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SEXTA EDICIN

VOLUMEN 1Mecnica/Oscilaciones y ondas/Termodinmica

Paul A. Tipler

Gene Mosca

FSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGA

Barcelona Bogot Buenos Aires Caracas Mxico

Ttulo de la obra original: Physics for Scientists and Engineers, Sixth Edition.

Edicin original en lengua inglesa publicada por W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York and Basingstoke 41 Madison Avenue, New York (NY) --- U.S.A.

Copyright 2008 by W. H. Freeman and Company. All Rights Reserved

Edicin en espaol: Editorial Revert, S. A., 2010

ISBN: 978-84-291-4429-1 Volumen 1 ISBN: 978-84-291-4428-4 Obra completa

Versin espaola:

COORDINADOR Y TRADUCTOR Dr. Jos Casas-Vzquez Catedrtico de Fsica de la Materia Condensada

TRADUCTORES Dr. Albert Bramon Planas Catedrtico de Fsica Terica

Dr. Josep Enric Llebot Rabagliati Catedrtico de Fsica de la Materia Condensada

Dr. Fernando M. Lpez Aguilar Catedrtico de Fsica Aplicada

Dr. Vicen Mndez Lpez Profesor Agregado de Fsica de la Materia Condensada

Departamento de Fsica Universidad Autnoma de Barcelona Espaa

MAQUETACIN: REVERT-AGUILAR CORRECCIN DE ESTILO: CARLOS CISTU SOL

Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15. Local B Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 08029 Barcelona. ESPAA [email protected]

www.reverte.com

Reservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprogra-fa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

Impreso en Espaa - Printed in Spain

Depsito Legal: B-25919-2010 Impresin y encuadernacin: Liberdplex, S.L.U.

Registro bibliogrfico (ISBD)

Tipler, Paul A. [Physics for scientists and engineers. Espaol] Fsica para la ciencia y la tecnologa. Mecnica, oscilaciones y ondas, termodinmica / Paul A. Tipler, Gene Mosca ; coordinador y traductor: Jos Casas Vzquez; traductores: Albert Bramon Planas [et al.]. Barcelona : Revert, 2010. XXIV , 456, [12] p. : il. col. ; 27 cm. ndice. DL B-25919-2010. ISBN 978-84-291-4429-1

1. Fsica. I. Mosca. Gene, coaut. II. Casas-Vzquez, Jos, coord., trad. III. Bramon Planas, Albert, trad. IV. Ttulo. 53

Volumen 1A

PARTE I MECNICA

1 Medida y vectores / 1

2 El movimiento en una dimensin / 27

3 Movimiento en dos y tres dimensiones / 63

4 Leyes de Newton / 93

5 Aplicaciones adicionales de las leyes de Newton / 127

6 Trabajo y energa cintica / 173

7 Conservacin de la energa / 201

8 Conservacin del momento lineal / 247

9 Rotacin / 289

10 Momento angular / 331

11 Gravedad / 363

12 Equilibrio esttico y elasticidad / 397

13 Fluidos / 423

Volumen 1B

PARTE II OSCILACIONES Y ONDAS

14 Oscilaciones / 457

15 Movimiento ondulatorio / 495

16 Superposicin y ondas estacionarias / 533

Volumen 1C

PARTE III TERMODINMICA

17 Temperatura y teora cintica de los gases / 563

18 Calor y primer principio de la termodinmica / 591

19 Segundo principio de la termodinmica / 629

20 Propiedades y procesos trmicos / 665

R Relatividad especial / R.1

ndice abreviado de la obra completa

Thinkstock/Alamy

vii

VOLUMEN 1

VOLUMEN 2

Volumen 2A

PARTE IV ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

21 Campo elctrico I: distribuciones discretas de carga / 693

22 Campo elctrico II: distribuciones continuas de carga / 727

23 Potencial elctrico / 763

24 Capacidad / 801

25 Corriente elctrica y circuitos de corriente continua / 839

26 El campo magntico / 887

27 Fuentes del campo magntico / 917

28 Induccin magntica / 959

29 Circuitos de corriente alterna / 995

30 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas / 1029

Volumen 2B

PARTE V LUZ

31 Propiedades de la luz / 1055

32 Imgenes pticas / 1097

33 Interferencia y difraccin / 1141

FSICA MODERNA

PARTE VI MECNICA CUNTICA, RELATIVIDAD Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA

34 Dualidad onda-partcula y fsica cuntica / 1173

35 Aplicaciones de la ecuacin de Schrdinger / 1203

36 tomos / 1227

37 Molculas / 1261

38 Slidos / 1281

39 Relatividad / 1319

40 Fsica nuclear / 1357

41 Las partculas elementales y el origen del universo / 1389

APNDICES Y RESPUESTAS

Apndice A Unidades SI y factores de conversin / AP.1

Apndice B Datos numricos / AP.3

Apndice C Tabla peridica de los elementos / AP.6

Apndice de matemticas / M.1

Respuestas de los problemas impares del final de los captulos / A.1

viii ndice abreviado de la obra completa

La sexta edicin de Fsica para la ciencia y la tecnologa presenta un texto y herra-mientas online completamente integrados que ayudarn a los estudiantes a apren-der de un modo ms eficaz y que permitir a los profesores adaptar sus clases paraensear de un modo ms eficiente.

El texto incluye un nuevo enfoque estratgico de resolucin de problemas, unapndice de matemticas integrado y nuevas herramientas para mejorar la com-prensin conceptual. Los nuevos temas de actualidad en fsica destacan temasinnovadores que ayudan a los estudiantes a relacionar lo que aprenden con las tec-nologas del mundo real.

CARACTERSTICAS CLAVE

ESTRATEGIA DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

En la sexta edicin destaca una nueva estrategia de resolucin de problemas en laque los Ejemplos siguen un formato sistemtico de Planteamiento, Solucin yComprobacin. Este formato conduce a los estudiantes a travs de los pasos im-plicados en el anlisis del problema, la resolucin del problema y la comprobacinde sus respuestas. Los Ejemplos a menudo incluyen tiles secciones de Observa-cin que presentan formas alternativas de resolucin de problemas, hechos intere-santes, o informacin adicional relativa a los conceptos presentados. Siempre quese considera necesario, los Ejemplos van seguidos de Problemas Prcticos paraque los estudiantes puedan evaluar su dominio de los conceptos.

En esta edicin, las etapas de resolucin de problemas siguen contando con lasecuaciones necesarias al lado, de manera que a los estudiantes les resulte ms fcilseguir el razonamiento.

Prefacio

NUEVO!

Despus de cada enunciado del problema, los estudiantes van al Planteamiento del problema. Aqu, el problema se analiza tanto conceptualmente como visualmente.

En la seccin Solucin, cada paso de la solucin se presenta con un enunciado escrito en la columna de la izquierda y las ecuaciones matemticas correspondientes en la columna de la derecha.

La Comprobacin recuerda a los estudiantes que han deverificar que sus resultados son precisos y razonables.

La Observacin sugiere una forma distinta de enfocarun ejemplo o da informacin adicional relevante para elejemplo.

A la solucin le sigue normalmente un Problema Prctico, lo que permite a los estudiantescomprobar su comprensin. Al final del captulo se incluyen las respuestas para facilitar una comprobacin inmediata.

xiv Prefacio

En casi todos los captulos se incluye un recuadro llamadoEstrategia de resolucin de problemas para reforzar el for-mato Planteamiento, Solucin y Comprobacin para solucio-nar satisfactoriamente los problemas.

APNDICE DE MATEMTICAS INTEGRADO

Esta edicin ha mejorado el apoyo matemtico a los estudiantes que estudian Ma-temticas al mismo tiempo que introduccin a la Fsica o a los estudiantes que re-quieren repasar las Matemticas.

El Apndice de Matemticas completo

revisa resultados bsicos de lgebra, geometra, trigonometra y clculo, relaciona conceptos matemticos con conceptos fsicos del libro, proporciona Ejemplos y Problemas Prcticos para que los estudiantes pue-

dan comprobar su comprensin de los conceptos matemticos.

NUEVO!

Prefacio xv

PEDAGOGA PARA ASEGU-RAR LA COMPRENSINCONCEPTUAL

Se han aadido herramientas prcticas para losestudiantes para facilitar un mejor comprensinconceptual de la fsica.

Se han introducido nuevos Ejemplosconceptuales, para ayudar a los estudiantesa comprender en profundidad conceptosfsicos esenciales. Estos ejemplos utilizan laestrategia Planteamiento, Solucin yComprobacin, de modo que losestudiantes no slo obtienen unacomprensin conceptual bsica sino quetienen que evaluar sus respuestas.

Adems, las notas al margen permiten a los estudiantes ver fcilmente la rela-cin entre los conceptos fsicos del texto y los conceptos matemticos.

NUEVO!

Las nuevas Comprobaciones de conceptos facilitan a los estudiantes com-probar su comprensin conceptual de conceptos fsicos mientras leen loscaptulos. Las respuestas estn situadas al final de cada captulo para per-mitir una comprobacin inmediata. Las comprobaciones de conceptos secolocan cerca de temas relevantes, de modo que los estudiantes puedan re-leer inmediatamente cualquier material que no comprendan del todo.

Los nuevos avisos de errores frecuentes, identificados mediante signos deexclamacin, ayudan a los estudiantes a evitar errores habituales. Estosavisos estn situados cerca de los temas que habitualmente causan confu-sin, de manera que los estudiantes puedan resolver de inmediato cual-quier dificultad.

MATERIAL COMPLEMENTARIO Y RECURSOS ADICIONALES

Esta nueva edicin dispone de gran cantidad de recursos y materiales complementarios para alumnos y profesores. Todos estos materiales se encuentran disponibles en su versin original en ingls.

Si es usted profesor y piensa utilizar este libro como texto para su asignatura, puede acceder al material complementario re-gistrndose en la siguiente pgina web, www.reverte.com/microsites/tipler6ed, o contactando con promoci [email protected]

Tambin est disponible en soporte fsico el siguiente material:

Puede adquirir este material en Los Andes Libros S.L. a travs de su pgina web, www.andeslibros.com, o contactando con [email protected].

TEMAS DE ACTUALIDADEN FSICA

Los temas de actualidad en Fsica, que apa-recen al final de ciertos captulos, tratan deaplicaciones actuales de la Fsica y relacionanestas aplicaciones con conceptos descritos enlos captulos. Estos temas van desde un par-que elico hasta termmetros moleculares ymotores de detonacin pulsar.

xvi Prefacio

NUEVO!

Para el alumno Para el profesor

Student Solutions Manual proporciona la resolucin com-pleta de los problemas impares de final de captulo.

Instructors Resource CD-ROM contiene ilustraciones enformato jpg, presentaciones PowerPoint, un completo testbank con ms de 4000 problemas tipo test y las herramientaspara disear presentaciones y pginas web.

Volume 1 (Chapters 1-20, R) 9781429203029Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429203036Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429203012


Study Guide destaca las magnitudes fsicas y ecuacionesclave y los errores que deben evitarse. Incluye problemasprcticos y cuestiones para mejorar la comprensin de losconceptos fsicos, adems de test para su comprobacin.

Answer Booklet with Solution CD Resource son libros quecontienen las respuestas de todos los problemas de final decaptulo e incluyen un CD-ROM con sus resoluciones com-pletas. Estas soluciones tambin estn disponibles en el Ins-tructors CD-ROM.



o

Prefacio xvii

FLEXIBILIDAD PARA LOS CURSOS DE FSICA

Nos damos cuenta de que no todos los cursos de fsica son iguales. Para facilitar lautilizacin del libro, Fsica para la ciencia y la tecnologa se halla disponible en las si-guientes versiones:

Volumen 1 Mecnica/Oscilaciones y ondas/Termodinmica (Captulos 120, R) 978-84-291-4429-1

Volumen 2 Electricidad y magnetismo/Luz(Captulos 2133) 978-84-291-4430-7

Volumen 1A Mecnica (Captulos 113) 978-84-291-4421-5

Volumen 1B Oscilaciones y ondas (Captulos 1416) 978-84-291-4422-2

Volumen 1C Termodinmica (Captulos 1720) 978-84-291-4423-9

Volumen 2A Electricidad y magnetismo (Captulos 2130) 978-84-291-4424-6

Volumen 2B Luz (Captulos 3133) 978-84-291-4425-3

Fsica moderna Mecnica cuntica, relatividad y estructura de la materia(Captulos R, 3441) 978-84-291-4426-0

Apndices y respuestas 978-84-291-4427-7

Acerca de los autores

Paul Tipler naci en la pequea ciudad agrcola de Antigo, Wisconsin, en1933. Realiz sus estudios medios en Oshkosh, Wisconsin, en donde su padre erasuperintendente de las Escuelas Pblicas. Recibi el ttulo de Bachelor of Scienceen la Universidad de Purdue en 1955 y obtuvo su Ph.D. en la Universidad de Illi-nois, en donde estudi la estructura del ncleo. Imparti la enseanza durante unao en la Wesleyan University de Connecticut mientras redactaba su tesis. Despusse traslad a la Universidad de Oakland en Michigan, donde fue uno de los pri-meros miembros del Departamento de Fsica, y desempe un papel importanteen el desarrollo de los planes de estudio. Durante los siguientes 20 aos, ensecasi todas las disciplinas de la fsica y escribi la primera y segunda ediciones desus ampliamente difundidos textos Fsica Moderna (1969, 1978) y Fsica (1976, 1982).En 1982, se mud a Berkeley, California, donde ahora reside y donde escribi Fsicapreuniversitaria (1987) y la tercera edicin de Fsica (1991). Adems de la fsica, susaficiones incluyen la msica, excursionismo y camping. Es un excelente pianista dejazz y un buen jugador de pker.

Gene Mosca naci en la ciudad de Nueva York y se cri en Shelter Island,en el Estado de Nueva York. Estudi en la Universidad de Villanova, en la Uni-versidad de Michigan y en la Universidad de Vermont, donde obtuvo su Ph.D. enfsica. Recientemente jubilado, Gene Mosca ha sido profesor en la U.S. Naval Aca-demy, donde fue el impulsor de numerosas mejoras en la enseanza de la Fsica,tanto en los laboratorios como en las aulas. Proclamado por Paul Tipler como "elmejor crtico que he tenido", Mosca se ha convertido en coautor del libro a partirde su quinta edicin.

xxii

Medida y vectores

1.1 La naturaleza de la fsica

1.2 Unidades

1.3 Conversin de unidades

1.4 Dimensiones de las magnitudes fsicas

1.5 Cifras significativas y rdenes de magnitud

1.6 Vectores

1.7 Propiedades generales de los vectores

La humanidad siempre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea. Co-mo demuestran los primeros documentos grficos, siempre hemos buscado elmodo de imponer orden en la enmaraada diversidad de los sucesos obser-vados, el color del cielo, el cambio del sonido de un coche cuando pasa, el ba-lanceo de un rbol, la salida y la puesta del Sol, el vuelo de un ave o de unavin. Esta bsqueda para entender ha adoptado distintas formas: una es la

religin, otra es el arte y otra es la ciencia. Aunque el vocablo ciencia viene del latny significa saber, la ciencia no slo es saber sino, especialmente, comprensin delmundo natural. La Fsica pretende describir los fundamentos del universo y cmofunciona. Es la ciencia de la materia y de la energa, del espacio y del tiempo.

Como toda ciencia, la Fsica se estructura de una forma especfica y racional. Losfsicos construyen, prueban y relacionan modelos con el objetivo de describir, ex-plicar y predecir la realidad. Este proceso comporta elaborar hiptesis, llevar a caborepetidamente experimentos y observaciones y, en consecuencia, elaborar nuevashiptesis. El resultado final es un conjunto de principios fundamentales y de leyesque describen el mundo. Estas leyes y principios se aplican tanto a fenmenos ex-

1C A P T U L O

Cuntos granos de arena hay en su

playa favorita?

(Vase el ejemplo 17.) ?

1

EN UNA PLAYA HAY DEMASIADOS GRANOS DEARENA PARA CONTARLOS UNO POR UNO, PERO SEPUEDE OBTENER EL NMERO APROXIMADO POR

MEDIO DE HIPTESIS RAZONABLES Y CLCULOS

SENCILLOS. (Corbis.)

P A R T E I MECNICA

2 | C A P T U L O 1 Medida y vectores

ticos como los agujeros negros, la energa oscura y partculas con nombres tan pe-culiares como leptoquarks o bosones como a la vida cotidiana. Como veremos, hayinnumerables cuestiones de nuestro entorno cotidiano que pueden explicarse conun conocimiento bsico de fsica. Por qu el cielo es azul? Por qu los astronautasflotan en el espacio? Cmo funcionan los reproductores de discos compactos? Porqu un oboe suena distinto de una flauta? Por qu un helicptero debe tener dosrotores? Por qu los objetos metlicos parecen ms fros que los objetos de maderaa igual temperatura? Por qu los relojes que se mueven van ms lentos?

En este libro, aplicaremos los principios de la fsica para contestar estas y otrascuestiones. Estudiaremos los temas clsicos de la fsica, la mecnica, el sonido, laluz, el calor, la electricidad, el magnetismo, la fsica atmica y nuclear. Tambinaprenderemos algunas tcnicas tiles para la resolucin de problemas. En este pro-ceso esperamos que el lector tome conciencia de la importancia de la fsica y apre-cie toda su belleza.

En este captulo, empezaremos a prepararnos estudiando algunos conceptosprevios que se necesitan para el estudio de la fsica. Examinaremos breve-mente la naturaleza de la fsica, estableceremos algunas definiciones bsicas,introduciremos los sistemas de unidades y aprenderemos a usarlos y presen-taremos una introduccin a la matemtica de los vectores. Tambin tratare-mos de la exactitud de las medidas, las cifras significativas y las estimaciones.

1.1 LA NATURALEZA DE LA FSICA El vocablo fsica procede del griego y significa el conocimiento del mundo natural.Por lo tanto, no nos ha de sorprender que los primeros esfuerzos registrados por elser humano para reunir sistemticamente el conocimiento sobre el movimiento delos cuerpos procedan de la antigua Grecia. En la filosofa natural establecida porAristteles (384322 a.C.), las explicaciones de los fenmenos fsicos se deducan dehiptesis sobre el mundo y no de la experimentacin. Por ejemplo, una hiptesisfundamental afirmaba que toda sustancia tena un lugar natural en el universo.Se estableci que el movimiento era el resultado del intento de una sustancia de al-canzar su lugar natural. El acuerdo entre las deducciones de la fsica aristotlica ylos movimientos observados en el universo fsico, y la falta de una tradicin expe-rimental que derrocase la fsica antigua, hizo que el punto de vista de los griegosfuera aceptado durante casi dos mil aos. Fue el cientfico italiano Galileo Galilei(15641642) quien, con sus brillantes experimentos sobre el movimiento, establecipara siempre la absoluta necesidad de la experimentacin en la fsica e inici la de-sintegracin de la fsica de Aristteles. Unos cien aos despus, Isaac Newton ge-neraliz los resultados experimentales de Galileo en sus tres leyes fundamentalesdel movimiento, y el reino de la filosofa natural de Aristteles se extingui.

Durante los siguientes doscientos aos la experimentacin aport innumerablesdescubrimientos y surgieron nuevas preguntas. Se descubrieron los fenmenos tr-micos y elctricos, y algunos relacionados con la expansin y la compresin de losgases. Estos descubrimientos y las nuevas preguntas que planteaban inspiraron eldesarrollo de nuevos modelos para su explicacin. A finales del siglo XIX, las leyesde Newton referentes a los movimientos de los sistemas mecnicos se asociaron alas igualmente impresionantes leyes de James Maxwell, James Joule, Sadi Carnot yotros cientficos, para describir el electromagnetismo y la termodinmica. Lostemas que ocuparon a los fsicos durante la ltima parte del siglo XIX mecnica,luz, calor, sonido, electricidad y magnetismo constituyen lo que se denomina f-sica clsica. Dado que necesitamos la fsica clsica para comprender el mundo ma-croscpico donde vivimos, le dedicaremos las partes I a V de este libro.

El notable xito alcanzado por la fsica clsica llev a muchos cientficos al con-vencimiento de que la descripcin del universo fsico se haba completado. Sinembargo, el descubrimiento de los rayos X realizado por Wilhelm Roentgen en1895 y el de la radiactividad por Antoine Becquerel y Marie y Pierre Curie poco

Cuando se usa una cifra paradeterminar una magnitud fsica, el

nmero debe ir acompaado siemprede una unidad.

!

Unidades S E C C I N 1 . 2 | 3

despus parecan estar fuera del marco de la fsica clsica. La teora de la relativi-dad especial propuesta por Albert Einstein en 1905 contradeca las ideas de espa-cio y tiempo de Galileo y Newton. En el mismo ao, Einstein sugiri que la energaluminosa estaba cuantizada; es decir, que la luz se propaga en paquetes discretosde energa y no en forma ondulatoria y continua como supona la fsica clsica. Lageneralizacin de esta idea a la cuantizacin de todos los tipos de energa es unconcepto fundamental de la mecnica cuntica, con sorprendentes e importantesconsecuencias. La aplicacin de la relatividad especial y, particularmente, la teoracuntica a sistemas microscpicos, tales como tomos, molculas y ncleos, haconducido a una comprensin detallada de slidos, lquidos y gases, y constituyelo que generalmente se denomina fsica moderna, a la que dedicamos la parte VI deeste texto.

Comenzaremos nuestro estudio de la fsica con los temas clsicos. Sin embargo,de vez en cuando elevaremos nuestra mirada para analizar la relacin entre la f-sica clsica y la fsica moderna. As, por ejemplo, en el captulo 2 dedicaremos unespacio a las velocidades prximas a la de la luz, atravesando brevemente el uni-verso relativista imaginado primeramente por Einstein. Igualmente, despus deabordar la conservacin de la energa en el captulo 7, trataremos de la cuantiza-cin de la energa y de la famosa relacin de Einstein entre la masa y la energa,

Unos captulos ms adelante, en el captulo R, estudiaremos la naturalezadel espacio y del tiempo, tal como fue desvelada por Einstein en 1903.

1.2 UNIDADESLas leyes de la Fsica expresan relaciones entre magnitudes fsicas. Las magnitudesfsicas son nmeros que se obtienen a partir de medir fenmenos fsicos. Por ejem-plo, las pginas que ocupa este libro, el tiempo que se necesita para leer un prrafoo la temperatura de la clase son magnitudes fsicas.

La medida de toda magnitud fsica exige compararla con cierto valor unitariode la misma. As, para medir la distancia entre dos puntos, la comparamos con unaunidad estndar de distancia tal como el metro. La afirmacin de que una ciertadistancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces la longitud de la unidadmetro; es decir, una regla mtrica patrn se ajusta 25 veces en dicha distancia. Esimportante aadir la unidad metros junto con el nmero 25 al expresar una dis-tancia debido a que existen otras unidades de longitud de uso comn. Decir queuna distancia es 25 carece de significado. Toda magnitud fsica debe expresarse conuna cifra y una unidad.

Algunas de las magnitudes fsicas ms bsicas, como el tiempo, la distancia y lamasa, se definen mediante los procesos que las miden. Una magnitud fsica se de-fine frecuentemente de forma operacional, es decir, de una forma que define lamagnitud fsica mediante el procedimiento que debe realizarse para medirla. Otrasmagnitudes fsicas se definen haciendo explcito el procedimiento de clculo a par-tir de las magnitudes fundamentales. La velocidad de un cuerpo, por ejemplo, secalcula dividiendo la distancia por el tiempo invertido en recorrerla. Muchas de lasmagnitudes fsicas que se estudiarn, como la velocidad, la fuerza, el momento, eltrabajo, la energa y la potencia, pueden expresarse en funcin de tres magnitudesfundamentales: la longitud, el tiempo y la masa. En consecuencia, basta con pocasmagnitudes bsicas para poder expresar todas las dems magnitudes fsicas. Laeleccin de las unidades estndar para expresar estas magnitudes fundamentalesdetermina un sistema de unidades.

EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES En fsica es importante usar un conjunto consistente de unidades. En el ao 1960un comit internacional estableci un conjunto estndar para la comunidad cien-tfica, denominado SI (a partir de Systme International). En este sistema hay sietemagnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo, intensidad elctrica, tempera-

E mc2.

El reloj de agua usado para medir intervalosde tiempo durante el siglo XIII. (The GrangerCollection.)

Unidades S E C C I N 1 . 2 | 5

PREFIJOSMuchas veces es necesario trabajar con medidas que son mucho ms pequeas omucho mayores que la unidad estndar del SI. En estas situaciones, se pueden usarotras unidades que son mltiplos o submltiplos (potencias de 10) de las unidadesSI estndar. Estas unidades se expresan mediante un prefijo como, por ejemplo, elprefijo kilo que significa 1000, o 103, o el prefijo micro que significa 0,000 001, o

En la tabla 1.1 se relacionan los prefijos de los mltiplos y submltiplos ms co-rrientes de las unidades del SI. Los prefijos pueden aplicarse a cualquier unidad delSI; por ejemplo, 0,001 segundos es un milisegundo (ms); 1 000 000 watts es un mega-watt (MW).

PROBLEMA PRCTICO 1.1Use los prefijos para describir: (a) el retraso de la seal al propagarse por el cable de la te-levisin por cable que es de 0,000 000 3 segundos o (b) la longitud de la circunferencia deun meridiano terrestre que es de 40 000 000 metros.

OTROS SISTEMAS DE UNIDADES Adems del SI, en determinadas circunstancias se usan otros sistemas de unidades.Uno de estos sistemas es el sistema cgs, basado en el centmetro, el gramo y el se-gundo. Otras unidades cgs son la dina (unidad de fuerza) y el erg (unidad de ener-ga).

Existen otros sistemas de unidades como el sistema tcnico ingls utilizado enlos EE.UU. y otros pases de habla inglesa, en el que se toma el pie como unidadde longitud, el segundo como unidad de tiempo y la libra como unidad funda-

106.

Tabla 1.1 Prefijos de las potencias de 10*Mltiplo Prefijo Abreviatura

1018 exa E

1015 peta P

1012 tera T

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

102 hecto h

101 deca da

101 deci d

102 centi c

103 mili m

106 micro m

109 nano n

1012 pico p

1015 femto f

1018 atto a

* Los prefijos hecto (h), deca (da) y deci (d) no son mltiplos de 103 103 y se utilizan con poca frecuencia. El otro

prefijo que no es mltiplo de 103 103 es centi (c). Los prefijos que se usan con ms frecuencia en este libro se escriben

en rojo. Observse que todos los smbolos de prefijos mltiplos de 106 y superiores se escriben en maysculas; las dems

se escriben con minsculas.

Si las unidades de una cantidad yel factor de conversin no se

simplifican para dar las unidadesdeseadas, significa que la conversinno se ha realizado correctamente.

!


(a) (b)

(a) Haces de lser emitidos desde elObservatorio Macdonald para medir ladistancia hasta la Luna. Esta distancia se midecon un error de pocos centmetros midiendo eltiempo transcurrido en el viaje de ida y vueltadel rayo lser a la Luna despus de reflejarseen un espejo (b) all emplazado por losastronautas del Apolo 14. (a, McDonaldObservatory; b, Bruce Coleman).

mental de fuerza. En el captulo 4, veremos que la masa es una eleccin mejor quela fuerza como unidad fundamental, por tratarse de una propiedad intrnseca deun objeto que es independiente de su localizacin. Actualmente, el sistema tcnicoingls se define en base a las unidades del SI.

1.3 CONVERSIN DE UNIDADES Cuando se usan distintos sistemas de unidades es importante saber cmo conver-tir magnitudes expresadas en una unidad de un sistema en unidades de otro sis-tema. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o se dividen en unaecuacin algebraica, las unidades pueden tratarse como cualquier otra magnitudalgebraica. Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar la distancia recorrida en3 horas (h) por un coche que se mueve con una velocidad constante de 80 kilme-tros por hora (km/h). La distancia x es precisamente la velocidad v multiplicadapor el tiempo t:

Eliminamos la unidad de tiempo, la hora, igual que haramos con cualquier otramagnitud algebraica para obtener la distancia en la unidad de longitud corres-pondiente, el kilmetro. Este mtodo permite fcilmente pasar de una unidad dedistancia a otra. A continuacin, supongamos que queremos convertir los kilme-tros (km) en millas (mi). Teniendo en cuenta que 1 mi 1,609 km (vase el apn-dice A). Si dividimos los dos miembros de esta igualdad por 1,609 km se obtiene

Obsrvese que el factor anterior es una fraccin igual a 1. El factor (1 mi)/(1,609 km)se denomina factor de conversin. Todos los factores de conversin tienen el valorde 1 y se utilizan para pasar una magnitud expresada en una unidad de medida asu equivalente en otra unidad de medida.

Escribiendo de forma explcita las unidades, no es necesario pensar si hay que multi-plicar o dividir por 1,609 para pasar de kilmetros a millas, ya que las unidades indi-can si hemos escogido el factor correcto o el incorrecto.

240 km 240 km 1 mi

1,609 km 149 mi

1 mi

1,609 km 1

x vt 80 km

h 3 h 240 km

Dimensiones de las magnitudes fsicas S E C C I N 1 . 4 | 7

Ejemplo 1.1 Uso de los factores de conversin

Un empleado de una empresa con sede en Estados Unidos ha de viajar, por encargo de su em-presa, a un pas donde las seales de trfico muestran la distancia en kilmetros y los velocme-tros de los coches estn calibrados en kilmetros por hora. Si con su vehculo viaja a 90 km porhora, a cunto equivale su velocidad expresada en metros por segundo y en millas por hora?

PLANTEAMIENTO Utilizaremos el hecho de que 1000 m 1 km, 60 s 1 min y 60 min 1 hpara convertir los kilmetros por hora en metros por segundo. Se multiplica la magnitud90 km/h por una serie de factores de conversin de valor 1 de modo que el valor de la velocidadno vara. Para convertir la velocidad en millas por hora, se utiliza el factor de conversin(1 mi)/(1,609 km) 1.

SOLUCIN

1. Multiplicar 90 km/h por los factores de conversin que transforman los kilmetros enmetros y las horas en segundos:

25 m>s90 kmh

1 h

3600 s

1000 m1 km

2. Multiplicar 90 km/h por 1 mi/1,61 km: 56 mi>h90 kmh

1 mi

1,609 km

COMPROBACIN Verificar que las unidades, al final de cada paso, son las correctas. Si nose han tenido en cuenta los factores de conversin de forma correcta, por ejemplo si se mul-tiplica por 1 km/1000 m en vez de por 1000 m/1 km, las unidades al final no son las co-rrectas.

OBSERVACIN El primer paso puede simplificarse sustituyendo 1 h/3600 spor 1h/3,6 ks y eliminando los prefijos en ks y km. Es decir

Eliminar estos prefijos equivale a dividir el numerador y el denominador por1000.

Puede resultar til memorizar los resultados de este ejemplo, ya que puedefacilitar la conversin de velocidades habituales rpidamente

Conocer estos valores puede ser til para convertir de forma ms rpida las ve-locidades a unidades con las que est ms familiarizado.

1.4 DIMENSIONES DE LAS MAGNITUDES FSICASDar un valor de una magnitud fsica comporta dar un nmero y la unidad en que estexpresado. La unidad indica el estndar que se usa para la medida y la cifra nosmuestra la comparacin con una cantidad estndar. No obstante, para saber lo que seest midiendo hay que conocer la dimensin de la magnitud fsica. La longitud, eltiempo y la masa son dimensiones. La distancia entre dos objetos tiene dimensionesde longitud y expresamos esta relacin como [d] L, donde [d] representa la dimen-sin de la distancia d y L es la dimensin de la longitud. Todas las dimensiones se re-presentan con una letra mayscula; as, T y M representan, respectivamente, lasdimensiones del tiempo y de la masa. Las dimensiones de muchas magnitudes fsicaspueden expresarse en funcin de estas tres dimensiones fundamentales. Por ejemplo,el rea A de una superficie. Puesto que el rea es el producto de dos longitudes, se diceque tiene dimensiones de longitud por longitud, o longitud al cuadrado, que suele es-cribirse En esta ecuacin, [A] representa la dimensin de A, y L es la di-mensin de la longitud. La velocidad tiene dimensiones de longitud dividida portiempo o L/T. Las dimensiones de otras magnitudes, tales como fuerza o energa, seescriben en funcin de las magnitudes fundamentales longitud, tiempo y masa. Lasuma de dos magnitudes fsicas slo tiene sentido si ambas tienen las mismas di-

3A4 L2.

25 m>s 90 km>h 160 mi>h2

25 m>s90 kmh

1 h

3,6 ks

(Eunice Harris/Photo Researchers.)

La coherencia dimensional es unacondicin necesaria, pero no

suficiente, para que una ecuacin seacorrecta. Al expresar el rea de uncrculo el anlisis dimensional noindicar si la expresin correcta es o . (La expresin correcta es .)pr 22pr 2

pr 2

!


mensiones. Por ejemplo, no podemos sumar un rea a una velocidad y obtener unasuma que signifique algo. Si tenemos una ecuacin como

las magnitudes A, B y C deben tener las tres las mismas dimensiones. La suma deB y C exige que las dos magnitudes estn adems expresadas en las mismas uni-dades. Por ejemplo, si B es un rea de 500 cm2 y C es 4 m2, debemos convertir B enm2 o C en cm2 para hallar la suma de las dos reas.

A veces pueden detectarse errores en un clculo comprobando las dimensionesy unidades de las magnitudes que intervienen en l. Supngase, por ejemplo, queestamos utilizando errneamente la frmula para el rea de un crculo.Veremos inmediatamente que esto no puede ser correcto, ya que , tiene dimen-siones de longitud, mientras que el rea tiene dimensiones de longitud al cuadrado.

Ejemplo 1.2 Las dimensiones fsicas de la presin

La presin de un fluido en movimiento depende de su densidad r y de su velocidad v.Determinar una combinacin sencilla de densidad y velocidad que nos d las dimensionescorrectas de la presin.

PLANTEAMIENTO En la tabla 1.2 se ve que la presin tiene dimensiones de M/(LT2), ladensidad es M/L3 y la velocidad L/T. Adems, se observa que tanto la presin como la den-sidad tienen unidades de masa en el numerador, mientras que la velocidad no contiene la di-mensin M. Por lo tanto, tenemos que multiplicar o dividir dimensiones de densidad ydimensiones de velocidad para obtener la masa en las dimensiones de la presin. Para de-terminar con exactitud la relacin comenzaremos dividiendo las unidades de presin por lasde densidad e inspeccionemos el resultado con respecto a las dimensiones de la velocidad.

SOLUCIN

1. Se dividen las unidades de presin por las de densidad:

2prA 2pr

A B C

3P43r4

M>LT2M>L3

L2

T2

2. El resultado tiene dimensiones dev2. Las dimensiones de la presinson las mismas que las de densidadmultiplicadas por las de velocidadal cuadrado:

COMPROBACIN Dividir las dimensiones de la presin por las dimensiones de la veloci-dad al cuadrado y el resultado tiene dimensiones de densidad

1.5 CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y RDENES DE MAGNITUD

Muchos de los nmeros que se manejan en la ciencia son el resultado de unamedida y, por lo tanto, slo se conocen con cierta incertidumbre experimental.La magnitud de esta incertidumbre, que depende de la habilidad del cientficoy del aparato utilizado, frecuentemente slo puede estimarse. Se suele dar unaindicacin aproximada de la incertidumbre de una medida mediante el nmerode dgitos que se utilizan. Por ejemplo, si decimos que la longitud de una mesaes 2,50 m, queremos indicar que probablemente su longitud se encuentra entre2,495 m y 2,505 m; es decir, conocemos su longitud con una exactitud aproxi-mada de 0,005 m 0,5 cm de la longitud establecida. Si utilizamos un metroen el que se puede apreciar el milmetro y medimos esta misma longitud de lamesa cuidadosamente, podemos estimar que hemos medido la longitud conuna precisin de 0,5 mm, en lugar de 0,5 cm. Indicamos esta precisin utili-zando cuatro dgitos, como por ejemplo, 2,503 m, para expresar la longitud.Recibe el nombre de cifra significativa todo dgito (exceptuando el cero cuando

M>L3 3r4.3P4>3v24 1M>LT22>1L2>T22

Tabla 1.2 Dimensiones de las magnitudes fsicas

Magnitud Smbolo Dimensin

rea A L2

Volumen V L3

Velocidad L T

Aceleracin a L T2

Fuerza F ML T2

Presin (F A) p M LT2

Densidad (M V) r M L3

Energa E ML2 T2

Potencia (E T) P ML2 T3>>>

>>>>>

>>v

MLT2

ML3

L2

T2 3P4 3r43v24 ML3 a

LTb 2

Cuando trabajamos con nmeroscon incertidumbres debemos

asegurarnos de no incluir ms dgitosde los que incluye la precisin de lasmedidas.

Cifras significativas y rdenes de magnitud S E C C I N 1 . 5 | 9

se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor se conoce con seguridad. El n-mero 2,50 tiene tres cifras significativas; 2,503 tiene cuatro. El nmero 0,00103 tienetres cifras significativas. (Los tres primeros ceros no son cifras significativas, ya quesimplemente sitan la coma decimal.) En notacin cientfica, este nmero se escri-bira como 1,03 103. Un error muy comn entre los estudiantes, particularmentedesde que se ha generalizado el uso de calculadoras de bolsillo, es arrastrar en elclculo muchos ms dgitos de los que en realidad se requieren.

Supongamos, por ejemplo, que medimos el rea de un campo de juego circular mi-diendo el radio en pasos y utilizando la frmula del rea Si estimamos quela longitud del radio es 8 m y utilizamos una calculadora de 10 dgitos para determi-nar el valor del rea, obtenemos p(8 m)2 201,0619298 m2. Los dgitos situados de-trs del punto decimal no slo dificultan el clculo sino que inducen a confusinrespecto a la exactitud con la que conocemos el rea. Una regla general vlida cuandose manejan diferentes nmeros en una operacin de multiplicacin o divisin es:

El nmero de cifras significativas del resultado de una multiplicacin o di-visin no debe ser mayor que el menor nmero de cifras significativas decualesquiera de los factores.

En el ejemplo anterior slo se conoce una cifra significativa del radio; por lo tanto,slo se conoce una cifra significativa del rea. Esta se debe expresar como 2 102 m2,lo que implica que el rea est comprendida entre 150 m2 y 250 m2.

La precisin de la suma o resta de dos medidas depende de la precisin menorde estas medidas. Una regla general es:

El resultado de la suma o resta de dos nmeros carece de cifras significati-vas ms all de la ltima cifra decimal en que ambos nmeros originalestienen cifras significativas.

Ejemplo 1.3 Cifras significativas

Determinar la resta de 1,040 de 1,21342.

PLANTEAMIENTO El primer nmero, 1,040, tiene slo tres cifras significativas tras la comadecimal, mientras que el segundo, 0,21342, tiene cinco. De acuerdo con la regla anterior, lasuma slo puede tener tres cifras significativas despus de la coma decimal.

A pr2. Los valores exactos tienen unnmero ilimitado de cifras

significativas. Por ejemplo, un valorobtenido tras contar mesas no tieneincertidumbre, es un resultado exacto.Adems, el factor de conversin1 m/100 cm es un valor exacto porque1 m es exactamente igual a 100 cm.

!

Cuntas cifras significativas tieneel nmero 0,010 457?

COMPROBACIN CONCEPTUAL 1.1

SOLUCIN

Restar los nmeros manteniendo slo 3 dgitos ms all de la coma decimal: 0,1731,21342 1,040 0,173 42

COMPROBACIN La respuesta no puede tener una precisin mayor que la cifra menosprecisa de la operacin, es decir, 1,040 y, por lo tanto, la respuesta tiene, ms all de la coma,tres cifras significativas.

OBSERVACIN En este ejemplo, los nmeros tienen cuatro y seis cifras significativas, perola diferencia tiene slo tres. La mayora de los ejemplos y ejercicios de este libro tienen dos,tres o, excepcionalmente, cuatro cifras significativas.

PROBLEMA PRCTICO 1.2 Aplicar la regla apropiada para determinar el nmero de ci-fras significativas en las operaciones: (a) (b) (c) .

NOTACIN CIENTFICA El manejo de nmeros muy grandes o muy pequeos se simplifica utilizando lanotacin cientfica. En esta notacin, el nmero se escribe como el producto de unnmero entre 1 y 10 y una potencia de 10, por ejemplo Por ejemplo, el nmero 12 000 000 se escribe la distancia entre la Tierra yel Sol, 150 000 000 000 m, aproximadamente, se escribe donde hemossupuesto que ninguno de los ceros que sigue al cinco es una cifra significativa. Sialguno de los ceros que sigue al cinco fuera significativo escribiramos el nmero

1,5 1011 m,1,2 107;

103 1 10002.102 1 1002

2,456 2,4531,4 2,53,1,58 0,03,

!

Vase elApndice de matemticas

para ms informacin sobre

Potencias


como 1,500 1011 m. El nmero 11 en 1011 se llama exponente. Cuando los nme-ros son menores que 1, el exponente es negativo. Por ejemplo, y

El dimetro de un virus es, aproximadamente, igual a 0,000 000 01 m Observemos que al escribir los nmeros de esta forma se identifi-can claramente las cifras significativas. Por ejemplo, en 1,5 1011 m hay slo doscifras significativas (el 1 y el 5).

PROBLEMA PRCTICO 1.3Aplicar la regla apropiada para las cifras significativas y calcular

Utilice la siguiente estrategia de resolucin de problemas para hacer clculoscon notacin cientfica.

ESTRATEGIA DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

Notacin cientfica

PLANTEAMIENTO Si las cifras de un determinado clculo son muy grandeso muy pequeas, es conveniente escribirlas en notacin cientfica. Estanotacin permite determinar fcilmente el nmero de cifras significativas quetiene una cantidad y hace ms fcil llevar a cabo los clculos.

SOLUCIN Use las siguientes recomendaciones para resolver problemas connotacin cientfica.1. Al multiplicar dos nmeros con notacin cientfica, los exponentes se

suman; en la divisin, se restan. Estas reglas pueden comprobarsefcilmente en los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

Ejemplo:

2. En la notacin cientfica, 100 se define como 1. En efecto, dividamos porejemplo 1000 por s mismo. Resulta

Ejemplo:

3. Vaya con cuidado al sumar o restar nmeros en notacin cientfica si losexponentes no coinciden

Ejemplo:

4. Para hacer el clculo anterior sin convertir las cifras a la forma decimalhay que reescribirlas de forma que tengan el mismo exponente

Ejemplo:

5. Cuando se eleva una potencia a otra potencia los exponentes se multiplican

Ejemplo:

COMPROBACIN Al convertir a notacin cientfica cifras inferiores a unoasegrese que el exponente sea negativo. Compruebe con atencin cundo losexponentes se suman, se restan o se multiplican, ya que si se realiza la operacinequivocada se obtiene una respuesta incorrecta a nivel de potencias de 10.

OBSERVACIN Al resolver un problema evite introducir en la calculadoraresultados intermedios; es preferible conservar estos resultados en lamemoria de la calculadora. Cuando se tengan que introducir los resultadosintermedios en la calculadora, aada uno o dos dgitos ms (nosignificativos). Esta tcnica sirve para minimizar errores de redondeo.

(102)4 102 102 102 102 108

11200 1012 18 1012 1208 101 120,8

11,200 1022 18 1012 120,0 0,8 120,8

10001000

103

103 1033 100 1

102

103

1001000

1

10 101

102 103 100 1000 100 000 105

2,34 102 4,93.

1 108 m.0,0001 104.

0,1 101,

Todos los exponentes sonadimensionales y no tienen

unidades.!


Ejemplo 1.4 Cunta agua?

Un litro (L) es el volumen de un cubo de 10 cm 10 cm 10 cm. Si una persona bebe 1 Lde agua, qu volumen en centmetros cbicos y en metros cbicos ocupar este lquido ensu estmago?

PLANTEAMIENTO El volumen de un cubo de lado es V El volumen en cm3 se de-termina directamente a partir de Para determinar el volumen en m3 hay quetransformar los cm3 en m3 utilizando el factor de conversin 1 cm 102 m.

10 cm. 3.

COMPROBACIN La respuesta puede verificarse estimando que si se necesitan aproxima-damente 1022 segundos para contar los tomos en un gramo de carbono y un ao son unos107 segundos, se necesitaran 1022/107 1015 aos.

OBSERVACIN El tiempo requerido es, aproximadamente, 100 000 veces la edad del uni-verso.

PROBLEMA PRCTICO 1.4 Si dividiramos esta tarea de modo que cada persona contasetomos diferentes, cuntos aos tardara un equipo formado por 5000 millones (5 109)de personas para contar los tomos que contiene 1 g de carbono?

SOLUCIN

1. Calcular el volumen en cm3:

2. Convertir a m3:

El factor de conversin (igual a 1) puede elevarse a la tercera potencia sin modificar su valor, permitindonos cancelar las unidades implicadas.

103 cm3V 3 110 cm23 1000 cm3

103 m3 103 cm3 106 m3

1 cm3

103 cm3 103 cm3 a 102 m1 cm

b 3

SOLUCIN

1. El tiempo es igual al nmero total de tomos N dividido por la tasa de recuento R 1 tomo/s:

2. Determinar el nmero de tomos de carbono en 1 g:

3. Calcular el nmero de segundos necesarios para contar los tomos si contamos 1 por segundo:

4. Calcular el nmero de segundos que contiene un ao:

5. Utilizar el factor de conversin 3,15 107 s/a (una magnitud que conviene recordar) y convertir la respuesta del paso 3 en aos:

n 365 d

1,00 a

24 h

1 d

3600 s

1 h 3,15 107 s>a

t NR

5,02 1022 tomos

1 tomo>s 5,02 1022 s

5,02 1022 tomosN 6,02 1023 tomos

12,0 g

N Rt

1,59 1015 a 5,02

3,15 10227 a

t 5,02 1022 s 1,00 a

3,15 107 s

COMPROBACIN Obsrvese que las respuestas se dan en m3 y en cm3. Estas respuestasson consistentes con el hecho de que el volumen es una longitud elevada al cubo. Obsrvesetambin que 103 es mayor que 103, lo cual es consistente con que el metro es mayor que elcentmetro.

Ejemplo 1.5 Recuento de tomos

En 12 g de carbono existen tomos de esta sustancia (nmero deAvogadro). Si contramos un tomo por segundo, cunto tiempo tardaramos en contar lostomos de 1 g de carbono? Expresar el resultado en aos.

PLANTEAMIENTO Necesitamos determinar el nmero total de tomos, N, que hemos decontar y tener en cuenta que el nmero contado es igual a la tasa de recuento R multiplicadapor el tiempo t.

NA 6,02 : 1023


ORDEN DE MAGNITUDCuando se realizan clculos aproximados o comparaciones se suele redondear un n-mero hasta la potencia de 10 ms prxima. Tal nmero recibe el nombre de orden demagnitud. Por ejemplo, la altura de un pequeo insecto, digamos un hormiga, puedeser 8 104 m , aproximadamente, 103 m. Diremos que el orden de magnitud dela altura de una hormiga es de 103 m. De igual modo, como la altura de la mayorade las personas se encuentra prxima a 2 m, podemos redondear este nmero y decirque el orden de magnitud de la altura de una persona es h 100, donde el smbolosignifica es del orden de magnitud de. Esto no quiere decir que la altura tpica deuna persona sea realmente de 1 m, sino que est ms prxima a 1 m que a 10 m 101 0,1 m. Podemos decir que una persona tpica es tres rdenes de magnitud msalta que una hormiga tpica, queriendo decir con esto que el cociente entre las alturases, aproximadamente, igual a 103 (relacin 1000 a 1). Un orden de magnitud no pro-porciona cifras que se conozcan con precisin; es decir, debemos considerar que notiene cifras significativas. La tabla 1.3 especifica los valores de los rdenes de magni-tud de algunas longitudes, masas y tiempos relacionados con la Fsica.

En muchos casos, el orden de magnitud de una cantidad puede estimarse me-diante hiptesis razonables y clculos simples. El fsico Enrico Fermi era un maestroen el clculo de respuestas aproximadas a cuestiones ingeniosas que parecan a pri-mera vista imposibles de resolver por la limitada informacin disponible. El siguientees un ejemplo de problema de Fermi.

El dimetro de la galaxia Andrmeda es delorden de 1021 m. (Smithsonian Institution.)

Distancias familiares en nuestro mundocotidiano. La altura de la muchacha es del ordende 100 m y la de la montaa de 104 m. (Kent and Donnan Dannon/Photo Researchers.)

Tabla 1.3 El universo por rdenes de magnitud Tamao o distancia (m) Masa (kg) Intervalo de tiempo (s)

Protn 1015 Electrn 1030 Tiempo invertido por la luz en atravesar un ncleo 1023

tomo 1010 Protn 1027 Periodo de la radiacin de luz visible 1015

Virus 107 Aminocido 1025 Periodo de las microondas 1010

Ameba gigante 104 Hemoglobina 1022 Periodo de semidesintegracin de un mun 106

Nuez 102 Virus de la gripe 1019 Periodo del sonido audible ms alto 104

Ser humano 100 Ameba gigante 108 Periodo de las pulsaciones del corazn humano 100

Montaa ms alta 104 Gota de lluvia 106 Periodo de semidesintegracin de un neutrn libre 103

Tierra 107 Hormiga 104 Periodo de rotacin terrestre 103

Sol 109 Ser humano 102 Periodo de revolucin terrestre Distancia Tierra-Sol 10

11Cohete espacial Saturno 5 106 alrededor del Sol 10

7

Sistema solar 1013 Pirmide 1010 Vida media de un ser humano 109

Distancia de la estrella 1016 Tierra 1024 Periodo de semidesintegracin del plutonio 239 1012

ms cercana Sol 1030 Vida media de una cordillera 1015

Galaxia Va Lctea 1021 Galaxia Va Lctea 1041 Edad de la Tierra 1017

Universo visible 1026 Universo 1052 Edad del universo 1018

Molculas de benceno del orden de 1010 m dedimetro, vistas mediante un microscopioelectrnico de barrido. (IBM Research, AlmadenResearch Center.)


(Corbis.)

Ejemplo 1.6 Desgaste de los neumticos

Qu espesor de la banda de caucho de un neumtico de automvil se ha desgastado en un re-corrido de 1 km?

PLANTEAMIENTO Supongamos que el espesor de la banda de un neumtico nuevo es de1 cm. Quizs vare en un factor de 2, pero desde luego no es 1 mm, ni tampoco 10 cm. Comolos neumticos deben reemplazarse cada 60 000 km, podemos admitir que la banda est gas-tada completamente despus de recorrer esta distancia, es decir, que su espesor disminuyea razn de 1 cm cada 60 000 km.

SOLUCIN

Utilizar la estimacin de desgaste de 1 cm por cada 60 000 km de recorrido para calcular la disminucin de espesor en 1 km:

2 107 m de desgaste por km recorrido

desgaste de 1 cm

60000 km recorrido

desgaste de 1,7 105 cm

1 km recorrido

COMPROBACIN Para comprobar la respuesta, divdase el volumen de la playa por el nmerode granos que se ha calculado. El resultado es 1,5 105 m3/3 1014 granos 5 1010 m3/grano.Este resultado coincide con el volumen estimado de un grano de arena o 4/[3p(5 104)3].

OBSERVACIN Una forma de determinar el volumen del espacio entre los granos consiste enllenar un recipiente de un litro con arena seca. Una vez lleno echar agua en el recipiente hastaque la arena est saturada de agua. Si suponemos que con 100 cm3 de agua la arena del recipientese satura, el volumen real de la arena es de 900 cm3. Por lo tanto, hemos sobreestimado el nmerode granos de la playa. Teniendo en cuenta que la arena ocupa el 90% del volumen de su conte-nedor, en la playa hay un 90% de los granos calculados en el paso 3 de la solucin del problema.

EJERCICIO PRCTICO 1.5 Cuntos granos de arena hay en una playa que ocupa una zonade 2 km de longitud y de 500 m de anchura? Suponer que la arena ocupa un espesor de 3,00 m yque el dimetro medio de los granos de sal es de 1,0 mm.

Pngalo en su contexto

por lo tanto

3 1014 2,9 1014 N 3VB

4pR3

31500 m21100 m213 m24p10,5 103 m23

VB NVG N43pR3

COMPROBACIN Si se multiplica 1,7 105 cm/km por 60 000 km se obtiene, aproxima-damente, 1 cm, que es el espesor de la banda de un neumtico nuevo.

OBSERVACIN El dimetro de los tomos es de unos As, el grosor desgas-tado por cada kilmetro de recorrido es equivalente a 1000 dimetros atmicos.

Ejemplo 1.7 Cuntos granos de arena hay en una playa?

Para evitar caer en la somnolencia durante una clase despus de un da cargado de activi-dades, no hay nada mejor que este reto que propone un profesor de fsica a sus alumnos con-sistente en estimar cuntos granos de arena hay en una playa.

PLANTEAMIENTO Primero tenemos que plantearnos qu caractersticas asumimos quetiene la playa y su arena. Suponemos que la playa ocupa una zona de forma rectangular de500 m de largo, 100 de ancho y que la arena tiene unos 3 m de profundidad. Una bsquedaintensa mediante Internet nos lleva a estimar que los granos de arena tienen dimetros queoscilan entre 0,04 mm y 2 mm, pero en nuestro problema consideramos que los granos dearena son esferas con un dimetro medio de 1 mm. Por otra parte, suponemos que los gra-nos estn tan juntos entre ellos, que el volumen del espacio entre ellos es despreciable com-parado con el volumen de la arena.

SOLUCIN

1. El volumen VB de la playa es igual al nmero N de granos por el volumen de un grano VG:

2. Usando la frmula del volumen de una esfera, se calcula el volumen de un grano de arena:

3. Se despeja el nmero de granos. En nuestro clculo los nmeros tienen una cifra significativa nicamente, por lo que la respuesta tambin viene expresada con esta precisin:

VG 43pR3

VB NVG

2 1010 m.

(Corbis.)

la posicin de un objeto, aunque no representa el camino real que el objeto sigue.Por ejemplo, en la figura 1.3b, el mismo vector desplazamiento corresponde a lostres caminos distintos 1, 2 y 3 que unen el punto A con el B.

Si, tal como se muestra en la figura 1.3c, dos vectores desplazamiento tienen lamisma direccin, son paralelos. Por el contrario, si tienen direcciones opuestas (fi-gura 1.3d) son antiparalelos. Si dos vectores tienen el mismo mdulo y la mismadireccin se dice que son iguales. Grficamente, esto significa que tienen la mismalongitud y que son paralelos entre s. Un vector puede dibujarse en distintos pun-tos siempre y cuando se dibuje con el mdulo (la longitud) correcto y la direccinadecuada. As, todos los vectores de la figura 1.4 son iguales. Si trasladamos o gi-ramos el sistema de coordenadas, todos los vectores de la figura 1.4 permaneceniguales. Un sistema de coordenadas est formado por dos o tres ejes coordenados per-pendiculares entre s. Por tanto, un vector no depende del sistema de coordenadasutilizado para su representacin (excepto los vectores de posicin, que introduci-remos en el captulo 3).

SUMA Y SUSTRACCIN DE VECTORESSupongamos que vamos de excursin a un bosque y que la figura 1.5 muestranuestra trayectoria cuando nos movemos desde el punto P1 hasta un segundopunto P2 y luego a un tercer punto P3. El desplazamiento de P1 a P2 viene re-presentado por el vector y el desplazamiento de P2 a P3 por . Obsrvese queel vector desplazamiento depende slo de los puntos extremos y no de la tra-yectoria real que seguimos. El desplazamiento resultante de P1 a P3, llamado es la suma de los dos desplazamientos sucesivos y

1.1

La suma de los dos vectores se denomina suma, el vector suma, o la resultante.El signo ms en la ecuacin 1.1 se refiere al proceso denominado adicin de vec-

tores. Determinamos la suma geomtricamente, ya que se tienen en cuenta tanto elmdulo como la direccin de los vectores. Dos vectores desplazamiento se sumangrficamente situando el origen de uno en el extremo del otro (figura 1.6). El vectorresultante se extiende desde el origen del primer vector al extremo final del segundo.Este mtodo para la suma de vectores se denomina uno a continuacin del otro.

CS

AS

BS

BS

:AS

CS

BS

AS

Propiedades generales de los vectores S E C C I N 1 . 7 | 15

Vector desplazamiento

B

A

(a)

Vector desplazamiento

Camino 1

Camino 3

Camino 2

B

A

(b)

Vectores paralelos

(c)

Vectores antiparalelos

(d)

y

x

F I G U R A 1 . 4 Los vectores son iguales sisus mdulos y direcciones son los mismos.Todos los vectores de esta figura son iguales.

y

x

z

P1

P2

P3

A

B

C

F I G U R A 1 . 5

A

B

C

C = A + B

F I G U R A 1 . 6 Mtodo para la suma devectores que consiste en situar los dos vectoresuno a continuacin del otro.

F I G U R A 1 . 3 (a) Vector desplazamiento desde el punto A al punto B; (b) el mismo vectordesplazamiento con tres caminos diferentes; (c) el mismo vector desplazamiento junto a unsegundo vector desplazamiento paralelo pero de distinta longitud; (d) el mismo vectordesplazamiento junto a un vector que es antiparalelo y que tiene distinta longitud.

A A = A + (A) = 0

A

A

F I G U R A 1 . 9


Una forma equivalente de sumar vectores es el llamado mtodo del paralelo-gramo, que consiste en desplazar hasta que coincida su origen con el de (fi-gura 1.7). La diagonal del paralelogramo formado por y es igual a . Comopuede verse en la figura 1.7, no existe diferencia en el orden en que sumemos losvectores; es decir, Por lo tanto, la suma de vectores obedece lapropiedad conmutativa.

La suma de ms de dos vectores, por ejemplo y , se lleva a cabo su-mando primero dos de ellos (figura 1.8) y sumando el resultado al tercero. El ordenen que se agrupan los vectores para sumarlos no importa, ya que la suma de vec-tores es asociativa, es decir,

Si los vectores y tienen el mismo mdulo pero tienen la direccin opuesta,el vector es un vector de mdulo cero. Esto se puede demostrar utili-zando el mtodo geomtrico para construir grficamente el vector suma Cualquier vector de mdulo cero se denomina vector No tiene sentido hablar dela direccin de un vector de mdulo cero, por lo que a lo largo de este libro no ha-blaremos ni usaremos notacin vectorial para el vector cero. Por lo tanto, si

, y viceversa, donde el negativo de se escribe como . Portanto, ambos vectores y son uno el negativo del otro slo si tienen el mismomdulo y direcciones opuestas.

La sustraccin del vector del consiste en sumar a el negativo de . Elresultado es (figura 1.10a). Un mtodo alternativo desustraer de consiste en sumar a los dos lados de la ecuacin

con lo que se obtiene y grficamente sumar con .Para ello, se dibuja y de modo que coincida su origen y luego se dibuja delextremo de al de A

S.B

SCS

BS

AS

CS

BS

BS

CS

AS

,CS

AS

1BS2BS

AS

BS

CS

AS

BS

AS

1BS2BS

AS

AS

,BS

BS

AS

AS

AS

BS

AS

AS

BS

0,

0S

.AS

BS

.CS

AS

BS

BS

AS

1AS BS2 CS AS 1BS CS2.

CS

BS

,AS

,

AS

BS

BS

AS

.

CS

BS

AS

AS

BS

A

BC

A

B

A + B = B + A = C

F I G U R A 1 . 7 Mtodo del paralelogramopara la suma de vectores.

A A A

B B BC C C

A + (B

+ C)

(A + B)

+ C

A + B +

C

B + C

A+

B

F I G U R A 1 . 8 La suma de vectores es asociativa 1AS BS2 CS AS 1BS CS2.

F I G U R A 1 . 1 0 Formas alternativas de restar vectores.Sea (a) Para obtener sumamos a (b) Primero dibujamos y con sus extremos unidos. esel vector que sumamos a para obtener A

S.B

SCS

BS

AS

AS

.BS

CS

,CS

AS

BS

.

C = A B = A + (B)

C = A B B + C = AAC

CA

A

B

B

B

(a)

(b)

Obsrvese que C no es igual a A Ba menos que y estn en la

misma direccin. Es decir, no implica que C A B.

CS

AS

BS

BS

AS!

Conceptual

N

E

C5,00 km B

4,00 km

A3,00 km

0 1CENTMETROS

M-108

2 3 4

F I G U R A 1 . 1 1


Ejemplo 1.8 Desplazamiento

Una persona se mueve 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. Cul es el desplaza-miento resultante?

PLANTEAMIENTO El desplazamiento de la persona es el vector que va desde la posicininicial a la posicin final. Para encontrar el desplazamiento resultante, se suman grfica-mente los dos vectores desplazamiento. Para dibujar la resultante con exactitud, usamos unaescala tal que 1 cm corresponda a un desplazamiento de 1 km.

SOLUCIN

1. Sean y los desplazamientos de 3,00 km hacia el este y de 4 km hacia el norte, respectivamente, y sea

Dibuje y con el origen de en el extremo de como se muestra en la figura 1.11. Usar la escala 1 cm 1 km e incluir los ejes que sealan al norte y al este.

2. Determinar el mdulo y la direccin de usando el dibujo, teniendo en cuenta la escala 1 cm 1 km, y un transportador.

CS

AS

,BS

BS

AS

CS

AS

BS

.

BS

AS

A

1

AS = A cos 1

S

AS

(a)

B

2

BS = B cos 2 = B cos

S

BS

(b)

F I G U R A 1 . 1 2 La componente de un vector en unadireccin especificada es igual al mdulo del vectormultiplicado por el coseno del ngulo entre la direccin delvector y la direccin especificada. La componente delvector en la direccin positiva de S es As siendo Aspositiva. La componente del vector en la direccinpositiva de S es Bs siendo Bs negativa.

BS

AS

La flecha que representa a mide5,00 cm, por lo que el mdulo de esde 5,00 km. La direccin de es,aproximadamente, de 53 al noroeste.

CS

CS

CS

COMPROBACIN La distancia recorrida es 3,00 km 4,00 km 7,00 km y el mdulo deldesplazamiento neto es de 5 km. Este resultado es consistente con la frase la distancia mscorta entre dos puntos es la lnea recta. Igualmente, si nos movemos 3 km hacia el este y des-pus 4 km hacia el norte es de esperar que estemos ms de 45 al norte de nuestro punto departida.

OBSERVACIN Un vector viene descrito por su mdulo y direccin. En este ejemplo el des-plazamiento resultante es un vector de longitud 5 km en una direccin 53,1 al norte del este.

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALARLa expresin donde es un vector arbitrario, corresponde a la suma

es decir, Un vector multiplicado por un escalar ses el vector que tiene de mdulo y es paralelo a si s es positivo, y an-tiparalelo a si s es negativo. Las dimensiones de sA son las de s multiplicadas porlas de . (Adems, dividir por un escalar s equivale a multiplicar por 1/s.)

COMPONENTES DE UN VECTORLa suma y la resta algebraica de vectores se lleva a cabo expresando los vectores enfuncin de sus componentes. La componente de un vector a lo largo de una lneaen el espacio es la longitud de la proyeccin del vector sobre dicha lnea. Se obtienetrazando una lnea perpendicular a la lnea desde el extremo o flecha de un vector,como indica la figura 1.12. Cuando se determinan las componentes x, y y z de un

AS

AS

AS

AS

AS

s ABS

sAS

,AS

AS

AS

AS

3AS

.AS

AS

AS

,AS

3AS

,

Pngalo en su contexto


N

C

B

x

y

A

60,0

14040,0

F I G U R A 1 . 1 6

SOLUCIN

(a) 1. Dibujamos el diagrama de suma de vectores a escala (figura 1.16). Primero trazamos losejes coordenados correspondientes de modo que el eje x seale hacia el este y la direccindel eje y hacia el norte. A continuacin, trazamos el primer vector desplazamiento de3,00 cm de largo formando un ngulo de 60 con el eje x, es decir, apuntando hacia elnordeste. Luego, a partir del extremo de dibujamos el segundo vector de 4,00 cm delargo, con un ngulo de 40 con la direccin oeste. (Necesitar un transportador para medir los ngulos). Finalmente, dibuje el vector resultante uniendo el origen de con el extremo de

2. Determine la longitud de Usando un transportador, mida el ngulo entre la direccin de y la direccin -x:C

SCS

.

BS

:AS

CS

BS

AS

AS

mide 5,40 cm de longitud. Por lo tanto, el mdulo del

desplazamiento resultante es de El ngulo entre

el vector y el eje x es, aproximadamente, de 73,2. Por

consiguiente, hay que caminar 5,40 km hacia el noroeste

con un ngulo de 73,2 respecto a la direccin noroeste.

CS

5,40 km.

CS

(b) 1. Para resolver el problema utilizando las componentes vectoriales, sea el primer desplazamiento y elegimos el eje x positivo en la direccineste y el eje y positivo en la direccin norte. Calculamos Ax y Ay de lasecuaciones 1.2 y 1.3:

AS

Ay 13,00 km2 sen60 2,60 km Ax 13,00 km2 cos60 1,50 km

2. De igual modo calculamos las componentes del segundodesplazamiento El ngulo entre la direccin de y la direccin xes 180,0 40,0 140

BS

BS

. By 14,00 km2 sen140 2,57 km Bx 14,00 km2 cos140 3,06 km

3. Las componentes del desplazamiento resultante se obtienenpor suma:

CS

AS

BS

Cy Ay By 2,60 km 2,57 km 5,17 km Cx Ax Bx 1,50 km 3,06 km 1,56 km

4. El teorema de Pitgoras nos permite obtener la magnitud de CS

:

5,40 km C 429,2 km2

11,56 km22 15,17 km22 29,2 km2 C2 Cx2 Cy2

5. El cociente entre Cy y Cx es igual a la tangente del ngulo u entre y ladireccin positiva de x. Al hacer los clculos vaya con cuidado, ya que alvalor de arctg que le devuelve la calculadora podra tener que sumarle180:

CS

por lo tanto,

oo 107 o bien 73,2173,2 1802 o bien 73,2

u arctg 5,17 km

1,56 km arctg13,312

tg u Cy

Cx

6. Cy es positiva y Cx es negativa; por lo tanto, el ngulo u nos lleva alsegundo cuadrante:

u 107 en la direccin contraria a las agujas de un reloj

73,2 hacia el noroeste f

COMPROBACIN El paso 4 del apartado (b) da de mdulo 5,40 km y el apartado 6 con-cluye que la direccin es de 73,2 hacia el noroeste. Estos resultados estn de acuerdo con losresultados del apartado (a) dentro de la exactitud de nuestras medidas.

OBSERVACIN Para especificar un vector se necesita saber el mdulo y la direccin otodas sus componentes. En este ejemplo precisamente se ha practicado como calcularlas.

Ejemplo 1.9 El mapa del tesoro

Suponga que usted trabaja en un centro turstico en una isla tropical y est encargado de di-sear una actividad para los turistas de bsqueda de un tesoro. Dispone de un mapa que leindica las direcciones a seguir para enterrar un tesoro en un lugar determinado. Usted nodesea malgastar el tiempo dando vueltas por la isla, porque quiere acabar pronto para ir a laplaya y hacer surfing. Las instrucciones son ir 3,00 km en direccin hacia el nordeste 60 y des-pus moverse 4,00 km en direccin noroeste con un ngulo de 40 respecto del oeste. En qudireccin debe moverse y cunto tendr que caminar para cumplir su objetivo con la mximarapidez? Determine la respuesta (a) grficamente y (b) usando componentes vectoriales.

PLANTEAMIENTO En ambos casos hay que determinar la resultante del desplazamiento. Enel apartado (a) use el mtodo grfico dibujando a escala cada uno de los desplazamientos y mi-diendo el desplazamiento resultante. Para el apartado (b) hay que descomponer cada vector ensus componentes individuales y utilizarlas para calcular el desplazamiento resultante.

BA sA


VECTORES UNITARIOSUn vector unitario es un vector sin dimensiones de mdulo unidad. El vector

es un ejemplo de vector unitario que apunta en la direccin de Losvectores unitarios se escriben en negritas con un pequeo ngulo o acento circun-flejo en su parte superior. Los vectores unitarios que apuntan en la direcciones x, yy z son adecuados para expresar los vectores en funcin de sus componentes rec-tangulares. Normalmente, se escriben y respectivamente. As, el vector tiene mdulo y apunta en la direccin x positiva si Ax es positiva (o la direc-cin x negativa si Ax es negativo). Un vector A, en general, puede escribirse comosuma de tres vectores, cada uno de ellos paralelo a un eje coordenado (figura 1.17):

1.7

La suma de dos vectores y puede escribirse en funcin de vectores unita-rios en la forma

1.8

Las propiedades generales de los vectores se resumen en la tabla 1.4.

PROBLEMA PRCTICO 1.7Dados dos vectores y , determi-nar (a) A, (b) B, (c) y (d) A

S B

S.A

S B

S,

BS

12,00 m2in 13,00 m2jnAS 14,00 m2in 13,00 m2jn

1Ax Bx2in 1Ay By2jn 1Az Bz2kn AS

BS

1Ax in Ay jn Azkn2 1Bx in By jn Bzkn2

BS

AS

AS

Ax in Ay j

n Azkn

Ax Ax i

nkn,jn,in,

AS

.An AS>A

y

x

z

A

Ay^j

Ax^i

Az^k

(b)

^j ^

i

^k

(a)

y

x

z

A

B

C

AB

BC

BA

AB

Tabla 1.4 Propiedades de los vectoresPropiedad Explicacin Figura Representacin de

las componentes

Igualdad si y sus Ax Bxdirecciones y sentidos Ay Byson iguales Az Bz

Adicin Cx Ax BxCy Ay ByCz Az Bz

Negativo si y su Ax Bxde un vector sentido es opuesto Ay By

Az Bz

Sustraccin Cx Ax BxCy Ay ByCz Az Bz

Multiplicacin tiene el mdulo Bx sAxpor un escalar y la misma direccin que By sAy

si s es positivo o si s es negativo Bz sAzAS

AS s A

SB

SsA

SBS

BS

AS

CS

ASB

SB

SAS

BS

AS

CS

BSA

SB

SAS

F I G U R A 1 . 1 7 (a) Los vectores unitariosy en un sistema de coordenadas

cartesiano (rectangular). (b) El vector enfuncin de los vectores unitarios:AS

Ax in Ay j

n Azkn.

AS

knjn,in,

Temas de actualidad en Fsica | 21

Temas de actualidad en Fsica

El ao 2005: bisiesto por un segundo

El calendario del ao 2005 fue un segundo ms largo de lo habi-tual. Ese ao fue entonces bisiesto por un segundo. Este ajuste fuenecesario para sincronizar dos sistemas de medir el tiempo, unobasado en la rotacin de la Tierra y el otro basado en un grupo se-leccionado de relojes atmicos.

A lo largo de la historia, la medida del tiempo se ha relacionadocon la posicin del Sol en el cielo, determinada por la rotacin de laTierra alrededor de su eje y por su movimiento de traslacin alre-dedor del Sol. Este tiempo astronmico, denominado actualmenteel Tiempo Universal (UT1), asuma que el movimiento de rotacinde la Tierra es uniforme. Sin embargo, a medida que se ha dis-puesto de mtodos de medida ms precisos se ha hecho patenteque la velocidad de rotacin de la Tierra presenta ligeras irregula-ridades, lo cual implica tambin que se da una cierta variabilidaden la unidad estndar de medida cientfica del tiempo, el segundo,definido como (1/60)(1/60)(1/24) de un da solar medio.

En 1955, el National Physical Laboratory en Gran Bretaa de-sarroll el primer reloj atmico de cesio, un dispositivo que tenauna exactitud mucho mayor que cualquier otro reloj que hubieraexistido antes. La medida del tiempo se convirti en un procesoindependiente de las observaciones astronmicas y, en conse-cuencia, se consigui una definicin de segundo mucho ms precisa basada en lafrecuencia de la radiacin emitida durante la transicin entre dos niveles de ener-ga del tomo cesio-133. Sin embargo, el sistema ms familiar UT1 sigue siendo im-portante para sistemas de navegacin y astronmicos. Por ello, es importante queambos sistemas de medir el tiempo se sincronicen.

Segn el National Physical Laboratory, la solucin adoptada para la sincro-nizacin ha sido construir una escala de tiempo atmica que sea la base para medirel tiempo denominada Tiempo Universal Coordinado (UTC). Esta escala combinala regularidad del tiempo atmico con la comodidad del UT1, y muchos pases lahan adoptado como la base legal para las medidas del tiempo.1 La OficinaInternacional de Pesas y Medidas de Svres, Francia, recoge datos de un seleccinde laboratorios que miden el tiempo repartidos por todo el mundo para propor-cionar el tiempo internacional estndar, UTC.

Cuando se dan pequeas diferencias entre el UTC y el UT1 a causa de las fluc-tuaciones en la rotacin de la Tierra (normalmente son retrasos), se aade un se-gundo para corregir el desajuste. Es un concepto similar a los aos bisiestos que seusan para corregir el calendario. Efectivamente, un ao no son exactamente 365das sino 365,242 das. Para tener en cuenta el desfase producido al considerar elao de 365 das, cada cuatro aos el calendario incluye un 29 de febrero.

Desde 1972, la medida del tiempo se realiza por medio de relojes atmicos, y desdeentonces, en 23 ocasiones se ha aadido un segundo al tiempo UTC. Por un acuerdointernacional, se aade un segundo cuando la diferencia entre el UT1 y el UTC alcanzalos 0,9 segundos. Previamente, la International Earth Rotation and Reference System(IERS) anuncia la necesidad de este cambio con unos meses de antelacin.

En un ao normal, el ltimo segundo del ao es el 23:59:59 UTC del 31 de di-ciembre, en tanto que el primer segundo del nuevo ao es el 00:00:00 UTC del 1de enero. Sin embargo, el ao 2005 se aadi un segundo a la hora 23:59:59 UTCdel 31 de diciembre, por lo que los relojes antes de cambiar a 00:00:00 UTC sea-laron la hora 23:59:60 UTC.

1 http://www.npl.co.uk/time/leap_second.html

El sistema de posicionamiento global, GPS,requiere que haya 24 satlites bsicos enservicio al menos el 70% del tiempo. Cadasatlite bsico tiene una rbita con un periodode 1/2 de un da sideral (1 da sideral 23 h56 min) y con un radio aproximadamenteigual a cuatro veces el radio terrestre. Hay6 planos orbitales, inclinados 55 con respectoal plano ecuatorial de la Tierra, cada uno delos cuales tiene cuatro satlites bsicos.Adems, hay otros satlites GPS que seutilizan en rbitas de reserva cuando algunode los satlites bsicos falla. Cuando esteapartado se escribi (mayo del 2006) haba29 satlites operacionales en rbita. (DetlevVan Ravenswaay/Photo Researchers.)


Resumen

TEMA OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES

1. Unidades Las cantidades fsicas son nmeros que se obtienen a partir de medidas de los objetos fsicos.Tambin se pueden definir de forma prctica a partir de operaciones y procedimientos que, sise siguen, las determinan sin ambigedad.

2. Unidades fundamentales Las unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI) son el metro (m), el segundo (s), el ki-logramo (kg), el kelvin (K), el ampere (A), el mol (mol) y la candela (cd). Las unidades de cual-quier magnitud fsica se pueden expresar en funcin de estas unidades fundamentales.

3. Las unidades en las ecuaciones Las unidades en las ecuaciones se tratan de igual modo que cualquier otra magnitud alge-braica.

4. Conversin Los factores de conversin, que son siempre igual a 1, proporcionan un mtodo adecuadopara convertir un tipo de unidad en otra.

5. Dimensiones Los dos miembros de una ecuacin deben tener las mismas dimensiones.

6. Notacin cientfica Por conveniencia, los nmeros muy grandes y muy pequeos se escriben por medio de unfactor que multiplica a una potencia de 10.

7. Exponentes

Multiplicacin Al multiplicar dos nmeros, los exponentes se suman.

Divisin Al dividir dos nmeros, los exponentes se restan.

Potencia Cuando un nmero que contiene un exponente se eleva a otro exponente, los exponentes semultiplican.

8. Cifras significativas

Multiplicacin y divisin El nmero de cifras significativas en el resultado de una multiplicacin o divisin nunca sermayor que el menor nmero de cifras significativas de cualquiera de los factores.

Adicin y sustraccin El resultado de la suma o resta de dos nmeros no tiene cifras significativas ms all de la l-tima cifra decimal en que ambos nmeros originales tienen cifras significativas.

9. Orden de magnitud Un nmero redondeado a la potencia ms prxima de 10 se denomina orden de magnitud. Elorden de magnitud puede estimarse mediante hiptesis razonables y clculos simples.

10. Vectores

Definicin Los vectores son magnitudes que tienen mdulo y direccin. Se suman como los desplaza-mientos.

Componentes La componente de un vector a lo largo de una lnea en el espacio es su proyeccin sobredicha lnea. Si forma un ngulo u con el eje x, sus componentes x e y son

1.21.3

Mdulo 1.5a

Suma grfica de vectores Dos vectores cualesquiera cuyos mdulos poseen las mismas unidades pueden sumarse gr-ficamente situando la cola de la flecha que representa a uno de ellos en el extremo o cabezadel otro.

Suma de vectores mediante componentes Si entonces1.6a

y1.6b

Vectores unitarios Un vector puede escribirse en funcin de los vectores unitarios y de mdulo uni-dad, dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente

1.7AS

Ax in Ay j

n Azkn

kn,jn,in,AS

Cy Ay By

Cx Ax Bx

CS

AS

BS

,

A 3Ax2 Ay2

Ay A senu

Ax A cosuAS

Problemas | 23

Respuestas a las comprobacionesconceptuales

1.1 5

Respuestas a los problemas prcticos

1.1 (a) 300 ns, (b) 40 Mm

1.2 (a) 0,05, (b) 3,9, (c) 0,003

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7 (a) (b) (c) (d) A

S B

S 12,00 m2in 16,00 m2jn

AS

BS

16,00 m2in,B 3,61 m,A 5,00 m,Ax 17,3 km, Ay 10,0 km

6 10153,2 105 aos

2,39 102

Problemas

En algunos problemas se dan ms datos de los realmentenecesarios; en otros pocos, deben aportarse algunos datos apartir de conocimientos generales, fuentes externas oestimaciones lgicas.

En los datos numricos sin coma decimal se debenconsiderar significativos todos los dgitos, incluidos losceros a la derecha del ltimo diferente de cero.

Concepto simple, un solo paso, relativamente fcil

Nivel intermedio, puede exigir sntesis de conceptos

Desafiante, para alumnos avanzados

La solucin se encuentra en el Manual de soluciones

Los problemas consecutivos que estn sombreados sonproblemas relacionados.

SSM

PROBLEMAS CONCEPTUALES

1 Cul de las siguientes magnitudes fsicas no es una de lasfundamentales del Sistema Internacional (SI)? (a) Masa. (b) Longitud.(c) Energa. (d) Tiempo. (e) Todas ellas son magnitudes fsicas funda-mentales.

2 Al hacer un clculo, el resultado final tiene las dimensionesm/s en el numerador y m/s2 en el denominador. Cules son las uni-dades finales? (a) (b) (c) (d) s, (e) m/s.

3 El prefijo giga significa: (a) 103, (b) 106, (c) 109, (d) 1012, (e) 1015.

4 El prefijo mega significa: (a) 109, (b) 106, (c) 103, (d) 106,(e) 109.

5 Demostrar que un pie equivale a 30,48 cm. Cuntos cent-metros hay en una milla?

6 El nmero 0,000 513 0 tiene ______ cifras significativas.(a) una, (b) tres, (c) cuatro, (d) siete, (e) ocho.

7 El nmero 23,0040 tiene ______ cifras significativas. (a) dos,(b) tres, (c) cuatro, (d) cinco, (e) seis.

8 Una fuerza tiene dimensiones de masa por aceleracin. Laaceleracin tiene dimensiones de velocidad dividida por tiempo. La pre-sin es una fuerza dividida por un rea. Cules son las dimensiones dela presin?

9 Verdadero o falso: para multiplicar dos magnitudes es con-dicin necesaria que tengan las mismas dimensiones.

10 Un vector tiene la componente x negativa y la componente ypositiva. Su ngulo medido en la direccin contraria a las agujas delreloj desde el eje x est (a) entre cero y 90 grados, (b) entre 90 y 180 gra-dos, (c) ms all de los 180 grados.

11 Un vector seala en la direccin positiva del eje x. Mostrargrficamente tres posibles elecciones para un vector de forma que

seale en la direccin positiva del eje y. SSMBS

AS

BS

AS

SSM

s3>m2,1>s,m2>s3,

SSM

12 Un vector seala en la direccin positiva del eje y. Mostrargrficamente tres elecciones para un vector de forma que se-ale en la direccin positiva del eje x.

13 Es posible que tres vectores del mismo mdulo sumen cero?Si lo es, muestre la respuesta grficamente. En caso contrario, expliquepor qu no es posible.

CLCULO Y APROXIMACIONES

14 El ngulo subtendido por el dimetro de la Luna en unpunto de la Tierra es aproximadamente 0,524 (figura 1.18). Con estedato y sabiendo que la Luna dista 384 Mm de la Tierra, hallar su di-metro. (El ngulo u subtendido por la Luna es, aproximadamente, iguala D/rl, donde D es el dimetro de la Luna y rl es la distancia a la misma.)

SSM

BS

AS

BS

AS

0,524

F I G U R A 1 . 1 8 Problema 14

15 APLICACIN BIOLGICA Si se supone que el cuerpo humanoest formado esencialmente de agua se puede hacer una sencilla estima-cin. La masa de una molcula de agua es 29,9 1027 kg. Estimar lasmolculas de agua que forman una persona de 60 kg de masa. SSM


16 APLICACIN A LA INGENIERA En 1989, cientficos de la compa-a IBM consiguieron mover tomos con un microscopio de barrido deefecto tunel (STM). El pblico pudo apreciar esta tecnologa cuando violas letras IBM formadas a partir de tomos de xenon sobre una superficiede niquel. Las letras IBM se extendan una distancia que equivala a unos15 tomos de xenon. Si el espacio entre los centros de tomos de xenonadyacentes es de 5 nm (5 109 m), estimar cuntas veces puede escri-birse la palabra IBM en una pgina de 21,6 cm de ancho.

CONVERSIN DE UNIDADES

25 MLTIPLES PASOS A partir de la definicin original demetro en funcin de la distancia del Ecuador al polo Norte hallar en me-tros (a) la circunferencia de la Tierra y (b) el radio de la Tierra. (c) Con-vertir las respuestas dadas en (a) y (b) de metros a millas.

26 La velocidad del sonido en el aire es 343 m/s. Cul es la ve-locidad de un avin supersnico que se mueve con una velocidad doblea la del sonido? Dar la respuesta en kilmetros por hora y millas porhora.

27 Un jugador de baloncesto tiene una altura de 6 ft y 10,5 in.Cul es su altura en centmetros?

28 Completar las siguientes igualdades: (a) 100 km/h ______ mi/h, (b) ______ in, (c) ______ m.

29 La mayor separacin entre dos soportes del puente GoldenGate es de 4200 pies. Expresar esta distancia en kilmetros.

30 Hallar el factor de conversin para convertir millas por horaen kilmetros por hora.

31 Completar las siguientes expresiones: (a) 1,296 105 km/h2 ______ (b) ______ (c) ______ (d) ______

32 Una milla cuadrada tiene 640 acres. Cuntos metros cua-drados tiene un acre?

33 PNGALO EN SU CONTEXTO Supongamos que usted es unrepartidor de una compaa que comercializa agua mineral. Su camintransporta 4 pals cada uno de los cuales contiene 60 cajas de agua.Cada caja contiene 24 botellas de agua de un litro y la carretilla que usapara transportar el agua a los comercios tiene un lmite de peso de 250lb (114 kg.) (a) Si un mililitro de agua tiene una masa de 1 g, y un kilo-gramo pesa 2,2 libras, cul es el peso en libras de toda el agua del ca-min? (b) Cuntas cajas llenas de agua puede transportar en la carreti-lla?

34 Un cilindro circular recto tiene un dimetro de 6,8 in y unaaltura de 2 ft. Cul es el volumen del cilindro en (a) pies cbicos, (b)metros cbicos, (c) litros?

35 En las siguientes expresiones, x est en metros, t en segun-dos, v en metros por segundo y la aceleracin a en metros por segundocuadrado. Determinar las unidades del SI de cada combinacin: (a) (b) (c)

DIMENSIONES DE LAS MAGNITUDESFSICAS

36 Cules son las dimensiones de las constantes que aparecenen cada uno de los apartados del problema 23?

37 La ley de desintegracin radiactiva es dondeN0 es el nmero de ncleos radiactivos en el instante t 0, N(t) es el n-mero que permanece sin desintegrar en el tiempo t, y es la llamadaconstante de desintegracin. Qu dimensiones tiene

38 La unidad del SI de fuerza, el kilogramo-metro por segundocuadrado , se denomina newton (N). Hallar las dimensionesy las unidades del SI de la constante G en la ley de Newton de la gravi-tacin

39 Cuando un muelle se estira una distancia x a partir de su po-sicin de equilibrio, el mdulo de la fuerza (F) viene dado por (ley de Hooke). (a) Cules son las dimensiones de la constante k?(b) Cules son las dimensiones y las unidades SI de

40 Demostrar que el producto de la masa por la aceleracin y lavelocidad tiene las dimensiones de una potencia.

kx2?

F kx

F Gm1m2 >r2.1kg # m>s22

l?l

N1t2 N0elt,

SSM12 at2.1x>a ,

v2>x,

SSM

m>s.60 mi>h ft>s,60 mi>hm>s2,1,296 105 km>h2 km>(h # s),

100 yd 60 cm

(Gentileza de IBM Reasearch, Almaden Research Center.)

17 Se ha debatido pblicamente con frecuencia cules son lasconsecuencias ambientales de usar paales desechables o paales reuti-lizables de tela. (a) Supngase que un beb, desde que nace y hasta los2,5 aos, usa tres paales al da. Estimar cuntos paales desechables seusan cada ao en los Estados Unidos. (b) Calcular el volumen de verte-dero ocupado por los paales, suponiendo que 1000 kg de estos resi-duos ocupan 1 m3. (c) Calcular la superficie que ocuparan anualmenteestos residuos si se supone que necesitan una profundidad media en elvertedero de 10 m.

18 (a) Estimar cuntos litros de gasolina usan los automvilescada da en los Estados Unidos y el coste asociado. (b) Si de un barril decrudo se obtienen 73,45 L de gasolina, calcular cuntos barriles de pe-trleo deben importarse en un ao en los Estados Unidos para fabricarla gasolina necesaria para la automocin. Cuntos barriles por da su-pone esta cifra?

19 APLICACIN A LA INGENIERA Un megabyte (MB) es unaunidad de almacenamiento en la memoria de los ordenadores. Un CDtiene una capacidad de almacenamiento de 700 MB y puede almacenar 70minutos de msica de alta calidad. (a) Si una cancin tpica dura 5 minu-tos, cuntos megabytes ocupa una cancin? (b) Si una pgina de texto im-preso ocupa aproximadamente 5 kilobytes, estimar cuntas novelas sepueden guardar en un CD.

UNIDADES

20 Expresar las siguientes magnitudes usando los prefijos quese recogen en la tabla 1.1 y las abreviaturas de la pgina 5 (tabla 1.1); porejemplo, 10 000 metros 10 km. (a) 1 000 000 watts, (b) 0,002 gramos,(c) 3 106 metros, (d) 30 000 segundos.

21 Escribir cada una de las siguientes magnitudes sin usar pre-fijos: (a) (b) 4 ns, (c) 3 MW, (d) 25 km.

22 Escribir las siguientes magnitudes (que no se expresan enunidades del SI) usando prefijos (pero no sus abreviaturas). Por ejemplo,103 metros 1 kilmetro: (a) 1012 abucheos, (b) 109 mugidos, (c) 106 te-lfonos, (d) 1018 chicos, (e) 106 telfonos, (f) 109 cabras, (g) 1012 toros.

23 En las ecuaciones siguientes, la distancia x est en me-tros, el tiempo t en segundos y la velocidad v en metros por se-gundo. Cules son las unidades del SI de las constantes C1 y C2?(a) (b) (c) (d) (e)

24 Si en el problema 23 se expresa x en pies, t en segundos yv en pies por segundo, cules son las dimensiones de las constantesC1 y C2?

SSMv2 2C1v 1C2x22.x C1 cos C2t,v

2 2C1x,x 12C1t

2,x C1 C2t,

40 mW,

SSM

Problemas | 25

41 El momento lineal o mpetu de un objeto es el productode su masa por su velocidad. Demostrar que esta magnitud tiene lasdimensiones de una fuerza multiplicada por el tiempo.

42 Qu combinacin de la fuerza y otra magnitud fsicatiene las dimensiones de la potencia?

43 Cuando un objeto cae a travs del aire, se produce unafuerza de arrastre que depende del producto del rea superficial del ob-jeto y del cuadrado de su velocidad, es decir, donde C esuna constante. Determinar las dimensiones de C.

44 La tercera ley de Kepler relaciona el

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