to hop.pdf

8/18/2019 To hop.pdf

1/6

TỔ HỢ P – XÁC SUẤTCÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP, CHỈ NH HỢP

Hai quy tắc đếm

1) Quy t ắ c cộng

Nếu công việc A có thể thực hiện bằng 1 trong 2 cách khác nhau: Cách thứ nhất cho m k ếtquả và cách thứ hai cho n k ết quả. Khi đó việc thực hiện công việc cho m+n k ết quả.

2)

Quy t ắ c nhân Nếu công việc A đượ c thực hiện theo hai giai đoạn liên tiếp nhau: Giai đoạn 1 có m cách thựchiện và giai đoạn 2 có n cách thực hiện. Khi đó có m.n cách khác nhau để thực hiện toàn bộ công việc.

Các công thứ c1) Hoán vị:

Cho tậ p A gồm n phần tử. Số cách sắp xếp thứ tự n phần tử đã cho của A đượ cgọi là hoán vị của n phần tử.

Công thức: !n P n 2) Chỉ nh hợ p:

Cho tậ p A gồm n phần tử. Mỗi cách chọn ra k phần tử của A và sắp xếp theo mộtthứ tự nào đó đượ c gọi là một chỉnh hợ p chậ p k của n phần tử.

Công thức:!

( )!

k

n

n A

n k

3)

T ổ hợ p: Cho tậ p A gồm n phần tử. Mỗi cách chọn ra k phần tử của A không tính thứ tự

đượ c gọi là một tổ hợ p chậ p k của n phần tử.

Công thức: !!( )!

k

nnC

k n k

Nhị thứ c Newton

Các tính chấ t:1

1 1) )k n k k k k

n n n n na C C b C C C

Chú ý:0 1 2 ... 2n nn n n nC C C C

Điều kiện xác định của các biểu thứ c , ,k k n n n P A C

,

1

k n N

n

k n

Bài tập

0 1 1

0

... ...n n n k n k k n n

n n n n

nk n k k

n

k

a b C a C a b C a b C b

C a b

Vớ i k n k k nC a b là số hạng tổng quát thứ k + 1.


2/6

Dạng 1: Tính số lượ ng

1) Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lậ p ra bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số? 256

2) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số lấy từ tậ p 1;2;3;4;5;6 A sao cho:

a) Các chữ số đôi một khác nhau? 6! b) Các chữ số đôi một khác nhau và chữ số đầu lớn hơn 3?

360

3) Vớ i các số 0, 1, ,2, 3, 4, 5 có thể lập đượ c bao nhiêu:

a) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 144 b) Số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? 156

4) Có bao nhiêu ước nguyên dương của tích 2000.2001 160 Hướ ng d ẫ n: Số 1 21 2. ...

k

k n p p p

có 1 21 . 1 ... 1k ước nguyên dương. 5) Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Ngườ i ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn

thể dục. Trong 5 em đượ c chọn yêu cầu không có quá 1 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

21 105 6)

Một tổ bộ môn của một trườ ng có 10 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ. Có bao nhiêu cách thành lậ p

một hội đồng gồm 6 ủy viên của tổ bộ môn, trong đó số ủy viên nam ít hơn số ủy viên nữ? 96460 7) Cho đa giác lồi có 5 đỉnh

a) Có bao nhiêu đườ ng chéo? 25 5C b) Cứ 2 đườ ng chéo cắt nhau tạo thành 1 giao điểm. Tính số giao điểm của các đườ ng chéo này, biết

r ằng không có 3 đường chéo nào trong chúng đồng quy? 45C 8) Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thướ c khác nhau. Chọn ra 6 bi.

a) Số cách chọn đúng 2 bi đỏ

2 4

5 13.C C

b) Số cách chọn bi đỏ bằng bi xanh 3045

BÀI TẬP NÂNG CAO

1) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngườ i, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công

đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. 207900 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập đượ c bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó số 1 có mặt đúng 3 lần,

các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 636. .3!C

3)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đượ c bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt mà 2 chữ số 3và 5 không đứng liền nhau. 6! 2.5!

4) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lậ p một đoàn công tác gồm 3 ngườ i

cần có cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách? 90 (ĐH YHN-2000)

5) Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4

a) Có thể lập đượ c bao nhiêu chữ số hang nghìn gồm 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đó? 4! b) Tính tổng các số tìm đượ c ở câu a) (ĐH Mở HN-2000) 66660

6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ

số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 585. A


3/6

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên phải khác 0), biết r ằng chữ số 2 có mặtđúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần? (ĐHQGHCM-

2001) 11340 7) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh có bán kính giống nhau vào 1 dãy là 7 ô

tr ống.

a) Hỏi có bao nhiêu cách xế p khác nhau? 3 37 4.C A

b)

Có bao hiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xế p cạnh nhau và 3 viên bi xanh xế p cạnh nhau?(Học viện quân y – 2000) 6.3! 8) Từ 3 chữ số 2, 3 và 4 có thể tạo đượ c bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số

trên. (DH Thái Nguyên - 2000) 150 9) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000? (DH cảnh sát-2000)

4 48 82.5. 3.4. A A 10) Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng tr ắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hồng được xem như đôi

một khác nhau) ngườ i ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông.

a) Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ? 1848 b)

Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?(DH QGHCM-2000) 150

11) Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xế p thành 1 hàng dọc.

a) Có bao nhiêu cách xế p khác nhau? 10!

b) Có bao nhiêu cách xế p sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng cạnh nhau? 2800 12) Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 ngườ i sao cho có một người được 2 đồ

vật và hai ngườ i còn lại, mỗi người được 3 đồ vật? 2 38 63. .C C 13) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác 0, biết r ằng tổng của ba chữ số này là

8? 18 14) Đội thanh niên xung kích của một trườ ng trung học phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớ p

A, 4 học sinh lớ p B và 3 học sinh lớ p C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh nàythuộc không quá 2 trong 3 lớ p trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy (D-2006)

Dạng 2: Chứng minh đẳng thứ c về hệ số tổ hợ p

1) Vớ i n là số nguyên dương CMR: 0 2 4 2 1 3 2 12 2 2 2 2 2 2... ...n n

n n n n n n nC C C C C C C (DHQG-97)

2)

Viết khai triển Newton của biểu thức 16

3 1 x . Từ đó CMR16 0 15 1 14 2 16 16

16 16 16 163 3 3 ... 2C C C C (DH BKHN-98)

3) CMR 1 11

) ) ( 1)k k r r r n n n n n

n k a C C b nC r C rC

k

4) CMR 2

2 2 2.n n n

n k n k nC C C (DH Y-1998)

5) CMR2 2 2 2

2 3 4

1 1 1 1 1...

n

n

A A A A n

(Dh Thủy lợ i-2000)

6) CMR 0 0 2 2 4 4 2 2 2 1 22 2 2 2.3 .3 .3 ... .3 2 (2 1)n n n n

n n n nC C C C

7)

1

1 1

1 1 1 1( 2008)2 k k k

n n n

n Bn C C C


4/6

Dạng 3: Giải các phương trình, hệ phương trình, bất phươngtrình,…Blah blah blah

1) ! ( 1)! 1

2;3( 1)! 6

m m

m

2) 3

3 1;2 x x

P A

3) 35 3240. k n

n

n k

P A

P

11; 0 11k k

4) 1 1

1 8;36 5 2

y y y

x x xC C C

5)

4

1 2 42 2

5 152 3; 4;5

2 2 ! ( 1)!

n n nn n n

AC C A n

n n

6) 2 5 90

5; 25 2 80

y y

x x

y y

x x

A C

A C

7) 2 3

3 2

22

66

x y

y x

A C

A C

(Dự bị 1 B-2007) 4;5

Dạng 4: Tính hệ số của k x trong một khai triển

1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức15

3 1 , 0 x x x

2)

Tìm số nguyên dương n để trong khai triển 2 n

x theo lũy thừa giảm của x, hệ số của số hạngthứ 10 lớn hơn hệ số của số hạng thứ 9 và thứ 11.

3) Tính các hệ số của 2 x và 3 x trong khai triển của biểu thức (SP Quy Nhơn-98)

5 7

1 2 662;560 x x

4) Cho 100 2 100

0 1 2 1002 ... x a a x a x a x

a) Tính 97a 1293600

b) Tính 0 1 100...S a a a 1

c) Tính 1000 1 2 1004 16 ... 4 A a a a a 1002

5) Tính 2n A , biết r ằng sô hạng thứ 5 trong khai triển

3 1 n

x x

không phụ thuộc vào x. 240

6) Trong khai triển của7

103

n

a a

b b

có số hạng chứa ab. Tìm số hạng ấy. 252ab

7) Tìm số nguyên dương n thỏa hệ thức: 1 3 5 2 12 2 2 2... 2048n

n n n nC C C C .

8) Tìm hệ số của số hạng chứa 37 x trong khai triển nhị thức Newton của 74

1( )

n

P x x x

. Biết

r ằng1 2 20

2 1 2 1 2 1... 2 1

n

n n nC C C (A-2006) HD: Sử dụng Bài 1 Dạng 2. 120 9) Giả sử 20 1 21 2 ...

n n

n x a a x a x a x . Biết r ằng:

0 1 2 ... 729

na a a a


5/6

Tìm n và số lớ n nhất trong các số: 0 1 2, , ,... na a a a . (Dự bị 1 B-2004) 240

10) Cho khai triển 0 11 2 ...n n

n x a a x a x , trong đó n là số nguyên dương và

0 1

1 1... 4096

2 2 nn

a a a . Tính 5a .

11) Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức 2 1n

x bằng 1024, hãy tìm hệ số a ( a là số tự

nhiên) của số hạng

12ax

trong khai triển đó? (HVHCQG-2000) 210 12) Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Newton của 5

3

1( )

n

P x x x

. Biết

r ằng 14 3 7( 3)n n

n nC C n (A-2003) 495 .

XÁC SUẤT

Phép thử ngẫu nhiên và biến cố 1) Phép thử ngẫu nhiên T là một hành động thỏa hai điều kiện sau:

+ K ết quả của hành động này không đoán trước đượ c.+ Xác định đượ c tất cả các k ết quả có thể xảy ra.

Tậ p hợ p các k ết quả có thể xảy ra đượ c gọi là không gian mẫu. kí hiệu .2) Biến cố A liên quan đến phép thử T là một sự kiện mà việc xảy ra hay không xảy ra sự kiện

này phụ thuộc vào k ết quả của phép thử.Tậ p hợ p các k ết quả của phép thử làm cho biến cố A xảy ra đượ c gọi là không gian thuận lợ icủa biến cố A, kí hiệu là

A .

Phép toán trên các biến cố.1) Hợ p hai biến cố A và B, kí hiệu A B , là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi một trong hai

biến cố A, B xảy ra.

2) Giao của hai biến cố A và B, kí hiệu AB, là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A,B xảy ra.

3) Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu A , là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảyra.

Mối quan hệ giữ a các biến cố.1) Hai biến cố đượ c gọi là xung khắc khi cả hai không xảy ra đồng thờ i.2) Hai biến cố đượ c gọi là độc lập khi sự xảy ra hay không xảy ra của A không ảnh hưởng gì đến

việc xảy ra hay không xảy ra của B. Công thứ c tính xác suất.

Giả sử T là phép thử vớ i không gian mẫu là hữu hạn và các k ết quả của T là đồng khả năng; A là biến cố liên quan đến T. Xác suất của A đượ c tính theo công thức:

( ) A

P A

vớ i X là số phần tử của tậ p hợ p X.

Quy tắc tính xác suất.Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến 1 phép thử T và các k ết quả của T là đồng khả năng.

1) Quy t ắc công: Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì ( ) ( ) P A B P A P B .

2) Quy t ắc nhân: Nếu A và B là hai biến cố độc lậ p thì ( ) ( ). ( ) P AB P A P B .

3) Quy t ắc tr ừ : 1 ( ) P A P A Bài tập

1)

Một bình chứa 16 viên bi, vớ i 7 viên bi tr ắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ .a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để:

i) Lấy đượ c cả ba viên bi đỏ.ii) Lấy đượ c cả ba viên bi không đỏ.


6/6

iii) lấy đượ c 1 viên bi tr ắng, 1 viên bi đen, một viên bi đỏ . b) Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để: Lấy được đúng 1 bi trắng, lấy được đúng hai viên bi

tr ắng.c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất rút đượ c 5 viên bi tr ắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ.

2) Có 2 chiếc hộ p chứa bi. Hộ p thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi tr ắng, hộ p thứ 2 chứa 2 viên biđỏ và 4 viên bi tr ắng. Lầy ngẫu nhiên từ mỗi hộ p ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi đượ c lấy racó cùng màu. (ĐH B-2013)

3) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi tr ắng và 6 viên bi vàng. Ngưới ta đã chọn ra 4 viên bi từ hộp đó.Tính xác suất để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu?

4) Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để:a) Tất cả 10 tấm thẻ đều mang số chẵn.

b) Có đúng 5 tấm thẻ mang số chia hết cho 3.c) Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho

10.5) Xế p ngẫu nhiên 3 nam và 3 nữ ngồi vào 6 ghế xế p thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho:

a) Nam nữ ngồi xen k ẽ. b) Ba nam ngồi cạnh nhau.

6) Trong một chiếc hộ p kín có chứa 10 quả cầu tr ắng và 8 quả cầu đỏ hoàn toàn giống nhau về hình

dáng và kích thướ c. Sau khi tr ộn đều, ta lấy ra ngẫu nhiên 3 quả cầu cùng 1 lúc. Tính xác suất 3 quả cầu lấy ra có 2 quả cầu cùng màu. (ĐH Kỹ thuật Công nghệ-1997).7) Ba xạ thủ cùng bắn độc lậ p vào một bia, mỗi ngườ i bắn 1 viên đạn. Xác suất bắn trúng của từng xạ

thủ lần lượ t là: 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng bia.8) Chọn ngẫu nhiên 1 tờ vé số có 5 chữ số từ 6 đến 9. Tính xác suất để số trên vé không có chữ số 1

hoặc không có chữ số 5.9) Gieo 4 đồng xu cân đối. Tính xác suất để:

a) Cả 4 đồng xu đều sấ p. b) Có ít nhất 1 đồng xu sấ p.c) Có đúng 1 đồng xu sấ p.

10) Một bà mẹ mong muốn sinh bằng được con gái (sinh đượ c con gái r ồi thì không sinh nữa; chưa sinh

đượ c con gái thì bà sẽ sinh nữa). Xác suất sinh đượ c con gái trong 1 lần sinh là 0,486. Tính xác suấtcho bà mẹ đạt đượ c mong muốn ở lần sinh thứ hai? (ĐH Y-98)11) Gieo 3 con súc sắc không cân đối 1 cách độc lậ p. Biết xác suất để số chấm xuất hiện trên mỗi con là

số chẵn lần lượ t là2 3 4

; ;3 4 5

. Tính xác suất để tổng số chấm của cả 3 con là một số chẵn.

12) Một hộ p chứa 12 bóng đèn, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấyđượ c ít nhất 2 bóng tốt.

Đáp án:

1) a) i)1 143 9

; ) ; )

560 280 40

ii iii b)21 27

;

65 65

45

)

286

c

2) 10

21 3)

43

91

4) a) 0,000099 b)0,130 c) 0,1484

5) a)3!3! 3!3!

6!

; b)

4.3!

6!

6) 0,87) 0,9768) 0,85339) a) 1/16 b)0,9375 c)1/410) 0,2498

to hop.pdf

Documents