1 1 1 1Ax x B x Cx x x Dx E x x

Lấy 0 1x B

Lấy 1

1 .3

x C

Cân bằng các hệ số của 4 3, ,x x x ta có:

PTIT


66

00

10

30

1

3

AA C D

B C D E D

AE

5 2 2 2

1 1 1 1 1 1. .

3 1 3 1

x

x x x x x x

5 2 2 2

1 1 1

3 1 3 1

dx dx dx xdx

x x x x x x

2

1 1 1 1ln 1 .

3 3 1

xx dx

x x x

Có

2 2

1 32 1 .

1 2 21 1

xx

dx dxx x x x

= 2

2

1 3ln 1

2 2 1 3

2 4

dxx x

x

= 2

11 3 2 2ln 1 . arctan2 2 3 3

2

xx x

+ C

= 21 2 1ln 1 3arctan .

2 3

xx x C

Vậy 21 1 1 3 2 1ln 1 ln 1 arctan .

3 6 3 3

xI x x x C

x

(C: hằng số)

B. Một số dạng tích phân có thể đưa về tích phân hữu tỉ

a. Tích phân của một số hàm lượng giác

Xét tích phân dạng (sin ,cos )R x x dx

(R là hàm hữu tỉ đối với các đối số trong ngoặc)

* Phương pháp chung: Đặt tan .2

xt

* Một số trường hợp đặc biệt:

Nếu hàm dưới dấu tích phân lẻ đối với sin x thì đặt cos .x t

Nếu hàm dưới dấu tích phân lẻ đối với cosx thì đặt sin .x t

PTIT


67

Nếu hàm dưới dấu tích phân chẵn đối với sinx và cosx thì đặt tan .x t

* Ngoài ra có thể dùng các cách biến đổi lượng giác,...

Ví dụ 3.13: Tính .cos

dxI

a x

( 1)a

Giải:

Đặt 2

2tan 2arctan .

2 1

xt x t dx dt

t

22

2 2 2 2

2

22 11 .

1 1 1

1

dtttI dt

t t a at ta

t

2

22

11 1 11

dt dt

aa a t a ta

2 1 1

arctan1 1 1

a at C

a a a

2

2 1arctan .tan .

1 21

a xC

aa

Ví dụ 3.14: Tính 3sin

.2 cos

xI dx

x

Giải:

Hàm dưới dấu tích phân lẻ đối với sinx.

Đặt cos sinx t dt xdx

21 cos sin

2 cos

x xdxI

x

2 1 3

22 2

t dtt dt

t t

2

2 3ln 22

tt t C

2cos

2cos 3ln cos 2 .2

xx x C

b. Tích phân của một số hàm vô tỉ

1. Xét tích phân dạng:

PTIT


68

, ,...,

m r

n sax b ax bR x dx

cx d cx d

(m, n,…, r, s )


Cách giải: Gọi k là BCNN của các số n,…, s

Đặt

1

.kax b

tcx d

2. Xét tích phân dạng 2 2,R x a x dx

( R là hàm hữu tỉ đối với các đối số trong ngoặc)

Có thể đặt sin .x a t

3. Xét tích phân dạng 2 2,R x x a dx


Có thể đặt tan .x a t


.dx

Ix x

Giải:

Đặt 1

6 56 6 .x t x t dx t dt

5 3

3 2

66

1

t dt tI dt

t t t

3

21 1 16 6 1

1 1

tdt t t dt

t t

3 2

6 ln 13 2

t tt t C

36 66 ln 1 .

3 2

x xx x C

Ví dụ 3.16: Tính

23

.1 2

dxI

x

Đặt 3 23 2 2 3 .x t x t dx t dt

2

2

3

1

t dtI

t

2

13 1

1dt

t

3 arctant t C

3 33 2 arctan 2 .x x C

Ví dụ 3.17: Tính 2 24 .I x x dx

Giải:

PTIT


69

Đặt 2sin , 2cos .2 2

x t t dx tdt

24sin .2cos .2cosI t t tdt 2 1 cos 4

4 sin 2 42

ttdt dt

1

2 sin 42

t t C 1

2arcsin sin 4arcsin .2 2 2

x xC


.3 4

dx

x x

Giải:

2 3 4

dx

x x

2

2

3ln 3 4 .

23 7

2 4

dxx x x C

x


.3 2

dx

x x

Giải:

23 2

dx

x x

2

1arcsin .

24 1

dx xC

x

c. Tích phân hàm hữu tỉ đối với xe ,

Xét ( )xR e dx

trong đó R là hàm hữu tỉ đối với xe , .

Có thể đặt .xt e


.3

x

x

e dxI

e

Giải:

Đặt xt e

3

1 3ln 33 3 3

x x

x

e d e tdtI dt t t C

e t t

3ln( 3) .x xI e e C

3.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

3.2.1. Khái niệm tích phân xác định

Định nghĩa: Cho hàm số f (x) xác định trên [a, b]. Chia [a, b] thành n đoạn nhỏ tùy ý bởi các

điểm chia 0 1 ... .na x x x b Trên mỗi đoạn 1, ,i ix x chọn một điểm i tùy ý.

Đặt 1.i i ix x x ( 1,i n )

PTIT


70

Tổng 1

( ).n

n i ii

f x

được gọi là một tổng tích phân của hàm f trên [ , ].a b

Nếu max 0

limi

nx

I

tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc phép chia [a, b], phép chọn các điểm

1,i i ix x thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm số ( )f x trên , .a b Kí hiệu

là ( ) .b

a

f x dx Khi đó ta nói f khả tích trên [a, b].

Trong kí hiệu trên: là dấu lấy tích phân, b

a

là lấy tích phân từ a đến b, a là cận dưới, b là

cận trên của tích phân, x là biến lấy tích phân, ( )f x là hàm dưới dấu tích phân, dx là vi phân

của biến lấy tích phân.

Định nghĩa:

* Nếu b a thì ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

trong đó ( )a

b

f x dx được định nghĩa như trên.

* ( ) 0.a

a

f x dx

Chú ý:

* Đối với tích phân xác định, ta có thể kí hiệu biến lấy tích phân theo nhiều cách khác

nhau, chẳng hạn:

( ) ( ) .b b

a a

f x dx f t dt

1ix

b xix

i

aO

y

( )y f x

PTIT


71

* Ý nghĩa hình học của tích phân xác định là: b

a

f x dx là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường , , 0, 0.x a x b y y f x

Thật vậy, để tính diện tích hình phẳng ta làm như sau:

Chia [a, b] thành n đoạn nhỏ tùy ý bởi các điểm chia 0 1 ... .na x x x b

Trên mỗi đoạn 1,i ix x , chọn một điểm i tuỳ ý.

Đặt 1i i ix x x ( 1,i n ).

Tổng tích phân 1

( )n

n i ii

f x

là tổng diện tích các hình chữ nhật có một cạnh là ix và

cạnh kia là ( ).if Khi các ix rất bé, tổng diện tích này xấp xỉ với diện tích của hình phẳng giới

hạn bởi các đường , , 0, .x a x b y y f x

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là: max 0

lim ( ) .i

b

nx

a

S f x dx

3.2.2. Điều kiện khả tích

Định lí 3.2:

Nếu f khả tích trên [a, b] thì f bị chặn trên [a, b].

Định lí 3.3:

* Nếu f liên tục trên [a, b] thì f khả tích trên [a, b].

* Nếu f bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] thì f khả tích trên [a, b].

* Nếu f đơn điệu và bị chặn trên [a, b] thì f khả tích trên [a, b].

* Nếu f , g khả tích trên [a, b] thì , . , . ,f g f f g f cũng khả tích trên [a, b]. ( )

* Nếu f khả tích trên [a, b] thì f khả tích trên mọi đoạn [, ] [a, b]. Ngược lại nếu f khả tích

trên [a, b] và [b, c] thì f khả tích trên [a, c].

Ví dụ 3.21: Bằng định nghĩa, tính 1

0

.xdx

Giải:

Hàm số ( )f x x liên tục trên 0,1 nên khả tích trên 0,1 .

1

0

xdx tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc cách chia 0,1 và cách chọn các điểm .i Ta chia

0,1 thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia 0 1

10, ,..., ,.., 1.i n

ix x x x

n n

Trên mỗi đoạn 1,i ix x , chọn một điểm i ix .

PTIT


72

Lập tổng 1

n

n i ii

f x

2 21

1 1 2 ... (1 ). .

2

n

i

i n n n

n n n n

Có 1

lim2

nn

. Vậy 1

0

1.

2xdx

3.2.3. Tính chất cơ bản của tích phân xác định

Giả sử các tích phân sau đều tồn tại hữu hạn, ta có:

1) ( ) ( ) ( ) ( ) .b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

2) ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx ( )

3) ( ) ( ) ( ) .b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

4) Nếu f (x) g(x) với mọi [ , ]x a b thì ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx .

5) ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx (a < b)

6) Nếu ( ) , ,m f x M x a b và f khả tích trên ,a b thì

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a .

7) Nếu ( ) , ,m f x M x a b và f khả tích trên ,a b thì ,m M sao

cho ( ) ( ).b

a

f x dx b a

Đặc biệt, nếu f liên tục trên [a, b] thì c [a, b] sao cho ( ) ( )( ).b

a

f x dx f c b a

Chứng minh:

Có ( )m f x M ( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a

1

( ) .b

a

m f x dx Mb a

Đặt 1

( )b

a

f x dxb a

ta có điều phải chứng minh.

PTIT


73

Nếu f liên tục trên [ , ]a b thì ,c a b sao cho ( )f c

( ) ( )( ).b

a

f x dx f c b a (3.1)

Nhận xét: Ta mô tả hình học công thức (3.1) như sau:

Giả sử f liên tục trên ,a b , ( ) 0f x với , .x a b

Trên đồ thị của hàm số ,f tồn tại điểm )(, cfcM để hình chữ nhật có các kích thước b a và

)(cf có diện tích bằng diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường x a , ,x b 0,y

( ).y f x (Xem hình 3.1)

3.2.4. Liên hệ với tích phân bất định

A. Hàm theo cận trên

Định nghĩa:

Giả sử hàm số f khả tích trên [a, b], khi đó f khả tích trên [a, x] với mọi x [a, b].

( ) ( )x x

a a

F x f x dx f t dt

là hàm số xác định ,a b , gọi là hàm theo cận trên.

Định lí 3.4: Nếu hàm số f liên tục trên [a, b] thì hàm số ( )x

a

F x f t dt khả vi trên [a, b] và

( ) ( ) , , .F x f x x a b

Chứng minh:

0

( ) ( )( ) lim

h

F x h F xF x

h

b c a O

H.3.1

x

y

( )y f x

( )f c

PTIT


74

( ) ( ) ( ) ( )x h x

a a

F x h F x f t dt f t dt

( )x h

x

x

f t dt f c h

,xc x x h

0 0

.( ) lim lim ( ).x

xh h

f c hF x f c f x

h

Nhận xét: Nếu f liên tục trên [a, b] thì f có nguyên hàm trên [a, b] (đây là tính chất đã nêu ở

phần tích phân bất định).

Ví dụ 3.22: Cho 2

0

cos 2 3 .x

F x t dt

Ta có 2( ) cos 2 3 .F x x

B. Công thức Newton - Leibnitz

Định lí 3.5: Giả sử ( )f x liên tục trên ,a b và có một nguyên hàm là ( )F x trên , ,a b khi đó

( ) ( ) ( ) ( ) .b

b

aa

f x dx F b F a F x

Chứng minh

Có ( ) ( )x

a

x f t dt là một nguyên hàm của ( )f x trên ,a b

( ) ( ) .F x x C

( ) ( )a

a

F a f t dt C C

( ) ( ) ( ) ( )b b

a a

F b f t dt C f t dt F a ( ) ( ) ( ).b

a

f t dt F b F a

Vậy ( ) ( ) ( ).b

a

f x dx F b F a

Ví dụ 3.23: 11

1

00

1 1

1 1x dx x

( 1 ).

Ví dụ 3.24: Tính4

2

0cos

xdxI

x

.

Giải:

PTIT


75

Trước hết, ta tìm một nguyên hàm của hàm số 2

( ) .cos

xf x

x

Đặt 2

1, , tan

cosu x dv dx du dx v x

x

2

tan tan tan ln cos .cos

xdx x x xdx x x x C

x

Vậy 4

0

2 1tan ln cos ln ln 2.

4 2 4 2I x x x

3.2.5. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định

A. Phương pháp đổi biến số

Định lí 3.6:

Xét ( )b

a

f x dx

Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng ,X [ , ] .a b X

Đặt ( )x t sao cho:

* ( )t là hàm số có đạo hàm liên tục trên ,

* ( ) , ( )a b

* , .X

Khi đó ( ) ( ) ( ) .b

a

f x dx f t t dt

Chứng minh:

Gọi F là một nguyên hàm của hàm số f trên khoảng X. Khi đó F là một nguyên hàm

của f trên , .

Theo công thức Newton – Leibnitz, ta có:

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .b

a

f t t dt F t F b F a f x dx

Định lí 3.7:

Xét ( )b

a

f x dx ( f liên tục trên , )a b

Đặt ( )t x sao cho:

* ( )x là hàm số đơn điệu ngặt, có đạo hàm liên tục trên , .a b

* ( ) ( ) .f x dx g t dt

PTIT


76

* ( )g t liên tục trên , .a b

Khi đó ( )

( )

( ) ( ) .bb

a a

f x dx g t dt

Ở định lí 3.7, ta thấy ( ) ( ( )) ( ) .g t dt g t t dt Trong nhiều bài toán, biểu thức ( )f x dx

không chứa ( )x , ta viết ( )

( ) ( )( )

f xf x dx x dx

x

. Như vậy đòi hỏi ( ) 0x trên , .a b Do

( )x liên tục nên ( ) 0x với mọi ,x a b hoặc ( ) 0x với mọi ,x a b

đơn điệu ngặt trên , .a b

B. Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục trên , .a b

Khi đó: .b b

b

aa a

udv uv vdu

Ví dụ 3.25:

a) Cho f là hàm số liên tục trên ,a a , chứng minh rằng:

0

2 ( )( )

0

a

a

a

f x dx ff x dx

f

nÕu ch½n

nÕu lÎ

b) Cho f là hàm số liên tục trên , tuần hoàn với chu kì T.

Chứng minh rằng:

( ) ( )a T b T

a b

f x dx f x dx

(a, b )

Giải:

a) 0

0

( ) ( ) ( )a a

a a


(*)

Xét 0

( )a

f x dx

Đặt .x t dx dt

0 0.

x a t a

x t

PTIT


77

0 0

0

( ) ( ) ( )a

a a

f x dx f t dt f t dt

0

0

( )

( )

a

a

f t dt f

f t dt f

nÕu ch½n

nÕu lÎ

Thay vào (*), ta có 0

2 ( )( )

0

a

a

a

f x dx ff x dx

f

nÕu ch½n

nÕu lÎ

.

b) Ta chứng minh 0

( ) ( )a T T

a

f x dx f x dx

, a .

Có 0

0

( ) ( ) ( ) ( )a T T a T

a a T

f x dx f x dx f x dx f x dx

(*)

Xét ( )a T

T

f x dx

Đặt .x t T dx dt

0x T t

x a T t a

0

( ) ( )a T a

T

f x dx f t T dt

0 0

0

( ) ( ) ( )a

a a

f t dt f t dt f x dx .

Thay vào (*), ta có:

0

( ) ( )a T T

a

f x dx f x dx

(a ).

Vậy ( ) ( )a T b T

a b

f x dx f x dx

(a, b ).


3 8

0

sin cos .I x xdx

Giải:

Đặt cos sin .t x dt xdx

0 1

02

x t

x t

2

2 8

0

1 cos cos .sinI x x xdx

1

2 8

0

1 t t dt

PTIT


78

1

1 9 118 10

0 09 11

t tt t dt

1 1 2

9 11 99 .


2

0

arctan .I x xdx

Giải:

Đặt 2arctan ,u x dv x dx

3

2

1,

1 3

xdu dx v

x

1 13 3

2

00

1arctan

3 3 1

x xI x dx

x

1

2

0

1 1.

3 4 3 1

xx dx

x

1

22

0

1 1ln 1

12 3 2 2

xx

1 1 1ln 2

12 3 2 2

1 1ln 2.

12 6 6

3.3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

3.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn

A. Định nghĩa:

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên ,a , f khả tích trên mọi đoạn [a, A], A a.

Nếu lim ( )A

Aa

f x dx I

trong đó I hoặc I thì giới hạn đó được gọi là tích phân

suy rộng của hàm số ( )f x trên ,a . Kí hiệu ( ) .a

f x dx

Nếu I là hữu hạn thì ta nói ( )a

f x dx

hội tụ.

Tích phân không hội tụ gọi là tích phân phân kì.

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên (, a], f khả tích trên mọi đoạn [A, a] A a.

Nếu lima

AA

f x dx I

trong đó I hoặc I thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy

rộng của hàm số ( )f x trên (, a].

Kí hiệu ( )a

f x dx .

Nếu I là hữu hạn thì ta nói ( )a

f x dx hội tụ.

PTIT


79


Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên , f khả tích trên [A, B] với mọi A, B .

Tích phân suy rộng của f trên (, + ) kí hiệu là ( ) .f x dx

( )f x dx

hội tụ nếu ( )

a

f x dx và ( )

a

f x dx

cùng hội tụ với mọi .a Khi đó:

( ) ( ) ( ) .a

a


B. Ý nghĩa hình học:

Cho ( ) 0,f x x a . Khi đó:

( )a

f x dx

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0, ( )y y f x và .x a

C. Nhận xét:

Giả sử ( )f x liên tục trên [a, +) và có một nguyên hàm là F(x) trên [a, +).

Khi đó:

( )a

f x dx

( ) ( ) ( )a

F x F F a

trong đó ( ) lim ( ).x

F F x

Tương tự:

( )a

f x dx

( ) ( ) ( )a

F x F a F

trong đó ( ) lim ( ).x

F F x

( )f x dx

lim lim .B A

F B F A

Chú ý:

* Tích phân suy rộng có các tính chất tương tự tích phân xác định.

* Khi tính tích phân suy rộng, ta có thể dùng phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân

từng phần.

D. Ví dụ

Ví dụ 3.28: Tính các tích phân suy rộng sau:

a)2

01

dx

x

; b) 0

21

dx

x

; c) 21

dx

x

.

PTIT


80

Giải:

a) 2 0

0

arctan lim arctan arctan0 ;1 2x

dxx x

x

b) 0

0

2arctan = arctan0 lim arctan 0 ;

1 2 2x

dxx x

x

c) 0

2 2 2

0

.1 1 1

dx dx dx

x x x

Ví dụ 3.29: Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:

a

dx

x

( 0, )a

Giải:

Nếu = 1 thì ln .a

a

dxx

x

Tích phân phân kì.

Nếu 1 thì 1 1 11 1lim

1 1a xa

dxx x a

x

Khi 1 thì 1 11lim 0 .

1xa

dxx a

x

Tích phân hội tụ.

Khi 1 thì 1lim .x

a

dxx

x


Vậy a

dx

x

hội tụ nếu 1 , phân kì nếu 1.

Ví dụ 3.30: Tính tích phân suy rộng sau:

0

cos ( 0).ataI e tdt a

Giải:

Đặt , cos , sin .at atu e dv tdt du ae dt v t

0

0sin sinat at

aI e t a e tdt

Có 0 sin

sin 0 lim 0.at

att

te t

e

0 0

0 cossin (cos ) .cos cos 1 lim 1 .

aat at at at

a aatt

te tdt e d t e t a e tdt aI aI

e

PTIT


81

Suy ra 2 .a aI a a I Vậy 2

.1

a

aI

a

3.3.2. Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn

(Hàm dưới dấu tích phân có cực điểm)

A. Định nghĩa:

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên ,a b

a được gọi là cực điểm của hàm số f nếu lim ( ) .x a

f x

b được gọi là cực điểm của hàm số f nếu lim ( ) .x b

f x

Cho hàm số f xác định trên 0,a b x\ , 0 ( , )x a b

0x được gọi là cực điểm của hàm số f nếu 0

lim ( ) .x x

f x

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên [a, b), có cực điểm là b, f khả tích trên mọi đoạn

[a, c] với .a c b

Nếu lim ( )c

c ba

f x dx I


suy rộng của hàm số ( )f x trên [a, b), kí hiệu ( ) .b

a

f x dx

Nếu I là hữu hạn thì ta nói ( )b

a

f x dx hội tụ.

Tích phân không hội tụ gọi là tích phân phân kỳ.

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên (a, b], có cực điểm là a.

f khả tích trên mọi đoạn [c, b] với a < c b.

Nếu lim ( )b

c ac

f x dx I


suy rộng của hàm số ( )f x trên (a, b], kí hiệu ( )b

a

f x dx .

Nếu I là hữu hạn thì ta nói ( )b

a

f x dx hội tụ.


Định nghĩa: Cho f : 0,a b x\ , 0 ( , )x a b là cực điểm của hàm số .f

f khả tích trên mọi đoạn , , ,a c d b với 0a c x , 0x d b

PTIT


82

Tích phân suy rộng của hàm số ( )f x trên ,a b kí hiệu là ( ) .b

a

f x dx

( )b

a

f x dx hội tụ nếu 0

( )x

a

f x dx và 0

( )b

x

f x dx cùng hội tụ. Khi đó:

0

0

( ) ( ) ( ) .xb b

a a x


B. Nhận xét: Nếu hàm số ( )f x liên tục trên [a, b] trừ tại các cực điểm của nó và có một nguyên

hàm là F(x) thì:

( ) lim ( ) ( )b

x ba

f x dx F x F a

(nếu cực điểm là b)

( ) ( ) lim ( )b

x aa

f x dx F b F x

(nếu cực điểm là a)

C. Ví dụ

Ví dụ 3.31: Tính các tích phân suy rộng sau:

a) 1

20

;1

dx

x b)

0

21

;1

dx

x c)

1

21

.1

dx

x

Giải:

a) Cực điểm: 1x

1

2 210 0

lim1 1

c

c

dx dx

x x

=01 1

lim arcsin lim arcsin .2

c

c cx c

b) Cực điểm: 1x

0

2 11

arcsin 0 lim arcsin 0 .2 21 x

dxx

x

c) Cực điểm: 1, 1x x

1 0 1

2 2 21 1 0

.1 1 1

dx dx dx

x x x

Ví dụ 3.32: Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau:

b

a

dxI

x a

( 0)

Giải:

PTIT


83

Cực điểm: .x a

lim .b

c ac

dxI

x a

Nếu 1 lim ln ln lim ln .b

cc a c aI x a b a c a


Nếu 1, 1 1 11 1

lim lim1 1

b

c a c ac

I x a b a c a

=

1

khi 11

khi 1

b a

.

Vậy

b

a

dxI

x a

hội tụ nếu 1, phân kì nếu 1.

Tương tự,

b

a

dx

b x

hội tụ nếu 1, phân kì nếu 1.

BÀI TẬP

3.1. Biến đổi về các tích phân đơn giản để tính các tích phân sau:

a) 3

1 ;x

x aa dx

x

b)

4

2;

1

xdx

x c) ;dx

x a x b

d) 4

10 1

x dx

x ; e)

1 ln;

xdx

x

f)

dx

xx

x

12

233

2

;

g) 2

;cos (1 ln )

dx

x x h) 2

2 arcsin;

1

x xdx

x

i)

1;

1

xdx

x

j) 22 )1( xx

dx; k)

dx

x

xx2

2

91

)3(arccos; l)

2;

4 9

dx

x

m) 544 2 xx

dx; n) dxxx 223 ; o) dxxx 133 2 ;

p) 2

;4 4 3

dx

x x q)

2.

8 6 9

dx

x x

3.2. Dùng phương pháp đổi biến để tính các tích phân sau:

a) 2 5 ;x xdx b) 5 2 10(1 2 ) ;x x dx c) 2

;1

dx

x x

PTIT


84

d) 12xx

dx; e) )1( xx

dx; f) )ln(ln.ln xxx

dx;

g) 53)2( 22 xx

xdx; h)

6.

9 4

x

x xdx

3.3. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:

a) arctan xdx ; b) dxx 2)(arcsin ; c) dx

x

x

22

arcsin;

d) dxx 2)(ln ; e) dxx

x 2sin

; f) dxx)cos(ln ;

g) dxx

x2

ln; h) dx

x

xx3sin

cos; i)

dx

x

x2

ln;

j) 1

ln ;1

xx dx

x

k) arctan 2 1x dx ; l) dx

x

x22

2

)1(;

m) arctg

32 2

;

(1 )

xxedx

x n)

2

ln(sin ).

sin

xdx

x

3.4. Tính tích phân các phân thức hữu tỉ:

a) 4

2 2;

xdx

x a b) 2

2 2

3 2 1;

( 1) ( 1)

x xdx

x x

c) 2 2

;( 2 2)

xdx

x x

d) 2

4

1;

1

xdx

x

e) 4

;1

dxdx

x

f ) 210 )1(xx

dx; g)

4

6

1.

1

xdx

x

3.5. Tích phân các hàm lượng giác:

a) 3

;tan

dx

x b) ;sin 2cos 3

dx

x x c) tan

;sin 2

xdx

x

d) ;sin sin

dx

x a e) sin cos

sin cos

x xdx

x x ;

f) 2 23sin 8sin cos 5cos

dx

x x x x .

PTIT


85

3.6. Tính các đạo hàm:

a) 2

;y

t

x

de dt

dx b)

2

;y

t

x

de dt

dy c)

3

24

.1

x

x

d dt

dx t

3.7. Sử dụng công thức Newton-Leibnitz tính các tích phân sau:

a)

2

34

dxx

x; b)

2

0

1 dxx ;

c)

2

1

2

121 x

dx; d)

2 1

2 20

( 0 , )

na

n

n

x dxa n

a x

.

3.8. Tính các tích phân sau bằng phép đổi biến:

a)

0

2cos21

sin

x

xdxx; b)

ln 2

0

1 ;xe dx

c)

3

0 2

5

2 )3( x

dx ; d)

1

2

14

2

1

1dx

x

x; e)

a

xax

dx

022

;

f)

3

1

022 1)12( xx

dx; g)

1

0

dxee

exx

x

; h)

2

0

a

dxxa

x.

3.9. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

a)

2

1

cos(ln ) ;e

x dx

b) e

e

dxx1

ln ;

c) 3

2

0

sin;

cos

x xdx

x

d) 3

2

4

.sin

xdx

x

3.10. Tính các tích phân sau bằng cách sử dụng hỗn hợp các phương pháp:

a)

5 2 9

5 3

0

;(1 )

x dx

x b)

4 2

0 5

2

8

15

)1( x

dxx; c)

3

0

25 1 dxxx ;

d) 4

3

0

sin;

cos

x xdx

x

e)

2

0 3cos2

x

dx; f)

5ln

0 3

1dx

e

eex

xx

;

PTIT


86

g) 2

30

;1 ( 1)

dx

x x h)

16

1

arctan 1 .x dx

3.11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ toạ độ Descartes

vuông góc:

a) 22 xxy và 0 yx ;

b) 2 ,xy 2y và 0x ;

c) 2 2 2 2( ), 0.y x a x a

3.12. Tính các tích phân suy rộng sau:

a) 2

2;

1a

dx

x x

b)

320 2

arctan

(1 )

xdx

x

; c)

0

31 x

dx;

d) 2

2

;1

dx

x x

e)

0

dxe x ; f)

0

dxex xn ;

g) 3

21

;4 3

dx

x x h)

2 5

20

.4

xdx

x

PTIT


87

Chương 4

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

4.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

4.1.1. Tập hợp n , khoảng cách, lân cận, tập mở, tập đóng, tập bị chặn

1. n 1 2( , ,..., ) : , 1,n iM x x x x i n .

2. Cho 1 2( , ,..., )nM x x x n , 1 2( , ,..., )nN y y y n . Khoảng cách giữa M và N kí hiệu

là ( , )d M N , được tính theo công thức:

2 2 21 1

1

( , ) ( ) ... ( ) ( )n

n n i ii

d M N x y x y x y

.

3. Cho 0nM và 0.

Tập 0: ( , )nM d M M được gọi là - lân cận của 0.M

4. Tập nV được gọi là một lân cận của 0M nếu V chứa một - lân cận nào đó của

0M .

5. Cho nE . Điểm T E gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một - lân cận nào đó

của T nằm hoàn toàn trong .E

6. Điểm nB gọi là điểm biên của E nếu mọi - lân cận của B đều chứa những điểm

thuộc E và điểm không thuộc .E

Biên của E là tập hợp tất cả các điểm biên của .E

7. Tập E được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là đóng nếu nó chứa

biên của nó.

8. Tập E gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu đóng nào đó chứa nó.

Ví dụ 4.1: Cho 0nM , 0

Tập 0: ( , )nM d M M là tập mở (gọi là quả cầu mở tâm 0M , bán kính ).

Tập 0: ( , )nM d M M là tập đóng (gọi là quả cầu đóng tâm 0M , bán kính ).

4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến, miền xác định và đồ thị của hàm nhiều biến

* Cho nD , quy tắc

: f D

cho ứng với mỗi điểm 1 2( , ,..., )nM x x x D một số thực duy nhất 1 2( ) ( , ,..., )nz f M f x x x

gọi là một hàm số của n biến số xác định trên D.

D được gọi là miền xác định của hàm số f

PTIT


88

1 2, ,..., nx x x gọi là các biến số.

* Nếu hàm số z được cho bởi biểu thức ( )z f M thì miền xác định của z là tập hợp các

điểm M sao cho biểu thức ( )f M có nghĩa.

* Cho hàm hai biến ( , )z f x y với Dyx ),( . Tập hợp

3( , , ) :( , )M x y z x y D

được gọi là đồ thị của hàm số ( , )z f x y . Đó thường là một mặt trong không gian 3 , mặt này

có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng xOy là miền D.

Ví dụ 4.2: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

a) 2 21 ;z x y b) ln( );z x y

c) 2 2 2

.9

yu

x y z

Giải:

a) Miền xác định là tập các điểm 2( , )x y sao cho 2 21 0x y hay 2 2 1.x y Đó

là hình tròn đóng tâm O, bán kính bằng 1.

b) Miền xác định là tập các điểm 2( , )x y thoả mãn: 0x y hay .y x

c) Miền xác định là tập các điểm 3( , , )x y z thoả mãn 2 2 2 9x y z . Đó là hình cầu

mở tâm O, bán kính bằng 3.

4.1.3. Giới hạn của hàm số nhiều biến

Từ phần này trở đi, chúng ta sẽ trình bày các vấn đề đối với hàm hai biến. Các định

nghĩa, tính chất đối với hàm nhiều biến thì hoàn toàn tương tự.

Định nghĩa: Dãy điểm ( , )n n nM x y được gọi là dần đến điểm 0 0 0( , )M x y khi n nếu

0),(lim 0

nn

MMd hay

0

0

lim

lim

yy

xx

nn

nn

Kí hiệu 0lim nn

M M

hoặc 0nM M khi .n

Định nghĩa: Cho hàm số ( ) ( , )f M f x y xác định trên miền D. Điểm 0 0 0( , )M x y có thể

thuộc D hoặc không thuộc D. Hàm số ( )f M được gọi là có giới hạn l khi M dần đến 0M

nếu

00, 0 : ( ), 0 ( , ) ( )M D d M M f M l

Kí hiệu lMfMM

)(lim0

hoặc

0 0, ,

lim ,x y x y

f x y l

hoặc 0

0

lim ,x xy y

f x y l

.

PTIT


89

Định lí 4.1: Hàm số ( )f M có giới hạn l khi M dần đến 0M nếu với mọi dãy điểm ( , )n n nM x y

( 0 0( , )nM D x y \ ) dần đến 0 ,M ta có: lim ( , ) .n nn

f x y l

Chú ý: Đối với hàm nhiều biến, các khái niệm giới hạn vô hạn; các tính chất của hàm có giới

hạn; các định lí về giới hạn của tổng, tích, thương đều tương tự như ở hàm số một biến số.

Chẳng hạn 2 2( , ) (0,0)

1lim .

x y x y

Ví dụ 4.3: Tìm các giới hạn

a) 22

2

)0,0(),(lim

yx

yxyx

; b) 3

( , ) (1,2)lim ( 2 )

x yx xy

;

c) 22)0,0(),(

limyx

xyyx

; d) 2 2( , ) (0,0)

limx y

xy

x y .

Giải:

a) Ta có 2

2 20

x yy

x y

0, : ( , )M x y , 2 20 x y

2

2 20

x yy y

x y

Vậy 2

2 2( , ) (0,0)lim 0.

x y

x y

x y

b) 3 3

( , ) (1,2)lim ( 2 ) 1 2.1.2 3.

x yx xy

c) 2 2 2 2

0 0 .xxy

y yx y x y

, ( , ) (0,0)x y

mà 00

lim 0xy

y

suy ra 2 2( , ) (0,0)

lim 0.x y

xy

x y

d) Đặt ( , )f x y 2 2

xy

x y

Lấy dãy điểm 1 1

,nMn n

, ta có

0lim (0,0)nn

M M

và

2 2

1 1.

1lim ( ) lim .

1 1 2n

n n

n nf M

n n

PTIT


90

Mặt khác, nếu lấy dãy điểm 1 2

,nMn n

, có

0lim (0,0)nn

M M

nhưng

2 2

1 2.

2 1lim ( ) lim

1 4 5 2n

n n

n nf M

n n

.

Vậy không tồn tại ( , ) (0,0)

l im ( , ).x y

f x y

4.1.4. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

Định nghĩa

1. Cho hàm số ( )f M xác định trên miền D và DM 0 , f được gọi là liên tục tại 0M

nếu 0

0lim ( ) ( ).M M

f M f M

Nếu miền D đóng và 0M là điểm biên của D thì giới hạn 0

lim ( )M M

f M

xét với những

điểm M nằm trong D.

2. Hàm số ( )f M được gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

Đặt ),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf , gọi là số gia toàn phần của hàm

số f tại 0 0( , )x y .

Vậy hàm số ( , )f x y liên tục tại 0 0( , )x y nếu 0),( 00 yxf khi 0x và 0.y

Hàm số nhiều biến liên tục cũng có những tính chất giống hàm một biến liên tục. Chẳng

hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trên một miền đóng, bị chặn D thì nó bị chặn trên miền ấy,

nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miền ấy.

Ví dụ 4.4: Xét sự liên tục của các hàm số sau:

a)

2 2 khi , 0,0

, ;

0 khi , = 0,0

xyx y

x yf x y

x y

b)

2

2 2 khi , 0,0

,

0 khi , = 0,0

x yx y

x yf x y

x y

;

c) 2 2cos xz x e xy .

Giải: a) f liên tục tại mọi , 0,0 .x y

f không liên tục tại 0,0 vì không tồn tại giới hạn 2 2( , ) (0,0)

l imx y

xy

x y (theo ví dụ 4.3.d ).

Vậy f liên tục trên 2 \ 0,0 .

PTIT


91

b) f liên tục tại mọi , 0,0 .x y

f liên tục tại 0,0 vì 2

2 2( , ) (0,0)l im 0 (0,0)

x y

x yf

x y

(theo ví dụ 4.3.a).

Vậy f liên tục trên 2.

c) Hàm số liên tục trên 2 vì nó là hợp của hai hàm số liên tục:

2 2xu x e xy và cos z u .

4.2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN

4.2.1. Đạo hàm riêng

Cho hàm số ,u f x y xác định trong miền D và 0 0 0( , ) .M x y D Cố định 0 ,y y nếu hàm

số một biến số 0( , )x f x y có đạo hàm tại 0x thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của

f theo biến x tại 0 0( , )x y , kí hiệu là:

),( 00 yxf x hay ),( 00 yx

x

f

hoặc ),( 00 yxux

hay 0 0( , ).u

x yx

Vậy 0

0 0 0 0 0 0 00 0

00

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) lim lim .

x x x

f x x y f x y f x y f x yfx y

x x x x

Tương tự, đạo hàm riêng của f theo biến y tại 0 0( , )x y kí hiệu là:

),( 00 yxf y hay ),( 00 yx

y

f

hoặc ),( 00 yxuy

hay 0 0( , ).u

x yy

0

0 0 0 0 0 0 00 0

00

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) lim lim .

y y y

f x y y f x y f x y f x yfx y

y y y y

Nhận xét: Khi tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến số nào, ta coi hàm số chỉ phụ thuộc

biến số ấy, các biến còn lại là hằng số, rồi tính như với đạo hàm của hàm một biến.

Ví dụ 4.5:

a) Cho 3 ,u x y tính (1,2), (1,1)x yu u ;

b) Cho ( 0),yu x x tính ( , ), ( , )x yu x y u x y ;

c) Cho 2 arctan ,y

u x zz

tính ( , , ), ( , , ), ( , , )x y zu x y z u x y z u x y z .

Giải:

a) 6)2,1(3),( 2 xx uyxyxu ,

1)1,1(),( 3 yy uxyxu .

b) xxuyxu yy

yx ln,1 .

PTIT


92

c) ( , , ) 2 arctanx

yu x y z xz

z ,

2 2

22 2 2

2

1 1( , , ) .

1y

x zu x y z x z

zy y z

z

,

2 2 2

2 2 2 2

2

1( , , ) arctan . (arctan ).

1z

y y y yzu x y z x x z x

yz z z y z

z

4.2.2. Đạo hàm riêng của hàm số hợp

* Cho nD và các hàm số : mD , : ( ) .f D

Hàm số

:

( ) ( ( ))

f D

M f M f M

gọi là hàm số hợp của hai hàm số ,f .

Cho hàm số 1 2( , ,..., )mz f u u u trong đó mỗi biến ku ( 1,k m ) là hàm số của các biến

1 2, ,..., nx x x . Đạo hàm riêng của z theo biến ix ( 1,i n ) được tính bởi công thức:

1 2

1 2

... .m

i i i m i

uu uz z z z

x u x u x u x

( k

z

u

liên tục với mọi 1,..., )k m

* Đặc biệt, khi ( , ), ( )z f x y y y x thì .dz f f dy

dx x y dx

Khi ( , ), ( ), ( )z f x y x x t y y t thì .dz f dx f dy

dt x dt y dt

Ví dụ 4.6: Cho 22,,ln tsystxyeu x

Tính các đạo hàm riêng u

s

, .

u

t

Giải:

2 2

2 2

1 2. . ln . . .2 ln( )x x stu u x u y s

e y t e s e t s ts x s y s y s t

2 2

2 2

1 2. . ln . . .( 2 ) ln( ) .x x stu u x u y t

e y s e t e s s tt x t y t y s t

Ví dụ 4.7: Cho 2 2( )z yf x y với ( )f t là hàm số có đạo hàm liên tục. Chứng minh rằng:

PTIT


93

2

1 1 10.x yz z z

x y y

Giải:

Đặt 2 2 ( )x y t z yf t

( ). ( ).2x xz yf t t yf t x , ( ) ( ). ( ) ( ).2y yz f t yf t t f t yf t y

Từ đó, 2

1 1 10.x yz z z

x y y

4.2.3. Vi phân toàn phần

A. Định nghĩa

1. Cho hàm số ( , )u f x y xác định trong miền D và điểm 0 0 0( , ) .M x y D

Xét 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y

Nếu 0 0( , ) . . . .f x y A x B y x y (4.1)

trong đó ,A B là những số chỉ phụ thuộc 0 0( , )x y , còn 0, 0 khi 0,0 yx thì ta

nói hàm số ( , )f x y khả vi tại 0M . Khi đó biểu thức . .A x B y được gọi là vi phân toàn phần

của f tại 0 ,M kí hiệu là 0 0( , )df x y hay 0 0( , ).du x y

0 0( , ) . . .df x y A x B y

2. Hàm số ( , )u f x y được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc

D.

B. Điều kiện cần để hàm số khả vi

Định lý 4.2: Nếu f khả vi tại 0 0( , )x y thì f liên tục tại 0 0( , ).x y

Thật vậy, từ biểu thức 0 0( , ) . . . .f x y A x B y x y suy ra 0 0( ) 0f x y khi

0, 0.x y Vậy hàm số liên tục tại 0 0( , ).x y

Định lý 4.3: Nếu ( , )f x y khả vi tại 0 0( , )x y thì f có các đạo hàm riêng tại 0 0( , )x y và

0 0 0 0( , ), ( , ).x yA f x y B f x y

Chứng minh:

Từ (4.1), lấy 0y ta suy ra: 0 0 0 0( , ) ( , ) . .f x x y f x y A x x

0 00

. .( , ) lim .x

x

A x xf x y A

x

Tương tự , 0 0( , ) .yf x y B

Chú ý: Từ định lí 4.3, ta có thể viết

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y x f x y y

PTIT


94

Nếu xét các hàm số ( , )f x y x và ( , )g x y y trong 2 thì

( , )df x y dx x , ( , )dg x y dy y .

Từ đó vi phân toàn phần của hàm số ( , )f x y tại 0 0( , )x y còn viết dưới dạng:

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy . (4.2)

Nhận xét: Nếu ( , )f x y có các đạo hàm riêng tại 0 0( , )x y thì chưa chắc f đã khả vi tại 0 0( , ).x y

Ví dụ 4.8:

Cho hàm số 2 2khi ( , ) (0,0)

( , )

0 khi ( , ) (0,0)

xyx y

x yf x y

x y

Chứng minh rằng f có các đạo hàm riêng tại 0,0 nhưng không khả vi tại đó.

Giải:

Ta có

0 0

,0 0,0 0 00,0 lim lim 0x

x x

f x ff

x x

, tương tự (0,0) 0.yf

Tuy nhiên, theo ví dụ 4.4, f không liên tục tại (0,0) f không khả vi tại 0,0 .

C. Điều kiện đủ để hàm số khả vi

Định lý 4.4: Nếu hàm số ( , )u f x y có các đạo hàm riêng ),(),,( yxfyxf yx liên tục tại

0 0 0( , )M x y thì ( , )f x y khả vi tại 0.M

Chứng minh:

Ta có: 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .f x x y y f x y y f x y y f x y

Áp dụng định lí Lagrange đối với các hàm số một biến, ta được:

0 0 0 0 0 1 0( , ) ( , ) ( , ).xf x x y y f x y y f x x y y x

0 0 0 0 0 0 2( , ) ( , ) ( , ).yf x y y f x y f x y y y

1 2(0 1, 0 1 )

Vì ),(),,( yxfyxf yx liên tục tại 0 0 0( , )M x y nên

0 1 0 0 0 0 0 2 0 00 00 0

lim ( , ) ( , ), lim ( , ) ( , )x x y yx xy y

f x x y y f x y f x y y f x y

hay 0 1 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x xf x x y y f x y x y

và 0 0 2 0 0( , ) ( , ) ( , )y yf x y y f x y x y

trong đó 0, 0 khi 0, 0.x y

PTIT


95

Vậy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x x y y f x y f x y x f x y y x y

f khả vi tại 0 0 0( , ).M x y

Chú ý: Tính chất khả vi của tổng, tích, thương các hàm nhiều biến cũng giống như ở hàm một

biến.

Ví dụ 4.9: a) Cho ( , ) cosf x y x xy , tính 1,4

df

biết 0,01; 0,02x y ;

b) Cho 2

( , ) ( ) xyf x y x y e , tính ( , );df x y

c) Cho 2( , , )f x y z xyz , tính ( , , ).df x y z

Giải:

a) xyxyxyyxf x sincos),( , 2

1, 1 .4 2 4

xf

xyxyxf y sin),( 2 , 2

1, .4 2

yf

2 2 2

1, 1 .0,01 .0,02 1 .0,01.4 2 4 2 2 4

df

b) 2 22( , ) ( )xy xy

xf x y e y x y e

2 2

( , ) 2 ( )xy xyyf x y e yx x y e

2 2 2 22( , ) ( ) 2 ( ) .xy xy xy xydf x y e y x y e dx e yx x y e dy

c) 2 2( , , ) , ( , , ) , ( , , ) 2x y zf x y z yz f x y z xz f x y z xyz

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zdf x y z f x y z dx f x y z dy f x y z dz

2 2 2 .yz dx xz dy xyzdz

E. Áp dụng vi phân để tính gần đúng

Giả sử hàm số ( , )f x y khả vi tại 0 0( , ),x y ta có:

yxyxdfyxf ),(),( 0000

( 0, 0 khi 0, 0x y )

022

yx

yx khi 0,0 yx

. .x y là vô cùng bé bậc cao hơn vô cùng bé 2 2x y khi 0, 0.x y

PTIT


96

2 20 0 0 0( , ) ( , )f x y df x y o x y

Vậy với , x y khá bé ta có 0 0 0 0( , ) ( , ).f x y df x y

Từ đó, ta có công thức tính gần đúng:

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ). ( , ).x yf x x y y f x y f x y x f x y y (4.3)

Ví dụ 4.10: Tính gần đúng 1,05

arctan0,97

.

Giải:

Xét hàm số ( , ) arctanx

f x yy

22

2

2

1

11),(

xy

y

y

xyyxf x

, 22 2 2

2

1( , ) .

1y

x xf x y

xy y x

y

Áp dụng công thức (4.3) với 0 0 1x y , 0,05x và 0,03y , ta có:

1,05

arctan0,97

(1,1) (1,1).0,05 (1,1).( 0,03)x yf f f

1 1 1arctan .0,05 .0,03 0,04 0,785 0,04 0,825.

1 2 2 4

F. Tính bất biến của biểu thức vi phân

Xét hàm số hợp ( , ), ( , ), ( , ).z f x y x x s t y y s t

Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng , z z

s t

liên tục thì nó khả vi và ta có:

z z

dz ds dts t

Bây giờ ta biểu diễn dz qua các biến trung gian ,x y :

z x z y z x z y

dz ds dtx s y s x t y t

z x x z y y

ds dt ds dtx s t y s t

.z z

dx dyx y

Như vậy, dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù ,x y là các biến độc lập hay là

hàm của các biến s, t. Tính chất này gọi là tính bất biến của vi phân cấp 1.

PTIT


97

Nhận xét: Các công thức 2

( ) , ( ) ,u vdu udv

d u v du dv d uv udv vdu dv v

đúng khi ,u v

là các biến số độc lập nên cũng đúng khi ,u v là các hàm số của , .x y

4.2.4. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

A. Đạo hàm riêng cấp cao

Giả sử hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng cấp một xf , yf . Khi đó, xf , yf cũng là các hàm

của hai biến ,x y . Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu tồn tại) sẽ được gọi là

các đạo hàm riêng cấp hai của f. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau:

2

2

2 2

2

2 2

2

, ,

, .

xx xyx

yx yy y

f f f ff f f

x x x y x x y

f f f ff f f

x y y x y y y

Tương tự, các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai (nếu có) gọi là các đạo hàm

riêng cấp ba, ...

Ví dụ 4.11: Cho hàm số 3 2 2( , )f x y x y x y .

Tính các đạo hàm riêng cấp một, cấp hai của f.

Giải:

Các đạo hàm riêng cấp một: 2 2 3 23 2 , 2x yf x y xy f x x y

Các đạo hàm riêng cấp hai:

2

2 26 2 , 3 4xyxf xy y f x xy

2

2 23 4 , 2 .yx yf x xy f x

Các đạo hàm riêng ,xy yxf f gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp. Trong ví dụ trên, xy yxf f . Liệu

có phải xyf và yxf luôn bằng nhau không?

Định lý 4.5 (Định lí Schwarz ): Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng xyf , yxf trong một lân

cận của 0 0 0( , )M x y và các đạo hàm riêng này liên tục tại 0M thì xy yxf f tại 0.M

Định lý cũng đúng cho hàm n biến bất kì. Chẳng hạn, xét hàm ( , , )f x y z thì

...xyz xzy yxzf f f

nếu các đạo hàm riêng này liên tục.

B. Vi phân cấp cao

Giả sử ( , )f x y là hàm số khả vi. Vi phân toàn phần cấp một của f là

x ydf f dx f dy

cũng là một hàm số của ,x y .

PTIT


98

Nếu df khả vi thì vi phân toàn phần của df gọi là vi phân toàn phần cấp hai của f , kí hiệu

là 2d f .

2 ( ) ( )x yd f d df d f dx f dy

Tương tự, 3 2( )d f d d f

...

1( ).n nd f d d f

* Công thức vi phân cấp 2 như sau:

2 ( )f f f f

d f d df dx dy dx dx dy dyx x y y x y

2 2 2 2

2 2

2 2.

f f f fdx dxdy dy

x x y y x y

Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có:

2 2 2

2 2 2

2 22 .

f f fd f dx dxdy dy

x x y y

Người ta dùng kí hiệu lũy thừa tượng trưng để viết gọn vi phân cấp 1 của f như sau:

.df dx dy fx y

Khi đó vi phân cấp n của f là .

n

nd f dx dy fx y

Ví dụ 4.12: Cho arctan ,x

zy

tính 2d z và 2 (0,1).d z

Giải:

2 2x

yz

x y

,

2 2.y

xz

x y

2 2 2 2

2

( )x

xyz

x y

,

2 2

2 2 2( )xy yx

x yz z

x y

, 2 2 2 2

2

( )y

xyz

x y

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 .

( ) ( ) ( )

xy x y xyd z dx dxdy dy

x y x y x y

2 (0,1) 2 .d z dxdy

Chú ý: Cũng như với hàm một biến, vi phân cấp cao của hàm nhiều biến không có tính bất biến.

C. Công thức Taylor

PTIT


99

Định lí 4.6: Giả sử hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng đến cấp 1n liên tục trong một lân

cận của điểm 0 0 0( , )M x y và điểm 0 0( , )M x x y y cũng thuộc lân cận đó. Khi đó

20 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ...

2!

1 1( , ) ( , )

! ( 1)!n n

f x x y y f x y df x y d f x y

d f x y d f x x y yn n

trong đó 0 1 , , .x dx y dy

Khi 0 0( , ) (0,0)x y ta có công thức Maclaurin.

Hệ quả: Giả sử hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận của

điểm 0 0 0( , )M x y và điểm 0 0( , )M x x y y cũng thuộc lân cận đó. Khi đó:

2 2 20 0 0 0 0 0 0 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ).

2!f x x y y f x y df x y d f x y o x y

4.2.5. Đạo hàm của hàm số ẩn

A. Khái niệm hàm số ẩn

Xét hệ thức: ( , ) 0F x y (4.4)

trong đó ( , )F x y là hàm số xác định trên tập D 2 . Nếu tồn tại một hàm số ( )y y x xác định

trên khoảng X sao cho , ( )x y x D và , ( ) 0F x y x với mọi x X thì hàm số ( )y y x

gọi là một hàm số ẩn xác định từ hệ thức (4.4).

Ví dụ 4.13: Hệ thức 2 2 1 0x y xác định hai hàm số ẩn là 21y x và 21y x trên

khoảng 1,1 .

Tương tự, hệ thức giữa ba biến số , ,x y z dạng ( , , ) 0F x y z có thể xác định một hay nhiều

hàm số ẩn ( , ).z z x y

Hệ hai phương trình

( , , , , ) 0

( , , , , ) 0

F x y z u v

G x y z u v

có thể xác định một hay nhiều cặp hàm số ẩn u, v của ba biến , , .x y z

Một hệ thức không phải bao giờ cũng xác định một hàm số ẩn.

B. Điều kiện tồn tại hàm ẩn

Định lý 4.7: Giả sử 0 0( , ) 0F x y , nếu hàm số ( , )F x y có các đạo hàm riêng liên tục trong lân

cận của điểm 0 0 0( , )M x y và 0( ) 0yF M thì hệ thức ( , ) 0F x y xác định một hàm số ẩn

( )y y x trong một lân cận nào đó của 0x , hàm số đó có giá trị 0y khi 0x x , liên tục và có đạo

hàm liên tục trong lân cận nói trên.

PTIT


100

Định lý 4.8: Giả sử 0 0 0( , , ) 0F x y z , nếu hàm số ( , , )F x y z có các đạo hàm riêng liên tục

trong lân cận của điểm 0 0 0 0( , , )M x y z và 0( ) 0zF M thì hệ thức ( , , ) 0F x y z xác định một hàm

số ẩn ( , )z z x y trong một lân cận nào đó của 0 0( , )x y , hàm số đó có giá trị 0z khi

0 0( , ) ( , )x y x y , liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên.

Định lý 4.9: Giả sử

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

( , , , , ) 0

( , , , , ) 0

F x y z u v

G x y z u v

Nếu các hàm số ( , , , , )F x y z u v và ( , , , , )G x y z u v có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của

điểm 0 0 0 0 0 0( , , , , )M x y z u v và tại điểm ấy định thức Jacôbi

( , )

0( , )

u v

u v

F FD F G

G GD u v

thì hệ thức ( , , , , ) 0

( , , , , ) 0

F x y z u v

G x y z u v

xác định hai hàm số ẩn ( , , )u u x y z và ( , , )v v x y z trong lân cận nào đó của điểm 0 0 0( , , )x y z ,

chúng có giá trị tương ứng là 0 0,u u v v khi 0 0 0( , , ) ( , , )x y z x y z , chúng liên tục và có các đạo

hàm riêng liên tục trong lân cận đó.

C. Đạo hàm của hàm số ẩn

Giả sử các điều kiện của các định lí ở mục B được thỏa mãn.

1. Từ biểu thức

( , ) 0F x y

lấy đạo hàm riêng hai vế theo x, ta có 0.F F dy

x y dx

Từ đó:

( , )

.( , )

x

y

F x ydy

dx F x y

2. Từ biểu thức

( , , ) 0F x y z

lấy đạo hàm riêng hai vế lần lượt theo các biến x, y ta có:

0, 0.F F z F F z

x z x y z y

Từ đó:

( , , )

,( , , )

x

z

F x y zz

x F x y z

( , , ).

( , , )

y

z

F x y zz

y F x y z

PTIT


101

3. Từ hệ phương trình

( , , , , ) 0

( , , , , ) 0

F x y z u v

G x y z u v

Lấy đạo hàm riêng theo biến x từ các phương trình của hệ, ta có:

0

0

F F u F v

x u x v x

G G u G v

x u x v x

Đây là hệ phương trình tuyến tính đối với các biến u

x

, .

v

x

Do định thức Jacôbi:

( , )

0( , )

u v

u v

F FD F G

G GD u v

nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

( , ) ( , )

( , ) ( , ), .

( , ) ( , )

( , ) ( , )

D F G D F G

u vD x v D u xD F G D F Gx xD u v D u v

Thay x bởi y hoặc z ta có các đạo hàm riêng của u, v theo y hoặc theo z.

Ví dụ 4.14: Tính , y y biết arctan 0.x y y

Giải:

Đặt ( , ) arctan ,F x y x y y ta có:

2

2 2

11, 1 .

1 1x y

yF F

y y

2

2

1( ) .x

y

F yy x

F y

2 2 2

4 3 5

.2 1 2 2 2(1 )( ) .

y yy y yy y yy x

y y y

Ví dụ 4.15: Cho xyz x y z . Coi z là hàm số ẩn, hãy tính , , .x yz z dz

Giải:

Lấy vi phân toàn phần hai vế của phương trình hàm ẩn, ta có:

( ) ( )d xyz d x y z

yzdx xzdy xydz dx dy dz

( 1) (1 ) (1 )xy dz yz dx xz dy

PTIT


102

1

(1 ) (1 )1

dz yz dx xz dyxy

1 1

, .1 1

x y

yz xzz z

xy xy

Ví dụ 4.16: Cho các hàm ẩn ( , ), ( , )u x y v x y xác định từ hệ phương trình

0

u v x

u yv

Hãy tính , .du dv

Giải:

Lần lượt lấy vi phân hai vế các phương trình của hệ, ta nhận được:

0

du dv dx

du ydv vdy

Giải hệ này ta được

1

.

1

ydx vdydu

y

dx vdydv

y

4.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

4.3.1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc

Định nghĩa:

Hàm số ( ) ( , )f M f x y được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 0 0 0( , )M x y nếu

0 0( ) ( ) ( ( ) ( ))f M f M f M f M với mọi điểm M nằm trong một lân cận nào đó của 0.M

Điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu gọi là điểm cực trị.

Định lý 4.10: (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị)

Nếu hàm số ( , )f x y đạt cực trị tại 0 0 0( , )M x y và có các đạo hàm riêng ,x yf f tại 0M thì

0( ) 0xf M và 0( ) 0.yf M

Chứng minh:

Giả sử ( , )f x y đạt cực trị tại 0 0 0( , ),M x y

hàm một biến 0( , )x f x y đạt cực trị tại 0x

0 0, 0.f

x yx

Tương tự, 0 0, 0.f

x yy

PTIT


103

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f bằng 0 gọi là điểm dừng của hàm số .f

Các điểm dừng hoặc các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f không tồn tại hữu hạn gọi là

các điểm tới hạn của hàm số .f

Điểm cực trị của hàm số (nếu có) phải là điểm tới hạn.

Định lý 4.11: (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị)

Giả sử hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm

0 0 0( , )M x y và 0 0( ) 0, ( ) 0x yf M f M .

Đặt 2 20 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , )xyx yA f x y B f x y C f x y và 2 .B AC

Khi đó:

Nếu 0 thì f đạt cực trị tại 0 0( , ).x y

Đó là cực đại nếu A < 0

Đó là cực tiểu nếu A > 0.

Nếu 0 thì f không đạt cực trị tại 0 0( , ).x y

Nếu 0 thì chưa thể kết luận gì về sự tồn tại cực trị của hàm số f tại 0M .

Chứng minh:

Xét 0 0( , )M x x x y trong lân cận của 0 0 0( , ).M x y

Theo công thức Taylor, ta có

2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ).

2!f x y f x x y y f x y df x y d f x y o x y

Vì 0 0( ) 0, ( ) 0x yf M f M nên 0( ) 0.df M

Khi ,x y rất bé thì 0 0( , )f x y cùng dấu với 20 0( , ).d f x y

Có 2 2 20 0( , ) 2d f x y A x B x y C y

* Nếu 2 0B AC thì 0A

Khi 0y thì 20 0( , )d f x y cùng dấu với A

Khi 0y thì

2

2 20 0( , ) 2

x xd f x y A B C y

y y

20 0( , )d f x y luôn cùng dấu với A vì 0 .

Từ đó, nếu 0A thì 0 0( , ) 0f x y f đạt cực đại tại 0 0 0( , )M x y

Nếu 0A thì 0 0( , ) 0f x y f đạt cực tiểu tại 0 0 0( , )M x y .

* Nếu 2 0B AC

PTIT


104

Trong mọi lân cận của 0M đều tồn tại các điểm 0 0( , )M x x x y mà 0y

2

2 20 0( , ) 2

x xd f x y A B C y

y y

có dấu thay đổi khi x

y

thay đổi.

Vậy f không đạt cực trị tại 0M .

Ví dụ 4.16: Tìm cực trị của hàm số

3 3( , ) 2 3 6 .f x y x y x y

Giải:

Có 2 23 3, 6 6x yf x f y .

0 1

0 1

x

y

f x

f y

Hàm số có bốn điểm tới hạn là 1 2 3 4(1,1), (1, 1), ( 1,1), ( 1, 1)M M M M .

2 26 , 0, 12 .xyx yA f x B f C f y

Tại điểm 1(1,1)M , 26, 0, 12 0A B C B AC và A > 0

f đạt cực tiểu tại 1M , 1( ) 6f M .

Tại điểm 2 (1, 1)M , 26, 0, 12 0A B C B AC

f không đạt cực trị tại 2M .

Tại điểm 3( 1,1)M , 26, 0, 12 0A B C B AC

f không đạt cực trị tại 3M .

Tại điểm 4 ( 1, 1)M , 26, 0, 12 0A B C B AC và A< 0

f đạt cực đại tại 4M , 4( ) 6f M .

Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu là 6 tại điểm 1(1,1)M , đạt giá trị cực đại là 6 tại điểm

4 ( 1, 1)M .

Ví dụ 4.17: Tìm cực trị của hàm số 4 4z x y .

Giải:

Có 34xz x , 34yz y .

0

0

x

y

z

z

0

0

x

y

Hàm số có một điểm tới hạn là 0(0,0)M .

PTIT


105

2 2

2 212 , 0, 12 .xyx yA z x B z C z y

Tại 0M , 0, 0, 0A B C 2 0B AC

Ta nhận thấy: 4 4(0,0) 0, ( , ) 0, ( , ) (0,0)z z x y x y x y .

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại (0,0) và min (0,0) 0.z z

Ví dụ 4.18: Tìm cực trị của hàm số

4 4 2 2( , ) 2 .f x y x y x xy y

Giải

3 34 2 2 , 4 2 2 .x yf x x y f y y x

3 3

23

0

0 1 02 0

x

y

x yf x y

f x xx x y

Hàm số có ba điểm tới hạn là 1 2 3(0,0), (1,1), ( 1, 1).M M M

Có 2 2

2 212 2, 2, 12 2.xyx yA f x B f C f y

* Tại 1(0,0)M , 2, 2, 2A B C 2 0.B AC

Trong lân cận bất kì của điểm 1M , luôn tồn tại các điểm ( , )M x x và các điểm ( , )N x x

với x đủ nhỏ.

4 2 2 21( ) ( ) 2 4 2 ( 2) 0f M f M x x x x nếu 2 2.x

41( ) ( ) 2 0f N f M x nếu 0.x

f không đạt cực trị tại điểm 0(0,0)M .

* Tại 2 (1,1),M , 10, 2, 10A B C 2 0B AC và 0A

2M là điểm cực tiểu của hàm số f.

* Tương tự, 3( 1, 1)M cũng là điểm cực tiểu của hàm số f, 2 3( ) ( ) 2.f M f M

Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu là 2 tại các điểm 2 (1,1),M 3( 1, 1).M

4.3.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền đóng, bị chặn

Giả sử hàm số ( , )f x y liên tục trên miền đóng, bị chặn D. Khi đó f đạt giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất trên D. Nếu hàm số đạt GTLN hoặc GTNN tại điểm trong của D thì điểm đó

phải là điểm cực trị địa phương do đó là điểm tới hạn của f . Hàm số cũng có thể đạt GTLN,

GTNN tại các điểm biên của D. Vậy để tìm GTLN, GTNN của f trên miền đóng, bị chặn D, ta

chỉ cần so sánh giá trị của f tại các điểm tới hạn và các điểm biên của D.

Ví dụ 4.19: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

PTIT


106

2 2 2 2 2( , ) 8 3 1 (2 1)f x y x y x y

trên miền D xác định bởi 2 2 1.x y

Giải:

* 2 2 2 216 2(2 1)4 8 (1 2 )xf x x y x x x y

2 2 2 26 2(2 1)2 2 (1 4 2 ).yf y x y y y x y

2 22 2

2 2 2 2

0 00 1 2 01 2 0

0 0 1 4 2 0 0 1 4 2 0

x

y

f xx x yx y

f y x y y x y

Hàm số có 5 điểm tới hạn là: 1 2 3 4 5

1 1 1 1(0,0), (0, ), (0, ), ( ,0), ( ,0).

2 2 2 2M M M M M

Cả 5 điểm tới hạn trên đều là điểm trong của miền D.

1 2 3 4 5

1( ) 0, ( ) ( ) , ( ) ( ) 1.

4f M f M f M f M f M

* Trên biên của D, 2 2 4 21 ( , )y x f x y x x với 1 1.x

Đặt 4 2( )g x x x , ta có 3( ) 2 4 .g x x x

1

( ) 0 0 .2

g x x x

1 1 1

(0) 0, ( ) ( ) , (1) ( 1) 0.42 2

g g g g g

Trên biên, f đạt giá trị lớn nhất là 1

,4

giá trị nhỏ nhất là 0.

So sánh các giá trị 0,1

4,1 ta thấy f đạt giá trị lớn nhất là 1 tại các điểm 4 5,M M .

f đạt giá trị nhỏ nhất là 0 tại các điểm (0,0), (0,1), (0, 1), (1,0), ( 1,0).

BÀI TẬP

4.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau:

a) lnz xy ; b) 2 2 2 29 1z x y x y ;

c) 1

arcsiny

zx

; d)

2cos

xz

y .

4.2. Tìm các giới hạn sau

a)

2 2

2 4( , ) 0,0lim

x y

y x

x y ; b)

( , ) 0,

sinlim

x y a

xy

x;

PTIT


107

c)

2 2

4 2( , ) ,lim

x y

y x

x y

; d)

2 2

2( , ) 0,0

2lim (1 cos ).

x y

x yy

y

4.3. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:

a) 2 2ln( )z x x y ; b) 2 sinx

z yy

;

c) , 0, 0zyu x x y ; d) arctan .

yz

x

4.4. Cho hàm số

2 2

2 2

1( )sin khi ( , ) (0,0)

( , )

0 khi ( , ) (0,0)

x y x yx yf x y

x y

Khảo sát sự liên tục, sự tồn tại và liên tục của các đạo hàm riêng của .f

4.5. Chứng minh các hệ thức sau:

a) 2x yxz yz , với 2 2ln( )z x xy y ;

b) 0x yyz xz , với 2 2( )z f x y , ( )f t có đạo hàm liên tục.

4.6. Tính đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau:

a) 2 22 2 2, cos , ;u vz e u x v x y

b) 2 2ln( ), , .x

z u v u xy vy

4.7. Bằng phép đổi biến số , 2u x y v x y , tìm hàm số ( , )z f x y thỏa mãn phương trình

2 0x yz z .

4.8. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau:

a) ln tany

zx

; b) (cos + sin );xz e y x y

c) arctan ;x y

zx y

d)

2

( 0).y zu x x

4.9. Tính gần đúng các số sau đây:

a) 2 23 (1,02) (0,05)A ; b) 3 4ln 1,03 0,98 1 .B

4.10. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình :

a) arctan , x y y

a a

tính ( )y x ( consta ); b) 0y x xyxe ye e , tính ( )y x ;

c) zx y z e , tính ,x yz z ; d) cos( )xyz x y z , tính ,x yz z .

PTIT


108

4.11. Cho ( , )z f x y là hàm số ẩn xác định từ phương trình

z

yz xe

Hãy tính gần đúng (0,02;0,99).f

4.12. Cho hàm số x z

uy z

trong đó z là hàm số ẩn của ,x y xác định từ hệ thức

.z x yze xe ye

Tính , x yu u .

4.13. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:

a) 2( , )f x y x y x y ; b) ( , ) sin( ) cos( )f x y x y x y ;

c) 2( , ) ln( )f x y x x y ; d) ( , ) arctany

f x yx

.

4.14. Chứng minh các hệ thức sau đây:

a) 2 2

2( )xyx yz z z , với ( )

xz xf

y , ( )f t có đạo hàm cấp hai liên tục;

b) 2 2

2 20

u u

x y

, với 2 21

ln , u r x yr

;

c) 2 2 2

2 2 20

u u u

x y z

, với 2 2 21

, .u r x y zr

4.15. Tìm hàm số ( , )u x y biết

2 4 512 2, 30 , (0,0) 1, (1,1) 2xx yu x y u x xy u u .

4.16. Tính vi phân cấp hai của các hàm số

a) 2 2z xy x y ; b) ln ;z x y

c) 2 2

1.

2z

x y

4.17. Tìm cực trị của các hàm số

a) )4)(( yxyxez x ; b) xyyxz 333 ;

c) ),2)(2( 22 ybyxaxz 0ab ; d) 2 2 4 ln 10ln ;z x xy y x y

e) yxyxz 33 ; f) 2244 242 yxyxyxz ;

g) ,2050

yxxyz với 0, 0;x y h) 3 3 2 .z x y x y

PTIT


109

4.18. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) 2 2 4 8z x xy x y trên miền ( , ) : 0 1, 0 2x y x y ;

b) 2 2z x y trên miền 2 2 4x y ;

c) 2 (4 )z x y x y trên miền tam giác giới hạn bởi các đường thẳng

0, 0, 6x y x y ;

d)

2 22 22 3

x yz e x y

trên miền 2 2 1.x y

PTIT


110

Chương 5

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

5.1. KHÁI NỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phương trình vi phân là phương trình có dạng

( )( , , ,..., ) 0nF x y y y (5.1)

trong đó x là biến số độc lập, )(xyy là hàm số phải tìm, ( ), ,..., ny y y là các đạo hàm của .y

Cấp cao nhất của đạo hàm của hàm số y trong phương trình gọi là cấp của phương trình.

Chẳng hạn ' 2 0y x là PTVP cấp 1.

0)'(" 2 yy là PTVP cấp 2.

Hàm số )(xyy là một nghiệm của PTVP nếu nó thỏa mãn phương trình, tức là khi thay nó

vào phương trình ta nhận được một đồng nhất thức. Chẳng hạn, hàm số Cx

y 2

2

trong đó C là

hằng số tùy ý, là nghiệm của phương trình .y x

Giải một PTVP là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Nghiệm của phương trình có thể xác định dưới dạng:

( )y f x (dạng tường minh)

hoặc ( , ) 0x y (dạng hàm ẩn )

hoặc ( )

( )

x x t

y y t

(dạng tham số).

Về mặt hình học, mỗi nghiệm của PTVP xác định một đường (đồ thị của nghiệm) gọi là

đường tích phân của phương trình.

PTVP (5.1) được gọi là tuyến tính nếu hàm số F là bậc nhất đối với )(,...,', nyyy , tức là

phương trình có dạng:

( ) ( 1)1 1( ) ... ( ) ( ) ( )n n

n ny a x y a x y a x y b x

(5.2)

trong đó 1( ),..., ( ), ( )na x a x b x là các hàm số chỉ phụ thuộc .x

Nếu ( ) 0b x thì (5.2) là phương trình tuyến tính thuần nhất.

Nếu ( ) 0b x thì (5.2) là phương trình tuyến tính không thuần nhất.

5.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

5.2.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp một

PTVP cấp một có dạng:

0)',,( yyxF (5.3)

hay ( , ).y f x y (5.4)

PTIT


111

A. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm Cauchy-Peano

Định lý 5.1: Cho phương trình vi phân cấp một ( , ).y f x y

Giả sử ( , )f x y liên tục trên miền D và 0 0( , )x y D . Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm

0x , tồn tại ít nhất một nghiệm )(xyy của phương trình (5.4), lấy giá trị 0y y khi 0x x .

Ngoài ra nếu ),( yxy

f

cũng liên tục trên miền D thì nghiệm đó là duy nhất.

Bài toán tìm nghiệm của PTVP thỏa mãn điều kiện 0y y khi 0x x gọi là bài toán Cauchy.

Điều kiện 0y y khi 0x x gọi là điều kiện ban đầu.

B. Nghiệm tổng quát, tích phân tổng quát

* Nghiệm tổng quát của PTVP cấp một là hàm số

),( Cxy

trong đó C là hằng số tùy ý, sao cho:

1. Nó thỏa mãn PTVP với mọi giá trị thừa nhận được của C.

2. Với mọi 0 0( , )x y D ở đó các điều kiện của định lí trên được thỏa mãn, có thể tìm một

giá trị 0CC sao cho ),( 0Cxy là nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu

0

0x xy y

.

* Hệ thức 0),,( Cyx xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn gọi là tích phân tổng

quát của phương trình.

C. Nghiệm riêng, tích phân riêng

Nghiệm 0( , )y x C lấy từ họ nghiệm tổng quát khi cho C một giá trị xác định 0C gọi là

một nghiệm riêng của phương trình. Tương tự, ta có một tích phân riêng của PTVP dạng

0( , , ) 0.x y C

Chú ý:

a) Về mặt hình học, định lí tồn tại và duy nhất nghiệm khẳng định rằng trong một lân cận

nào đó của điểm 0 0( , )x y D , tồn tại duy nhất một đường cong tích phân của phương trình (5.4)

đi qua điểm ấy.

b) PTVP có thể có các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát, gọi là nghiệm kỳ

dị.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không phải bao giờ cũng tìm được. Sau đây,

chúng ta xét một số trường hợp đặc biệt.

5.2.2. Cách giải một số phương trình vi phân cấp một

A. Phương trình với biến số phân li

* Định nghĩa: Phương trình với biến số phân li là PTVP có dạng:

PTIT


112

( ) ( ) .f x dx g y dy (5.5)

* Cách giải:

Lấy tích phân hai vế của phương trình, ta được:

( ) ( )f x dx g y dy

Vậy ( ) ( )F x G y C là tích phân tổng quát của phương trình (5.5).

( ( ), ( )F x G y lần lượt là các nguyên hàm của ( )f x , ( )g y )

Ví dụ 5.1: Tìm tích phân tổng quát của phương trình:

3 4( 1) ( 1)( 2) 0x y dx x y dy .

Giải:

Với 01 y và 4 1 0,x ta có:

3

4

2

1 1

x ydx dy

x y

4

4

1 ( 1) 31

4 1 1

d xdx dy

x y

41ln 1 3ln 1

4x y y C

Tích phân tổng quát của phương trình là:

41ln 1 3ln 1 .

4x y y C ( :C hằng số)

Ngoài hàm số 1y cũng là các nghiệm của phương trình (nghiệm kì dị).

Ví dụ 5.2: Tìm nghiệm của bài toán Cauchy

cos( ) cos( )

(0) 0.

y x y x y

y

Giải:

Có 2cos cosy x y

2cos cosdy

x ydx

2coscos

dyxdx

y ( 0cos y hay ,

2y k k

� )

2 coscos

dyxdx C

y

ln tan( ) 2sin2 4

yx C

PTIT


113

Vì (0) 0y nên ln tan 0.4

C C

Vậy nghiệm của bài toán Cauchy đã cho là ln tg( ) 2sin .2 4

yx

B. Phương trình đẳng cấp

* Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất) là PTVP có dạng

( )y

y fx

(5.6)

* Cách giải:

Đặt y

ux

Ta có y ux y u x u

( )u x u f u hay ( )du

x f u udx

Ta đưa phương trình về dạng biến số phân li.

Ví dụ 5.3: Tìm tích phân tổng quát của phương trình

2 22 0.xyy y x

Giải:

Có 2 2

2

y xy

xy

hay

2

1

.2

y

xy

y

x

Đặt y

u y ux y u x ux

, thay vào phương trình đã cho, ta có:

2 1

2

uu x u

u

2 1

2

uu x

u

2 1

.2

du ux

dx u

2

2

1

udu dx

u x

2

2

1

udu dx

u x

PTIT


114

2ln(1 ) ln lnu x K hay 21K

ux

, ( 0)K

Vậy x

C

x

y

2

2

1 là tích phân tổng quát của phương trình.

C. Phương trình tuyến tính

* Định nghĩa: PTVP tuyến tính cấp một là phương trình có dạng:

( ) ( )y p x y q x (5.7)

với ( ), ( )p x q x liên tục trên (a,b).

Nếu 0)( xq trên (a,b) thì (5.7) gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất.

Nếu ( ) 0q x trên (a,b) thì (5.7) gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất.

* Cách giải

Để giải phương trình (5.7), trước tiên ta giải phương trình

( ) 0y p x y (5.8)

(phương trình (5.8) gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất tương ứng với (5.7))

Ta có ( )dy

p x dxy

1( )dy

p x dx Cy

ln ( ) ln .y p x dx C

( )p x dx

y Ce (5.9) là nghiệm tổng quát của phương trình (5.8).

Bây giờ ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình (5.7) bằng phương pháp biến thiên

hằng số. Coi C trong (5.9) là hàm số của x.

Thay dxxp

exCy)(

)( (5.10) vào phương trình (5.7) ta nhận được PTVP có biến số phân li

sau:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

p x dx p x dx p x dx

p x dx

C x e C x p x e C x p x e q x

C x q x e

( )

( ) ( )p x dx

C x q x e dx K (K : Hằng số)

Như vậy tồn tại hàm số C(x) phụ thuộc vào một hằng số cộng K tùy ý để (5.10) là

nghiệm của PTVP (5.7). Chứng tỏ nghiệm tổng quát của (5.7) có dạng:

( ) ( ) ( )

( ) .p x dx p x dx p x dx

y Ke e q x e dx

PTIT


115

Nhận xét: Trong công thức trên, ( )p x dx

y Ke là nghiệm tổng quát của phương trình

(5.8), còn ( ) ( )

( )p x dx p x dx

y e q x e dx là một nghiệm riêng của phương trình (5.7).

Người ta đã chứng minh được rằng: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không

thuần nhất (5.7) bằng một nghiệm riêng của nó cộng với nghiệm tổng quát của phương trình

tuyến tính thuần nhất tương ứng (5.8).

Nhận xét này đúng với PTVP tuyến tính có cấp bất kỳ.

Chú ý: Nghiệm tổng quát của phương trình (5.7) là ( ) ( ) ( )

( ) .p x dx p x dx p x dx

y e C e q x e dx

Trong công thức này, hằng số của tích phân bất định luôn lấy bằng 0.

Ví dụ 5.4: Tìm nghiệm của phương trình

cot 2 sin ( )dy

y x x x x kdx

thỏa mãn điều kiện 2

( ) .2 4

y

Giải:

Nghiệm tổng quát của phương trình là ( ) ( )

( ) .p x dx p x dx

y e C q x e dx

Ta có ( ) cot , ( ) 2 sin .p x x q x x x

cos

( ) cot ln sinsin sin .x

dxp x dx xdx xxe e e e x

( ) 21( ) 2 sin . .

sin

p x dxq x e dx x x dx x

x

Vậy 2sin .y x C x

Với điều kiện 2

( )2 4

y , ta có 0.C

Vậy nghiệm cần tìm là 2 sin .y x x

D. Phương trình Bernoulli

* Định nghĩa: Phương trình Bernoulli là PTVP có dạng:

( ) ( ) (y p x y q x y � (5.11)

( ), ( )p x q x là các hàm số liên tục.

* Cách giải :

Nếu 0 hoặc 1 thì phương trình trên là phương trình tuyến tính.

Nếu 0 và 1

PTIT


116

Chia cả hai vế của phương trình cho y ( 0y )

Ta có 1( ) ( )y y p x y q x

Đặt 1 (1 )y z z y y

(1 ) ( ) (1 ) ( ).z p x z q x

Đây là phương trình tuyến tính, giải phương trình, tìm z, từ đó suy ra y.

Ví dụ 5.5: Giải phương trình

3 22( 1) 0.

1y y x y

x

Giải:

Có 3 22( 1)

1y y x y

x

2 1 32( 1)

1y y y x

x

( 0)y

Đặt 1 2y z z y y

32( 1)

1z z x

x

(*)

Nghiệm tổng quát của PT (*) là ( ) ( )

( )p x dx p x dx

z e C q x e dx

Có 32( ) , ( ) ( 1)

1p x q x x

x

2( ) 2ln( 1) 21 ( 1) .

dxp x dx xxe e e x

2( ) 3

2

1 ( 1)( ) ( 1) .

( 1) 2

p x dx xq x e dx x dx

x

22 ( 1)

( 1)2

xz x C

hay

2 4( 1) ( 1).

2

K x xz

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2 4

2

( 1) ( 1)y

K x x

.

Ngoài ra, dễ nhận thấy 0y cũng là một nghiệm của PTVP đã cho (nghiệm kì dị).

E. Phương trình vi phân toàn phần

* Định nghĩa: Phương trình vi phân dạng:

0),(),( dyyxQdxyxP (5.12)

trong đó , , ,P x y Q x y là các hàm số liên tục trên miền D và

PTIT


117

, ( , )Q P

x y Dx y

(5.13)

được gọi là PTVP toàn phần.

* Cách giải:

Trước tiên ta thừa nhận định lí sau:

Định lí 5.2: Giả sử ( , ), ( , )P x y Q x y là các hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục

trên miền 2( , ) : ,D x y a x b c y d � .

Điều kiện cần và đủ để biểu thức ( , ) ( , )P x y dx Q x y dy là vi phân toàn phần của một hàm số

( , )u x y nào đó trên D là ( , ) .P Q

x y Dy x

Nếu 2D � thì hàm số ( , )u x y xác định bởi công thức:

0 0

0( , ) ( , ) ( , )yx

x y

u x y P x y dx Q x y dy

hoặc 0 0

0( , ) ( , ) ( , )yx

x y

u x y P x y dx Q x y dy với 0 0( , )x y bất kì thuộc .D

* Như vậy, với điều kiện (5.13) chứng tỏ tồn tại hàm ),( yxu để

dyyxQdxyxPdu ),(),(

Phương trình (5.12) trở thành 0.du

Vậy tích phân tổng quát của phương trình có dạng ( , ) .u x y C (C: hằng số)

Ví dụ 5.6: Giải PTVP

3 2 2 3( 3 ) (3 ) 0.x xy dx x y y dy

Giải:

Đặt 3 2 2 33 , 3P x xy Q x y y

,P Q và các đạo hàm riêng của chúng liên tục trên 2.�

26 , ( , )Q P

xy x yx y

�

( , ) ( , )P x y dx Q x y dy là vi phân toàn phần của hàm số ( , )u x y nào đó trên 2.�

Áp dụng công thức 0 0

0( , ) ( , ) ( , )yx

x y

u x y P x y dx Q x y dy với 0 00, 0x y , ta có:

PTIT


118

3 2 3

0 0

4 2 2 4

( , ) ( 3 )

1 3 1 .

4 2 4

yx

u x y x xy dx y dy

x x y y

Vậy tích phân tổng quát của phương trình là 4 2 2 41 3 1

4 2 4x x y y C

hay 4 2 2 46x x y y C (C: hằng số)

Ví dụ 5.7: Giải PTVP

2

11 ( ) 0.y dx y x dy

x

Giải:

Đặt 2

1( , ) 1,P x y y

x ( , ) .Q x y y x

Ta có: 1, 1.P Q

y x

P, Q và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên miền 2 \ (0, ) / .D y y � �

, ( , )P Q

x y Dy x

Pdx Qdy là vi phân toàn phần của một hàm số ( , )u x y nào đó trên D.

Có 2

1 1( , ) ( , ) 1 ( , ) ( )xu x y P x y y u x y xy x f y

xx

( , ) ( ).yu x y x f y

Mặt khác, ( , ) ( , )yu x y Q x y y x nên 2

( ) ( ) .2

yf y y f y K

21

( , ) .2

yu x y xy x K

x

Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: 21

( :2

yxy x C C

x hằng số)

5.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

5.3.1. Các khái niệm cơ bản

Dạng tổng quát của PTVP cấp 2 là: ( , , , ) 0F x y y y

hoặc ( , , ).y f x y y

A. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

PTIT


119

Định lý 5.3: Cho phương trình vi phân cấp hai ( , , ).y f x y y

Giả sử ( , , ), ( , , ), ( , , )f f

f x y y x y y x y yy y

liên tục trên miền 3V � và 0 0 0( , , ) .x y y V Khi

đó, trong một lân cận nào đó của điểm 0x , tồn tại duy nhất một nghiệm )(xyy của phương

trình, nó thỏa mãn điều kiện 0 00 0,x xy y y y .

B. Nghiệm tổng quát, tích phân tổng quát

Nghiệm tổng quát của PTVP cấp 2 là hàm số 1 2( , , )y x C C

trong đó 1 2, C C là các hằng số tuỳ ý, sao cho:

1. nó thỏa mãn PTVP với mọi giá trị thừa nhận được của 1 2, C C

2. với mọi 0 0 0( , , )x y y V ở đó các điều kiện của định lí trên được thỏa mãn, có thể tìm

được các giá trị 0 01 1 2 2,C C C C sao cho 0 0

1 2( , , )y x C C là nghiệm của phương trình thỏa mãn

điều kiện ban đầu

0 0

0 0,x x x x

y y y y

.

Hệ thức 1 2( , , , ) 0x y C C xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn gọi là tích phân tổng

quát của phương trình.

C. Nghiệm riêng, tích phân riêng

Nghiệm 0 01 2( , , )y x C C lấy từ họ nghiệm tổng quát khi cho 1 2, C C các giá trị xác định

0 01 2,C C gọi là một nghiệm riêng của phương trình. Tương tự, tích phân riêng của PTVP có dạng

0 01 2( , , , ) 0.x y C C

5.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng :

( ) ( ) ( )y p x y q x y f x (5.14)

trong đó ( ), ( ), ( )p x q x f x liên tục trên (a,b).

Nếu ( ) 0f x trên ( , )a b thì (5.14) gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất.

Nếu 0)( xf trên ( , )a b thì (5.14) gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất.

Ta gọi phương trình

( ) ( ) 0y p x y q x y (5.15)

là PTVP tuyến tính thuần nhất tương ứng với PTVP (5.14).

A. Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai

Xét PTVP tuyến tính thuần nhất:

( ) ( ) 0y p x y q x y

PTIT


120

Định lý 5.4: Nếu 1y và 2y là hai nghiệm của PTVP (5.15) thì 1 1 2 2C y C y (với 1 2, C C là các hằng

số tùy ý) cũng là nghiệm của (5.15).

Chứng minh:

Thật vậy, thay 1 1 2 2y C y C y vào PTVP (5.15) ta có:

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0.

C y C y p x C y C y q x C y C y

C y p x y q x y C y p x y q x y

Định nghĩa: Hai hàm số 1 2( ), ( )y x y x được gọi là độc lập tuyến tính trên (a,b) nếu tỉ số 1

2

( )

( )

y x

y x

khác hằng số trên (a,b).

Hai hàm số không độc lập tuyến tính trên (a,b) được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên (a,b).

Chẳng hạn, 21( )y x x và 2( )y x x độc lập tuyến tính trên khoảng (a,b) bất kỳ.

Định nghĩa: Cho hai hàm số 1 2( ), ( )y x y x , định thức

1 2

1 2

1 2

,y y

W y yy y

được gọi là định thức Wronski của hai hàm 1 2, .y y

Định lý 5.5: Nếu các hàm 1 2( ), ( )y x y x phụ thuộc tuyến tính trên ( , )a b thì

1 2

1 2

1 2

, 0, ( , )y y

W y y x a by y

.

Định lý 5.6: Nếu các nghiệm 1 2,y y của PTVP tuyến tính thuần nhất (5.15) là độc lập tuyến tính

trên (a,b) thì 1 2, 0, ( , ).W y y x a b

Định lý 5.7: Nếu 1 2,y y là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (5.15) thì nghiệm tổng

quát của phương trình (5.15) có dạng: 2211 yCyCy

trong đó 21,CC là các hằng số tuỳ ý.

Chứng minh:

Trước hết ta thấy 2211 yCyCy là nghiệm của phương trình (5.15) và nó phụ thuộc vào

hai hằng số 21,CC tuỳ ý.

Ngoài ra, với điều kiện ban đầu 0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y thì ta sẽ tìm được 21,CC duy nhất.

Thật vậy, từ hệ phương trình:

0 1 1 0 2 2 0 0

0 1 1 0 2 2 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y x C y x C y x y

y x C y x C y x y

với 1 0 2 0

1 0 2 0

( ) ( )0

( ) ( )

y x y x

y x y x

ta có nghiệm (C1, C2) tồn tại duy nhất.

PTIT


121

Vậy 2211 yCyCy là nghiệm tổng quát của phương trình (5.15).

Định lý 5.8: Nếu biết 01 y là nghiệm của (5.15) thì có thể tìm được nghiệm 2y của (5.15), nó

độc lập tuyến tính với 1y và có dạng:

( )

2 1 21

1( ) ( )

( )

p x dxy x y x e dx

y x

. (5.16)

Chú ý: Trong tích phân ở công thức (5.16), hằng số của tích phân bất định luôn lấy bằng 0.

Ví dụ 5.8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 02

yyx

y

biết một nghiệm riêng x

xy

sin1 .

Giải:

Tìm nghiệm 2y độc lập tuyến tính với 1y trong dạng (5.16).

dxx

ex

x

xdx

x

ex

x

xy

xdx

x

2

ln22

2

22

2sin

.sin

sin

.sin

2

sin sin cos( cot ) .

sin

x dx x xx

x x x x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

xCxCx

y cossin1

21 .

Chú ý: Khi bài toán chưa cho trước nghiệm 1 0y , ta phải xem xét dạng phương trình để suy

đoán được nghiệm hoặc tìm nghiệm theo sự gợi ý của bài toán.

B. Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp hai

Dạng: ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x

Cách giải:

Cách 1: Dựa trên định lí sau:

Định lí 5.9: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (5.14) bằng một

nghiệm riêng bất kì của nó cộng với nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất

tương ứng (5.15).

Khi tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất, ta chú ý định lí sau:

Định lý 5.10 (Nguyên lý chồng nghiệm):

Nếu 1( )y x là một nghiệm riêng của phương trình

1( ) ( ) ( )y p x y q x y f x

và 2( )y x là một nghiệm riêng của phương trình

PTIT


122

2( ) ( ) ( )y p x y q x y f x

thì 1 2( ) ( ) ( )y x y x y x là một nghiệm riêng của phương trình

1 2( ) ( ) ( ) ( )y p x y q x y f x f x .

Hệ quả: Nếu 1 2( ), ( )y x y x là hai nghiệm riêng của phương trình (5.14) thì 1 2( ) ( )y x y x là một

nghiệm của phương trình (5.15).

Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hằng số.

Định lý 5.11: Nếu biết hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính 1 2( ), ( )y x y x của phương trình (5.15)

thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (5.14) có dạng

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )Y C x y x C x y x

trong đó:1 1 2 2

1 1 2 2

0

( )

C y C y

C y C y f x

Tóm lại: Từ định lí trên, người ta có cách giải phương trình (5.14) (bằng phương pháp biến

thiên hằng số Lagrange) như sau:

Trước tiên, ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng (5.15).

Giả sử phương trình (5.15) có nghiệm tổng quát là 1 1 2 2( ) ( )y C y x C y x

( 1 2( ), ( )y x y x độc lập tuyến tính)

Coi 1 1 2 2( ), ( )C C x C C x là các hàm số của x sao cho

1 2 2

1 2 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

C y x C y x

C y x C y x f x

Hệ phương trình này có nghiệm do 1 2, 0W y y .

Giải hệ, tìm được 1 1 2 2( ), ( )C x C x

1 1 1 1( ) ( ) ( )C x x dx g x K

2 2 2 2( ) ( ) ( )C x x dx g x K

Nghiệm tổng quát của phương trình (5.14) là

1 1 1 2 2 2( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )y g x K y x g x K y x ( 1 2,K K : hằng số).

Ví dụ 5.9: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

2 2

2 1

1 1

xy y

x x

.

Giải:

Phương trình thuần nhất tương ứng là:

PTIT


123

2

20

1

xy y

x

(*)

Dễ thấy phương trình (*) có một nghiệm là 1 1.y

Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với 1y được tìm theo công thức (5.16) sẽ là:

2

2

12 2

arctan1

xdx

xdx

y e dx xx

.

nghiệm tổng quát của phương trình (*) là 1 2arctan .y C C x

Coi 1 1 2 2( ), ( )C C x C C x là các hàm số của x sao cho

sao cho:

1 2

1 2 2 2

arctan 0

1 1.0 .

1 1

C C x

C Cx x

Giải hệ, ta tìm được 1 arctanC x , 2 1C

21 1

1arctan arctan ln(1 )

2C xdx x x x K

2 2C x K .


21 2

1ln(1 ) arctan

2y x K K x . ( 1 2,K K : hằng số)

5.3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi

A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi

Dạng:

0y py qy (5.17)

trong đó p, q là các hằng số thực.

Cách giải:

Ta tìm nghiệm riêng của (5.17) dưới dạng kxey ( k: hằng số).

Khi đó 2. , kx kxy k e y k e .

Vậy k thỏa mãn điều kiện:

2 2 ( ) 0 0kxe k pk q k pk q (5.18)

Phương trình (5.18) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (5.17).

1. Nếu phương trình đặc trưng (5.18) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2, k k thì 2 nghiệm riêng của

(5.17) là

PTIT


124

xkxk eyey 21

21 , .

Chúng độc lập tuyến tính vì xkkey

y )(

2

1 21 không phải là hằng số.

Vậy nghiệm tổng quát của (5.17) sẽ là:

xkxk eCeCy 21

21 .

2. Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép 1 2k k k thì (5.17) có một nghiệm riêng

kxey 1 .

Nghiệm riêng 2y độc lập tuyến tính với 1y tìm được theo công thức

2 1 21

1 pdxy y e dx

y

Có 2

2 1 12

1

2

kdx kx

kx

pk y y e dx y x xe

e .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (5.17) là

kxexCCy )( 21 .

3. Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức 1,2k i thì hai nghiệm riêng của (5.17)

dưới dạng phức sẽ là:

)sin(cos

)sin(cos

2

1

xixeeey

xixeeeyxxix

xxix

1 2 cos2

xy ye x

và 1 2 sin

2xy y

e xi

cũng là các nghiệm của (5.17).

Các hàm số này độc lập tuyến tính.

Vậy nghiệm tổng quát của (5.17) là:

1 2( cos sin ).xy e C x C x

Ví dụ 5.10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

5 6 0y y y .

Giải:

Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là: 0652 kk

có các nghiệm 1 23, 2k k .


xx eCeCy 22

31

.

Ví dụ 5.11: Giải phương trình 2 0y y y .

Giải:

Phương trình đặc trưng: 0122 kk

PTIT


125

có nghiệm 1 2 1k k .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 1 2( ).xy e C C x

Ví dụ 5.12: Tìm nghiệm của bài toán Côsi:

2 2 0, (0) (0) 1.y y y y y

Giải:

Phương trình đặc trưng : 2 2 2 0 k k

21 i 1,2 1k i .

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1 2( cos sin )xy e C x C x

2 1 2 1( ) cos ( )sinxy e C C x C C x .

Vì nghiệm cần tìm phải thỏa mãn (0) (0) 1y y nên

1 1

2 1 2

1 1

1 2

C C

C C C

Nghiệm: (cos 2sin ).xy e x x

B. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi

Dạng: ( )y py qy f x (5.19)

trong đó ,p q là các hằng số thực.

Cách giải:

Cách 1: Dùng phương pháp biến thiên hằng số

Ví dụ 5.13: Giải PTVP 1

siny y

x .

Giải:

Phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng của PTVP đã cho là:

0.y y

Phương trình đặc trưng:

2 1 0k có nghiệm .k i

Nghiệm tổng quát của PTVP thuần nhất tương ứng là:

1 2cos siny C x C x .

Dùng phương pháp biến thiên hằng số, coi 1 1 2 2( ), ( )C C x C C x là các hàm số của x

sao cho

1 2

1 2

cos s in 0

1sin cos

sin

C x C x

C x C xx

PTIT


126

Ta tìm được: 1 11

2 22

1

ln sincot g

C x KC

C x KC x


1 2( )cos (ln sin )siny x K x x K x

1 2cos sin cos sin ln sinK x K x x x x x . ( 1 2,K K là các hằng số)

Cách 2: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng một nghiệm riêng

của nó cộng với nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng.

Khi tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất (5.19), ta chú ý các trường

hợp đặc biệt sau:

Trường hợp 1: ( ) ( )xnf x e P x

trong đó ( )nP x là đa thức bậc n, là hằng số.

1. Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (5.18) thì ta tìm một nghiệm riêng của

(5.19) dạng:

( ).xnY e Q x ( ( )nQ x là đa thức bậc n)

(Tìm ( )nQ x bằng cách viết dưới dạng tổng quát của đa thức bậc n, tính ,Y Y , thay vào phương

trình rồi cân bằng hệ số hai bên. Phương pháp tìm các hệ số của nQ như trên được gọi là phương

pháp hệ số bất định)

2. Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (5.18) thì tìm một nghiệm riêng của (5.19)

dạng:

( )xnY xe Q x .

3. Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì tìm một nghiệm riêng của (5.19) dạng:

2 ( )xnY x e Q x .

Trường hợp 2: ( ) ( )cos ( )sinn mf x P x x Q x x

trong đó � , ( ), ( )n mP x Q x lần lượt là các đa thức bậc n, m cho trước với các hệ số thực.

1. Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng (5.18) thì tìm một nghiệm

riêng của (5.19) dạng:

( ) cos ( )sinl lY R x x S x x

trong đó ( ), ( )l lR x S x là các đa thức bậc ),max( mnl , có các hệ số được tìm bằng phương pháp

hệ số bất định.

2. Nếu i là nghiệm của phương trình đặc trưng thì tìm một nghiệm riêng của (5.19)

dạng:

( ) cos ( )sinl lY x R x x S x x .

PTIT


127

Trường hợp 3: ( ) ( ( )cos ( )sin )xn mf x e P x x Q x x

trong đó , � , ( ), ( )n mP x Q x lần lượt là các đa thức bậc n, m cho trước với hệ số thực.

Ta đưa phương trình về dạng trên bằng cách đặt .xy e z

Ví dụ 5.14: Giải phương trình

2 y y y x (*)

Giải:

Xét phương trình 2 0 y y y (**)

Phương trình đặc trưng: 0122 kk có nghiệm kép 1.k

Nghiệm tổng quát của phương trình (**) là 1 2( ) .xy C C x e

Có 01( ) ( )xf x x e P x

Vì 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của

phương trình (*) dạng 01( )xY e Q x Ax B

, 0Y A Y , thay vào phương trình (*), ta có:

2A Ax B x

1 1

2 0 2

A A

A B B

2Y x .

Vậy nghiệm tổng quát của PTVP đã cho là 1 2( ) 2xy C C x e x .

Ví dụ 5.15: Giải phương trình vi phân:

2 3 xy y y e x (*)

Giải:

Xét phương trình 2 3 0y y y (**)

Phương trình đặc trưng: 0322 kk có nghiệm 1, 3k k .

Nghiệm tổng quát của phương trình (**) là 31 2

x xy C e C e

Có 11( ) ( )x xf x e x e P x

Vì 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của phương

trình (*) dạng 21( ) ( ) ( )x x xY xe Q x xe Ax B e Ax Bx .

2( (2 ) )xY e Ax A B x B

2( (4 ) 2 2 )xY e Ax A B x A B .

Thay vào phương trình (*), sẽ có:

PTIT


128

8 2 4Ax A B x

18 1 8

2 4 0 1 1

2 16

AA

A BB A

21 1( ) (2 1)8 16 16

xx xe

Y e x x x .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 31 2 (2 1)

16

xx x xe

y C e C e x .

Ví dụ 5.16: Tìm nghiệm của bài toán Côsi:

24 4 ( 1), (0) (0) 1.xy y y e x y y

Giải:

Xét phương trình thuần nhất: 4 4 0y y y (*)

Phương trình đặc trưng 0442 kk có nghiệm kép 221 kk

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là 21 2( ) xy C C x e .

Có 2 21( ) ( 1) ( )x xf x e x e P x

Vì 2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của phương trình

đã cho dạng:

2 2 2 3 2( ) ( )x xY x e Ax B e Ax Bx

2 3 22 (3 2 ) 2xY e Ax A B x Bx

2 3 24 (12 4 ) (6 8 ) 2xY e Ax A B x A B x B

Thay vào phương trình đã cho, ta có:

6 2 1Ax B x

6 1 1 1

,2 1 6 2

AA B

B

2 3 2 3 2 21 1 1( ) ( 3 )6 2 6

x xY e x x x x e .

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

2 3 2 21 2

2 2 3 21 2 2

1( ) ( 3 )

6

1(2 2 ) (2 9 6 )

6

x x

x x

y e C C x x x e

y e C C C x e x x x

Vì nghiệm cần tìm phải thỏa mãn (0) (0) 1y y nên

PTIT


129

1 1

1 2 2

1 1

2 1 1

C C

C C C

Vậy nghiệm cần tìm là 2 3 2 21(1 ) ( 3 )

6x xy e x x x e .

Ví dụ 5.17: Tìm nghiệm tổng quát của PTVP

cos .y y x x

Giải:

Xét phương trình thuần nhất 0y y (*)

Phương trình đặc trưng 02 kk có nghiệm 0, 1k k .

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là 1 2xy C C e

1 0( ) cos ( )cos ( )sinf x x x P x x Q x x

Vì i i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của

phương trình đã cho dạng:

( ) cos ( )sinY Ax B x Cx D x

( ) cos ( )sinY Cx A D x Ax B C x

( 2 )cos ( 2 )sinY Ax B C x Cx A D x


( ) 2 cos ( ) 2 sin cosC A x A B C D x A C x A B C D x x x

( ) 2

( ) 2 0

C A x A B C D x

A C x A B C D

1

2 0

0

2 0

C A

A B C D

A C

A B C D

1

2

1

1

2

1

2

A

B

C

D

1 1

( 2)cos ( 1)sin .2 2

Y x x x x


xxxxeCCy x sin)1(2

1cos)2(

2

121 .

Ví dụ 5.18: Giải phương trình 22cosy y x .

Giải:

PTIT


130

Phương trình đã cho tương đương với 1 cos2y y x .

Xét phương trình 0y y (*)

Phương trình đặc trưng 2 0k k có nghiệm 0, 1k k .

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là 1 2xy C C e .

Dễ thấy phương trình 1y y có một nghiệm riêng là 1 .Y x

Xét phương trình cos2y y x (**)

Có 0 0( ) cos2 ( )cos2 ( )sin 2f x x P x x Q x x .

Vì 2i i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của

phương trình (**) dạng 2 cos2 sin 2Y A x B x

2 2 sin 2 2 cos2Y A x B x

2 4 cos2 4 sin 2Y A x B x .

Thay vào (**), ta có:

( 4 2 )cos2 (2 4 )sin 2 cos2A B x A B x x

Cân bằng các hệ số của sin 2 ,cos2 :x x

24 2 1 10

2 4 0 1

10

AA B

A BB

2

2 1cos2 sin 2

10 10Y x x .

Theo nguyên lí chồng nghiệm, phương trình đã cho có một nghiệm riêng là:

1 2

2 1cos2 sin 2

10 10Y Y Y x x x .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

1 2

2 1cos2 sin 2

10 10xy C C e x x x .

Ví dụ 5.19: Giải phương trình: (sin 3cos )xy y e x x .

Giải:

Đặt xy e z

x xy e z e z

2x x x x x x xy e z e z e z e z e z e z e z .


PTIT


131

sin 3cosz z x x (*)

Xét phương trình 0z z (**)

Phương trình đặc trưng 2 0k k có nghiệm 0, 1k k

nghiệm tổng quát của phương trình (**) là 1 2xz C C e

Ta tìm nghiệm riêng của (*) dạng cos sinZ A x B x

sin cosZ A x B x

cos sinZ A x B x

Thay vào phương trình (*), ta có:

( )cos ( )sin sin 3cosA B x A B x x x

3 2

1 1

A B A

A B B

2cos sin .Z x x

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là 1 2 2cos sin .xz C C e x x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 1 2 2cos sinx xy e C C e x x .

BÀI TẬP

5.1. Giải các phương trình có biến số phân li sau:

a) x

y

1

1; b) 2 xy x e ;

c) cosln

yy x

y ; d) 0

11 22

x

ydx

y

xdy;

e) sin( ) sin( )y x y x y ; f) )cos( yxy .

5.2. Giải các bài toán Cauchy:

a) 2 2(1 ) , (0) 0x xe y dy e dx y ;

b) 2 2( 1) 4, (1) 2.x y y y

5.3. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp sau:

a) ydxxdyx

yyxdyydx

x

yx sincos ;

b) 0)()( dyxydxxy .

5.4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1:

PTIT


132

a) 2 2(1 ) ( 1) 2 0x x y x y x ;

b) 2

2 xy xy xe ;

c) 2 2 2(1 ) 2 (1 )x y xy x ;

d) 0)6(2 2 dyxyydx .

5.5. Giải các bài toán Cauchy:

a) 32 1( 1) , (0)

1 2

yy x y

x

;

b) 2(1 ) 1, (0) 0.x y xy y

5.6. Giải các phương trình:

a) 3 3y xy x y ;

b) 0)( 2 dyyxxydx .

5.7. Giải các phương trình vi phân toàn phần:

a) 0)(

11

)( 2

2

2

2

dy

yx

x

ydx

xyx

y;

b) 0)(

)2(2

yx

dyyxxdx;

c) 01

sincos1

1cossin1

222

dy

yy

x

y

x

x

y

xdx

x

y

x

y

y

x

y;

d) 02)ln1(33

2

dy

y

xydxyx .

5.8. Giải phương trình vi phân sau:

0)1(ln2 yyxyxx , biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng 1 ,y x .�

5.9. Giải phương trình sau khi biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng:

2 312 2 2 , x y xy y x y x .


a) 1

x

x

e

eyy ;

b) 2 3 1xy y y e x ;

c) tan .y y x

PTIT


133


a) 7 6 siny y y x ;

b) 3 2 6y y x ;

c) 2 3 cosxy y y e x ;

d) 2 4 xy y y e ;

e) 2 49 20 xy y y x e ;

f) xxyy 22 cos .

5.12. Giải các bài toán Cauchy

a) 34 3 , (0) 1, (0) 9;xy y y e y y

b) 2 2 5cos , (0) 1, (0) 0.y y y x y y

5.13. Giải phương trình :

a) 2 cosx xy y e e bằng cách đổi biến số xt e ;

b) 2 22 (2 ) 0x y xy x y bằng cách đổi hàm y

zx

;

PTIT

Đáp số và gợi ý

134

ĐÁP SỐ VÀ GỢI Ý

CHƯƠNG 1

1.1. a) 1; b) 1

4; c) 0 .

1.2. a) 0; b) 2

a; c) 0 ; d) 0.

1.3. a) Dùng phương pháp phản chứng.

b) Chứng minh nx tăng và không bị chặn trên.

1.4. a) Rõ ràng 1n nx x và 1 1 1

1 2 2, 11.2 ( 1)

nx nn n n

;

b) Tương tự phần a.

1.5. a) nx n ; b) log ( 1)n ax n .

1.7. a) 11 x ;

b) ,...2,1,,00,0sin nnxxxx

c) 1 1

sin ,2 2 6 6

x k x k k

;

d) lg(tan ) 0 tan 1 ,4 2

x x k x k k

.

1.8. a) 2 22 0, 2x x x x đạt cực đại khi ;2

1x do đó

30 ( )

2f x ;

b) 1 2cos 0,cos 1 0 1 2cos 3 ( ) lg 3x x x f x ;

c) 2

21 1, 0 ( )

1

xx f x

x

;

d) 1 lg 1 ( )10 2 2

xf x

.

1.9. a) 65)( 2 xxxf ;

b) 2( ) 2 ( 2)f x x x ;

c) 2

1)(

x

xxf .

1.10. a) )(xf là hàm chẵn;

PTIT


135

b) )(xf không chẵn, không lẻ;

c) )(xf là hàm lẻ;

d) )(xf là hàm chẵn.

1.11. a) Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì

2;

b) Hàm số tuần hoàn với chu kì T ;

c) Hàm số tuần hoàn với chu kì .

1.12. a) Hàm ngược là )3(2

1 xy ;

b) Hàm ngược là 1y x ;

c) Hàm ngược là 3 31y x ;

d) Hàm ngược là 2.10xy .

1.13. a) 10

2

3

; b)

2

)1( nn; c)

49

24;

1.14. a) 1; b) 2

2.

1.15. a) nm

; b)

nm

.

1.16. a) acos ; b) 4

1; c) 14; d)

12

1 .

1.17. a) 12

1; b)

3

1.

1.18. a) 0; b) 1; c) 2e ; d) 2

1

e .

1.19. a) 1; b) e; c) 1.

1.20. a) 0; b) xln ; c) 1; d) 2

3.

1.21. a) liên tục trên ; b) liên tục trên với 4A

liên tục trên 2\ với 4A ;

PTIT


136

c) liên tục trên ;

d) liên tục trên .

1.22. 2A .

CHƯƠNG 2

2.2. a) 2( 1). 1 .(5 1)y x x x ;

b)

222 (1 ) , 1

0 , 1

xx x e xy

x

;

c) 2 1 1

sin cos , 0, 2

0 , 0

nx nx x ny x x

x

;

( Khi 1, (0)n f không tồn tại)

d) 2y x .

2.5. a) (0) 1 , (0) 1p tf f ;

b) (0) 0 , (0) 1p tf f .

2.6. a) 1

siny

x ; b)

2

1

1y

x

;

c) 2 1

sin

2

1 2sin xy e

x x ; d)

4

4

1

xy

x

;

e)

2

3 3

1 11y

x x x

; f)

2

1

1y

x

;

g) 2 2

2(ln 1)

ln 1

xy

x x

; h)

2 3(2 )

x ay

ax x

;

i) 2

yx

; j) 6

20sin 4

(1 cos 4 )

xy

x

;

k) 2

1sin 2

1

(1 )

x

xy

x x

; l) 2

2 2

1

1 12 cos 1 tg

xy

x x xx x

;

m) 1

(1 ) 2 (1 )y

x x x

; n)

5 3 5

1

.log .log (log ).ln 2.ln 3.ln 5y

x x x .

PTIT


137

2.7. a) 2 1(2 ln 1)xy x x ;

b) 2

cos cos(sin ) sin ln sin

sinx x

y x x xx

;

c) 2 2 4

25

57 302 361 ( 1) 2.

20( 1)( 2)( 3) ( 3)

x x x xy

x x x x

;

d) 1

ln1 1 1

xx x

yx x x

;

e) 2 sin 2

2

2 sin( 1) cos ln( 1)

1x x x

y x x xx

;

f) 4 2 2

34 2 2

6 1 ( 1)

3 (1 ) ( 1)

x x x xy

x x x

;

g) 1

2

1 lnx

xy x

x

;

h) 2

ln 2 1 lny y xx

.

2.8. a) x

dxdy

3sin ; b) xdfxxxf )1()()(3)1( 32 , ;

c) 1

( 3ln 3 ln 2 3ln 6). 0,2.2

2.9. a) tanx

by

a ; b) cot

2x

ty .

2.11. a) 2ln2)1(2)( nxnxny ; b) n

nnn

bax

any

)(

)!1()1( 1)(

;

c) 1

( )

1

!( )( )

( )

nn

n

n ad bc cy

cx d

;

d) ( )

2 1 1

5 ( 1)! 1 ! 1 !.( 1) . .( 1) ( 1)

2 ( 1) 4 ( 1) 4 ( 1)n n n n

n n n

n n ny

x x x

( 1);x

e) )12(

.2

!)!32()1(

2

12

1)(

nx

x

ny

n

n

nn .

2.12. a) (20) 2( 379)sin 40 cosy x x x x ;

b) 10

(10)10 1

0

!( 1)x k k

kk

ky e C

x

;

PTIT


138

c)

2)(cos)(

2)(cos)(

2

1)( nxbaba

nxbabay nnn .

2.13. a) 1

2

( 1) 1

( 1)

n n

n

nx n xA

x

khi 1x ;

( 1)

2n

n nA

khi 1, 1x n ;

b) n nB A .

2.16. )2,1()1,1()1,2( 321 xxx , , ;

2.18. a) 0 ; b) ; c) 1;

d) ; e) 2

1; f)

2

2.

2.19. a) 2

1 ; b) 0 ; c) 0 .

2.20. a) 1 ; b) 1; c) 3e ; d) e ;

2.21. a) Tăng trên ,0 , không có cực trị ;

b) Giảm trên

e

1,0 , tăng trên

,

1

e, CT

1x

e ;

c) Giảm trên 1, , tăng trên ,1 , không có cực trị;

d) Giảm trên 1,00, , , tăng trên ,1 , CT 1x .

2.22. a) 3 3CT

2 12 4(0) 0, 2

49 14 7y y y y

C § ;

b) CT (0) 0, ( 1) 1y y y y C§ ;

c) CT

1 1( 1) , (1)y y y y

e e C§ ;

d) (1) 1y y C§ .

2.25. a) max min

11 ,

3y y ;

b) 2min )( bay , không có maxy ;

c) 1max y , không có miny ;

d) max min , 04

y y

.

2.26. a) 0, 6ux ; b) 1, 3ux ;

c) 0ux ; d) Không có điểm uốn.

PTIT


139

CHƯƠNG 3

3.1. a) 2

33

ln 2

xax C

a ; b) 31

arctan3

x x x C ;

c) 3 32( ) ( )

3( )x a x b C

b a

;

d) Cxx 1ln5

1 105 ; e) Cx 3)ln1(3

2;

f) Cxx 122 3 ; g) tan(1 ln )x C ;

h) Cxx 32 )(arcsin3

212 ; i) Cxx arcsin1 2 ;

j) Cxxx 323 )1(3

2 (Nhân cả tử và mẫu với 22 )1( xx );

k) Cxx 32 )3(arccos919

1 (Tương tự phần i);

l) Cx

x

32

32ln

12

1; m)

1 2 1arctan

4 2

xC

;

n) 21 ( 1) 3 2

2arcsin2 2

x x x xC

;

o) Cxxxxxx )12(2

3133ln

38

1133)12(

4

1 22 ;

p) 21ln(2 1 4 4 3)

2x x x C ; q) C

x

3

13arcsin

3

1.

3.2. a) 38 30(2 5 )

375

xx C

(Đặt tx 52 );

b) 2 2 2 2 111 1 1 1(1 2 ) (1 2 ) (1 2 )

16 13 6 11x x x C

(Đặt 21 2t x );

c) Cx

x

211ln (Biến đổi

2

2 11

1

1

x

xd

xx

dx

);

d) Cx

1

arcsin ; e) 2arcsin(2 1)x C ; f) Cx )ln(lnln (Đặt tx )ln(ln );

PTIT


140

g) 2arctan 3 5x C (Đặt 53 2 xt ); h) Cxx

xx

23

23ln

)2ln3(ln2

1.

3.3. a) (1 )arctanx x x C ; b) Cxxxxx 2arcsin12)(arcsin 22 ;

c) Cx

xx 2

arcsin2224 ; d) 2(ln 1) 1x x C ;

e) cot ln sinx x x C ; f) Cxxx

)lnsinln(cos2

; g)ln 1

x

Cx

;

h) 2

1cot

2 sin

xx C

x

; i) Cxx

x )2ln2(ln

1 2 ;

j) Cx

xxx

1

1ln

2

1 2

; k) 2 1

arctan 2 12

xx x C

;

l) 2

1arctan

2(1 ) 2

xx C

x

; m) arctan

2

1

2 1

xxe C

x

;

n) cot ln( sin )x x e x C

3.4. a) 3

2 3arctan3

x xa x a C

a ; b)

21 1ln arctan

1 1

xx C

x x

;

c) 2 2

2

1 1 1 2 1arctan ln

2 2 2 4 2 2 1

x x xC

x x x

d) Cxx

xx

12

12ln

22

12

2

(Biến đổi

21

11

1

11

1

12

2

2

2

4

2

xx

xd

dx

xx

xdxx

x);

e) 2

2

1 2 1 1ln arctan( 2 1) arctan( 2 1)

4 2 2 1 2 2

x xx x C

x x

;

Phân tích )12(22

2

)12(22

2

1

1224

xx

x

xx

x

x;

f ) Cxx

x

1

1

1ln

10

11010

10

,

Đặt 10 1 .x t

g ) 31arctan arctan

3x x C

PTIT


141

Phân tích 11

1

)1)(1(

)1(

1

16

2

2242

224

6

4

x

x

xxxx

xxx

x

x.

3.5. a) 2

1ln sin

2sinx C

x ;

b) tan 1

2arctan2

x

C

;

c) tanx C Đặt tant x ;

d) Cax

ax

a

2cos

2sin

lncos

1;

d) 2 2 2

4 2

1 (1 ) 3 2 1ln arctan

4 1 2 3

t tC

t t

Đặt 3 tant x ;

e) 1 1

sin cos ln tan2 2 82 2

xx x C

;

f) 1 3sin 5cos

ln2 sin cos

x x

x x

+ C.

3.6. a) 2xe ; b)

2ye ; c) 2

12 8

3 2

1 1

x x

x x

.

3.7. a) 8ln 4 4ln 6 1 ; b) 1;

c) 3

; d)

n6

.

3.8. a) arctan 22

; b)

22

;

c) 24

3; d)

1 3arctan

2 2 2 (Đặt

xxt

1 ); e)

4

;

f) 1

arctan2

; g) 21

1ln

2

ee; h)

4

)2( a (Đặt )sin2 tax .

3.9. a) 2

12

e; b) )1(2 1 e ;

PTIT


142

c) 2 5

ln tan3 12

; d)

2

3ln

2

1

36

)349(

.

3.10. a) 45

2; b) )575(

192

5 5 3 ; c) 105

848;

d) 2

1

4

; e)

2 1arctan

5 5 ; f) 4 ;

g) 6

; h) 32

3

16

.

3.11. a) 2

9; b)

2ln

12 ; c)

3

4 3a.

3.12. a) 2

411ln

a

a; b) 1

2

; c)

33

2; d)

4

; e) 2;

f) !n ; g) ; h)256

15.

CHƯƠNG 4

4.1. a) ( , ) : 0, 0x y x y hoặc 0,0 yx ;

b) Vành tròn đóng giới hạn bởi 2 đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính 1 và 3;

c) ( , ) : 0,1 1 ( , ) : 0,1 1x y x x y x x y x x y x ;

d) ( , ) : (2 1) ,2

x y y n n

.

4.2. a) 0 ; b) a ;

c) không tồn tại giới hạn; d) 1

2.

4.3. a) 2 2 2 2 2 2

1, x y

yz z

x y x y x x y

;

b) cos , 2 sin cosx y

x x xz y z y x

y y y ;

c) 1 1, lnz zz y y z

x yu y x u x zy x , . .ln .lnzy z

zu x y x y ;

PTIT


143

d) 2 2 2 2

, x y

y xz z

x y x y

.

4.4. f liên tục trên 2 . ,x yf f liên tục trên 2 (0,0)\ .

4.6. a) 2 2 2 2 2 2cos 2( ) cos 2( )sin 2 4 , 4x x y x x y

x yz e x x z ye ;

b)

4

4

2 12,

1x y

yz z

x y y

.

4.7. ( 2 )z f x y , f là hàm số khả vi liên tục.

4.8. a)

x

yx

ydxxdydz

2sin

2

2

; b) dxyxyydyyyxedz x sincossinsincos ;

c) 2 2

;xdy ydx

dzx y

d)

22

22 ln lny z y zdu x dx yz xdy y xdz

x

.

4.9. a) 1,013A ; b) 0,005;B

4.10. a) 2

'( )

ay

x y

;

b) y x xy

y x xy

e ye yey

xe e xe

;

c) 1

1x y z

z ze

;

d) sin( ) sin( )

,sin( ) sin( )

x y

yz x y z zx x y zz z

xy x y z xy x y z

.

4.11. 0,02 .

4.12.

2 22

1 11, .

( )1 1

x y

x yz z

e x y x e y y xx zu u

y z y ze z y z e z y z

4.13. a) ( , ) 2 ,xxf x y y 1

( , ) ( , ) 2 ,2

xy yxf x y f x y xy

3

( , )4

yy

xf x y

y ;

b) ( , ) sin( ) cos( ),xxf x y x y x y ( , ) sin( ) cos( )xyf x y x y x y ,

( , ) sin( ) cos( )yyf x y x y x y ;

c) 2

2

2 2( , ) 2 ln( ) ,

( )xx

x x xyf x y x y

x y x y

2

2

2( , ) ,

( )xy

x xf x y

x y x y

PTIT


144

2

2( , )

( )yy

xf x y

x y

;

d)

22 2

2( , )xx

xyf x y

x y

,

2 2

22 2( , ) ,xy

y xf x y

x y

22 2

2( , )yy

xyf x y

x y

.

4.15. 4 2 6( , ) 5 1u x y x y x xy .

4.16. a) 2 2 22 4 2d z ydx y x dxdy xdy ;

b)

2

2

2

dx dyd z

x y

;

c)

2 2 2 2 2 2

2

32 2

3 8 3x y dx xydxdy y x dyd z

x y

.

4.17. a) Điểm dừng: ),2,4(),2,2(

2 2 2 2 2 24(2 ) 2( 8 4 10)x xxy xx yyz z z y e x y x y e

,04)2,2( 4 e 8 2( 2, 2) 4 0, ( 4, 2) 2 0,xxe z e

Vậy 4( 4, 2) 4z z e C§ ;

b) Điểm dừng: ),1,1(),0,0( ,369),( xyyx ,09)0,0(

,027)1,1( (1,1) 6 0,xxz vậy CT (1,1) 1z z ;

c) Có 5 điểm dừng: ),,(),2,2(),0,2(),2,0(),0,0( babaab

),2)(2(4))((16),( 22 ybxaxyybxayx

04),(,0)2,2()0,2()2,0()0,0( 22 bababaab

2( , ) 2 0,xxz a b b Vậy 2 2( , )z z a b a b C§ ;

d) Điểm dừng: ),2,1( ),5

1)(2

1(41),(22 yx

yx 026)2,1(

(1,2) 6 0xxz , vậy CT (1,2) 7 10ln 2z z ;

e) Tồn tại 4 điểm dừng: ),3

1,

3

1( ,36),( xyyx

PTIT


145

,012)3

1,

3

1( ,012)

3

1,

3

1(

,012)3

1,

3

1( ,012)

3

1,

3

1(

1 1( , ) 0,

3 3xxz

1 1

, 0,3 3

xxz

Vậy 1 1 4

( , )3 3 3

z z C§ ,

CT

1 1 4( , )

3 3 3z z ;

f) Tồn tại 3 điểm dừng: ),2,2(),2,2(),0,0(

),13)(13(1616),( 22 yxyx

,0384)2,2()2,2(

( 2, 2) ( 2, 2) 20 0,xx xxz z CT ( 2, 2) ( 2, 2) 8.z z z

Ngoài ra ,02)0,(,0,02),(,0)0,0( 244 xxxzxxxxzz khi x đủ bé. Vậy

hàm số không đạt cực trị tại (0,0);

g) Điểm dừng: ).2,5( ,4000

1),(33 yx

yx 03)2,5(

4

(5,2) 05

xxz , CT (5,2) 30z z ;

h) Điểm dừng: (0,0), ),3(124),( 2 yxyxyx ,0)0,0(

Nhận xét: ,),(,0)0,0( 3xxxzz đổi dấu khi x đổi dấu, chứng tỏ hàm số không đạt

cực trị;

i) CT (3, 1,1) 34u u ;

j) ( 4, 3, 2) 16u u C§ ;

k) CT ( 2, 4, 2) 34u u ;

l) (4,1, 1) 15u u C§ .

4.18. a) GTLN là 17 1, 2 ,z GTNN là 3 1,0z ;

b) GTLN là 4 2,0z , GTNN là 4 0, 2z ;

c) GTLN là 4 2,1 ,z GTNN là 64 4, 2z ;

PTIT


146

d) GTLN là 3

0, 1 ,ze GTNN là 0 0,0z .

CHƯƠNG 5

5.1. a) 2 ln( 1)y x x C ;

b) Cxxey x )22( 2 ;

c) 21ln ln tan

2 2 4

xy C

;

d) 2 21 1 1 1x y Cxy ;

e) 2sin ln tan2

yx C ;

f) cot .2

x yx C

5.2. a) 3 33arctan

4xy e

;

b) arctan 2arctan2 4

yx

.

5.3 a) Cx

yxy cos ;

b) 2 22y xy x C .

5.4. a) x

CCxy1

)1( ;

b)

2

22 x

Cey x ;

c) ))(1( 2 Cxxy ;

d) 2

3

2

yx Cy (giải x theo y).

5.5. a)

2

1

2)1(

22 x

xxy ;

b)

1

1ln2

2

x

xxy .

5.6. a) 1)1(222 xCexy ;

PTIT


147

b) Cyy

x

ln

1 (giải x theo y).

5.7. a) Cyx

xy

x

y

ln ; b) ln

yx y C

x y

;

c) Cy

xy

x

x

y

1cossin ; d) Cyyx 23 )ln1( .

5.8. 1 2 ln .y C x C x

5.9. 3221 xxCxCy ;

5.10. a) 1 2ln( 1) ln( 1)2 2

x xx xe e

y x e K x e K

;

b) 5

21 2

4( 1)

5xy e K K x x

;

c) 1 2cos sin cos ln tan2 4

xy K x K x x

;

5.11. a) 74

cos7sin5621

xxeCeCy xx

;

b) 2321 xeCCy x ;

c) )sin4cos5(41

2sin2cos 21 xxe

xCxCeyx

x

;

d) xx exexCCy 221 2 ;

e) xxx exxxeCeCy 42342

51 2

3

1

;

f) 2 2

1 2

cos 2 4 sin 2 13cos 2cos sin 1 .

2 6 9 27

x x x x x xy C x C x

5.12. a) 3 311 15 1

4 4 2x x xy e e xe ;

b. xexy x sin)1(2cos .

5.13. a) 1 2 cosx xy C e C e ;

b) 1 2( ).x xy x C e C e

PTIT

148

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Vũ Gia Tê. Giáo trình Giải tích 1, 2. NXB Thông tin và truyền thông, 2009.

[2]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên). Toán học cao cấp tập 2, 3. NXBGD, 2005 .

[3]. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên). Bài tập toán cao cấp tập 2, 3. NXBGD, 2005.

[4]. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích (Giáo trình lí thuyết và bài tập có hướng dẫn) tập1, 2.

NXBGD, 2004.

[5]. Lê Đình Thuý. Toán cao cấp cho các nhà kinh tế. NXB Đại học Kinh tế Quốc dân,

2007.

[6]. Trần Văn Cúc. Toán cao cấp cho ngành kinh tế, tập 2. NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội, 2006.

PTIT

to¸n cao cÊp 1 - học viện công nghệ bưu chính...

Documents