titranja i valovipdf

7/17/2019 Titranja i Valovipdf

http://slidepdf.com/reader/full/titranja-i-valovipdf 1/48

Harmonijsko titranje

Harmonijsko titranje: titranje koje se odvija bez gubitka energije-vrši se neprestana pretvorba energije

Titranje: periodično gibanje oko ravnotežnog položaja

Harmonijsko titranje uzrokuje harmonijska (elastična) sila,

koja je proporcionalna pomaku iz ravnotežnog položaja

y

ravnotežnipoložaj

ravnotežnipoložaj



ravnotežni položaj

Amplituda – najveća udaljenost od ravnotežnog položaja- najveća elongacija

elongacija – udaljenost od ravnotežnog položaja

Amplituda

A

y

y = 0

-A

prisjetimo se što je:

- titraj- period- frekvencija




Amplituda

elongacija

Amplituda

A

y

y = 0

-A 2

2

1 yk E ep ⋅=

2

2vm E k

⋅=

2

2

1 yk E ep ⋅= 0=k E

0=k E

0=ep E



ravnotežnipoložaj

Amplituda

elongacija

Amplituda

y r = A

φ

snop

svjetlosti

t

T t

ω ϕ ω π ϕ

=⇒==2

t A y sin=

Titranje kao projekcija kružnog gibanja

sjena kružnoggibanja

sin A y =



t A y sin=Ovisnost elongacije o vremenu:

Ovisnost brzine titranja o vremenu:

Ar v ⋅=⋅=

t At vv ω ω ω coscos ⋅=⋅=′

znamo da je brzina v kod tijela koje kruži:

brzina titranja (sjene) u bilo kojem trenutku je:

t Avcos

=′

Ovisnost akceleracije titranja o vremenu:

Ar acp

22

ω ω =⋅=znamo da je akceleracija tijela koje kruži:

akceleracija titranja (sjene) u bilo kojem trenutku:

yaili ⋅−=

2

: ω t Aa ω ω sin2

−=



Amr mF cp ⋅=⋅=22 ω ω

Povezanost sile i akceleracije

znamo da je sila kod kružnog gibanja:

ymt AmF ⋅−=−=

22

sin ω ω ω sila kod titranja u bilo kojem trenutku je:

ymF ⋅−=2ω yk F ⋅−=

2ω mk =

k mT

T mmk π π ω 24

2

2

2 =⇒⋅==

T π ω 2=

Period titranja opruge:

k

mT π 2=

- analogija -




Amplituda

elongacija

Amplituda

A

y

y = 0

-A

t Av ω cos=′

t A y sin= t Aa ω ω sin2−=

ymF ⋅−=2ω

t A y sin=

t Av ω ω cos=′

t Aa ω ω sin2

−=

ymF ⋅−=2ω



-mω2

Asinωtmω2

Asila

-ω2Asinωtω2 Aubrzanje

ωAcosωtωAbrzina

AsinωtAput (udaljenost od

ishodišta)

sjena tijela koje kružitijelo koje kruži

Period titranja opruge:

k

m

T π 2=

ovisi o masi tijela m obješenoj na oprugu i konstanti opruge k

Period titranja matematičkog njihala:

g

lT π 2=

ovisi o duljini njihala l i akceleraciji sile teže g



Prigušeno titranje

Kod realnih oscilatora dolazi do postupnih gubitaka energije

Smanjenjem energije E dolazi do smanjenja amplitude titranja A

Slabo prigušenje:amplituda se smanjuje,

a period titranja se ne mijenja



Ekstremno prigušenje:tijelo se polako vraća uravnotežni položaj

slabo prigušenje

y

T

Kritično prigušenje:nema titranja,tijelo dolazi iz amplitudeu ravnotežni položaj

Primjena prigušenja:mjerni instrumenti, amortizeri,….



Valovi

Pojam vala i vrste valova

Val: vrsta gibanja pomoću kojega prenosimo energiju

Prijenos energije: gibanjem čestica ili valovito gibanje

valovito gibanje: prijenos energije titranja kroz elastično sredstvo s jednog mjesta na

drugo, a da se sredstvo kao cjelina ne giba

Mehanički valovi: šire se kroz elastično sredstvo

Elektromagnetski valovi mogu se širiti i kroz vakuum!

Širenje valova: u elastičnom sredstvu čestica titra oko ravnotežnog položajai to titranje prenosi na susjednu česticu jer su vezane elastičnim silama.



t vs ⋅= T v ⋅=λ mehanika:

λ - valna duljina: put koji prijeđe val za vrijeme jednog titraja- najkraća udaljenost između dviju čestica koje jednako titraju,

tj. koje su u fazidvije čestice titraju u fazi ako imaju jednaku elongaciju i jednakvektor brzine

λ

λ y

x



f v

f

vT v ⋅=⇒⋅=⋅= λ λ 1

f v ⋅= λ - brzina širenja vala

brzina ovisi o vrsti sredstva (gustoća, elastičnost…)

val prelazi iz jednog sredstva u drugo:- mijenja mu se brzina

- mijenja mu se valna duljina

frekvencija ostaje ista – frekvencija je svojstvo izvora!

const vvv

f ===== .........3

3

2

2

1

1

λ λ λ



Vrste valova:

Transverzalni val:čestice titraju okomitona smjer širenja vala

smjer širenja



Longitudinalni: čestice titraju u smjeru širenja vala

smjer širenja



λ - razmak između dvije valne fronte

Smjer širenja uvijek okomitna valnu frontu

λ valna fronta

smjer širenja valav

λ

Kuglasti val – nastaje od točkastog izvora

valna fronta

Ravni val – ako je točkasti izvorvrlo daleko ili je izvor dio ravnine



Huygensovo načelo širenja vala:svaku točku u prostoru do koje dopre val možemo smatratiizvorom novog elementarnog vala koji se od točke širi istombrzinom kao osnovni val



y

x

t A y sin=

Jednadžba vala

)(sin t t A y ′−=



v

xt =′ vrijeme kašnjenja

T v λ =

λ

T x

t

⋅=′

)(sin λ ω

xT t A y −=

)(2sinλ

π x

T

t A y −=

),( xt y =

)(sin t t A y ′−= elongacija čestice na udaljenosti x

brzina širenja

Elongacija čestice je funkcija vremena t iudaljenosti x od izvora vala



Refleksija (odbijanje) valova

Refleksija na čvrstom kraju:

Od čvrstog kraja val se reflektira (odbija) sa suprotnom fazom:brijeg se reflektira kao dol, a dol se reflektira kao brijeg.



Refleksija na slobodnom kraju:

Od slobodnog kraja val se reflektira (odbija) istom fazom:brijeg se reflektira kao brijeg, a dol kao dol.



Stojni valovi

Transverzalni stojni val: titranje napete žice učvršćene na oba kraja

moguće su samo određene(kvantizirane) valne duljine

najniža frekvencija je osnovna frekvencija– njoj odgovara najveća valna duljina

m – broj trbuha ( m= 1, 2, 3, 4, …)m = 1

λ 1 = 2 L

L

vv f

21

1 ==

λ

osnovna frekvencija:

Trbusi – mjesta na kojima čestice titrajumaksimalnom amplitudom

Čvorovi – mjesta na kojima česticeuopće ne titraju

λ 1 = 2 L

(prvi harmonik)



Stojni valovi

Transverzalni stojni val: titranje napete žice učvršćene na oba kraja

m = 2 L L

==

2

22λ

1

2

2 2

2

2 f

L

vv f ===

λ

m = 33

23

L=λ 1

3

3 3

3

2 f

L

vv f ===

λ

(drugi harmonik)

(treći harmonik)



m = 4

4

24

L=λ 1

4

4 4

4

2 f

L

vv f ===

λ

Val se širi jednakom brzinom jer je uvijek u istom sredstvu!

Općenito vrijedi:m

L2=λ ili: f

m= m·f

1

m = 5

(četvrti harmonik)

U žičanim glazbenim instrumentima

zvuk nastaje titranjem napetih žica koje

su učvršćene na oba kraja.



Titranje napete žice učvršćene na jednom kraju:

m = 1 λ 1 = 4 L L

vv f

41

1 ==λ

m = 23

42

L=λ

1

2

2 3

3

4 f

L

vv f ===

λ

m = 3 543 L=λ 1

33 5

5

4 f L

vv

f === λ

Općenito, vrijedi: f m = (2m-1)·f 1

m – broj čvorova

L – duljina napete žice

U harmonici nastaje zvuk

titranjem jezičaca kojima

je jedan kraj slobodan.



Titranje napete žice slobodne na oba kraja:

m = 2 L L

==2

22λ 1

2

2 2

2

2 f

L

vv f ===

λ

m = 33

23

L=λ 1

3

3 3

3

2 f

L

vv f ===

λ

Općenito, vrijedi: f m = m·f 1m = 4

m – broj čvorova

L – duljina napete žice

m = 1 L21 =λ L

vv f

21

1 ==λ

Titranjem štapića kojima su krajevi

slobodni nastaje zvuk u ksilofonu.



Longitudinalni stojni val – zatvorena svirala

m = 1 λ 1 = 4 L L

vv f

41

1 ==λ

m = 2

3

42

L=λ 1

2

2 3

3

4 f

L

vv f ===

λ

m = 35

43

L=λ 1

3

3 5

5

4 f

L

vv f ===

λ

Općenito, vrijedi: f m = (2m-1)·f 1

L



m = 1 λ 1 = 2 L L

vv f 21

1 ==λ

m = 2 L L

==2

22λ

1

2

2 2

2

2 f

L

vv f ===

λ

m = 33

23

L=λ 1

3

3 3

3

2 f

L

vv f ===

λ

Općenito, vrijedi: f m = m·f 1

Longitudinalni stojni val – otvorena svirala

U orguljama zvuk

nastaje u sviralama.



Superpozicija valova

vektorski zbroj dvaju ili više valova u nekoj točkielastičnog sredstva kojim se valovi šire



Interferencija -uzajamno pojačavanje ili slabljenje dvaju ili više valovaI1 i I2 su izvori dva jednaka vala:

- jednakih amplituda- jednakih frekvencija (perioda)- jednakih valnih duljina

Konstruktivna interferencija:

Putna razlika jednaka cijelom broju valnih duljina!

∆ ⋅= k

∆ = putna razlika k = 1, 2, 3, …

I1

I2

I1 + I2



Destruktivna interferencija:

valovi se uzajamno poništavaju

2)12( ⋅−=∆ k

Putna razlika jednaka neparnom broju polovica valnih duljina!

I1

I2

I1 + I2



Zvučni valovi

Zvuk – pojava koju registrira ljudsko uho

Zvučni val – mehanički val kojeg registrira ljudsko uho

Akustika – dio fizike koji proučava zvučne pojave

Zvučni valovi su longitudinalni valovi – šire se kroz čvrsta tijela tekućine i plinove

Frekvencija zvučnih valova: od 16 Hz do 20 000 HzIspod 16 Hz – infrazvukIznad 20 000 – ultrazvuk

Izvor zvuka:Napeta žica titra (transverzalan val) i od nje se širi zvuk (longitudinalan val)

U vakuumu zvuk se ne širi – nema sredstva kojim bi se širio mehanički val

(primjer: ventilator budilica i zastava pod staklenim zvonom)



brzina širenja zvuka ovisi o elastičnom sredstvu:gustoća

temperatura …

Brzina zvuka u zraku:

273

10

t vv +=

v0 – (brzina pri 0º C) = 331 m/s

refleksija (odbijanje) zvučnih valova – isto kao svi mehanički longitudinalni valovi jeka - valovi se odbijaju od prepreke i vraćaju nazad

Ako su plohe parabolične:U crkvi Svetog Pavla u Londonu postoje dvaudaljena mjesta na kojima osobe mogu šapatomrazgovarati, a da okolina ništa ne čuje.

(tzv. Dionizijevo uho)

K d ( d ) bi i k đ d dbij j k



Jačina zvukaJačina zvuka – intenzitet zvučnog vala ili energija koju zvučni val prenese u jedinici vremena kroz jediničnu površinu koja je okomita na smjer širenja vala

A

==

2

m

W

A

P

A

t

W

I

površina sfere: 4r2π

- Koncertna dvorana (strop dvorane) mora biti tako građena da odbijanje zvukabude jednako dobro u prvim kao i zadnjim redovima.

- Odbijanjem zvučnih valova od morskog dna mjeri se dubina mora.



π 2111 4r

P

A

P I ==

π 2

22

24r

P

A

P I ==

2

1

2

2

1

2

2

2

1

==

r

r

r

r

I

I

Intenzitet zvuka obrnuto je razmjeran kvadratu udaljenosti.



Najveći intenzitet zvuka koji uho registrira kao bol: I = 10 Wm-2

I0

- prag čujnosti – najmanji intenzitet zvuka što ga uho može registrirati: 10-12 Wm-2

Omjer najjačeg i najslabijeg zvuka: 13

1210

10

10=

−

Iz praktičnih razloga se računa logaritmom omjera razina buke:

[ ]dBdecibel I

I L −=

0

log10

tablica razine buke:

130 dBosjet boli 120 dBavionski motor

90 dBkamion

70 dBautomobil

70 dBprometna ulica

50 dBgovor

20 dBšapat

0 dBprag čujnosti

Glasnoća – subjektivni osjećaj u našem uhu –ovisi o intenzitetu i frekvenciji zvuka



Zvučni udari – specijalni slučaj interferencije dvaju valova sličnih frekvencija

Rezonancija – titranje jednog tijela može se prenijeti na drugo tijelo uz uvjet da imaju jednaku vlastitu frekvenciju titranja

21 f f f u −=

Frekvencija udara (broj udara u sekundi) jednaka je razlicifrekvencija zvučnih valova koji interferiraju



Dopplerov efekt (učinak)

Smanjuje li se udaljenost između izvora zvuka i prijemnika, prijemnik (uho) čuje viši ton( više frekvencije) od onoga koji emitira izvor, a povećava li se udaljenost uho čuje niži ton.Ta se pojava zove Dopplerov efekt.

I i ij m ik ( m t č) mi j s b i m s dst v 0 v 0



vz – brzina zvuka

vi – brzina izvora = 0

vp – brzina promatrača = 0

Izvor i prijemnik (promatrač) miruju s obzirom na sredstvo vi = 0 vp = 0

λ λ

z p

zi

v f

v f ===

pi f f =

vp = 0vp = 0

vi = 0



Izvor miruje, a prijemnik (promatrač) se giba brzinom vp

vpvp

λ

p z

p

vv f

−=

i

z

f v=λ

z

p z

i

i

z

p z

pv

vv f

f

v

vv f

−=

−=

z

p z

i pv

vv f f

+=

z

p z

i pv

vv f f

−=

λ

p z

p

vv f

+=

z

p z

i

i

z

p z

pvvv f

f

vvv f +=+=

+ približavanje

- udaljavanje

z

p zi p

vvv f f ±=

vi=0



Izvor se giba brzinom vi , a prijemnik (promatrač) miruje, vp = 0

i

i z p

f

vv −=λ

i z

z

i

i

i z

z

p

z

pvv

v

f

f

vv

vv

f −=−== λ i z

zi

i

i z

z

p

z p

vv

v f

f vv

vv f

+

=

+

==

λ

i z

zi pvv

v f f

m=

- približavanje+ udaljavanje

i z

zi p

vvv f f −

=

i z

zi p

vvv f f +

=

vp = 0vp = 0

i



Sva tri promatrana slučaja možemo objediniti u jednu formulu:

i z

p zi pvv

vv f f

m

±

= vp je pozitivna kod približavanja, a negativna kod udaljavanjavi je negativna kod približavanja, a pozitivna kod udaljavanja

što ako je brzina izvora veća od brzine zvuka? ( vi> v

z)

Primjena Dopplerovog učinaka u

medicini:

mjerenje brzine strujanja krvi

Ultrazvučni valovi dolaze iz sonde i

odbijaju se od crvenih krvnih zrnaca.

Frekvencije upadnih i i odbijenih

valova se razlikuju. Kad odbijeni

valovi dođu do sonde interferirajus valovima koji izlaze iz sonde i

daju udare. Iz frekvencije udara i

frekvencije valova koje emitira sonda

saznaje se brzina strujanja krvi.



vi < vz dopplerov efektvi = vz zvučna barijera –proboj zvučnog zida

udarni valvi > vz



udarni val – Machov stožac

Ernst Mach (1838 – 1916)

Kad zrakoplov dosegne brzinu zvuka molekule zrakane mogu mu se dovoljnu brzo “ukloniti” s puta.One se zbijaju ispred kljuna zrakoplova i tu stvaraju

tanki sloj gustog zraka koji je pod vrlo velikim tlakom.Taj “gusti” val zraka širi se u obliku slova V i udara o tlo.



v



z

i

v

vMachov broj

ako je vi = vz : )(1 mah Ma

v

v

v

v

z

z

z

i==

primjer: vi = 2vz :

Mav

v

v

v

z

z

z

i 22

==

titranja i valovipdf

Documents