time lagged auto correlation and cross-correlation in

Time lagged auto correlation and cross-correlation in complex systems

王访湖南农业大学

Email：[email protected]

Joint withLin Wang（University of New Brunswick）

Yuming Chen（Wilfrid Laurier University ）

2018.9.17 大连

Outline

• 研究背景

• 主要工作

• 总结和展望

王访全国复杂性科学研究会第四次学术年会 /242

研究背景

Two questions:

• 为什么要讨论时滞效应？

• 为什么要用统计物理方法？


研究背景—为什么要研究时滞效应？

• 种群生长的生命周期和成熟过程中有明显的时滞效应【H. Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences, Springer, New York, 2011.】

• 由于从一个节点到另一个节点的传输速度有限，神经网络中也存在时滞效应【 J. Wu, Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay Walter de Gruyter, New York, 2001. 】


研究背景—为什么要研究时滞效应？

• 雾霾的侵袭


研究背景—统计物理方法的优势

• 统计物理的理论与方法促进了复杂网络的研究，为研究人类行为、交通等问题提供了新的思路。【周涛, 蒋晓,复杂性科学进展, 成都, 电子科技大学出版社, 2015】

• 统计物理用概率统计的方法从微观的角度对客观世界进行解释，能真实反映金融市场的各种效应。【周炜星, 金融物理学导论,上海财经大学出版社, 2007】

• 在不需要对所研究的经济系统事先做出详细与精微描述的前提下，统计物理的方法就能提供对该经济系统全局行为的一种理解【Rosario N. Mantegna, H. Eugene Stanley, 经济物理学导论, 中国人民大学出版社, 2006】


研究背景—分形时间序列的时滞效应分析

• Alvarez-Ramirez基于DFA引入时滞算子，用于研究心率变化、道琼斯指数及大西洋振荡中的时滞效应【Phys. Rev. E, 2009】.

• Lin利用时滞DCCA研究中国和美国的股票市场的时滞效应【Nonlin. Dyn., 2012】.

• Wang利用时滞DCCA研究美国加州和PJM电价和负荷的时滞效应【Nonlin. Dyn., 2013】.

• Shen利用提出了一种基于DCCA的时滞互相关系数，研究API与风速之间的时滞效应【Phys. Lett. A, 2015】.

• Lin提出延迟相关景观（DCL）的思想研究脑节律和心脏相互作用的特征时间延迟【Phil. Trans. R. Soc. A, 2016】


我们的工作

Two aspects:

• 单个系统的时滞自相关（Lagged auto-correlation ）

• 两个系统的时滞互相关（Lagged cross-correlation）


我们的工作1—时滞自相关

• 将时滞算子引入到多重仿射-高度相关分析（Multi-affine height correlation analysis），即：Lagged MA-HCA【Chaos, 2018】

( , ) [ ( ) ( )] [ ( + ) ( )]L X t X t X t L X t X t Lτ τ τ∆ = − + ⋅ − + + ，

1//2 ( ) ( , ) ,qq

q LF L X tτ τ= ∆ ,

( ) ( ) .qqF L Lγ ττ ∝ ,


能描述时滞为τ时的

q阶波动自相关性。


• ARFIMA(0,d,0)自相关序列

γ2 = 0.5+d


A. J. Nicholson, Aust. J. Zool. 2, 1–8 (1954).A. J. Nicholson, Aust. J. Zool. 2, 9–65 (1954).


• Nicholson的绿头苍蝇实验L97 cage I ：成虫总数



• 1999年和2000年加州电力市场



• 将基于HCA的时滞自

相关方法与基于DFA的时滞方法进行比

较：

将长度为N的ARFIMA(0,d,0)模拟100次，考察两种方法的

Hurst指数估计值与H（H=0.5+d）的误差均值及

标准差、最大误差所对应的

时滞及运算效率。


14

我们的工作2—时滞互相关

• 将时滞算子引入到仿多重分形-高度互相关分析（Multifractal height cross-correlation analysis），即：Lagged AMF-HXA【Sci. Rep. 2017】.

( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( + ) ( )]L X t Y t X t X t L Y t Y t Lτ τ τ∆ + = − + ⋅ − + + ，

/2 ( ) sign( ( ) ( )) ( ) ( ) , 0qqxy L LF L X t Y t X t Y t qτ τ τ= ∆ + ∆ + > ,

( , ) ( )q q qxyF L L λ ττ ∝ , ，

如果两个序列不（弱）相

关，则λ(q, τ) 不能得到


• -1 ≤ ρq(τ,L) ≤ 1.

/2sign( ( ) ( )) ( ) ( )( , ) ( , ) .

( ) ( , ) ( ) ( + )

qq

L Lxyq q q q q

xx yy L L

X t Y t X t Y tF LL

F L F L X t Y t

τ ττρ τ

τ τ

∆ + ⋅ ∆ += =

∆ ⋅ ∆


• ρq(τ,L)能刻画任意两个分形序列时滞为τ、时间尺度为L时的q阶波动的相关程度。

• ρq(τ,L)形成一张空间曲面。利用不相关的两序列Mente-Carlo模拟出一张临界值曲面ρq

c(τ,L)，在该曲面上方表示相

关性显著，否则不显著。



• Test I

0 50 100 150 200 250 300 350 400-6

-4

-2

0

2

4

6

Time points

{S1}

{S2}

a

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

L

ρ 2 ( τ, L

)

τ = -100τ = -50τ = 0τ = 50τ = 100

c

0 50 100 150 200 250 300 350 400-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Time Points

{x1}

{x2}

b

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0

50

100

150

200

-1

-0.5

0

0.5

1

Lτ

ρ 2( τ, L

)d



-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0

50

100

150

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

L

τ

ρ 0.5(τ

, L)

a

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0

50

100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

L

τ

ρ 6(τ, L

)

b

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 050

100150

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Lτ

ρ 0.5(τ

, L)

c

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0

50

100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

L

τρ 6(τ

, L)

d

• Test II



• Application of real world




-48 -36 -24 -12 0 12 24 36 4848

96

144

192

240

288

336

384

432

480

528

576

624

672

720

τ

L

Beijing vs. Zhangjiakou

-48 -36 -24 -12 0 12 24 36 4848

96

144

192

240

288

336

384

432

480

528

576

624

672

720

τ

L

WinterSpringSummerFall

a b

-36 -24 -12 0 12 24 3648

96

144

192

240

288

336

384

432

480

528

576

624

672

720

τ

L

Beijing vs. Tianjin

-36 -24 -12 0 12 24 3648

96

144

192

240

288

336

384

432

480

528

576

624

672

720

τ

L


a b

-48 -36 -24 -12 0 12 24 36 4848

96

144

192

240

288

336

384

432

480

528

576

624

672

720

τ

L

Beijing vs. Baoding

-48 -36 -24 -12 0 12 24 36 4848

96

144

192

240

288

336

384

432

480

528

576

624

672

720

τ

L


a b

a表示小波动区间，b表示大波动区间


展望

• 如何刻画多个本身具有时滞的时间序列之间的时滞互相关性？

• 如何表征两个时滞互相关序列的因果关系？


time lagged auto correlation and cross-correlation in

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