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Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração

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geometria espacial

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Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria de Posiçãoe

Geometria Espacial Métrica

Resumo teórico e exercícios.

3º Colegial / Curso Extensivo.

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geometria espacial

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Relação das aulas.

Aula 01 - Conceitos fundamentais de Geometria de Posição ...........Aula 02 - Poliedros convexos ............................................................Aula 03 - Prismas ...............................................................................Aula 04 - Pirâmides ............................................................................Aula 05 - Cilindro de revolução ..........................................................Aula 06 - Cone de revolução .............................................................Aula 07 - Esferas ...............................................................................Aula 08 - Sólidos semelhantes ..........................................................Aula 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos ....................

Jeca 01

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Página

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.

Considerações gerais.

Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.

Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.

Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.

Meu e-mail - [email protected]

Um abraço.

Jeca (Lucas Octavio de Souza)

Edição de 2014

Os exercícios cujos números estão realçados com um círculo representam os exercícios que considero necessários à compreensão de cada aula. Nada impede que mais, ou outros exercícios sejam feitos, a critério do professor.



geometria espacial

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GEOMETRIA DE POSIÇÃO.

A Geometria de Posição é a parte da Geometria que estuda a determinação dos elementos geométricos, bem como as posições relativas e as interseções desses elementos no espaço.

1) Elementos da Geometria.

a) Ponto - A, B, P, … b) Reta - a, b, r, … c) Plano - a, b, g, …

2) Determinação dos elementos.

2a) Determinação de ponto. Um ponto fica determinado : I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.

II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.

2b) Determinação de reta. Uma reta fica determinada : I - Por dois pontos distintos.

II - Por um ponto e uma direção.

III - Pelo cruzamento de dois planos.

r

s

P

a

a

a

P

r

A

B r

direção

P

b

A B

C

a

r

P

r

2c) Determinação de plano. Um plano fica determinado : I - Por três pontos distintos não colineares.

II - Por uma reta e um ponto fora dela.

III - Por duas retas paralelas distintas.

IV - Por duas retas concorrentes.

3) Combinações dos elementos.(dois a dois)

4) Posições relativas e interseções dos elementos dois a dois.

4a) Ponto - ponto. As posições relativas que dois pontos podem assumir são : I - Os dois pontos são coincidentes.

II - Os dois pontos são distintos.

a

r

s

a

r

s

3a) Ponto - ponto.3b) Ponto - reta.3c) Ponto - plano.3d) Reta - reta.3e) Reta - plano.3f) Plano - plano.

A B A B = A ( ou B )

A

BA B = O

Jeca 02

Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca

(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)

Geometria de Posição

Aula 01Conceitos fundamentais

da Geometria de Posição.



geometria espacial

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4b) Ponto - reta. As posições relativas que um ponto e uma reta podem assumir são : I - O ponto está contido na reta.

II - O ponto está fora da reta.

4c) Ponto - plano. As posições relativas que um ponto e um plano podem assumir são :

I - O ponto está contido no plano.

II - O ponto está fora do plano.

4d) Reta - reta.

1) Retas coplanares. Duas retas são ditas coplanares se existe um plano que as contém.

As posições relativas que duas retas coplanares podem assumir são :

I - Duas retas paralelas coincidentes.

II - Duas retas paralelas distintas.

III - Duas retas concorrentes.

a

r

s

P

r s

a r s = r (ou s)

r s = P

r s = a

r

s O

s’

P

P’ r s = a

r

s

O

r a = ra

r

r’

r a = a

r

O

r

Pr a = P

a

P é chamado de

“traço de r em a”.

III - A reta é secante ou concorrente com o plano.

Retas perpendiculares.(caso particular de retas concorrentes)

Duas retas concorrentes são ditas perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no plano)

2) Retas reversas (ou não coplanares) Duas retas são ditas reversas ou não coplanares se não existe um plano que as contém.

Retas ortogonais.(caso particular de retas reversas)

Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem entre si ângulos de 90º. (no espaço)

4e) Reta - plano.

As posições relativas que uma reta e um plano podem assumir são : I - A reta está contida no plano.

II - A reta é paralela ao plano.

P r P r = P

OP

rP r =

a

PP a = P

a

P

OP’ P a =

Jeca 03

(GeoJeca)



geometria espacial

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Projeções ortogonais (”Sombra”)

P

A

B

C

r

s

t

A - Projeção ortogonal de P em r.B - Projeção ortogonal de P em s.C - Projeção ortogonal de P em t.

A B

A’ B’

C

D

C’ D’

E

F

E’ = F’

r

Projeções ortogonais em r.

Ângulo.

Distância entre duas retas reversas. A distância entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem extremidades nas duas retas e que é simultaneamente perpendicular a essas retas.

r

sd

Distância.

Ângulo entre reta e plano. É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogo-nal da reta sobre o plano.

q

P

P’

Ângulo entre dois planos. É o ângulo formado por duas retas, uma de cada pla-no, perpendiculares à intersecção dos dois planos num mesmo ponto.

q

Intersecção

Determina Existe e é único

Onde se lê Entende-se

Existe um

Um único

Coincidentes

Distintos Têm pelo menos um ponto diferente.

Têm todos os pontos em comum.

Um e somente um.

Existe pelo menos um.

Concorrentes Se cruzam.

Colineares Existe uma reta que os contém.

Coplanares Existe um plano que os contém.

Reversos Não existe um plano que os contém.

Reta perpendicular ao plano.(caso particular de reta secante ao plano)

Teorema. Uma reta é perpendicular a um plano se é perpen-dicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano.

4f) Plano - plano. As posições relativas que dois planos podem assumir são : I - Dois planos paralelos coincidentes.

II - Dois planos paralelos distintos.

III - Dois planos secantes (ou concorrentes)

Planos perpendiculares.(caso particular de planos secantes ou concorrentes)

Teorema. Dois planos são perpendiculares entre si se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.

t

a s

r

b

a b = a (ou b)

a

a b = b

a

O

a b = ra

b r

t

a

b

Jeca 04

(GeoJeca)



geometria espacial

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Um ponto contido num plano divide esse pla-no em dois semiplanos.Uma reta secante a um plano divide essa pla-no em dois semiplanos.Se duas retas são paralelas, então elas não têm ponto em comum.Duas retas paralelas a uma terceira são para-lelas entre si.Duas retas ortogonais formam ângulo reto.Se duas retas distintas não são paralelas, en-tão são concorrentes.Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém.Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum.Três pontos não colineares são sempre distin-tos.Uma reta e um plano paralelo não têm ponto comum.Uma reta está contida num plano quando eles coincidem.Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano.Se uma reta é paralela a um plano, então ela éparalela a todas as retas do plano.Se uma reta é paralela a um plano, então ela éreversa a uma reta do plano.Se uma reta é paralela a um plano, então ela éortogonal a uma única reta do plano.Se uma reta é secante a um plano, então essa reta é concorrente com infinitas retas desse plano.Se uma reta é paralela a um plano, então existe no plano uma reta concorrente com ela.Se duas retas são reversas, então qualquer reta que concorre com uma delas concorre com a outra.Se duas retas distintas são paralelas, então todo plano que contém uma é paralelo ou contém a outra.Se duas retas são reversas, então qualquer plano que contém uma intercepta a outra.Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então são paralelas entre si.Dado uma reta e um plano quaisquer, existe no plano uma reta paralela à reta dada.Dadas duas retas distintas quaisquer, existe um plano que contém uma e é paralelo à outra.Dois planos secantes têm como interseção uma reta.Se dois planos distintos têm um ponto comum então eles são secantes.Dois planos que têm uma reta comum são se-cantes.Dois planos que têm uma única reta comum são secantes.Dadas duas retas reversas, existe um plano que as contém.Dois planos distintos são secantes.Se dois planos distintos são paralelos entre si, então uma reta de um deles e uma reta do outro são paralelas entre si ou reversas.Se dois planos são paralelos a uma reta, en-tão são paralelos entre si.

Responder V se verdadeira ou F se falsa nas afirmações abaixo.

O ponto não tem dimensão.Uma reta contém infinitos pontos.Um plano contém infinitos pontos.Por um ponto sempre passa uma reta.Dados dois pontos distintos, existe e é único o plano que os contém.Três pontos distintos determinam um plano.

Três pontos colineares são coplanares.

Todo plano contém infinitas retas.Um ponto separa uma reta em duas semirre-tas.Um ponto pertencente a uma reta, separa es-sa reta em duas semirretas.Uma reta divide um plano em dois semiplanos.Uma reta pertencente a um plano, divide esse plano em dois semiplanos.Qualquer plano divide o espaço em dois semi-espaços.Dois semiplanos são sempre coplanares.Dois semiplanos opostos são sempre copla-nares.Se dois pontos pertencem a semiplanos opos-tos, então o segmento que os une intercepta a origem dos dois semiplanos.Existem infinitos semiplanos de mesma ori-gem.Três pontos distintos não são colineares.Duas retas que têm um ponto comum são con-correntes.Duas retas que têm um único ponto comum são concorrentes.Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes.Uma reta e um ponto determinam um plano.Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.Duas retas distintas determinam um plano.Duas retas paralelas determinam um plano.Três retas, duas a duas paralelas distintas, de-terminam três planos.Três retas, duas a duas paralelas distintas, de-terminam um único ou três planos.Três retas, duas a duas concorrentes em pon-tos distintos, são coplanares.O espaço contém infinitos pontos, infinitas re-tas e infinitos planos.Quatro pontos coplanares, distintos e não co-lineares, são vértices de um quadrilátero.Quatro pontos coplanares, distintos e não co-lineares três a três, são vértices de um quadri-látero.Quatro pontos distintos e não coplanares, três a três determinam quatro planos distintos.Duas retas paralelas distintas e um ponto fora delas, determinam um único ou três planos.Duas retas concorrentes e um ponto fora delas determinam três planos.

Três pontos distintos e não colineares deter-minam um plano.

Por uma reta passam infinitos planos.

Se duas retas não têm ponto em comum, en-tão elas são reversas.

Jeca 05

(GeoJeca)

01) ( )02) ( )03) ( )04) ( )05) ( )

06) ( )07) ( )

08) ( )09) ( )10) ( )11) ( )

12) ( )

13) ( )14) ( )

15) ( )

16) ( )17) ( )

18) ( )

19) ( )

20) ( )21) ( )

22) ( )

23) ( )

24) ( )25) ( )

26) ( )27) ( )28) ( )

29) ( )

30) ( )

31) ( )

32) ( )

33) ( )

34) ( )

35) ( )

36) ( )

37) ( )

38) ( )

39) ( )

40) ( )

41) ( )

42) ( )43) ( )

44) ( )

45) ( )

46) ( )

47) ( )

48) ( )

49) ( )

50) ( )

51) ( )

52) ( )

53) ( )

54) ( )

55) ( )

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57) ( )

58) ( )

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60) ( )

61) ( )

62) ( )

63) ( )

64) ( )

65) ( )

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68) ( )



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Se uma reta é paralela a dois planos se-cantes, então ela é paralela à interseção des-ses planos.Se dois planos distintos são paralelos, en-tão toda reta paralela a um deles é paralela ao outro.Se dois planos distintos são paralelos a um terceiro, então são paralelos entre si.Se uma reta é perpendicular a um plano, en-tão ela é perpendicular a uma reta do plano.Se uma reta é perpendicular a um plano, en-tão ela é perpendicular a todas as retas desse plano.Se uma reta é perpendicular a um plano, en-tão ela é perpendicular a infinitas retas desse plano.Se uma reta é perpendicular a um plano, en-tão ela é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do plano.Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas desse plano.Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas concorrentes des-se plano.Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é perpen-dicular ao plano.Por um ponto dado pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano dado.Dois planos perpendiculares a um terceiro, podem ser perpendiculares entre si.Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então são paralelos entre si.Se uma reta é ortogonal a duas retas para-lelas distintas, então ela é paralela ao plano que as contém.Se uma reta é perpendicular a um plano, en-tão toda reta perpendicular a ela é paralela ao plano.Se uma reta é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.Dadas duas retas reversas, existe um plano que contém uma e é perpendicular à outra.As intersecções de dois planos paralelos com um terceiro plano, são retas paralelas.Se um plano contém duas retas concorrentes e ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos entre si.A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é um ponto ou uma reta. A projeção ortogonal de um quadrilátero pla-no sobre um plano é um quadrilátero.A projeção ortogonal de um plano sobre outro plano é um plano ou uma reta.

Jeca 06

69) ( )

70) ( )

71) ( )

72) ( )

73) ( )

74) ( )

75) ( )

76) ( )

77) ( )

78) ( )

79) ( )

80) ( )

81) ( )

82) ( )

83) ( )

84) ( )

85) ( )

86) ( )

87) ( )

88) ( )

89) ( )

90) ( )

91) ( )

92) ( )

21 - F22 - V23 - V24 - F25 - V26 - F27 - F28 - F29 - V30 - V31 - V32 - F33 - V34 - V35 - V36 - F37 - F38 - F39 - F40 - F

01 - V02 - V03 - V04 - V05 - F06 - F07 - V08 - V09 - V10 - V11 - F12 - V13 - F14 - V15 - V16 - F17 - V18 - V19 - V20 - F

41 - V42 - V43 - F44 - F45 - V46 - V47 - V48 - F49 - V50 - F51 - V52 - F53 - V54 - F55 - F56 - V57 - F58 - F59 - F60 - F

61 - V62 - V63 - F64 - V65 - F66 - F67 - V68 - F69 - V70 - F71 - V72 - V73 - F74 - V75 - V76 - F77 - V78 - F79 - V80 - V

81 - V82 - F83 - F84 - F85 - F86 - V87 - V88 - V89 - F90 - V91 - F92 - V

GABARITO



geometria espacial

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Aula 01Exercícios complementares.

(Geometria de Posição)

Jeca 07

01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice :a) Ab) Bc) Cd) De) E

A

B

C

D

E

G

03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é:a) 6b) 3c) 2d) 1e) 0

A

B

C

D

cumeeira

ts

v

r

u

3 m

4 m

4 m

02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.

Das retas assinaladas, podemos afirmar que:a) t e u são reversas.b) s e u são reversas.c) t e u são concorrentes.d) s e r são concorrentes.e) t e u são perpendiculares.

04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB é perpendicular ao plano a, CD e BC estão contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-tância de A a D.

A

BC

Da

05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano." Na figura abaixo, determine a medida da projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano a.

06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano a definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a a em A, com A c, o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X a, então a reta s, definida por X e B:

C

C

a) é paralela à reta c.b) é paralela à reta bc) está contida no plano a.d) é perpendicular à reta d.e) é perpendicular à reta b.

a

b

A

d

cB

a e p são planos secantesA p e B tAB t e BC tAB = 10 cm

CT TC

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

60º

p

a

t

A

BC

(GeoJeca)



geometria espacial

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(Geometria de Posição)

Jeca 07

01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice :a) Ab) Bc) Cd) De) E

A

B

C

D

E

G

03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é:a) 6b) 3c) 2d) 1e) 0

A

B

C

D

cumeeira

ts

v

r

u

3 m

4 m

4 m

02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.

Das retas assinaladas, podemos afirmar que:a) t e u são reversas.b) s e u são reversas.c) t e u são concorrentes.d) s e r são concorrentes.e) t e u são perpendiculares.

04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB é perpendicular ao plano a, CD e BC estão contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-tância de A a D.

A

BC

Da

05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano." Na figura abaixo, determine a medida da projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano a.

06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano a definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a a em A, com A c, o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X a, então a reta s, definida por X e B:

C

a) é paralela à reta c.b) é paralela à reta bc) está contida no plano a.d) é perpendicular à reta d.e) é perpendicular à reta b.

a

b

A

d

cB

a e p são planos secantesA p e B tAB t e BC tAB = 10 cm

CT TC

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

60º

p

a

t

A

BC

(GeoJeca)

saída

chegadaResp e)

t e u são retas reversas pois não são paralelas en-tre si e pertencem a planos paralelos distintos. a)

AC é reversa a BD.AB é reversa a CD.AD é reversa a BC.

Três pares de retas reversas. (resp. b)

D

C B4

3

D B

A

2d

xx

2 2 2x = 3 + 4x = 5 cm

2 2 2d = 2 + 5d = 29 cm

B

A

60º

10

X

cos 60º = x / 10x = 10 cos 60ºx = 10 . 1 / 2x = 5 cm

X

A reta d é perpendicular à reta XB porque a reta d é per-pendicular ao plano ABX.

(resp. d)

(GeoJeca)



geometria espacial

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Jeca 08

x

y

z

s

t

r

07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-treaberta e o canto de uma sala:

As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, as posições relativas:a) paralelas, paralelas e perpendiculares.b) paralelas, perpendiculares e reversas.c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.d) reversas, paralelas e perpendiculares.e) perpendiculares, reversas e paralelas.

09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não se pode afirmar:a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-rentes de um plano, então é perpendicular a esse plano.b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas.c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular à reta e passando pelo ponto.

10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercep-ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a:a) 9 5b) 9c) 7d) 4e) 3 5

11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana-res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân-gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas:a) EA e EBb) EC e CAc) EB e BAd) EA e ACe) AC e BE

08) (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s sobre a é perpendicular a r.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)



geometria espacial

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Jeca 08

x

y

z

s

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r

07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-treaberta e o canto de uma sala:

As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, as posições relativas:a) paralelas, paralelas e perpendiculares.b) paralelas, perpendiculares e reversas.c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.d) reversas, paralelas e perpendiculares.e) perpendiculares, reversas e paralelas.

09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não se pode afirmar:a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-rentes de um plano, então é perpendicular a esse plano.b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas.c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular à reta e passando pelo ponto.

10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercep-ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual a:a) 9 5b) 9c) 7d) 4e) 3 5

11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana-res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân-gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas:a) EA e EBb) EC e CAc) EB e BAd) EA e ACe) AC e BE

08) (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s sobre a é perpendicular a r.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

r e s são paraleass e t são perpendicularesx e r são reversas

(resp. b)

ar

s

A

A'

B

r é perpendicular a s (do enunciado).AA' é perpendicular a a porque é a projeção ortogonal.A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con-correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi-cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no planoAA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)

a) Vb) Fc) Vd) Ve) V

r

s

t É possível passar 3 retas per-pendiculares entre si num mesmo ponto.

cubo

r

s

B

C

A

Da

d

x

BC = 2 5 cmAD = 5 cm (proj. ortogonal)BD = 6 cm

2 2 2x = 5 + 6

2x = 61x = 61 cm

2 2 2d = (2 5 ) + x

2d = 20 + 61 = 81d = 9 cm (resp. b)

V

A B

C

VAC e VAB são retos pois VA é perpendicular ao plano ABC.ACB é reto porque ACB é um triângulo inscrito numa semicircun-ferência.VCB é reto porque BC é perpendicular ao plano ACV.(BC é perpendicular a AC e BC é ortogonal a AV)Teorema - Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendi-cular ou ortoggonal a duas retas concorrentes desse plano.

A

BC

D

E

São perpendiculares as retas EA e AC. (resp. d)

A reta EA é perpendicular ao plano ABCD porque é perpendi-cular às retas AD e AB, que pertencem a ABCD. Portanto a reta EA é perpendicular a qualquer reta de ABCD que passe por A.

resp. e)



geometria espacial

13

Jeca 09

13) (Fuvest-SP) São dados um plano p, um ponto P do mesmo e uma reta r oblíqua a p que o fura num ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta por P, contida em p, e ortogonal a r.

17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição verdadeira.a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela é perpendicular a todas as retas do plano.b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-ro são paralelos entre si.c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é sempre uma reta.d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano.e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a três planos paralelos, são paralelas.

18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.a) Por uma reta perpendicular a um plano a passa pelo menos um plano perpendicular a a.b) A projeção ortogonal sobre um plano a de um segmento oblíquo a a é menor do que o segmento.c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de um plano a é perpendicular ao plano a.d) Um plano perpendicular à dois planos concorren-tes é perpendicular à intersecção deles.e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter-ceira reta são paralelas.

14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-deira ?a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano.b) Um ponto e uma reta determinam um plano.c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único.d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con-tida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano.e) Se a é o plano determinado por duas retas con-correntes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s.

15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no espaço. Analise as seguintes afirmações:( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano que as contém.( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, então r é paralela a s.( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então existe um plano que as contém.( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e s são reversas.

Considerando V para sentença verdadeira e F para sentença falsa, a sequência correta que classi-fica essas afirmações é:a) V, V, V, V.b) F, V, V, F.c) V, F, F, V.d) V, V, F, F.

U

16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-deira ?a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.b) Duas retas não coplanares são reversas.c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas.d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém.e) Se três retas distintas são duas a duas concorren-tes, então elas determinam um e um só plano.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)



geometria espacial

14

Jeca 09

13) (Fuvest-SP) São dados um plano p, um ponto P do mesmo e uma reta r oblíqua a p que o fura num ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta por P, contida em p, e ortogonal a r.

17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição verdadeira.a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela é perpendicular a todas as retas do plano.b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-ro são paralelos entre si.c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é sempre uma reta.d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano.e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a três planos paralelos, são paralelas.

18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.a) Por uma reta perpendicular a um plano a passa pelo menos um plano perpendicular a a.b) A projeção ortogonal sobre um plano a de um segmento oblíquo a a é menor do que o segmento.c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de um plano a é perpendicular ao plano a.d) Um plano perpendicular à dois planos concorren-tes é perpendicular à intersecção deles.e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter-ceira reta são paralelas.

14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-deira ?a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano.b) Um ponto e uma reta determinam um plano.c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único.d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con-tida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano.e) Se a é o plano determinado por duas retas con-correntes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s.

15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no espaço. Analise as seguintes afirmações:( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano que as contém.( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, então r é paralela a s.( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então existe um plano que as contém.( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e s são reversas.

Considerando V para sentença verdadeira e F para sentença falsa, a sequência correta que classi-fica essas afirmações é:a) V, V, V, V.b) F, V, V, F.c) V, F, F, V.d) V, V, F, F.

U

16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-deira ?a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.b) Duas retas não coplanares são reversas.c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas.d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém.e) Se três retas distintas são duas a duas concorren-tes, então elas determinam um e um só plano.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

Demonstraçãor

A

B

A' B'C

Pp

Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-jeções ortogonais sobre o plano p.A reta de p ortogonal a r é a única reta de p que passa por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única.(CQD)

a) Fb) Fc) Fd) Fe) V

r

sm

m // r

a

V

F

F

V

resp. c)

Resp. b)

Reversa é sinônimo de não coplanar.

Duas retas são reversas se não existe um plano que as contém.

a) Fb) Fc) Fd) Fe) V

a) Vb) Vc) Vd) Ve) F

r

s

tcubo

A reta r é perpendicular à reta s.A reta r é perpendicular à reta t.As retas s e t não são paralelas entre si.

resp. e)resp. e)



geometria espacial

15

A B

CD

E F

GH

19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces como planos, responda as solicitações abaixo.

Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição.

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB.Resp.

b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AD.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano EAB.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano EHG.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ADC.Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e EH ?Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o plano ABF ?Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano FGH ? Resp.

k) Determine todas as arestas do cubo que são perpendiculares à reta BC.Resp.

l) Determine todas as arestas do cubo que são or-togonais à reta EF.Resp.

m) Determine todas as arestas do cubo que são concorrentes com a reta DH.Resp.

n) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas ao plano BCG.Resp.

o) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas ao plano BDH.Resp.

p) Determine todas as faces do cubo que são para-lelas à aresta CG.Resp.

q) Determine todas as faces do cubo que são per-pendiculares à face AEF.Resp.

r) Determine todos os vértices do cubo que não es-tão contidos no plano FGH.Resp.

s) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas distintas à aresta AB.Resp.

t) Determine todos os vértices do cubo que não es-tão contidos no plano EGD.Resp.

Jeca 10

(GeoJeca)



geometria espacial

16

A B

CD

E F

GH

19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces como planos, responda as solicitações abaixo.



b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AD.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano EAB.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano EHG.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ADC.Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e EH ?Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o plano ABF ?Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano FGH ? Resp.

k) Determine todas as arestas do cubo que são perpendiculares à reta BC.Resp.

l) Determine todas as arestas do cubo que são or-togonais à reta EF.Resp.

m) Determine todas as arestas do cubo que são concorrentes com a reta DH.Resp.

n) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas ao plano BCG.Resp.

o) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas ao plano BDH.Resp.

p) Determine todas as faces do cubo que são para-lelas à aresta CG.Resp.

q) Determine todas as faces do cubo que são per-pendiculares à face AEF.Resp.

r) Determine todos os vértices do cubo que não es-tão contidos no plano FGH.Resp.

s) Determine todas as arestas do cubo que são pa-ralelas distintas à aresta AB.Resp.

t) Determine todos os vértices do cubo que não es-tão contidos no plano EGD.Resp.

Jeca 10

(GeoJeca)

Podem ser citadas as retasCD , GH ou EF

Podem ser citadas as retasAD , CD , EH ou GH

Podem ser citadas as retasAB , BF , CD ou CG

Podem ser citadas as retasAB , AE , DC ou DH

CDHG

Podem ser citados os planosABFE , BCGF , CDHG ou DAEH

Podem ser citados os planosABFE , BCGF , CDHG ou DAEH

A intersecção entre as retas HG e EH é um ponto. O ponto H.

A reta DH é paralela ao plano ABF. Não existe intersecção entre DH e ABF.

AB , BF , DC e GC.

É uma reta. A intersecção entre o plano AEF e o plano FGH é a reta EF.

AD , DH , BC e CG

AD , CD , EH e GH

AD , DH , HE e AE

AE e CG

ABFE e ADHE

ABCD , BCGF , FGHE e ADHE

A , B , C e D

CD , GH e EF

A , B , C , F e H



geometria espacial

17

AB

CD

E F

GH

R

S

T

U

20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan-gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices desse paralelepípedo, determinar o que se pede em cada questão a seguir :

a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis-tintas à aresta AD ?Resp.

b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?Resp .

c) O que é e qual é a intersecção entre os planos ADB e EFH ? Resp .

d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?Resp .

e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu-lares à aresta EF ?Resp .

f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à aresta DC ?Resp .

g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula-res ao plano AEH ?Resp .

h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?Resp .

i) O que é e qual é a intersecção entre os planos CGH e BFH ?Resp .

j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?Resp .

l) Qual a distância entre os pontos S e R ?Resp .

m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao plano BCG ?Resp

n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao plano CDH ?Resp .

o) Qual a tangente do ângulo formado entre os planos ABF e BFH ?Resp .

p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e EG ?Resp .

q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm do vértice E ?Resp

r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice D ?Resp .

s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à reta FC ?Resp .

t) O que é e qual é a intersecção entre os planos AHG e DEF ?Resp .

u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paralelepípedo ?Resp .

Jeca 11

(GeoJeca)



geometria espacial

18

AB

CD

E F

GH

R

S

T

U

20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan-gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices desse paralelepípedo, determinar o que se pede em cada questão a seguir :

a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis-tintas à aresta AD ?Resp.

b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?Resp .

c) O que é e qual é a intersecção entre os planos ADB e EFH ? Resp .

d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?Resp .

e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu-lares à aresta EF ?Resp .

f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à aresta DC ?Resp .

g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula-res ao plano AEH ?Resp .

h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?Resp .

i) O que é e qual é a intersecção entre os planos CGH e BFH ?Resp .

j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?Resp .

l) Qual a distância entre os pontos S e R ?Resp .

m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao plano BCG ?Resp

n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao plano CDH ?Resp .

o) Qual a tangente do ângulo formado entre os planos ABF e BFH ?Resp .

p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e EG ?Resp .

q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm do vértice E ?Resp

r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice D ?Resp .

s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à reta FC ?Resp .

t) O que é e qual é a intersecção entre os planos AHG e DEF ?Resp .

u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paralelepípedo ?Resp .

Jeca 11

(GeoJeca)

EH , FG e BC

São retas reversas e ortogonais.

É um conjunto vazio. Não existe intersecção.

d = 4 cm

AE , EH , BF e FG

ABCD , DCGH , EFGH e ABFE

d = 6 cm

É uma reta. A reta DH.

São retas reversas.

AE , EH , BF e FG

2 2 2d = 4 + 5 = 41d = 41 cm

AD , DH , HE e AE

ABFE

tg q = 8 / 10 = 4 / 5

É um ponto. O ponto U.

F e D

ABCD , HGCD e AEHD

AB e HG

É uma reta. A reta RT.

S = 4 . 6 + 4 . 8 + 4 . 10 = 24 + 32 + 40S = 96 cm



geometria espacial

19



b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AF.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano GMA.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano JLE.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ABH.Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e GM ?Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o plano HIB ?Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano CDJ ? Resp.

k) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta AG.Resp.

l) Determine todas as retas do prisma que são or-togonais à reta EF.Resp.

m) Determine todas as retas do prisma que são con-correntes com a reta CD.Resp.

n) Determine todas as retas do prisma que são para-lelas ao plano BCE.Resp.

o) Determine todas as retas do prisma que são pa-ralelas ao plano BCH.Resp.

p) Determine todas as faces do prisma que são pa-ralelas à reta DJ.Resp.

q) Determine todas as faces do prisma que são per-pendiculares à face AEF.Resp.

r) Determine todos os vértices do prisma que não estão contidos no plano JLD.Resp.

s) Determine todas as retas do prisma que são per-pendiculares à reta AB.Resp.

t) Determine todas as retas do prisma contidas no plano GMA.Resp.

A

B

C D

E

F

A

B

C D

E

F

G

H

I J

L

M

figura01

figura02

21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas como retas e as faces como planos, responda as solicitações abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém nenhuma aresta.

Jeca 12

(GeoJeca)



geometria espacial

20



b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.Resp.

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.Resp.

d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AF.Resp.

e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano GMA.Resp.

f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano JLE.Resp.

g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ABH.Resp.

h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e GM ?Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o plano HIB ?Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano CDJ ? Resp.

k) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta AG.Resp.

l) Determine todas as retas do prisma que são or-togonais à reta EF.Resp.

m) Determine todas as retas do prisma que são con-correntes com a reta CD.Resp.

n) Determine todas as retas do prisma que são para-lelas ao plano BCE.Resp.

o) Determine todas as retas do prisma que são pa-ralelas ao plano BCH.Resp.

p) Determine todas as faces do prisma que são pa-ralelas à reta DJ.Resp.

q) Determine todas as faces do prisma que são per-pendiculares à face AEF.Resp.

r) Determine todos os vértices do prisma que não estão contidos no plano JLD.Resp.

s) Determine todas as retas do prisma que são per-pendiculares à reta AB.Resp.

t) Determine todas as retas do prisma contidas no plano GMA.Resp.

A

B

C D

E

F

A

B

C D

E

F

G

H

I J

L

M

figura01

figura02

21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas como retas e as faces como planos, responda as solicitações abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém nenhuma aresta.

Jeca 12

(GeoJeca)

DE , JL ou GH

JL , JI , ED ou CD

FM , AG , BH ou CI

AB , EF , DE . BC , FM ou AG

CDJI

GHIJLM ou ABCDEF

GHIJLM , ABCDEF , HICB , AFMG , EFML ou CDJI

É um ponto. O ponto G.

É um ponto. O ponto C.

É uma reta. A reta CD.

GM , GH , AF e AB

AG , BH , CI e DJ

FE , DE , AB , BC , IC e JD

IJ , JL , LM , MG , GH e HI

ML , EF , JD , LE , MF e AG

FELM , MGAF , GHBA e HICB

ABHG , BCIH , CDJI , DELJ , EFML e FAGM

HB e AG

GM , MF , AF e AG

M , G , H , I , F , A , B e C



geometria espacial

21

22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor-retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são: AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.

A

B C

D

E

F G

H

a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o plano BCG ?a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10

b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta GH ?a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6

c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10

d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta FH ?a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5

e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto B ?a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253

f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta AD ?a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127

g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH e a face EFGH ?a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos BCG e BCH ?a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

Jeca 13

(GeoJeca)



geometria espacial

22

22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor-retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são: AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.

A

B C

D

E

F G

H

a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o plano BCG ?a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10

b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta GH ?a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6

c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10

d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta FH ?a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5

e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto B ?a) 7 5 b) 3 31 c) 5 11 d) 3 29 e) 4 17

f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta AD ?a) 4 7 b) 3 13 c) 7 3 d) 8 2 e) 2 21

g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH e a face EFGH ?a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos BCG e BCH ?a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

Jeca 13

(GeoJeca)

A

B C

D

E

F G

H

FE = 9 cm

A

B C

D

E

F G

H

A

B C

D

E

F G

H

A

B C

D

E

F G

H

A

B C

D

E

F G

H

A

B C

D

E

F G

H

A

B C

D

E

F G

H

A

B C

D

E

F G

H

2 2 2(AH) = (AE) + (EH)

2 2 2(AH) = 6 + 12

2(AH) = 180AH = 6 5 cm

N

Relações métricas no triângu-

lo retângulo a . h = b . c

HF . GN = HG . FG2 2 2

(HF) = 9 + 12 = 225HF = 15 cm15 . GN = 9 . 12GN = 108 / 15 GN = 36 / 5 cm

d = BF = 6 cm

FH = 15 cm (calculado no ítem d)

2 2 2(BH) = (FH) + (BF)

2 2 2(BH) = 15 + 6 = 261BH = 261 = 3 29 cm

2 2 2(DG) = (DH) + (HG)

2 2 2(DG) = 6 + 9 = 117DG = 117 = 3 13 cm

q

tg q = BF / FHtg q = 6 /15tg q = 2 / 5

q

tg q = HG / CGtg q = 9 / 6tg q = 3 / 2



geometria espacial

23

face A

face C

face D face E

face Bpeça 1 peça 2

face A face B face C face D face E

esboços

face A

24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.

face A

face C

face D face E

face B


esboços

face A

peça 1 peça 2


A

B

C

D

25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2, com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.

face A face B face C face D

esboços

figura 2figura 1 figura 3

Jeca 14

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

24

face A

face C

face D face E

face Bpeça 1 peça 2


esboços

face A


face A

face C

face D face E

face B


esboços

face A

peça 1 peça 2


A

B

C

D

25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2, com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.


esboços

figura 2figura 1 figura 3

Jeca 14

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

25

F

26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, G e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma que cada observador visualiza a face observada.

G

L

R

R PJ J

figura 1

F

RJ

figura 3

Observador A

Observador B

F

RJ

figura 1

F

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1

Observador A Observador B






P L(exemplo)

P

R

JR

JL

F

LP

LJ

a)

b)

c)

d)

e)

Jeca 15

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Ffigura 2

(GeoJeca)

G

G

G



geometria espacial

26

F

26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, G e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma que cada observador visualiza a face observada.

G

L

R

R PJ J

figura 1

F

RJ

figura 3

Observador A

Observador B

F

RJ

figura 1

F

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1

figura 1







P L(exemplo)

P

R

JR

JL

F

LP

LJ

a)

b)

c)

d)

e)

Jeca 15

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

F

J R

F P

F

J

L PR

figura 2

(GeoJeca)

G

G

G

G



geometria espacial

27

Respostas da aula 01.

Jeca 16

Respostas da Aula 01

Favor comunicar eventuais erros deste trabalho através do e-mail

[email protected] Obrigado.

As respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das páginas 05 e 06 estão na página 06.

Respostas da Aula 01 - Exercícios comple-mentares.

01) e02) a03) b04) AD = 29 cm05) 5 cm06) d07) b

08) Demonstração

ar

s

A

A'

B

r é perpendicular a s (do enunciado).AA' é perpendicular a a porque é a projeção ortogonal.A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con-correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi-cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no planoAA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)

09) b10) b11) e12) d

13) Demonstração

r

A

B

A' B'C

Pp

Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-jeções ortogonais sobre o plano p.A reta de p ortogonal a r é a única reta de p que passa por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única.(CQD)

14) e15) c16) b17) e18) e19) a) CD, HG ou EF b) AD, CD, EH ou GH c) AB, BF, CD ou CG d) CD, DH, EA ou BA e) CDH f) EAD, HDC, BCG ou EAB g) EAD, HDC, BCG ou EAB h) o ponto H i) não existe intersecção j) a reta EF k) AB, BF, CD e CG l) BC, CG, AD e DH m) AD, CD, EH e GH n) AD, DH, HE e EA o) AE e CG p) ABE e ADH q) ADC, BCG, EFG e AEH r) A, B, C e D s) CD, GH e EF t) A, B, C, H e F

20) a) CB, FG e EH b) retas reversas e ortogonais c) não existe intersecção d) 4 cm e) EA, EH, BF e GF f) EA, EH, BF e GF g) ADC, DHG, HEF e AEB h) 6 cm

20) i) a reta DH j) retas reversas l) 41 cm m) AD, DH, HE e EA n) ABF o) 4/5 p) o ponto U q) D e F r) ADC, ADH e CDH s) AB e HG t) a reta RT u) 96 cm

21) a) DE, JL ou HG b) JI, JL, CD ou DE c) IC, HB, GA ou MF d) AB, BC, GA, MF, FE ou DE e) CDJ f) JLM ou DEF g) GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM h) o ponto G i) o ponto C j) a reta CD k) GH, GM, AB e AF l) JD, IC, HB e AG m) DE, EF, JD, IC, BC e AB n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH o) ML, EF, JD, LE, MF e AG p) BCH, HGA, GMA e MLF q) GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB r) M, G, H, I, F, A, B e C s) HB e GA t) GM, MF, AG e AF

22) a) c b) d c) b d) a e) d f) b g) a h) c

23)

24)

25)

26) a)

b)

c)

d)

e)




Obs. A Obs. B

J R

F P

F

J

L P

RG



geometria espacial

28




Aula 02Poliedros convexos.

I - Elementos dos poliedros.

face

aresta

vértice

ângulopoliédrico

Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos.

Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro.

Aresta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces.

Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais arestas.

Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou mais arestas.

Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele.

A B

poliedro não convexopoliedro convexo

Classificação dos poliedros.4 faces - tetraedro5 faces - pentaedro6 faces - hexaedro7 faces - heptaedro8 faces - octaedro9 faces - eneaedro10 faces - decaedro11 faces - undecaedro12 faces - dodecaedro13 faces - tridecaedro14 faces - quadridecaedro15 faces - pentadecaedro16 faces - hexadecaedro17 faces - heptadecaedro18 faces - octodecaedro19 faces - eneadecaedro20 faces - icosaedro

Classificação dos ângulospoliédricos.3 arestas - ângulo triédrico4 arestas - ângulo tetraédrico5 arestas - ângulo pentaédrico6 arestas - ângulo hexaédricoetc

Relação de Euler. Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação:

V - A + F = 2

Soma das medidas dos ângulos internosde todas as faces do poliedro convexo.

S = 360 (V - 2)

Cálculo do número de arestas de um poliedro convexo.

a) Através das faces. b) Através dos vértices.

A - número de arestas do poliedro. n - número de lados de cada face. F - número de faces do mesmo tipo. m - número de arestas de cada vértice poliédrico. V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo.

A =n . F

2m . VA =

2

V - nº de vérticesA - nº de arestasF - nº de faces

S - soma dos ângulosV - nº de vértices

Poliedros de Platão. Um poliedro é dito de Platão se: - é convexo e fechado; - tem todas as faces do mesmo tipo; - tem todos os vértices do mesmo tipo.

Existem apenas 5 poliedros de Platão.

TetraedroHexaedroOctaedroDodecaedro Icosaedro

não é dePlatão

é de Platão

Poliedro regular. Um poliedro é dito regular se tem todas as faces formadas por polígonos regulares e congruentes.

Existem apenas 5 poliedros regulares

Tetraedro regularHexaedro regularOctaedro regularDodecaedro regular Icosaedro regular

34

53

3

nº de lados de cada face

- Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo poliedro de Platão é regular.- Todo poliedro regular pode ser inscrito e circunscrito numa esfera.

Jeca 17



geometria espacial

29

01) Determine o número de vértices de um poliedro convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.

Observação - A figura foi colocada no exercício para que o aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.


02) Determine o número de faces de um poliedro con-vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vér-tices tetraédricos.

03) Determine o número de vértices de um poliedro convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-ces triangulares e 2 faces quadrangulares.

04) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e 2 vértices heptaédricos.

05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-cação de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é:a) 12b) 14c) 16d) 20e) 22

06) (UFTM-MG) Um poliedro convexo, com 32 ares-tas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o número de faces qua-drangulares e t o número de faces triangulares, en-tão os valores de q e t são, respectivamente,a) q = 6 e t = 14b) q = 16 e t = 4c) q = 4 e t = 14d) q = 14 e t = 4e) q = 4 e t = 16

Jeca 18

Poliedros regulares (T H O D I)

Tetraedro OctaedroHexaedro Dodecaedro Icosaedro

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

30

01) Determine o número de vértices de um poliedro convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.



02) Determine o número de faces de um poliedro con-vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vér-tices tetraédricos.

03) Determine o número de vértices de um poliedro convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-ces triangulares e 2 faces quadrangulares.

04) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e 2 vértices heptaédricos.

05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-cação de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é:a) 12b) 14c) 16d) 20e) 22

06) (UFTM-MG) Um poliedro convexo, com 32 ares-tas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o número de faces qua-drangulares e t o número de faces triangulares, en-tão os valores de q e t são, respectivamente,a) q = 6 e t = 14b) q = 16 e t = 4c) q = 4 e t = 14d) q = 14 e t = 4e) q = 4 e t = 16

Jeca 18

Poliedros regulares (T H O D I)

Tetraedro OctaedroHexaedro Dodecaedro Icosaedro

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

m.V

Euler V - A + F = 2

A =2

1 face pentagonal5 faces triangulares5 faces quadrangulares

F = 11 faces

A =n.F2

A =2

5 . 1 + 3 . 5 4 . 52

+2

A = 20 arestas

Euler V - A + F = 2

V - 20 + 11 = 2

V = 11 faces (resp.)

6 vértices triédricos14 vértices tetraédricos

V = 20 vértices

A =2

3 . 6 + 4 . 142

A = 37 arestas

20 - 37 + F = 2

F = 19 faces (resp.)

m.V

Euler V - A + F = 2

A =2

1 face hexagonal4 faces triangulares2 faces quadrangulares

F = 7 faces

A =n.F2

A =2

6 . 1 + 3 . 4 4 . 22

+2

A = 13 arestas

Euler V - A + F = 2

V - 13 + 7 = 2

V = 8 vértices (resp.)

7 vértices tetraédricos2 vértices heptaédricos

V = 9 vértices

A =2

4 . 7 + 7 . 22

A = 21 arestas

9 - 21 + F = 2


6 faces quadrangulares8 faces triangulares

F = 14 faces

A =n.F2

A =2

4 . 6 + 3 . 82

A = 24 arestas

Euler V - A + F = 2

V - 24 + 14 = 2

V = 12 faces (resp.)

1

2

3

4

5

6

1

2

3 4

56

7

8Euler V - A + F = 2

A = 32 arestasV = 14 vértices

14 - 32 + F = 2F = 20 faces

q faces quadrangulares(20 - q) faces triangulares

A =n.F2

32 =2

4 . q + 3 . (20 - q)2

q = 4 faces quadrangularest = 20 - 4 = 16 faces triangulares



geometria espacial

31





(Poliedros convexos)

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

n F A m V S07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:n - nº de lados de cada face do poliedro regular;F - nº de faces do poliedro regular;A - nº de arestas do poliedro regular;m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do poliedro regular.

09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de faces triangulares e quadrangulares. Qual o número de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 arestas e apenas esses dois tipos de face ?a) 9b) 15c) 11d) 13e) 12

11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual é o número de vértices desse poliedro ?a) 24b) 20c) 18d) 16e) 25

08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédri-cos e 10 vértices triédricos ?a) 25b) 18c) 16d) 24e) 20

10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo fechado que tem 20 faces e 30 arestas ?a) 2560ºb) 2160ºc) 3800ºd) 3600ºe) 5260º

Jeca 19

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)



geometria espacial

32





(Poliedros convexos)

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

n F A m V S07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:n - nº de lados de cada face do poliedro regular;F - nº de faces do poliedro regular;A - nº de arestas do poliedro regular;m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do poliedro regular.

09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de faces triangulares e quadrangulares. Qual o número de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 arestas e apenas esses dois tipos de face ?a) 9b) 15c) 11d) 13e) 12

11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual é o número de vértices desse poliedro ?a) 24b) 20c) 18d) 16e) 25

08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédri-cos e 10 vértices triédricos ?a) 25b) 18c) 16d) 24e) 20

10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo fechado que tem 20 faces e 30 arestas ?a) 2560ºb) 2160ºc) 3800ºd) 3600ºe) 5260º

Jeca 19

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

3

4

3

5

3

4

6

8

12

20

6

12

12

30

30

3

3

4

3

5

4

8

6

20

12

720º

2160º

1440º

6480º

3600º

n - «telefone» 3 4 3 5 3F - nome do poliedroA = n . F / 2Euler V - A + F = 2 V = A - F + 2A = m . V / 2 m = 2.A / VS = 360(V - 2)

m.V

Euler V - A + F = 2

A =2

2 vértices pentaédricos10 vértices tetraédricos10 vértices triédricos

V = 22 vértices

A =2

5 . 2 + 4 . 102

A = 40 arestas

22 - 40 + F = 2


+ 3 . 102

x faces triangularesx faces quadrangulares

F = 2x faces

A =n.F2

21

42 = 7xx = 6F = 2x = 12 faces

=2

3 . x + 4 . x2

Euler V - A + F = 2

V - 21 + 12 = 2


Euler V - A + F = 2

V - 30 + 20 = 2V = 12 vértices

S = 360.(12 - 2)S = 3600º (resp. d)

S = 360.(V - 2)

1 face decagonal10 faces triangulares 6 faces pentagonais

F = 17 faces

A =n.F2

A

A = 35 arestas

=2

10 . 1 + 3 . 102

Euler V - A + F = 2

V - 35 + 17 = 2


+ 5 . 62



geometria espacial

33

13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.

14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do poliedro.

15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. Quantas faces tem de cada tipo se a soma das medidas dos ângulos internos das suas faces é 2880º ?

Jeca 20

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangula-res.



geometria espacial

34

12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangula-res.

13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.

14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do poliedro.

15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. Quantas faces tem de cada tipo se a soma das medidas dos ângulos internos das suas faces é 2880º ?

Jeca 20

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)


13 - 24 + F = 2F = 13 faces

x faces triangularesx faces quadrangulares(13 - 2x) faces hexagonais

Euler V - A + F = 2

A =n.F2

24 =3 . x

2+ 4 . x

2+ 6 .(13 - 2x)

248 = 3x + 4x + 78 - 12 x5x = 30x = 6

O poliedro tem 6 faces quadrangulares. (resp.)


14 - 25 + F = 2F = 13 faces

x faces triangulares2x faces quadrangulares(13 - 3x) faces hexagonais

Euler V - A + F = 2

A =n.F2

25 =3 . x

2+ 4 . 2x

2+ 6 .(13 - 3x)

250 = 3x + 8x + 78 - 18 x7x = 28x = 4 faces triangulares2x = 8 faces quadrangulares13 - 3x = 13 - 3 . 4 = 1 face hexagonal

O poliedro tem 1 face hexagonal. (resp.)

2 vértices pentaédricos4 vértices tetraédricox vértices triédricos

V = (6 + x) vértices

F = 15 facesEuler V - A + F = 2(6 + x) - A + 15 = 2A = (19 + x) arestas

A =m.V2

19 + x =5 . 2 4 . 4

2+

2+

23 . x

38 + 2x = 26 + 3xx = 12

A = 19 + x = 19 + 12A = 31 arestas

S = 360.(V - 2)

Euler V - A + F = 2

2880 = 360.(V - 2)V - 2 = 2880 / 360V - 2 = 8V = 10 vértices

10 - 15 + F = 2F = 7 faces

x faces quadrangulares(7 - x) faces pentagonais

A =n.F2

15 = 4 . x 5 .(7 - x)

2+

230 = 4x + 35 - 5xx = 5

5 faces quadrangulares 2 faces pentagonais(resp.)



geometria espacial

35




Aula 03Prismas.

I - Volume de um sólido.

3 m

2 m

1 m

3 m

2 m

3 m

3 m

2 m

2 m

3V = 3 . 2 . 1 = 6 m

3V = 3 . 2 . 2 = 12 m

3V = 3 . 2 . 3 = 18 m

Importante - Quando um sólido mantém a mesma secção transversal, o volume desse sólido é calculado como sendo o produto entre a área da base e a altura. (Note que a área da base é a mesma que a da secção transversal)

V = A . hbase

II - Prismas.

Características dos prismas. - Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si. - Todas as arestas laterais do prisma são paralelas e congruentes entre si. - As faces laterais do prisma são formadas por paralelogramos. - A altura de um prisma é a distância entre os planos que contêm as suas bases. - Denomina-se um prisma em função do polígono da sua base.

h

h h h

hBase Base Base Base Base

Prismaoblíquo

Prismareto

Prismaquadrangular

regular

Prismahexagonal

regular

Prismatriangular

regular

Prismagenérico

Base

Fórmulas dos prismas

Área da base A = depende da baseb

Área lateral A = Afaces lateraisl

Área total A = A + 2 . AT bl

Volume V = A . hb

Tipos de prisma. - Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das base. - Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. - Prisma regular: é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares e congruentes.

arestalateral

arestada base

facelateral

Jeca 21



geometria espacial

36

III - Prismas particulares.

a) Paralelepípedo retorretangular.b) Cubo (hexaedro regular).

ab

c

d

D

Área total do paralelepípedo - A = 2ab + 2ac + 2bcT

Volume do paralelepípedo - V = A . h = a . b . cb

2 2 2Diagonal do paralelepípedo - D = a + b + c

a

a

a

d

D

2Área da base do cubo - A = ab

2Área lateral do cubo - A = 4 . al

2Área total do cubo - A = 6 . aT

3Volume do cubo - V = a

Diagonal de uma face do cubo - d = a 2

Diagonal do cubo - D = a 3

Exercícios.

01) Dado um cubo de arestas 7 cm, determine:a) a área da base do cubo;b) a área lateral do cubo;c) a área total do cubo;d) o volume do cubo;e) a diagonal de uma face do cubo;f) a diagonal do cubo.

02) Dado um paralelepípedo retorretangular, de dimensões 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine:a) a área total do paralelepípedo;b) o volume do paralelepípedo;c) a diagonal do paralelepípedo;d) a soma das medidas de todas as arestas do para-lelepípedo.

Jeca 22

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

37

III - Prismas particulares.

a) Paralelepípedo retorretangular.b) Cubo (hexaedro regular).

ab

c

d

D

Área total do paralelepípedo - A = 2ab + 2ac + 2bcT

Volume do paralelepípedo - V = A . h = a . b . cb

2 2 2Diagonal do paralelepípedo - D = a + b + c

a

a

a

d

D

2Área da base do cubo - A = ab

2Área lateral do cubo - A = 4 . al

2Área total do cubo - A = 6 . aT

3Volume do cubo - V = a

Diagonal de uma face do cubo - d = a 2

Diagonal do cubo - D = a 3

Exercícios.

01) Dado um cubo de arestas 7 cm, determine:a) a área da base do cubo;b) a área lateral do cubo;c) a área total do cubo;d) o volume do cubo;e) a diagonal de uma face do cubo;f) a diagonal do cubo.

02) Dado um paralelepípedo retorretangular, de dimensões 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine:a) a área total do paralelepípedo;b) o volume do paralelepípedo;c) a diagonal do paralelepípedo;d) a soma das medidas de todas as arestas do para-lelepípedo.

Jeca 22

(GeoJeca)

(GeoJeca)

2 2 2a) A = b = 7 = 49 cmB

2b) A = 4.A = 4 . 49 = 196 cmL B

2c) A = 4.A = 6 . 49 = 294 cmT B

3 3d) V = A . h = b = 7B

3 V = 343 cm

2 2 2 2 2e) d = b + b = 7 + 7 = 2 . 49 d = 2 . 49 d = 7 2 cm

2 2 2 2 2 2f) D = d + b = 2b + b = 3b

2 2 D = 3 . 7 D = 3 . 49 D = 7 3 cm

b = 7 cm - (aresta do cubo)b

b

b

a = 6

b = 9

c = 12a) A = 2ab + 2ac + 2bcT

A = 2 . 6 . 9 + 2 . 6 . 12 + 2 . 9 . 12T2

A = 468 cmT

b) V = a.b.c = A .hB

V = 6 . 9 . 12 3

V = 648 cm

2 2 2c) D = d + c

2 2 2 d = a + b

2 2 2 d = 6 + 9 = 117

2 2 D = 117 + 12

2 D = 261 D = 261 = 3 29 cm

d) S = 4.a + 4.b + 4.c S = 4 . 6 + 4 . 9 + 4 . 12 S = 24 + 36 + 48 S = 108 cm



geometria espacial

38

03) Dado um prisma triangular regular de aresta da base 10 cm e altura 15 cm, determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) a área total do prisma;d) o volume do prisma.

04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 7 cm, determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) a área total do prisma;d) o volume do prisma.

05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da base k e altura k 2 , determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) o volume do prisma.

06) Determine a altura de um prisma triangular regu-2

lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua 2.área total é 5(33 + 5 3 / 2 ) dm

Jeca 23

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

39

03) Dado um prisma triangular regular de aresta da base 10 cm e altura 15 cm, determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) a área total do prisma;d) o volume do prisma.

04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 7 cm, determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) a área total do prisma;d) o volume do prisma.

05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da base k e altura k 2 , determine:a) a área da base do prisma;b) a área lateral do prisma;c) o volume do prisma.

06) Determine a altura de um prisma triangular regu-2

lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua 2.área total é 5(33 + 5 3 / 2 ) dm

Jeca 23

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

b = 10 cmh = 15 cm

a) A = A = (1/2).a.b.sen aB TRIÂNGULO

A = (1/2) . 10 . 10 . 3 / 2B2

A = 25 3 cmB

b) A = n.A = n.b.hL 1FACE

A = 3 . 10 . 15 L2

A = 450 cmL

c) A = A + 2.AT L B

A = 450 + 2 . 25 3T2

A = 50(9 + 3 ) cmT

d) V = A . hB

V = 25 3 . 153

V = 375 3 cm

b = 4 cmh = 7 cm

4

7

4

4

444

4

4

a) A = A = 6.AB HEXÁGONO TRIÂNGULO

A = 6.(1/2).a.b.sen aB

A = 6 . (1/2) . 4 . 4 . 3 / 2B2

A = 24 3 cmB

b) A = n.b.hL

A = 6 . 4 . 7L2

A = 168 cmL

c) A = A + 2.AT L B

A = 168 + 2 . 24 3T2

A = 24.(7 + 2 3 ) cmT

d) V = A . hB

V = 24 3 . 73

V = 168 3 cm

kx

x

y

a) h - altura do triângulo h = x + y

2 2 2 2 k = x + x = 2.x

2 2 x = k / 2 x = k 2 / 2 y = k / 2 h = k / 2 + k 2 / 2 = (k / 2).(1 + 2 ) A = 8.b.h/2 = 8 . k . (k / 2).(1 + 2 ) / 2B

2 A = 2.k .(1 + 2 )B

b) A = n.b.HL

A = 8 . k . k 2L2

A = 8.k 2L

c) V = A . HB

H = k 2

2 V = 2.k .(1 + 2 ) . k 2

3 V = 2.k .(2 + 2 )

A = A B OCTÓGONO

A = 8 . AB TRIÂNGULOh

k

A = A + 2.AT L B

5.(33 + 5 3 / 2) = 165 + 2.AB

165 + 25 3 / 2 = 165 + 2.AB

2.A = 25 3 / 2B2

A = 25 3 / 4 dmB

Mas A = AB TRIÂNGULO

A = (1/2).a.b.sen aB

25 3 / 4 = (1/2) b . b . 3 /22

b = 25b = 5 dm

A = n.b.hL

165 = 3 . 5 . hh = 165 / 15h = 11 dm



geometria espacial

40





(Prismas)

07) A figura abaixo representa um único sólido forma-do por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4 cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine:

a) o volume total do sólido;

b) a área total do sólido;

c) a distância entre os vértices A e B.

A

B

10) Uma caixa d’água tem a forma de um cubo, a sua base inferior é perfeitamente horizontal e as suas arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa inicialmente com água até a altura de 1 m, num determinado instante, é aberto um registro que permite uma entrada constante de 200 litros de água por minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a 1000 litros e que nesse período não existe saída de água, qual a altura de água na caixa seis horas após o registro ter sido aberto ?a) 3,24 m b) 3,88 m c) 4,12 m d) 4,24 m e) 4,08 m

3 m 3 m 3 m

3 m3 m

3 m 8 m

09) A figura abaixo representa um sólido obtido de um paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m, 9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros paralelepípedos de dimensões 3m, 3m e 8 m. Determine a área total e o volume do sólido resultante.

08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de secção quadrada de lado 2 cm que o atravessam totalmente. Determine o volume do sólido resultante .

Jeca 24

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

41





(Prismas)

07) A figura abaixo representa um único sólido forma-do por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4 cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine:

a) o volume total do sólido;

b) a área total do sólido;

c) a distância entre os vértices A e B.

A

B

10) Uma caixa d’água tem a forma de um cubo, a sua base inferior é perfeitamente horizontal e as suas arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa inicialmente com água até a altura de 1 m, num determinado instante, é aberto um registro que permite uma entrada constante de 200 litros de água por minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a 1000 litros e que nesse período não existe saída de água, qual a altura de água na caixa seis horas após o registro ter sido aberto ?a) 3,24 m b) 3,88 m c) 4,12 m d) 4,24 m e) 4,08 m

3 m 3 m 3 m

3 m3 m

3 m 8 m

09) A figura abaixo representa um sólido obtido de um paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m, 9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros paralelepípedos de dimensões 3m, 3m e 8 m. Determine a área total e o volume do sólido resultante.

08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de secção quadrada de lado 2 cm que o atravessam totalmente. Determine o volume do sólido resultante .

Jeca 24

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

3 3V = a + b

3 3V = 4 + 8 = 64 + 512

3V = 576 cm

A = A + A - 2.AT T1 T2 1FACE 12 2 2

A = 6 . 4 + 6 . 8 - 2 . 4T

A = 96 + 384 - 32T2

A = 448 cmT

C

BC é a diagonal do quadrado de lado 8 cm da base.BC = 8 2 cmAC = 4 + 8 = 12 cm

2 2 2 2 2(AB) = (AC) + (BC) = 12 + (8 2 ) = 272

AB = 4 17 cm

2 cm

Os furos têm o formato dos 7 cubinhosrepresentados acima.

V = V - 7. VRESULTANTE CUBO CUBINHO3 3

V = 6 - 7 . 2RESULTANTE

V = 216 - 56RESULTANTE3

V = 160 cmRESULTANTE

V = a . b . c 2

V = 9 . 9 . 823

V = 648 cm2

V = a’ . b’ . c’1

V = 3 . 3 . 813

V = 72 cm1

V = V - 2 . VSR 2 1

V = 648 - 2 . 72SR3

V = 504 cmSR

A = 2 .(9 . 8) + 10 .(3 . 8) + 2 .(9 . 9) - 4 .(3 . 3)T

A = 144 + 240 + 162 - 36T2

A = 510 cmT

V1 - volume de água na caixa antes de abrir o registroV1 = 5 . 5 . 1 = 25 m3

V - volume de água que entre na caixa em 6 horasE

6 horas = 6 . 60 = 360 minutosV = 200 . 360 = 72 000 litrosE

3V = 72 mE

V - volume final de água na caixaF3

V = V + V = 25 + 72 = 97 mF 1 E

A água na caixa tem a forma de um paralelepípedo 5 x 5 x h

97 = 5 . 5 . hh = 97 / 25h = 3,88 m (resp. b)



geometria espacial

42

11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine:

a) o nome do sólido.

f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V).

e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T

d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l

a) o nome do sólido. a) o nome do sólido.

b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b b) a área da base do prisma (A ).b

c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F

Jeca 25

I) II) III)(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)



geometria espacial

43

11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine:


f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V). f) o volume do prisma (V).

e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T e) a área total do prisma (A ).T

d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l d) a área lateral do prisma (A )l


b) a área da base do prisma (A ).B

c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F c) a área de cada face lateral (A ).1F

Jeca 25

I) II) III)(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)

Prisma triangular regular Prisma quadrangular regular Prisma hexagonal regular

A = AB TRIÂNGULO


A = (1/2) . 4 . 4 . 3 / 2B2

A = 4 3 cmB

A = AB HEXÁGONO

A = 6.B ATRIÂNGULO

A = 6.(1/2).a.b.sen aB

A = 6 . (1/2) . 4 . 4 . 3 / 2B2

A = 24 3 cmB

4

444

4

4 4

2A = bB

2A = 4B

2A = 16 cmB

44

44

44

4

44

b) a área da base do prisma (A ).B b) a área da base do prisma (A ).B

A = b . h1FACE

A = 4 . 121FACE2

A = 48 cm1FACE

A = b . h1FACE

A = 4 . 121FACE2

A = 48 cm1FACE

A = b . h1FACE

A = 4 . 121FACE2

A = 48 cm1FACE

A = n . AL 1FACE

A = 3 . 48L2

A = 144 cmL

A = n . AL 1FACE

A = 4 . 48L2

A = 192 cmL

A = n . AL 1FACE

A = 6 . 48L2

A = 288 cmL

A = A + 2 . AT L B

A = 144 + 2 . 4 3T2

A = 8.(18 + 3 ) cmT

A = A + 2 . AT L B

A = 288 + 2 . 24 3T2

A = 48.(6 + 3 ) cmT

A = A + 2 . AT L B

A = 192 + 2 . 16T2

A = 224 cmT

V = A . hB

V = 4 3 . 123

V = 48 3 cm

V = A . hB

V = 16 . 123

V = 192 cm

V = A . hB

V = 24 3 . 123

V = 288 3 cm



geometria espacial

44

A B

CD

E F

GH

16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero CDEF é 2

64 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a área total desse cubo.

17) Uma formiga encontra-se no vértice A de um cu-bo maciço e deseja caminhar até o vértice B, dia-gonalmente oposto ao vértice A, percorrendo o menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem aresta K, determine a distância percorrida pela formiga.

A

B

14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí-2

pedo de área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm, determine o seu volume.

15) De cada canto de uma folha retangular de cartoli-na de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado 12 cm. Com a área restante faz-se uma caixa sem tampa. Determine o volume dessa caixa.

A

D

E

F

G

HI

J

12) Todas as arestas do sólido representado na figura abaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ são paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH são per-pendiculares à face CDIH. Determine a área total e o volume do sólido.

B

C

13) Sabendo-se que o volume de um prisma he-xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é

3768 3 cm , determinar a altura desse prisma.

Jeca 26

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

45

A B

CD

E F

GH

16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero CDEF é 2

64 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a área total desse cubo.

17) Uma formiga encontra-se no vértice A de um cu-bo maciço e deseja caminhar até o vértice B, dia-gonalmente oposto ao vértice A, percorrendo o menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem aresta K, determine a distância percorrida pela formiga.

A

B

14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí-2

pedo de área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm, determine o seu volume.

15) De cada canto de uma folha retangular de cartoli-na de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado 12 cm. Com a área restante faz-se uma caixa sem tampa. Determine o volume dessa caixa.

A

D

E

F

G

HI

J

12) Todas as arestas do sólido representado na figura abaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ são paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH são per-pendiculares à face CDIH. Determine a área total e o volume do sólido.

B

C

13) Sabendo-se que o volume de um prisma he-xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é

3768 3 cm , determinar a altura desse prisma.

Jeca 26

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

A = ABASE ABCDE

A = A + AB QUADRADO TRIÂNGULO2

A = b + (1/2).a.b.sen aB2

A = 4 + (1/2) . 4 . 4 . 3 / 2B

A = 16 + 4 3B2

A = 4.(4 + 3 ) cmB

A = A + 2.AT L B

A = 5 . 4 . 4 + 2 . 4.(4 + 3 )T2

A = 112 + 8 3 cmT

V = A . hB

h = AF = 4 cmV = 4.(4 + 3 ) . 4

3V = 16.(4 + 3 ) cm

A = AB HEXÁGONO

A = 6.AB TRIÂNGULO

A = 6 . (1/2).a.b.sen aB

A = 6 . (1/2) . b . b . 3 / 2B

h = b

V = A . hB

V = [6 . (1/2) . b . b. 3 / 2] . b3 3

V = 6.b . 3 / 4 = 3.b . 3 /2

3768 3 = 3.b . 3 / 2

3b = 2 . 768 / 3 = 512

b = h = 512 = 8 cm3

a = kb = 2kc = 3kA = 2ab + 2ac + 2bcT

352 = 2 . k . 2k + 2 . k . 3k + 2 . 2k . 3k2 2 2

352 = 4k + 6k + 12k2

352 = 22k2

k = 352 / 22 = 16k = 4

a = 4 cmb = 8 cmc = 12 cm

V = a . b . c = 4 . 8 . 123

V = 384 cm

12 36 12

12

12

16

V = a . b . c

a = 36 cmb = 16 cmc = 12 cm

V = 36 . 16 . 123

V = 6 912 cm

E

F C

D

b

b 2

FC é a diagonal de um quadrado de lado b

64 2 = b . b 22

b = 64b = 8 cm

A = 6.AT 1FACE

A = 6 . 8 . 8T2

A = 384 cmT

A 2k

dk

Pitágoras

2 2 2d = (2k) + k

2 2 2d = 4k + k

2 2d = 5k

d = k 5



geometria espacial

46

19) A área total de um prisma triangular regular de 2

aresta da base 6 cm é (180 + 18 3 ) cm . Determine:

a) a área da base do prisma;

b) a área lateral do prisma;

d) o volume do prisma.

c) a altura do prisma;

3 cm

18) A figura abaixo representa um sólido obtido de um cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus vértices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm. Determinar a área total e o volume do sólido resultante.

20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a secção trans-versal de uma piscina de 20 m de comprimento por 10 m de largura, com profundidade variando unifor-memente de 1 m a 3 m.

a) Determine o volume de água necessário para en-cher a piscina até a borda. Sugestão - Calcule a área da secção transversal da piscina ilustrada pela figura.b) Qual é a distância mínima, medida horizontalmen-te, que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina, para que fique total-mente submersa ? Sugestão - Use semelhança de triângulos.

20 m1 m

3 m

21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um blo-co vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco seja igual ao volume do orifício.

É correto afirmar que o valor L do lado da base qua-drada do prisma reto corresponde aa) 20 2 cmb) 40 2 cmc) 50 2 cmd) 60 2 cme) 80 2 cm

Bloco vazado Vista aérea

80 cm

80 cm

80 c

m

L

L

Jeca 27

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

47

19) A área total de um prisma triangular regular de 2

aresta da base 6 cm é (180 + 18 3 ) cm . Determine:

a) a área da base do prisma;

b) a área lateral do prisma;

d) o volume do prisma.

c) a altura do prisma;

3 cm

18) A figura abaixo representa um sólido obtido de um cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus vértices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm. Determinar a área total e o volume do sólido resultante.

20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a secção trans-versal de uma piscina de 20 m de comprimento por 10 m de largura, com profundidade variando unifor-memente de 1 m a 3 m.

a) Determine o volume de água necessário para en-cher a piscina até a borda. Sugestão - Calcule a área da secção transversal da piscina ilustrada pela figura.b) Qual é a distância mínima, medida horizontalmen-te, que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina, para que fique total-mente submersa ? Sugestão - Use semelhança de triângulos.

20 m1 m

3 m

21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um blo-co vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco seja igual ao volume do orifício.

É correto afirmar que o valor L do lado da base qua-drada do prisma reto corresponde aa) 20 2 cmb) 40 2 cmc) 50 2 cmd) 60 2 cme) 80 2 cm

Bloco vazado Vista aérea

80 cm

80 cm

80 c

m

L

L

Jeca 27

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

A área total do sólido é a mesma que do cubo de lado 9 cm. Para cada face retirada, surge uma face correspondente no novo sólido.

A = A = 6.AT CUBO 1FACE2

A = 6.bT2

A = 6 . 9T2

A = 486 cmT

V = V - 8.VCUBO CUBINHOS3 3

V = 9 - 8 . 3V = 729 - 8 . 27V = 729 - 216

3V = 513 cm

66

66

6

A = AB TRIÂNGULO


A = (1/2) . 6 . 6 . 3 / 2B2

A = 9 3 cmB

A = A + 2.AT L B

180 + 18 3 = A + 2 . 9 3L2

A = 180 cmL

A = n . AL 1FACE

180 = 3 . 6 . hh = 180 / 18h = 10 cm

V = A . hB

V = 9 3 . 103

V = 90 3 cm

h

ABASE

a) A = AB TRAPÉZIO

A = (1 + 3) . 20 / 2B2

A = 40 mB

V = A . hB

V = 40 . 103

V = 400 m

1 m

0,70 md

20 m

b) Semelhança de triângulos

2 m

d20

=0,70

2

d = 7 m

V = V = (1/2) VORIFÍCIO BLOCO CUBO3 3

V = 80 / 2 = 256 000 cmORIFÍCIO

V = V = L . L . 80ORIFÍCIO PARALELEPÍPEDO2

256 000 = L . 802

L = 256 000 / 80 = 3 200L = 3200 L = 40 2 cm



geometria espacial

48

A

B

M

C

D

N

E

FG

H

22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen-3

tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Saben-do que M e N são os pontos médios dos segmentos AD e BC, respectivamente, determine o volume des-

3se prisma (em m )

A B

CD

E F

GH

24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um pris-ma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6, AD = 4 e AE = 10.

O plano determinado pelos pontos A, H e G sec-ciona o prisma determinando um quadrilátero. A áre-a desse quadrilátero é:a) 8 7b) 10 7c) 32 7d) 48 7e) 64 7

23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com base nesses dados, responda:

Qual é o volume desse prisma em função de P e de K ?

2 2a) 14.K.P 3 b) 21.K .P 3 c) 7.P.K 3

3 2 2d) 14.k.P 3 e) 28.P .K 3

25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Com base nesses dados, responda:


2 2a) 72.P.K 3 b) 72.P .K 3 c) 36.P .K 3

2 2 2d) 72.K .P 3 e) 36.K .P 3

Jeca 28

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

49

A

B

M

C

D

N

E

FG

H

22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen-3

tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Saben-do que M e N são os pontos médios dos segmentos AD e BC, respectivamente, determine o volume des-

3se prisma (em m )

A B

CD

E F

GH

24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um pris-ma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6, AD = 4 e AE = 10.

O plano determinado pelos pontos A, H e G sec-ciona o prisma determinando um quadrilátero. A áre-a desse quadrilátero é:a) 8 7b) 10 7c) 32 7d) 48 7e) 64 7

23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com base nesses dados, responda:


2 2a) 14.K.P 3 b) 21.K .P 3 c) 7.P.K 3

3 2 2d) 14.k.P 3 e) 28.P .K 3

25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Com base nesses dados, responda:


2 2a) 72.P.K 3 b) 72.P .K 3 c) 36.P .K 3

2 2 2d) 72.K .P 3 e) 36.K .P 3

Jeca 28

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Observe que o cubo pode ser dividido em 4 prismas congruen-tes. O sólido resultante é um prisma composto por 3/4 do cubo.

V - volume do sólido resultante (prisma)SR

V = (3/4) . VSR CUBO

V = (3/4) . (4/3)SR3

V = 1 mSR

7P

2k2k

2k 2k

2k

A = A B TRIÂNGULO


A = (1/2) . 2k . 2k . 3 /2B2

A = k 3B

V = A . hB2

V = k 3 . 7P2

V = 7.P.k 3 (resp. c)

6

A B

H G

62 2

x h x

4

10

2 2 2x = 10 + 4 = 116

2 2 2x = 2 + h

2 2116 = 2 + h

2h = 112 h = 4 7 cm

A = AABGH TRAPÉZIO

A = (6 + 10) . 4 7 / 2ABGH

2A = 32 7 cm (resp. c)ABGH

b = 4Ph = 3k

A = A = 6.AB HEXÁGONO TRIÂNGULO

A = 6.(1/2).a.b.sen aB

A = 6 . (1/2) . 4P . 4P . 3 / 2B2

A = 24.P 3 B

V = A . hB2

V = 24.P 3 . 3k2

V = 72.P .k 3

3k

4P

4P

4P

4P

4P

4P



geometria espacial

50

Respostas das aulas 02 e 03

Jeca 15




Jeca 29

01) V = 11 vértices02) F = 19 faces03) V = 8 vértices04) F = 14 faces05) a06) e

07)

08) e09) c10) d11) b12) 6 faces quadrangulares13) 1 face hexagonal14) A = 31 arestas15) 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares

Respostas da aula 03

201) a) 49 cm

2 b) 196 cm

2 c) 294 cm

3 d) 343 cm e) 7 2 cm f) 7 3 cm

202) a) 468 cm

3 b) 648 cm c) 261 = 3 29 cm d) 108 cm

203) a) 25 3 cm

2 b) 450 cm

2 c) 50(9 + 3 ) cm

3 d) 375 3 cm

204) a) 24 3 cm

2 b) 168 cm

2 c) 24(7 + 2 3 ) cm

3 d) 168 3 cm

205) a) 2k ( 2 + 1)

2 b) 8k 2

3 c) 2k (2 + 2 )06) h = 11 dm

307) a) 576 cm

2 b) 448 cm c) 4 17 cm

308) 160 cm

2 309) 510 cm e 504 cm10) b11) I) a) prisma triangular regular

2 b) 4 3 cm

2 c) 48 cm

2 d) 144 cm

2 e) 8(18 + 3 ) cm

3 f) 48 3 cm II) a) prisma quadrangular regular

2 b) 16 cm

2 c) 48 cm

2 d) 192 cm

2 e) 224 cm

3 f) 192 cm

Tetraedro regular

Hexaedro regular

Octaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

n F A m V S

34353

4681220

612123030

33435

4862012

720º2160º1440º6480º3600º

11) III) a) prisma hexagonal regular2

b) 24 3 cm2

c) 48 cm2

d) 288 cm2

e) 48(6 + 3 ) cm3

f) 288 3 cm2 3

12) (112 + 8 3 ) cm 16(4 + 3 ) cm13) h = 8 cm

314) 384 cm

315) 6912 cm

216) 384 cm17) k 5 uc

2 318) 486 cm 513 cm

219) a) 9 3 cm

2 b) 180 cm c) 10 cm

3 d) 90 3 cm

320) a) 400 m b) 7 m21) b

322) 1 m23) c24) c25) b



geometria espacial

51




Aula 04Pirâmides.

h Baseh

Pirâmideoblíqua Pirâmide

reta

Pirâmideregular

h

a

m

centroda base

vértice dapirâmide

ponto médio da aresta da base

2 2 2m = h + a

m - apótema da pirâmide.a - apótema da base.h - altura da pirâmide

Fórmulas das pirâmides

Área da base A = depende da baseb

Área lateral A = Afaces lateraisl

Área total A = A + AT bl

Volume V = A . hb13

I - Pirâmides.

Dado um polígono plano e um ponto V, V não pertencente ao plano do polígono, denomina-se pirâmide o sólido limitado por esse polígono e todos os planos determinados pelos lados desse polígono e pelo ponto V.

Denomina-se uma pirâmide em função do polígono da sua base. (Exemplo: pirâmide hexagonal regular)

II - Tipos de pirâmide.

Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais não são congruentes entre si.Pirâmide reta: as suas arestas laterais são congruentes entre si.Pirâmide regular: é a pirâmide reta cuja base é um polígono regular.

III - Elementos da pirâmide regular.

arestada base

arestalateral Apótema da base (a): é a distância entre o centro do

polígono regular da base e o ponto médio de qualquer aresta da base. (Define-se apótema apenas para polígo-nos regulares)

Apótema da pirâmide (m): é a distância entre o vér-tice da pirâmide e o ponto médio de qualquer aresta da base.

Altura da pirâmide (h): é a distância entre o vértice da pirâmide e o plano da base.

Jeca 30

IV - Principais apótemas da base.

a

ll

l

BICOa

l

l l

l

a

l

a =h3

a =3

6l a =

2l a =

32

l

l l l

l

l

l

l



geometria espacial

52

V - Pirâmides particulares.

2k3

k3

BICO

h

a) Tetraedro trirretangular.

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

É fácil perceber que as pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume. Precisamos provar que as pirâmides ADEF e FABE também têm o mesmo volume. Seja h a distância entre o vértice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirâmide ADEF, podemos considerar como base o triângulo ADE e como altura h. Para o volume da pirâmide FABE, podemos considerar como base o triângulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os triângulos ADE e ABE têm a mesma área. Se duas pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume. As pirâmides ADEF, FABC e FABE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / 3 do volume do prisma, que é o volume total.

Curiosidade: o volume da pirâmide é 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura.

01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine:a) o apótema da base (a);b) o apótema da pirâmide (m);c) a área da base;d) a área lateral;e) a área total;f) o volume da pirâmide.

Jeca 31

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Importante - Em toda pirâmide triangular regular a altura relativa à base incide sobre o baricentro do triângulo equilátero da base.

b) Tetraedro regular. As quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.

d

c) Octaedro regular. As oito faces são triângulos equiláteros congruentes.

quadrado



geometria espacial

53

V - Pirâmides particulares.

2k3

k3

BICO

h

a) Tetraedro trirretangular.

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

É fácil perceber que as pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume. Precisamos provar que as pirâmides ADEF e FABE também têm o mesmo volume. Seja h a distância entre o vértice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirâmide ADEF, podemos considerar como base o triângulo ADE e como altura h. Para o volume da pirâmide FABE, podemos considerar como base o triângulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os triângulos ADE e ABE têm a mesma área. Se duas pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume. As pirâmides ADEF, FABC e FABE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / 3 do volume do prisma, que é o volume total.

Curiosidade: o volume da pirâmide é 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura.

01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine:a) o apótema da base (a);b) o apótema da pirâmide (m);c) a área da base;d) a área lateral;e) a área total;f) o volume da pirâmide.

Jeca 31

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Importante - Em toda pirâmide triangular regular a altura relativa à base incide sobre o baricentro do triângulo equilátero da base.

b) Tetraedro regular. As quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.

d

c) Octaedro regular. As oito faces são triângulos equiláteros congruentes.

quadrado

a)a = b / 2 = 10 / 2a = 5 cm

b) 22 2

m + a + h2 2 2

m = 5 + 122

m = 25 + 144 = 169m = 13 cm

c) 2

A = bB2

A = 10B2

A = 100 cmB

d)A = n.AL 1FACE

A = n.b.m / 2L

A = 4 . 10 . 13 / 2L2

A = 260 cmL

e) A = A + AT L B

A = 100 + 260T2

A = 360 cmT

f) V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 100 . 123

V = 400 cm



geometria espacial

54

02) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 12 cm, determine:

a) a medida do apótema dabase da pirâmide (a);

b) a medida do apótema dapirâmide (m);

c) a área da base da pirâmide;

d) a área lateral da pirâmide;

e) o volume da pirâmide.

03) Dada uma pirâmide triangular regular de área da 2 2 base 16 3 cm e área total (180 + 16 3 ) cm , de-

termine:

a) a aresta da base da pirâmide;

b) a área lateral da pirâmide;

c) o apótema da pirâmide.

04) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine:

b) o apótema da pirâmide (m);

a) o apótema da base (a);

c) a área lateral da pirâmide;


d) a área da base da pirâmide;

05) Dado um octaedro regular de aresta 10 3 cm, determine:

a) a altura h do octaedro;

b) o volume do octaedro;

c) a área total do octaedro.

h

Jeca 32

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

55

02) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 12 cm, determine:

a) a medida do apótema dabase da pirâmide (a);

b) a medida do apótema dapirâmide (m);


d) a área lateral da pirâmide;


03) Dada uma pirâmide triangular regular de área da 2 2 base 16 3 cm e área total (180 + 16 3 ) cm , de-

termine:

a) a aresta da base da pirâmide;

b) a área lateral da pirâmide;

c) o apótema da pirâmide.

04) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine:

b) o apótema da pirâmide (m);

a) o apótema da base (a);

c) a área lateral da pirâmide;


d) a área da base da pirâmide;

05) Dado um octaedro regular de aresta 10 3 cm, determine:

a) a altura h do octaedro;

b) o volume do octaedro;

c) a área total do octaedro.

h

Jeca 32

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

4

44 a

sen 60º = a / 4a = 4 sen 60º a = 4 . 3 / 2a = 2 3 cm

2 2 2m = a + h

2 2 2m = (2 3 ) + 12

2m = 156m = 156m = 2 39 cm

A = A = 6.A = 6.(1/2).a.b.sen aB HEX TRIÂNGULO

A = 6 . (1/2) . 4 . 4 . 3 / 2B2

A = 24 3 cmB

A = n . A = 6 . b . m / 2L 1FACE

A = 6 . 4 . 2 39 / 2L2

A = 24 39 cmL

V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 24 3 . 123

V = 96 3 cm

A = AB TRIÂNGULO


16 3 = (1/2) . b . b . 3 /22

b = 64b = 8 cm

ba

h m

A = A + AT L B

A = A - AL T B

A = (180 + 16 3 ) - 16 3L2

A = 180 cmL

A = n . AL 1FACE

A = A / n1FACE L2

A = 180 / 3 = 60 cm1FACE

A = b . m / 21FACE

60 = 8 . m / 2m = 120 / 8m = 15 cm

a

4 3

4 3

4 3

4 3

sen 60º = a / 4 3a = sen 60º . 4 3a = ( 3 / 2) . 4 3a = 6 cm

2 2 2m = a + h

2 2 2m = 6 + (3 5 )

2m = 36 + 45 = 81m = 9 cm

A = n . b . m / 2L

A = 6 . 4 3 . 9 / 2L2

A = 108 3 cmL

A = A = 6.A = 6 . (1/2).a.b.sen aB HEX TRIÂNGULO

A = 6 . (1/2) . 4 3 . 4 3 . 3 / 2B2

A = 72 3 cm B

V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 72 3 . 3 53

V = 72 15 cm

AB

CD

E

F

h

Num octaedro regular, todas as arestas têm a mesma medida. Portanto, EBFD é um quadrado de lado 10 3 cm. A diagonal de um quadrado de lado b é b 2.

EF = diagonal = h = 10 3 2EF = h = 10 6 cm

V = 2 . V = 2 . (1/3) . A . HOCTAEDRO PIRÂMIDE B2 2

A = (10 3 ) = 300 cmB

H = h/2 = EF/2 = 10 6 / 2 = 5 6 cmV = 2 . (1/3) . 300 . 5 6OCTAEDRO

3V = 1000 6 cmOCTAEDRO

A = 8 . A = 8 . (1/2).a.b.sen aT 1FACE

A = 8 . (1/2) . 10 3 . 10 3 . 3 / 2T2

A = 600 3 cmT



geometria espacial

56

a) a área de uma face lateral da pirâmide;

07) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 2

lateral 280 cm e aresta da base 10 cm. Determine:

b) a medida do apótema da pirâmide;


d) o volume da pirâmide;

e) a área total da pirâmide.

a) a área total da pirâmide;

08) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 2 2

da base 144 cm e uma face lateral tem área 102 cm . Determine:

b) a medida da aresta da base;

c) a medida do apótema da pirâmide;

d) a medida da altura da pirâmide;

e) o volume da pirâmide;

06) (Fuvest-SP) A figura abaixo representa uma pirâmi-de de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado 1 e que M é o ponto médio do segmento AB. Sabendo-se que a medi-da do ângulo VMC é 60º, determinar o volume da pirâ-mide.

A

B

C

V

M60º

1

1

1

1

1

09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a em-balagem de um perfume que uma fábrica quer cons-truir, cuja capacidade é de meio litro. A figura é formada por uma região quadrangular regular de a-resta k e por quatro triângulos isósceles. A altura dessa embalagem, após sua montagem, é igual a 15 cm. A medida dessa aresta k, em centímetros, é igual a:a) 5b) 10

2c) 5 3 / 3

2d) 10 3 / 3e) 100

3

3

Jeca 33

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

57

a) a área total da pirâmide;

08) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 2 2

da base 144 cm e uma face lateral tem área 102 cm . Determine:

b) a medida da aresta da base;

c) a medida do apótema da pirâmide;

d) a medida da altura da pirâmide;

e) o volume da pirâmide;

06) (Fuvest-SP) A figura abaixo representa uma pirâmi-de de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado 1 e que M é o ponto médio do segmento AB. Sabendo-se que a medi-da do ângulo VMC é 60º, determinar o volume da pirâ-mide.

A

B

C

V

M60º

1

1

1

1

1

09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a em-balagem de um perfume que uma fábrica quer cons-truir, cuja capacidade é de meio litro. A figura é formada por uma região quadrangular regular de a-resta k e por quatro triângulos isósceles. A altura dessa embalagem, após sua montagem, é igual a 15 cm. A medida dessa aresta k, em centímetros, é igual a:a) 5b) 10

2c) 5 3 / 3

2d) 10 3 / 3e) 100

3

3

Jeca 33

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

a) a área de uma face lateral da pirâmide;

07) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 2

lateral 280 cm e aresta da base 10 cm. Determine:

b) a medida do apótema da pirâmide;


d) o volume da pirâmide;

e) a área total da pirâmide.

(GeoJeca)

A = n . AL 1FACE

A = AL / n = 280 / 41FACE2

A = 70 cm1FACE

10 cm

hm

A = b . m / 21FACE

70 = 10 . m / 2m = 2 . 70 / 10m = 14 cm

2A = bB

2A = 10B

2A = 100 cmB

2 2 2m = a + h

2 2 214 = 5 + h

2h = 196 - 25 = 171h = 171 h = 3 19 cm

V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 100 . 3 193

V = 100 19 cm

A = A + AT L B

A = 280 + 100T2

A = 380 cmT

aA B

V

M

60º

1

x

sen 60º = x / 1x = 3 / 2

hx

D

No triângulo VMD, tem-sesen 60º = h / xh = x . sen 60ºh = ( 3 / 2) . ( 3 / 2) = 3 / 4

V = (1/3) . A . hB

A = A = (1/2).a.b.sen aB TRIÂNGULO

A = (1/2) . 1 . 1 . 3 / 2B

A = 3 / 4B

V = (1/3) . ( 3 / 4) . (3 / 4)3

V = 3 / 16 uc

A = A + A = 4 . A + AT L B 1FACE B

A = 144 + 4 . 102T2

A = 552 cmT

2A = bB

2b = 144b = 12 cm

A = b . m / 21FACE

102 = 12 . m / 2m = 2 . 102 / 12m = 17 cm

2 2 2m = a + ha = b/2 = 12 / 2 = 6 cm

2 2 217 = 6 + h

2h = 289 - 36 = 253h = 253 cm

V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 144 . 2533

V = 48 253 cm

kk

15

3V = (1/2) litro = 500 cm

V = (1/3) . A . hB2

500 = (1/3) . k . 152

k = 500 / 52

k = 100k = 10 cm



geometria espacial

58





(Pirâmides)

10) (UFMG-MG) Na figura a seguir estão represen-tados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Ca-da aresta do cubo mede 4 cm, e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do só-lido OPQRST mede

2a) 8 2 cm

2b) 8 3 cm

2c) 16 2 cm

2d) 16 3 cm

A B

CD

E F

GH

O

P

Q

R

S

T

11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir de um quadrado de centro P e lado 12 m, foram traçados quatro triângulos isósceles e determinados os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP, FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirâmide quadrangular). Qual a altura da barraca ?a) 1,2 mb) 3 mc) 3 7 md) 6 3 m

A B

C

D

EF

G

H

P

12 m

6

3 m

12) (ITA-SP) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k é a medida da aresta da base. Então a área total dessa

2pirâmide, em cm , vale:

2a) k 327 / 4

2b) k 109 / 2

2c) k 3 / 2

2d) k 3 (2 + 33 ) / 2

2e) k 3 (1 + 109 ) / 4

13) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular de altura 12 cm.

H

Jeca 34

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

59





(Pirâmides)

A B

CD

E F

GH

O

P

Q

R

S

T

11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir de um quadrado de centro P e lado 12 m, foram traçados quatro triângulos isósceles e determinados os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP, FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirâmide quadrangular). Qual a altura da barraca ?a) 1,2 mb) 3 mc) 3 7 md) 6 3 m

A B

C

D

EF

G

H

P

12 m

6

3 m

12) (ITA-SP) Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k é a medida da aresta da base. Então a área total dessa

2pirâmide, em cm , vale:

2a) k 327 / 4

2b) k 109 / 2

2c) k 3 / 2

2d) k 3 (2 + 33 ) / 2

2e) k 3 (1 + 109 ) / 4

13) Determine a medida da aresta de um tetraedro regular de altura 12 cm.

H

Jeca 34

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

10) (UFMG-MG) Na figura a seguir estão represen-tados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Ca-da aresta do cubo mede 4 cm, e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do só-lido OPQRST mede

2a) 8 2 cm

2b) 8 3 cm

2c) 16 2 cm

2d) 16 3 cm

2

2

Pitágoras2 2 2

(SQ) = 2 + 22

(SQ) = 4 + 4 = 8SQ = 2 2 cm

O sólido OPQRST é um octaedro regularde aresta 2 2 cmA área total é forma por 8 triângulos equiláteros.A = 8 . A = 8 . (1/2).a.b.sen aT TRIÂNGULO

A = 8 . (1/2) . 2 2 . 2 2 . 3 / 2T2

A = 16 3 cmT

6 m3 3

h m

a

m = 6 ma = 3 3 m

2 2 2m = a + h

2 2 26 = (3 3 ) + h

2h = 36 - 27 = 9h = 3 m

3k

kk

kBICO

x

k x

60º

sen 60º = x / kx = k.sen 60ºx = k 3 / 2

a = x/3 = k 3 / 62 2 2

m = a + h2 2 2

m = (k 3 / 6) + (3k)2 2 2

m = 3k / 36 + 9k 2 2

m = 327k / 36m = k 327 / 6

A = A + AT L B

A = 3.A + AT 1FACE B

A = b . m / 21FACE

A = (k . k 327 / 6) / 21FACE2

A = k 327 / 121FACE

A = b . x / 2B

A = (k . k 3 / 2 ) / 2B2

A = k 3 / 4B2 2

A = 3 . k 327 / 12 + k 3 / 4T2

A = k 3 .(1 + 109 ) / 4T

k

k

k

k

k

k

2x/3 x/3

k x

60º

sen 60º = x / kx = k . sen 60ºx = k 3 / 2

2 2 2k = (2x/3) + H

2 2 2k = [(2 . k 3 / 2) / 3] + 12

2 2k = 3.k / 9 + 144

2 2(9k / 9) - (3k / 9) = 1296 / 9

26k = 1296

2k = 216k = 6 6 cm



geometria espacial

60

14) Nas figuras abaixo, as 3 pirâmides são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine :


b) o apótema da base (a).

a a

a

g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V).

f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T

e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l

d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m).

c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b c) a área da base da pirâmide (A ).b

b) o apótema da base (a). b) o apótema da base (a).


Jeca 35

I) II) III) (GeoJeca)(GeoJeca)(GeoJeca)



geometria espacial

61

14) Nas figuras abaixo, as 3 pirâmides são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine :


b) o apótema da base (a).

a a

a

g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V). g) o volume da pirâmide (V).

f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T f) a área total da pirâmide (A ).T

e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l e) a área lateral da pirâmide (A )l

d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m). d) o apótema da pirâmide (m).

b) o apótema da base (a). b) o apótema da base (a).


Jeca 35

I) II) III) (GeoJeca)(GeoJeca)(GeoJeca)

c) a área da base da pirâmide (A ).B

A = AB TRIÂNGULO


A = (1/2) . 4 . 4 . 3 / 2B2

A = 4 3 cmB

A = AB HEXÁGONO

A = 6.B ATRIÂNGULO

A = 6.(1/2).a.b.sen aB

A = 6 . (1/2) . 4 . 4 . 3 / 2B2

A = 24 3 cmB

4

444

4

4 4

2A = bB

2A = 4B

2A = 16 cmB

44

44

44

4

44

c) a área da base da pirâmide (A ).Bc) a área da base da pirâmide (A ).B

Pirâmide triangular regular Pirâmide quadrangular regular Pirâmide hexagonal regular

a

2

30º

tg 30º = a / 2a = 2 . tg 30ºa = 2 3 / 3 cm

a = b / 2a = 4 / 2a = 2 cm

4

sen 60º = a / 4a = 4 . sen 60º a = 4 . 3 / 2a = 2 3 cm

2 2 2m + a + h

2 2 2m = (2 3 / 3) + 12

2m = (12 / 9) + (1296 / 9) = 1308 / 9m = 2 327 / 3 cm

2 2 2m + a + h

2 2 2m = 2 + 12

2m = 4 + 144 = 148m = 148m = 2 37 cm

2 2 2m + a + h

2 2 2m = (2 3 ) + 12

2m = 12 + 144 = 156m = 156m = 2 39 cm

A = n . AL 1FACE

A = n . b . m / 2L

A = [3 . 4 . 2 327 / 3] / 2L2

A = 4 327 cmL

A = n . AL 1FACE

A = 4 . b . m / 2L

A = 4 . 4 . 2 37 / 2L2

A = 16 37 cmL

A = n . AL 1FACE

A = n . b . m / 2L

A = 6 . 4 . 2 39 / 2L2

A = 24 39 cmL

A = A + AT L B

A = 4 327 + 4 3T2

A = 4.( 327 + 3 ) cmT

A = A + AT L B

A = 16 37 + 16T2

A = 16.(1 + 37 ) cmT

A = A + AT L B

A = 24 39 + 24 3T2

A = 24.( 3 + 39 ) cmT

V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 4 3 . 123

V = 16 3 cm

V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 16 . 123

V = 64 cm

V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 24 3 . 123

V = 96 3 cm



geometria espacial

62

15) Determine a área total, a altura h e o volume de um tetraedro regular de aresta K.

A

B

C

V

G M

k

k

k

k

k

16) No sólido abaixo, CDEF é um quadrado de lado 8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm. Determinar a área total e o volume do octaedro ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que BC = BD = BE = BF.

h

18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm é cor-tado por um plano passando pelos vértices D, B e C, produzindo dois sólidos: uma pirâmide triangular e uma pirâmide quadrangular.

Os volumes destas duas pirâmides são:3 3

a) 125 cm e 250 cm3 3

b) 125 3 cm e 250 3 cm3 3

c) 150 2 cm e 225 2 cm3 3

d) 150 3 cm e 225 3 cm3 3

e) 250 cm e 250 cm

A

B

C

D

E

F

17) (UFRJ-RJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume má-ximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.

Determine a medida da aresta desse cubo em fun-ção de a.

Jeca 36

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

A

B

C D

EF

G

B

C

D(GeoJeca)

A



geometria espacial

63

15) Determine a área total, a altura h e o volume de um tetraedro regular de aresta K.

A

B

C

V

G M

k

k

k

k

k

16) No sólido abaixo, CDEF é um quadrado de lado 8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm. Determinar a área total e o volume do octaedro ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que BC = BD = BE = BF.

A

B

C D

EF

G

h

18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm é cor-tado por um plano passando pelos vértices D, B e C, produzindo dois sólidos: uma pirâmide triangular e uma pirâmide quadrangular.

Os volumes destas duas pirâmides são:3 3

a) 125 cm e 250 cm3 3

b) 125 3 cm e 250 3 cm3 3

c) 150 2 cm e 225 2 cm3 3

d) 150 3 cm e 225 3 cm3 3

e) 250 cm e 250 cm

A

B

C

D

E

F

17) (UFRJ-RJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume má-ximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.

B

C

D

Determine a medida da aresta desse cubo em fun-ção de a.

Jeca 36

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

x

2x/3 x/3

x kk

60º

sen 60º = x / kx = k sen 60ºx = k 3 / 2

2x/3 = k 3 / 3

A = A = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . k . k . 3 /2B TRIÂNGULO2

A = k 3 / 4B2 2

A = 4 . A = 4 . k 3 / 4 = k 3T B

2 2 2k = (2x/3) + h

2 2 2k = (k 3 / 3) + h

2 2 2 2h = (9k - 3k ) / 9 = 6.k / 9h = k 6 / 3

2V = (1/3) . A . h = (1/3) . (k 3 / 4) . (k 6 / 3)B

3 3V = k 18 / 12 = k . 3 2 / 36

3V = k 2 / 12

4

x

y

6

10

Pitágoras2 2 2

x = 6 + 42

x = 36 + 16 = 52x = 2 13 cm

2 2 2y = 10 + 4

2y = 100 + 16 = 116y = 2 29 cm

A = A + AT 1 2

A = 4 . 8 . x / 21

A = 4 . 8 . 2 13 / 212

A = 32 13 cm1

A = 4 . 8 . y / 22

A = 4 . 8 . 2 29 / 222

A = 32 29 cm2

A = 32 13 + 32 29T2

A = 32.( 13 + 29 ) cmT

V = V + VT 1 2

V = (1/3) . A . h1 B1 12 3

V = (1/3) . 8 . 6 = 128 cm1

V = (1/3) . A . h2 B2 22 3

V = (1/3) . 8 . 10 = 640 / 3 cm2

V = 128 + 640 / 3T3

V = 1024 / 3 cmT

A

x

y

b

xa

y

b

Semelhança de triângulos.

a

a

y45º

A

B

Cb - aresta do cubox - diagonal do cuboy = altura do triângulo ABC

x = b 2y = a 2 / 2

Semelhança de triângulos.xy =

a - ba

=a - b

aa 2

2

b 2

22.a.b 2 = a . 2 - a.b 2

23.a.b 2 = a 2b = a / 3

Área do triângulo ABC (base do prisma triangular regular)A = (1/2) . 10 . 10 . 3 / 2 = 25 3ABC

Volume do prisma3

V = A . h = 25 3 . 15 = 375 3 cmB

A pirâmide ABCD tem a mesma base e a mesma altura que o prisma ABCDEF. Portanto o volume da pirâmide é 1/3 do volume do prisma.

3V = (1/3) . 375 3 = 125 3 cmABCD

A pirâmide de base BCFE e vértice D, tem o volume restante.3

V - 375 3 - 125 3 = 250 3 cm (resp. b)BCFED



geometria espacial

64

19) (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo retorretângulo de dimensões 5 cm, 5 cm e 4 cm, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.

A

B

C

D

5

5

4

a) Calcule a área do triângulo ABC.b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que contém o triângulo ABC.

22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirâmi-des, é igual aa) V / 2b) 3V / 4c) 2V / 3d) 5V / 6e) 3V / 8

AM

N

P

21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD, e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pi-râmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h = AE = 6 cm, determinea) o volume da pirâmide EA'B'C'D'.b) o volume do tronco de pirâmide.

E

AB

CD

A'B'

C'D'

3 cm

H

h

6 cm

Jeca 37

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumínio de 1 m por 60 cm será utilizada para fazer um abrigo de forma triangular, sendo dobrada na linha média de sua extensão de modo que as abas formem um ângu-lo a. Veja a seguinte figura:

a

50 cm

1 m

60 c

m

50 c

m

60 cm

a) A área do triângulo ABC depende de a. Seja 2

A(a) essa área, em cm . Calcule o volume do abrigo 3

em função de A(a), em cm .b) Determine a de modo que o volume do abrigo

3seja máximo. Calcule esse volume em cm , em litros

3e em m .

(GeoJeca)

A

B C



geometria espacial

65

19) (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo retorretângulo de dimensões 5 cm, 5 cm e 4 cm, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.

A

B

C

D

5

5

4

a) Calcule a área do triângulo ABC.b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que contém o triângulo ABC.

20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumínio de 1 m por 60 cm será utilizada para fazer um abrigo de forma triangular, sendo dobrada na linha média de sua extensão de modo que as abas formem um ângu-lo a. Veja a seguinte figura:

a

50 cm

1 m

60 c

m

50 c

m

60 cm

a) A área do triângulo ABC depende de a. Seja 2

A(a) essa área, em cm . Calcule o volume do abrigo 3

em função de A(a), em cm .b) Determine a de modo que o volume do abrigo

3seja máximo. Calcule esse volume em cm , em litros

3e em m .

22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirâmi-des, é igual aa) V / 2b) 3V / 4c) 2V / 3d) 5V / 6e) 3V / 8

AM

N

P

21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD, e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pi-râmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h = AE = 6 cm, determinea) o volume da pirâmide EA'B'C'D'.b) o volume do tronco de pirâmide.

E

AB

CD

A'B'

C'D'

3 cm

H

h

6 cm

Jeca 37

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

x

y

a) y = DE/2DE = BC = 5 2y = 5 2 / 2 cm

2 2 2x = y + 4

2x = (50 / 4) + 16 = 114 / 4x = 114 / 2 cm

A = BC . x / 2ABC

A = [5 2 . 114 / 2] / 2ABC2

A = 5 57 / 2 cmABC

E

d

b) Relações métricas no triângulo retângulo.

4

x

y

d

a . h = b . cx . d = 4 . y( 114 / 2) . d = 4 . (5 2 / 2) d = 20 2 / 114 = 20 228 / 114 = 20 . 2 57 / 114d = 20 57 / 57 cm

M

D

AM

A

B C

a)A(a) = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 50 . 50 . sen aA(a) = 1250.sen aV = A(a) . hV = 60 . A(a) = 60 . 1250 . sen aV = 75 000 . sen a

b) O maior valor possível para sen a é 1. Portanto a = 90º3

V = 75 000 . sen a = 75 000 . 1 = 75 000 cm3 3

1 m = 1 000 litros = 1 000 000 cmPortanto, tem-se

3 3V = 75 000 cm , V = 75 litros, V = 0,075 m

E

A’

A B

B’

E

A’

A D

D’

2

4

26

=A’B’6

A’B’ = 2 cm

Semelhança

26

=A’D’3

A’D’ = 1 cm

Semelhança

3a) V = (1/3) A . h = (1/3) . 1 . 2 . 2 = 4 / 3 cmA’B’C’D’E B

b) V = V - VTRONCO ABCDE A’B’C’D’E

V = (1/3 . 6 . 3 . 6 - 4 / 3 = 36 - 4 / 3 = 108 / 3 - 4 / 3TRONCO3

V = 104 / 3 cmTRONCO

b

b

b

AM = AN = AP = b/2

V = V - 8 . VRESULTANTE CUBO PIRÂMIDE3

V = b = VCUBO

V = (1/3) . A . h = (1/3) . (b/2) . (b/2) . (b/2)PIRÂMIDE B3

V = b / 48 = V / 48PIRÂMIDE

V = V - 8 . V / 48 = V - V / 6RESULTANTE

V = 5.V / 6RESULTANTE



geometria espacial

66

aula: página: exercício:

01


02


03


04


05


06


07

aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício:

Correções

33

07) d)

22

01



geometria espacial

67

>

3 3

A

3

R

R

NN

A =n.F2

m.VA =

2

Euler V - A + F = 2

Auxílio gráfico



geometria espacial

68




Aula 05Cilindro circular reto.

(ou de revolução)

I - Cilindros.

h

RR

2pR

Área da base

Área lateral

h

R

Secçãomeridianado cilindro

2R

h

Cilindro equilátero. Um cilindro é dito equilátero se a sua secção meridiana é um quadrado, ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base.

Fórmulas dos cilindros

2Área da base A = pRb

Área lateral A = 2pRhl


Volume V = A . hb

h = 2R

h

Cilindro de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um retângulo ao redor de um dos seus lados.

Área da secção meridiana A = 2R . hSM

Exercícios.

01) Dado um cilindro de revolução de altura 12 cm e raio da base 4 cm, determine:a) a área da base do cilindro;b) a área lateral do cilindro;c) a área total do cilindro;d) a área da secção meridiana do cilindro;e) o volume do cilindro.

02) Determine a área total e a área da secção meridi-ana de um cilindro equilátero sabendo que o seu

3volume mede 1458p cm .

Jeca 38

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

69




Aula 05Cilindro circular reto.

(ou de revolução)

I - Cilindros.

h

RR

2pR

Área da base

Área lateral

h

R

Secçãomeridianado cilindro

2R

h

Cilindro equilátero. Um cilindro é dito equilátero se a sua secção meridiana é um quadrado, ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base.

Fórmulas dos cilindros


Área lateral A = 2pRhl


Volume V = A . hb

h = 2R

h

Cilindro de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um retângulo ao redor de um dos seus lados.

Área da secção meridiana A = 2R . hSM

Exercícios.

01) Dado um cilindro de revolução de altura 12 cm e raio da base 4 cm, determine:a) a área da base do cilindro;b) a área lateral do cilindro;c) a área total do cilindro;d) a área da secção meridiana do cilindro;e) o volume do cilindro.

02) Determine a área total e a área da secção meridi-ana de um cilindro equilátero sabendo que o seu

3volume mede 1458p cm .

Jeca 38

(GeoJeca)

(GeoJeca)

a)2

A = pRB2

A = p . 4B2

A = 16p cmB

b) A = 2pRhL

A = 2 . p . 4 . 12L2

A = 96p cmL

c)A = A + 2 . AT L B

A = 96p + 2 . 16pT2

A = 128p cmT

d) A = 2R . hSM

A = 2 . 4 . 12SM2

A = 96 cmSM

e)V = A . hB

V = 16p . 123

V = 192p cm

Cilindro equilátero h = 2R 2R

RV = A . hB2

V = p . R . h2

1458p = p . R . 2R3

1458p = 2 . p . R3

R = 729R = 9 cm

R = 9 cmh = 18 cm

2A = A + 2 . A = 2.p.R.h + 2.p.RT L B

2A = 2 . p . 9 . 18 + 2 . p 9T

A = 324p + 162p T2

A = 486p cmT

A = 2R . hSM

A = 2 . 9 . 18SM2

A = 324 cmSM



geometria espacial

70

Jeca 39

03) Dado um cilindro de revolução de volume 896p 3

cm e altura 14 cm, determine:

a) a medida do raio da base do cilindro;

b) a área lateral do cilindro;

c) a área total do cilindro.

06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um outro cilindro de raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no 2º cilindro quando o equilíbrio for alcançado. (Desprezar o volume do tubo de conecção)

04) Determinar o volume e a área da secção meridia-na de um cilindro de revolução sabendo-se que a sua área lateral é um quadrado de lado 6p cm.

05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata cilíndrica vazia e vê um torrão de açúcar no ponto T, diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distância que essa formiga deve percorrer dentro da lata para alcançar o torrão de açúcar. (adotar p = 3)

F

T

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

71

Jeca 39

03) Dado um cilindro de revolução de volume 896p 3

cm e altura 14 cm, determine:

a) a medida do raio da base do cilindro;

b) a área lateral do cilindro;

c) a área total do cilindro.

06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um outro cilindro de raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no 2º cilindro quando o equilíbrio for alcançado. (Desprezar o volume do tubo de conecção)

04) Determinar o volume e a área da secção meridia-na de um cilindro de revolução sabendo-se que a sua área lateral é um quadrado de lado 6p cm.

05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata cilíndrica vazia e vê um torrão de açúcar no ponto T, diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distância que essa formiga deve percorrer dentro da lata para alcançar o torrão de açúcar. (adotar p = 3)

F

T

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

V = A . hB2

V = p . R . h2

896p = p . R . 142

R = 64R = 8 cm

A = 2.p.R.hL

A = 2 . p . 8 . 14L2

A = 224p cmL

A = A + 2 . AT L B2

A = 224p + 2 . p . 8T

A = 224p + 128pT2

A = 352p cmT

6p

c = 2pR = 6p

h = 6p

R

c = 2 . p . R6p = 2 . p . RR = 3 cm

R = 3 cmh = 6p cm

V = A . hB2

V = p . R . h2

V = p . 3 . 6p2 3

V = 54p cm

A = 2R . hSM

A = 2 . 3 . 6pSM2

A = 36p cmSM

Desenvolvimento da árealateral do cilindro

c = 2 . p . R

p . R

hd

F

T

Com o desenvolvimento da área lateral do cilindro, o caminho percorrido pela formiga entre o ponto F e o ponto T torna-se uma reta. Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, tem-se

2 2 2d = h + (pR)

2 2 2d = 30 + (p . 10)Adotando-se p = 3, tem-se

2 2 2d = 30 + 30 = 2 . 900d = 2 . 900 d = 30 2 cm

10 - h

h h

R = 31 R = 42

12

equilíbrio

O equilíbrio é atingido quando o nível da água é o mesmo nos dois cilindros. O volume de água que saiu do cilindro 1 é igual ao volume de água que entrou no cilindro 2.

V = VS1 E2

A . h = A . hB1 1 B2 22 2

p . 3 . (10 - h) = p . 4 . h90 - 9h = 16h25 h = 90h = 90 / 25h = 3,60 cm



geometria espacial

72

Jeca 40

07) Um cilindro de revolução tem a sua base apoiada sobre um plano horizontal e está totalmente cheio de água. Inclinando-se o cilindro até um ângulo q com a horizontal, parte da água é derramada. Sendo o raio da base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo H > 2R e q > 45º, determinar o volume de água derra-mado, em função de R e de q.

horizontalq

2R

ab

09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à base, conforme figura. Calcule o volume do sólido em termos do raio R, da altura maior a e da altura menor b.

08) (UFPR-PR) Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o

3volume do cubo é 256 cm . Determine:

a) o volume do cilindro;b) a área total do cilindro;c) a área da secção meridianado cilindro.(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

60 cm

60 cm

2 m

2,4

0 m

10) (ESPM-SP) Um tanque, com a forma de um cilindro circular reto, tem 2,40 m de altura e raio da ba-se igual a 2 m, estando com a base apoiada num pla-no horizontal. Ao longo de uma geratriz (vertical), de baixo para cima, esse tanque possui três torneiras iguais, espaçadas 60 cm, como mostra a figura a se-guir. Cada torneira proporciona uma vazão de 20p litros por minuto. Estando completamente cheio de água e abrindo-se as três torneiras, o tempo necessário para o esgotamento completo do tanque será de:

a) 2h 40b) 3h 20c) 3h 40d) 4h 20e) 4h 40



geometria espacial

73

Jeca 40

07) Um cilindro de revolução tem a sua base apoiada sobre um plano horizontal e está totalmente cheio de água. Inclinando-se o cilindro até um ângulo q com a horizontal, parte da água é derramada. Sendo o raio da base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo H > 2R e q > 45º, determinar o volume de água derra-mado, em função de R e de q.

horizontalq

2R

a

b

09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à base, conforme figura. Calcule o volume do sólido em termos do raio R, da altura maior a e da altura menor b.

08) (UFPR-PR) Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o

3volume do cubo é 256 cm . Determine:

a) o volume do cilindro;b) a área total do cilindro;c) a área da secção meridianado cilindro.(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

q

h 2R O volume derramado é igual à metade do volume do cilindro de raio R e altu-ra h, ressaltado na figura.

tg q = 2R / hh = 2R / tg q

V = (1/2) . A . hDERRAMADO B2

V = (1/2) . p . R . (2R / tg q)DERRAMADO3

V = p . R / tg qDERRAMADO

b

bb

3V = bCUBO

3256 = bb = 256b = 4 4 cm

3

3

a) Cilindro R = 2 4 cm e h = 4 4 cm

2V = A . h = p . R . hB

2V = p . (2 4 ) . 4 4

3V = 64p cm

b) 2

A = A + 2.A = 2.p.R.h + 2.p.RT L B2

A = 2 . p . 2 4 . 4 4 + 2 . p .(2 4 )T2

A = 48p 2 cmT

c)A = 2R . hSM

A = 2 . 2 4 . 4 4SM2

A = 32 2 cmSM

3 3

3 3

3 33

3

3 3

3

a - b

O volume do sólido resultante é a so-ma do volume de um cilindro de altura b com a metade do volume de um cilindro de altura a - b.

V = V + (1/2).VRESULTANTE 1 2

V = A . h + (1/2) A . hRESULTANTE B1 1 B2 22 2

V = p . R . b + (1/2) . p . R .(a - b)RESULTANTE2 2 2

V = p . R . b + (1/2) . p . R . a - (1/2) . p . R . bRESULTANTE2 2

V = (1/2) . p . R . a + (1/2) . p . R . bRESULTANTE2

V = p . R . (a + b) / 2RESULTANTE

(GeoJeca)

60 cm

60 cm

2 m

2,4

0 m

10) (ESPM-SP) Um tanque, com a forma de um cilindro circular reto, tem 2,40 m de altura e raio da ba-se igual a 2 m, estando com a base apoiada num pla-no horizontal. Ao longo de uma geratriz (vertical), de baixo para cima, esse tanque possui três torneiras iguais, espaçadas 60 cm, como mostra a figura a se-guir. Cada torneira proporciona uma vazão de 20p litros por minuto. Estando completamente cheio de água e abrindo-se as três torneiras, o tempo necessário para o esgotamento completo do tanque será de:

a) 2h 40b) 3h 20c) 3h 40d) 4h 20e) 4h 40

V3

V2

V1V escoa por 3 torneiras.1

V escoa por 2 torneiras.2

V escoa por 1 torneira.3

V = A . hB2

V = p . 2 . (2,4 - 1,2)13

V = 4,8.p m12

V = p . 2 . 0,623

V = 2,4.p m23

V = V = 2,4.p m3 2

1 torneira - 20p L/min2 torneiras - 40p L/min3 torneiras - 60p L/min

Cálculo dos tempos de vazão.

V = 4800p L1

V = V = 2400p L2 3

t = 4800p / 60p = 80 minutos1

t = 2400p / 40p = 60 minutos2

t = 2400p / 20p = 120 minutos3

t = t + t + t = 260 minutos1 2 3

t = 4 horas e 20 minuto (resp d)



geometria espacial

74





(Cilindro circular reto)

Jeca 41

11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando p igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a

a) 10 2

b) 10 2

c) 10 12

d) 10 12

3

3

60

cm

40

cm

20 cm

14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em pó era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabri-cante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas man-teve o preço por unidade. Então, na realidade, o pre-ço do produtoa) diminuiu.b) se manteve estável.c) aumentou entre 10% e 20%.d) aumentou entre 20% e 30%.e) aumentou entre 30% e 40%.

12) (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a dis-tância entre duas dessas marcas consecutivas ?

13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas cai-xas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica, com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da base de cada caixa tem comprimento igual a 4p cm, é correto afirmar quea) as duas caixas têm o mesmo volume.b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume da caixa cúbica.c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume da caixa cúbica.d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume da caixa cúbica.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

75





(Cilindro circular reto)

Jeca 41

11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando p igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a

a) 10 2

b) 10 2

c) 10 12

d) 10 12

3

3

60

cm

40

cm

20 cm

14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em pó era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabri-cante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas man-teve o preço por unidade. Então, na realidade, o pre-ço do produtoa) diminuiu.b) se manteve estável.c) aumentou entre 10% e 20%.d) aumentou entre 20% e 30%.e) aumentou entre 30% e 40%.

12) (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a dis-tância entre duas dessas marcas consecutivas ?

13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas cai-xas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica, com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da base de cada caixa tem comprimento igual a 4p cm, é correto afirmar quea) as duas caixas têm o mesmo volume.b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume da caixa cúbica.c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume da caixa cúbica.d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume da caixa cúbica.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

25% de 40 cm = 0,25 . 40 = 10 cm

Volume do cubo = volume da água que subiuVolume do cubo = volume do cilindrinho

3b = A . hB

3 2b = p . R . h

2b = 3 . 20 . 103

3b = 12 000b = 12 000b = 10 12 cm

10 cm

3

3

31 mL = 1 cm

2R = 10 cmR = 5 cm

V = AB . h2

100 = p . R . h2

100 = p . 5 . hh = 100 / 25ph = 4 / p cm

Perímetro de cada caixa = 4pCaixa cúbica - cada aresta mede p cm

Caixa cilíndricac = 2pR4p = 2pRR = 2 cm

A altura das duas caixas é igual à aresta do cubo b = h = p cm

Volume da caixa cúbica3 3 3

V = b = p cm

Volume da caixa cilíndrica2 2 2 3

V = A . h = pR . h = p . 2 . p = 4p cmB

2 34p > p O volume da caixa cilíndrica é maior que o da caixa cúbica(resp. c)

V - volume inicial (R = 5 cm e h = 12 cm)1 1 1

V - volume final (R = 4 cm e h = 14 cm)2 2 2

2V = A . h = p . R . hB

2 3V = p . 5 . 12 = 300p cm1

2 3V = p . 4 . 14 = 224p cm2

V1 / V2 = 300p / 224p = 1,339

Aumentou 33,9 % (resp e)



geometria espacial

76

Jeca 42

15) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (con-forme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente pro-porcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, seráa) o triplo.b) o dobro.c) igual.d) a metade.e) a terça parte.

10 c

m

20 cm

10 cm

20 c

m

Tipo I

Tipo II

16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um cubo de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no cubo quando o equilíbrio for

alcançado. (adotar p = 3 e desprezar o volume do tubo de conecção)

17) Dado um cilindro equilátero de raio da base 3 cm, determinar :a) a área da secção meridiana do cilindro;b) a área lateral;c) a área total;d) o volume do cilindro

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

18) (UFMA-MA) Uma padaria produz bolos de casa-mento no formato indicado na figura abaixo. O bolo é composto por 3 cilindros, C , C e C , de mesma 1 2 3

altura. O raio do cilindro de cima é a metade do raio do cilindro imediatamente abaixo. Se o volume total

3do bolo é 52 500p cm , então o volume do cilindro C , na figura, é:1

3a) 3 500p cm

3b) 2 500p cm

3c) 4 500p cm

3d) 5 500p cm

3e) 6 500p cm

R 2RR

h

h

h

(GeoJeca)

C1



geometria espacial

77

Jeca 42

15) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (con-forme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina.

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente pro-porcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, seráa) o triplo.b) o dobro.c) igual.d) a metade.e) a terça parte.

10 c

m

20 cm

10 cm

20 c

m

Tipo I

Tipo II

16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um cubo de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no cubo quando o equilíbrio for

alcançado. (adotar p = 3 e desprezar o volume do tubo de conecção)

17) Dado um cilindro equilátero de raio da base 3 cm, determinar :a) a área da secção meridiana do cilindro;b) a área lateral;c) a área total;d) o volume do cilindro

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

c = 2pRc = 2pR1 1

20 = 2pR1

R = 20 / 2p cm1

h = 10 cm1

c = 2pRc = 2pR2 2

10 = 2pR2

R = 10 / 2p cm2

h = 20 cm2

Cilindro 1V = A . h1 B1 1

2V = p . (20/2p) . 10 1

3V = 1000p cm1

2V = p . (10/2p) . 202

3V = 500p cm2

V = 2 . V (resp. b)1 2

O equilíbrio é atingido quando o nível da água é o mesmo nos dois recipientes. O volume de água que saiu do cilindro é igual ao volume de água que entrou no cubo.

hh

10 - h

equilíbrio

V = VSC EC2

p . 3 . (10 - h) = 6 . 6 . h3 . 9 . (10 - h) = 36h27 . (10 - h) = 36h270 - 27h = 36h63h = 270h = 270 / 63h = 30 / 7 cm

Cilindro equilátero (h = 2R)R = 3 cmh = 6 cm

a) A = 2R . hSM

A = 2 . 3 . 6 SM2

A = 36 cmSM

b) A = 2.p.R.hL

A = 2 . p . 3 . 6L2

A = 36p cmL

c) A = A + 2 . AT L B

2A = 36p + 2 . p . 3T

2A = 54p cmT

d) V = A . hB

2V = p . R . h

2V = p . 3 . 6

3V = 54p cm

18) (UFMA-MA) Uma padaria produz bolos de casa-mento no formato indicado na figura abaixo. O bolo é composto por 3 cilindros, C , C e C , de mesma 1 2 3

altura. O raio do cilindro de cima é a metade do raio do cilindro imediatamente abaixo. Se o volume total

3do bolo é 52 500p cm , então o volume do cilindro C , na figura, é:1

3a) 3 500p cm

3b) 2 500p cm

3c) 4 500p cm

3d) 5 500p cm

3e) 6 500p cm

R 2RR

h

h

h

(GeoJeca)

V1

V2

V3

2V = p . R . h1

2V = p . (2R) . h2

2V = p . 4R . h2

2V = p . (4R) . h3

2V = p . 16R . h3

V = V + V + V = 52 500pBOLO 1 2 32

52500p = 21 . p . R . h2

R . h = 52 500 / 21 = 25002

V = p . R . h = p . 250013

V = 2 500p cm (resp. b)1



geometria espacial

78

Jeca 43

21) (UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45º, conforme mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar ?

45º horizontal

6 m

2 m

22) (Cefet-MG) O sólido S é formado pela rotação completa do retângulo ABCD em torno do eixo x. Então, o volume de S éa) 550pb) 600pc) 640pd) 720pe) 780p

A

BC

D 2

8

-2 8

y

x

16p cm1

0 c

m

19) A figura abaixo é a planificação de um cilindro reto. Determinar a área da secção meridiana e o volume desse cilindro.

20) Um cilindro de revolução tem raio da base R e altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o volume inverteu as medidas e usou R como altura e H como raio da base. Determinar a diferença entre:a) a área total correta e a área total encontrada pela pessoa.b) o volume correto e o volume encontrado pela pessoa.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

79

Jeca 43

21) (UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45º, conforme mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar ?

45º horizontal

6 m

2 m

22) (Cefet-MG) O sólido S é formado pela rotação completa do retângulo ABCD em torno do eixo x. Então, o volume de S éa) 550pb) 600pc) 640pd) 720pe) 780p

A

BC

D 2

8

-2 8

y

x

16p cm1

0 c

m

19) A figura abaixo é a planificação de um cilindro reto. Determinar a área da secção meridiana e o volume desse cilindro.

20) Um cilindro de revolução tem raio da base R e altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o volume inverteu as medidas e usou R como altura e H como raio da base. Determinar a diferença entre:a) a área total correta e a área total encontrada pela pessoa.b) o volume correto e o volume encontrado pela pessoa.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

A = 16p . 10 (retângulo)L2

A = 160p cmL

A = 2.p.R.hL

160p = 2 . p . R . 10R = 160p / 20p = 8 cm

R = 8 cmh = 10 cm

A = 2R . h = 2 . 8 . 10SM2

A = 160 cmSM

2V = A . h = p . R . hB

2V = p . 8 . 10

3V = 640p cm

a) Área total correta

2A = A + 2 . A = 2 . p . R . H + 2 . p . R = 2pR(h + R) T L B

Área total incorreta (troca de R com H)2

A = 2 . p . H . R + 2 . p . H = 2pH(R + H)INCOR

Diferença entre as áreas2 2 2 2

(2.p.R.H + 2.p.R ) - (2.p.H.R + 2.p.H ) = 2p(R - H )Observação - Como H > R, a diferença encontrada é negativa.

b)Volume correto

2V = A . H = p . R . HB

Volume incorreto (troca de R com H)2

V = p . H . RINC

Diferença entre os volumes2 2

p.R .H - p.H .R = p.R.H.(R - H)Observação - Como H > R, a diferença encontrada é negativa.

45º

h

A capacidade do recipiente é o volume de um cilindro de raio 1 m e altura 6 m, subtraído de metade do volume de um cilindro de raio 1 m e altura h.

tg 45º = h / 21 = h / 2h = 2 m

2Volume de um cilindro V = A . h = p . R . hB

2 2V = p . 1 . 6 - (1/2) . p . 1 . 2REC

V = 6p - REC

Cilindro maiorR = 8 h = 10Cilindro menorR = 2h = 10V = V - VS CILINDRO MAIOR CILINDRO MENOR

2 2V = p . 8 . 10 - p . 2 . 10S

V = 640p - 40pS

V = 600p (resp. b)S



geometria espacial

80

Respostas das aulas 04 e 05.

Jeca 15



Jeca 44


01) a) 5 cm b) 13 cm

2 c) 100 cm

2 d) 260 cm

2 e) 360 cm

3 f) 400 cm02) a) 2 3 cm b) 2 39 cm

2 c) 24 3 cm

2 d) 24 39 cm

3 e) 96 3 cm03) a) 8 cm

2 b) 180 cm c) 15 cm04) a) 6 cm b) 9 cm

2 c) 108 3 cm

2 d) 72 3 cm

3 e) 72 15 cm05) a) 10 6 cm

3 b) 1000 6 cm

2 c) 600 3 cm

306) ( 3 / 16) uc

207) a) 70 cm b) 14 cm

2 c) 100 cm

3 d) (100 19 ) cm

2 e) 380 cm

208) a) 552 cm b) 12 cm c) 17 cm d) 253 cm

3 e) 48 253 cm09) b10) d11) b12) e13) 6 6 cm14) I) a) pirâmide triangular regular b) (2 3 / 3) cm

2 c) 4 3 cm d) (2 327 / 3) cm

2 e) 4 327 cm

2 f) 4( 3 + 327 ) cm

3 g) 16 3 cm II) a) pirâmide quadrangular regular b) 2 cm

2 c) 16 cm d) 2 37 cm

2 e) 16 37 cm

2 f) 16(1 + 37 ) cm

3 g) 64 cm III) a) pirâmide hexagonal regular b) 2 3 cm

2 c) 24 3 cm d) 2 39 cm

2 e) 24 39 cm

2 f) 24( 3 + 39 ) cm

3 g) 96 3 cm

2 315) k 3 k 6 / 3 k 2 / 12

2 316) 32( 13 + 29 ) cm , (1024 / 3) cm17) a/318) b

219) a) (5 57 / 2) cm b) (20 57 / 57) cm20) a) 75 000.sen a

3 3 b) 75 000 cm 75 litros 0,075 m

3 321) a) 4/3 cm b) 104/3 cm22) d


201) a) 16p cm

2 b) 96p cm

2 c) 128p cm2

d) 96 cm3

e) 192p cm22

02) 486p cm , 324 cm03) a) 8 cm

2 b) 224p cm

2 c) 352p cm

22 304) 54p cm , 36p cm05) 30 2 cm06) 3,6 cm

307) pR / tg q

308) a) 64p cm2 b) 48p 2 cm

2 c) 32 2 cm

209) pR (a + b) / 210) d11) d12) 4/p cm13) c14) e15) b16) 30/7 cm

217) a) 36 cm

2 b) 36p cm

2 c) 54p cm

3 d) 54p cm18) b

2 319) 160 cm , 640p cm

20) a) 2pR(R + H) , 2pH(R + H) b) pRH(R - H)

321) 5p m22) b

3

3



geometria espacial

81




Aula 06Cone circular reto.

(ou cone de revolução)

I - Cone reto ou de revolução.

h g

RÁrea da baseÁrea lateral

R

2pR

g g

q

2 2 2g = h + R

g - geratriz do coneh - altura do coneR - raio da base do cone

Secçãomeridiana

(corte no meio)

g = 2R e q = 180º

Fórmulas dos cones


Área lateral A = pRgl


Volume V = A . hb

Ângulo central q = 360 . Rg

13

Cone equilátero. Um cone é dito equilátero se a sua secção meridiana é um triân-gulo equilátero, ou seja, a sua gera-triz é igual ao diâmetro da base.

Cone de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um triângulo retângulo ao redor de um dos seus catetos.

Área da secção meridiana A = R . hSM

Determinação da fórmula da área lateral e da fórmula do ângulo central.

Determinar a área lateral de um cone circular reto como sendo um "triângulo".

2pR

g

g

gA = l

b . h2

=2pR . g

pRg

2

A = l

Determinar a fórmula do ângulo central do cone através de uma regra de três.

360º 2pg

q 2pR

q = 360 . Rg

(em graus)

2pR(em radianos)q = g

Regra de três

Exercícios.

01) Determine a área total e o volume de um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 15 cm.

Jeca 45

(GeoJeca)

2pR= g



geometria espacial

82




Aula 06Cone circular reto.

(ou cone de revolução)

I - Cone reto ou de revolução.

h g

RÁrea da baseÁrea lateral

R

2pR

g g

q

2 2 2g = h + R

g - geratriz do coneh - altura do coneR - raio da base do cone

Secçãomeridiana

(corte no meio)

g = 2R e q = 180º

Fórmulas dos cones


Área lateral A = pRgl


Volume V = A . hb

Ângulo central q = 360 . Rg

13

Cone equilátero. Um cone é dito equilátero se a sua secção meridiana é um triân-gulo equilátero, ou seja, a sua gera-triz é igual ao diâmetro da base.

Cone de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um triângulo retângulo ao redor de um dos seus catetos.

Área da secção meridiana A = R . hSM

Determinação da fórmula da área lateral e da fórmula do ângulo central.

Determinar a área lateral de um cone circular reto como sendo um "triângulo".

2pR

g

g

gA = l

b . h2

=2pR . g

pRg

2

A = l

Determinar a fórmula do ângulo central do cone através de uma regra de três.

360º 2pg

q 2pR

q = 360 . Rg

(em graus)

2pR(em radianos)q = g

Regra de três

Exercícios.

01) Determine a área total e o volume de um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 15 cm.

Jeca 45

(GeoJeca)

2pR= g

A = A + AT L B2

A = p . R . g + p . RT2

A = p . 8 . 17 + p . 8T

A = 136p + 64pT2

A = 200p cmT

2 2 2g = R + h

2 2 2g = 8 + 15

2g = 64 + 225 = 289g = 17 cm

V = (1/3) . A . hB2

V = (1/3) . p . R . h2

V = (1/3) . p . 8 . 153

V = 320p cm



geometria espacial

83

Jeca 46

03) Dado um cone equilátero de raio da base R, deter-mine, em função de R :a) a geratriz e a altura do cone;b) a área da base, a área lateral e a área total;c) a área da secção meridiana do cone;d) o volume do cone.

05) Determine o volume e a área da secção meridiana de um cone reto, sabendo-se que o raio da base mede

22 cm e que a sua área lateral mede 4p 10 cm .

(GeoJeca)

(GeoJeca)

04) Determine o volume, a área da secção meridiana e a medida do ângulo central em radianos, de um cone de

2revolução, sendo a sua área lateral 3p 73 cm e a

2sua área da base 9p cm . (GeoJeca)

02) Dado um cone de revolução de raio da base 3 cm e altura 12 cm, determine:a) a geratriz do cone e a medidado ângulo central em graus.b) a área da base.c) a área lateral.d) o volume do cone.

(GeoJeca)



geometria espacial

84

Jeca 46

03) Dado um cone equilátero de raio da base R, deter-mine, em função de R :a) a geratriz e a altura do cone;b) a área da base, a área lateral e a área total;c) a área da secção meridiana do cone;d) o volume do cone.

02) Dado um cone de revolução de raio da base 3 cm e altura 12 cm, determine:a) a geratriz do cone e a medidado ângulo central em graus.b) a área da base.c) a área lateral.d) o volume do cone.

05) Determine o volume e a área da secção meridiana de um cone reto, sabendo-se que o raio da base mede

22 cm e que a sua área lateral mede 4p 10 cm .

04) Determine o volume, a área da secção meridiana e a medida do ângulo central em radianos, de um cone de

2revolução, sendo a sua área lateral 3p 73 cm e a

2sua área da base 9p cm .

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

a) 2 2 2

g = R + h2 2 2

g = 3 + 12 = 153g = 3 17 cm

q = 360.R/g = 360 . 3 / 3 17q = (360 17 / 17)º

b) 2

A = p . RB2

A = p . 3B2

A = 9p cmB

c)A = p . R . gL

A = p . 3 . 3 17L2

A = 9p 17 cmL

d)V = (1/3) . A . hB

V = (1/3) . 9p . 123

V = 36p cm

a)g = 2R

2 2 2g = R + h

2 2 2(2R) = R + h

2h = 4R - R = 3Rh = R 3

b) 2

A = p . RB2

A = p . R . g = p . R . 2R = 2 . p . RL2 2 2

A = A + A = 2 . p . R + p . R = 3 . p . RT L B

c) 2

A = 2R . h / 2 = R . h = R . R 3 = R 3SM

d) 2

V = (1/3) . A . h = (1/3) . p . R . R 3B3

V = p . R 3 / 3

2A = 9p cmB

2A = p . RB

29p = p . R

2R = 9R = 3 cm

A = p . R . gL

A = 3p 73L

3p 73 = p . 3 . gg = 73 cm

2 2 2g = h = R

2 273 = h + 3

2h = 73 - 9 = 64h = 8 cm

V = (1/3) . A . h = (1/3) . 9p . 8B3

V = 24p cm

A = 2R . h / 2 = R . hSM2

A = 3 . 8 = 24 cmSM

q = 360.R/g = 2pR/gq = 2p . 3 / 73q = 6p 73 / 73

A = p . R . gL

A = 4p 10L

4p 10 = p . 2 . gg = 2 10 cm

2 2 2g = h + R

2 2 2(2 10 ) = h + 2

240 = h + 4

2h = 36h = 6 cm

2V = (1/3) . A . h = (1/3) . p . R . hB

2V = (1/3) . p . 2 . 6

3V = 8p cm

A = 2R . h / 2 = R . hSM

A = 2 . 6SM2

A = 12 cmSM



geometria espacial

85

Jeca 47

09) (UFMG-MG) Na figura abaixo está representada a região T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y e pelas retas y = x + 1 e y = 3x:

Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do eixo y. Então é correto afirmar que o volume de S é:a) p / 24b) p / 12c) p / 8d) p / 4

y

x

08) (UFRN-RN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o desenho a seguir, no qual o tronco de cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm.

3O volume desse recipiente, em cm , é igual a:a) 216pb) 208pc) 224pd) 200p

2 cm

6 cm

12 c

m

(GeoJeca)

(GeoJeca)

q

06) Dado um cone equilátero de altura 12 3 cm, de-termine:

a) a geratriz do cone;

b) o raio da base;

c) a área lateral;

d) o volume do cone e a área da secção meridiana do cone.

(GeoJeca)

q

207) Dado um cone equilátero de base 16p cm , deter-mine: (GeoJeca)

a) o raio da base;

b) a geratriz do cone;

c) a área da secção meridiana;

d) o volume do cone e a medida do ângulo central em graus.



geometria espacial

86

Jeca 47

q

06) Dado um cone equilátero de altura 12 3 cm, de-termine:

a) a geratriz do cone;

b) o raio da base;

c) a área lateral;

d) o volume do cone e a área da secção meridiana do cone.

q

207) Dado um cone equilátero de base 16p cm , deter-mine:a) o raio da base;


c) a área da secção meridiana;

d) o volume do cone e a medida do ângulo central em graus.

09) (UFMG-MG) Na figura abaixo está representada a região T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y e pelas retas y = x + 1 e y = 3x:

Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do eixo y. Então é correto afirmar que o volume de S é:a) p / 24b) p / 12c) p / 8d) p / 4

y

x

08) (UFRN-RN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o desenho a seguir, no qual o tronco de cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm.

3O volume desse recipiente, em cm , é igual a:a) 216pb) 208pc) 224pd) 200p

2 cm

6 cm

12 c

m

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

Cone equilátero (g = 2R)2 2 2

g = R + h2 2 2

(2R) = R + (12 3 )2

3R = 4322

R = 144R = 12 cmg = 2R = 24 cm

g = 2RR = g / 2 = 24 / 2 R = 12 cm

A = p . R . gL

A = p . 12 . 24L2

A = 288p cmL

2V = (1/3) . A . h = (1/3) . p . 12 . 12 3B

3V = 576p 3 cm

A = 2R . h / 2 = R . h = 12 . 12 3SM2

A = 144 3 cmSM

Cone equiláterog = 2R

2A = p . RB

2A = 16p cmB

216p = p . R

2R = 16R = 4 cm

g = 2Rg = 2 . 4g = 8 cm

2 2 2g = h + R

2 2 28 = h + 4

2h = 64 - 16 = 48h = 4 3 cmA = 2R . h / 2 = R . h 4 . 4 3SM

2A = 16 3 cmSM

2V = (1/3) . A . h = (1/3) . p . R . hB

2V = (1/3) . p . 4 . 4 3

3V = 64p 3 / 3 cm

V = V - VTRONCO CONE MAIOR CONE MENOR

CONE MAIOR (H = 18 cm e R = 6 cm)2

V = (1/3) . p . R . HCONE MAIOR2

V = (1/3) . p . 6 . 18CONE MAIOR3

V = 216p cmCONE MAIOR

CONE MENOR (h = 6 cm e r = 2 cm)2

V = (1/3) . p . r . hCONE MENOR2

V = (1/3) . p . 2 . 6CONE MENOR3

V = 8p cmCONE MENOR

V = 216p - 8pTRONCO3

V = 208p cmTRONCO

V = V - VS 2 1

V - volume do sólidoS

V - volume do cone maior2

V - volume do cone menor1

Determinação das coordenadas dos pontos A e B.y = x + 1 (equação reduzida m = 1 e q = 1)A(0 , 1)

y = x + 1y = 3xResolvendo o sitema, tem-se x = 1/2 e y = 3/2B(1/2 , 3/2)

2 2V = (1/3) . p . (1/2) . 3/2 - (1/3) . p . (1/2) . 1/2S

V = 3p/24 - p/24 = 2p/24S

V = p / 12 (resp. b)S

A

B

q =360 . R / g = 360 . 4 / 8q = 180º



geometria espacial

87





(Cone circular reto)

Jeca 48

11) (UFOP-MG) Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, ten-do obtido um bom lucro com as apresentações, resol-veu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lo-na precisava comprar, ele considerou as seguintes es-pecificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 m, e o raio da circunferência, de 24 m, como indica a

2figura. Que quantidade de lona, em m , será necessá-rio comprar ?

24 m

3 m

10

m13) (UFLA-MG) Sobre um cilindro de raio r e altura h são obtidos cones da forma descrita no desenho. Calcule a razão entre o volume do cone à esquerda e a soma dos volumes dos dois cones à direita, defini-dos por um ponto B sobre o eixo que une os dois cen-tros dos círculos da base do cilindro.

hB

r r

10) (UFV-MG) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo 2p / 3 radianos e juntando os lados. A área da base do

2chapéu, em cm , éa) 140pb) 110pc) 130pd) 100pe) 120p

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

12) (PUC-SP) Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém o la-do AB gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, éa) 256pb) 298,6pc) 307,2pd) 316pe) 328,4p



geometria espacial

88





(Cone circular reto)

Jeca 48

11) (UFOP-MG) Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, ten-do obtido um bom lucro com as apresentações, resol-veu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lo-na precisava comprar, ele considerou as seguintes es-pecificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 m, e o raio da circunferência, de 24 m, como indica a

2figura. Que quantidade de lona, em m , será necessá-rio comprar ?

24 m

3 m

10

m13) (UFLA-MG) Sobre um cilindro de raio r e altura h são obtidos cones da forma descrita no desenho. Calcule a razão entre o volume do cone à esquerda e a soma dos volumes dos dois cones à direita, defini-dos por um ponto B sobre o eixo que une os dois cen-tros dos círculos da base do cilindro.

hB

r r

10) (UFV-MG) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo 2p / 3 radianos e juntando os lados. A área da base do

2chapéu, em cm , éa) 140pb) 110pc) 130pd) 100pe) 120p

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

q = 2p/3g = 30 cm

Cuidado. A geratriz é o raio do setor cir-cular que compõe a área lateral do cone. Portanto g = 30 cm.

q = 360.R / g = 2pR / g2p / 3 = 2 . p . R / 30R = 10 cm

2A = p . RB

2A = p . 10B

2A = 100p cmB

A = A +A1 2

A - área lateral do cone1

A - área lateral do cilindro2

2 2 2g = R + h

2 2 2g = 24 + 7

2g = 576 + 49

2g = 625g = 25 m

A = A = p . R . g1 LCONE2

A = p . 24 . 25 = 600p m1

A = A = 2 . p . R . h2 LCILINDRO2

A = 2 . p . 24 . 3 = 144p m2

2A = 600p + 144p = 744p mLONA

7

24

g

12) (PUC-SP) Considere o triângulo isósceles ABC, tal que AB = BC = 10 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triângulo em torno de um eixo que contém o la-do AB gera um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, éa) 256pb) 298,6pc) 307,2pd) 316pe) 328,4p

B

A C

xR

Girando-se o triângulo ABC em torno do eixo AB, obtém-se dois cones.1º cone - raio R e altura x2º cone - raio R e altura y (x + y = 10 cm)

y

Determinação de R através da área do triângulo ABC.

2 2 210 = 6 + hh = 8 cm

12 . 8 / 2 = 10 . R / 2R = 96 / 10 = 48 / 5 cm

2 2V = V + V = (1/3) . p . R . x + (1/3) . p . R . y1 2

2 2V = (1/3).p.R .(x + y) = (1/3) . p . (48/5) . 10

3V = 307,2p cm

h

6 6

10 VE VD

V = (1/3) . A . hE B2

V = (1/3) . p . R . hE

2V = 2 . (1/3) . p . R . h / 2D

2V = (1/3) . p . R . hD

Portanto, V = VE D

V / V = 1E D



geometria espacial

89

Jeca 49

14) Determinar a área total e o volume do sólido obtido ao se girar um triângulo retângulo de lados 3cm, 4 cm e 5 cm ao redor de sua hipotenusa. (utilizar as relações métricas no triângulo retângulo)

A B

CD

15) Na figura abaixo, AB = 4 cm, CD = 6 cm e AD = 5 cm. Determinar o volume do tronco de cone gerado girando-se 360º o quadrilátero ABCD ao redor do eixo AD.

16) (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética entre a altura e a geratriz do

3cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m , determinar o raio da base e a altura do cone.

q

217) Dado um cone equilátero de área lateral 98p cm , determine:a) o raio da base do cone;


c) a área da base do cone;

d) a área total do cone;

e) a altura do cone;

f) o volume do cone.

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

3 cm

4 cm

5 cm



geometria espacial

90

Jeca 49

3 cm

4 cm

14) Determinar a área total e o volume do sólido obtido ao se girar um triângulo retângulo de lados 3cm, 4 cm e 5 cm ao redor de sua hipotenusa. (utilizar as relações métricas no triângulo retângulo)

A B

CD

15) Na figura abaixo, AB = 4 cm, CD = 6 cm e AD = 5 cm. Determinar o volume do tronco de cone gerado girando-se 360º o quadrilátero ABCD ao redor do eixo AD.

16) (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética entre a altura e a geratriz do

3cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128p m , determinar o raio da base e a altura do cone.

q

217) Dado um cone equilátero de área lateral 98p cm , determine:a) o raio da base do cone;


c) a área da base do cone;

d) a área total do cone;

e) a altura do cone;

f) o volume do cone.

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

5 cm

y + w = h = 5 cm

Relações métricas no triângulo retângulo

5 . x = 3 . 4x = 12 / 5 cm

O sólido resultante é formado por dois cones.1º cone - raio x , altura y e geratriz 4 cm.2º cone - raio x , altura w e geratriz 3 cm.

A = p . R . g + p . R . g = p . x . 4 + p . x . 3 T 1 1 2 2

A = p . 12/5 . 4 + p . 12/5 . 3T

A = 48p / 5 + 36p / 5T2

A = 84p / 5 cmT

2 2V = V + V = (1/3) . p . x . y + (1/3) . x . w1 2

2 2V = (1/3) . p . x . (y + w) = (1/3) . p . x . 5

2V = (1/3) . p . (12/5) . 5

3V = 48p / 5 cm

a . h = b . c

x

y

w

E

4

6

5

x

Semelhança de triângulos

xx + 5

=46

x = 10 cm

V = V - VTRONCO 2 1



Cone maior - raio = 6 e altura = 15Cone menor - raio = 4 e altura = 10

2 2V = (1/3) . p . 6 . 15 - (1/3) . p . 4 . 10TRONCO

V = 180p - 160p / 3 = 540p / 3 - 160p / 3TRONCO3

V = 380p / 3 cmTRONCO

R = (g + h) / 2 g = 2R - h

2 2128p = (1/3) . p . R . h R . h = 384

2 2 2g = h + R

g = 2R - h2

R . h = 3842 2 2

g = h + R

2 2 2(2R - h) = h + R

2 2 2 24R - 4Rh + h = h + RR = 4h/3

2R .h = 384

2(4h/3) . h = 384

3h = 216h = 6 m

R = 4h/3 = 4 . 6 / 3 = 8 m

1

2

3

Sistema de 3 equaçõesa 3 incógnitas

Cone equilátero (g = 2R)A = p . R . g = p . R . 2RL

2A = 2 . p . RL

298p = 2 . p . RR = 7 cm

g = 2R = 2 . 7 = 14 cm

2 2 2A = p . R = p . 7 = 49p cmB

2A = A + A = 98p + 49p = 147p cmT L B

2 2 2g = h + R

2 2 2h = 14 - 7

2h = 196 - 49 = 147h = 147 = 7 3 cm

V = (1/3) . A . h = (1/3) . 49p . 7 3B3

V = 343p 3 / 3 cm



geometria espacial

91

Jeca 50

18) (UFRG-RS) Um artesão produz velas natalinas na forma de árvore de Natal, conforme a figura abai-xo. O sólido A corresponde a um cilindro equilátero e o sólido B é um cone cuja geratriz é igual ao diâ-metro de sua base. Sabendo que as dimensões são dadas em centímetros e que o raio do cilindro, r, é a

3terça parte do raio do cone, R, o volume, em cm , do molde desse enfeite, em função de R, é:

3a) pR (9 3 + 1) / 27

3b) 20pR / 27

3c) pR (9 3 + 2) / 27

3d) 10pR / 27

3e) 11 3p R / 27

A

B

r

R

19) (UFJF-MG) Fernando utiliza um recipiente, em forma de um cone circular reto, para encher com água um aquário em forma de um paralelepípedo retângu-lo. As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm, 50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo.

Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo no caminho e despeja o restante no aquário. Estando o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na torneira para que a água despejada no aquário atinja 1/5 de sua capacidade ?

20 c

m

20 cm

120 cm

40 c

m

50 cm

20) (UFPR-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia ?b) Obtenha uma expressão para o volume V de lí-quido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 4 cm

12 c

m

x

21) (UFRJ-RJ) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustra-ção abaixo.

A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0 ; 12[ de mo-do que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

92

Jeca 50

18) (UFRG-RS) Um artesão produz velas natalinas na forma de árvore de Natal, conforme a figura abai-xo. O sólido A corresponde a um cilindro equilátero e o sólido B é um cone cuja geratriz é igual ao diâ-metro de sua base. Sabendo que as dimensões são dadas em centímetros e que o raio do cilindro, r, é a

3terça parte do raio do cone, R, o volume, em cm , do molde desse enfeite, em função de R, é:

3a) pR (9 3 + 1) / 27

3b) 20pR / 27

3c) pR (9 3 + 2) / 27

3d) 10pR / 27

3e) 11 3p R / 27

A

B

r

R

19) (UFJF-MG) Fernando utiliza um recipiente, em forma de um cone circular reto, para encher com água um aquário em forma de um paralelepípedo retângu-lo. As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm, 50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo.

Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo no caminho e despeja o restante no aquário. Estando o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na torneira para que a água despejada no aquário atinja 1/5 de sua capacidade ?

20 c

m

20 cm

120 cm

40 c

m

50 cm

20) (UFPR-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia ?b) Obtenha uma expressão para o volume V de lí-quido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 4 cm

12 c

m

x

21) (UFRJ-RJ) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustra-ção abaixo.

A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0 ; 12[ de mo-do que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

V - volume do cone1

V - volume do cilindro2

V = V + V1 2

r = R/3Cone equilátero (g = 2R)

2 2 2(2R) = R + HH = R 3

2 2 3V1 = (1/3) . p . R . H = (1/3) . p . R . R 3 = p . R 3 / 3

Cilindro equilátero (h = 2r)2 2 3

V = p . r . h = p . (R/3) . (2 . R/3) = 2 . p . R / 272

3 3 3 3V = V + V = pR 3 / 3 + 2pR / 27 = pR .(9 3 + 2) / 27 cm1 2

(resp. c)

3V = a . b . c = 120 . 50 . 40 = 240 000 cmAQUÁRIO

31/5 da capacidade do aquário V/5 = 48 000 cm

2 2V = (1/3) . p . R . h = (1/3) . p . 10 . 20CONE

Adotando p = 3,14 , tem-se3

V = 2 093 cmCONE

Considerando uma perda de 10% , tem-se 3

V = 1 884 cmDEPÓSITO

Número de depósitosn = 48 000 / 1 884 = 25,47Portanto, Fernando deve depositar no mínimo 26 vezes.

a)2

V = (1/3) . p . R . h2

V = (1/3) . p . 2 . 123

V = 16p cm

b)Semelhança de triângulos

2V = (1/3) . p . R . h

2V = (1/3) . p . (x/6) . x

3 3V = p . x / 108 cm

x

R

x12

=R2

R = x / 6

2

6

12 c

m

R

xSemelhança de

triângulos

x12

=R6

x = 2Rh

h = 12 - xh = 12 - 2RÁrea lateral do cilindroA = 2.p.R.hL

A = 2.p.R.(12 - 2R)L2

A = 24.p.R - 4.p.RL

(equação do 2º grau)

A = 4.p.R.(6 - R) = 0L

RaízesR = 0 ouR = 6

O gráfico da área lateral em função do raio é uma parábola.

0 63

R

AL

AMÁX

h = 12 - xh = 12 - 2Rh = 12 - 2 . 3h = 6 cm



geometria espacial

93




Aula 07Esferas.

a a

r

d R

2A = 4pResfera

3V = pResfera

43

Regra de três360º ----------- Aesfera

a -------------- Afuso

A = Afuso esferaa

360

Regra de três360º ----------- Vesfera

a -------------- Vcunha

V = Vcunha esferaa

360

Área total do hemisfério

Volume do hemisfério

A = A + ATH esfera base12

V = V H esfera12

2 2 2R = r + d

R - raio da esfera.r - raio da secção plana (círculo).d - distância entre o centro da esfera e o plano de corte.

Hemisfério ("meia esfera") Secção plana de uma esfera

Fuso esférico ("casca")Esfera Cunha esférica ("gomo")

paralelo

equador

polo norte

meridiano

polo sul eixo polar

centro da esfera

Raio

plano de corte

secção plana(círculo)base do

hemisfério

R

R - raio da esfera

Jeca 51



geometria espacial

94

01) Dada uma esfera de raio 12 cm, determine:

a) a área da superfícieesférica;

b) o volume da esfera;

c) a área e o perímetro da secção plana obtida do seccionamento da esfera por um plano que dista 7 cm do centro da esfera.

04) Sabendo-se que a área da base de um hemisfério 2

é 64p cm , determine:

a) a área total do hemisfério;

b) o volume do hemisfério;

c) o perímetro da base do hemisfério.


a) a área da superfície esférica;


c) o raio da secção plana obtida por um plano que corta a esfera a uma distância de 12 cm do centro;

e) o perímetro dessa secção plana.

d) a área dessa secção plana;


a


c) a área de um fuso esférico de ângulo central a = 50º;


d) o volume de uma cunha esférica de ângulo central a = 80º;

Jeca 52

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

95




c) a área e o perímetro da secção plana obtida do seccionamento da esfera por um plano que dista 7 cm do centro da esfera.

04) Sabendo-se que a área da base de um hemisfério 2

é 64p cm , determine:

a) a área total do hemisfério;

b) o volume do hemisfério;

c) o perímetro da base do hemisfério.


a) a área da superfície esférica;


c) o raio da secção plana obtida por um plano que corta a esfera a uma distância de 12 cm do centro;

e) o perímetro dessa secção plana.

d) a área dessa secção plana;


a


c) a área de um fuso esférico de ângulo central a = 50º;


d) o volume de uma cunha esférica de ângulo central a = 80º;

Jeca 52

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

2A = 4.p.RESF

2A = 4.p.12ESF

2A = 576p cmESF

3V = (4/3).p.RESF

3V = (4/3).p.12ESF

3V = 2 304p cmESF

d

r

R

2 2 2R = r + d

2 2 212 = r + 7r2 = 144 - 49 = 95r = 95 cm

2A = p.r = p.95SP

2A = 95p cmSP

c = 2.p.rc = 2.p. 95 cm

2A = 4.p.RESF

2A = 4.p.13ESF

2A = 676p cmESF

3V = (4/3).p.RESF

3V = (4/3).p.13ESF

3V = 8 788p / 3 cmESF

d

r

R

2 2 2R = r + d

2 213 = r + 1222

r = 169 - 144 = 25r = 5 cm

2 2 2A = p.r = p . 5 = 25p cmSP

c = 2.p.r = 2.p.5 = 10p cm

2A = 4.p.RESF

2A = 4.p.9ESF

2A = 324p cmESF

3V = (4/3).p.RESF

3V = (4/3).p.9ESF

3V = 972p cmESF

Regra de três360º ---------- AESFERA

a ---------- AFUSO

A = a . A / 360FUSO ESFERA

A = 50 . 324p / 360FUSO2

A = 45p cmFUSO

Regra de três360º ---------- VESFERA

a ---------- VCUNHA

V = a . V / 360CUNHA ESFERA

V = 80 . 972p / 360CUNHA3

V = 216p cmCUNHA

2A = p . RB

264p = p . R

2R = 64R = 8 cmA = (1/2) . A + AT ESF B

2 2A = (1/2) . 4.p.R + p.RT

2 2A = (1/2) . 4 . p . 8 + p . 8T

2A = 192p cmT

V = (1/2) V HEM ESF3

V = (1/2) . (4/3) . p . RHEM3

V = (1/2) . (4/3) . p . 8HEM3

V = 1 024p / 3 cmHEM

c = 2.p.Rc = 2 . p . 8c = 16p cm



geometria espacial

96

05) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 6 cm.

06) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 2/5 cm.

08) Determinar a área da superfície esférica de uma 3

esfera de volume 972p dm .

09) Determinar, em função de d, a área da superfície esférica e o volume de uma esfera de diâmetro d.

Jeca 53

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

07) Um plano a, paralelo à base de um hemisfério, secciona esse hemisfério à metade da sua altura e a

2secção plana tem área 27p dm . Determine o volume desse hemisfério.

a

10) Dada uma esfera de raio 26 cm, determinar o volume e a área da secção plana dessa esfera, quando a mesma é cortada por um plano que dista 10 cm do seu centro.

(GeoJeca)



geometria espacial

97

05) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 6 cm.

06) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 2/5 cm.

07) Um plano a, paralelo à base de um hemisfério, secciona esse hemisfério à metade da sua altura e a

2secção plana tem área 27p dm . Determine o volume desse hemisfério.

08) Determinar a área da superfície esférica de uma 3

esfera de volume 972p dm .

10) Dada uma esfera de raio 26 cm, determinar o seu volume e a área da secção plana dessa esfera, quando a mesma é cortada por um plano que dista 10 cm do seu centro.

09) Determinar, em função de d, a área da superfície esférica e o volume de uma esfera de diâmetro d.

Jeca 53

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

2A = 4.p.RESF

2A = 4.p.6ESF

2A = 144p cmESF

3V = (4/3).p.RESF

3V = (4/3).p.6ESF

3V = 288p cmESF

2A = 4.p.RESF

2A = 4.p.(2/5)ESF

2A = 16p / 25 cmESF

3V = (4/3).p.RESF

3V = (4/3).p.(2/5)ESF

3V = 32p / 375 cmESF

a

2A = p . rSP

227p = p . r2

r = 27 r = 3 3

2 2 2R = r + (R/2)

2 2 2R = (3 3 ) + R /4

23.R /4 = 27R = 6 dm

3V = (1/2) . (4/3) . p . RHEM

3V = (1/2) . (4/3) . p . 6HEM

3V = 144p dmHEM

RR/2

r

3V = (4/3).p.RESF

3972p = (4/3).p.R

3R = 729R = 9 dm

2A = 4.p.RESF

2A = 4.p.9ESF

2A = 324p dmESF

R = d/2

2A = 4.p.RESF

2A = 4 . p . (d/2)ESF

2A = 4 . p . d / 4ESF

2A = p.dESF

3V = (4/3) . p . RESF

3V = (4/3) . p . (d/2)ESF

3V = (4/3) . p . d / 8ESF

3V = p . d / 6ESF

dR

r3

V = (4/3).p.RESF3

V = (4/3) . p . 26ESF3

V = 70 304p / 3 cmESF

2 2 2R = d + r

2 2 226 = 10 + r2

r = 676 - 100 = 576r = 24 cm

2A = p.rSP

2A = p . 24SP

2A = 576p cmSP



geometria espacial

98





(Esferas)

Jeca 54

11) (UNICAMP - SP) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu polo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da superfície esférica, chamamos de projeção estereográfica desse outro ponto o ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera.

12) Qual a razão entre o volume de um cilindro equi-látero e o volume da esfera inscrita nesse cilindro ?

aA

B

fuso esférico

13) (FGV-SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo a de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por a é

2a) 20p m

2b) 15p m

2c) 10p m

2d) 5p m

2e) p m

14) (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir. Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de

3comprimento, o volume da pérola, em cm , éa) 2 p / 3b) 8p / 3c) 8 2 p / 3d) 4 6 p / 9e) 8 6 p / 27

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

99





(Esferas)

Jeca 54

11) (UNICAMP - SP) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu polo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da superfície esférica, chamamos de projeção estereográfica desse outro ponto o ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera.

12) Qual a razão entre o volume de um cilindro equi-látero e o volume da esfera inscrita nesse cilindro ?

aA

B

fuso esférico

13) (FGV-SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo a de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por a é

2a) 20p m

2b) 15p m

2c) 10p m

2d) 5p m

2e) p m

14) (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir. Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de

3comprimento, o volume da pérola, em cm , éa) 2 p / 3b) 8p / 3c) 8 2 p / 3d) 4 6 p / 9e) 8 6 p / 27

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

N

A

B

1

d

1

1


12

1d

=

N - polo norteA - ponto da esfera no equadorB - projeção estereográfica do ponto A.

d = 2

x

y

A projeção estereográfica dos pontos do hemisfério sul sobre o plano xy é um círculo com centro na origem do plano xy e raio igual a 2.

VCILINDRO

VESFERA

2p . R . h

3(4/3) . p . R

Mas h = 2R (cilindro equilátero)

=

VCILINDRO

VESFERA

2p . R . 2R

3(4/3) . p . R

=

VCILINDRO

VESFERA

32 . p . R

3(4/3) . p . R

= =2

(4/3)

VCILINDRO

VESFERA=

32

Regra de três360º ---------- AESFERA

a ---------- AFUSO

A = a . A / 360FUSO ESFERA

A = 72 . 100p / 360FUSO2

A = 20p mFUSO

2A = 4.p.RESF

2A = 4.p.5ESF

2A = 100p mESF

R

A

B

C

DA

B

C

D

23

1

R

Relações métricas notriângulo retângulo.

a . h = b . c

R . 3 = 1 . 2

R = 6 / 3 cm

3V = (4/3).p.RESF

3V = (4/3).p.( 6 / 3)ESF

3V = 8 6 p / 27 cmESF



geometria espacial

100

Jeca 55

15) (UFPR-PR) Duas velas são derretidas para for-mar uma outra em formato de esfera. Dentre as ve-las derretidas, uma tem formato de cilindro circular reto com raio 6 cm e altura 7 cm, e a outra em forma-to de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esfé-rica, em centímetros, será:a) menor que 4b) 4,5c) 5d) 6e) 6,5

17) (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela de-corativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como está indicado na figura, feita fora de

3escala. Sabe-se que o preço de 1 cm de parafina

3transparente é o dobro do preço de 1 cm de parafina vermelha. Sejam T o custo com parafina transpa-rente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto concluir que:a) T/V = 5/6b) T/V = 5/2c) T/V = 9/2d) T/V = 8/3e) T/V = 10/3

18) (UERJ-RJ) A figura abaixo representa uma cai-xa, com a forma de um prisma triangular regular, con-tendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo-se p = 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa.

16) (UNICAMP-SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a distância do vértice da cavidade à esfera.

12 c

m

5 cm(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

101

Jeca 55

15) (UFPR-PR) Duas velas são derretidas para for-mar uma outra em formato de esfera. Dentre as ve-las derretidas, uma tem formato de cilindro circular reto com raio 6 cm e altura 7 cm, e a outra em forma-to de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esfé-rica, em centímetros, será:a) menor que 4b) 4,5c) 5d) 6e) 6,5

17) (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela de-corativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como está indicado na figura, feita fora de

3escala. Sabe-se que o preço de 1 cm de parafina

3transparente é o dobro do preço de 1 cm de parafina vermelha. Sejam T o custo com parafina transpa-rente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto concluir que:a) T/V = 5/6b) T/V = 5/2c) T/V = 9/2d) T/V = 8/3e) T/V = 10/3

18) (UERJ-RJ) A figura abaixo representa uma cai-xa, com a forma de um prisma triangular regular, con-tendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo-se p = 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa.

16) (UNICAMP-SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a distância do vértice da cavidade à esfera.

12 c

m

5 cm(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

V - volume do cilindroC

V - volume da esfera menor1

V - volume da esfera maior2

V = V + V2 C 13 2 3

(4/3) . p . R = p . R . h + (4/3) . p . R2 C 13 2 3

(4/3) . p . R = p . 6 . 7 + (4/3) . p . 323

(4/3) . R = 252 + 36 = 28823

R = 2162

R = 6 cm2

5

12

R

xy

y2 = 122 + 52y2 = 144 + 25 = 169y = 13 cm


R5

=xy

45

=x13

x = 52 / 5 = 10,4 cm

d = x - R = 10,4 - 4 d = 6,4 cm

d

R

R

8 - R

6

y

2 2 2y = 8 + 6 = 100

y = 10 cm

Semelhança detriângulos.

R6

=8 - R10

R = 3 cm

3V = (4/3).p.RESF

3V = (4/3).p.3ESF

3V = 36p cmESF

2V = (1/3) . p . R . hCONE

2V = (1/3) . p . 6 . 8CONE

3V = 96p cmCONE

V = V - VTRANSPARENTE CONE ESFERA3

V = 96p - 36p = 60p cmTRANSPARENTE

TV

=2 . 60p

36p103

=

k

k/2

R30º

tg 30º = R / (k/2)R = k 3 / 6

3V = (4/3).p.RESF

3 3V = (4/3) . p . (k 3 / 6) = (4/3) . 3 . (k 3 / 6)ESF

3V = k 3 / 18ESF

V = A . h = (1/2).a.b.sen a . hPRISMA B2

V = (1/2) . k . k . 3 / 2 . 2R = (k 3 / 4) . 2 . k 3 / 6 PRISMA3

V = k / 4PRISMA

VESFERA

VPRISMA=

3K 3 / 18

3k / 4

=4 318

= 0,385 (38,5 %)



geometria espacial

102




Aula 08Sólidos semelhantes.

tronco decone

I - Sólidos semelhantes.

Sólidos semelhantes - Dois sólidos são ditos semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.

Importante - Na redução ou na ampliação, os ângulos se mantêm e os segmentos variam na mesma proporção.

Tronco de cone (ou de pirâmide) - É o sólido obtido do seccionamento de um cone (pirâmide) por um plano paralelo ao plano da base do cone (da pirâ-mide).

Observação - Na figura ao lado, o cone menor e o cone maior são sólidos semelhantes. O tronco de cone não é semelhante aos cones.

l1

l2

Se dois sólidos são semelhantes, então valem as relações:

=l1

l2

3( )S1

S2=

l1

l2

2( ) V1

V2

l - qualquer segmento do sólido.

S - qualquer área do sólido.V - volume do sólido.

Determinação do volume do tronco de cone (ou do tronco de pirâmide).

V = V - VTronco 2 1

V - volume do troncoTronco

V - volume do cone maior (pirâmide maior)2

V - volume do cone menor (pirâmide menor)1

Observação importante - Sempre existe uma semelhança de triângulos entre dois sólidos semelhantes.

Exercícios.

Jeca 56

tronco decone

01) A figura abaixo representa um cone de raio da base 6 cm e altura 15 cm, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante 10 cm do vértice do cone. Determine:a) o raio da base do cone menor;b) o volume do cone maior;c) o volume do cone menor;d) o volume do tronco de cone.

15

cm

(GeoJeca)



geometria espacial

103




Aula 08Sólidos semelhantes.

tronco decone

I - Sólidos semelhantes.

Sólidos semelhantes - Dois sólidos são ditos semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.

Importante - Na redução ou na ampliação, os ângulos se mantêm e os segmentos variam na mesma proporção.

Tronco de cone (ou de pirâmide) - É o sólido obtido do seccionamento de um cone (pirâmide) por um plano paralelo ao plano da base do cone (da pirâ-mide).

Observação - Na figura ao lado, o cone menor e o cone maior são sólidos semelhantes. O tronco de cone não é semelhante aos cones.

l1

l2

Se dois sólidos são semelhantes, então valem as relações:

=l1

l2

3( )S1

S2=

l1

l2

2( ) V1

V2

l - qualquer segmento do sólido.

S - qualquer área do sólido.V - volume do sólido.

Determinação do volume do tronco de cone (ou do tronco de pirâmide).

V = V - VTronco 2 1

V - volume do troncoTronco

V - volume do cone maior (pirâmide maior)2

V - volume do cone menor (pirâmide menor)1

Observação importante - Sempre existe uma semelhança de triângulos entre dois sólidos semelhantes.

Exercícios.

Jeca 56

tronco decone

01) A figura abaixo representa um cone de raio da base 6 cm e altura 15 cm, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante 10 cm do vértice do cone. Determine:a) o raio da base do cone menor;b) o volume do cone maior;c) o volume do cone menor;d) o volume do tronco de cone.

15

cm

(GeoJeca)

r

6

r

6

10

5

a) Semelhança de triângulos

r6

1015

=

r = 4 cm



V - volume do tronco de coneTR

b)2

V = (1/3) . p . R . H22

V = (1/3) . p . 6 . 1523

V = 180p cm2

c)Sólidos semelhantes

V1

V2

=3( )

L1

L2

V1=

3( )180p

1015

=3( )2

33

V1 = 160p / 3 cm

d) V = V - VTR 2 1

V = 180p - 160p / 3TR3

V = 380p / 3 cmTR



geometria espacial

104

Jeca 57

02) Um cone reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm, é seccionado por um plano paralelo à sua base e distan-te 8 cm do seu vértice. Determine;

b) o volume do cone menor;

a) o volume do cone maior;

c) o volume do tronco de cone.

03) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura do tronco de pirâmide obtido ?

4 cm

h

tronco decone

04) Um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm é seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distando 3 cm do vértice do cone. Determine:




4 c

m

05) A figura abaixo representa um tronco de cone de altura 5 cm, raio da base maior igual a 6 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Determine a área total e o volume do tronco de cone.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

105

Jeca 57

02) Um cone reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm, é seccionado por um plano paralelo à sua base e distan-te 8 cm do seu vértice. Determine;





4 cm

h

tronco decone

04) Um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm é seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distando 3 cm do vértice do cone. Determine:




4 c

m

05) A figura abaixo representa um tronco de cone de altura 6 cm, raio da base maior igual a 6 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Determine a área total e o volume do tronco de cone.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

5

8

4


V = (1/3) . p . R . H22

V = (1/3) . p . 5 . 1223

V = 100p cm2

V1

V2

=3( )

L1

L2

V1=

3( )100p

812

=3( )2

33

V1 = 800p / 27 cm

Sólidos semelhantes

V = V - VTR 2 1

V = 100p - 800p / 27TR

V = (2700p / 27) - (800p / 27) TR3

V = 1900p / 27cmTR

V1

V2

=3( )

L1

L2

V=

3( )2V

x4


x

V - volume da pirâmide menor1

V - volume da pirâmide maior2

V - volume do troncoTR

V = V1

V = 2V2

1=

2

3x

343

x = 64 / 2 = 32x = 32x = 2 4 cm

h = 4 - xh = (4 - 2 4 ) cm

3

3

3


V = (1/3) . p . R . H22

V = (1/3) . p . 3 . 423

V = 12p cm2

V1

V2

=3( )

L1

L2

V1=

3( )12p

34

=

3V1 = 81p / 16 cm


V = V - VTR 2 1

V = 12p - 81p / 16TR

V = (192p / 15) - (81p / 16) TR3

V = 111p / 16cmTR

2764

4

6

6

x

Semelhança de triângulos46

xx + 6

= x = 12 cm


A - área lateral do cone menorL1

A - área da base do cone menorB1


A - área lateral do cone maiorL2

A - área da base do cone maiorB2

2 2 2(g ) = 12 + 4 = 1601

g = 4 10 cm12 2 2

(g ) = 18 + 6 = 3602

g = 6 10 cm2

A = A - A + A + AT L2 L1 B2 B12 2

A = p.R .g - p.R .g + p.R + p.RT 2 2 1 1 2 12 2

A = p . 6 . 6 10 - p . 4 . 4 10 + p . 6 + p . 4T2

A = 4p.(13 + 5 10 ) cmT

V = V - VTR 2 12 2

V = (1/3).p.R .h - (1/3).p.R .hTR 2 2 1 12 2

V = (1/3) . p . 6 . 18 - (1/3) . p . 4 . 12TR

V = 216p - 64p TR3

V = 152p cmTR



geometria espacial

106





(Sólidos semelhantes)

Jeca 58

08) (Fuvest-SP) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e base horizontal de raio 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível, qual deve ser a altura x atingida pelo primeiro líqüido colocado ?

x

3 cm

8 cm

a) 8 / 3 cm

b) 6 cm

c) 4 cm

d) 4 3 cm

e) 4 4 cm3

07) Um cone circular reto de altura h e volume V é seccionado por um plano, distante 2h / 3 do seu vértice. Qual é o volume do tronco de cone obtido, em função de V ?

tronco decone

h

06) Uma lanchonete anuncia a venda de refrigerante em copos cônicos de altura 20 cm e raio da base 6 cm. Para não derramar, a lanchonete serve os copos com 18 cm de refrigerante, conforme a figura abaixo. Qual é, em centímetros cúbicos, o volume aproximado do refrigerante no copo ?a) 200pb) 175pc) 225pd) 150pe) 250p

18 cm

6 cm

20 cm

09) Uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 8 cm e altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base e distante 9 cm do seu vértice. Determine:

15 cm

a) o volume da pirâmidemaior;

b) o volume da pirâmide menor;

c) o volume do tronco de pirâmide.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

107





(Sólidos semelhantes)

Jeca 58

08) (Fuvest-SP) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e base horizontal de raio 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível, qual deve ser a altura x atingida pelo primeiro líqüido colocado ?

x

3 cm

8 cm

a) 8 / 3 cm

b) 6 cm

c) 4 cm

d) 4 3 cm

e) 4 4 cm3

07) Um cone circular reto de altura h e volume V é seccionado por um plano, distante 2h / 3 do seu vértice. Qual é o volume do tronco de cone obtido, em função de V ?

tronco decone

h

06) Uma lanchonete anuncia a venda de refrigerante em copos cônicos de altura 20 cm e raio da base 6 cm. Para não derramar, a lanchonete serve os copos com 18 cm de refrigerante, conforme a figura abaixo. Qual é, em centímetros cúbicos, o volume aproximado do refrigerante no copo ?a) 200pb) 175pc) 225pd) 150pe) 250p

18 cm

6 cm

20 cm

09) Uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 8 cm e altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base e distante 9 cm do seu vértice. Determine:

15 cm


b) o volume da pirâmide menor;

c) o volume do tronco de pirâmide.

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

V1

V2

=3( )

L1

L2

V1=

3( )240p

1820

=3( )9

10

V = 240p . 729 / 1000 13

V = 175p cm1




2V = (1/3).p.R .h2

2V = (1/3) . p . 6 . 202

3V = 240p cm2




V1

V2

=3( )

L1

L2

V1= ( )

V h=

3( )23


2h3

3

=827

V1 = 8V / 27

V = V - V = V - 8V / 27TR 2 1

V = (27V /27) - (8V/27)TR

V = 19V / 27TR



V - volume de águaV - volume de suco

V1

V2

=3( )

L1

L2

V=

3( )2V

x8


V = V + V = 2V2

3 3x = 8 / 2

3x = 512/2 = 256

x = 256

x = 4 4 cm

3

3

V = (1/3) . A . h2 B2

V = (1/3) . 8 . 1523

V = 320 cm2

V1

V2

=3( )

L1

L2

V1=

3( )320

915

=3( )3

5


=27

125

V = 320 . 27 / 125 13

V = 1728 / 25 cm1

3V = 320 - 1728/25 = 6272 / 25 cmTR



geometria espacial

108

Jeca 59

10) (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima, e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo ?

h h2

35 minutos apósNo início

11) (CESGRANRIO) Um recipiente cônico, com altura 2 e base horizontal de raio 1, contém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. Qual é a distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. II ?

13) Uma pirâmide reta de altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base, obtendo-se assim

3uma pirâmide menor de volume 108 cm e um tronco

3de pirâmide de volume 392 cm . Determine:

15 cm

h


b) a altura do tronco de cone.

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

1

2

d

Fig. I Fig. II

(GeoJeca)

12) A figura abaixo representa um cone de altura h, volume V e área lateral A, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante h / 2 do vértice do cone. Determine:a) a área lateral do cone menorem função de A;b) a área lateral do tronco de cone em função de A;c) o volume do cone menorem função de V;d) o volume do tronco de cone em função de V.



geometria espacial

109

Jeca 59

10) (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima, e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo ?

h h2

35 minutos apósNo início

11) (CESGRANRIO) Um recipiente cônico, com altura 2 e base horizontal de raio 1, contém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. Qual é a distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. II ?

12) A figura abaixo representa um cone de altura h, volume V e área lateral A, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante h / 2 do vértice do cone. Determine:a) a área lateral do cone menorem função de A;b) a área lateral do tronco de cone em função de A;c) o volume do cone menorem função de V;d) o volume do tronco de cone em função de V.

13) Uma pirâmide reta de altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base, obtendo-se assim

3uma pirâmide menor de volume 108 cm e um tronco

3de pirâmide de volume 392 cm . Determine:

15 cm

h


b) a altura do tronco de cone.

(GeoJeca)

(GeoJeca)(GeoJeca)

V1

V2

V1

V2

=3( )

L1

L2

V1=

3( ) =




V2

h/2h

18

V = V / 81 2

Regra de três

1/8 de V2

7/8 de V2

7V / 8 ------------ 35 minutos2

V / 8 ------------- x minutos2

x = 35 / 7 = 5 minutos

1

2

d

Fig. I Fig. II

(GeoJeca)V1

V2

V3

V4

V1

V2

=3( )

L1

L2


V1

V2

=3( )1

2

V = V / 81 2

V3

V4

=3( )

L3

L4


V 2

=3( )d

2

7V / 82

3d = 7

d = 73

=2

( )L1

L2


A1

A2

A - área lateral do cone menor1

A = A - área lateral do cone maior2

=2

( )A1

Ah/2h

A = A / 4 (resp. a)1

A = A - A = A - A / 4 TR 2 1

A = 3A / 4 (resp. b)TR

V1

V2

=3( )

L1

L2

V1=

3( ) =V

h/2h

18


V = V - volume do cone maior2

V = V / 8 (resp. c)1

V = V - V = V - V / 8TR 2 1

V = 7V / 8 (resp. d)TR

=14



V - volume do troncoTR

V = V + V 2 1 TR

V = 108 + 39223

V = 500 cm2

x

V1

V2

=3( )

L1

L2


=3( )108

500x

153 3

x = 108 . 15 / 5003

x = 729 x = 9 h = 15 - x h = 6 cm



geometria espacial

110

Jeca 60

14) Qual é a razão entre o volume de uma esfera inscrita e o volume de uma esfera circunscrita num mesmo cubo ?


4 cm

h

17) A figura abaixo representa um cone de revolução de raio da base 5 cm e altura 12 cm, seccionado por um plano paralelo à base e distante 4 cm dela. Determine a área lateral do tronco de cone.

tronco decone

12 cm

16) (EESC-USP) Dividindo-se uma pirâmide de altura h com um plano paralelo ao da base, à distância x do vértice, obtém-se duas partes de áreas laterais iguais. Qual o valor de x ?

h

x

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)



geometria espacial

111

Jeca 60

14) Qual é a razão entre o volume de uma esfera inscrita e o volume de uma esfera circunscrita num mesmo cubo ?


4 cm

h

17) A figura abaixo representa um cone de revolução de raio da base 5 cm e altura 12 cm, seccionado por um plano paralelo à base e distante 4 cm dela. Determine a área lateral do tronco de cone.

tronco decone

12 cm

16) (EESC-USP) Dividindo-se uma pirâmide de altura h com um plano paralelo ao da base, à distância x do vértice, obtém-se duas partes de áreas laterais iguais. Qual o valor de x ?

h

x

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

k - aresta do cubok 3 - diagonal do cuboR - raio da inscrita1

R - raio da circunscrita2

R = k / 21

R = k 3 / 22

V1

V2

=3( )

L1

L2


V1

V2

=3( )k/2

k 3 /2

V1

V2

=39



V = V1

V = 2.V2

x

V1

V2

=3( )

L1

L2


=3( )

4V

2V

x

= 34

3x1

23

x = 32

x = 2 4

h = 4 - x = 4 - 2 4 cm

3

3

=2

( )L1

L2


A1

A2

A = A - área lateral da pirâmide menor1

A = A - área lateral do tronco de pirâmideTR

A = 2A - área lateral da pirâmide maior2

=12

2x

2h

=2

( )A2A

xh

2 2x = h / 2

x = h 2 / 2

2 2 2g = h + R2 2 2

2 2 2g = 12 + 52

2g = 1692

g = 13 cm2

=2

( )L1

L2


A1

A2

A - área lateral do cone menor1

A = A - área lateral do cone maior2

A - p.R .g = p . 5 . 132 2 22

A = 65p cm2

=2

( )A1

65p=

49

812

=2

( )23

2A = 65p . 4 / 9 = 260p / 9 cm1

A = A - A = 65p - 260p / 9TR 2 12

A = 325p / 9 cmTR



geometria espacial

112




Aula 09Exercícios sobre sólidos compostos.

Jeca 61

01) A figura abaixo representa um cone de revolução e três esferas que se tangenciam e tangenciam o cone. Sabendo-se que o raio da esfera maior é 3 cm e que o raio da esfera intermediária é 2 cm, determine o raio da esfera menor.

03) A figura abaixo representa um cinzeiro maciço constituído por um paralelepípedo retorretangular de altura 8 cm e cuja base é um quadrado de lado 16 cm, tendo como receptáculo das cinzas um hemisfério de raio 6 cm. Determinar a área total do cinzeiro e o volume de material gasto na fabricação desse cinzeiro.

R = 6 cm

1 cm

R = 6 cm

1 cm

04) Um cilindro de revolução tem raio da base 6 cm e contém água até uma determinada altura. Uma esfera de aço é colocada nesse cilindro ficando totalmente submersa. Determinar o raio da esfera, sabendo-se que o nível da água no cilindro subiu 1 cm.

02) (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quan-tidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é igual a:a) 3 / 6b) 3 / 3c) 2 3 / 3d) 3e) 4 3 / 3

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

113




Aula 09Exercícios sobre sólidos compostos.

Jeca 61

01) A figura abaixo representa um cone de revolução e três esferas que se tangenciam e tangenciam o cone. Sabendo-se que o raio da esfera maior é 3 cm e que o raio da esfera intermediária é 2 cm, determine o raio da esfera menor.

03) A figura abaixo representa um cinzeiro maciço constituído por um paralelepípedo retorretangular de altura 8 cm e cuja base é um quadrado de lado 16 cm, tendo como receptáculo das cinzas um hemisfério de raio 6 cm. Determinar a área total do cinzeiro e o volume de material gasto na fabricação desse cinzeiro.

R = 6 cm

1 cm

R = 6 cm

1 cm

04) Um cilindro de revolução tem raio da base 6 cm e contém água até uma determinada altura. Uma esfera de aço é colocada nesse cilindro ficando totalmente submersa. Determinar o raio da esfera, sabendo-se que o nível da água no cilindro subiu 1 cm.

02) (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quan-tidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é igual a:a) 3 / 6b) 3 / 3c) 2 3 / 3d) 3e) 4 3 / 3

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

3

2

3

3

2

2

RR

x


y

32

=5 + y

y

y = 10 cm


2R

=y x

x = 5R

2R

=10 x

y = 2 + R + x10 = 2 + R + 5R8 = 6RR = 8 / 6R = 4 / 3 cm

V = V = VHEMISFÉRIO CONE CILINDRO3 2 2

(1/2) . (4/3) . p . r = (1/3) . p . (2r) . h = p . x . h

V = VHEMISFÉRIO CONE3 2

(1/2) . (4/3) . p . r = (1/3) . p . 4r . hPortanto r = 2h

V = VCONE CILINDRO2 2

(1/3) . p . 4r . h = p . x . h2 2

(1/3) . p . 4.(2h) . h = p . x . h2 2

16.h = 3.x2

(x/h) = 16/3x/h = 16/3x / h = 4 3 / 3

V - volume do cinzeiroC

V - volume do paralelepípedoP

V - volume do hemisférioH

V = V - VC P H3

V = a . b . c - (1/2) . (4/3) . p . RC3

V = 8 . 16 . 16 - (1/2) . (4/3) . p . 6C

V = 2048 - 144p C3

V = 16.(128 - 9p) cmC

A - área total do cinzeiroC

A - área lateral do hemisférioH

A - área total do paralelepípedoP

A = A - A + AC P CÍRCULO H2 2

A = 2 . 8 . 16 + 2 . 8 . 16 = 2 . 16 . 16 - p . 6 + (1/2) . 4 . p . 6C

A = 256 + 256 + 512 - 36p + 72pC

A = 1024 + 36pC2

A = 4.(256 + 9p) cmC

Experiência de Arquimedes.

V = VESFERA DESLOCADO

V = VDESLOCADO CILINDRINHO

3 2(4/3) . p . R = p . R . hE C

3 2(4/3) . p . R = p . 6 . 1E

3R = 27E

R = 3 cmE

VDESLOCADO



geometria espacial

114

Jeca 62

05) Uma garrafa é constituída por duas partes: a parte inferior que é um cilindro reto e a parte superior que contém o gargalo, conforme mostra a figura abaixo. A parte cilíndrica tem internamente altura 18 cm e raio da base 5 cm. Estando a garrafa fechada, apoiada sobre uma mesa horizontal e contendo água até a altura de 15 cm, coloca-se a mesma de gargalo para baixo e observa-se que a parte cilíndrica tem 7 cm de ar. Determine o volume interno da garrafa.

parte superior(gargalo)

parte inferior 15 cm

ar 7 cm

06) Uma forma de bolo na forma de um paralelepí-pedo retorretangular de dimensões 30 cm, 25 cm e altura 6 cm, está apoiada sobre uma mesa horizontal e contém água até a altura de 2 cm. Uma lata cilíndri-ca de raio da base 10 cm e altura 25 cm é colocada dentro da forma de tal maneira que as bases ficam justapostas. Determine a altura h de água na forma de bolo após a colocação da lata. (adote p = 3,0)

07) (Vunesp-SP) Seja x um nº real positivo. O vo-lume de um paralelepípedo retorretângulo é dado, em

3 2função de x, pelo polinômio x + 7x + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:

2a) x - 6x + 8

2b) x + 14x + 8

2c) x + 7x + 8

2d) x - 7x + 8

2e) x + 6x + 8

08) (Fuvest-SP) Em um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo retorretângulo) de volume 27 / 8, as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medi-da da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:a) 7 / 8b) 8 / 8c) 9 / 8d) 10 / 8e) 11 / 8

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

h



geometria espacial

115

Jeca 62

05) Uma garrafa é constituída por duas partes: a parte inferior que é um cilindro reto e a parte superior que contém o gargalo, conforme mostra a figura abaixo. A parte cilíndrica tem internamente altura 18 cm e raio da base 5 cm. Estando a garrafa fechada, apoiada sobre uma mesa horizontal e contendo água até a altura de 15 cm, coloca-se a mesma de gargalo para baixo e observa-se que a parte cilíndrica tem 7 cm de ar. Determine o volume interno da garrafa.

parte superior(gargalo)

parte inferior 15 cm

ar 7 cm

h

06) Uma forma de bolo na forma de um paralelepí-pedo retorretangular de dimensões 30 cm, 25 cm e altura 6 cm, está apoiada sobre uma mesa horizontal e contém água até a altura de 2 cm. Uma lata cilíndri-ca de raio da base 10 cm e altura 25 cm é colocada dentro da forma de tal maneira que as bases ficam justapostas. Determine a altura h de água na forma de bolo após a colocação da lata. (adote p = 3,0)

07) (Vunesp-SP) Seja x um nº real positivo. O vo-lume de um paralelepípedo retorretângulo é dado, em

3 2função de x, pelo polinômio x + 7x + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por:

2a) x - 6x + 8

2b) x + 14x + 8

2c) x + 7x + 8

2d) x - 7x + 8

2e) x + 6x + 8

08) (Fuvest-SP) Em um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo retorretângulo) de volume 27 / 8, as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medi-da da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é:a) 7 / 8b) 8 / 8c) 9 / 8d) 10 / 8e) 11 / 8

(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca) (GeoJeca)

V = V + VGARRAFA LÍQUIDO AR

Os volumes de líquido e de ar dentro da garrafa permanecem constantes, qualquer que seja a posição da garrafa. O volume de líquido pode ser determinado na 1ª figura. O volume de ar pode ser determinado na 2ª figura.

2 2V = p . 5 . 15 + p . 5 . 7GARRAFA

V = 375p + 175pGARRAFA3

V = 550p cmGARRAFA

V = VÁGUA ANTES ÁGUA DEPOIS

V = VÁGUA ANTES PARALELEPÍPEDO

V = V - VÁGUA DEPOIS PARALELEPÍPEDO CILINDRO

230 . 25 . 2 = 30 . 25 . h - p . R . hp = 3,14

230 . 25 . 2 = 30 . 25 . h - 3 . 10 . h1500 = 750 . h - 300 . h1500 = 450 . hh = 1500 / 450h = 3,33 cm

V = a . b . cPARALELEPÍPEDO

A área da face procurada pode ser encontrada fazendo-se a di-visão do polinômio

3 2x + 7x + 14x + 8

x + 1

Também é possível determinar a área da face, multiplicando-se as alternativas por x + 1.

Resposta e)

2 3 2 2(x + 6x + 8) . (x + 1) = x + x + 6x + 6x + 8x + 8

2 3 2(x + 6x + 8) . (x + 1) = x + 7x + 14x + 8

Progressão geométrica de 3 termos (a/q , a , a.q)

V = a . b . cPARALELEPÍPEDO3

V = (a/q) . a . (a.q) = aPARALELEPÍPEDO3

27 / 8 = aa = 3/2

A maior aresta mede 2a . q = 2(3/2) . q = 2q = 4/3

A menor aresta mede a/qa/q = (3/2) / (4/3)a/q = 9/8



geometria espacial

116

Jeca 63

A B

CD

E F

GH

10) A figura abaixo representa o cubo ABCDEFGH e a pirâmide ABCDH inscrita no cubo. Se o volume da

3pirâmide é 9K , então a aresta do do cubo é :a) 2Kb) 3Kc) 4Kd) 6Ke) 9K

6 cm

7 c

m

12 c

m

A

B

11) Um sólido é obtido rotacionando-se o quadrilátero ABCD abaixo ao redor do eixo AB. Determinar a área total e o volume desse sólido.

C

D

12) A figura ao lado representa um eixo vertical AB e um triângulo isósceles de base 15 cm e vértice sobre o eixo AB. Um sólido geométrico é obtido ao se girar o triângulo ao redor do eixo AB. Desenhar no reticulado ao lado o sólido obtido e calcular o seu volume.

A

B

8 cm

15 c

m

09) (UFMS-MS) Uma esfera e um tronco de cone de altura H têm o mesmo volume. O diâmetro da esfera é igual ao diâmetro da base circular maior do tronco de cone e igual ao dobro do diâmetro da base circular menor do tronco de cone, como na figura a seguir.

Então a relação entre H e R é:a) H = 16R / 7b) H = 10R / 7c) H = 7R / 16d) H = 16R / 10e) H = 7R / 10

2R2R

R

H

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

117

Jeca 63

A B

CD

E F

GH

10) A figura abaixo representa o cubo ABCDEFGH e a pirâmide ABCDH inscrita no cubo. Se o volume da

3pirâmide é 9K , então a aresta do do cubo é :a) 2Kb) 3Kc) 4Kd) 6Ke) 9K

6 cm

7 c

m

12 c

m

A

B

C

D

12) A figura ao lado representa um eixo vertical AB e um triângulo isósceles de base 15 cm e vértice sobre o eixo AB. Um sólido geométrico é obtido ao se girar o triângulo ao redor do eixo AB. Desenhar no reticulado ao lado o sólido obtido e calcular o seu volume.

A

B

8 cm

15 c

m

09) (UFMS-MS) Uma esfera e um tronco de cone de altura H têm o mesmo volume. O diâmetro da esfera é igual ao diâmetro da base circular maior do tronco de cone e igual ao dobro do diâmetro da base circular menor do tronco de cone, como na figura a seguir.

Então a relação entre H e R é:a) H = 16R / 7b) H = 10R / 7c) H = 7R / 16d) H = 16R / 10e) H = 7R / 10

2R2R

R

H

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

R

R/2

H

x

xx + H =

R/2R

Semelhança

x = H

V = V - VTR 2 12 2

V = (1/3) . p . R . 2H - (1/3) . p . (R/2) . HTR2 2

V = (2pR H/3) - (pR H/12)TR2

V = 7pR H/12TR

V = VESFERA TRONCO3 2

(4/3).p.R = 7p.R .H / 12H = 16.R / 7




V = A . HCUBO B

V = (1/3) . A . HPIRÂMIDE B

Portanto V = 3 . VCUBO PIRÂMIDE

3 3V = 3 . 9K = 27.kCUBO

3Mas V = aCUBO

3 3a = 27.k

a = 3k

5

6

g

2 2 2g = 5 + 6

2g = 25 + 36

2g = 61g = 61 cm

A - área da base do cilindroB

A - área lateral do cilindro1

A - área lateral do cone2

A - área totalT

A = A + A + AT B 1 2

2 2 2A = p . R = p . 6 = 36p cmB

2A = 2 . p . R . h = 2 . p . 6 . 12 = 144p cm1

2A = p . R . g = p . 6 . 61 = 6 . p . 61 cm2

2A = 36p + 144p + 6p 61 = 6p.(30 + 61 ) cmT

V = V - VT CILINDRO CONE

V = AB . H - (1/3) . AB . hT2 2

V = p . 6 . 12 - (1/3) . p . 6 . 5T

V = p . 36 . 12 - (1/3) . p . 36 . 5T

V = 432p - 60pT3

V = 372p cmT

V - volume do sólidoS

V - volume do cilindro1

V - volume do cone2

V = V - 2.VS 1 2

2V = p . R . h1

2V = p . 4 . 151

3V = 240p cm1

2V = (1/3) . p . R . h2 2

2V = (1/3) . p . 4 . (15/2)2

3V = 40p cm2

V = V - 2.VS 1 2

V = 240p - 2 . 40p S3

Vs = 160p cm

11) Um sólido é obtido rotacionando-se o quadrilátero ABCD abaixo ao redor do eixo AB. Determinar a área total e o volume desse sólido.



geometria espacial

118

Jeca 64

14) (UEL-PR) Uma bola esférica de 16 cm de diâ-metro está flutuando em uma piscina. A bola está com 4 cm do seu raio abaixo do nível da água. Qual é o raio da calota esférica imersa na água ?a) 2 2 cmb) 3 2 cmc) 4 3 cmd) 6 cme) 8 cm

16) (UFRG-RS) O sólido gerado por um quadrado de lado 6, que gira em torno de sua diagonal, tem volume igual a:a) 720b) 81p 2c) 36p 2d) 108p 2e) 27p 2

13) (ITA-SP) Um cilindro reto de altura 6 / 3 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro

3medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm , é igual a:a) p 3 /4b) p 3 / 6c) p 6 / 6d) p 6 / 9e) p / 3

15) (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces late-rais é um triângulo equilátero. Então, a área do qua-drado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:a) 5 / 9b) 4 / 9c) 1 / 3d) 2 / 9e) 1 / 9

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)



geometria espacial

119

Jeca 64

14) (UEL-PR) Uma bola esférica de 16 cm de diâ-metro está flutuando em uma piscina. A bola está com 4 cm do seu raio abaixo do nível da água. Qual é o raio da calota esférica imersa na água ?a) 2 2 cmb) 3 2 cmc) 4 3 cmd) 6 cme) 8 cm

16) (UFRG-RS) O sólido gerado por um quadrado de lado 6, que gira em torno de sua diagonal, tem volume igual a:a) 720b) 81p 2c) 36p 2d) 108p 2e) 27p 2

13) (ITA-SP) Um cilindro reto de altura 6 / 3 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro

3medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm , é igual a:a) p 3 /4b) p 3 / 6c) p 6 / 6d) p 6 / 9e) p / 3

15) (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces late-rais é um triângulo equilátero. Então, a área do qua-drado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a:a) 5 / 9b) 4 / 9c) 1 / 3d) 2 / 9e) 1 / 9

(GeoJeca)(GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

R

m

2m/3 m/3

60º

sen 60º = m / 3m = 3.sen 60º m = 3 3 / 2

2 2 2m = (m/3) + h

2 2 2(3 3 / 2) = (3 3 / 6) + hh = 6 cm

hR

m/3 = 3 3 / 6

m = 3 3 / 2

6 / 3

6 / 3

2 6

/ 3


2 6 / 3

6=

R

3 3 / 6

R = 3 / 3

2V = p . R . HC

2V = p .( 3 / 3) . 6 / 3C

3V = p 6 / 9 cmC

nível d’águaR = 8 d = 4

r

2 2 2R = d + r

2 2 28 = 4 + r2

r = 64 - 16 = 48r = 4 3 cm

Baricentro (razão 2 : 1)

2x

x

1/2

y

2x

x

2y

y = 1/32y = 2/3

O quadrado é um losango

A = d . D / 2A = 2y . 2y / 2

2A = 2y

2A = 2 . (1/3)A = 2 / 9

R

Rd - diagonal do quadradod = k 2d = 6 2

R = d/2R = 6 2 / 2R = 3 2

O volume do sólido gerado pela rotação do quadrado ao redor de sua diagonal é igual ao volume de dois cones de raio R e altu-ra R.

V = 2 . VS CONE2

V = 2 . (1/3) . p . R . hS2

V = 2 . (1/3) . p . (3 2 ) . 3 2S

V = 36p 2S



geometria espacial

120

VA

B

C

18) (UFC-CE) As arestas de um cubo medem 1 uni-dade de comprimento. Escolhido um vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas do cubo (como descrito na figu-ra) e tenham a mesma medida x = VA = VB = VC, com 0 < x < 1.

a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x.b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determi-ne o valor de x para que o plano determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.

VA

B

C


19) (UFMG-MG) Nesta figura, estão representadas uma pirâmide, em forma de um tetraedro regular ABCD, e sua sombra em forma de um quadrilátero ACBP:

A

B

C

D

Pa

Sabe-se que: - cada aresta da pirâmide mede 20 m; - o segmento CP está contido na mediatriz do segmento AB; - o seno do ângulo a = CPD é 2/3.

Considerando esses dados:a) calcule a altura da pirâmide.;b) calcule a área da sombra da pirâmide.

17) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a for-ma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular, como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é

3a) 9p m

3b) 18p m

3c) 27p m

3d) 36p m

3e) 45p m

20) (UFC-CE) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alterna-tiva na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde.a) 14b) 15c) 16d) 17e) 18

Jeca 65

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

(GeoJeca)

h



geometria espacial

121

VA

B

C



VA

B

C



A

B

C

D

Pa



17) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a for-ma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular, como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é

3a) 9p m

3b) 18p m

3c) 27p m

3d) 36p m

3e) 45p m

h

Jeca 65

(GeoJeca) (GeoJeca)

(GeoJeca)

3

3

3

V - volume do reservatórioR

V - volume do hemisférioH

V - volume do cilindroC

V = V + VR H C3 2

V = (1/2) . (4/3) . p . R + p . R . hR3 2

V = (1/2) . (4/3) . p . 3 + p . 3 . 3R3

V = 45p mR

A resolução destaquestão está na próxima página

A resolução destaquestão está na próxima página

20) (UFC-CE) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alterna-tiva na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde.a) 14b) 15c) 16d) 17e) 18

(GeoJeca)

5 cm

19 c

m

20 c

m

V = n . VTR ESFERAS2 3

p.5 .1 = n . (4/3) . p . R3

25p = n . (4/3) . p . 1n = 3.25/4n = 18,75 esferas

n é um nº inteiro

Portanto n = 18 esferas

VZ: volume vazioVE: volume de cada esfera

V = n . VZ E VZ



geometria espacial

122

VA

B

C



VA

B

C



A

B

C

D

Pa



Jeca 65

(GeoJeca)

(GeoJeca)

a) O tetraedro VABC é trirretangular, tem altura x e tem como base um triângulo retângulo de lado x.

V = V = (1/3) A . hABC PIRÂMIDE B

V = (1/3) .(x . x / 2) . xABC3

V = x / 6ABC

b)D - diagonal do cubo de lado kD = k 3No exercícioD = 1 3D = 3

O volume da pirâmide VABC pode ser calculado como sendo o volume de um tetraedro trirretangular ou o volume de uma pirâ-mide triangular regular de base ABC e altura h, sendo h a dis-tância entre o vértice V e o triângulo ABC.

y - medida do lado do triângulo ABC

O triângulo ABC é equilátero

A - área da base do triângulo ABCB

A = (1/2) . y . y . sen 60ºB2

A = (1/2) . (x 2 ) . 3 / 2B2

A = x 3 / 2B

V = VTETRAEDRO PIRÂMIDE3

x / 6 = (1/3) . A . hB3 2

x / 6 = (1/3) . (x 3 / 2) . hh = x 3 / 3

x

y

x

V

A B

2 2 2 2y = x + x = 2 . xy = x 2

A altura h é a diferença entre a metade da diagonal do cubo e o raio da esfera inscrita no cubo.

h = (D/2) - R = ( 3 / 2) - (1/2) = ( 3 - 1)/2

x 3 / 3 = ( 3 - 1 ) / 2x = 3 .( 3 - 1) / 2

x = (3 - 3 ) / 2

x/3 2x/3y

a)ABCD é umtetraedro regular de aresta 20 mx - altura do triângulo equilátero que forma as faces do tetraedro

sen 60º = x / 20x = 20 . sen 60ºx = 20 . 3 / 2x = 10 3 m

Determinação da altura do tetraedro2 2 2

(CD) = (EC) + (DE)2 2 2

20 = (2x/3) + h2 2

400 = (2 . 10 3 / 3) + h2

h = 400 - 400/3 = 1200/3 - 400/32

h = 800/3h = 20 6 / 3 m

b)A sombra é um triângulo de base 20 m e altura d = MP

sen a = 2/32 2

sen a + cos a = 1cos a = 5 / 3tg a = sen a / cos a = 2 5 / 5 = DE / EP = h / EP2 5 / 5 = (20 6 / 3) / EPEP = 10 30 / 3 m

MP = ME + EP = x/3 + EP = 10 3 / 3 + 10 30 / 3MP = 10 ( 3 + 30 ) / 3

A = 20 . MP / 2 = 20 . [(10 ( 3 + 30 ) / 3] / 2ABP

A = 100 3 (1 + 10 ) / 3ABP

A = 20 . x / 2 = 20 . 10 3 / 2 = 100 3ABC

A = A - A = 100 3 (1 + 10 ) / 3 - 100 3ACBP ABP ABC2

A = 100 3 ( 10 - 2) / 3 m ACBP

x

60º

20 m

E

h

M



geometria espacial

123

Respostas das aulas 06, 07, 08 e 09.

Jeca 66


2 301) 200p cm 320p cm02) a) 153 = 3 17 cm , (360 17 / 17)º

2 b) 9p cm

2 c) 9p 17 cm

3 d) 36p cm03) a) 2R e R 3

2 2 2 b) pR , 2pR e 3pR

2 c) R 3

3 d) pR 3 / 3

3 204) 24p cm , 24 cm , 6p 73 / 73

3 205) 8p cm , 12 cm06) a) 24 cm b) 12 cm

2 c) 288p cm

23 d) 576p 3 cm , 144 3 cm07) a) 4 cm b) 8 cm

2 c) 16 3 cm

3 d) (64p 3 / 3) cm , 180º08) b09) b10) d

211) 744p m12) c13) V / V = 1 E D

2 314) (84p / 5) cm (48p / 5) cm

315) (380p / 3) cm16) 8 m , 6 m17) a) 7 cm b) 14 cm

2 c) 49p cm

2 d) 147p cm e) 7 3 cm

3f) (343p 3 / 3) cm18) c19) 26 vezes

320) a) 16p cm

3 3 b) (x p / 108) cm21) 6 cm


201) a) 576p cm

3 b) 2304p cm

2 c) 95p cm 2p 95 cm

202) a) 676p cm

3 b) (8788p / 3) cm c) 5 cm

2 d) 25p cm e) 10p cm

203) a) 324p cm

3 b) 972p cm

2 c) 45p cm

3 d) 216p cm

204) a) 192p cm

3 b) (1 024p / 3) cm c) 16p cm

2 305) 144p cm 288p cm

2 306) (16p / 25) cm (32p / 375) cm

307) 144p dm

208) 324p dm

2 309) pd pd / 610) 70 304p / 3 cm3 , 576p cm11) A projeção estereográfica dos pontos que formam ohemisfério sul é um círculo com centro no polo sul e raioigual a 2.


12) 3/213) a14) e15) d16) 6,4 cm17) e18) 38,5 %

Respostas da aula 08.

01) a) 4 cm3

b) 180p cm3

c) (160p / 3) cm3

d) (380p / 3) cm3

02) a) 100p cm3

b) (800p / 27) cm3

c) (1900p / 27) cm03) (4 - 2 4 ) cm

304) a) 12p cm

3 b) (81p / 16) cm

3 c) (111p / 16) cm

2 305) 4p(13 + 5 10 ) cm , 152p cm06) b07) 19V / 2708) e

309) a) 320 cm

3 b) (1728 / 25) cm

3 c) (6272 / 25) cm10) 5 minutos11) 712) a) A / 4 b) 3A / 4 c) V / 8 d) 7v / 8

313) a) 500 cm b) 6 cm14) 3 / 915) (4 - 2 4 ) cm16) h 2 / 2

217) (325p / 9) cm



3

3

3


01) 4/3 cm02) e

2 303) 4(256 + 9p) cm 16(128 - 9p) cm04) 3 cm

305) 550p cm06) 3,33 cm07) e08) c09) a10) b

2 311) 6p(30 + 61 ) cm 372p cm

312) 160p cm13) d14) c15) d16) c17) e

318) a) x / 6 b) (3 - 3 ) / 2

219) a) (20 6 / 3) m b) (100 3 ( 10 - 2) / 3) m20) e



geometria espacial

124



Geometria EspacialComplemento

Figuras esféricas.

a a

r

d R

Zona esférica

Calota esférica

2A = 4pResfera

3V = pResfera

43

Regra de três360º ----------- Aesfera

a -------------- Afuso

A = Afuso esferaa

360

Regra de três360º ----------- Vesfera

a -------------- Vcunha

V = Vcunha esferaa

360

Área total do hemisfério

Volume do hemisfério

A = A + ATH esfera base12

V = V H esfera12

2 2 2R = r + d

R - raio da esfera.r - raio da secção plana (círculo).d - distância entre o centro da esfera e o plano de corte.

Hemisfério ("meia esfera") Secção plana de uma esfera

Fuso esférico ("casca")Esfera Cunha esférica ("gomo")

Área da calota esférica

A = 2pRhcalota calota

Calota esférica e zona esférica (outras partes da superfície esférica)

hZ

r1

R

r2

hC

r1

r2

Calota esférica

Área da zona esférica

A = 2pRhcalota zona

R - raio da esferah - altura da calota esféricaC

h - altura da zona esféricaz



geometria espacial

125

h

r

R

h

r1

R

r2

h

r

R

h2

r1

R

r2

r1

r2

h1

h1 h2

Segmento esférico de uma base. É a região do espaço resultante da intersecção entre uma esfera e um semiespaço.

Segmento esférico de duas bases. É a região do espaço resultante da intersecção entre uma esfera e o espaço compreendido entre dois planos paralelos entre si secantes à esfera.

V seg. esf. = ph6

2 2(3r + h )

V seg. esf. = ph6

2 2 2[3(r + r ) + (h - h ) ]1 2 1 2

V seg. esf. = ph6

2 2 2[3(r + r ) + (h + h ) ]1 2 1 2

R R

Setor esférico. É o sólido esférico obtido na rotação de um setor circular coplanar com o eixo da esfera ao redor desse eixo.

V setor esf. = 23

2pR h

h

R

R

h1

h2

V setor esf. = 23

2pR (h + h )1 2

h1h2

R

R V setor esf. = 23

2pR (h - h )1 2

h l

Anel esférico. É o sólido esférico obtido na rotação de um segmento circular coplanar com o eixo da esfera ao redor desse eixo.

V anel esf. = ph6

l2



geometria espacial

126


01


02


03


04


05

aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício:

Correções

33

07) d)



geometria espacial

127

>

3 3

A

3

R

R

NN

A =n.F2

m.VA =

2

Auxílio gráfico



Endereço: Rua Itapeva, 378, 1º andar, Bela VistaSão Paulo, SP, 01332-000 (ao lado da FGV)

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todo material contido nesta lista foi desenvolvida …...... conceitos fundamentais de geometria de...

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