tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt (96).pdf · lớp...

Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền

nhiệt

Nghiêm Thị Thu Hà

20/11/2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC


Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến

sự truyền nhiệt

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Cơ học vật thể rắn

Người hướng dẫn: PGS. TSKH Nguyễn Đình Đức

Hà Nội - 2011

Lời cảm ơn

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS. TSKH Nguyễn

Đình Đức. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em kể từ khi em làm khóa luận tốt

nghiệp đại học (2008) liên tục cho đến khi em hoàn thành luận văn này (2011).

Em cũng vô cùng cám ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường

ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội đã tận tình dạy bảo, tạo điều kiện giúp

đỡ chúng em trong suốt những năm học qua.

Nhân đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới gia đình cùng bạn

bè đã động viên, khích lệ em những năm học qua.

Em xin chân thành cảm ơn!

Cuối cùng, em xin chúc thầy cô lời chúc sức khỏe, công tác tốt. Chúc các bạn

mạnh khỏe, thành công trong cuộc sống.

Hà Nội, tháng 11 năm 2011

Học viên


Mục lục

Lời cảm ơn 1

Lời mở đầu 4

Chương 1. Các hệ thức cơ bản 6

1.1. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Chương 2. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng 19

2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt . . . . . . 19

2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng . . . . . . . . . . 21

2.3.1. Mặt giữa không biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Chương 3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng 30

3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng . . . . . . . 30

3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Kết luận chung 43

Những kết quả nghiên cứu của luận văn đã được công bố 45

Tài liệu tham khảo 46

Phụ lục 48

Phụ lục 1: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt dừng 48

Phụ lục 2: Độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng 50

Phụ lục 3: Giải phương trình siêu việt bằng phương pháp chia đôi 54

Phụ lục 4: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt không dừng 55

Phụ lục 5: Độ uốn của tấm tại t = 1200s 58

Phụ lục 6: Độ uốn của tấm tại điểm giữa 61

3

Lời mở đầu

Vật liệu composite là vật liệu được chế tạo tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu thành

phần khác nhau, nhằm tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những vật

liệu thành phần ban đầu, khi những vật liệu này làm việc riêng rẽ. Vì vậy, nó có nhiều

tính năng ưu việt nổi trội như nhẹ, bền, đáp ứng được những đòi hỏi khắt khe của kĩ

thuật và công nghệ hiện đại.... Và nhờ những ưu điểm nổi bật đó mà chúng ngày càng

được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại như ngành chế tạo máy,

hàng không, vũ trụ, tên lửa, xây dựng, ô tô, chế tạo tàu thuyền,... và trong đời sống. Ví

dụ tấm composite được ứng dụng trong làm bảng biển, pano trong ngành quảng cáo,

trang trí nội thất, ngoại thất trong các công trình xây dựng, ốp mặt nền nhà, làm trần

nhà, mái vòm, hay ốp nội thất cho ô tô, tàu thuyền,....

Trong những năm gần đây, ứng xử của tấm dưới tác dụng của tải nhiệt được nhiều

tác giả nghiên cứu. Shariyat M. [14] đã nghiên cứu giải tích uốn nhiệt của tấm nhiều

lớp composite hình chữ nhật có tính chất của vật liệu biến đổi với nhiệt độ dưới sự

tăng nhiệt độ đều nhưng sử dụng lý thuyết tấm lớp lớn, xác định được nhiệt độ uốn,

từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tính chất hình học và cơ học của tấm

composite vào nhiệt độ uốn. Shiau, Kuo và Chen [15] đã sử dụng phương pháp phần

tử hữu hạn nghiên cứu chi tiết ứng xử uốn nhiệt của tấm composite nhiều lớp. Wu

Lanhe [10] dựa trên lý thuyết biến dạng trượt cấp một suy ra phương trình cân bằng

và ổn định của tấm dày vừa phải hình chữ nhật tựa bản lề được làm từ FGM dưới ảnh

hưởng của hai loại tải nhiệt là sự tăng nhiệt đều và gradient nhiệt thông qua bề dày

của tấm, suy ra nhiệt độ uốn, thảo luận ảnh hưởng của tỉ số hướng, sự dày tương đối

và chỉ số gradient và trượt ngang vào nhiệt độ uốn. Trong [11, 13], các tác giả trình

bày giải tích uốn nhiệt của tấm chức năng hình chữ nhật nhưng trong [11], các tác giả

nghiên cứu tấm dưới tác dụng của nhiệt riêng trong mặt phẳng và sự tăng nhiệt đều

thông qua bề dày của tấm, đánh giá ảnh hưởng của tính không đồng nhất vật liệu, tỉ

số hướng và khoảng nhiệt vào nhiệt độ uốn tới hạn, còn trong [13], với lý thuyết tấm

cổ điển suy ra các phương trình cân bằng, ổn định, tương thích của tấm FGM không

hoàn hảo dưới tác dụng của ba loại tải nhiệt như sự tăng nhiệt đều, sự tăng nhiệt phi

tuyến thông qua bề dày của tấm, và sự tăng nhiệt dọc trục, thu được các nghiệm hoàn

toàn cho sự biến đổi nhiệt độ uốn tới hạn.

Trong luận văn, tác giả nghiên cứu độ võng của tấm composite hình chữ nhật có

độn các hạt hình cầu tựa bản lề tại các cạnh khi chịu ảnh hưởng của quá trình truyền

nhiệt dừng và không dừng. Tác giả đã thu được biểu thức nghiệm giải tích uốn tấm

khi có truyền nhiệt dừng và không dừng. Trên cơ sở nghiệm giải tích tìm được, tác

giả tính toán số để nghiên cứu ứng xử uốn của tấm được làm từ vật liệu composite

nền PVC cốt hạt Titan, qua đó làm rõ vai trò các hạt. Hiện nay, Vật liệu composite

polyme độn các hạt Titan được ứng dụng rộng rãi ở Việt Nam cũng như trên thế giới.

Ở Việt Nam, composite polyme hạt Titan được ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp

đóng tàu, trong ống dẫn dầu khí, hóa chất và gần đây là các chíp sinh học cũng như

sử dụng trong các vật liệu phát quang OLED. Các hạt Titan có vai trò cải thiện đáng

kể tính năng cơ lý của vật liệu. Lưu ý là bài toán truyền nhiệt không dừng cho các ống

kỹ thuật bằng composite độn các hạt Titan đã được nghiên cứu trong [3].

Luận văn gồm:

Chương 1: Các hệ thức cơ bản.

Chương 2: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng.

Chương 3: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng.

Kết luận chung.

Mặc dù đã rất cố gắng trình bày vấn đề một cách mạch lạc và cô đọng nhưng chắc

chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả mong nhận được

sự nhận xét, đánh giá và góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn

thiện.

5

Chương 1Các hệ thức cơ bản

1.1. Phương trình truyền nhiệt

Tính truyền nhiệt trong môi trường đàn hồi đẳng hướng tuân theo định luật truyền

nhiệt Fourier [1]:

c j =−kT, j (1.1)

trong đó, c j( j = 1,2,3) là các thành phần của vectơ dòng nhiệt, k là hệ số truyền nhiệt

của môi trường, nó phải dương để bảo toàn tốc độ sản entropi dương. Quá trình nhiệt

đàn hồi là quá trình thuận nghịch, nên phương trình năng lượng có dạng:

du =1ρ

σi jdεi j +dq, (1.2)

và định luật thứ hai nhiệt động lực học có dạng

dq = T ds, (1.3)

ở đây tốc độ dòng nhiệt trên một đơn vị khối lượng môi trường bằng

dqdt

=− 1ρ

c j, j. (1.4)

Kết hợp (1.2) và (1.3), ta thu được:

du =1ρ

σi jdεi j +T ds, (1.5)

Đưa vào hàm năng lượng tự do Helmholz f (εi j,T ) xác định bởi hệ thức f = u−sT

với sự biến đổi trạng thái vô cùng nhỏ của môi trường, d f là vi phân toàn phần:

d f = du− sdT −T ds, (1.6)

Thay (1.5) vào (1.6) ta có:

d f =1ρ

σi jdεi j − sdT, (1.7)

mặt khác:

d f =∂ f∂ εi j

+∂ f∂ T

dT (1.8)

So sánh hai hệ thức của d f , suy ra

σi j = ρ∂ f∂ εi j

, s =−∂ f∂ T

Gọi F = ρ f ,S = ρs là hàm năng lượng tự do và entropi trên một đơn vị thể tích, các

hệ thức tên có thể viết dưới dạng

σi j =∂ F∂ εi j

, S =−∂ F∂ T

. (1.9)

Định luật cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính có dạng [1]:

εij =1+ν

Eσij−

νE

σkkδij +α∆T δij, (1.10)

trong đó,

∆T = T −T0 , (1.11)

với T0 là nhiệt độ tuyệt đối của tấm ở trạng thái tự nhiên.

từ đây, ta biểu thị ngược lại ứng suất qua biến dạng:

σij = λεkkδij +2µεij − (3λ +2µ)α∆T δij. (1.12)

Từ hệ thức đầu của (1.9) và (1.12) ta tính biểu thức của hàm năng lượng tự do

F =λ2(εkk)

2 +µεijεij − (3λ +2µ)α∆T εkk +F0 ,

F0 chỉ là hàm của T . Thay F vào hệ thức thứ hai của (1.9) ta tính entropi

S = (3λ +2µ)αεkk −dF0

dT. (1.13)

Đặt i = j = k trong (1.10) ta được

εkk =σkk

(3λ +2µ)+3α∆T ,

7

rồi đem thay vào (1.13), kết quả nhận được biểu thức khác của entropi

S = ασkk +3(3λ +2µ)α2∆T − dF0

dT. (1.14)

Nhờ biểu thức (1.12) và (1.13) của entropi có thể tính tỉ nhiệt Cv khi biến dạng

không đổi và tỉ nhiệt Cp khi ứng suất không đổi.

Kết hợp (1.3) và (1.4) ta được

− 1ρ

c j, j = Tdsdt

,

mặt khácdsdt

=∂ s

∂ εi j

dεi j

dt+

∂ s∂ T

dTdt

,

suy ra

−c j, j = T

(

∂ S∂ εi j

dεi j

dt+

∂ S∂ T

dTdt

)

(1.15)

từ đây suy ra khi biến dạng không đổi dεi j = 0 thì T ∂S∂ t xác định tỉ nhiệt Cv.

Vậy,

Cv = T∂ S (εi j,T )

∂ T=−T

d2F0

dT 2

và tương tự

Cp = T∂ S (σi j,T )

∂ T= 3(3λ +2µ)α2T −T

d2F0

dT 2 .

Xem rằng Cv,Cp,α cũng như λ ,µ là hằng số của vật liệu không phụ thuộc nhiệt dộ,

từ hệ thức của Cv tìm được biểu thức của F0

F0 =

T∫

T0

T∫

T0

Cv

TdTdT

Đặt kết quả này vào (1.13) ta nhận được biểu thức của entropi

S = (3λ +2µ)αεkk +CvlnTT0

. (1.16)

Dùng các biểu thức của c j theo (1.1) và của S, ta đưa phương trình (1.15) về dạng

kT, j j =Cv∂ T∂ t

+(3λ +2µ)α∂ εkk

∂ tT .

8

hay

k∇2T =Cv∂ T∂ t

+(3λ +2µ)α∂ εkk

∂ tT . (1.17)

Phương trình (1.17) được gọi là phương trình truyền nhiệt và là phương trình cơ bản

tham gia trong bài toán biên của lý thuyết đàn hồi nhiệt.

Nếu trong phương trình (1.17), ta bỏ qua số hạng ∂εkk∂ t , thì khi đó phương trình có

dạng

k∇2T =Cv∂ T∂ t

.

Phương trình trên có thể thu được nhờ điều kiện cân bằng nhiệt. Lượng nhiệt hấp

thụ trên đơn vị thể tích của vật thể trong một đơn vị thời gian là bằng Cρ ∂T∂ t trong đó

C là nhiệt dung riêng của vật liệu, ρ là mật độ khối.

Mặt khác, lượng nhiệt mất trên một đơn vị thể tích vật thể trong một đơn vị thời

gian là div c, trong đó c là vectơ dòng nhiệt.

Giả thiết nguồn nhiệt trong vật thể sinh ra nhiệt c0 trên một đơn vị thể tích và đơn

vị thời gian, và tính đến phương trình (1.1), điều kiện cân bằng nhiệt cung cấp phương

trình truyền nhiệt

div(k gradT )+ c0 =Cρ∂ T∂ t

(1.18)

Khi hệ số dẫn nhiệt k là hằng số, (1.18) dẫn tới

∇2T +c0

k=

1a1

∂ T∂ t

(1.19)

trong đó, a1 = k/(Cρ) là độ khuếch tán nhiệt. Nếu không có nguồn nhiệt (c0 = 0),

phương trình (1.19) trở thành

∇2T =1a1

∂ T∂ t

(1.20)

Nghiệm của (1.20) xác định trường nhiệt độ không dừng. Với trường nhiệt độ dừng,

phương trình (1.20) đưa về phương trình Laplace

∇2T = 0 , (1.21)

Để nghiệm của phương trình (1.19) là duy nhất, các điều kiện biên và đầu cần

được đưa vào. Các điều kiện biên thường được kết hợp với sự trao đổi nhiệt phức trên

9

bề mặt của vật thể nơi cả ba loại truyền nhiệt (dẫn nhiệt, đối lưu, bức xạ) có thể xảy

ra đồng thời.

Trong lý thuyết dẫn nhiệt ta sử dụng các điều kiện biên sau [9, 19]:

1. Nhiệt độ bề mặt xác định

T (xk,t) = f (xk,t) , (1.22)

trong đó xk là một điểm trên bề mặt của vật thể và f (xk,t) là hàm đã cho.

Ví dụ: Hình 1.1, điều kiện biên là

T (0,t) = 1500C ,

T (L,t) = 700C .

2. Dòng nhiệt qua mặt vật thể xác định

c(xk,t) =−k∂ T (xk,t)

∂ n, (1.23)

trong đó n là pháp tuyến ngoài từ bề mặt ngoài của vật thể tại điểm xk.

Ví dụ: Như hình 1.2, với tấm có bề

dày L, dòng nhiệt đều là 50K/m2 từ hai

phía của tấm, khi đó ta có

−∂ T (0,t)∂ x

= 50 , −k∂ T (L,t)

∂ x= 50

Trong trường hợp cụ thể c = 0, ta có điều kiện biên đoạn nhiệt cho vật thể mà được

cách ly trao đổi nhiệt bên ngoài

∂ T (xk,t)∂ n

= 0 , (1.24)

Ví dụ: Hình 1.3, điều kiện biên sẽ là

∂ T (0,t)∂ x

= 0 , T (L,t) = 600C

10

3. Nhiệt độ môi trường xác định ϑ và luật trao đổi nhiệt đối lưu giữa bề mặt và

môi trường xung quanh

−k∂ T (xk,t)

∂ n= β [T (xk,t)−ϑ ] (1.25)

trong đó β là hệ số truyền nhiệt bề mặt

(hay độ dẫn biên). Hệ số truyền nhiệt bề

mặt β phụ thuộc vào các đặc trưng nhiệt

dộ và vật lý của bề mặt và môi trường

xung quanh.

Ví dụ: Hình 1.4

1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị

Giả thiết Kirchhoff [1, 16]:

1. Pháp tuyến với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ trở thành pháp tuyến của mặt

giữa sau khi biến dạng (giả thiết về pháp tuyến thẳng).

2. Ứng suất pháp theo hướng trực giao với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng

suất khác, nên có thể bỏ qua.

Ta gọi bản hay tấm mỏng là một vật thể có chiều cao h nhỏ so với các kích thước

của mặt đáy. Mặt phẳng song song với mặt đáy và chia đôi bề dày h của bản gọi là mặt

11

giữa. Chọn hệ trục tọa độ như sau: trục Ox, Oy nằm trong mặt giữa, còn trục z thẳng

góc với mặt giữa.

Đối với tấm mỏng, ta có trạng thái ứng suất phẳng suy rộng nên σzz = 0 tại mọi

nơi còn σxz = σyz = 0 tại z =±h/

2 và các thành phần khác theo (1.12) ta có:

σxx = λ (εxx + εyy + εzz)+2µεxx − (3λ +2µ)α∆T

σyy = λ (εxx + εyy + εzz)+2µεyy − (3λ +2µ)α∆T

σzz = λ (εxx + εyy + εzz)+2µεzz − (3λ +2µ)α∆T

σxy = 2µεxy

Vì σzz = 0 nên ta có

λ (εxx + εyy + εzz)+2µεzz − (3λ +2µ)α∆T = 0

suy ra:

εzz =− λλ +2µ

εxx −λ

λ +2µεyy +

3λ +2µλ +2µ

α∆T

thay vào các hệ thức của σxx,σyy ta được:

σxx =4µ (λ +µ)

λ +2µεxx +

2µλλ +2µ

εyy −2µ (3λ +2µ)

λ +2µα∆T,

σyy =4µ (λ +µ)

λ +2µεyy +

2µλλ +2µ

εxx −2µ (3λ +2µ)

λ +2µα∆T,

σxy = 2µεxy.

(1.26)

12

với µ = E2(1+ν) , λ = Eν

(1+ν)(1−2ν) , (1.26) có thể viết lại như sau:

σxx =E

1−ν2 (εxx +νεyy − (1+ν)α∆T ) ,

σyy =E

1−ν2 (εyy +νεxx − (1+ν)α∆T ) ,

σxy =E

1+νεxy .

(1.27)

Theo công thức Cauchy, tính biến dạng của tấm [8, 9]:

εxx =∂ u∂ x

− z∂ 2w∂ x2 ,

εyy =∂ v∂ y

− z∂ 2w∂ y2 ,

εxy =12

(

∂ u∂ y

+∂ v∂ x

)

− z∂ 2w∂ x∂ y

.

(1.28)

trong đó, u,v,w các chuyển vị của các điểm tại mặt giữa theo trục x,y,z tương ứng.

Thay (1.28) vào (1.27), ta được liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị:

σxx =E

1−ν2

[

∂ u∂ x

+ν∂ v∂ y

− z

(

∂ 2w∂ x2 +ν

∂ 2w∂ y2

)

− (1+ν)α∆T

]

,

σyy =E

1−ν2

[

∂ v∂ y

+ν∂ u∂ x

− z

(

∂ 2w∂ y2 +ν

∂ 2w∂ x2

)

− (1+ν)α∆T

]

,

σxy =E

2(1+ν)

[

∂ u∂ y

+∂ v∂ x

−2z∂ 2w∂ x∂ y

]

.

(1.29)

1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn

Ta có

Nx =

h/2∫

−h/2

σxxdz, Ny =

h/2∫

−h/2

σyydz, Nxy =

h/2∫

−h/2

σxydz (1.30)

Thay (1.29) vào (1.30), tích phân, ta được biểu thức xác định các lực

Nx =Eh

1−ν2

(

∂ u∂ x

+ν∂ v∂ y

)

− NT

1−ν,

Ny =Eh

1−ν2

(

∂ v∂ y

+ν∂ u∂ x

)

− NT

1−ν,

Nxy =Eh

2(1+ν)

(

∂ u∂ y

+∂ v∂ x

)

.

(1.31)

13

Các lực Nx,Ny biểu thị lực dãn, còn Nxy = Nyx biểu thị lực tiếp trên một đơn vị dài.

Tương tự, thay (1.29) vào các biểu thức sau

Mx =

h/2∫

−h/2

σxxzdz, My =

h/2∫

−h/2

σyyzdz, Mxy =

h/2∫

−h/2

σxyzdz (1.32)

rồi thực hiện tích phân, ta được các biểu thức xác định mômen

Mx =−D

(

∂ 2w∂ x2 +ν

∂ 2w∂ y2

)

− MT

1−ν,

My =−D

(

∂ 2w∂ y2 +ν

∂ 2w∂ x2

)

− MT

1−ν,

Mxy =−D(1−ν)∂ 2w∂ x∂ y

.

(1.33)

trong đó,

NT = αE

h/2∫

−h/2

∆T dz , MT = αE

h/2∫

−h/2

z∆Tdz , D =Eh3

12(1−ν2). (1.34)

Các mômen Mx,My gọi là mômen uốn, còn Mxy =−Myx là mômen xoắn trên một đơn

vị dài. D gọi là độ cứng trụ khi uốn.

1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm

Ta thiết lập phương trình cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của lực cắt ngoài

q(x,y) và các lực trong [1, 7].

Tổng hình chiếu các lực lên trục x:(

Nx +∂ Nx

∂ xdx

)

dy−Nxdy+

(

Nxy +∂ Nxy

∂ ydy

)

dx−Nxydx = 0 ,

suy ra∂ Nx

∂ x+

∂ Nxy

∂ y= 0 . (1.35)

tương tự theo trục y ta có∂ Nxy

∂ x+

∂ Ny

∂ y= 0 . (1.36)

14

Phương trình các mômen theo đường nằm trong mặt phẳng bên phía trái và song song

với trục y:(

Mx +∂ Mx

∂ xdx

)

dy−Mxdy+

(

Mxy +∂ Mxy

∂ ydy

)

dx−

−Mxydx−qdxdydx2− ∂ Qy

∂ ydydx

dx2−(

Qx +∂ Qx

∂ xdx

)

dxdy = 0

Bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được

∂ Mx

∂ x+

∂ Mxy

∂ y−Qx = 0 . (1.37)

Tương tự, theo chiều song song với trục x

∂ Mxy

∂ x+

∂ My

∂ y−Qy = 0 . (1.38)

Khi chiếu các lực lên trục z ta cần chú ý đến độ võng của tấm. Xét uốn bản trong

mặt phẳng xz, hình chiếu của lực Nx lên trục z có giá trị khác không; với chú ý sin α ≈tg α = ∂w

∂x , cosα ≈ 1, thành phần lực này lên trục z bằng

−Nxdy∂ w∂ x

+

(

Nx +∂ Nx

∂ xdx

)(

∂ w∂ x

+∂ 2w∂ x2 dx

)

dy

bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao dẫn đến

Nx∂ 2w∂ x2 dxdy+

∂ Nx

∂ x∂ w∂ x

dxdy .

Lập luận tương tự, ta nhận được hình chiếu của lực Ny

Ny∂ 2w∂ y2 dxdy+

∂ Ny

∂ y∂ w∂ y

dxdy .

15

và của lực tiếp Nxy = Nyx

2Nxy∂ 2w∂ x∂ y

dxdy+

(

∂ Nxy

∂ x∂ w∂ y

+∂ Nxy

∂ y∂ w∂ x

)

dxdy .

Lực cắt trên mặt trực giao với trục x chiếu lên trục z với chú ý về góc như trên sẽ

bằng

−Qxdy+

(

Qx +∂ Qx

∂ xdx

)

dy =∂ Qx

∂ xdxdy .

Tương tự, lực cắt Qy chiếu lên trục z sẽ là

∂ Qy

∂ xdxdy

và lực cắt ngoài qdxdy . Vậy, tổng các lực chiếu lên trục z

Nx∂ 2w∂ x2 +

∂ Nx

∂ x∂ w∂ x

+Ny∂ 2w∂ y2 +

∂ Ny

∂ y∂ w∂ y

+2Nxy∂ 2w∂ x∂ y

+

+∂ Nxy

∂ x∂ w∂ y

+∂ Nxy

∂ y∂ w∂ x

+∂ Qx

∂ x+

∂ Qy

∂ y+q = 0 ,

hay

∂ Qx

∂ x+

∂ Qy

∂ y+

(

∂ Nx

∂ x+

∂ Nxy

∂ y

)

∂ w∂ x

+

(

∂ Ny

∂ y+

∂ Nxy

∂ x

)

∂ w∂ y

+

+Nx∂ 2w∂ x2 +Ny

∂ 2w∂ y2 +2Nxy

∂ 2w∂ x∂ y

+q = 0 , (1.39)

Với chú ý (1.35) và (1.36), khi đó (1.39) trở thành

∂ Qx

∂ x+

∂ Qy

∂ y+Nx

∂ 2w∂ x2 +Ny

∂ 2w∂ y2 +2Nxy

∂ 2w∂ x∂ y

+q = 0 , (1.40)

Rút Qx,Qy từ (1.37) và (1.38) và thay vào (1.40) dẫn đến phương trình sau:

∂ 2Mx

∂ x2 +∂ 2Mxy

∂ x∂ y+

∂ 2My

∂ y2 +Nx∂ 2w∂ x2 +2Nxy

∂ 2w∂ x∂ y

+Ny∂ 2w∂ y2 +q = 0 . (1.41)

Phương trình (1.41) chính là phương trình cơ bản để nghiên cứu bài toán cân bằng

bản và ổn định của tấm.

Trong trường hợp không có cắt ngoài q, phương trình (1.41) có dạng

∂ 2Mx

∂ x2 +2∂ 2Mxy

∂ x∂ y+

∂ 2My

∂ y2 +Nx∂ 2w∂ x2 +2Nxy

∂ 2w∂ x∂ y

+Ny∂ 2w∂ y2 = 0 . (1.42)

16

Thế (1.33) vào (1.42), ta được

∂ 2

∂ x2

[

−D

(

∂ 2w∂ x2 +ν

∂ 2w∂ y2

)

− MT

1−ν

]

−2D(1−ν)∂ 4w

∂ x2∂ y2+

+∂ 2

∂ y2

[

−D

(

∂ 2w∂ y2 +ν

∂ 2w∂ x2

)

− MT

1−ν

]

+Nx∂ 2w∂ x2 +2Nxy

∂ 2w∂ x∂ y

+Ny∂ 2w∂ y2 = 0 .

hay

D

(

∂ 4w∂ x4 +2

∂ 4w∂ x2∂ y2 +

∂ 4w∂ y4

)

+1

1−ν

(

∂ 2MT

∂ x2 +∂ 2MT

∂ y2

)

−

−Nx∂ 2w∂ x2 −2Nxy

∂ 2w∂ x∂ y

−Ny∂ 2w∂ y2 = 0 . (1.43)

phương trình (1.43) có thể viết lại như sau:

D∇2∇2w+1

1−ν∇2MT −Nx

∂ 2w∂ x2 −2Nxy

∂ 2w∂ x∂ y

−Ny∂ 2w∂ y2 = 0 . (1.44)

trong đó ∇2 là toán tử Laplace

∇2 =∂ 2

∂ x2 +∂ 2

∂ y2 .

1.5. Điều kiện biên

Xét một số trường hợp đơn giản về điều kiện biên thường gặp trong các bài toán

đối với tấm hình chữ nhật

1. Biên tựa bản lề: (Hình 1.8) chẳng hạn cạnh y = 0 tựa tự do, khi đó điều kiện

biên là

(w)y=0 = 0 ,

(My)y=0 = 0 .(1.45)

hay

(w)y=0 = 0 ,[

−D

(

∂ 2w∂ y2 +ν

∂ 2w∂ x2

)

− MT

1−ν

]

y=0= 0

(1.46)

17

Hệ thức (1.45) có thể viết lại như sau(

−D∂ 2w∂ y2 − MT

1−ν

)

y=0= 0 (1.47)

2. Biên bị ngàm: (Hình 1.9) ví dụ cạnh y = 0 bị ngàm, thì điều kiện biên sẽ là

(w)y=0 = 0 ,

(

∂ w∂ y

)

y=0= 0 . (1.48)

3. Biên tự do: giả sử cạnh y = 0 tự do. Theo Poisson, điều kiện biên sẽ là

(My)y=0 = 0 , (Mxy)y=0 = 0 , (Qy)y=0 = 0 . (1.49)

Nhưng theo Kirchhoff, tại cạnh đó điều

kiện biên sẽ là

(My)y=0 = 0 ,

(

Qy +∂ Mxy

∂ x

)

y=0= 0 .

(1.50)

Thay (1.33) vào (1.37) và (1.38), ta

được biểu thức xác định lực cắt như sau

Qx =−D

(

∂ 3w∂ x3 +

∂ 3w∂ x∂ y2

)

− 11−ν

∂ MT

∂ x,

(1.51)

Qy =−D

(

∂ 3w∂ y3 +

∂ 3w∂ x2∂ y

)

− 11−ν

∂ MT

∂ y.

(1.52)

Khi đó,(1.50) trở thành[

−D

(

∂ 2w∂ y2 +ν

∂ 2w∂ x2

)

− MT

1−ν

]

y=0= 0 ,

[

−D

(

∂ 3w∂ y3 +(2−ν)

∂ 3w∂ x2∂ y

)

− 11−ν

∂ MT

∂ y

]

y=0= 0 .

(1.53)

18

Chương 2Uốn tấm composite mỏng khi có truyền

nhiệt dừng

2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt

Giả thiết tấm composite có độn các hạt hình cầu có độ dài hai cạnh là a,b, chiều

dày h, tấm tựa bản lề tại các cạnh. Ta xét trường hợp tấm có sự trao đổi nhiệt đối lưu

ổn định trên bề mặt z = ±h/

2, và khi có sự khác nhau lớn về nhiệt độ giữa các mặt

z =±h/

2, thì có gradient nhiệt độ cao thông qua bề dày của tấm gây ra uốn nhiệt. Bài

toán đặt ra là hãy xác định độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng.

Để giải được bài toán đó cần xác định được môdun đàn hồi cho composite. Giả

thiết nền và hạt đều là vật liệu đàn hồi đồng nhất đẳng hướng, có tính đến tương tác

giữa nền và hạt. Khi đó, ta có [18]:

K = Km +(Kc −Km)ξ

1+(Kc −Km)

/

(

Km + 43Gm

)

,

G = Gm − 15(1−νm)(Gm −Gc)ξ

7−5νm +(8−10νm)Gc

Gm

.

(2.1)

trong đó, ξ =

N∑

i=1Vi

V là tỷ lệ thể tích các hạt độn. Gm,Gc tương ứng là môdun trượt của

pha nền và pha hạt; Km,Kc tương ứng là môdun kéo nén thể tích của pha nền, pha hạt;

νm,νc tương ứng là hệ số Poisson của pha nền và pha hạt.

Với αm,αc là hệ số dãn nở nhiệt của pha nền, pha hạt tương ứng, khi đó hệ số dãn

nở nhiệt của composite cốt hạt được xác định như công thức sau [4]:

α = αm +(αc −αm)Kc (3Km +4Gm)ξ

Km (3Kc +4Gm)+4(Kc −Km)Gmξ. (2.2)

.

2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm

Do có sự trao đổi nhiệt đối lưu trên bề mặt tấm, và gradient nhiệt theo bề dày của

tấm, nên phương trình truyền nhiệt dừng (1.21) có dạng [12]:

d2Tdz2 = 0 (2.3)

Với điều kiện biên (1.25) sẽ là

k∂ T∂ z

= β1 (T −T1) tại z =−h2,

−k∂ T∂ z

= β2 (T −T2) tại z =h2,

(2.4)

trong đó, T1,β1 tương ứng là nhiệt độ môi trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặt

z = −h/

2; T2,β2 là nhiệt độ môi trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặt z = h/

2

tương ứng; k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu, và giả thiết được xác định theo công thức

[3]

k = (1−ξ )km+ξ kc. (2.5)

Đặt :

γ1 =β1

k, γ2 =

β2

k(2.6)

Khi đó, điều kiện biên (2.4) trở thành:

∂ T∂ z

= γ1 (T −T1) tại z =−h2,

−∂ T∂ z

= γ2 (T −T2) tại z =h2,

(2.7)

Tích phân phương trình (2.3) ta được nghiệm T có dạng

T =C0 +C1z ,

trong đó, C0,C1 là các hằng số được xác định từ điều kiện biên. Thay biểu thức nghiệm

T này vào điều kiện biên (2.7), ta được hệ gồm hai phương trình hai ẩn C0,C1

(

1+ γ1h2

)

C1 − γ1C0 =−γ1T1

−(

1+ γ2h2

)

C1 − γ2C0 =−γ2T2

(2.8)

20

Giải hệ (2.8), ta được

C0 =1

γ1 + γ2 + γ1γ2h

[

T1γ1

(

1+ γ2h2

)

+T2γ2

(

1+ γ1h2

)]

,

C1 =γ1γ2 (T2−T1)

γ1 + γ2 + γ1γ2h,

(2.9)

Với C0,C1 xác định theo (2.9), thay vào biểu thức nghiệm của T , ta thu được

T =1

γ1 + γ2 + γ1γ2h

[

T1γ1

(

1+ γ2h2

)

+T2γ2

(

1+ γ1h2

)

+ γ1γ2(T2−T1)z

]

(2.10)

Khi đó, thế (2.10) vào biểu thức (1.11), dẫn tới

∆T =−T0 +1

γ1 + γ2 + γ1γ2h

[

T1γ1

(

1+ γ2h2

)

+T2γ2

(

1+ γ1h2

)]

+

+γ1γ2(T2−T1)

γ1 + γ2 + γ1γ2hz . (2.11)

2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng

2.3.1. Mặt giữa không biến dạng

Thay (1.31) vào (1.35) và (1.36), tương ứng ta được hệ sau

Eh1−ν2

(

∂ 2u∂ x2 +ν

∂ 2v∂ x∂ y

)

− 11−ν

∂ NT

∂ x+

Eh2(1+ν)

(

∂ 2u∂ y2 +

∂ 2v∂ x∂ y

)

= 0

Eh1−ν2

(

∂ 2v∂ y2 +ν

∂ 2u∂ x∂ y

)

− 11−ν

∂ NT

∂ y+

Eh2(1+ν)

(

∂ 2u∂ x∂ y

+∂ 2v∂ x2

)

= 0

hay hệ trên có thể viết lại như sau

Eh1−ν2

∂ 2u∂ x2 +

Eh2(1+ν)

∂ 2u∂ y2 +

Eh2(1−ν)

∂ 2v∂ x∂ y

− 11−ν

∂ NT

∂ x= 0

Eh1−ν2

∂ 2v∂ y2 +

Eh2(1+ν)

∂ 2v∂ x2 +

Eh2(1−ν)

∂ 2u∂ x∂ y

− 11−ν

∂ NT

∂ y= 0

(2.12)

thay biểu thức ∆T ở (2.11) vào biểu thức NT ở (1.34), tích phân ta được

NT = N1 = const (2.13)

khi đó, hệ (2.12) trở thành

11−ν2

∂ 2u∂ x2 +

12(1+ν)

∂ 2u∂ y2 +

12(1−ν)

∂ 2v∂ x∂ y

= 0

11−ν2

∂ 2v∂ y2 +

12(1+ν)

∂ 2v∂ x2 +

12(1−ν)

∂ 2u∂ x∂ y

= 0

(2.14)

21

Do tấm tựa bản lề tại các cạnh nên điều kiện biên có dạng

w = v = 0; Mx = 0, tại x = 0, x = a

w = u = 0; My = 0, tại y = 0, y = b

Nghiệm u,v thỏa mãn điều kiện biên trên có dạng

u =∞

∑m=1

∞

∑n=1

umn cosmπx

asin

nπyb

v =∞

∑m=1

∞

∑n=1

vmn sinmπx

acos

nπyb

trong đó m,n là các số tự nhiên.

Thay biểu thức nghiệm của u,v vào hệ (2.14), ta có:

∞

∑m=1

∞

∑n=1

{

umn1

1+ν

(

m2

(1−ν)a2 +n2

2b2

)

+ vmnmn

2ab(1−ν)

}

cosmπx

asin

nπyb

=0

∞

∑m=1

∞

∑n=1

{

vmn1

1+ν

(

n2

(1−ν)b2 +m2

2a2

)

+umnmn

2ab(1−ν)

}

sinmπx

acos

nπyb

= 0

Do hệ đúng với mọi x,y nên ta có

umn1

1+ν

(

11−ν

m2

a2 +12

n2

b2

)

+ vmn1

2(1−ν)mnab

= 0

vmn1

1+ν

(

11−ν

n2

b2 +12

m2

a2

)

+umn1

2(1−ν)mnab

= 0

(2.15)

hay hệ (2.15) có thể viết lại như sau

umn2b2m2 +a2n2 (1−ν)

ab(1+ν)+ vmnmn = 0

umnmn+ vmn2a2n2+b2m2 (1−ν)

ab(1+ν)= 0

(2.16)

Từ phương trình đầu của hệ (2.16) suy ra:

vmn =−umn2b2m2 +a2n2 (1−ν)

abmn(1+ν)

thay vào phương trình thứ hai của hệ đó, ta có

umn

[

mn−(

2b2m2 +a2n2 (1−ν))(

2a2n2+b2m2 (1−ν))

a2b2mn(1+ν)2

]

= 0

22

hay

umnImn = 0 , (2.17)

trong đó,

Imn = mn−(

2b2m2 +a2n2 (1−ν))(

2a2n2 +b2m2 (1−ν))

a2b2mn(1+ν)2

Biến đổi biểu thức Imn, ta được

Imn =a2b2m2n2 (1+ν)2 −

(

2b2m2 +a2n2 (1−ν))(

2a2n2 +b2m2 (1−ν))

a2b2mn(1+ν)2

=−2(1−ν)

(

a2n2+m2b2)2

a2b2mn(1+ν)2

Do: −1 6 ν 612 nên Imn < 0. Do đó, từ (2.17) suy ra: umn = 0

suy ra vmn = 0

Vậy u = 0,v = 0

Như vậy, khi nhiệt độ được truyền theo bề dày của tấm theo quy luật (2.10), (2.11)

thì nó không gây ra chuyển vị tại các điểm ở mặt giữa theo phương x,y nên không có

biến dạng nhiệt tại mặt giữa.

2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm

Mặt giữa của tấm không bị biến dạng, khi đó, (1.31) trở thành:

Nx =− NT

1−ν,

Ny =− NT

1−ν,

Nxy = 0 ,

(2.18)

Thay biểu thức NT ở (2.13) vào (2.18), ta được

Nx = Ny =− N1

1−ν= N0 ,

Nxy = 0 ,(2.19)

tương tự, thay ∆T từ (2.11) vào biểu thức của MT ở (1.34), thực hiện tích phân, ta thu

được

MT = M0 = const (2.20)

23

Thay (2.20) vào biểu thức xác định mômen (1.33), ta được

Mx =−D

(

∂ 2w∂ x2 +ν

∂ 2w∂ y2

)

− M0

1−ν,

My =−D

(

∂ 2w∂ y2 +ν

∂ 2w∂ x2

)

− M0

1−ν,

Mxy =−D(1−ν)∂ 2w∂ x∂ y

.

(2.21)

trong đó, D được xác định như trong (1.34).

Thế (2.19) và (2.21) vào (1.43), ta được phương trình xác định uốn tấm trong

trường hợp có sự truyền nhiệt dừng là

D

(

∂ 4w∂ x4 +2

∂ 4w∂ x2∂ y2 +

∂ 4w∂ y4

)

−N0

(

∂ 2w∂ x2 +

∂ 2w∂ y2

)

= 0 . (2.22)

hay

∇2(

∇2w−N0

Dw

)

=0 . (2.23)

Do tấm tựa bản lề tại các cạnh, nên điều kiện biên có dạng

w = 0, Mx =−D

(

∂ 2w∂ x2 +ν

∂ 2w∂ y2

)

− M0

1−ν= 0, tại x = 0,x = a.

w = 0, My =−D

(

∂ 2w∂ y2 +ν

∂ 2w∂ x2

)

− M0

1−ν= 0, tại y = 0,y = b.

(2.24)

Phương trình (2.23) có thể được đưa về hệ gồm hai phương trình sau:

∇2 f = 0 ,

∇2w− N0

Dw = f .

(2.25)

hay cụ thể là

(

∂ 2

∂ x2 +∂ 2

∂ y2

)

f = 0

(

∂ 2

∂ x2 +∂ 2

∂ y2

)

w− N0

Dw = f

(2.26)

Mặt khác, ta có thể xem các điều kiện biên của tựa bản lề như sau:

w = 0,∂ 2w∂ y2 = 0, tại x = 0,x = a,

w = 0,∂ 2w∂ x2 = 0, tại y = 0,y = b.

(2.27)

24

Do đó, sử dụng các điều kiện biên (2.27), ta thu được các điều kiện biên cho hàm ẩn

f :

f +M0

D(1−ν)= 0, tại x = 0,x = a

f +M0

D(1−ν)= 0, tại y = 0,y = b

Suy ra, hàm ẩn f trong phương trình đầu tiên của hệ (2.26):

f =− M0

D(1−ν),

Khi đó, phương trình thứ hai của hệ (2.26) thành:(

∂ 2

∂ x2 +∂ 2

∂ y2

)

w− N0

Dw =− M0

D(1−ν), (2.28)

đây chính là phương trình cơ bản xác định độ võng w của tấm.

Dễ dàng thấy rằng điều kiện biên w = 0 được thỏa mãn, nếu w biểu thị qua chuỗi

Fourier [1]:

w =∞

∑m=1

∞

∑n=1

wmn sinmπx

asin

nπyb

, (2.29)

trong đó, m,n là các số tự nhiên. Ta cũng biểu diễn M0 dưới dạng chuỗi Fourier:

M0 =∞

∑m=1

∞

∑n=1

amn sinmπx

asin

nπyb

, (2.30)

trong đó,

amn =

16M0

π2mn, m,n = 1,3,5, ...

0 m,n = 2,4,6, ...(2.31)

Thay (2.29) và (2.30) vào phương trình (2.28), và do phương trình đúng với mọi x,y,

và mặt giữa khi uốn phải đối xứng, các số hạng m,n chẵn tương ứng với độ võng

không đối xứng do đó chúng bằng 0, nên suy ra:

wmn =

amn

D(1−ν).

1m2π2

a2 + n2π2

b2 + N0D

m,n = 1,3,5, ...

0 m,n = 2,4,6, ...

25

Vậy, ta được nghiệm giải tích của bài toán xác định độ uốn của tấm khi có truyền

nhiệt dừng là:

w = ∑m=1,3,5,...

∑n=1,3,5,...

amn

D(1−ν).

1m2π2

a2 + n2π2

b2 + N0D

sinmπx

asin

nπyb

. (2.32)

trong đó,

amn =16M0

π2mn, D =

Eh3

12(1−ν2),

N0 =− αE1−ν

h/2∫

−h/2

∆T dz =− αE1−ν

N∗T , M0 = αE

h/2∫

−h/2

z∆T dz = αEM∗T .

(2.33)

Do tấm đang xét là tấm composite có độn các hạt hình cầu với các hằng số môdun

kéo nén thể tích K và môdun trượt G được xác định theo công thức (2.1) và hệ số dãn

nở nhiệt theo công thức (2.2), nên ta có thể biểu diễn nghiệm (2.32) theo các hằng số

K,G.

Ta có [1]

E =9KG

3K +G, ν =

3K −2G6K +2G

,

thay vào biểu thức (2.33), ta được

N0 =− 18KGα3K +4G

N∗T , M0 =

9KGα3K +G

M∗T

D =h3G(3K +G)

3(3K +4G), amn =

144KGαM∗T

π2mn(3K +G)

(2.34)

Thế (2.34) vào (2.32), ta thu được dạng khác của nghiệm xác định độ võng của tấm

w = ∑m=1,3,5,...

∑n=1,3,5,...

wmn sinmπx

asin

nπyb

. (2.35)

trong đó,

wmn =864KαM∗

T

π2mnh3 (3K +G).

1w1

, w1 =m2π2

a2 +n2π2

b2 − 54KαN∗T

h3 (3K +G)

26

2.4. Tính toán số

Với biểu thức nghiệm giải tích xác định độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng

(2.32), ta sẽ đi tính toán độ võng của tấm trong trường hợp cụ thể. Xét tấm composite

độn các hạt Titan được làm từ các vật liệu thành phần với các đặc trưng tương ứng

như sau [3, 4]:

Nền PVC: Em = 3.109(Pa),νm = 0.2,αm = 8.10−5/K,km = 0.16(W/m.K).

Hạt Titan: Ec = 100.109(Pa),νc = 0.34,αc = 4.8.10−6/K,kc = 22.1(W/m.K).

Giả sử, tấm có chiều dài a = 2.25m, chiều rộng b = 1.5m, bề dày h = 0.02m.

Môi trường xung quanh tấm là không khí, với hệ số truyền nhiệt đối lưu, nhiệt độ

môi trường ở mặt (z = −h/2 ) tương ứng là β1 = 60(W/m2.K), T1 = 3300K và ở mặt

(z = h/2) tương ứng là β2 = 40(W/m2.K), T2 = 3000K. T0 = 2930K.

Với các số liệu trên, thay vào biểu thức (2.11), sử dụng phần mềm Matlab 7.1 (xem

phụ lục 1), kết quả thu được là sự phân bố nhiệt độ trong tấm theo bề dày của tấm như

hình 2.1. Tương tự, thay vào biểu thức nghiệm giải tích (2.35), tác giả đã thu được độ

võng của tấm như hình 2.2. (Xem phụ lục 2). Chú ý biểu thức nghiệm xác định độ

võng của tấm (2.35) là một chuỗi kép vô hạn, nhưng chỉ cần vài số hạng đầu đã cho

ta kết quả tương đối chính xác, vì vậy ở đây luận văn chỉ xét với m,n = 1−3.

Hình 2.1 Đồ thị phân bố nhiệt độ theo chiều dày tấm.

27

Bảng 2.1 Độ võng của tấm tại một số điểm

aaaaaaaaaa

w

(x,y)(0, 0) (0.36, 0.24) (0.9, 0.6) (1.125, 0.75) (1.8, 1.2) (2.16, 1.44)

w|ξ=0.1 0 0.0028 0.0008 0.0019 0.0027 0.0003

w|ξ=0.15 0 -0.0003 -0.0003 -0.0011 -0.0001 -0.0001

w|ξ=0.2 0 0.00027 -0.00022 -0.0007 0.0004 -0.00001

w|ξ=0.3 0 -0.0022 0.0028 0.0048 -0.0025 -0.0002

Nhận xét: Nhìn vào hình 2.1, ta thấy sự truyền nhiệt theo bề dày của tấm từ mặt

trên (z =−h/2 ) xuống mặt dưới (z = h/

2 ) là tuyến tính và khi tỉ lệ thể tích hạt Titan

tăng (ξ tăng) thì sự chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trên và mặt dưới giảm.

Từ kết quả trên hình biểu thị độ võng của tấm dọc theo chiều dài tấm với những tỉ

lệ thể tích hạt Titan nhất định dưới ảnh hưởng của sự truyền nhiệt dừng theo bề dày

của tấm (Hình 2.2), ta thấy rằng khi trộn hạt Titan với những tỉ lệ thể tích khác nhau,

các hạt Titan đã làm ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử uốn của tấm. Khi ta trộn hạt với

tỉ lệ thể tích dưới hoặc bằng 20% (ξ ≤ 0.2) thì độ võng tại các điểm của tấm giảm và

28

giữa các điểm là đồng đều hơn khi tăng tỉ lệ thể tích hạt. Vậy, với tỉ lệ thể tích tăng

dần (≤ 20% ), các hạt Titan đã làm tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng

nhiệt của tấm. Nhưng khi tỉ lệ thể tích hạt khoảng 30% (ξ = 0.3) thì ứng xử uốn của

tấm biến đổi mạnh, độ võng tại các điểm của tấm cao và giữa các điểm có sự chênh

lệch lớn. Như vậy, khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có

vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt

của tấm.

2.5. Kết luận

Trong chương 2, luận văn đã thu được kết quả như sau:

1. Thiết lập bài toán uốn tấm khi có truyền nhiệt dừng.

2. Giải tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt dừng (2.10), từ đó chỉ ra rằng

mặt giữa của tấm không có biến dạng nhiệt, xác định được các hằng số (2.34) và xác

định được độ võng của tấm w.

3. Trên cơ sở nghiệm giải tích uốn tấm tìm được, tác giả tính toán số với các

composite cốt hạt Titan nền PVC, do đó thấy được sự ảnh hưởng của các hạt tới ứng

xử uốn của tấm. Khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có vai

trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt của

tấm.

29

Chương 3Uốn tấm composite mỏng khi có truyền

nhiệt không dừng

Xét tấm composite độn các hạt hình cầu với các hằng số đàn hồi được xác định

theo công thức (2.1)và hệ số dãn nở nhiệt theo công thức (2.2). Giả thiết tấm hình chữ

nhật có cạnh a,b, chiều dày h, tấm tựa bản lề tại các cạnh. Ta xét trường hợp có sự

trao đổi nhiệt đối lưu trên bề mặt z = ±h/

2, và có sự truyền nhiệt không dừng theo

bề dày của tấm. Bài toán đặt ra là hãy xác định uốn của tấm khi có truyền nhiệt không

dừng.

3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng

3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm

Do có truyền nhiệt không dừng và gradient thông qua bề dày của tấm nên phương

trình truyền nhiệt (1.20) là [9]:

∂ T∂ t

= a1∂ 2T∂ z2 , (3.1)

Với điều kiện đầu và các điều kiện biên:

T = Ti tại t = 0

k∂ T∂ z

= β1(T −T1) tại z =−h2

−k∂ T∂ z

= β2(T −T2) tại z =h2

(3.2)

trong đó, a1 =k

Cρ là độ khuếch tán nhiệt của vật liệu, T1,β1 tương ứng là nhiệt độ môi

trường, hệ số truyền nhiệt đối lưu tại mặtz = −h/

2; T2,β2 là nhiệt độ môi trường, hệ

số truyền nhiệt đối lưu tại mặt z = h/

2 tương ứng; k tương ứng là hệ số dẫn nhiệt và

được giả thiết xác định theo công thức (2.5), C,ρ nhiệt dung riêng, mật độ khối của

vật liệu, và giả thiết được xác định bởi các công thức sau [3]:

ρ = (1−ξ )ρm +ξ ρc , C =Cmρm (1−ξ )+Ccρcξ

ρm (1−ξ )+ρcξ.

Đặt :

τ =a1th2 , ζ =

zh, γ1 =

β1hk

, γ2 =β2hk

. (3.3)

thì phương trình (3.1) trở thành:

∂ T∂ τ

=∂ 2T∂ ζ 2 , (3.4)

với điều kiện đầu và các điều kiện biên (3.2) xác định như sau:

T = Ti tại τ = 0 ,

∂ T∂ ζ

= γ1 (T −T1) tại ζ =−12,

−∂ T∂ ζ

= γ2 (T −T2) tại ζ =12,

(3.5)

Dùng phép biến đổi Laplace:

T ∗ =∫ ∞

0Te−pτdτ ,

suy ra∞∫

0

∂ T∂ τ

e−pτdτ = pT ∗−Ti

khi đó, phương trình (3.4) và các điều kiện (3.5) tương ứng có dạng như (3.6) và (3.7):

d2T ∗

dζ 2 − p

(

T ∗− Ti

p

)

= 0 , (3.6)

dT ∗

dζ− γ1

(

T ∗− T1

p

)

= 0 tại ζ =−12,

dT ∗

dζ+ γ2

(

T ∗− T2

p

)

= 0 tại ζ =12,

(3.7)

31

Nghiệm của phương trình (3.6) có dạng:

T ∗ =Ti

p+C3ch

√pζ +C4sh

√pζ , (3.8)

trong đó, C3,C4 được xác định từ điều kiện biên (3.7).

Thay (3.8) vào điều kiện biên (3.7), ta được hệ phương trình hai ẩn C3,C4 là

−C3

(√psh

√p

2+ γ1ch

√p

2

)

+C4

(√pch

√p

2+ γ1sh

√p

2

)

=γ1 (Ti−T1)

p

C3

(√psh

√p

2+ γ2ch

√p

2

)

+C4

(√pch

√p

2+ γ2sh

√p

2

)

=−γ2 (Ti−T2)

p

Giải hệ phương trình này, ta thu được

C3 =−γ1 (Ti −T1)

(√pch

√p

2 + γ2sh√

p2

)

+ γ2 (Ti −T2)(√

pch√

p2 + γ1sh

√p

2

)

p√

p[

(p+ γ1γ2)sh√

p√p +(γ1 + γ2)ch

√p] ,

C4 =γ1 (Ti −T1)

(√psh

√p

2 + γ2ch√

p2

)

− γ2 (Ti −T2)(√

psh√

p2 + γ1ch

√p

2

)

p√

p[

(p+ γ1γ2)sh√

p√p +(γ1 + γ2)ch

√p] .

(3.9)

Thế kết quả C3,C4 từ (3.9) vào (3.8), với chú ý (3.12), ta dẫn đến

T ∗ =Ti

p+

A(p)B(p)

(3.10)

trong đó,

A(p) = γ1 (T1 −Ti)

[

ch√

p

(

12−ζ

)

+γ2√

psh√

p

(

12−ζ

)]

+

+γ2 (T2 −Ti)

[

ch√

p

(

12+ζ

)

+γ1√

psh√

p

(

12+ζ

)]

B(p) = p

[

(p+ γ1γ2)sh√

p√

p+(γ1 + γ2)ch

√p

]

(3.11)

32

Chú ý

shx =ex − e−x

2, chx =

ex + e−x

2,

shxchy =12[sh(x+ y)+ sh(x− y)] ,

chxshy =12[sh(x+ y)− sh(x− y)] ,

shxshy =12[ch(x+ y)− ch(x− y)] ,

chxchy =12[ch(x+ y)+ ch(x− y)] .

(3.12)

Ở đây, muốn đưa nghiệm T ∗ ở (3.10) về nghiệm ban đầu T , ta vận dụng định lí

sau [9]: Ta có phép biến đổi Laplace của hàm f (s) là:

f ∗(p) =∫ ∞

0f (s)e−psds ,

Khi đó, định lí phát biểu như sau: Nếu phép biến đổi f ∗(p) là tỉ lệ của các hàm siêu

việt Φ(p) và ψ(p), tức là

f ∗(p) =Φ(p)ψ(p)

,

thì hàm ban đầu là

f (s) =m

∑n=1

1(kn −1)!

limp→pn

dkn−1

d pkn−1

[

f ∗ (p)(p− pn)kn eps

]

(3.13)

trong đó, pn là nghiệm của ψ(p). Nếu ψ(p) chỉ có các nghiệm đơn pn (n = 1,2, ...),

thì công thức (3.13) có thể đưa về dạng

f (s) =m

∑n=1

Φ(pn)

ψ ′(pn)

epns , (3.14)

trong đó

ψ′(pn) =

∂ ψ(pn)

∂ p.

Giải phương trình B(p) = 0 tức là

p

[

(p+ γ1γ2)sh√

p√

p+(γ1 + γ2)ch

√p

]

= 0

phương trình trên có nghiệm p1 = 0 và pn+1 = −µ2n (n = 1,2, ...) trong đó, pn+1 là

nghiệm của phương trình

(p+ γ1γ2)sh√

p√

p+(γ1 + γ2)ch

√p = 0

33

khi đó, µn = i√

pn+1 được xác định bởi phương trình sau

tgµ =γ1 + γ2

µ2 − γ1γ2µ . (3.15)

với chú ý

sh(iµ) = isin µ , ch(iµ) = cos µ

Áp dụng định lí trên, ta có nghiệm T ban đầu có dạng

T = Ti + limp→0

dd p

[

A(p)B(p)

p2epτ]

+∞

∑n=1

A(

−µ2n

)

B′(−µ2

n )epn+1τ

Thực hiện tính toán, ta được

limp→0

dd p

[

A(p)B(p)

p2epτ]

=A(0)

B′(0)

.

trong đó

A(0) = γ1(T1−Ti)

[

1+ γ2

(

12−ζ

)]

+ γ2(T2−Ti)

[

1+ γ1

(

12+ζ

)]

,

B′(0) = γ1 + γ2 + γ1γ2 ,

(3.16)

Từ biểu thức B(p) trong (3.11) thực hiện đạo hàm theo p, ta có

B′(p) = (p+ γ1γ2)

sh√

p√

p+(γ1 + γ2)ch

√p+

+1

2√

p{[(1+ γ1 + γ2) p− γ1γ2]sh

√p+

√p(p+ γ1γ2)ch

√p}

khi đó, với pn+1 =−µ2n và chú ý sh(iµn) =−sin µn,ch(iµn) = cos µn, suy ra

B′(−µ2

n) =− 12µn

{[

(1+ γ1 + γ2)µ2n + γ1γ2

]

sin µn +(

µ2n − γ1γ2

)

µn cos µn}

.

tương tự, thế pn+1 =−µ2n vào biểu thức A(p) ở (3.11) suy ra

A(−µ2n) = γ1(T1−Ti)

[

cos µn

(

12−ζ

)

+γ2

µnsin µn

(

12−ζ

)]

+

+ γ2(T2−Ti)

[

cos µn

(

12+ζ

)

+γ1

µnsin µn

(

12+ζ

)]

,

(3.17)

34

Kết quả thu được nghiệm T như sau

T = Ti+A(0)

B′(0)

+∞

∑n=1

A(−µ2n)

B′(−µ2

n)e−µ2

n τ , (3.18)

trong đó,

A(0) = γ1(T1 −Ti)

[

1+ γ2

(

12−ζ

)]

+ γ2(T2−Ti)

[

1+ γ1

(

12+ζ

)]

,

B′(0) = γ1 + γ2 + γ1γ2 ,

A(−µ2n) = γ1(T1 −Ti)

[

cos µn

(

12−ζ

)

+γ2

µnsin µn

(

12−ζ

)]

+ (3.19)

+ γ2(T2−Ti)

[

cos µn

(

12+ζ

)

+γ1

µnsin µn

(

12+ζ

)]

,

B′(−µ2

n) =− 12µn

{[

(1+ γ1 + γ2)µ2n + γ1γ2

]

sin µn +(

µ2n − γ1γ2

)

µn cos µn}

.

Lấy T0 = Ti, khi đó, thay (3.18) vào biểu thức (1.11) ta được

∆T∗ =A(0)

B′(0)

+∞

∑n=1

A(−µ2n)

B′(−µ2

n )e−µ2

n τ . (3.20)

trong đó, A(0),B′(0),A(−µ2

n),B′(−µ2

n ) xác định như (3.19).

Thay biểu thức của τ và ζ từ (3.3) vào (3.20), khi đó ta thu được biểu thức ∆T∗

biểu diễn thông qua z,t như sau

∆T∗ =A1(0)

B′(0)

+∞

∑n=1

A1(−µ2n)

B′(−µ2

n)e−ηµ2

n t , (3.21)

trong đó, η = a1h2

A1(0) = γ1(T1−Ti)

[

1+ γ2

(

12− z

2

)]

+ γ2(T2−Ti)

[

1+ γ1

(

12+

z2

)]

,

B′(0) = γ1 + γ2 + γ1γ2 ,

A1(−µ2n) = γ1(T1−Ti)

[

cos µn

(

12− z

2

)

+γ2

µnsin µn

(

12− z

2

)]

+ (3.22)

+ γ2(T2−Ti)

[

cos µn

(

12+

z2

)

+γ1

µnsin µn

(

12+

z2

)]

,

B′(−µ2

n) =− 12µn

{[

(1+ γ1 + γ2)µ2n + γ1γ2

]

sin µn +(

µ2n − γ1γ2

)

µn cos µn}

.

35

3.1.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm

Với biểu thức xây dựng được ∆T∗ theo (3.21), tương tự như phần 2.2 chương 2, ta

cũng chỉ ra được rằng đối với tấm mỏng mà nhiệt độ chỉ truyền theo bề dày của tấm

thì không gây ra biến dạng mặt giữa. Khi đó, thực hiện cách làm tương tự theo phần

2.3 chương 2, ta cũng thu được biểu thức nghiệm giải tích xác định uốn của tấm khi

có truyền nhiệt không dừng

w = ∑m=1,3,5,...

∑n=1,3,5,...

wmn sinmπx

asin

nπyb

. (3.23)

trong đó,

wmn =864KαMt

T

π2mnh3 (3K +G).

1w1

, w1 =m2π2

a2 +n2π2

b2 − 54KαNtT

h3 (3K +G)

NtT =

h/2∫

−h/2

∆T∗dz , MtT =

h/2∫

−h/2

z∆T∗dz

3.2. Tính toán số

Để nghiên cứu cho trường hợp cụ thể, ta xét tấm composite độn các hạt Titan được

làm từ các vật liệu thành phần với các đặc trưng tương ứng như sau [3, 4]:

Nền PVC: Em = 3.109(Pa),νm = 0.2,αm = 8.10−5/K,km = 0.16(W/m.K),

Cm = 900(J/kg.K),ρm = 1380(kg/m3).

Hạt Titan: Ec = 100.109(Pa),νc = 0.34,αc = 4.8.10−6/K,kc = 22.1(W/m.K),

Cc = 523(J/kg.K),ρc = 4500(kg/m3).

Giả sử, tấm có chiều dài a = 2.25m, chiều rộng b = 1.5m, bề dày h = 0.02m.

Môi trường xung quanh tấm là không khí, với hệ số truyền nhiệt đối lưu, nhiệt độ

môi trường ở mặt (z = −h/2) tương ứng là β1 = 60(W/m2.K), T1 = 3300K và ở mặt

(z = h/2) tương ứng là β2 = 40(W/m2.K), T2 = 3000K. T0 = 2930K.

Sử dụng phần mềm Matlab 7.1, lập trình ta giải phương trình siêu việt (3.15) ứng

với mỗi giá trị cụ thể của tỉ lệ thể tích hạt độn ξ (ξ = 0.1,ξ = 0.15,ξ = 0.2,

ξ = 0.3 ), ta tìm được nghiệm µn (n = 1,2, ...) tương ứng (xem phụ lục 3).

36

Sau khi tìm được nghiệm µn ứng với mỗi giá trị cụ thể ξ đó, thay vào biểu thức

∆T∗ theo (3.21), tiếp tục ứng dụng phần mềm Matlab (xem phụ lục 4), ta thu được sự

phân bố nhiệt độ trong tấm theo bề dày tại những thời gian cố định xem hình 3.1-3.4.

Khi đã xác định được sự phân bố nhiệt độ trong tấm, nhờ biểu thức xác định độ

võng của tấm (3.23), áp dụng tính toán (xem phụ lục 5, 6), tác giả thu được độ võng

của tấm composite cốt hạt Titan tại thời gian cố định, và sự biến đổi độ võng của tấm

theo thời gian với những tỉ lệ trộn hạt Titan nhất định xem hình 3.5, 3.6. Tương tự như

phần 2.4, ở đây luận văn chỉ xét với m,n = 1−3 vì chỉ cần vài số hạng đầu của biểu

thức nghiệm đã cho ta kết quả tương đối chính xác.

Hình 3.1 Sự phân bố nhiệt độ theo bề dày tấm với ξ = 0.1

37



38


Nhận xét: Nhìn vào đồ thị biểu diễn sự phần bố nhiệt độ trong tấm (Hình 3.1-3.4)

với những tỉ lệ thể tích hạt Titan nhất định, ta thấy khi thời gian nhỏ sự truyền nhiệt

trong tấm theo bề dày từ mặt trên xuống mặt dưới là phi tuyến, nhưng khi thời gian đủ

lớn sự truyền nhiệt là tuyến tính. Và khi tăng tỉ lệ thể tích hạt Titan (ξ tăng) sự chênh

lệch nhiệt độ giữa lớp trên và lớp dưới giảm.

Bảng 3.1 Độ võng của tấm tại một số điểm với t=1200s

aaaaaaaaaa

w

(x,y)(0, 0) (0.36, 0.24) (0.9, 0.6) (1.125, 0.75) (1.8, 1.2) (2.16, 1.44)

w|ξ=0.1 0 0.0028 0.0008 0.0019 0.0027 0.0003

w|ξ=0.15 0 -0.0003 -0.0003 -0.0011 -0.0001 -0.0001

w|ξ=0.2 0 0.00035 -0.00027 -0.00078 0.00048 -0.00002

w|ξ=0.3 0 -0.0008 0.0012 0.0019 -0.0009 -0.0001

39

Từ kết quả trên hình biểu thị độ võng của tấm dọc theo chiều dài tấm với những tỉ

lệ thể tích hạt Titan nhất định dưới ảnh hưởng của sự truyền nhiệt không dừng theo

bề dày của tấm (Hình 3.5), ta thấy rằng khi trộn hạt Titan với những tỉ lệ thể tích khác

nhau, các hạt Titan đã làm ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử uốn của tấm. Khi ta trộn

hạt với tỉ lệ thể tích 10% (ξ = 0.1), thì độ võng của tấm có giá trị dương và độ võng

40

tại các điểm có sự chênh lệch đáng kể. Nhưng khi ta trộn hạt với tỉ lệ thể tích từ hơn

10% đến 20% (0.1 < ξ ≤ 0.2 ) thì độ võng tại các điểm của tấm giảm (về giá trị tuyệt

đối) và giữa các điểm là đồng đều hơn khi tăng tỉ lệ thể tích hạt. Còn khi thể tích hạt

chiếm khoảng 30% thì độ võng của tấm lại tăng cao và giữa các điểm có sự chênh

lệch lớn. Vậy, với tỉ lệ thể tích tăng dần (10% < ξ ≤ 20%), các hạt Titan đã làm tăng

khả năng chống uốn, chống dạn nứt và kháng nhiệt của tấm. Nhìn vào hình 3.6 ta thấy

rằng khi tại những thời điểm đầu (khi thời gian còn ngắn)độ võng của tấm biến đổi

liên tục theo thời gian nhưng đến một thời gian nhất định thì độ võng của tấm hầu như

không biến đổi. Như vậy, khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan

sẽ có vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt, kháng

nhiệt và bền với thời gian của tấm .

Nhận xét chung cho quá trình truyền nhiệt dừng và truyền nhiệt không dừng:

Nhìn vào sự phân bố nhiệt độ trong tấm ở trong trường hợp không dừng khi thời gian

đủ lớn (khi ξ = 0.1,ξ = 0.15 thì t cỡ khoảng 120s, còn với ξ = 0.2,ξ = 0.3 thì t

khoảng 1200s) so với trường hợp dừng thì rất gần nhau, khi đó độ võng của tấm ở cả

hai trường hợp truyền nhiệt dừng và không dừng là gần như nhau và trong trường hợp

ứng với tỉ lệ hạt ξ = 0.1,ξ = 0.15 và với t = 1200s thì là giống nhau.

3.3. Kết luận

Ở chương này kết quả đạt được như sau:

1. Thiết lập bài toán biên uốn tấm khi có truyền nhiệt không dừng.

2. Giải tìm được nghiệm phương trình truyền nhiệt không dừng (3.18), từ đó chỉ ra

rằng mặt giữa của tấm không có biến dạng nhiệt và xác định được độ võng của tấm w.

3. Trên cơ sở nghiệm giải tích uốn tấm tìm được, tác giả tính toán số với các

composite cốt hạt Titan nền PVC, do đó thấy được sự ảnh hưởng của các hạt tới ứng

xử uốn của tấm. Khi được trộn với một tỉ lệ thể tích hạt hợp lí, các hạt Titan sẽ có

vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng chống uốn, chống dạn nứt, kháng nhiệt và

bền với thời gian của tấm .

41

4. So sánh được độ uốn của tấm composite PVC - hạt Titan trong cả hai trường

hợp khi tấm chịu tác dụng của quá trình truyền nhiệt dừng và không dừng đã khảo sát,

ta thấy với thời gian đủ lớn thì độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt không dừng là gần

giống với độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng

42

Kết luận chung

Sau một thời gian nghiên cứu luận văn đã thu được những kết quả sau:

1. Thiết lập bài toán uốn tấm composite cốt hạt tựa bản lề tại các cạnh khi có sự

truyền nhiệt dừng và không dừng.

2. Giải phương trình truyền nhiệt dừng và không dừng trên cở sở điều kiện biên

đối lưu nhiệt ở hai bề mặt tấm, tìm ra biểu thức phân bố nhiệt độ trong tấm theo chiều

dày tấm.

3. Chỉ ra được với sự truyền nhiệt theo bề dày của tấm, thì sự truyền nhiệt ấy không

gây ra chuyển vị mặt giữa của tấm nên không gây ra biến dạng mặt giữa.

4. Từ biểu thức phân bố nhiệt độ trong tấm, áp dụng vào giải bài toán cho tấm

composite mỏng có độn các hạt với các cạnh tựa bản lề dưới ảnh hưởng của quá trình

truyền nhiệt dừng, quá trình truyền nhiệt không dừng, từ đó tìm được biểu thức nghiệm

giải tích độ võng của tấm dưới dạng chuỗi lượng giác kép, phụ thuộc vào các tham số

hình học của tấm, tính chất và tỷ lệ độn của các vật liệu thành phần, và tham số của

quá trình truyền nhiệt.

5. Trên cơ sở của biểu thức nghiệm vừa tìm được, ứng dụng tính toán độ võng của

tấm composite được làm từ vật liệu nền PVC có cốt hạt Titan trong cả hai bài toán có

truyền nhiệt dừng và không có truyền nhiệt dừng. Kết quả thu được đã khẳng định với

một tỉ lệ thể tích hợp lí các hạt sẽ đóng vai trò quan trọng làm tăng khả năng chống

uốn, chống dạn nứt cùng với khả năng kháng nhiệt của tấm, và bền với thời gian của

tấm.

6. So sánh độ uốn của tấm composite PVC - hạt Titan đã khảo sát chịu ảnh hưởng

của quá trình truyền nhiệt dừng và quá trình truyền nhiệt không dừng ta thấy với thời

gian đủ lớn thì độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt không dừng là gần giống với độ

uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng.

Hướng phát triển của luận văn: Trên cơ sở những kiến thức đã củng cố được trong

quá trình học tập và làm luận văn, cũng như các kết quả luận văn đã đạt được, tác giả

sẽ tiếp tục phát triển và hướng tới nghiên cứu

1. Tấm và vỏ composite dị hướng (cốt hạt, sợi, nhiều lớp) chịu tác động của các tải

trọng ngoài phức tạp

2. Tấm và vỏ composite dị hướng chịu ảnh hưởng của quá trình truyền nhiệt dừng

và không dừng.

3. Tấm và vỏ composite chức năng (có cơ tính biến đổi) FGM chịu tác động của

quá trình truyền nhiệt dừng, truyền nhiệt không dừng

44

Những kết quả nghiên cứu của luận vănđã được công bố

1. Nguyen Dinh Duc, Nghiem Thi Thu Ha, The bending analysis of thin composite

plate under steady temperature field, Journal of Science (Mathematics – Physics) of

Vietnam National University, vol. 27, N2, pp 77-83, 2011.

2. Nguyen Dinh Duc, Nghiem Thi Thu Ha, Determining the deflection of thin com-

posite plates under unsteady temperature field, ( Submitted to International Journal

of Non-linear Mechanics, 2011)

Tài liệu tham khảo

[1] Đào Huy Bích (2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích (2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB

Đại học Quốc gia Hà Nội.

[3] Nguyen Dinh Duc, Nguyen Thi Thuy (2010), "The composite cylinder under

unsteady, axisymmetric, plane temperature field", Journal of Science (Mathe-

matics – Physics) of Vietnam National University, vol. 26, pp. 83-92.

[4] Nguyen Dinh Duc, Hoang Van Tung, Do Thanh Hang (2007), "An alternative

method determining the coefficient of thermal expansion of composite material

of spherical particles", Vietnam Journal of Mechanic, VAST, Vol. 29, No.1, pp.

58-64.

[5] Nguyễn Hoa Thịnh, Nguyễn Đình Đức (2002), Vật liệu composite - cơ học và

công nghệ, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.

[6] Trần Ích Thịnh (1994), Vật liệu composite - cơ học và tính toán kết cấu, NXB

Giáo dục, Hà Nội.

[7] Brush D. O., Almorth B. O. (1975), Bukling of Bars, Plates and Shells, Mc

Graw-Hill, New York.

[8] Christensen R. M. (1979), Mechanics of Composite Materials, John Wiley and

Sons Inc, New York.

[9] Kovalenco A. D. (1970), The foundation of thermeoelastic, Kiev, Naukova

Dumka.

[10] Wu Lanhe (2004), "Thermal buckling of a simply supported moderately thick

rectangular FGM plate", Composite Structures, vol. 64, pp. 211-218.

[11] Morimoto T., Tanigawa Y., Kawamura R. (2006), "Thermal buckling of func-

tionally graded rectangular plates subjected to partial heating", International

Journal of Mechanical Sciences, vol. 48,pp. 926-937.

[12] Naotake Noda, Richard B. Hetnarski, Yoshinobu Tanigawa (2003), Thermal

stresses-2nd, Taylor and Francis, New York.

[13] Samsam Shariat B. A., Eslami M. R. (2006), "Thermal buckling of imperfect

functionally graded plates", International Journal of Solids and Structures, vol.

43, pp. 4082-4096.

[14] Shariyat M. (2007), "Thermal buckling analysis of rectangular composite plates

with temperature dependent properties based on a layerwise theory", Thin-

Walled Structures, vol. 45, pp.439-452.

[15] Shiau L. C., Kuo S. Y., Chen C. Y. (2010), "Thermal buckling behavior of com-

posite laminated plates", Composite Structures, vol. 92, pp. 508-514.

[16] Timoshenko. T, Krieger. S (1959), Theory of Plates and Shells, Mc Graw-Hill

Book Company, N.Y.

[17] Vanin G. A. (1985), Micro - Mechanics of Composite Materials, Kiev, Naukova

Dumka.

[18] Vanin G. A., Nguyen Dinh Duc (1996), "The theory of spherofibrous composite.

1:The input relations, hypothesis and models", Mechanics of composite materi-

als, vol. 32, pp. 291-305.

[19] Yunus A. Cengel (1998), Heat transfer: A Practical Approach, WBC McGraw-

Hill.

47

Phụ lục

Phụ lục 1: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt dừng

clear all

Em = 3e9; poism = 0.2;anpham = 8e−5;km = 0.16;%nen

Ec = 100e9; poisc = 0.34;anphac = 4.8e−6;kc = 22.1;%hat

Km = Em/(3∗ (1−2∗ poism));Gm = Em/(2∗ (1+ poism));

Kc = Ec/(3∗ (1−2∗ poisc));Gc = Ec/(2∗ (1+ poisc));

xi = 0.1;

k = (1− xi)∗ km+ xi∗ kc;

beta1 = 60;beta2 = 40;

gama1 = beta1/k;gama2 = beta2/k;

syms x y z;

T 1 = 330;T 2 = 300;T 0 = 293;

T =−T 0+(T1∗gama1∗ (1+gama2∗0.01)+

T 2∗gama2∗ (1+gama1∗0.01)+

gama1∗gama2∗ (T2−T 1)∗ z)/

(gama1+gama2+gama1∗gama2∗0.02);

d = [−0.01 : 0.001 : 0.01];

f or i = 1 : length(d)

T 01(i) = subs(T,z,d(i));

end

xi = 0.15;

k = (1− xi)∗ k1+ xi∗ k2;ro = (1− xi)∗ ro1+ xi∗ ro2;

beta1 = 60;beta2 = 40;


syms x y z;

T 1 = 330;T2 = 300;T 0 = 293;

T =−T 0+(T 1∗gama1∗ (1+gama2∗0.01)+

T 2∗gama2∗ (1+gama1∗0.01)+



d = [−0.01 : 0.001 : 0.01];


T 015(i) = subs(T,z,d(i));

end

(tương tự với ξ = 0.2, ξ = 0.3)

plot(d,T 01,′ k−′)

hold on

plot(d,T 015,′ k−−′)

plot(d,T 02,′ k− .′)

plot(d,T 03,′ k.′)

49

Phụ lục 2: Độ uốn của tấm khi có truyền nhiệt dừng

clear all

Em = 3e9; poism = 0.2;anpham = 8e−5;km = 0.16;

Ec = 100e9; poisc = 0.34;anphac = 4.8e−6;kc = 22.1;



xi = 0.1;

k = (1− xi)∗ km+ xi∗ kc;

beta1 = 60;beta2 = 40;


syms x y z;

T 1 = 330;T 2 = 300;T 0 = 293;

T =−T 0+(T 1∗gama1∗ (1+gama2∗0.01)+

T 2∗gama2∗ (1+gama1∗0.01)+



T momen = T ∗ z;

NT = int(T,−0.01,0.01);

MT = int(T momen,−0.01,0.01);

K = Km+(Kc−Km)∗ xi/(1+(Kc−Km)/(Km+4∗Gm/3));

G = Gm−15∗ (1− poism)∗ (Gm−Gc)∗ xi/

(7−5∗ poism+(8−10∗ poism)∗Gc/Gm);

50

anpha = anpham+(anphac−anpham)∗Kc∗ (3∗Km+4∗Gm)∗ xi/

(Km∗ (3∗Kc+4∗Gm)+4∗ (Kc−Km)∗Gm∗ xi);

S1 = 0;

f or m = 1 : 2 : 3

S = 0;

f or n = 1 : 2 : 3

w(m,n) = 864∗K ∗anpha∗MT/(pi2 ∗m∗n∗0.023 ∗ (3∗K+G))/

(m2 ∗ pi2/2.252+n2 ∗ pi2/1.52 −54∗K ∗anpha∗NT/

(0.023 ∗ (3∗K +G)));

w1(m,n) = w(m,n)∗ sin(pi∗m∗ x/2.25)∗ sin(pi∗n∗ y/1.5);

S = S+w1(m,n);

end

S1 = S1+S;

end

a = [0 : 0.045 : 2.25];

b = [0 : 0.03 : 1.5];

f or i = 1 : length(a)

wx01(i) = subs(S1,x,a(i));

wy01(i) = subs(wx01(i),y,b(i));

end

wy01

51

xi = 0.15;

k = (1− xi)∗ km+ xi∗ kc;

beta1 = 60;beta2 = 40;


syms x y z;

T 1 = 330;T 2 = 300;T 0 = 293;

T =−T 0+(T 1∗gama1∗ (1+gama2∗0.01)+

T 2∗gama2∗ (1+gama1∗0.01)+

+gama1∗gama2∗ (T2−T 1)∗ z)

/(gama1+gama2+gama1∗gama2∗0.02);

T momen = T ∗ z;

NT = int(T,−0.01,0.01);

MT = int(T momen,−0.01,0.01);





(Km∗ (3∗Kc+4∗Gm)+4∗ (Kc−Km)∗Gm∗ xi);

S1 = 0;

f or m = 1 : 2 : 3

S = 0;

52

f or n = 1 : 2 : 3

w(m,n) = 864∗K ∗anpha∗MT/(pi2 ∗m∗n∗0.023 ∗ (3∗K +G))/

(m2 ∗ pi2/2.252+n2 ∗ pi2/1.52 −54∗K ∗anpha∗NT/

(0.023 ∗ (3∗K +G)));


S = S+w1(m,n);

end

S1 = S1+S;

end

a = [0 : 0.045 : 2.25];

b = [0 : 0.03 : 1.5];



wy015(i) = subs(wx015(i),y,b(i));

end

wy015

(tương tự với ξ = 0.2,ξ = 0.3)

plot(a,wy01,′ k−′)

hold on

plot(a,wy015,′ k−−′)

plot(a,wy02,′ k− .′)

plot(a,wy03,′ k.′)

53

Phụ lục 3: Giải phương trình siêu việt bằng phương pháp chia đôi

f unction v = nghiemppchiadoi( f ,x0,eps)

j = 1;

f or i = 1 : (length(x0)−1)

a = x0(i);b = x0(i+1); f a = subs( f ,a); f b = subs( f ,b);

i f f a∗ f b < 0

while (b−a)> eps

x = (b+a)/2;

f x = subs( f ,x); f a = subs( f ,a);

i f f x∗ f a > 0

a = x;

else

b = x;

end

end

x1 = (a+b)/2; f x1 = subs( f ,x1);

i f abs( f x1)< eps

v( j) = x1;

j = j+1;

end

end

end

54

Phụ lục 4: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt không dừng

clear all

Em = 3e9; poism = 0.2;anpham = 8e−5;km = 0.16;Cm = 900;rom = 1380;

Ec = 100e9; poisc = 0.34;anphac = 4.8e−6;kc = 22.1;Cc = 523;roc = 4500;



xi = 0.1;

k = (1− xi)∗ km+ xi∗ kc;ro = (1− xi)∗ rom+ xi∗ roc;

C = (Cm∗ rom∗ (1− xi)+Cc∗ roc∗ xi)/(rom∗ (1− xi)+ roc∗ xi);

beta1 = 60;beta2 = 40;

gama1 = beta1∗0.02/k;gama2 = beta2∗0.02/k;

syms t u z

x0 = [0 : 0.01 : 25];

f = tan(u)− (gama1+gama2)∗u/(u2−gama1∗gama2);

muy = nghiemppchiadoi( f ,x0,0.00001)

muy =

3.3907 6.4154 9.5140 12.6336 15.7619 18.8945 22.0297

T1 = 330;T 2 = 300;T0 = 293;

A0 = gama1∗ (T1−T 0)∗ (1+gama2∗ (1/2− z/0.02))+

gama2∗ (T2−T 0)∗ (1+gama1∗ (1/2+ z/0.02));

B0 = gama1+gama2+gama1∗gama2;

asao = k/(C ∗ ro∗0.022);

Tmuy = 0;

55

f or i = 1 : length(muy)

Amuy =−2∗gama1∗ (T1−T 0)∗ (muy(i)∗ cos(muy(i)∗ (1/2− z/0.02))+

gama2∗ sin(muy(i)∗ (1/2− z/0.02)))−

2∗gama2 ∗ (T 2−T 0)∗ (muy(i)∗ cos(muy(i)∗ (1/2+ z/0.02))+

gama1 ∗ sin(muy(i)∗ (1/2+ z/0.02)));

Bmuy = ((1+gama1+gama2)∗muy(i)2+gama1∗gama2)∗ sin(muy(i))+

(muy(i)2−gama1∗gama2)∗muy(i)∗ cos(muy(i));

deltaT muy = Amuy∗ exp(−muy(i)2 ∗asao∗ t)/Bmuy;

T muy = Tmuy+deltaT muy;

end

deltaT = A0/B0+T muy;

deltaT 0 = subs(deltaT,t,0);

d = [−0.01 : 0.001 : 0.01];


deltaT 0z(i) = subs(deltaT0,z,d(i));

end

plot(deltaT 0z,d,′b−′,′ linewidth′,1.2)




end

hold on

plot(deltaT 10z,d,′ r−−′,′ linewidth′,1.2)

56




end

plot(deltaT 60z,d,′ g− .′,′ linewidth′,1.2)




end

plot(deltaT 120z,d,′ k.′,′ linewidth′,1.2)




end

plot(deltaT 600z,d,′ k∗′,′ linewidth′,1.2)


plot(deltaT 1200z,d,′ k−′,′ linewidth′,1.2);

(tương tự với ξ = 0.15, ξ = 0.2, ξ = 0.3)

%ξ = 0.15

muy = 3.3159 6.3740 9.4859 12.6123 15.7448 18.8802 22.0175

%ξ = 0.2

muy = 0.6499 3.2756 6.3524 9.4712 12.6013 15.7359 18.8729 22.0111

%ξ = 0.3

muy = 0.5373 3.2333 6.3300 9.4561 12.5899 15.7268 18.8653 22.004657

Phụ lục 5: Độ uốn của tấm tại t = 1200s

clear all





xi = 0.1;



beta1 = 60;beta2 = 40;


syms t u z x y

x0 = [0 : 0.01 : 25];


muy = nghiemppchiadoi( f ,x0,0.00001);

T1 = 330;T 2 = 300;T0 = 293;

A0 = gama1∗ (T1−T 0)∗ (1+gama2∗ (1/2− z/0.02))+

gama2∗ (T2−T 0)∗ (1+gama1∗ (1/2+ z/0.02));


asao = k/(C ∗ ro∗0.022);

Tmuy = 0;

58



gama2∗ sin(muy(i)∗ (1/2− z/0.02)))−

2∗gama2 ∗ (T 2−T 0)∗ (muy(i)∗ cos(muy(i)∗ (1/2+ z/0.02))+

gama1∗ sin(muy(i)∗ (1/2+ z/0.02)));





end


deltaTt = subs(deltaT,t,1200);

deltaTtmomen = z∗deltaTt;

N0sao = int(deltaTt,−0.01,0.01);

M0sao = int(deltaTtmomen,−0.01,0.01);





(Km∗ (3∗Kc+4∗Gm)+4∗ (Kc−Km)∗Gm∗ xi);

S1 = 0;

f or m = 1 : 2 : 3

S = 0;

59

f or n = 1 : 2 : 3

w(m,n) = 864∗K ∗anpha∗M0sao/(pi2 ∗m∗n∗0.023 ∗ (3∗K +G))/

(m2 ∗ pi2/2.252+n2 ∗ pi2/1.52 −54∗K ∗anpha∗N0sao/

(0.023 ∗ (3∗K +G)));


S = S+w1(m,n);

end

S1 = S1+S;

end

a = [0 : 0.045 : 2.25];

b = [0 : 0.03 : 1.5];



wy01(i) = subs(wx01(i),y,b(i));

end

wy01

(tương tự với ξ = 0.15ξ = 0.2,ξ = 0.3)

plot(a,wy01,′ k−′)

hold on

plot(a,wy015,′ k.′)

plot(a,wy02,′ k−−′)

plot(a,wy03,′ k− .′)

60

Phụ lục 6: Độ uốn của tấm tại điểm giữa

clear all





xi = 0.2;



beta1 = 60;beta2 = 40;


syms t u z x y

x0 = [0 : 0.01 : 25];


muy = nghiemppchiadoi( f ,x0,0.00001);

T1 = 330;T 2 = 300;T0 = 293;

A0 = gama1∗ (T1−T 0)∗ (1+gama2∗ (1/2− z/0.02))+

gama2∗ (T2−T 0)∗ (1+gama1∗ (1/2+ z/0.02));


asao = k/(C ∗ ro∗0.022);

Tmuy = 0;

61



gama2∗ sin(muy(i)∗ (1/2− z/0.02)))−

2∗gama2∗ (T2−T 0)∗ (muy(i)∗ cos(muy(i)∗ (1/2+ z/0.02))+

gama1 ∗ sin(muy(i)∗ (1/2+ z/0.02)));





end


deltaT momen = z∗deltaT ;

N0sao = int(deltaT,−0.01,0.01);

M0sao = int(deltaT momen,−0.01,0.01);





(Km∗ (3∗Kc+4∗Gm)+4∗ (Kc−Km)∗Gm∗ xi);

S1 = 0;

f or m = 1 : 2 : 3

S = 0;

62

f or n = 1 : 2 : 3

w(m,n) = 864∗K ∗anpha∗M0sao/(pi2 ∗m∗n∗0.023 ∗ (3∗K +G))/

(m2 ∗ pi2/2.252+n2 ∗ pi2/1.52 −54∗K ∗anpha∗N0sao/

(0.023 ∗ (3∗K +G)));


S = S+w1(m,n);

end

S1 = S1+S;

end

wx02 = subs(S1,x,1.125);

wy02 = subs(wx01,y,0.75);

d = [0 : 10 : 1800];


wt02(i) = subs(wy,t,d(i));

end

(tương tự với ξ = 0.3)

plot(d,wt02,′ k−−′)

hold on

plot(d,wt03,′ k− .′)

63

tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt (96).pdf · lớp...

Documents