Átomos polielectrÓnicos Átomo de helio...
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ÁTOMOS POLIELECTRÓNICOS
12
2
2
2
1
22
2
2
1
22
2
1
2
1
r
ek
r
ek
r
ekH
),,,,,(),,,,,( 222111222111 zyxzyxEzyxzyxH elelel
Átomo de helio (parte electrónica)
2
12
2
12
2
1212 )()()( zzyyxxr
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1
22
11
2
2
1
r
ekh
12
2
21r
ekhhH
2
22
22
2
2
1
r
ekh
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APROXIMACIÓN DE ELECTRÓN INDEPENDIENTE
21aprox hhH
No se considera el término de interacción entre los electrones
aproxaproxaproxaprox EH
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'''' smlnsmlnaprox
n,l,m,s y n’,l’,m’,s’ son soluciones de la ecuación de Schroedinger
para el átomo de hidrógeno y:
'nnaprox EEE
donde En y En’ son las energías asociadas con las funciones
n,l,m,s y n’,l’,m’,s’, respectivamente.
n,l,m,s y n’,l’,m’,s’ orbitales atómicos
Orbital atómico: función que se utiliza para describir a un electrón
en un átomo polielectrónico.
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Para el estado basal del átomo de helio:
1,0,0,1/21,0,0,-1/2 = 2
1
/2
2/3
0 4
122 0
are
a
2
1
/2
2/3
0 4
122 0
are
a
2
218
2
218
1
21018.2
1
21018.2 JxJxE
= 1s11s1
= 1s2
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Para el primer estado excitado del átomo de helio
1,0,0,1/22,0,0,1/2 = 1s12s1
2
218
2
218
2
21018.2
1
21018.2 JxJxE
excitadoestadoprimer
Transiciones electrónicas
hEEE f 12
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Estado basal del átomo de litio (Z=3)
1,0,0,1/2 1,0,0,-1/2 1,0,0,1/2 = 1s11s11s1 = 1s3 no es aceptable
Configuración electrónica de más baja energía:
PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI: EN UN
ÁTOMO POLIELECTRÓNICO NO PUEDE HABER
DOS Ó MÁS ELECTRONES DESCRITOS POR EL
MISMO CONJUNTO DE NÚMEROS CUÁNTICOS.
1,0,0,1/2 1,0,0,-1/2 2,0,0,1/2 = 1s11s12s1 = 1s22s1
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Estado basal del átomo de berilio (Z=4): 1s22s2
Estado basal del átomo de boro (Z=5): 1s22s22p1
Estado basal del átomo de carbono (Z=6): 1s22s22px2 o 1s22s22px
12py1
1s 2s 2px 2py 2pz
1s 2s 2px 2py 2pz
1s 2s 2px 2py 2pz
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REGLA DE LA MAXIMA MULTIPLICIDAD DE HUND:
En un átomo polielectrónico la configuración
electrónica más estable es aquella que presenta el
mayor número de electrones desapareados con
espines paralelos en la subcapa más externa.
1s 2s 2px 2py 2pz
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Nitrógeno: 1s2 2s2 2p3
1s 2s 2px 2py 2pz
Oxígeno: 1s2 2s2 2p4
1s 2s 2px 2py 2pz
Flúor: 1s2 2s2 2p5
1s 2s 2px 2py 2pz
Neón: 1s2 2s2 2p6
1s 2s 2px 2py 2pz
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Na (Z=11) : 1s2 2s2 2p6 3s1 = [Ne]3s1
Ar (Z=18) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 = [Ar]
Ca (Z=20) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 = [Ar]4s2
Fe (Z=26) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d6 = [Ar]4s2 3d6
Ru (Z=44) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s1 4d7 = [Kr]5s1 4d7
Algunas configuraciones electrónicas
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Configuración electrónica de especies iónicas
Na+ (Z=11) : 1s2 2s2 2p6 = [Ne]
Ca2+ (Z=20) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 = [Ar]
Fe2+ (Z=26) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d6 = [Ar] 3d6
O2 (Z=8) : 1s2 2s2 2p6 = [Ne]
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Especies isoelectrónicas
Ne (Z=10) : 1s2 2s2 2p6
F (Z=9) : 1s2 2s2 2p6
Na+ (Z=11) : 1s2 2s2 2p6
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Átomos polielectrónicos
Un núcleo y dos ó más electrones
Parte electrónica de la ecuación de Schroedinger:
elelelel EH
n
1i
n
1i
1n
1i
n
1ij ij
2
i
22
i
2
el
r
e
r
Ze
m2)n,...,3,2,1(H
doble sumatoria para el término de interacción entre los electrones: evita
tomar en cuenta dos veces la misma interacción (e2/rij y e2/rji ), así como
interacciones sin sentido físico (e2/rii).
1 x1,y1,z1 ; 2 x2,y2,z2; …
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Aproximación de electrón independiente: se desprecian los
términos de interacción electrón-electrón en el
hamiltoniano.
Funciones de onda aproximadas se escriben como el
producto de funciones hidrogenoides (orbitales atómicos) y
la energía aproximada se obtiene como la suma de las
energías asociadas con las funciones hidrogenoides.
Ejemplo: Estado basal del átomo de helio He(Z=2):
2
218
2
218basal
aprox
211
2/1,0,0,12/1,0,0,1
basal
aprox
1
2J10x18.2
1
2J10x18.2E
s1s1s1
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Dificultades intrínsecas asociadas con la medición experimental de la
posición de los electrones en un átomo polielectrónico.
Experimento hipotético: Átomo de helio en el primer estado excitado:
1s(r1,1,1)2s(r2,2,2 ) = 1s(1)2s(1)
Medición de la posición de los electrones en un número muy grande de
sistemas idénticos.
Primera medición: se determinan valores para la posición de los
electrones y se etiquetan como r1 y r2.
Segunda medición: al llevar a cabo esta medición no se sabe que
electrón se etiquetó como número uno y cual como número dos.
Los electrones son partículas indistinguibles las propiedades
atómicas no deben depender de las etiquetas de los electrones.
(1,2)2 debe ser independiente de las etiquetas de los electrones.
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Estado excitado del átomo de helio dos productos simples:
1s(1)2s(2) y 2s(1)1s(2)
Al elevar al cuadrado de estos productos:
1
2
112
22
2
2
221
22
r2exprr211
)r4exp(8
)2(s1)1(s2
r2exprr211
)r4exp(8
)2(s2)1(s1
Se obtienen diferentes distribuciones para los electrones 1 y 2, es decir,
estas funciones de densidad de probabilidad dependen de las etiquetas
(difieren en el intercambio de índices).
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Para que 2 sea invariante ante el intercambio de etiquetas, debe
ser simétrica o antisimétrica ante el intercambio de las
coordenadas de los dos electrones.
Si es un operador que intercambia coordenadas (etiquetas)
entonces:
P
P
como:
22)(
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Con base en los dos productos simples 1s(1)2s(2) y
2s(1)1s(2) se puede construir una función simétrica:
)2(s1)1(s2)2(s2)1(s12
1s
porque
ss )1(s1)2(s2)1(s2)2(s1
2
1P
s es función propia de Haprox porque 1s(1)2s(2) y
2s(1)1s(2) son funciones propias degeneradas de este
hamiltoniano E = E1s + E2s.
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Se puede obtener también de los productos simples
1s(1)2s(2) y 2s(1)1s(2) una combinación antisimétrica:
)2(s1)1(s2)2(s2)1(s12
1a
aa )1(s1)2(s2)1(s2)2(s1
2
1P
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Postulado (Principio de exclusión de Pauli): la
función de onda de un sistema de electrones debe
ser antisimétrica con respecto al intercambio de las
coordenadas de cualesquier par de electrones.
Pauli Teoría cuántica relativista:
fermiones partículas con espín semientero (s = ½,
3/2, etc) funciones de onda antisimétricas.
bosones partículas con espín entero (s = 0,1, etc)
funciones de onda simétricas.
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Nos falta considerar explícitamente las coordenadas de espín.
Estado basal del átomo de helio:
1s(r1,1,1)1s(r2,2,2 ) = 1s(1)1s(1) no incluye coordenadas de
espín:
() o ()
Espín-orbitales: n,l,m() o n,l,m()
Principio de exclusión de Pauli: la función de onda de un sistema
de n electrones debe ser antisimétrica ante el intercambio de las
coordenadas espaciales y de espín de cualesquier par de
electrones.
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Estado basal del átomo de helio: configuración 1s2
)2()1(
)2()1(
)2()1(
)2()1(
)2(s1)1(s1
)2()2(s1)1()1(s1
)2()2(s1)1()1(s1
)2()2(s1)1()1(s1
)2()2(s1)1()1(s1 simétrica
asimétricas
simétrica
haciendo combinaciones lineales de las partes asimétricas:
)2()1()2()1(2
1
)2()1()2()1(2
1
)2(s1)1(s1
simétrica
simétrica por antisimétrica
antisimétrica
Experimentalmente se encuentra que el estado basal del Helio es un singulete
(sugiere que la función de onda debe ser antisimétrica).
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Li (Z=3) configuración de menor energía 1s3
(ocho productos de espín-orbitales posibles)
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3()2()1(
)3(s1)2(s1)1(s1
totalmente simétrica
totalmente simétrica
asimétricas en dos de
tres posibles
intercambios.
simétrica
No es posible encontrar una combinación lineal antisimétrica a partir de
las funciones de espín asimétricas.
Ejemplo: (1)(2)(3) + (1)(2)(3) + (1)(2)(3) es simétrica ante todos
los intercambios.
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Principio de exclusión de Pauli: la función de onda
de un sistema de n electrones debe ser antisimétrica
ante el intercambio de las coordenadas espaciales y
de espín de cualesquier par de electrones.
Li(Z=3) parte espacial 1s22s1
1s(1)1s(2)2s(3)(1)(2)(3) 1s1s2s (etiquetas de acuerdo con la
secuencia).
s1s1s2s1s2s1)(s2s1s1
6
1anti
Estado basal del litio
(aproximación de
electrón
independiente.
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se puede escribir como un determinante
)3()3(s2)2()2(s2)1()1(s2
)3()3(s1)2()2(s1)1()1(s1
)3()3(s1)2()2(s1)1()1(s1
6
1anti
Determinante de Slater regla para obtener
antisimétrica para cualquier átomo polielectrónico a partir
de una configuración electrónica.
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1. Escribir la configuración electrónica en términos de
espín-orbitales de acuerdo con la aproximación de
electrón independiente.
Ui espín-orbital ( n,l,m() o n,l,m()
Configuración electrónica para un sistema de n electrones:
U1 U2 U3 U4 … Un
2. Escribir un determinante de nxn con (n!)1/2 de acuerdo
con el orden:
primer renglón todas las columnas ocupadas por U1.
segundo renglón todas las columnas ocupadas por U2.
.
.
.
3. Colocar las etiquetas de los electrones de manera que
en la primera columna sólo aparezca el electrón 1, en la
segunda columna el electrón 2 y así sucesivamente.
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Para n = 4
)4(U)3(U)2(U)1(U
)4(U)3(U)2(U)1(U
)4(U)3(U)2(U)1(U
)4(U)3(U)2(U)1(U
!4
1
4444
3333
2222
1111
Diagonal configuración original
Cambio de etiquetas cambio de coordenadas de espacio y
de espín.
El determinante cambia de signo ante el intercambio de dos
filas o columnas.
El determinante es antisimétrico.
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Si dos electrones tienen asignado el mismo espín-orbital entonces dos
filas del determinante son iguales el determinantes es cero.
)4(U)3(U)2(U)1(U
)4(U)3(U)2(U)1(U
)4(U)3(U)2(U)1(U
)4(U)3(U)2(U)1(U
!4
1
4444
3333
2222
1111
Li 1s3 dos filas iguales (dos electrones descritos por el mismo espín-orbital)
Principio de exclusión de Pauli: dos ó más electrones no pueden tener los
mismos números cuánticos (n,l,m,s).
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Consideraciones energéticas.
Estado excitado de He. Configuración 1s2s
)2(s1)1(s2)2(s2)1(s12
1
)2(s1)1(s2)2(s2)1(s12
1
a
s
parte espacial simétrica
parte espacial antisimétrica
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Se pueden construir funciones antisimétricas al combinar las
funciones espaciales con las funciones de espín.
)2()1(
)2()1()2()1(2
1
)2()1(
)2(s1)1(s2)2(s2)1(s12
1
)2()1()2()1(2
1)2(s1)1(s2)2(s2)1(s1
2
1
a
s
función simétrica función antisimétrica
función antisimétrica función simétrica
Estados linealmente independientes que cumplen con el principio de
exclusión.
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¿Cuál es la energía de estas funciones?
’s no son funciones del hamiltoniano completo
dwdvdd
dHE
*
*
si las funciones están normalizadas:
d
r
e
r
e2
r
e2
m2m2E
12
2
2
2
1
22
2
22
1
2*
El hamiltoniano no contiene términos de espín: la parte de espín
puede ser integrada por separado.
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0)1(d)1()1()1(d)1()1(
1)1(d)1()1()1(d)1()1(
**
**
Funciones ortonormales
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El valor de la energía está determinado por la parte espacial de las
funciones de onda.
)2()1(
)2()1()2()1(2
1
)2()1(
)2(s1)1(s2)2(s2)1(s12
1
)2()1()2()1(2
1)2(s1)1(s2)2(s2)1(s1
2
1
a
s
Dos niveles: uno no degenerado y otro con degeneración igual a tres.